<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phòng GD-ĐT Quốc Oai _{Cộng hoà x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam}
Tr−êng THCS Phó C¸t _{Độc lập - tự do - hạnh phúc}

ti sỏng kin kinh nghim

I. Sơ yếu lý lịch.

Họ và tên: Hà Danh Hng.

Sinh năm: 1979

Năm vµo ngµnh: 2002

Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên tr−ờng THCS Phú Cát-Quốc Oai-Hà Tây
Chuyên ngành đào tạo: Toán-Tin

Hệ đào tạo: Chớnh qui

Bộ môn đợc phân công giảng dạy: Toán 8A+8B.

II. Nội dung đề tài.

1. Tên đề tài: “Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh
lớp 8

líp 8
líp 8
líp 8”.

2. Lý do chọn đề tài.

- Trong dạy học mơn tốn việc giúp học sinh tìm ra h−ớng giải quyết cho một
lớp các bài toán là một việc làm rất quan trọng. Đặc biệt, đối với dạng bài có
nhiều ứng dụng trong đại số nh− “ phân tích đa thức thành nhân tử” việc làm đó
càng trở nên cần thiết.

- Khi dạy các bài về ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở đầu ch−ơng
trình đại số 8, tôi nhận thấy học sinh (chủ yếu là các học sinh yếu và trung
bình) gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài tập thuộc dạng này
nếu chỉ dựa vào những gì SGK cung cấp. Chính vì vậy, tơi đX suy nghĩ và mạnh
dạn đ−a ra một vài gợi ý cho các em trong khi sử dụng từng ph−ơng pháp cũng
nh− áp dụng tổng hợp các ph−ơng pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử
trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân tôi trong khi giải các bài tốn. Và
rất mừng là nó đX thu đ−ợc những kết quả nhất định.

3. Phạm vi và đối t−ợng thực hiện của đề tài.

- Đề tài này tôi thực hiện khi dạy các tiết 14, 15 trong ch−ơng trình đại số lớp 8,
với nội dung là luyện tập giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử.
Trên cơ sở nội dung chính là các kiến thức trong SGK, ở mỗi ph−ơng pháp tơi
có đ−a ra thêm một vài gợi mở d−ới dạng các chú ý khi sử dụng ph−ơng pháp
đó.

- Đối t−ợng thể nghiệm đề tài là học sinh hai lớp 8A, 8B tr−ờng THCS Phú Cát.
Đây là hai lớp có rất nhiều học sinh yếu và trung bình, đối t−ợng th−ờng gặp rất
nhiều lúng túng với dạng bài phân tích đa thức thành nhõn t.

III. Quá trình thực hiện.

1. Tỡnh trng tr−ớc khi thực hiện đề tài.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

thành nhân tử (các bài này tôi dạy các kiến thức đảm bảo nh− sách giáo viên đX
h−ớng dẫn), tôi cho học sinh làm một bài kiểm tra 10’ với ni dung :

Phân tích các đa thức sau thành nh©n tư:
1. A = 8x3_{+ 1}

2. B = x + y + xy+ y2

KÕt qu¶ nh− sau:( líp 8A: 39 bµi/ 39 häc sinh, líp 8B: 38 bµi/38 häc sinh )
§iĨm

Líp 0 1-3 4-5 6-7 8-9 10

8A 2 11 15 9 1 1

8B 1 10 16 9 0 2

- Qua bài làm của các em tơi nhận thấy rằng, chỉ có một số các em học sinh khá
là biết cách phân tích, nhóm và tìm ra đáp số cuối cùng, cịn đa phần các em
khơng biết phải dùng ph−ơng pháp nào, nhóm các hạng tử nào với nhau, dùng
hằng đẳng thức nào, có em nhóm đ−ợc nh−ng lại khơng biết đặt nhân tử chung
của các nhóm. Điều này cho thấy các em ch−a tự hình thành đ−ợc thuật tốn để
giải bài phân tích đa thức thành nhân tử qua các ví dụ và bài tập trong SGK. Do
đó, ng−ời thầy cần phải chỉ ra con đ−ờng giúp các em đi đến kết quả của bài
toán một cách tất yếu, nhanh và chính xác.

2. Các biện pháp đã thực hiện.

a. Mục đích của đề tài.

- Tôi suy nghĩ và thể nghiệm đề tài này với mong muốn giúp các em học sinh áp
dụng nhanh và chính xác các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử : đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm, trên cơ sở đó phối hợp tốt nhất
các ph−ơng pháp để giải một bài toán thuc dng ny.

b. Các bớc tiến hành.

Sau khi dạy các tiết 10, 11, 12, 13 cho kiểm tra và thu đ−ợc kết quả nh− trên,
tôi nhận thấy trong hai tiết luyện tập tiếp sau đó, cần phải hệ thống lại tất cả các
ph−ơng pháp đX học và đ−a ra những l−u ý cần thiết đối với mỗi ph−ơng pháp,
nhằm giúp các em sử dụng chính xác và có hiệu quả các ph−ơng pháp đó, tránh
những sai sót đáng tiếc trong khi làm bài tập.

1. Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung.

• Chó ý:

- Nhân tử chung của hệ số các hạng tử là UCLN của các hệ số đó. Nếu
một hạng tử có hệ số là _±1 thì phần hệ số của đa thức đó khơng có nhân
tử chung.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp đặt nhân tử
chung.

a. A = 12x + 18y - 24z
b. B = 25x + 75y - z

H−íng dÉn:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

HƯ sè cđa h¹ng tư thø 3 b»ng -1

Gi¶i:

Ta cã: A = 6.2x + 6.3y - 6.4z
= 6(2x + 3y - 4z)

B không phân tích đợc thành nhân tử.

- Nếu các hạng tử đều là đơn thức thì biến chung (có mặt ở tất cả các số
hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp đặt nhân tử
chung.

c. C = x3_{+ x}4_{- x}5
d. D = xy3_{+ x}2_{y - x}3_yz

H−íng dÉn

Trong đa thức C cả ba số hạng đều là đơn thức và có biến chung là x
với số mũ nhỏ nhất là 3 nên nhân tử chung là x3

T−¬ng tù, trong đa thức D nhân tử chung là xy

Giải:

Ta cã: C = x3_{(1 + x - x}2_).
D = xy(y2_{+ x - x}2_z).

- Nếu các hạng tử là những biểu thức thì các biểu thức chung (có mặt ở tất
cả các số hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung.

Vớ d 3: Phõn tớch đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp đặt nhân tử

chung.

e. E = x(x+y) + 2(x+y)
f. F = 2(x-y)2_{- 4(x-y)}

H−íng dÉn

Đa thức E có hai hạng tử mà mỗi hạng tử là một biểu thức có chứa cùng
một đa thức là x+y với cùng số mũ là 1, do vậy có thể đặt (x+y) lm
nhõn t chung

Tơng tự ,đa thức F có nhân tử chung là 2(x-y)

Giải:

E = (x+y)(x+2)
F = 2(x-y)[(x-y)-2]
= 2(x-y)(x-y-2)

• Bài tập áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp
đặt nhân tử chung.

a. 15x + 25y
b. x2_{y - xy}2

c. 24x5_y3_{z - 8x}2_yz3
d. 56x2_{y + 7x}4_{- 14xy}

e. x(2y+1) - 2(2y+1)
f. x4_{(5y - z) - x}2_{(5y - z)}
g. 36x2_{y(3y-2) + 12x(6y-4)}

h. x(4x + 2y)-2(2xy + y2₎

2. Ph−ơng pháp dùng hằng đẳng thức.

• Chó ý:

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a3 _{- b}3_{= (a-b)(a}2_{+ ab +b}2₎
a3 _+b3_{= (a+b)(a}2_{- ab +b}2₎

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp dùng hằng
đẳng thức:

a. A = x2_{- 25}
b. B = 27 + y3
c. C = 8x3_-1

H−íng dÉn

Ta nhận thấy rằng ba đa thức trên đều có hai hạng tử, đa thức A các
hạng tử đều có số mũ chẵn nên ta tìm cách chuyển về dạng a2 _{- b}2_để
phân tích:

Đa thức thứ hai có số mũ lẻ và là tổng hai đơn thức nên ta tìm cách
chuyển về dạng a3 _+b3_{để áp dụng:}

Đa thức thứ ba có số mũ lẻ và là hiệu hai đơn thức nên ta tìm cách
chuyển về dạng a3 _{- b}3_{để áp dụng:}

Gi¶i

Ta cã: A = x2_{- 5}2_{= (x+5)(x-5)}

B = 33_{+ y}3_{= (3+y)(9 - 3y +y}2₎
C = (2x)3_{- 1}3_{= (2x-1)(4x}2_{+2x +1)}

- Nếu đa thức có ba hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức:
a2_{+ 2ab + b}2_{= (a+b)}2

a2_{- 2ab + b}2_{= (a-b)}2

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp dùng hằng
đẳng thức:

d. D = x2_{- 4x + 4}
e. E = 25 + 20y + 4y2

H−íng dÉn

Hai đa thức trên đều có 3 số hạng, ta tìm cách biến đổi để áp dụng đ−ợc
hằng đẳng thức t−ơng ứng, muốn vậy ta tìm cách đ−a số hạng có bậc cao
nhất và thấp nhất về dạng luỹ thừa bậc hai, rồi tách số hạng trung gian
thành hai lần tích của cơ số có dạng luỹ thừa bậc hai vừa rồi, nếu đ−ợc
thì áp dụng hằng đẳng thức t−ơng ứng là xong.

Gi¶i

Ta cã: D = x2_{- 2.x.2 + 2}2_{= (x-2)}2
E = 52_{+ 2.5.(2x) + (2x)}2_{= (5+2x)}2

- Nếu đa thức có bốn hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức:

a3_{+ 3a}2_{b + 3ab}2_{+ b}3_{= (a+b)}3

a3_{- 3a}2_{b + 3ab}2_{- b}3_{= (a- b)}3

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp dùng hằng
đẳng thức:

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

H−íng dÉn

T−ơng tự cách làm với đa thức có hai số hạng ta cũng tìm cách đ−a số
hạng có bậc cao nhất và thấp nhất về dạng luỹ thừa bậc 3 rồi tách các số
hạng trung gian thành 3a2_{b và 3ab}2_{t−ơng ứng với các hằng đẳng thức.}

Gi¶i

Ta cã: F = x3_{- 3.x}2_{.1 + 3.x.1}2_{- 1}3_{= (x-1)}3
G = 23_{+ 3.2}2_{.y + 3.2.y}2_{+ y}3 _{= (2+y)}3

• Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp
dùng hằng đẳng thức:

a. 9x2_{+ 30x +25}
b.0.25x4_{- 16y}2
c. 27x3_{- a}3_b3

d. 9x2_y2_{-18xy + 1}

e. 8x3_{+ 60x}2_{y +150xy}2_{+ 12y}3
f. x3_{- 9x}2_{+ 27x - 27}

3. Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.

ã Chú ý:

- Các số hạng đem nhóm với nhau cần thoả mXn điều kiện cuối cùng là tạo ra
nhân tử chung với nhóm khác hoặc sử dụng đ−ợc hằng đẳng thức với nhóm
khác. Do đó sau khi nhóm mỗi nhóm phải:

Hoặc là đặt đ−ợc nhân tử chung:

VÝ dơ 1: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp nhãm
nhiỊu h¹ng tư:

A = 2x - 2y + x2 _{- xy}

H−íng dÉn

Ta cã nhiều cách nhóm khác nhau, chẳng hạn:
1) A = (2x - 2y) + (x2_{- xy)}

2) A = (2x + x2 _{) +(- xy- 2y)}
3) A = (2x - xy) + (-2y + x2₎

Hai cách đầu đều cho kết quả là A = (x-y)(2+x)

Tuy nhiên cách thứ ba sẽ đa ta vào bế tắc bởi nhóm 2 không có nhân tử
chung với nhóm 1.

Gi¶i

Ta cã: A = (2x - 2y) + (x2_{- xy)}
= 2(x - y) + x(x - y)
= (x-y)(2+x)

Hoặc là áp dụng đ−ợc hằng đẳng thức:

VÝ dô 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm
nhiều hạng tử:

B = x2 _{- 2xy + y}2_-1

H−íng dÉn

Râ ràng cách gộp hai hạng tử thành một nhóm là không hiệu quả bởi lẽ
nó không tạo ra nhân tử chung. Song ta nhận thấy ba hạng tử đầu có vẻ
quen thuộc, và cách nhóm này đX đem lại kết quả:

Giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

= (x-y)2_{- 1}2

= [(x-y)-1][(x-y)+1]
= (x-y-1)(x-y+1)

Hoặc chính là nhân tư chung cđa nhãm kh¸c:

VÝ dơ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm
nhiều hạng tử:

C = x3 _{- 2x}2_{+ x -2}

H−íng dÉn

Hiển nhiên ta có nhiều cách nhóm, trong đó có một cách nhóm là:
C = (x3_{- 2x}2_{)+ (x - 2)}

Cách nhóm này có vẻ khơng hợp lý vì nó khơng dùng đ−ợc hằng đẳng thức
mà nhóm thứ hai cũng khơng có nhân tử chung. Tuy nhiên, nếu ta đặt nhân
tử chung của nhóm một xong, ta sẽ thấy khác:

Gi¶i

Ta cã: C = x2_{(x - 2 )+ (x - 2) = (x-2)( x}2₊₁₎

ã Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp
nhóm nhiều hạng tử:

a. x2_{- y}2_{- 2yz - z}2

b. x3_{- 2x}2_{- x + 2} c. 8x

2_{+ 4xy - 2ax - ay}
d. 1 - 2a + 2bc + a2 _{- b}2 _{- c}2

4. Phơng pháp phối hợp.

ã Chú ý:

- Thứ tự các phơng pháp u tiên áp dông nh− sau:

Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung.

Phng phỏp dựng hng ng thc.

Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

A = 8x2_{- 4xy - 8x - 2y + 2}

H−íng dÉn

Đầu tiên ta dễ dàng nhận ra các hạng tử có nhân tử chung là 2, từ đó ta
có:

A = 2(4x2_{+ 2xy - 4x - y + 1)}

Sau khi đặt nhân tử chung ra, ta thấy rằng đa thức bên trong có năm số
hạng khơng có nhân tử chung mà cũng khơng có hằng đẳng thức nào có
dạng nh− vậy, do vậy ta nghĩ đến việc nhóm các hạng tử với nhau, rõ
ràng việc nhóm hai số hạng với nhau là khơng đ−ợc vì sẽ d− ra một hạng
tử, từ đó ta đem tách thành hai nhóm, một nhóm ba số hạng và một
nhóm hai số hạng, nếu không nhận ra ba số hạng (4x2_{- 4x + 1) chính là}
hằng đẳng thức (2x-1)2_{, ta có thể thử các cách nhóm để đi tới kết quả.}

Gi¶i

Ta cã: A = 2[(4x2_{- 4x + 1) +( 2xy - y)}
= 2[(2x)2_{- 2.2x + 1}2_{] +( 2xy - y)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

= 2(2x-1)(2x-1+y)

ã Bài tập áp dụng:

1. TÝnh nhanh:

a. 3,71.66 + 3,71.34 b. 252_{- 15}2
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a. 4x2_{+ 8xy-3x-6y}

b. 2x2_{+ 2y}2_{- x}2_{z + z - y}2_{z - 2}

c. xy2_{- x}3 _{- xz}2 _{- 2xy + x - 2x}2_z

d. 6x - 4x2_{+ 3y - 4xy + y}2

3. T×m x biÕt:

a. x3_{+ 9x = 6x}2 _b. _{(x - 5)}2 _{= 16}

4. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị cđa c¸c
biÕn:

A = (x+y-z-t)2 _{- (z+t-x-y)}2

5. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n biĨu thøc sau lu«n chia hÕt cho 4:
B = (2n + 3)2_{- 9}

IV.Kết quả thực hiện đề tài có so sánh đối chứng.

Sau khi cung cấp cho học sinh một số chú ý khi sử dụng các ph−ơng pháp để

phân tích đa thức thành nhân tử kết hợp với các bài tập minh hoạ và củng cố trong
các giờ luyện tập (tiết 14, 15), cuối tiết 15, tơi có ra một đề kiểm tra nh− sau cho
hc sinh hai lp 8A, 8B:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. A = 4x + 4y + x2 _{- y}2

2. B = x2_{- y}2_{+ 2y - 1}

KÕt qu¶ nh− sau:( líp 8A: 39 bµi/ 39 häc sinh, líp 8B: 38 bµi/38 häc sinh )
§iĨm

Líp 0 1-3 4-5 6-7 8-9 10

8A 0 0 11 11 9 8

8B 0 0 10 6 10 12

Kết quả trên cho thấy, việc định h−ớng đối với mỗi bài toán, dạng toán đối với
học sinh, đặc biệt là các em có lực học trung bình đX đem lại những kết quả nhất
định. Điều này đX tạo cho tơi sự lạc quan, giúp tơi có thêm niềm tin để tích cực tìm
tịi trong dạy học.

V. Bµi häc kinh nghiƯm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

sau, kết hợp với việc lựa chọn bài tập nhằm giúp học sinh có kĩ năng tốt để giải các
bài tốn thuộc dạng này.

1. Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung.

• Chó ý:

- Nhân tử chung của hệ số các hạng tử là UCLN của các hệ số đó. Nếu
một hạng tử có hệ số là _±1 thì phần hệ số của đa thức đó khơng có nhân
tử chung.

- Nếu các hạng tử đều là đơn thức thì biến chung (có mặt ở tất cả các số
hạng) với số mũ nhỏ nhất l nhõn t chung.

- Nếu các hạng tử là những biểu thức thì các biểu thức chung (có mặt ở tất
cả các số hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung.

2. Phng phỏp dựng hằng đẳng thức.

• Chó ý:

- Nếu đa thức có hai hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức:
- Nếu đa thức có ba hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức:
- Nếu đa thức có bốn hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức:

3. Ph−¬ng pháp nhóm nhiều hạng tử.

ã Chú ý:

- Các số hạng đem nhóm với nhau cần thoả mXn điều kiện cuối là tạo ra nhân
tử chung với nhóm khác hoặc sử dụng đ−ợc hằng đẳng thức với nhóm khác.
Do đó sau khi nhóm mỗi nhóm phải:

Hoặc là đặt đ−ợc nhân tử chung:

Hoặc là áp dụng đ−ợc hằng đẳng thức:

Hc chính là nhân tử chung của nhóm khác:

4. Phơng pháp phối hợp.

ã Chú ý:

- Thứ tự phối hợp các phơng pháp u tiên áp dụng nh− sau:

Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung.

Phng phỏp dựng hng ng thc.

Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.

VI. Phạm vi áp dụng.

L ng−ời thầy, việc chỉ ra con đ−ờng đúng đắn và chính xác giúp học sinh giải
quyết các bài tập là một công việc cần thiết nh−ng không phải dễ dàng, đặc biệt là
đối với mơn tốn, mơn học mà hệ thống các bài tập vô cùng phong phú, việc làm
đó càng trở nên khó khăn. Với những suy nghĩ cịn rất hạn chế trên đây, tơi mong
có thể phần nào giúp các em học sinh tháo gỡ những trở ngại khi giải quyết các bài
toán về phân tích đa thức thành nhân tử trong ch−ơng trình “ phổ thơng”, tơi cũng
hy vọng nó có thể là tài liệu tham khảo để các bạn đồng nghiệp có thể dạy tốt hơn
các bài về ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong ch−ơng trình đại số
8, với đối t−ợng chủ yếu là những học sinh mà khả năng nhận thức và t− duy ở mức
trung bình.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Tơi cho rằng, phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng bài cơ bản và rất

quan trọng trong ch−ơng trình đại số phổ thơng, vì vậy làm thế nào để học sinh có
thể làm đúng, làm thành thạo các bài tốn thuộc dạng này là trăn trở không chỉ của
riêng tơi mà cịn là câu hỏi lớn của rất nhiều thầy cô. Do vậy tôi mong muốn, các
cơ quan chun mơn có thể phát động một cuộc thi nhằm huy động trí tuệ của
đông đảo các nhà giáo tâm huyết về lĩnh vực này.

Do trình độ của bản thân cịn nhiều yếu kém, nên những ý kiến của tôi đ−a ra
trên đây khơng tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tơi rất mong nhận đ−ợc ý
kiến góp ý chân tình của Hội đồng khoa học và các bạn đồng nghiệp, giúp tơi có
thêm những kiến thức q báu, phục vụ ngày một tốt hơn sự nghiệp giáo dc o
to ca a phng.

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Tài liệu tham khảo:

1. Sách giáo khoa Đại số 8.

2. Để học tốt Đại số 8 ( Hoàng Chúng - chủ biên).
3. Phơng pháp giải toán cấp II.

Quốc Oai

, ngày 13 tháng 04 năm 2004

</div>

<!--links-->