cac dang de on luong giac hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (171.66 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

I. Biến đổi đa về các phơng trình quen thuộc:

1. a. §H Qc gia (D+G). 97: 2cos2x - 3cosx + 1 = 0  cos

cos

x
x








1
2

 x k

x k

2
2

b. CĐSP Quảng Ninh (D). 98: cos2(x + 

3 ) + 4sin(x +



3 ) =
5

2  1 - 2sin

2(x +

3 ) + 4sin(x +



3 ) =
5
2

 4sin2(x +

3 ) - 8sin(x +



3 ) + 3 = 0 

sin( )
sin( )

x
x

 








3 12
3 32

 x k

x k

6
2

2
2

c. CĐSP Quảng Ninh (F). 98: sinx + cosx = 2 sin5x  sin(x + 450) = sin5x  x x k

x x k

  

   





 45 5 360

45 180 5 360

0 0

0 0 0

d. §H KTQD. 97: cos7x - 3sin7x = 2  sin300cos7x - cos300sin7x = sin450 sin(300 - 7x) = sin450 . Bạn tự giải tiếp. 
e. ĐH Ngoại ngữ. 98: sin3x + cos2x = 1 + 2sinxcos2x  3sinx - 4sin3x + 1 - 2sin2x = 1 + 2sinxcos2x 

 sinx(4sin2x + 2cos2x + 2sinx - 3) = 0. Bạn tự giải tiếp.

f. ĐH Ngoại thơng. 98: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 

 sinx - cosx + (sinx - cosx)( sinx + cosx) + (sinx - cosx)(1 + sinxcosx) + (sinx - cosx)(sinx + cosx) = 0
 (sin x - cosx)[2 + 2(sinx + cosx) + sinxcosx] = 0  sin cos ( )

(sin cos ) sin cos ( )

x x

x x x x

 

   





0 1

2 2 0 2

(1)  tgx = 1  x =



+ k. (2) Đặt: sinx + cosx = t, - 2  t  2 . 4 + 4t + t2 - 1 = 0
 t2 + 4t + 3 = 0  t = - 1; - 3  sin(x +



) = - 2 /2  x k

x k

 
 









2 

2
2

g. ĐH Dân lập Đông Đô. 97: cos2x + 2cosx + sin2x + 1 = 0  cos2x + 2cosx + 1 = 0  cosx = - 1.
h. TTĐT Bu chính viễn thơng I. 97: Cho y = 4x - sin2x + 4 2 cosx. Tìm x để y ‘ = 0

Ycbt  4 - 2cos2x - 4 2 sinx = 0  2sin2x - 2

2sinx + 1 = 0  sinx = 2 /2 B¹n tù giải tiếp.
i.TTĐT Bu chính viễn thông I. 98: 2(1 + cos2x)sinx = sin2x  sin

cos cos

x

x x



 






4 2 2 0 Bạn tự giải tiếp.

k. ĐH NNghiệp 1 (B). 98: cos sin cos

cos sin

x x x

x x



  

2 2 1 3 (1) . §K: 2sin2x - sinx - 1  0.  x 


2 + 2k; . . .

(1)  3cos2x + sin2x = cosx - 3sinx  3

2 cos2x +

2 sin2x =
1

2 cosx -

2 sinx  sin(2x + 60

0) = sin(300 - x) 
l. §H NNghiƯp 1 (A). 98: sin cos

sin cos

22 42 1

x x

 

 . m. 3 - sinx + tgx = 5cos4

x

(Đại số hoá)

2.a. 63.II.1: 16(sin8x + cos8x) = 17cos22x  (1 - cos2x)4 + (1 + cos2x)4 = 17cos22x  2cos42x - 5cos42x + 2 = 0 
 cos22x = 1

2  cos4x = 0  x =



8 +

k

b. 52.II: cos 4

x

= cos2x  cos 4

x

= 1 2

cos x

 4cos22

x

- 2 = 1 - 3cos 2

x

+ 4cos32

x

 (cos2

x

- 1)(4cos22

x

- 3) = 0 B¹n tù gi¶i tiÕp.
c. 15.III.1: 2cos2 3

x

+ 1 = 3cos4

x

 cos6

x

+ 2 = 6cos22

x

- 3  - 3cos 2

x

+ 4cos32

x

+ 2 = 6cos22

x

- 3 
4cos32

x

- 6cos22

x

- 3cos 2

x

+ 5 = 0  (cos2

x

- 1)( 4cos22

x

- 2cos 2

x

- 5) = 0 Bạn tự giải tiếp .
d. 48.II.2: sin22x - cos28x = sin(17



+ 10x)  1 4

1 16



 

cos x cos x

= cos10x 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 x k

x x x x

 

   








2 2

2cos 1 2sin cos 2sin 0 (*) (*)  2(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 1 = 0

Đặt: sinx + cosx = t, - 2  t  2 th× cos: t = 0  x = -


+ k.

f. 69.III.2: 4cosx - 2cos2x - cos4x = 1  4cosx - 2cos2x - 2cos22x = 0  4cosx - 2cos2x(1 + cos2x) = 0 
 4cosx - 4cos2xcos2x = 0  cos

cos cos

x

x x

2 1 Bạn tự giải tiếp .
g. 72.II.1: cos4x - cos2x + 2sin6x = 0  cos4x - 1 + 2sin2x + 2sin6x = 0 

 (cos2x - 1)(cos2x + 1) + 2sin2x(1 + sin4x) = 0  sin2x[2(1 + sin4) - cos2x - 1] = 0
 x k

x x



  







2sin4 cos2 1 0 (*) (*)  2sin4x - sin2x = 0  sin2x(2sin2x + 1) = 0  x = k.

h. 76.II.1  §H TCKT.98: cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos33x 

cos10x + cos8x + 1 = cosx + 2cos(4cos3x - 3cos3x)  2cos9xcosx + 1 = cosx + 2cos9xcosx  cosx = 1  x = 2k.
i. ĐH Dân lập HP. 97: 2cos2x + cos2 x

2 - 10cos(
5



- x) + 7

2 =
1

2 cosx  4cos2x + 1 + cosx - 20sinx + 7 = cosx  4 -

8sin2x - 20sinx + 8 = 0  2sin2x + 5sinx - 3 = 0  sinx = 1

2  x = 30

0 + k3600 Hay x = 1500 + k3600

k. ĐH Mỹ thuật công nghiệp. 96: cos7xcos5x - 3sin2x = 1 - sin7xsin5x  cos2x - 3sin2x = 1. Bạn tự giải tiếp l. sin4x + 
cos4x = cos4x  sin4x + cos4x = cos22x - sin22x 

 sin4x + cos4x = sin4x + cos4x - 2cos2xsin2x -4sin2xcos2x  sin2x = 0  x k900.

m. §H Më. 97: cosx(cos4x + 2) + cos2xcos3x = 0 cosx(cos4x + 2 - 3cos2x + 4cos2xcos2x) = 0  cosx = 0 
Hc 2cos22x - 1 + 2 - 3cos2x + 2cos2x(1 + cos2x) = 0  cosx = 0  x =

2 + k.

n. ĐH Thái Nguyên (A).98: 2cos2(

2 cos

2x) = 1 + cos(sin2x)  2cos2(

2 cos

2x) - 1 = cos(sin2x) 
cos(cos2x) = cos(sin2x)  cos2x =  sin2x + 2k  cos sin

cos sin

2 2 2 4 1

x x k

  

  





Cã nghiÖm  12 + 22 16k2 - 8k + 1  4k2 - 2k - 1  0  1 5
4



 k 1 5

k = 0. Bạn tự giải tiếp.
o. Đ KTQD. 98: 16cosxcos2xcos4xcos8x = 1 Nhân 2 vế với sinx. Bạn tự giải tiếp .

p. ĐHDân lập §«ng §«. 97: cos2x - 7sinx + 8 = 0.

q. CĐ Lao động xã hội: 1 + sin2x + cosx + sinx + cos2x = 0  (cosx + sinx)2 + cosx + sinx+ cos2x - sin2x=0
 (cosx + sinx)(2cosx + 1) = 0. Bạn tự gii tip .

r. ĐH Thuỷ lợi. 98: (1 + sinx)2 = cosx  (1 + sinx)4 = cos2x (1 + sinx)4 =1 - sin2x. Bạn tự giải tiếp. 
Cách 2: Nhân hai vế với cosx. Cách 3: Đổi về góc x/2.

s. ĐH Hàng hải. 98: sin2x = 1 + 2cosx + cos2x  2sinxcosx = 1 + 2cosx + 2cos2x - 1. B¹n tự giải tiếp. 
II.Phơng trình có ẩn số ở mẫu sè:

1. a. tg(1200 + 3x) - tg(1400 - x) = sin(800 + 2x)  tg3(x + 400) + tg(x + 400) = sin2(x + 400).

Đặt: X = x + 400. §K: cos3X  0; cos(x + 400)  0. PT  tg3X + tgX = sin2X  sin4X = sin2Xcos3XcosX

sin2X(cos3XcosX - 2cos2X) = 0. Bạn tự giải tiếp.

b. §H KiÕn Tróc. 92: 2tg3x - 3tg2x = tg22xtg3x. §K: cos3xcos2xcosx  0.

PT  2(tg3x - tg2x) = tg2x(1 + tg3xtg2x)  2tgx = tg2x (Chia hai vế cho: 1 + tg3xtg2x).Bạn tự giải tiếp.
c. 84.II.1: tg2x - tg3x - tg5x = tg2xtg3xtg5x. §K: cos5xcos3xcos2x  0.

PT  tg2x - tg5x = tg3x(1 + tg2xtg5x)  tg(-3x) = tg3x (Chia hai vế cho: 1 + tg2xtg5x). Bạn tự giải tiếp.
d. 34.II1: tg22xtg23xtg5x = tg22x - tg23x + tg5x. §K: cos5xcos3xcos2x  0.

PT  tg23x - tg22x = tg5x(1 - tg23xtg22x)  tg5x = ( )( )

( )( )

tg x tg x tg x tg x
tg xtg x tg xtg x

3 2 3 2

1 3 2 1 3 2

 

   tg5x = tg5xtgx.

e. - 100.III.1: tg2x = 1

3
3



cos
sin

x

x . §K: cosx  0. PT 

1
1

2
2



cos
sin

x
x =

1
1

3
3



cos
sin

x

x 
 1

1
1

2
2






 

 

cos
sin .(

cos
sin

cos cos
sin sin )

x
x

x x

x x = 0 

cos

(cos sin )(sin cos sin cos )

x

x x x x x x



   





</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

f. §H KiÕn tróc. 93: tg2x = 1

3
3



cos
sin

x

x . g - 61.III.1: tg
2x = 1

cos
sin

x

x . Bạn tự giải tiếp.

h. ĐH Ngoại ngữ. 96: tgx + tg2x - tg3x = 0. §K: cos3xcos2xcosx 0. PT  tgx = sin

cos cos

x

x x

3 2 

 sin

cos cos cos

x

x x x








3 2 

sin

cos cos

x k

x x










5 B¹n tự giải tiếp và kiểm tra ĐK.
i. ĐH Quốc gia (B). 95: tgx - tg2x = sinx. B¹n tù giải tiếp và kiểm tra ĐK.

2. a. ĐH Giao thông vận tải. 97: 3(cotgx - cosx) - 5(tgx - sinx) = 2. §K: x  k900.

PT 3cos cos sin

sin

sin sin cos

cos

x x x

x

x x x

x


 5  = 2  3cos2x -3cos2xsinx -5sin2x + 5sin2xcosx = 2sinxcosx
 3(cos2x - cos2xsinx - sin2x + sin2xcosx) - 2(sinxcosx + sin2x - sin2xcosx) = 0

 3(cosx - sinx)(cosx + sinx - sinxcosx) - 2sinx(cosx + sinx - sinxcosx) = 0 
 (cosx + sinx - sinxcosx)(3cosx - 3sinx - 2sinx) = 0. Bạn tự giải tiếp và kiểm tra ĐK.
b - 106.I.2: 2(tgx - sinx) +3(cotgx - cosx) + 5 =0. §K:x  k900 2( sin

cos

x

x- sinx + 1) + 3(

cos
sin

x

x - cosx + 1) = 0
 2

cosx(sinx+cosx-sinxcosx) +

sinx (sinx+cosx-sinxcosx) = 0 

sin cos sin cos
/

x x x x

tgx

  







3 2

c - 97.II2: 6tgx + 5cotg3x = tg2x. §K: x  k900. PT  5(tgx + cotg3x) = tg2x - tgx 
 5 cos

sin cos

sin

cos cos

3 2

x

x x

x

x x

  5cos22x = sin3xsinx  10cos22x = cos2x - cos4x. Bạn tự giải tiếp.

d - 143.II.1: 3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx. §K: cosx  0. PT  2(1 - cosx) + 3tgx(1 - cosx) = 0
 (1 - cosx)(2 + 3tgx) = 0 cosx

tgx

2
3

Bạn tự giải tiếp và kiĨm tra §K.
e. §H KTQD. 96: ( cos ) ( cos )

( sin ) sin

sin

1 1

4 1

1
2

2 2

  

  




x x

x tg x x

x

tg x. §K: cosx  0.
PT  ( cos ) ( cos )

( sin )

sin sin

1 1

4 1

2 2

1
2

2 2

  

 



 

x x

x

tg x x 

 ( cos ) ( cos )

( sin )

sin

( )

1 1

4 1

2 1 2

2 2

  

 



x x

x

tg x  2 + 2cos2x = 2cos2x(1 + 2tg2x)  2sin2x = 1  x =


+k

3. a. §H Quèc gia (A). 98: 2tgx + cotg2x = 2sin2x + 1

sin x . §K: sin2x  0.

PT  2sin sin cos

cos

x x x

x

 2

+ cos

sin

2 1

x
x


= 0  2sinx 1 2
2

 cos

cos

x

x +

 2

sin
sin

x

x = 0 
 1

cosx(sinx - 4sinxcos

2x) = 0  4cos2x - 1 = 0  2 + 2cos2x - 1 = 0. Bạn tự giải tiếp. 
b. ĐH Công đoàn. 98: sin

sin cos

2 2

2
2
4

x

x x



 = tg

2 x

2 . V×: sin

2x = 4cos2 x

2 sin

2 x

2 Nên ĐK: cos

x

2  0

PT  4cos2 x

2 sin

2 x

2 - 2 = - 4cos

2 x

2 sin

2 x

2  sin

2x = 1 x =

2 + k

c. ĐH Giao thông vËn t¶i. 98: tgx + cotgx = 2(sin2x + cos2x). §K: x  k900.
PT  1

sin cosx x = 2(sin2x + cos2x)  sin

22x + cos2xsin2x = 1  cos2xsin2x - cos22x = 0
 cos 2 0

2 1

x
tg x







 

x k

 





45 90

22 5 90

0 0

0, 0 B¹n tù kiểm tra điều kiện.
d. ĐH Luật. 98: tgx - sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1

cosx) = 0. §K: x 


2 + k

PT  sinx( 1

cosx - 2cosx) - cos2x + 2cos2x

cosx = 0  -

cos sin

cos

2x x

x - cos2x + 2cos2x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 cos2x( 2

cosx -

sin
cos

x

x - 1) = 0 

cos

sin cos ( )

2 0

x

x x VN



 




  x = 4 + k2

e. §H An ninh (A). 98: 3sinx + cosx = 1

cosx. §K: x 


2 + k. PT  3sinxcosx + cos

2x = 1 
3sinxcosx - sin2x = 0  sinx

tgx







0
3 

x k


 








3

g. §H B¸ck khoa. 98: 1 2

tgx gx

x x

gx

 




cot

(cos sin )

cot . sinx.cosx  0; cosx - sinx > 0
PT  sinx cosx = 2

1
(cos sin )

cot

x x

gx


  cosx(cosx - sinx) = 2(cosx sin )x 

cosx sinx( 2 - cosx cosx sinx ) = 0  cosx cosx sinx = 2 

cos
cos cos sin

x

x x x



 





0
2

3 2 Vơ nghiệm. (Đánh giá)
III. Phơng trình đẳng cấp:

1. a. HV Kü thuËt qu©n sù. 97: 2cos3x = sin3x  2cos3x = - 4sin3x + 3sinx 

 2cos3x = - 4sin3x + 3sinx(sin2x + cos2x)  sin3x - 3sinxcos2x + 2cos3x = 0  tg3x - 3tgx + 2 = 0 
 (tgx - 1)2(tgx + 2) = 0  x k

x arctg k
 

  









4

( )

b. §H LuËt. 96: 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0  4sin3x + 3cos3x - 3sinx(sin2x + cos2x) - sin2xcosx = 0
 sin3x - sin2xcosx - 3sinxcos2x + 3cos3x = 0  tg3x - tg2x - 3tgx + 3 = 0  (tgx - 1)(3tg2 - 1) = 0.

c. ĐH Ngoại thơng. 96: cos3x - 4sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0  3tg3x + 3tg2x - tgx - 1 = 0  (tgx + 1)(3tg2 - 1) = 0 
d. §H Quèc gia. 96: 1 + 3sin2x = 2tgx  cosx + 6sinxcos2x = 2sinx  (tgx + 1)(3tg2 - 1) = 0

6sinxcos2x + (cosx - 2sinx)(cos2x+sin2x) = 0  2sin3x - sin2xcosx - 4sinxcos2x - cos3x = 0 
 2tg3x - tg2x - 4tgx - 1 = 0  (tgx + 1)(2tg2x - 3tgx - 1) = 0 Bạn tự giải tiếp. Cách 2: Đặt tgx = t.
e. ĐH Xây dựng (Tại chức). 96: sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3  sin2x

sin cos

cos

x x

x


= 3(1 - sin2x + sinxcosx)
 sin3x + sin2xcosx = 3cos3x + 3sinxcos2x  tg3x + tg2x - 3tgx - 3 = 0  (tgx + 1)(tg2x - 3) = 0  B¹n tù giải tiếp. 
f. ĐH Thái Nguyên. 97: 4cos2x - cos3x = 6cosx + 2(1 + cos2x)  4cos2x - cos3x = 6cosx - 4cos2x

 cosx(4cos2x - 8cosx - 3) = 0  x = 

2 + k. Hoặc: x =

3 + 2k.

g. ĐH Má. 97: sin
sin

5
5

x

x = 1 . §K: sinx  0. PT  sin5x = 5sinx  sin3xcos2x + sin2xcos3x = 5sinx
 (3sinx - 4sin3x)(cos2x - sin2x) + 2sinxcosx(-3cosx + 4cos3x) = 5sinx(cos2x + sin2x)2

 12sin5x + 20sin3xcos2x = 0  3sin2x + 5cos2x = 0  x .

C¸ch 2: PT  sin3xcos2x + sin2xcos3x = 5sinx  (3 - 4sin2x)cos2x + 2cosxcos3x = 5 . . . Vô nghiệm.
Cách 3: PT  sin5x - sinx - 4sinx = 0 4cos3xcosxsinx - 4sinx = 0. Bạn tự giải tiếp.

h. ĐH Phơng Đông. 98: sin2x - 3sinxcosx = - 1  sin2x - 3sinxcosx = - sin2x - cos2x  2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0
i. §H HuÕ. 98: cos3x + sinx - 3sin2xcosx = 0. k. Quèc Gia (B). 98: cos3x + sin3x = 2(cos5x + sin5x)

l. sin(3x + 

4 ) = sin2xsin(x -



4 )

IV. Phơng pháp đánh giá : * sinx + 2sin2x = 3 + sin3x  2sin2x - 2sinxcos2x = 3. VN Vì: 22 + 22sin2x < 32
1. a. ĐH Thơng mại. 97: cos2x + cos 3

x

= 2. Vì: cos2x 1; cos 3

x

1 Nên: PT cos
cos

2 1

1
3

x

Bạn tự giải tiếp.
b. CĐSP Qu¶ng Ninh (T). 97: 2cos2x + 3cosx - 5 = 0  2cos2x + 3cosx = 5

V×: 2cos2x  2; 3cosx  3 Nªn: PT  cos
cos

2 1

x

x = 2k.

c. ĐH Thuỷ lợi. 97: sin6x + cos6x = 1. V×: sin6x  sin2x; cos6x  cos2x. Nªn: sin6x + cos6x  sin2x + cos2x = 1
VËy: PT  sin sin

cos cos

6 2

x x








</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

d. 94.III.2: sin14x + cos13x = 1  sin sin

cos cos

14 2

13 2

x x










sin
sin

cos
cos
x
x

x
x























0
1
0
1

 x = k

e. 109.II.2: sin cos sin cos

cos sin

10 10 6 6

2 2

4 4 2 2

x x x x

x x



 

 . Ta cã: VP =

sin cos
cos sin

6 6

2 2

4 2 2

x x



 =
= (sin cos ) sin cos (sin cos )

sin

2 2 3 2 2 2 2

4 3 2

1
4

x x x x x x

x

  

  . VËy PT  sin

10x + cos10x = 1 Bạn tự giải tiếp. 
f. ĐH An Ninh. 97: (cos2x - cos6x)2 = 6 - 2sin3x. VT 4; VP 4 Bạn tự giải tiếp  V« nghiƯm.

g. 74.II.1: (cos4x - cos2x)2 = 5 + sin3x. Bạn tự giải tiếp.

74.II.2: Giải và biện luận (cos4x - cos2x)2 = (a2 + 4a + 3)(a2 + 4a + 6) + 7 + sin3x.

Gi¶i: VT  4. VP = [(a + 2)2 - 1][(a + 2)2 + 2] + 7 + sin3x = t4 + t2 + 5 + sin3x = t2(t2 + 1) + 5 + sin3x  4.
VËy: PT  VT

VP






4
4

t
x

x x

3 1

4 2 2

sin
cos cos

Bạn tự giải tiÕp.
h. §H KiÕn tróc. 97: sin3x(cosx - 2sin3x) + cos3x(1 + sinx - 2cos3x) = 0 

 sin3xcos3x - 2sin23x + cos3x + cos3xcosx - 2cos23x = 0  cos2x + cos3x = 2. B¹n tù gi¶i tiÕp. 
i. 35.II: sinx + cosx = 2(2 - sin3x). VT = 2sin(450 + x)  2. VP 2. Bạn tự giải tiếp. 
2. a. §H Quèc gia. 96: 8sin2x

+ 8cos2x

= 10 + cos2y  8 sin2x

+ 81 2

sin x = 9 + 2cos2y. 
Đặt: 8sin2x

= t. §K: 1  t  8. PT  t t
t
2  9 8

= 2cos2y. VP  0. VT  0 V× : t n»m trong hai nghiÖm
VËy: PT  t t

y

2 9 8 0

  




 cos

B¹n tự giải tiếp.
b. ĐH Giao thông vận tải. 98: 6 - 4x - x2 = 5

|sin cos |yx
y

x

. VP = 102

|sin xy|

 10. VT = - (x + 2)2 + 10  10
VËy: PT  x y

x








2
1
2

sin 

x

y k


 






2
2
2

 

c. DL Đông Đô. 98: cos2x + 8 = 7sinx. VP  7; VT  7. HÖ  cos
sin

2 1

x
x







 x =



2 + 2k

d. 105.II: sin2x + sin2y + sin2(x + y) = 9

4 

1 2



 

cos x cos y

+ 1 - cos2(x + y) =9

 cos2(x + y) + cos(x + y)cos(x - y) + 1

4 = 0  [cos(x + y) +
1

2 cos(x - y)]

2 + 1

4 [1 - cos

2(x - y)] = 0
 sin( )

cos( )
x y
x y

 

 





0
1
2

 y x l

x k l

 

  








 

6 2



y

k l

x

k

l

 









 



6 2

e. 99.V: tg2x + tg2y + cotg2(x + y) = 1 (*). V× Cotg(x + y) = 1


tgxtgy

tgx tgy  (tgx + tgy)cotg(x + y) = 1 - tgxtgy 

 tgxtgy + tgy(cotg(x + y) + tgx(cotg(x + y) = 1 (**). LÊy (**) trõ (*):

tg2x - tgxtgy + tg2y + cotg2(x + y) - tgxcotg(x + y) - tgycotg(x + y) = 0 Nh©n víi 2:
(tgx - tgy)2 + [tgx - cotg(x + y)]2 + [tgy - cotg(x + y)]2 = 0 

 tgx tgy

tgx g x y



 




 cot ( )

 x y k

x x y l



Bạn tự giải tiếp.
f. 131.III.2: sin2x + 1

4 sin

23x = sinxsin23x  sin2x + 1

4 sin

23x + 1

4 sin

43x = sinxsin23x + 1

4 sin

43x 

 sin2x - sinxsin23x + 1

4 sin

23x + 1

4 sin

43x + 1

4 sin

23x - 1

4 sin

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

 [sinx - 1

2 sin

23x]2 + 1

4 sin

23x(1 - sin23x) = 0  sin

sin
2

1
2
3x 1
x








 cos
sin

3 0

1
2

x
x











x k

k
k

 












30 60
30 360
150 360

0 0

g. 91.II.1: sin4xcos16x = 1 

sin
cos
sin
cos

4 1

16 1

4 1

16 1

x
x
x

x
























x

k

x

k

x

k

x

k

 







 

 













 

8 4

32 16

8 16

16 8

2. a - 77.III.2: [tgx + 1

4 cotgx]

n = cosnx + sinnx (n = 2, 3, 4, . . .) 
+ n = 2: VT = [tgx + 1

4 cotgx]

2 1; VP = 1 VËy: PT  tgx = 1

4 cotgx  tg

2x = 1

4  x =  arctg
1
2 + k.

+ n > 2: VT  1  VP. Nhng vÕ ph¶i = 1  x = k

2 lúc đó VT khơng xác định  PT vơ nghiệm.

b. 136.II.2: (cos2x + 1

cos x)

2 + (sin2x + 1
2

sin x )

2 = 12 + 0,5siny. VP  12,5.
Theo B§T Bunhiacèpxki: a + b  2 2 2

(a b )  1

2 (a + b)

2 a2 + b2
VT  1

2 [cos

2x + sin2x + 1
2 2

sin xcos x ]
2 = 1

2 [ 1 +

sin x]

2 25

2 = 12,5. VËy PT 

sin
sin

y
x








2 1

2 

y

k

x

k

 









 



4 2

2

c. 83.III.1: (cos3 x

2 +
1

cos x )

2 + (sin3 x

2 +
1

sin x )

2 =81

4 cos

24x. VP  81

4 .

VT = cos6 x

2 + sin

6 x

2 +

1
6

2
cos x +

1
6

sin x + 4 = cos6

x

2 + sin

6 x

2 +

sin

cos

sin cos

2
6

2 6 2

x x



+ 4 =

= (cos2 x

2 + sin

2 x

2 )

3 - 3 cos2 x

2 sin

2 x

2 ( cos

2 x

2 + sin

2 x

2 ) + 4 +

1 3

2
2

2
1

64 6



sin

cos

sin

x x

x

= 5 -

4
3

sin2x + 64 1
3

4 2

( sin )

sin

 x

x  5 - 4
3

.1 + 64 1 1
1

3
4

(  . ) = 81

4 . PT 
cos

sin

2
2

4 1

x
x








 x = 

2 + k.

d - 101.II.1: sinx - 2sin2x - sin3x = 2 2.

VT = -2cos2xsinx - 2sin2x  [(2cos2x)2  ( 2sin2x) ](sin2 2 x12) = 2 sin2 x 1

  2 2.

VËy: PT 










1
2
sin
sin

cossin 1

x
x

x x  V« nghiÖm.

e - 146.III: sinx + 2 2 2 2

 sin xsinx  sin x = 3.

Ta cã: sinx + 2 2

 sin x  (12 12)(sin2 x2 sin2x) = 2

sinx 2 2

 sin x  | sinx 2 sin2 x| = |sinx|.| 2 sin2 x|  (|sin |x 2 sin x|)

2 1
Céng hai B§T thøc cïng chiÒu cã: VT  3. VËy PT  sinx = 2 - sin2x  sinx = 1  x =900+k3600
f * . 2cosx +

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

 4 4 228

 cos x[

4 4 228

cos
cos

x
x

 -

2 28

4 4 228

cos sin

cos

x x
x

 ] + 2sin10x = 3 2 
 2 1 1 2 28

 cos x [

cos
cos

x
x

1 228 -

cos sin

cos
28

1 228

x x
x

] + 2sin10x = 3 2
Đặt: 1

1cos228x = cos ;

cos
cos

1 228

x
x

 = sin. PT  2 1 1 28

 cos x cos(+x) + 2sin10x=3 2

VT  2 2 + 2 = 3 2. VËy PT 

cos
cos( )

sin

228 1
1
10 1

x
x
x



 









 

x k

x k



 

 









 

 

28
20 5

2
g. sin8x + cos8x = 32(sin12x + cos12x). HD: VT  1; VP  1 VN.

V. Phơng trình chứa căn và GTTĐ :

1. a. §H B¸ch Khoa. 97: ( 1 cosx  cosx)cos2x = 1

2 sin4x 

cos ( )

cos cos sin ( )
2 0 1

1 2 2

x

x x x

Bạn tự giải tiếp (1). Cßn (2)  cos ; sin

cos cos cos cos sin

x x

x x x x x

 

    






0 2 0

1 2 2 22

 2 cosx cos2 x = - cos22x  cos22x = 0 (Theo trªn).. KL: x = 



+ 2k.
b. 108.II.2: 4sinx = 1cos  1 cos

cos

x x

x  4sinxcosx = 2(|cos

x

2 | + |sin

x

2 |) (1)

Ta thấy: Nếu x0 là nghiệm của (1) thì x0 +  cũng là nghiệm. Nên ta tìm nghiệm x  [0, ]. Lúc đó:
(1)  4sinxcosx = 2( cos x

2 + sin

x

2 )  2sin2x = 2sin(

x

2 + 4



) x
x

6
3

x k

6
3

6
c. CĐSP Quảng Ninh (A, B). 97: 4 2

 x (sin2x + 3cosx) = 0. §K: - 2  x  2.  x =  2 Hc:

cosx(2sinx + 3) = 0  cos x = 0 x = 

2 + k x =
1
2 + k.

Do §K: x = - 3

2 ; x = -
1
2 ; x =

1
2 ; x =

2 ; = - 2; x = 2.

d. CĐSP Quảng Ninh (D). 97: x2 1

(cos22x - 2cos2x + 1) = 0. Bạn tự giải tiếp.

e. HVQH Quèc tÕ. 97: sinx + sinx + sin2x + cosx = 1  sinx + sinx + cosx - cos2x = 0
Đặt: sinx = U  0; cosx = V. Ta cã U + U2 + V - V2 = 0  U V

U V



 




 1

sin cos ( )
sin cos ( )

x x



 




 1

1 2
(1)  cos

sin cos
x

x x








2  sinx =

 1 5

2 (Kết hợp điều kiện): x = - arcsin

 1 5

2 + 2k
(2)  sinx = 0 Vµ cosx = 1  x = 2k.

f. 37.II.1: 1 sinx 1sinx= 2cosx 

cos

cos cos

x

x x



 





2 2 2 4 2  cosx = 1  x = 2k.
37.II.2: Giải và biện luận: 1 sinx 1sinx= kcosx 

k x

x k

k

cos ( )

|cos | ( )



   







0 1

1 1 2

1 2
2

2
Tõ (2) cã: 1 2 2

 k  k2 - 1  k  - 2 Hc k  2.

+ NÕu k  -2. Th×: cosx = - 1 1 2 2
2

  k

k  x =  arccos(-

1 1 2 2

  k

k ) + 2k.
+ NÕu k  2. Th×: cosx = 1 1 2 2

  k

k  x =  arccos

1 1 2 2

  k

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

+ NÕu - 2 < k < 2. Thì: PT Vô nghiệm.
g. 1 cosx 1cosx= 4sinxcosx

 ( 1 cosx  1cosx)( 1 cosx  1cosx) = 4sinxcosx( 1 cosx 1cosx )

 - 2cosx = 4sinxcosx( 1 cosx 1cosx )  sin (x coscosxx cos )x

   





2 2 1 1

+ x = 2k1800.Hc sin

sin ( sin )

x

x x



 





4 2 2 2 2 1 4sin2x(2 - 2sinx) = 1  (2sinx - 1)(4sin2x - 2sinx - 1) = 0

 sinx = 1 5
4

 = sin (-180)  x k

x k

 

 




 18 360

198 360

0 0

h. 64.II.1: cos2x 1sin2x 2 sinxcosx 

 (cosx sin )(cosx xsin )x  (sinxcos )x 2 2 sinxcosx (1). §K: cosx+sinx  0; cos2x - sin2x  0.
+ NÕu: cosx + sinx = 0 Th× PT cã nghiÖm tgx = - 1  x = -


+ k .

+ NÕu: cosx + sinx > 0 Thì ĐK: cosx - sinx 0 vµ (1)  cosx sinx  cosxsinx = 2 
 (cosx sin )(cosx xsin )x = 2 - cosx  cos2x + 4cosx - 5 = 0  cosx = 1  x = 2k.

i. 111.II.1: cos2x 1 sin2x 2 sinx cosx. Bạn tự giải tiếp.

k. ĐH SP II. 97: 5cosx cos2x + 2sinx = 0  5cosx cos2x = - 2sinx  sin

cos cos

x

x x



  





2 2 5 3 0

l. ĐH Văn hoá. 97: 1 cos2
sin

x

x = 2(cosx -

1
2 )

2.a. §H Quèc gia (A). 97: cosxsinx + |cosx + sinx| = 1. Đặt: |cosx + sinx| = t; ĐK: 0  t  2.
PT  1

2 (t

2 - 1) + t = 1  t2 + 2t - 3 = 0  t = 1  cosxsinx = 0  sin2x = 0  x = k

2 .

b. 51.II.1: |cosx - sinx| + 4sin2x = 1. Bạn tự giải tiếp.
c. ĐH Công đoàn. 96: |tgx| = cotgx + 1

cosx. §K: x  k90
0 .

+ NÕu tgx > 0 Th× ta cã: sin2x = cos2x + sinx  2sin2x - sinx - 1 = 0  sinx = - 1

2  x = 210

0 + k3600
+ NÕu tgx < 0 Th× cã: - sin2x = cos2x + sinx  sinx = - 1 (Lo¹i).

d. 46.I.2: |cotgx| = tgx + 1

sinx . Bạn tự giải tiếp. e. 57.III.2: Gi¶i víi k = 2, 3: 3cosx + 2|sinx| = k
+ k = 2: 2|sinx| = 2 - 3cosx  cos

sin cos cos

x

x x x



  





2
3

2 2

4 4 12 9  cosx = 0  x =


2 + k.

+ k = 3: 2|sinx| = 3 - 3cosx  4sin2x = 9 - 18cosx + 9cos2x  cos

cos

x 





 x k

x k



 





2
2

5
13




arccos

 |2sin2x(sinx + 1)| = 2sinx(sinx + 1)  sin

| sin | sin

x

x x








2 2  sinx = - 1 Hay sinx = 0 Hay cosx =

1
2
Phơng trình chứa tham số:

1. a: ĐH Kiến Trúc. 88: Giải và biện luận: 2msinxcosx - (sinx + cosx) + 1 = 0 (1). m  0.
Đặt: sinx + cosx = t. |t|  2 (*). Th× (1)  f(t) = mt2 - t + 1 - m = 0 (2)

Cách 1: + (1) Vô nghiệm  

   






2 2

1 2

t t (§ cã ac < 0) · 
mf

mf

( )

 







2 0

2 0 Bạn tự giải tiếp.
Cách 2: + Nếu m = 0 thì PT có nghiÖm t = 1  x =



+ 2k

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

b. ĐH Thơng mại. 96: Tìm m để phơng có hai nghiệm thuộc [0,]: 2 1

3
sin
sin

x
x


 = m
Đặt: sinx = t. Thì Ycbt  Tìm m để phơng trình có 1 nghim [0,1]: 2 1

t
t

= m. Bạn tự giải tiÕp.

c. ĐH Ngoại ngữ. 97: Tìm m để f(x) = sin4 x cos4 x 2msin cosx x

  cã nghÜa x.

Gi¶i: Ycbt  sin4x + cos4x - 2msinxcosx  0, x  1 - 1

2 sin

22x - msin2x  0, x 
f(t) = X2 + 2mX - 2 , X [-1,1]  X

1 - 1 < 1  X2
f

f
( )

( )

 






1 0

1 0  -

2  m 
1
2

d. 5.II - 56.II.2: Tìm a để PT có nhiều hơn một nghiệm thuộc(0,

2 ): (1 - a)tg

2x - 2

cosx + 1 + 3a = 0
Gi¶i: PT  (1 - a) 12

cos x -

cosx + 4a = 0. Đặt: X =

cosx Ví: 0 < x <


2  0 < cosx < 1  1 < X < 

Nªn:Ycbt  f(X) = (1 - a)X2 - 2X + 4a = 0 tho¶: 1 < X

1 < X2

( ) ( )
'

1 1 0

0
1

 










a f

S

 

a



 







1
2
1

1

e. 11.II.1: Tìm a để PT có nghiệm: sin6x + cos6x = a|sin2x|
C1: PT  a|sin2x| = 1

-4
3

sin22x  a = 1
2
|sin x|- 4

|sin2x| = 1
2

|sin x|+ |sin2x| -

4 |sin2x| 2 -

4 |sin2x|
1
4

C2: Đặt |sin2x| = X, ĐK: 0 < X < 1. Khảo sát hàm số KL.

C3: Đặt |sin2x| = X. Xét f(X) = 3X2 + 4aX - 4 = 0 cã nghiệm (0,1).
2.a. ĐH Bách khoa. 98: Giải và biện luËn: 2 2 2 2

 x sinx x cosx|a + 1| + |a - 1|

Giải: PT Vô nghiệm 4 < 2a2 + 2  a < - 1 Hc a > 1.
+ NÕu: a =  1. PT  2 2 2 2

 x sinx x cosx 2  12 ( 2 x2sinx 2x2 cosx) = 1

Đặt: 2

x = cos; 2

x = sin. PT  sin( + x) = 1  + x = 

2 + 2k x = - +



2 + 2k

+ NÕu: - 1 < a < 1: Th× PT  sin( + x) = |a 1| |a 1|

2  x = -  + (-1)

karcsin |a 1| |a 1|

2 + 2k

b. ĐH Xây dựng. 98: Giải và biện luận: mcotg2x = cos sin

cos sin

2 2

6 6

x x



  mcotg2x =

cos
sin cos

1 2 2

x

x x


+ Lu«n cã nghiƯm: x =


+ k

2 . Ngoµi ra:

m

x x

sin2 sin
4
4 22



 . Đặt sin2x = X, X 0 - 1  X  1. Cã
4m - mX = 4X  (m + 4)X = 4m. NÕu: m = - 4  VN. m  - 4 X = 4

m

m . Bạn tự giải tiÕp.

c. Tìm m để PT có đúng 4 nghiệm  (0,2): mcos2x + sinx = cosxcotgx. PT  sin ( )

cos ( sin ) ( )

x
x m x



 





0 1

2 1 0 2

+ NÕu m = 0. HÖ  cos2x = 0  x1 =



; x2 = 3



; x3 = 5



; x4 = 7



. KL: m = 0 là một giá trị.
+ NÕu m  0. HÖ  cos

sin

2 0

1
x
x m







 Có đúng 4 nghiệm  sinx =

m V« nghiƯm  |

m | > 1  |m| < 1 vµ m  0.
Hoặc sinx = 1

m có nghiệm các nghiệm cña cos2x = 0  |

m | =
2

2  |m| = 2 KL: |m| < 1 Hoặc |m| = 2.

d. Tìm m để: sin5x + cos5x - m(sinx + cosx)  sinxcox(sinx + cosx),  x [0,


].

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ycbt  Tìm m để f(X) = X2 + 4X + 4m - 4  0, X (0;1)  X

1 0 < 1  X2
f

f

( )
( )

0 0

1 0








 m  - 1

4 .

e. Tìm m để: sin3x + msin2x + 3sinx  0 (*), x [0,

2 ].

Gi¶i: (*)  -2sin3x + msinxcosx + 3sinx  0  - 2sin2x + mcosx + 3  0 (V× sinx  0)
 2cos2x + mcosx + 1 . Đặt cosx = X Thì: 0  X  1

Vµ Ycbt  f(X) = 2X2 + mX + 1, X [0;1] 

 

 

 








0
1

1 2

X X

 m  - 2 2
3. a. Giải và biện luận: (8a2 + 1)sin3x - (4a2 + 1)sinx + 2acos3x = 0

+ NÕu a = 0 Ta cã: sin3x - sinx = 0  x = k

+ Nếu a 0. Vì sinx = 0 không là nghiƯm nªn PT  2aCotg3x - (4a2 + 1)Cotgx + 8a2 + 1 = 0
 (Cotgx - 2a)(2aCotg2x - Cotgx - 2a) = 0  x arc g a k

aCotg x Cotgx a

 

  





cot

(*)
2

2 2 2 0



(*)  4a = 2

cot
cot

gx

g x  tg2x = 4a  x =

2 arctg4a + m



2 .

b. Tìm m để phơng trình có nghiệm: sin2x + sin23x - mcos22x = 0.
Giải: PT  1 2

1 6



 

cos x cos x

- mcos22x = 0  4cos32x + 2mcos22x - 2cos2x - 2 = 0
Đặt: cos2x = X, - 1  X  1. Thì Ycbt  Tìm m để f X X X mX

X

( )   
 

2 1

1 1

3 2

Vẽ hình có m 0.

Hệ Phơng trình, Bất phơng trình:

1. a. ĐH Mở. 98: Cho sin

sin

2
2

x mtgy m
tg y m x m

 





. a. Giải khi m = 1. b. Tìm m để hệ có nghiệm.
+ m = 1. Đặt: sinx = X, - 1  X  1; tgy = Y (x = 

2 + k). Cã:

X Y

X Y
2

1
1

 





 X2 - Y2 + Y - X = 0 

(X - Y)(X + Y - 1) = 0  Y X

Y X


 



 1 NÕu Y = X Th× X2 + X - 1 = 0  Y = X =1 5

  x k

y arctg
k

   

 










( ) arcsin1 1 5
2

1 5



NÕu Y = 1 - X X2 - X = 0. Bạn tự giải tiếp.

+ T¬ng tù: NÕu Y = X cã X2 + mX - m = 0 NÕu: Y = m - X cã: X2 - mX + m2 - m = 0. KL: m  0
b. Gi¶i: sin cos cos

cos sin sin

2
2

x x y

Cộng và trừ hai phơng trình có: cos( )
cos( ) cos

x y

x y x

 

 






2 B¹n tù gi¶i tiÕp.

c.Gi¶i:

x y
tgx tgy

 

  








2 1

3 3

3 2

( )
( )

(1)  cos(x + y) = 0  tgxtgy = 1. H Ư 
tgx
tgy









3
3
3

Hc tgx
tgy









3
3

d.Gi¶i: sin cos

sin cos

x y

y x



  





5 6 0  sin

2x + cos2x = 49cos2y + (5siny + 6)2 siny = - 1 Bạn tự giải tiếp. 
e. Tìm a để hệ sau có nghiệm: cos cos

sin sin

x a y








3  cos2x + sin2x = a2(cos6y + sin6y) 
 sin22y = 4 1

2
2

(a )

a



cã nghiÖm  0  4 1
3

2
2

(a )

a



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

f. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: ax a y x
tg x y

2 2

1 1

1 2
   

 





|sin | ( )

( ) NÕu (x,y) lµ nghiƯm  (-x,y) cịng lµ nghiƯm

Ycbt  x = 0 thay vµo hƯ cã a = 2 Hoặc a = 0.

Ngợc l¹i: Víi a = 0 cã   

 





2 2

y x

tg x y

|sin |

có (0,-1) và (,-1) là nghiệm . . .  Loại a = 0.
Với a = 2: (1)  y = 2x2 + 1 + |sinx|  1; (2)  y2 = 1 - tg2x  1. Vậy y = 1  x = 0. KL: a = 2
g. Tìm m để hệ có nghiệm: sin cos

sin cos

x y m

y x m








 (Céng vµ trõ cã) sin( )

sin( )

x y m m

  

  





2 Cã nghiÖm 

   

   





1 1

2
2

m m

m m  - 1 - 2  m  1 - 2 Hc: - 1 + 2 m 1 + 2.
h. Ngoại ngữ - Tin hoc. 97: cos cos sin

sin sin cos

3
3

0
0

x x y

y y x

i. Văn Lang. 97: sin / sin sin

cos / cos cos

x x y

1
1

2. a. ĐH Dợc. 97: Tìm x (0, 2)mµ: cosx - sinx - cos2x > 0  (cosx - sinx)(1 - cosx - sinx) > 0. B¹n tù gi¶i tiÕp.
b. cosx + 3sinx < 1. c.cosx(1 - 2sinx) > 0 d. sinx + sin3x < sin2x

e. QGTP. Hå ChÝ Minh. 97: 2cos2x + sin2cosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx)
Ghi chó:Mét sè bài toán chứa hàm lợng giác ngợc:

1. Tính: a. A =cos(arsin 1

4 ). Đặt t = arsin
1

4  sint =
1

4 (0  t 



2 )  cost =

4 = cos( arsin

1
4 )

b. A = sin(2arccos 1

3). Đặt: t = arccos
1

3 cost =
1

3  sint =

2 2

3 Ta tÝnh sin2t = 2sintcost =
4 2

9
c. A = tg(arsin 1

6). Đặt: t = arsin
1

6 sint =
1

6  cost =

6 . VËy A = tgt =

1
35 .

d. A = arccos 4

5 - arccos
1

4 . §Ỉt: x = arccos
4

5  cosx =
4

5 ; sinx =
3

5; y = arccos
1

4  cosy =
1

4 ; siny =

15
4
V× A = x - y  cosA = cos(x - y) = 1

3 15
20

  A = arccos(1

3 15
20

 ).

e. A = arctg 1

3 - arctg
1

4 . Đặt: arctg
1

3 = x; arctg
1

4 = y  tgx =
1
3; tgy =

1
4 .

A = x - y  tgA = tg(x - y) = tgx tgy

tgxtgy




1 =

13  A = arctg
1
13.

2. Gi¶i: a. arccos(x 3) + arccosx = 

2  arccos(x 3) =



2 - arccosx  x 3 = cos(



2 - arccosx) 

 x 3 = sin(arccosx)  3x2 = 1 - cos2(arccosx)  3x2 = 1 - x2 x =  1

2 . Thư l¹i lo¹i x = -
1
2

b. arcsinx = arccos 1 2

 x  cos(arcsinx) = 1 x2 . Đặt: y = arcsinx x = siny

PT  cosy = 1 2

</div>

cac dang de on luong giac hay

<i>y</i>

<i>k l</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>l</i>

 

 













<i>x</i>

<i>k</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

 

 







 

 





















<i>y</i>

<i>k</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

 

 









2

sin

cos

sin cos



1 3



sin

cos

sin

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>a</i>



 







1

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về