Bai 2 Phuong tring LG Day them

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (211.89 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 2

.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. Kiến thức cơ bản :

1. Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác.

Tổng quaùt: m [– 1 ; 1], n  R.

 sinu = m  u arcsin m k2
u arcsin m k2

   



   

  tanu = n 

u arctan n k   (chú ý đk)

 cosu = m  u arccosm k2
u arccosm k2

   



  

  cotu = n 

u arccot n k   (chú ý đk)

Nếu m, n là các số đặc biệt : m  0; 1; 12; 22; 23

 

 

   

 

 

 

, n  0; 1; 33; 3

 

 

  

 

 

 

thì :
 sinu = sinv  














2
k
v
u

 tanu = tanv  u v k   (chú ý đk)
 cosu = cosv  













2
k
v
u

 cotu = cotv u v k   (chú ý đk)
 Chú ý:  Các trường hợp đặc biệt:

sinx = – 1  x = – 2 + k2 tanx = – 1  x = – 4 + k
sinx = 0  x = k tanx = 0  x = k

sinx = 1  x = 2 + k2 tanx = 1  x = 4 + k
cosx = – 1  x = (2k + 1) cotx = – 1  x = – 4 + k

cosx = 0  x = 2 + k cotx = 0  x = 2 + k
cosx = 1  x = k2 cotx = 1  x = 4 + k
 Khi gặp dấu trừ ở trước thì:

– sinx = sin(– x) – cosx = cos( – x)
– tanx = tan(– x) – cotx = cot(– x)
 Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0).
2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác.

Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a  0):
 asin2u + bsinu + c = 0 (1)  acos2u + bcosu + c = 0 (1)

Đặt t = sinu. Điều kiện: – 1  t  1. Đặt t = cosu. Điều kiện: – 1  t  1.
(1)  at2 + bt + c = 0… (1)  at2 + bt + c = 0…

 atan2u + btanu + c = 0 (1)  acot2u + bcotu + c = 0 (1)
Điều kiện: cosu  0. Điều kiện: sinu  0.

Đặt t = tanu, (1)  at2 + bt + c = 0… Đặt t = cotu, (1) at2 + bt + c = 0…

 Chú ý: Nếu phương trình có chứa tanu, cotu, sin2u, cos2u, tan2u, cot2u,.. đặt t = tanu, khi đó:
t

1
u

cot  , sin2u = 2
t
1

t
2

 , cos2u = 2
2
t
1

t
1



 , tan2u = 
2
t
1

t
2

 , cot2u = 2t

t
1 2

 .

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển).

asinx + bcosx = c (1) với a, b, c  R, và a2 + b2  0

 Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2 + b2 c2

 Chia 2 vế phương trình cho a2 b2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2
2 b
a

 sinx + a2 b2

 cosx = a2 b2



Vì 1

b
a

b
b

a 2

2
2
2
2

2  





















 neân đặt cos = a2 b2

 , sin = a2 b2


Khi đó ta được: sin(x + ) = a2 b2

 rồi giải như phương trình cơ bản.
 Chú ý:

 Ngồi ra ta có thể dùng cơng thức tính sinx, cosx theo t = tan2x.
Sau đây là cách giải:

Đặt t = tan2x . Điều kiện x  + k2
 sinu = 1 t2

t
2

 vaø cosu = 2

2
t

t
1




(1)  a. 1 t2
t
2

 + b. 2
2
t
1

t
1



 = c

 (a + c)t2 – 2bt + c – a = 0 (2)
Giải (2) tìm nghiệm t1, t2 nếu có, rồi sau đó giải phương trình

2
x
tan = t1,

2
x

tan = t2 để tìm nghiệm x (phải thỏa điểu kiện)
 Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:

sinx  cosx = 2sin(x  4) = 2cos(x 4 )

4. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp).

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (1)

Hoặc asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d (2)
(2)  asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x + cos2x)

 (a– d)sin2x + bsinxcosx + (c– d)cos2x = 0 (2)

Phương trình (2) cũng là dạng (1), nên ta chỉ xét dạng (1). Nếu gặp dạng (2) thì ta
đưa về dạng (1) như trên.

Sau đây là cách giải dạng (1):

 Nếu a = 0 và b, c  0 thì (1)  cosx.(bsinx + ccosx) = 0  









0
x
cos
c
x
sin
b

0
x
cos

 Neáu c = 0 và b, a  0 thì (1)  sinx.(asinx + bcosx) = 0  









0
x
cos
b
x

sin
a

0
x
sin

 Neáu a, b, c  0:

 Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay khơng? (cosx = 0 thì sinx =  1). Nếu
thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x = 2 + k (k  Z).

 Với cosx  0, chia 2 vế của (1) cho cos2x, ta được phương trình:
atan2x + btanx + c = 0 (1

)

(1) là phương trình bậc 2 theo tanx, ta đã biết cách giải (Xem phần 2).
 Nghiệm của (1) là nghiệm của (1) và x = 2 + k (nếu có).

 Chú ý: Ngồi ra ta có thể dùng cơng thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương trình bậc
nhất theo sinX và cosX (Phần 3). Với:

2
x
2
cos
1
x
sin2 

 ,

2
x
2
cos
1
x
cos2 

 , sin2x

2
1
x
cos
.
x

sin 

 Phương trình đẳng cấp bậc 3: asin3x + bsin2xcosx + c.sinxcos2x + dcos3x = 0 giải tương tự
như đẳng cấp bậc 2.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

D

ạng1: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1)

Đặt t = sinx + cosx = 2sin(x + 4 ) Điều kiện: – 2 t  2

 t2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx =

2
1
t2



(1)  at + b.
2

1
t2

 = c

 bt2 + 2at – b – 2c = 0 (2)
Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t  2
Giải phương trình 2sin(x + 4 ) = t để tìm x.

D

ạng 2: a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c (1)

Đặt t = sinx – cosx = 2sin(x – 4) Điều kiện: – 2 t  2
 t2 = 1 – 2sinxcosx  sinxcosx =

2
t
1 2


(1)  at + b. 1 2t



= c  bt2 – 2at – b + 2c = 0 (2)
Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t  2
Giải phương trình 2sin(x – 4) = t để tìm x.

D

ạng 3: a|sinx  cosx| + bsinxcosx = c (1)

Đặt t = |sinx  cosx| = 2 sin(x ) 4 Điều kiện: 0  t  2
Giải tương tự như trên.

6. Phương trình lượng giác không mẫu mực.

a. Trường hợp 1 : Tổng hai số không âm:























0B

0A

0BA

0B0

A

b. Trường hợp 2 : Phương pháp đối lập:





















MB

MA

BA

BMA

c. Trường hợp 3 : Sử dụng tính chất :























NB

MA

NM

BA

NB

vaøM

A

 sinu + sinv = 2











1 v

sin

1 u

sin

 sinu – sinv = 2













1 v

sin

1 u

sin

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 sinu + sinv = – 2

















1 v

sin

1 u

sin

 sinu – sinv = – 2

















1 v

sin

1 u

sin

 Tương tự cho các trường hợp cosu  cosv =  2 và cosu  cosv  2.

d. Trường hợp 4 : Sử dụng tính chất :































NB

MA

NB

MA

N.MB.A

NBvàMA

 sinu.sinv = 1  sin u 1sin v 1  sin usin v11

 

   sinu.sinv = –1

sin u 1 sin u 1
sin v 1 sin v 1

   

   

 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

II. Bài tập tự luận :

Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác
Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) sinx = – 23 2) sinx = 41 3) sin(x – 600) = 
2
1

4) sin2x = – 1 5) cos(3x – 6) = – 22 6) cos(x – 2) = 52
7) cos 2x 3 21








 

 8) cos(2x + 500) =

2
1

9) tan2x = tan27
10) tan(3x – 300) = –

3 11) 3

6
x
4

cot 





 
 12)

3
3
3
x

cot 





 


13) tan8

4
2
x

tan   







 

 14) sin4x =

3
2

15) 20 33

3
x
cot 0










16) cos(3x – 450) =

3 17) sin3x = – 
2

3 18) sin(2x – 150) =

19) 10 21

2
x
sin 0









 20) cos(x + 3) =

3
1

21) sin2x = 23
22) cos(2x + 500) = –

3 23) 2cosx –

3 = 0 24) 3tan3x – 3 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) cos2x . cot 




 

4

x = 0 2) 1 0

2
x
cot
1
3
x

cot 
















3) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0 4) (cotx + 1) . sin3x = 0

5) sin2x . cotx = 0 6) tan(x – 300)cos(2x – 1500) = 0
7) (2cos2x – 1)(2sin2x – 3) = 0 8) (3tanx + 3)(2sinx – 1) = 0
9) tan(2x + 600)cos(x + 750) = 0 10) (2 + cosx)(3cos2x – 1) = 0
11) (sinx + 1)(2cos2x – 2) = 0 12) (sin2x – 1)(cosx + 1) = 0
Baøi 3. Giải các phương trình sau:

1) sin(2x – 150) =

2 với – 1200 < x < 900 2) cos(2x + 10 = 
2
1

với –  < x < 
3) sin 2x 3 21







 

 với 0 < x < 2 4) tan

3
3
4

2 





 

 với 0 < x < 

5) sinx = – 21 với –  < x < 0 6) cos(x – 2) =

3 với x

 [0 ; ]
7) tan(x – 100) = 1 với – 150 < x < 150 8)

sin x 4 

 = 1 với x  [ ; 2]
Bài 4. Giải các phương trình sau:

1) cos3x – sin2x = 0 2) tanx tan2x = – 1

3) sin3x + sin5x = 0 4) cot2x cot3x = 1

5) sinx – cos(x + 600) = 0 6) cos(x – 100) + sinx = 0

7) 




 








 

4
x
2
sin

3
x

sin 8) cosx

4
x
2

cos 




 


9) sin3x = cos2x 10) cosx = – sin2x

11) sin2x + cos3x = 0 12) tan(3x + 2) + cot2x = 0
13) tanx . tan3x = 1 14) cot2x.cot(x + 450) = 1

15) 














 
 x
3
sin
4
x
2

cos = 0 16) 





 







 


6
x
cos
3
x
2

cos = 0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1) sin2x = 
4
1

2) 4cos2x – 3 = 0 3) sin23x – cos2x = 0
4) sin2(x – 450) = cos2x 5) 8cos3x – 1 = 0 6) tan2(x + 1) = 3
Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác

Bài 6. Giải các phương trình sau:

1) 2cos2x – 2( 3 + 1)cosx + 3 + 2 = 0 2) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0
3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin2x – 2cos2x + 3

4 = 0
5) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 6) cot4x – 4cot2x + 3 = 0
7) cos2(x +

3


) + 4cos( x

6


 ) = 5

2 8) tan2x –

cosx + 5 = 0
9) 12

cos x – 1 + tanx – 3(tanx + 1) = 0 10) cos4x – 3

2
2
1 tan x
1 tan x



 + 2 = 0
11) 2cos2x +

2cosx – 2 = 0 12) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

13) 6sin2x – 5sinx – 4 = 0 14) 4 cos2 x 2( 2 1)cosx 2 0

2  2 

15) tan 3x (12 3)tan3x 3 0

    16) 4 cot2 x 2( 3 1)cotx 3 0

3  2 

17) 3 tan x (12 3)tan x 1 0

    18) cos2x + sinx + 1 = 0
Baøi 7. Giải các phương trình sau:

1) tan3x – 3tan2x – 2tanx + 4 = 0 2) 4sin3x + 4sin2x – 3sinx = 3
3) tan3x – 1 +

2
1

cos x + 2cot 2 x
 



 

  = 3 4) 2sin

2x = 1 + sin3x

5) 1 + sin3x = sinx + cos2x 6) tan2x + cot2x + 2(tanx + cotx) = 6

7) 2

1 1 7

cos x cosx 0

cosx 4
cos x

     8) 12 cot x2 5(tan x cot x) 2 0

cos x    

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển)
Bài 8. Giải các phương trình sau:

1) sinx – cosx = 6

2 2) 3cosx + sinx = – 2

3) sin4x + 3cos4x = 3 4) 2sinx – 9cosx = 85
5) cos(2x – 150) + sin(2x – 150) = – 1 6) 2cosx – 3sinx + 2 = 0

7) cosx + 4sinx + 1 = 0 8) 2sin2x + 3cos2x = 4

9) 2sinx – 2 cosx = 2 10) sinx – 3cos2x = 1

11) cosx – 3sinx = 2 12) 3sin3x – 4cosx = 5
13) 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0 14) 3sinx + 3cosx = 1
Bài 9. Giải các phương trình sau:

1) 2sin22x + 3sin4x = – 3 2) cosx + 3sinx = 2 cos x
3
 



 

 

3) 2sin x 4 

  + sin x 4
 



 

  = 3 22 4) 3cosx + 4sinx =

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

7) 2cos x 6 

  + 3cos x 3

 



 

 = 5 22 8) sin2x + sin
2x = 1

9) 2sin2x + 3sin2x = 3 10) 3cos2x – sin2x – sin2x = 0
11) 4sinxcosx = 13sin4x + 3cos2x 12) 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)
13 2sin17x + 3cos5x + sin5x = 0 14) cosx – 3sinx = 2cos3x
15) sin9x + 3cos7x = sin7x + 3cos9x 16) sin5x + cos5x = 2cos13x
17) 8sin2x

2 – 3sinx – 4 = 0 18)

1 sin x 1
1 cosx 2






19) 1 cos4x sin 4x
2sin2x 1 cos4x





 20) 3cosx – 4sinx =

3cosx 4sin x 6  = 3
Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:

1) y = 2sinx + 3cosx + 1 2) y = 2sin2x + 4sinxcosx + 3

3) y = sin2x + cos2x – 2 4) y =

3
x
cos
x
sin

1
x
cos
x
sin







Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp)
Bài 11. Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0 2) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2
3) sin2x + sin2x – 2cos2x = ½ 4) 2cos2x + sin2x – 4sin2x = – 4 
5) sin2x – 10sinxcosx + 21cos2x = 0 6) cos2x – 3sinxcosx + 1 = 0
7) cos2x – 3sin2x – sin2x = 1 8) 2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0
9) 3sin2x – 2 3sinxcosx + cos2x – 1 = 0 10) 4sin2x – 3 3sin2x – 2cos2x = 4
11) 3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 2 12) 3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 1
13 3cos2x – sin2x – 3sin2x = 1 14) 3sin2x + 2cos2x – 1 = 0

15) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 0 16) 3cos2x + 2sin2x – sin2x = 2 + 3
17) sin3x + cos3x = sinx + cosx 18) sin3x + 2sin2xcosx – 3cos3x = 0

19) sin3x – 5sin2xcosx – 3sinxcos2x + 3cos3x = 0 20) cos3x – 4cos2xsinx + cosxsin2x + 2sin3x = 0

*Phương trình đối xứng – Phản đối xứng*
Bài 12. Giải các phương trình sau:

1) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 2) (cosx – sinx) + 2sin2x – 1 = 0 
3) 2sinx + cosx+ 3sin2x = 2 4) sinx – cosx+ 4sin2x = 1
5) tanx + cotx = 2(sinx + cosx) 6) (1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x
7) 3(sinx + cosx) – sin2x – 3 = 0 8) 2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + 3 = 0
9) cosx + cosx1 + sinx + sin x1 = 103 10) sin2x – 2sin x 4 

  + 1 = 0
Phương trình lượng giác khơng mẫu mực

Bài 13. Giải các phương trình sau:

1) sin25x + 1 = cos23x 2) sin2x – 2sinx + 2 = sin23x
3) sinx + cosx = 2(2 – sin3x) 4) 2cos2x = 3sin25x + 2
5) (cos4x – cos2x)2 = 4 + cos23x 6) sinx + cosx = tanx + cotx

7) cos5x.sin3x = 1 8) sin2x + sin3x + sin4x = 3

Phương trình dạng khác (tổng quát)
Bài 14. Giải các phương trình sau:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 4) sin2x + sin2x = cos23x + cos24x
5) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 0 6) sin2x + sin22x = sin23x

7) cos2x – cos8x + cos6x = 1 8) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0
9) sin2x + cos2x + sin3x = cos3x 10) sin6x.sin2x = sin5x.sinx

11) cos8x.cos5x = cos7x.cos4x 12) sin7x.cosx = sin5x.cos3x
13 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cosx – 3 = 0 14) sin3x + sin5x + sin7x = 0
15) cos2x + 4sin4x = 8cos6x 16) sinx = 2sin5x – cosx

17) 3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x 18) sinx+sin2x+sin3x = cosx+cos2x+cos3x
19) sinx+sin2x+sin3x = 1+cosx+cos2x+cos3x 20) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0

21) tanx + cot2x = 2cot4x 22) 2cos2x + sin10x = 1
23) tanx + tan2x = sin3x.cosx 24) 5tanx – 2cotx = 3
25) 1 cos2x sin2x

cosx 1 cos2x





 26)

cos2x
sin x cosx

1 sin2x

 


27) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 28) 4sin3x = sinx + cosx

29) 1 1 2

cos2x sin 2x sin 4x  30) sin4x + cos4x =

3 cos6x
4

Phương trình lượng giác có tham số

Bài 15. Định m để phương trình:

1) msinx – 2m + 1 = 0 có nghiệm

2) mcosx – 2m + 1 = (2m – 1)cosx có nghiệm

3) msinx + 1 = 2(sinx + m) vô nghiệm
4) cos2x – sinx.cosx – 2sin2x = m có nghiệm
5) (m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1) có nghiệm
6) mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 2 có nghiệm

7) sinx + mcosx = 1 vô nghiệm

8) (m + 2)sinx + mcosx = 2 vô nghiệm
9) (m2 + 2)cos2x – 2msin2x + 1 = 0 có nghiệm
10) sin2x – 4(cosx – sinx) = m có nghiệm
Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học, cao đẳng

1)     



 

cos3x sin3x

5 sin x cos2x 3

1 2sin2x ÑH – A – 2002

2) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x ĐH – B – 2002
3) cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x  [0 ; 14] ĐH – D – 2002
4) cot x 1 cos2x sin x2 1sin2x

1 tan x 2

   

 ÑH – A – 2003

5) cot x tan x 4sin 2x 2
sin 2x

   ÑH – B – 2003

6) sinh22 4x tan x cos2  2 x2 0

  ÑH – D – 2003

7) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x ÑH – B – 2004

8) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx ÑH – D – 2004

9) cos23x.cos2x – cos2x = 0 ÑH – A – 2005

10) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 ÑH – B – 2005
11) sin4x + cos4

x + cos x 4  
 .sin

3
3x

4 2

 
 

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

12) 






 







4
3
x
cos
2
1
x
2
cos
3

2
x
sin

4 2 2 (với x

 (0 ; ) Dự bị 1 ĐH – A – 2005
13) 3cosx sinx 0

4
x
cos
2

2 3











 

 Dự bị 2 ĐH – A – 2005

14) 2

2
cos 2 1
tan( ) 3tan

2 cos



x  x x

x



Dự bị 2 ĐH – B – 2005
15) tan32 x1 cosxsin x 2



  Dự bị 1 ĐH – D – 2005

16) sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 Dự bị 2 ĐH – D – 2005
17)

6 6

2(cos x sin x) sin x cosx 0
2 2sin x

 



 ÑH – A – 2006

18) cot x sin x 1 tan x.tan   x24

  ÑH – B – 2006

19) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 ÑH – D – 2006
20) cos3x.cos3x – sin3x.sin3x =

8
2
3

2 Dự bị 1 ĐH – A – 2006

21) 2sin 4sinx 1 0
6

2   







 

 Dự bị 2 ĐH – A – 2006

22) (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0 Dự bị 1 ĐH – B – 2006
23) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0 Dự bị 2 ĐH – B – 2006
24) cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 Dự bị 1 ĐH – D – 2006
25) 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 Dự bị 2 ĐH – D – 2006
26) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x ĐH – A – 2007
27) 2sin22x + sin7x – 1 = sinx ĐH – B – 2007
28)

x x

sin cos 3 cosx 2

2 2

 

  

 

  ÑH – D – 2007

29) sin 2x sin x 1 1 2cot 2x
2sin x sin2x

    Dự bị 1 ĐH – A – 2007

30) 2 cos x 2 3 sin x cosx 1 3(sin x2     3 cosx) Dự bị 2 ĐH – A – 2007
31) sin 52x 4 cos x2 4 2cos32x







 











 

 Dự bị 1 ĐH – B – 2007

32) sin 2x cos2x tanx cotx

cosx  sin x   Dự bị 2 ĐH – B – 2007

33) cosx 1

12
x
sin
2

2  







 

 Dự bị 1 ĐH – D – 2007

34) (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx Dự bị 2 ĐH – D – 2007
35)

1 1 4sin 7 x

sin x sin x 3 4

  

    

   



 

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

III.Baøi tập trắc nghiệm :

1. Nghiệm của phương trình sinx = cosx laø:

Ⓐ x = 4 + k2 Ⓑ x = – 4 + k2 Ⓒ x = 4 + k2 Ⓓ x =  4 + k2.
2. Nghiệm của phương trình 1 – cos2x = 0 laø:

Ⓐ x = 2 + k2 Ⓑ x = k2 Ⓒ x = k Ⓓ x = 4 + k2.
3. Nghiệm của phương trình tan2x = 0 laø:

Ⓐ x = k2 Ⓑ x = k 2 Ⓒ x = k Ⓓ x = 4 + k.
4. Nghiệm của phương trình cos 4x = 21 là:

Ⓐ x =  k8

4
3

Ⓑ x =  k8

3
4

3 




 Ⓓ x =

8
k
3

4 





5. Nghiệm của phương trình cos 






 



4
x +

2 = 0 laø:

Ⓐ x = k2

2 Ⓑ x = (2k 1) Ⓒ Cả A và B Ⓓ Đáp án khác
6. Nghiệm của phương trình cosx + cos 3 = 0 là:

Ⓐ x = ( 3)k2 Ⓑ x = arccos 3k2



 3



k2 Ⓓ x = arccos 3k2

7. Nghiệm của phương trình cos 





 



3
x +

7
3

= 0 laø:

Ⓐ x =  







 k

7
3

arccos Ⓑ x =  








 k2

7
3
arccos








 k

7
3

arccos Ⓓ x =  









 k2

7
3
arccos
8. Nghiệm của phương trình tan4x – 1 = 0 laø:

Ⓐ x =  k2

16 Ⓑ x = 16 k4





16 Ⓓ x = 16 k4






9. Nghiệm của phương trình cot3x + 1 = 0 laø:

Ⓐ x =  k2

12 Ⓑ x =  



 k2

12 Ⓒ x = 12 k3





Ⓓ x = k3






10.Nghiệm của phương trình cot(x + 300) +

3 = 0 laø:

Ⓐ x = 900 + k1800 Ⓑ x = – 300 + k1800 Ⓒ x = –900 + k1800 Ⓓ x = –300 + k3600
11.Nghieäm của phương trình cos(x – 100) + sinx = 0 laø:

Ⓐ x = 1400 + k1800 Ⓑ x = –1400 + k3600 Ⓒ x = –1400 + k1800 Ⓓ x = 1400 + k3600
12.Nghiệm của phương trình sin6x = sin 7 là:

Ⓐ x = 42 + k3 Ⓑ x = 7 + k3 Ⓒ Cả 2 nghiệm trên Ⓓ Kết quả khác

13.Nghiệm của phương trình sinx – cos 





 



x = 0 laø:

Ⓐ x = – 24 – k 2 Ⓑ x = 24 – k 2 Ⓒ x = –24 – k2 Ⓓ x = 24 – k2
14.Nghieäm của phương trình sin(2x + 300) = sinx là:

Ⓐ x = 300 + k3600 Ⓑ x = 500 + k1200 Ⓒ Cả 2 nghiệm trên Ⓓ Kết quả khác
15.Nghiệm của phương trình cot3x = 0 là:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ⓐ x = 2 + k23 Ⓑ x = 6 + k2 Ⓒ x = 2 + k Ⓓ x = 6 + k23
17.Nghiệm của phương trình sinx + sin(x – 100) = 0 laø:

Ⓐ x = 50 + k1800 Ⓑ x = –50 + k1800 Ⓒx = 50 + k3600 Ⓓ x = –50 + k3600

18.Nghiệm của phương trình tan(x – 100) + cot2x = 0 là:

Ⓐ x = 1000 – k1800 Ⓑ x = –1000 – k1800 Ⓒ x = 800 – k1800 Ⓓ x = 800 + k1800
19.Số nghiệm của phương trình sin2x =  21 trên (–  ; 0) laø:

Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 4

20.Số nghiệm của phương trình cos(x – 2) = 23 trên [0 ; ] là:

Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 4

21.Số nghiệm của phương trình tan(x – 100) = 1 trên (–150 ; 150) là:

Ⓐ 0 Ⓑ 1 Ⓒ 2 Ⓓ 3

22.Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

Ⓐ cos(2x – 1) + 273 = 0 Ⓑ 2008cosx – 2007 = 0

23.Với giá trị nào của m thì phương trình sinx + m + 1 = 0 có nghiệm.

Ⓐ m  – 1 Ⓑ m  – 1 Ⓒ 0  m  2 Ⓓ – 2  m  0.

24.Với giá trị nào của m thì phương trình sinx – m2 + 1 = 0 vô nghiệm.

Ⓐ m  – 1 Ⓑ m<– 2 m> 2 Ⓒ – 2  m  2 Ⓓ m  – 1.
25.Giaù trị của m để phương trình (m + 1)cosx + 1 – m = 0 có nghiệm là:

Ⓐ m  0 Ⓑ m  0 Ⓒ m > 0 Ⓓ m < 0

26.Giá trị của m để phương trình (m + 1)cosx + 1 – m = 0 vô nghiệm laø:

Ⓐ m  0 Ⓑ m  0 Ⓒ m > 0 Ⓓ m < 0

27.Số nghiệm của phương trình 2sin2x – 1= 0 trên khoảng (– 2;) là:

Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 4

28.Tập nghiệm của phương trình tanx + 1= 0 treân 






  



2
3
;

2 laø:

Ⓐ



0;



Ⓑ









  



4
3
;

4 Ⓒ 






  



4
3
;
0
;

4 Ⓓ 











 ;

4
3
;
0
;

4 .

29.Nghiệm của phương trình 2sinx – 2= 0 laø:

Ⓐ x = 4+ k2 ; x =34 + k2 Ⓑ x = 4+ k ; x =34 + k

Ⓒ x = – 4+ k2 ; x = – 34 + k2 Ⓓ x = – 4+ k ; x = – 34 + k
30.Nghiệm của phương trình 2sin(2x – 100) + 1 = 0 laø:

Ⓐ x 200 k180 ;x 500 0 k1800

    Ⓑ x200k90 ; x 1000  0k900

31.Nghieäm của phương trình 2cos3x – 3= 0 là:

3
2

Ⓓ x =18 + k



32.Nghiệm của phương trình sin2x – sinx – 2= 0 laø:

Ⓐ x = – 2 + k2 Ⓑ x = arcsin2 + k2

Ⓐ x = 2+ k Ⓑ x = – 2+ k2 Ⓒ x =k Ⓓ Đáp án khác
34.Nghiệm của phương trình sin2x + cosx + 1 = 0 là:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

35.Nghieäm của phương trình cos2x + cosx = 0 là:

Ⓐ x  k ; x  6 k Ⓑ x k2 ;x k2
3

     

Ⓒ x k360 ; x0 600 k Ⓓ B và C đúng
36.Nghiệm của phương trình cos12x = 2tanx là:

Ⓐ x = 4+ k Ⓑ x = 2+ k2 Ⓒ x = 2+ k Ⓓ Đáp án khác
37.Nghiệm của phương trình 3cot2x – (1 – 3)tan2x + 1 = 0 là:

Ⓐ x  k ; x  6 k Ⓑ x k2 ; x k2
3

     

4 3

 

     

38.Giá trị m để phương trình cos22x + (m2 – m – 1)sin2x + 1 = 0 có một nghiệm x = 450 là:

Ⓐ m = 0  m = – 1 Ⓑ m = 0  m = 1

39.Nghiệm của phương trình 5sin2x + 2cos2x = 3 laø:

Ⓐ x = –21 arcsin 35 + k Ⓑ x = 21 arcsin 35 + k

40.Nghiệm của phương trình 3cos3x – sin3x = 3 là:

Ⓐ x k ; x 6  9k6 Ⓑ x k ; x k

2 9 2

  

  

3 9 2

  

  

41.Nghiệm của phương trình sin3x – 3cos3x = 0 laø:

Ⓐ x9k6 Ⓑ

k
9

x  Ⓒ

3
k

x  Ⓓ  k2

9
x
42.Giá trị của m để phương trình sin3x – 3cos3x = m vô nghiệm là:

Ⓐ m  – 2  m  2 Ⓑ – 2  m  2

Ⓐ ymin = – 10 ; ymax = 10 Ⓑ ymin = 10 ; ymax = – 10

Ⓒ ymin = –10 ; ymax = 10 Ⓓ ymin = 10 ; ymax = – 10
44.Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = sinsinxx coscosxx 31







laø:

Ⓐ ymin = –1 ; ymax = 7
1

 Ⓑ ymin = –1 ; ymax =

7
1

; ymax = 1 Ⓓ ymin = – 7

; ymax = 1
45.Nghiệm của phương trình 4sin2x + 3 3sin2x – 2cos2x = 4 laø:

Ⓐ x k ; x 6   3 k Ⓑ x k ; x k

3

    

46.Nghiệm của phương trình 2sin3x + 1 = 0 laø:

Ⓐ x 12 k2 ; x 125 k Ⓑ x k ; x 5 k

12 12

 

     

12 3 12 3

   

   

47.Nghiệm của phương trình sinx = cos 








 x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ⓐ x 4 k2 ; x 34k2 Ⓑ x k ; x 3 k

4 4

 

     

2 4

 

     
48.Nghiệm của phương trình cos(tanx) = 1 là:

x Ⓓ k

2
x
49.Trong khoảng (– ; ) phương trình 2cos2x = 3 + cos( – 2x) có tập nghiệm là:

Ⓐ S =







 



2 Ⓑ S = 




 

3 Ⓒ S =





Ⓓ S = 






  



2
;

2 .

50.Trong đoạn [0 ; ] phương trình sin2x + cos2x = 0 có tập nghiệm là:

Ⓐ S =






 

2 Ⓑ S = 




 

8 Ⓒ





Ⓓ S = 




 

2
8
7

51.Nghiệm của phương trình sin22x + 2sinix – 3 = 0 laø:

Ⓐ k2

x  Ⓑ k

x Ⓒ

2
k
2

x  Ⓓ k2

4
x
52.Nghiệm của phương trình cos2x – 3sinx – 1 = 0 laø:

Ⓐ xk2 Ⓑ k

2
k
2

x 

53.Nghiệm của phương trình cos2x – cosx + 3 = 0 laø:

Ⓐ k2

4
x
54.Số nghiệm của phương trình cos2x– cosx–2 = 0 trong khoảng (0 ; ) là:

55.Nghiệm của phương trình 4tanx =cos32x = 0 là:

Ⓐ x 6 k2 ; x   3 k Ⓑ x k ; x k

6 3

 

     

6 3

 

     
56.Nghiệm của phương trình cosx – 3sinx = 0 laø:

Ⓐ k

x Ⓑ   k

3
x
k
6
x

6 3

 

     

57.Với giá trị nào của m thì phương trình 3cosm + sinm = 2sinx có nghiệm x = 2 ?

Ⓐ m 12 k2 ; m 125k2 Ⓑ m k ;m 5 k2

12 12

 

     

12 12

 

     

58.Giá trị của m để phương trình mcosx + sinx = 1 vô nghiệm là:

59.Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = cosx + 2sinx thỏa:

Ⓐ ymin + ymax = 1 Ⓑ ymax – ymin = 0 Ⓒ ymin + ymax = 0 Ⓓ ymax – ymin= –2 5.
60.Nghiệm của phương trình sin2x + 2sinxcosx – 3cos2x = 0 laø:

Ⓐ x 4 k2 ;x arctan( 3) k     Ⓑ x k ; x arctan( 3) k
4



      



      

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ⓐ x  2 k ; x arccos 23 k Ⓑ x k ; x arccos2 k

2 3



     



     

62.Chọn câu đúng:

Ⓐ cosx = 0 là một nghiệm của phương trình sin2x – 3cos2x = 0

Ⓑ cosx = 0 không là nghiệm của phương trình sin2x – 3cos2x = 0

Ⓓ Phương trình sin2x – 3cos2x = 0 vô nghiệm.

63.Nghiệm của phương trình cos23xcos2x – cos2x = 0 là:

Ⓐ xk2 Ⓑ k

x Ⓒ

2
k
2

x  Ⓓ k2

4
x
64.Số nghiệm của phương trình sin3x 0

cosx 1  thuộc đoạn [2 ; 4] là:

65.Soá nghiệm của phương trình cosx2 40

  thuộc đoạn ( ; 8) là:

66.Một nghệm của phương trình sin2x + sin22x + sin23x = 2 laø :

67.Số nghiệm của phương trình sin 2x 41

  thuộc đoạn [0 ; ] là:

68.Số nghiệm của phương trình sin x 41

  thuộc đoạn [ ; 2] là:

69.Khi x thay đổi trong nửa khoảng  3 3; 

  thì y = cosx lấy mọi giá trị thuộc :

Ⓐ 1 ; 12 

  Ⓑ

1 1;
2 2

 



 

  Ⓒ

1 1;
2 2

 



 

  Ⓓ

1
1 ;

 



 

 

70.Khi x thay đổi trong khoảng 54; 74

  thì y = sinx lấy mọi giá trị thuộc :

Ⓐ  22 ; 1

 

 

Ⓑ 1 ; 22


 

 

 

Ⓓ 1 ; 1

71.Tập giá trị của hàm số y = 4cos2x – 3sin2x + 6 là:

72.Phương trình cosx = sinx có số nghiệm thuộc đoạn [– ; ] là:

73.Phương trình cos4x tan2x

cos2x  có số nghiệm thuộc khoảng 0 ; 2
 

 

  laø:

74.Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sinx + sin5x = cosx + 2cos2x laø:

75.Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan2x + 5tanx + 3 = 0 là:

Ⓐ  3 Ⓑ

4


 Ⓒ

6


 Ⓓ 5

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

76.Phương trình 2tanx + 2cotx – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng  2; 
  là:

77.Haøm số y = sin3x và y = sin x 4 

  có giá trị bằng nhau khi:

Ⓐ x 8 k2 ;x 183 k Ⓑ x k ;x 3 k

8 16 2

  

    

8 16 2

  

    
78.Hàm số y = cos(2x + 1) và y = cos(x – 2) có giá trị bằng nhau khi:

Ⓐ x 3 k2 ;x  1 k23 3 Ⓑ x arccos3 k2 ;x 1 k2

3 3



    

3 3



    

79.Hàm số y = tan3x và y = tan3 2x

 có giá trị bằng nhau khi:

Ⓐ x k

15


   Ⓑ x k2

15


   Ⓒ x k

15 5

 

  Ⓓ x k

15 2

 

 
80.Nghiệm của phương trình cosx = 3x 6 22

  laø:

Ⓐ x 36 k2 ;x 367k2 Ⓑ x 11 k2 ;x 7 k2

36 36

 

     

36 3 36 3

   

   

</div>

Bai 2 Phuong tring LG Day them

<i><b>Bài 2</b></i>

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

























0B

0A

0BA

0B0

A























MB

MA

BA

BMA



























NB

MA

NM

BA

NB

vaøM

A













1

v

sin

1

u

sin















1

v

sin

1

u

sin