GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

Gia sư Thăng Long


Th
ếB

ìn
h

Điện thoại (Zalo) 0989488557

N
gu

yễ
n

ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2
MƠN TỐN LỚP 7

Hà Nội, ngày 28 tháng 4 năm 2021


1

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 7-HK2-NGUYỄN TẤT THÀNH
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
A. –3,5 x 2 y 3 ; x 2 y 3 ; 2
− x3 y 2 .

B. – x 3 y; 4 x 2 y 3 ; 4 x 2 y 3 .

C. –5 x 2 y 3 ; x 2 y 3 ; 2
− x2 y3 .

D. –3 x 2 y 3 ; 4 y 2 z 3 ; − x 3 z 2 .

Tổng của các đơn thức 3x 2 y 3 ; − 5 x 2 y 3 ; x 2 y 3  là
A. −2x 2 y 3 .

Câu 3.

Câu 4.

B. − x 2 y 3 .

A. x 3 + 3 x 2 + 2 x 5 – 3 x + 6 .

B. 2 x 5 + 3 x 2 + x 3 – 3 x + 6. .

C. 2 x5 – 3 x + x3 + 3 x 2 + 6 .

D. 2 x 5 + x 3 + 3 x 2 – 3 x + 6 .


Đa thức 5 x 2 + x3 + x5 – 3x – 10 sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến là
C. 5 x 2 + x3 + x5 – 3 x – 10 .

Câu 8.

yễ
n

B. −1 .

B. 9 .

C. 3 .

D. 9 .

N
gu

C. 10 .

D. −7 .

Thu gọn đa thức P =
− 2 x 2 y − 7 xy 2 + 3 x 2 y + 7 xy
 2 được kết quả là
A. P = x 2 y .

B. P = − x 2 y .


C.=
P x 2 y + 14 xy 2 .

D. P =
− 5 x 2 y − 14 xy 2 .

Bậc của đa thức Q = 7 x3 − x 4 y + xy 3 + x 4 y − 11 là
A. 7 .

Câu 9.

D. –10 – 3 x + 5 x 2 + x3 + x5 .

Hệ số tự do của đa thức A( x) =−7 x 4 + 1 − 2 x3 + 3x 2 + 9 là
A. 1 .

Câu 7.

B. 5 x 2 + x 5 – 3 x – 10 + x3 .

Hệ số cao nhất của đa thức M = 3x3 − x5 + 9 x 2 + 10 là
A. 10 .

Câu 6.

D. 9x 2 y 3 .

Đa thức 3x 2 + x3 + 2 x5 – 3x + 6 sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến là


A. x3 + x5 – 3 x – 10 + 5 x 2 .

Câu 5.

C. x 2 y 3 .

ìn
h

Câu 2.

Nhóm gồm các đơn thức đồng dạng với nhau là

Th
ếB

Câu 1.

B. 5 .

Giá trị x = 2 là nghiệm của đa thức
A. f ( x )= 2 + x .

B. f ( x=
) x2 − 2 .

C. 4 .

D. 3 .


C. f ( x )= x − 2 .

D.

C. x = 0; x = −2 .

D. x = 0 ; x = ±2

f (=
x ) x ( x + 2) .

Câu 10. Đa thức P ( x ) = x3 – 4 x có nghiệm là
A. x = 0 .
.

B.=
x

0;
=
x 2.


2

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

Câu 11. Cho tam giác ABC cân tại A , kẻ AH vng góc với BC tại H , ( H ∈ BC ). Khẳng

định nào sau đây là sai?
A. H là trung điểm của cạnh BC .
.
B. AH là tia phân giác của BAC
C. ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – góc vuông).
2
D. AB
=
AH 2 + HC2 .

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại B , biết
A. 7cm .

B. 100cm .

AB 3
=
; BC − AB
= 2cm . Độ dài cạnh AC là
BC 4
C. 14cm .
D. 10cm .

−N
 = 20° . Số đo của góc N là
Câu 13. Cho tam giác MNP cân tại N , biết 2M
B. 40° .

C. 100° .


D. 80° .

ìn
h

A. 68° .

= 40° , tia phân giác của ACB
 cắt cạnh AB
Câu 14. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC
 là
tại D . Số đo ADC
B. 70° .

C. 105° .

Th
ếB

A. 40° .

D. 75° .

=
Câu 15. Cho tam giác XYZ vng tại Y có X
60°, YZ =
4cm , YH ⊥ ZX ( H ∈ ZX ) . Khẳng

định nào sau đây là sai ?
A. 

Z= 30° .

B. XZ = 8cm .

C. ZH = 6cm .

D. YH = 2cm .

yễ
n

Câu 16. Trong một tam giác, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là
B. giao điểm ba đường trung trực.

C. giao điểm ba đường phân giác.

D. giao điểm ba đường cao.

N
gu

A. giao điểm ba đường trung tuyến.

Câu 17. Trong một tam giác, tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác là
A. giao điểm ba đường trung tuyến.

B. giao điểm ba đường trung trực.

C. giao điểm ba đường phân giác.


D. giao điểm ba đường cao.

Câu 18. Nếu AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC thì
A. AM = AB .

B. AG =

2
AM .
3

C. AG =

3
AB .
4

D. AM = AG .

Câu 19. Cho góc vng xOy và A, B là hai điểm lần lượt thuộc hai tia Ox, Oy . Đường
trung trực của OA và đường trung trực của OB cắt nhau tại I . Gọi H , K lần lượt
là trung điểm của OA, OB . Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. IH = IK .


B. AIB
= 180° .

C. OI =


AB
.
2

D. IA = IB .

= 50° . Phát biểu
Câu 20. Cho ∆ABC có H là giao điểm của hai đường cao BB' và CC' ; A
nào sau đây là sai ?


3

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

A. AH ⊥ BC .
B. Điểm A là trực tâm của ∆HBC .
= ACH
= 40° .
C. ABH
 + HCB
=
D. HBC
130° .
II. PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1.


Thu gọn các đa thức và sắp xếp theo lũy thừa tăng của biến, Tìm hệ số cao nhất và
hệ số tự do của mỗi đa thức:
A=

(x

B=

1
3
x + x3 − 4 x 2 − x − 2 x3 − 5 + x 2
2
2

7

) (

)

+ 2 x 7 + −5 x5 + 2 x5 + 2 x3 − 3 x − 7

Cho P ( x ) =1 + x + x3 + x5 + ... + x199 + x 201 . Tính giá trị của đa thức tại x = 1 ; x = −1

Bài 3.

− x5 + 4 x − 5 x3 + 2 =
− x 5 − 5 x 3 + 4 x + 2 . Tìm đa
Cho f ( x ) = x5 − 3x 2 + 2 x − 1 và g ( x ) =


ìn
h

Bài 2.

g ( x)
a) f ( x ) + h ( x ) =
f ( x)
b) g ( x ) + h ( x ) =

Bài 4.

Cho f ( x ) = 3x 2 + 2 x − 1 . Chứng minh rằng x = −1 và x =
thức f ( x ) .

1
là hai nghiệm của đa
3

Tìm nghiệm của đa thức f(x) biết
a) f ( x) =
−3 x +

1
2

yễ
n

Bài 5.


Th
ếB

thức h ( x ) sao cho:

−1
3
x + x +1;
2
4

N
gu

c) f ( x) =

e) f (=
x) 2 x 2 + 3

b) f ( x=
) x2 + 5x

d) f ( x=
) x2 −

1
4

f) f ( x) = x 2 + 3x + 2


Bài 6.

Chứng minh rằng f ( x) = x 2 + 4 x + 5 vô nghiệm.

Bài 7.

Cho đa thức f ( x) = ax 2 + bx + c chứng minh nếu f (0); f (1); f (−1); f ( ) là các số

1
2

nguyên thì a; b; c đều là các số nguyên
Bài 8.

Cho đa thức f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c với a; b; c là các số nguyên.Chứng minh rằng.
Nếu
là một nghiệm nguyên của f(x) thì c x0

Bài 9.

Cho tam giác ABC đều, AB = 4cm . Trên cạnh AC và cạnh BC lần lượt lấy các
điểm M , N ( M và N không trùng với các đỉnh của ∆ABC ) sao cho CM = BN . Gọi
G là giao điểm của AN và BM .


4

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -


Call/Sms/Zalo : 0989488557

a) Kẻ CH vng góc với AB tại H . Tính CH ;
b) Chứng minh AN = BM . Tính góc 
AGM .

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A , M là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng: AM =

BC
;
2

= 30° thì AB = BC .
b) Chứng minh rằng: Nếu C
2

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ AH vng góc với BC tại H . Trên cạnh BC
lấy điểm sao cho CM = CA , trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AN= AH . Biết
AB = 3cm , BC = 6cm .

a) Tính độ dài cạnh AC ;
BCD đều;

Bài 12.

Th
ếB

 = MAN

 và MN ⊥ AB .
c) Chứng minh MAH

ìn
h

b) Trên tia đối của tia AB lấy diểm D sao cho AD = AB . Chứng minh tam giác

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau ở H , AH cắt BC tại M ,
Chứng minh rằng:

 = ECB

a) AM vng góc với BC ; BAM

yễ
n

 = KCB
.
b) Lấy điểm K sao cho AB là trung trực của HK .Chứng minh rằng KAB

Bài 13. Cho tam giác ABC có AB < AC . Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và

N
gu

AD = BE ( D ∈ BC ; E ∈ AC ) . Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABC cân tại C ;

b) Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB ;
c) DE song song với AB .
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại A , 
ABC > 
ACB, trung tuyến AM . Trên tia đối của
tia CB lấy
Bài 15. điểm D sao cho C là trung điểm của MD . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao
cho BE = BA. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA .
a) Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác NMC và NC vng góc với AC ;
b) Gọi I là trung điểm của DE . Chứng minh ba điểm A, M , I thẳng hàng;
c*) So sánh AD và BC .


5

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

Bài 16. Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AD, BE , CF cắt nhau tại G . Chứng minh
rằng:
a ) AD <

AB + AC
2

b) BE + CF >
c)

3

BC
2

3
( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF < AB + BC + AC
4

 HẾT 

2

C B

3

Th
ếB

1

ìn
h

BẢNG ĐÁP ÁN

4

5

6


D D C B

7

8

9 10

A B

C D

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B

B

A D

yễ
n

C D D C C C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Nhóm gồm các đơn thức đồng dạng với nhau là

N

gu

Câu 1.

A. –3,5 x 2 y 3 ; x 2 y 3 ; 2
− x3 y 2 .

B. – x 3 y; 4 x 2 y 3 ; 4 x 2 y 3 .

C. –5 x 2 y 3 ; x 2 y 3 ; 2
− x2 y3 .

D. –3 x 2 y 3 ; 4 y 2 z 3 ; − x 3 z 2 .
Lời giải

Chọn C
Các đơn thức có cùng phần biến x 2 y 3 .

Câu 2.

Tổng của các đơn thức 3x 2 y 3 ; − 5 x 2 y 3 ; x 2 y 3  là
A. −2x 2 y 3 .

B. − x 2 y 3 .

C. x 2 y 3 .
Lời giải

Chọn B


(

)

3 x 2 y 3 + −5 x 2 y 3 + x 2 
y3 = − x2 y3

D. 9x 2 y 3 .


6

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Câu 3.

Call/Sms/Zalo : 0989488557

Đa thức 3x 2 + x3 + 2 x5 – 3x + 6 sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến là
A. x 3 + 3 x 2 + 2 x 5 – 3 x + 6 .

B. 2 x 5 + 3 x 2 + x 3 – 3 x + 6. .

C. 2 x5 – 3 x + x3 + 3 x 2 + 6 .

D. 2 x 5 + x 3 + 3 x 2 – 3 x + 6 .
Lời giải

Chọn D


Câu 4.

Đa thức 5 x 2 + x3 + x5 – 3x – 10 sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến là
A. x3 + x5 – 3 x – 10 + 5 x 2 .

B. 5 x 2 + x 5 – 3 x – 10 + x3 .

C. 5 x 2 + x3 + x5 – 3 x – 10 .

D. –10 – 3 x + 5 x 2 + x3 + x5 .
Lời giải

Hệ số cao nhất của đa thức M = 3x3 − x5 + 9 x 2 + 10 là
B. −1 .

A. 10 .

C. 3 .

Th
ếB

Câu 5.

ìn
h

Chọn D

D. 9 .


Lời giải

Chọn C

Câu 6.

Hệ số tự do của đa thức A( x) =−7 x 4 + 1 − 2 x3 + 3x 2 + 9 là
B. 9 .

yễ
n

A. 1 .

Câu 7.

N
gu

Chọn B

C. 10 .

D. −7 .

Lời giải

Thu gọn đa thức P =
− 2 x 2 y − 7 xy 2 + 3 x 2 y + 7 xy 2  được kết quả là

A. P = x 2 y .

B. P =

C.=
P

D. P =
− 5 x 2 y − 14 xy 2 .

x 2 y + 14 xy 2 .

− x2 y .

Lời giải
Chọn A

Câu 8.

Bậc của đa thức Q = 7 x3 − x 4 y + xy 3 + x 4 y − 11 là
A. 7 .

B. 5 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn B

Câu 9.


Giá trị x = 2 là nghiệm của đa thức

D. 3 .


7

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình A. f ( x )= 2 + x .

Call/Sms/Zalo : 0989488557
B. f ( x=
) x2 − 2 .

C. f ( x )= x − 2 .

D.

f (=
x ) x ( x + 2) .
Lời giải
Chọn C

Câu 10. Đa thức P ( x ) = x3 – 4 x có nghiệm là
A. x = 0 .

B.=
x

0;

=
x 2.

C. x = 0; x = −2 .

D. x = 0 ; x = ±2

Lời giải
Chọn D

(

)

ìn
h

P ( x)


 x=0
x
=
0

= x 3 – 4 x =0 ⇔ x x 2 − 4 =0 ⇔  2
⇔  x =2
x −4=
0


 x = −2

định nào sau đây là sai?

Th
ếB

Câu 11. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H, ( H ∈ BC ). Khẳng
A. H là trung điểm của cạnh BC.

.
B. AH là tia phân giác của BAC

C. ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – góc vng).

N
gu

Chọn C

yễ
n

2
D. AB
=
AH 2 + HC2 .

Lời giải


∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vng).

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại B, biết
A. 7cm .

B. 100cm .

AB 3
=
; BC − AB
= 2cm . Độ dài cạnh AC là
BC 4
C. 14cm .
D. 10cm .

Lời giải
Chọn D
=
AB

6cm
=
; BC

8cm.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC ta có
AC2 = AB2 + BC2 = 62 + 82 = 100 ⇒ AC = 10cm.

−N

 = 20° . Số đo của góc N là
Câu 13. Cho tam giác MNP cân tại N, biết 2M
A. 68° .

B. 40° .

C. 100° .

D. 80° .


8

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557
Lời giải

Chọn D
Vì ∆MNP cân tại N nên 
M
= 
P
= 2. 
M
−N
 = 20° (gt).
Suy ra 
N + 2. 
M =

180° (định lý tổng ba góc trong một tam giác) mà 2M
⇒
N=

(180° − 20° ) : 2=

80°.

= 40° , tia phân giác của ACB
 cắt cạnh AB
Câu 14. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC
 là
tại D. Số đo ADC
A. 40° .

B. 70° .

C. 105° .

D. 75° .

Lời giải

ìn
h

Chọn C

Th
ếB


A
40°

yễ
n

?

C

B

N
gu

Vì ∆ABC cân tại A (gt) ⇒ 
ABC= 
ACB=
cân).

D

(180° − 40° ) : 2=

70° (tính chất tam giác

Vì CD là phân giác của 
ACB nên 
ACD = 70° : 2 = 35° .

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác ACD ta có 
ADC= 180° − 35° − 40=
° 105°.
=
Câu 15. Cho tam giác XYZ vng tại Y có X
60°, YZ =
4cm , YH ⊥ ZX ( H ∈ ZX ) . Khẳng

định nào sau đây là sai ?
A. 
Z= 30° .

B. XZ = 8cm .

C. ZH = 6cm .

Lời giải
Chọn C

D. YH = 2cm .


9

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557
X
H


60°

Y

Z

4cm

Tam giác XYZ vng ở Y có 
X +
Z= 90° ⇒ 
Z= 90° − 60°= 30°.
Trong ∆YHZ vng tại H có 
Z= 30° nên cạnh YH đối diện với 
Z= 30° sẽ bằng nửa
cạnh huyền YZ, hay YH = 2cm.
Áp dụng định lý Pytago trong ∆YHZ vng tại H có
12 ( cm ) .

ìn
h

YZ2 = YH 2 + HZ2 ⇒ HZ2 = 42 − 22 = 16 − 4 = 12 ⇒ HZ =
Vậy chọn đáp án C.

Th
ếB

Câu 16. Trong một tam giác, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là
A. giao điểm ba đường trung tuyến.


B. giao điểm ba đường trung trực.

C. giao điểm ba đường phân giác.

D. giao điểm ba đường cao.

Lời giải

yễ
n

Chọn C

Câu 17. Trong một tam giác, tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác là
B. giao điểm ba đường trung trực.

C. giao điểm ba đường phân giác.

D. giao điểm ba đường cao.

N
gu

A. giao điểm ba đường trung tuyến.

Lời giải

Chọn B


Câu 18. Nếu AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC thì
A. AM = AB .

B. AG =

2
AM .
3

C. AG =

3
AB .
4

D. AM = AG .

Lời giải
Chọn B

Câu 19. Cho góc vng xOy và A, B là hai điểm lần lượt thuộc hai tia Ox, Oy. Đường
trung trực của OA và đường trung trực của OB cắt nhau tại I. Gọi H, K lần lượt là
trung điểm của OA, OB. Khẳng định nào sau đây là sai ?


10

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557


B. AIB
= 180° .

A. IH = IK .

C. OI =

AB
.
2

D. IA = IB .

Lời giải
Chọn A
x
A

H

I

O

K

B

y


ìn
h

= 50° . Phát biểu
Câu 20. Cho ∆ABC có H là giao điểm của hai đường cao BB' và CC' ; A
nào sau đây là sai ?

Th
ếB

A. AH ⊥ BC .

B. Điểm A là trực tâm của ∆HBC .
= ACH
= 40° .
C. ABH

N
gu

Chọn D

yễ
n

 + HCB
=
D. HBC
130° .


Lời giải

A
50°

B'
C'
H
B

C

= 50° nên ABC
 + ACB

Trong ∆ABC có A
= 180° − 50=
° 130° (định lý tổng ba góc).

 + HCB
 < 130° .
Suy ra HBC
Vậy chọn đáp án D.


11

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -


Call/Sms/Zalo : 0989488557

II. PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1.

Thu gọn các đa thức và sắp xếp theo lũy thừa tăng của biến, Tìm hệ số cao nhất và
hệ số tự do của mỗi đa thức:
A=

(x

B=

1
3
x + x3 − 4 x 2 − x − 2 x3 − 5 + x 2
2
2

7

) (

)

+ 2 x 7 + −5 x5 + 2 x5 + 2 x3 − 3 x − 7

Lời giải
A=


(x

7

) (

)

+ 2 x 7 + −5 x5 + 2 x5 + 2 x3 − 3 x − 7

B=

1
3
x + x3 − 4 x 2 − x − 2 x3 − 5 + x 2
2
2

B=

(x

3

3 
1
− 2 x 3 + −4 x 2 + x 2 +  x − x  − 5
2 
2


) (

)

B =− x 3 − 3 x 2 − x − 5

Th
ếB

Hệ số cao nhất của A là 3, hệ số tự do là -7.

ìn
h

A = 3x7 − 3x5 + 2 x3 − 3x − 7

Hệ số cao nhất của B là -1, hệ số tự do là -5.

Bài 2.

Cho P ( x ) =1 + x + x3 + x5 + ... + x199 + x 201 . Tính giá trị của đa thức tại x = 1 ; x = −1
Lời giải

yễ
n

P ( x ) =1 + x + x3 + x5 + ... + x199 + x 201
P (1) = 1
+ 1

+
1 + ... +
1 = 101
101 soá 1

N
gu

P ( −1) =1
− 1
−
1 − ... 
− 1 =−100
101 soá 1

Bài 3.

− x5 + 4 x − 5 x3 + 2 =
− x 5 − 5 x 3 + 4 x + 2 . Tìm đa
Cho f ( x ) = x5 − 3x 2 + 2 x − 1 và g ( x ) =

thức h ( x ) sao cho:

g ( x)
a) f ( x ) + h ( x ) =
f ( x)
b) g ( x ) − h ( x ) =
Lời giải

a) Cho f ( x ) = x5 − 3x 2 + 2 x − 1

g ( x) =
− x5 + 4 x − 5 x3 + 2 =
− x5 − 5 x3 + 4 x + 2

f ( x) + h ( x) =
g ( x)
⇒ h ( x) = g ( x) − f ( x)


12

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

−

Call/Sms/Zalo : 0989488557

g ( x) =
− x5 − 5 x 2 + 4 x + 2
f ( x ) = x5 − 3x 2 + 2 x − 1

h ( x) =
g ( x) − f ( x) =
−2 x5 − 2 x3 + 2 x + 3

f ( x)
b) g ( x ) + h ( x ) =
⇒ h ( x) = f ( x) − g ( x)
h ( x ) = 2 x5 + 2 x3 − 2 x − 3


Bài 4.

Cho f ( x ) = 3x 2 + 2 x − 1 . Chứng minh rằng x = −1 và x =

1
là hai nghiệm của đa
3

thức f ( x ) .
Lời giải

Cho f ( x ) = 3x 2 + 2 x − 1
Ta có: f ( −1) = 3 ( −1) + 2 ( −1) − 1

ìn
h

2

= 3 − 2 −1 = 0
2

Tìm nghiệm của đa thức f(x) biết
1
2

b) f ( x=
) x2 + 5x

N

gu

a) f ( x) =
−3 x +

yễ
n

Bài 5.

Th
ếB

1
1
1
f   = 3  + 2   −1
3
3
3
1 2
= + −1 = 0
3 3
1
Nên x = −1 và x = là hai nghiệm của đa thức f ( x ) .
3

−1
3
x + x +1;

2
4
2
e) f (=
x) 2 x + 3

c) f ( x) =

1

a) Cho −3x + = 0 ⇒ x =
2

1
4
2
f) f ( x) = x + 3x + 2

d) f ( x=
) x2 −

Lời giải

1
1
.Vậy x = là nghiệm của f(x)
6
6

b) Cho x + 5 x =0 ⇒ x( x + 5) =0

2

Bài 6.

x = 0 hoặc x = −5 .Vậy x ∈ {0;5} là nghiệm của f(x)
−1
3
−1 3
1
x + x + 1 =0 ⇒
+ ) x =−1 ⇒ x =−1 ⇒ x =−4
2
4
2 4
4
Vậy x = −4 là nghiệm của f(x)
1
1
1
d) Cho x 2 − =0 ⇒ x 2 = ⇒ x =±
4
4
2

c) Cho


13

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -


Call/Sms/Zalo : 0989488557

1 −1 
 là nghiệm của f(x)
2 2 

Vậy x ∈  ;

e) Ta có 2 x 2 ≥ 0 ⇒ 2 x 2 + 3 ≥ 3 > 0 với ∀x ∈ R .Vậy f(x) vơ nghiệm
f) Ta có
x 2 + 3 x + 2 =0 ⇒ x 2 + 2 x + x + 2 =0 ⇒ x( x + 2) + ( x + 2) =0 ⇒ ( x + 1).( x + 2) =0

x+2=
0 hoặc x + 1 =0
x = −2 hoặc x = −1

Vậy x ∈ {−2; −1} là nghiệm của f(x)

Bài 6.

Chứng minh rằng f ( x) = x 2 + 4 x + 5 vô nghiệm.
Lời giải

Ta có x 2 + 4 x + 5 = x 2 + 2 x + 2 x + 4 + 1 = x( x + 2) + 2( x + 2) + 1 = ( x + 2).( x + 2) + 1
= ( x + 2) 2 + 1 ≥ 1 > 0 Với ∀x ∈ R .Vậy f(x) vô nghiệm

Bài 7.

Cho đa thức f ( x) = ax 2 + bx + c chứng minh nếu f (0); f (1); f (−1); f ( ) là các số


ìn
h

Bài 7.

Th
ếB

nguyên thì a; b; c đều là các số nguyên

1
2

Lời giải

Ta có f (0)= a.02 + b.0 + c= c vì f (0) nguyên nên c nguyên
f (1) = a.12 + b.1 + c = a + b + c ; f (−1) = a.(−1) 2 + b.(−1) + c = a − b + c

Vì f (1); f (−1) nguyên ⇒ f (1) −=
f (−1) 2b nguyên ⇒ b nguyên

Bài 9.

Vì f (1); f (−1) nguyên ⇒ f (1) + f (−1) = 2a + 2c nguyên ⇒ a nguyên Vì c nguyên

yễ
n

Bài 8.


Nếu

N
gu

Bài 10. Vậy a; b; c đều là các số nguyên
Bài 8. Cho đa thức f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c với a; b; c là các số nguyên.Chứng minh rằng.
x0 ≠ 0 là một nghiệm nguyên của f(x) thì c x0

Lời giải
Ta có x0 ≠ 0 là một nghiệm nguyên của f(x)
⇒ f ( x0 ) = 0 ⇒ x03 + ax0 2 + bx0 + c = 0 ⇒ c = − x03 − ax0 2 − bx0 = x0 (− x0 2 − ax0 − b) x0

Vậy x0 ≠ 0 là một nghiệm nguyên của f(x) thì c x0
Bài 9.

Cho tam giác ABC đều, AB = 4cm . Trên cạnh AC và cạnh BC lần lượt lấy các
điểm M , N (M và N không trùng với các đỉnh của ∆ABC ) sao cho CM = BN . Gọi
G là giao điểm của AN và BM .

a) Kẻ CH vng góc với AB tại H . Tính CH ;
b) Chứng minh AN = BM . Tính góc AGM .
Lời giải


14

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -


Call/Sms/Zalo : 0989488557

A

H
M
G
B

C

N

Áp dụng định lý pytago cho tam giác vng AHC ta có:

BN = CM (gt)
⇒ ∆ABN = ∆BCM ( c.g .c )

Th
ếB

ìn
h

HC 2 = AC 2 − AH 2 = 42 − 22 = 12 ⇒ HC = 12 cm
b) Xét ∆ABN và ∆BCM có
AB = BC (tam giác ABC đều)
 =C
 (tam giác ABC đều)
B


⇒ AN =
BM (Hai cạnh tương ứng)
=
 (2 góc tương ứng)
Và ∆ABN =
∆BCM ⇒ BAN
MBC


 + BAN
 = GBA
 + MBC
 =
AGM = GBA
ABC = 60°
Cho tam giác ABC vuông tại A , M là trung điểm của BC

N
gu

Bài 10.

yễ
n

Theo tính chất góc ngồi của tam giác ta có:

a) Chứng minh rằng: AM =


BC
;
2

b) Chứng minh rằng: Nếu góc C bằng 300 thì AB =

BC
.
2

Lời giải

A

C
B

M

D

Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho MA = MD suy ra AM =

AD
(1)
2


15


GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

Xét ∆ABM và ∆CMD có
AM = MD (theo cách vẽ)
 (2 góc đối đỉnh)

AMB = CMD
BM = CM (gt)

⇒ ∆AMB = ∆DMC ( c.g .c )

⇒ AB =
CD (Hai cạnh tương ứng)
⇒
+
∆AMB =
∆DMC ⇒ 
ABC =
DCM
ABC + 
ACB =
DCM
ACB ⇒ 
ACD =
90°

Xét ∆ABC và ∆DCA có
AB = CD (cmt)

= 
BAC
ACD=( 90°)

Cạnh AC chung
Từ (1) và (2) ta có : AM =

BC
BC
; BM
=
⇒ AM
= BM ⇒ ∆ABM cân
2
2

Th
ếB

Vì AM
=

BC
2

ìn
h

⇒ ∆ABC = ∆CDA ( c.g .c ) ⇒ BC =
AD ( 2 ) (Hai cạnh tương ứng)


BC
= 30° ⇒ 
Nếu C
(t/c tam giác đều)
ABC= 60° ⇒ ∆ABM đều ⇒ AB = AM =
2

BC
2
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ AH vng góc với BC tại H . Trên cạnh BC

suy ra : AB =

yễ
n

lấy điểm M sao cho CM = CA , trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AN= AH . Biết
AB = 3cm , BC = 6cm .

N
gu

a) Tính độ dài cạnh AC ;
b) Trên tia đối của tia AB lấy diểm D sao cho AD = AB . Chứng minh tam giác
BCD đều;
 = MAN
 và MN ⊥ AB .
c) Chứng minh MAH



16

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557
Lời giải

a)Tính độ dài cạnh AC
Xét tam giác vuông ABC theo Py-ta-go ta có AC2 = BC2 - AB2 = 62 - 32 = 27
Vậy AC = 27cm
b) Trên tia đối của tia AB lấy diểm D sao cho AB = AD . Chứng minh tam giác
BCD đều;


Xét tam giác ∆CAB và ∆CAD có CAB
= CAD
= 90o , AD=AB , CA là cạnh chung
⇒ ∆CAB=∆CAD (c-g-c) . Suy ra CB = CD mặt khác BD = 2AB =2.3= 6 = CB
Vậy CB = CD = BD vậy tam giác BCD là tam giác đều
 = MAN
 và MN ⊥ AB .
c) Chứng minh MAH


180o − ACM


Theo giả thiết CA = CM nên ∆CAM cân tại C , suy ra CAM = CMA =
2

180o − 30o
 =180o − AHM
 − AMH

= 75o . Xét tam giác vng AHM ta có MAH
2
 = 180o − 90o − 75o = 15o
MAH

ìn
h

=

Th
ếB

 =180o − AHB
 − HBA
 = 180o − 90o − 60o = 30o
Xét tam giác AHB ta có HAB



 − MAH
 = 30o − 15o = 15o . Vậy MAH
Mặt khác MAN
= MAN
= 15o
= MAB

 = MAN
 và cạnh AM chung. Suy
Ta có ∆MAN=∆MAH (c-g-c) do AN = AH , MAH
ra

yễ
n

Chứng minh rằng:

 = ECB

a) AM vng góc với BC ; BAM

N
gu

Bài 12.

 = AHM
 = 90o . Vậy MN ⊥ AB
ANM
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau ở H , AH cắt BC tại M ,

 = KCB
.
b) Lấy điểm K sao cho AB là trung trực của HK .Chứng minh rằng KAB

Lời giải



17

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

 = ECB

a) Chứng minh AM vng góc với BC ; BAM
Theo gải thiết ta có CH ⊥ AB; BH ⊥ AC nên H là trực tâm tam giác ABC . Suy ra
AH vng góc với BC hay AM ⊥ BC
Xét tam giác BAM ta có

 = 90o − MBA
 (1)
 =180o − AMB
 − MBA
 180o − 90o − MBA
BAM

Xét tam giác BCE ta có
 = 90o − MBA
 (2)
 = 180o − CEB
 − MBE
 = 180o − 90o − MBA
ECB
 = ECB


Từ (1), (2) ta suy ra BAM
 = KCB
.
b) Lấy điểm K sao cho AB là trung trực của HK .Chứng minh rằng KAB
Xét hai tam giác vuông AKE và AHE có EK=EH , AE là cạnh chung. Vậy

 = HAE
 mà
∆AKE=∆AHE (Hai cạnh góc vng bằng nhau). Suy ra KAE
 = KCB
 theo ý a
HAE

ìn
h

 = KCB

Vậy KAB
Bài 13. Cho tam giác ABC có AB < AC . Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và

Th
ếB

AD = BE ( D ∈ BC ; E ∈ AC ) . Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABC cân tại C ;
b) Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB ;
c) DE song song với AB .
Lời giải


N
gu

yễ
n

C

E

D
H

A

a) Xét ∆ADE và ∆BED có
AD = BE (GT )



AED
= BDE
= 90
AB chung
⇒ ∆ADE = ∆BED(ch − cgv)
=

⇒ EAB
ABD (hai góc tương ứng)


⇒Tam giác ABC cân tại C ;

B


18

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

b) Tam giác ABC cân tại C (cma)
⇒ CA =
CB
⇒ C thuộc đường trung trực của AB
=
 (hai góc tương ứng)
∆ADE =
∆BED(cma ) ⇒ EBA
DAB

⇒Tam giác HAB cân tại H ;
⇒ HA =
HB (ĐN tam giác cân)
⇒ H thuộc đường trung trực của AB
⇒ Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB ;
c) Tam giác ABC cân tại C (cma)

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

⇒ ED / / BA

Th
ếB

⇒ CA − AE = CB − BD
⇒ CE =
CD
⇒ Tam giác CED cân tại C
180 − 
ACB
=
⇒ CED
2
=

⇒ CAB
CED

ìn
h

180 − 
ACB
=
⇒ CAB
2
∆ADE =
∆BED(cma ) ⇒ AE =
BD (hai cạnh tương ứng)


yễ
n

Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại A , 
ABC > 
ACB, trung tuyến AM . Trên tia đối của
tia CB lấy điểm D sao cho C là trung điểm của MD . Trên tia đối của tia BA lấy
điểm E sao cho BE = BA. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA .

N
gu

a) Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác NMC và NC vng góc với AC ;
b) Gọi I là trung điểm của DE . Chứng minh ba điểm A, M , I thẳng hàng;
c*) So sánh AD và BC .
Lời giải


GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

D

C
N
I

M


B

a) Xét ∆AMB và ∆NMC có
MC = MB (GT )

Th
ếB


 ( hai góc đối đỉnh)
AMB = NMC
MA = MN (GT )
⇒ ∆AMB = ∆NMC (c.g .c)
=
 (hai góc tương ứng)
⇒ MAB
MNC

E

ìn
h

A

Mà hai góc ở vị trí so le trong

yễ
n


⇒ CN / / AB
BA ⊥ CA ⇒ CN ⊥ CA
b) B là trung điểm của AE .
⇒ DB là đường trung tuyến của ∆DAE .

N
gu

19

2
DC =CM ; CM =MB ⇒ DM = DB
3
⇒ M là trọng tâm của ∆DAE
I là trung điểm của DE
⇒ AI là đường trung tuyến của ∆DAE .

⇒ M ∈ AI

⇒ ba điểm A, M , I thẳng hang.
∆NMC (cmt)
c) Vì ∆AMB =
⇒ AB =
NC ( 2 cạnh tương ứng )
Xét ∆ACN và ∆CAB có
=
Cạnh CA chung ; CAB
ACN = 900 , CN = AB (cmt)
⇒ ∆ACN = ∆CAB (c − g − c)


⇒ AN =
BC ( 2 cạnh tương ứng )
1
1
⇒ AN =
BC
2
2


20

GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

⇒ AM = MC = MB
⇒ ∆AMC và ∆AMB cân tại M. Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có
 =2 

AMB = 
ACB + CAM
ACB

 =2 
AMC = 
ABC + BAM
ABC
Mà 

ACB < 
ABC
⇒
AMB < 
AMC
Mà 
AMC là hai góc kề bù
AMB và 
⇒
AMC là góc tù
Xét ∆AMB có 
AMD là góc tù

⇒
AMD > DAM

ìn
h

⇒ AD > MD ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)
Lại có MB
= MC
= CD ⇒ MB + MC = MC + CD
Hay BC = MD
Do đó BC = MD (dpcm).
Bài 15. Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AD, BE , CF cắt nhau tại G . Chứng minh

Th
ếB


rằng:

AB + AC
2
3
b) BE + CF > BC
2
3
c) ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF < AB + BC + AC
4
Lời giải

yễ
n

a ) AD <

A

N
gu

a) Trên tia đối của tia DA lấy điểm H sao cho DA = DH
Xét ∆ADB và ∆HDC có
F
BD = CD (D là trung điểm của BC)

 (đối đỉnh)
ADB = HDC
AD = HD (cách dựng)

⇒ ∆ADB = ∆HCD(c.g .c)

B
⇒ AB =
HC (2 cạnh tương ứng)
* Xét ∆ACH ta có
AC + HC > AH (bất đẳng thức trong tam giác)
AB + AC
⇒ AC + AB > 2 AD hay AD <
2
b) Ta có AD, BE , CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC
2
2
2
⇒ BG =
BE , CG = CF , AG = AD
3
3
3
Xét ∆BGC ta có
BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác)

E
G

C

D

H



GV Tốn : Nguyễn Thế Bình -

Call/Sms/Zalo : 0989488557

2
( BE + CF ) > BC
3
3
⇒ BE + CF > BC
2
c) * Xét ∆AGB ta có
AG + BG > AB (1) (bất đẳng thức trong tam giác)
Xét ∆AGC ta có
AG + CG > AC (2) (bất đẳng thức trong tam giác)
Xét ∆BGC ta có
BG + CG > BC (3)(bất đẳng thức trong tam giác)
⇒

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

yễ
n

Th
ếB

ìn
h


AG + BG + AG + CG + BG + CG > AB + AC + BC
2
2
2
2
2
2
⇒ AD + BE + AD + CF + BE + CF > AB + AC + BC
3
3
3
3
3
3
4
4
4
⇒ AD + BE + CF > AB + AC + BC
3
3
3
3
⇒ ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF
4
AB + AC
* Theo câu a) ta có AD <
2
AB + BC
BC + AC

Chứng minh tương tự ta có BE <
, CF <
2
2
AB + AC AB + BC BC + AC
⇒ AD + BE + CF >
+
+
2
2
2
⇒ AD + BE + CF < AB + BC + AC
3
Vậy 4 ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF < AB + BC + AC

N
gu

21