PT Luong giac

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (180.79 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình lượng giác cơ bản:sinx = a (1)
a) Nếu |a|>1 thì phương trình (1) vơ nghiệm .

b) Nếu | | 1a 

i/ Nếu a là giá trị của một góc đặc biệt nào đó thì đặt a =sin khi đó ta có :
sin sin 2

x k

x k Z

x k

 



  

 


   

  

 Chú ý :

2
sin sin

2
u v k

u v k Z

u v k



 

 


   

  


ii/ Nếu a là giá trị khơng có góc đặc biệt thì sin arcsin 2

arcsin 2

x a k

x a

x a k



 

 



     



c) Các công thức nghiệm đặc biệt

1) sin 1 2 ; sin 1 900 3600

x  x k  x  x k

2) sin 1 2 ; sin 1 900 3600

x  x  k  x  x k
3) sinx 0 x k ; sinx 0 x k1800



     

BÀI TẬP. Giải phương trình :
1

1) sin 7) sin 2 sin 0

2) 2sin 3 0 8) sin sin 3 0

3) 2sin( ) 2 0 9) sin 3 cos 0

4) 2sin(2 ) 1 0 10) sin 2 cos 3 0

5) 3sin(3 ) 2 0 11) sin(2 ) sin( ) 0

4 3 4

6) 2sin( 3 ) 3 0 12) sin(3 ) cos(2 ) 0

3 6 3

x x x




  

  

   

    

    

      

      

2. Phương trình lượng giác cơ bản: cosx=a (2)
a) Nếu |a|>1 thì phương trình (2) vơ nghiệm .

b) Nếu | | 1a 

i/ Nếu a là giá trị của một góc đặc biệt thì đặt a=cos khi đó ta có :

cos cos 2
2

x k

x k Z

x k

 



 

 


   

 

 Chú ý:

2
cos cos

2
u v k

u v k Z

u v k




 


   

 


ii/ Nếu a khơng phải là giá trị của góc bặc biệt thì cos arccos 2

arccos 2

x a k

x a

x sa k




 



    



c) Công thức nghiệm đặc biệt:

a) cosx 1 x k2 ; cosx 1 x k3600



     

b) cosx 1 x k2 ; cosx 1 x 1800 k3600

 

       

c) cos 0 ; cos 0 900 1800

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

BÀI TẬP: Giải phương trình :

1) cos 7) cos 2 cos 0
2

2) 2 cos 3 0 8) cos cos 3 0
3) 2 cos( ) 2 0 9) cos 3 sin 0

4) 2 cos(2 ) 1 0 10) cos 2 sin 3 0
6

5) 3cos(3 ) 2 0 11) cos(2 ) cos( ) 0

4 3 4

6) 2 cos( 3 ) 3 0 12) cos(3 ) sin(2 ) 0

3 6 3

x x x




  

  

   

    

    

      

      

3. Phương trình lương giác cơ bảntanx=a (3)

a) Nếu a là giá trị của góc đặc biệt thì

Đặt a=tan khi đó ta có: tanx=tan  x  k Chú ý: tanutanvu v k  

b) Nếu a không là giá trị của góc đặc biệt thì tanx a  xarctana k 

4. Phương trình lượng giác cơ bản cotx=a (4))
a) Nếu a là giá trị của góc đặc biệt thì

Đặt atan khi đó ta có : co x cot  t  x  k Chú ý: co u co vt  t u v k  

b) Nếu a không là giá trị của góc đặc biệt thì : cotx a xarcco a kt  

BÀI TẬP: Giải các phương trình :

1) tan 3 5)cot 3 0

2) tan 2 1 0 6) cot(3 ) 1 0

3
3

3) 3 tan(3 ) 1 0 7)3cot(2 ) 3 0

4 2

4) 3 tan(2 ) 3 0 8) 4cot(2 ) 5 0

3 5

x x



 

  

    

     

     

9) tan(3 ) tan 0 13) cot(2 ) cot( ) 0

4 4 4

2 3

10) tan(2 ) tan( ) 0 14) cot( 2 ) cot( ) 0

3 3 2 4

5 5

11) tan( ) cot(2 ) 0 15) cot( 3 ) tan(2 ) 0

3 3 3 3

4 5

12) tan(3 ) cot( 2 ) 0 16) cot(2 ) tan( )

3 3 6 6

x x x x

  

   

      

       

       

       0

BÀI TẬP NÂNG CAO

1) Giải các phương trình sau:

1)2sin 2 sin 0 8)sin cos 2 1 0

4 2

2)sin(2 ) 2cos( ) 0 9) cos cos 2 1 0

3 3

x x x x

x  x  x x

    

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2 2

3)2sin( ) sin( 2 ) 0 10)sin( ) cos( 2 ) 0

3 3 6 3

3 2

4) 3 cos( ) sin(3 ) 0 11) cos( 2 ) cos( ) 0

2 2 3 3

5)sin (5 ) cos ( ) 0 12) tan 5 .tan 1

5 4

6) cot(3 ).tan( ) 1 13) tan .tan(2 ) 1 0

3 3 6

7) tan 2

x x x x

x

x x x

x

x x x

x x x x

x

   

  






  

       

       

    

     

.tan 3x1

2) Giải các phương trình sau:
a) sin(2x + )

= 1 b) 2sinxcosx –3sinx = 0 c)

cos cos sin

2 3 2 3 4

x x

sin    

d) cos(3x – 450) = - 1 e) sin4 x- cos4 x = 1

2 2 2 g) tan 2 7 1

x 

 

 

 

 

h) 2tanx2 = 5

1- tan x k) cos30

0cos3x – sin300sin3x =

4
3

l) 1- tanx = 3
1+ tanx
HD: b) Viết lại pt: sinx(2cosx – 3) = 0 sin 0

2cos 3

x

x k

x VN 




   




c) Áp dụng công thức cộng cho vế trái của pt ta có pt là:

2π
π

1
x = + 2arcsin + k4π

x 1 3 4

sin - =

4π 1

2 3 4

x = - 2arcsin + k4π

3 4




 

 

 

  



d) pt sin2 x+ cos2 x sin2 x- cos2 x cos 1 2 2

2 2 2 2 x 2 x 3 k




   

         

   

1
2

h) Áp dụng công thức cộng cho vế trái của pt ta có pt là: t 2 5 arctan 5

2 2

an x  x k

k) Áp dụng công thức cộng cho vế trái của pt ta có pt là: cos(3x + 300) =

4
3

l) Áp dụng công thức cộng cho vế trái của pt ta có pt là: t 3
4

an  x

 

3) Giải các phương trình sau:
a) sin(2x – 1) =

2
1

 với 0 < x <



b) tan(x +30) = - 3 với 900 < x < 1800

c) cos(x – 5) =

2
1

với -



< x <



d) tan(2x – 150) = 1 với –1800 < x < 900

ĐS: a) 1 ; 1 7

2 12 2 12

x   x   ; b) x = 1170; c) 5 5 ; 5

3 3

x   x   ; d) x = 600; x = 300

4) Tìm giá trị của tham số a sao cho phương trình:

3
2
cos

2
2
a
x

a






có nghiệm

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- Phương trình có nghiệm khi: 2a - 3 1 1 7
4 - a     a 3

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1) Phương trình bậc nhất

a) asin x + b = 0; b) acosx + b = 0; c) atanx + b = 0; d) acotx + b = 0 .

Cách giải:

- Chia hai vế cho a chuyển về phương trình lượng giác cơ bản

BÀI TẬP: Giải các phương trình lượng giác sau :

1) 3sinx + 2 = 0; 2) 2sinx – 3 = 0; 3) 2 cosx 1 0 4) 3cosx + 5 = 0 5)
3 tanx 3 0 6) 3cotx 3 0

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
A. Phương trình bậc hai đối với hàm số sin

a) Dạng: asin2x + bsinx + c = 0

b) Cách giải: Đặt sinx = t đk | | 1t  khi đó ta có: at2 + bt + c = 0

BÀI TẬP: Giải các phương trình sau :

1) 2sin2x + 3sinx + 1=0 2) sin2x + sinx – 2 = 0 3) 2sin2x (2 3) sinx 3 0

   

4) 6- 4cos2x - 9sinx = 0 5) 4sin2x 2( 3 1)sinx 3 0

    6) sin23x - 2sin3x – 3 = 0

7) sin2x + cos2x + sinx + 1 = 0 8) 2sin2x + cos2 + sinx – 1 = 0 9) cos2x + sinx + 1 = 0

10) cos2x + 5sinx + 2 = 0 11)cos2x + cos2x + sinx + 2 = 0 12)

sin cos 2 4 0

6 x 3 x

 

   

    

   

   

B. Phương trình bậc hai đối với hàm số cos

a) acos2x + bcosx + c = 0

b) Cách giải: Đặt cosx = t đk | | 1t  khi đó ta có : at2 + bt + c = 0

BÀI TẬP: Giải các phương trình sau :

1) 3cos2x + 2cosx – 1 = 0 2) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 3)cos2 - 4cosx + 2,5 = 0

4) cos2 + cosx – 2 = 0 5) 16 - 15sin2x - 8cosx = 0 6) 4sin22x + 8cos2x – 8 = 0

7)5 4sin2 8cos2 4

2
x
x

   8) 2cos2x + cosx – 1 = 0 9)sin2x - 2cos2x + cos2x = 0

10)sin2x+cos2x+cosx=0 11)cos( ) cos(2 2 ) 2 0

3 3

x  x   

12>(1+tan2x)(cosx+2)-sin2x=cos2x

C. Phương trình bậc hai đối hàm tan và cot

a) Dạng: atan2x + btanx + c = 0 và acot2x + bcotx + c = 0

Đặt tanx = t; (cotx = )t khi đó ta có : at2 + bt + c = 0

BÀI TẬP:

1) Giải các phương trình:

a) tan2x – tanx – 2 = 0 b) 2

cot x (1 3) cotx 3 0 c) 3 cot2 x 4cotx 3 0

d) 2

4 tan 2 0

cos x x 

2) Giải các phương trình:

a) cos2x – 5sinx – 3 = 0 b) 2tan4x – 3tan2x + 1 = 0 c) 2sin3x – cos2x – sinx = 0

d) tanx + cotx = 2 e) 2sin2x – (2 + 3)sinx + 3= 0 g) 2sin2
3
2x

+ 4sin2x3 = 3cos2
3
2x

h) 2tan2x + 3 = 
cosx

k) (3 + cotx)2 = 5(3 + cotx) l) sin4x = 1 – cos4x

Hướng dẫn:

a) Áp dụng công thức: cos2x = 1 – 2sin2x. Viết lại phương trình: -2sin2x – 5sinx – 2 = 0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

c) Viết lại phương trình: 2sin3x + 2sin2x – sinx – 1 = 0

d) Ta có tanx.cotx = 1 tan 1
t
x

co x

 

h) Aùp dụng công thức 1 tan 2 x 12

cos x. Lúc đó phương trình: 2   1 0

2 3

cos x cosx

Đặt t 1

cosx, điều kiện | | 1t  . Phương trình viết lại: 2t2 – 3t + 1 = 0

l) sin4x = 1 – cos4x  sin4x = (1 – cos2x)(1 + cos2x)  sin2x(sin2x – 1 – cos2x) = 0 sin 0

cos 2 1

x
x




  



3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

(Nhắc lại công thức cộng: cosacosb + sinasinb = cos(a - b); sinacosb + sinbcosa = sin(a + b)
a) Dạng phương trình: asinx + bcosx = c. Điều kiện phương trình có nghiệm a2 + b2 c2

b) Cách giải:

- Chia hai vế cho a2b2 . Đặt

2 2
2 2

a
cosα

a b

b
sinα

a b











 

 



- Lúc đó phương trình viết lại: 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

a b  a b  a b

Bài tập:

1) Giải các phương trình sau:

1/ 2 sinx cosx 2 2 / cosx 3 sinx2 3 / sin 7x 3 cos 7x 2
4 / 3 cosxsinx 2 5 / 5cos 2x12sin 2x13 6 / 2sinx 5cosx4
7 / 3sinx5cosx4 2

2) Giải các phương trình sau:

a) sinx + 3cosx = 2 b) cos3x – 3sin3x = 1 c) 3sinx - 4cosx = -5

d) sin2x + sin2x =

2
1

e) 2sin17x – 3cos5x + sin5x = 0

Hướng dẫn:

d) Sử dụng công thức hạ bậc: sin2 1 cos 2

2
x
x 

Ta được phương trình: sin 2 1 cos 2 1 2sin 2 cos 2 0

2 2

x

x    x x

e) Viết lại phương trình: sin5x – 3cos5x = -2sin17x

Chia hai vế cho 2 ta được phương trình: 1sin 5 3cos5 sin17

2 x 2 x x sin 5x 6 sin( 17 )x



 

    

 

3) Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) mcosx + (m – 1)sinx = m + 1 b) sin

2
x

+ (m + 2) cos

2
x

= 3 - m + cos

2
x

Hướng dẫn:

a) Điều kiện phương trình có nghiệm: m2 + (m – 1)2  (m + 1)2 0

4
m
m




  



b) - Viết lại phương trình: sin

2
x

+ (m + 1) cos

2
x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- Điều kiện phương trình có nghiệm: 1 + (m + 1)2  (3 – m)2 7

8
m

 

4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos (hay phương trình đẳng cấp đối với sin và cos)

Dạng: asin2x + bcosxsinx + ccos2x = 0.

Cách giải: - Thử cosx = 0 xem có phải là nghiệm hay khơng
- Với cosx



0 chia hai vế cho cos2x

- Phương trình viết lại: atan2x + btanx + c = 0

Chú ý: asin2x + bcosxsinx + ccos2x = d khi chia hai vế cho cos2x thì đại lượng





2 1 tan

cos
d

d x

x 

BÀI TẬP:

1) Giải các phương trình sau:

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

1 2sin (1 3)sin cos (1 3) cos 1 2 3cos 2 3 sin cos 5sin 0

3 2sin 4sin cos 4cos 1 0 4 2 3 cos 6sin cos 3 3

5 2sin sin cos cos 1 0 6 4sin 3 3 sin 2 2cos 4

x x x x x x x x

x x x x x x x

         

        

        





2 2 2 2

7 2sin 3cos 5sin cos 8 sin 8sin cos 7 cos 0
1

9 sin 2sin cos 2 cos 10 sin 3 1 sin cos 3 cos 0
2

x x x x x x x x

      

        

2 2

11 3sin x5cos x 2cos 2x 4sin 2x0

2 2

12 2sin x6sin cosx x2(1 3) cos x 5 30

2) Giải các phương trình sau:

a) sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = 0 b) cos2x – sinxcosx – 6sin2x + 2 = 0

c) 3sin2

3x

+ 4sin3x + 4cos2

2
3x

= 0 d) 4cos2x + 3 3sin2x – 2sin2x = 4

Hướng dẫn:

b) -Viết lại phương trình: cos2x – sinxcosx – 6sin2x + 2(sin2x + cos2x) = 0

- Phương trình là: 3cos2x – sinxcosx – 4sin2x = 0

d) -Viết lại phương trình: 4cos2x + 6 3sinxcosx – 2sin2x = 4(sin2x + cos2x)

- Phương trình là: 6sin2x – 6 3sinxcosx = 0

3) Giải các phương trình:

a) 2sin3x +2sin2xcosx – sinxcos2x - cos3x = 0 b) sin2x + cotgx = 3

HD:a) - Thử với cosx = 0 phương trình vơ nghiệm

- Với cosx 0. Chia hai vế cho cos3x ta được phương trình là: 2tan3x + 2tan2x – tanx – 1 = 0

b) - Viết lại phương trình: 2sinxcosx + cos
sin
x

x - 3 = 0.
- Điều kiện sinx0ta có phương trình là:

- 2sin2xcosx + cosx – 3sinx = 0

- Thử với cosx = 0 phương trình vô nghiệm

- Với cosx 0. Chia hai vế của pt cho cos3x ta được pt là: 2tan2x + (1 + tan2x) – 3tanx(1 + tan2) = 0

III. MỘT SỐ DẠNG KHÁC
1) Giải các phương trình:

a) cos7xsin6x = cos5xsin8x b) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x

c) sinx = 2sin5x – cosx d) sin7x + cos4x = 1

Hướng dẫn:

a) Áp cơng thức biến đổi tích thành tổng ta được:



sin(7 6 ) sin(7 6 )





sin(5 8 ) sin(5 8 )



2 x x x x 2 x x x x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3 2
sin sin( 3 )

3 2 2

x x k

x x x k

x x k

 

 



      

  



b) (sin3x + sinx) + sin2x = (cos3x + cosx) + cos2x
c) sinx + cosx = 2sin5x

d) sin7x = 1 - cos4x = sin2x(1 + cos2x)

2) Giải các phương trình:

a) cos4 sin23 2sin25 cos2 3

3 2 6 2

x x x x

   b) cos2x + 4sin4x = 8cos6x

c) 3 + 2sinxsin3x = 3cos2x d) (2sinx – 1)(2sin2x +1) = 3 – 4cos2x

HD:

a) Hạ bậc: cos4 sin2 3 1 cos5 cos2 3 0

3 2 3 2

x x x x

    

b) pt viết lại: cos2x + 4(sin2x)2 = 8(cos2x)3 áp dụng công thức hạ bậc

c) pt viết lại: 3 + 2sinxsin3x = 3(1 – 2sin2x)

d) Vế phải: 3 – 4cos2x = 3 – 4(1 – sin2x) = (2sinx -1)(2sinx + 1)

3) Giải các phương trình:
a) sin cos cos 2

1 sin 2
x

x x

x

 

 b)

sin 2 9 10sin 2

2 x  x

c) sin5x + sinx + 2sin2x = 1 d) sin2x + sin22x = cos23x + cos24x

e) sinxsin2x + cos2 x= sin4xsin5x + cos24x g) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x

HD:

a) Điều kiện: 1 - sin2x 0 . PT



sinxcosx

 

1 sin 2 x



cos2 x sin2x

b) Đặt t = sin2x   1 t 1. Đưa phương trình về theo ẩn t

c) pt viết lại: sin5x + sinx = 1 - 2sin2x

d) Hạ bậc, sử dụng công thức cộng.

e) Hạ bậc và áp dụng cơng thức biến tích thành tổng
g) sin2x + (sin3x + sinx) = cosx + (cos2x + 1)

4) Giải các phương trình:

a) 3(cosx + sinx) + 2sin2x + 3 = 0 b) 2(sin5x4 + cos5x4 ) + sin5x2 + 1 = 0
c) sin7x + cos7x = 1 - sin14x d) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0

e) cosx – sinx –2sin2x = 1 g) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

HD: a) Đặt t = sinx + cosx

2 1

sin cos , 2 2

2
t

x x  t

    

e) Đặt t = sinx – cosx sin cos 1 2, 2 2
2

t

x x  t

    

5) Giải các phương trình:

a) sin3x + cos3x =

2
2

b) sin3x + cos3x = 2(sinx + cosx) – 1

6) Chứng minh phương trình: (sinx + 3cosx)sin4x = 2 vô nghiệm.

HD: (sinx + 3cosx)sin4x = 2 2 1sin 3cos sin 4 2

2 x 2 x x

 

    

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số sin

sin :

sin

x y x




 



2. Hàm số cos

cos :

cos

x y x




 



3. Hàm số tan

tan :

tan
D

x y x







4. Hàm số cot

t :

t
co D

x y co x






Một số tính chất của
hàm số y = sinx

a) Tập xác định D

b) Tập giá trị:



1;1



c) Là hàm số lẻ.

d) Hàm số tuần hồn
vớichu kỳ 2

Một số tính chất của
hàm số y = cosx

a) Tập xác định D

b Tập giá trị:



1;1



c) Là hàm số chẵn.
d) Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ 2

Một số tính chất của
hàm số y = tanx

a) Tập xác định

\ ,

D  k k  

 

 

b) Tập giá trị hàm số R
c) Là hàm số lẻ

d) Hàm số tuần hoàn với
chu kỳ 

Một số tính chất của

hàm số y = cotx

a) Tập xác định





\ ,
D k k 

b) Tập giá trị hàm số R
c) Là hàm số lẻ

d) Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ 

BÀI TẬP

1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1/ cot(2 )

y x  2 / tan(3 2 )

y x  3/ cot

cos 1

x
y
x


sin 2
4 /
cos 1
x
y
x



 5 / tan3

x

y 6 / sin 21

1
y

x





7 /y 1 cos x 8 / 2 3 2

sin cos
y
x x


2

9 / cot( ) tan(2 )

3 3

y x   x 

1
10 /
2sin 3
y
x


1
11/
cot 3
y
x

 2
sin
12 /

4 5cos 2sin

x
y

x x



 

2) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1/y 2 3cosx 2 /y 3 4sin2xcos2 x

1 4 cos
3/

3
x
y 

4 /y2sin x cos 2x 5 /y 3 2 | sin |x 6 /y3 1 sin x1

3) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = sin2x – 3cos2x + 5 b) y =

2
cosx
sinx
2
sinx



Hướng dẫn:

a) - Viết lại hàm số: sin2x – 3cos2x = y – 5 (1)

- Nếu hàm số đạt GTLN, GTNN tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình (1)

- Phương trình (1) có nghiệm khi: 1 + 9 (y – 5)25 10  y 5 10

- GTLN maxy = 5 10 ; GTNN miny = 5 10

b) - Viết lại hàm số y(sinx cosx 2) sinx 2     (1 - y)sinx - ycosx = 2(y - 1)(2)
- Nếu hàm số đạt GTLN, GTNN tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình (2)

- Phương trình (1) có nghiệm khi: (1 – y)2 + y2 [2(y – 1)]2 3 3 3 3

2 y 2

 

  

- GTLN maxy = 3 3
2



; GTNN miny = 3 3
2

</div>