Dung Tinh don dieu GPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (98.71 KB, 2 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Dạng 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Biến đổi phương trình về dạng f x

 

m (hoặc f x

 

g x

 

)
2. Xét tính đơn điệu của hàm số f (hoặc f và g)

3. Chỉ ra một nghiệm của phương trình là x x 0 (thường là nhẩm nghiệm).
4. Dựa vào tính duy nhất, kết luận x x 0là nghiệm duy nhất của phương trình

 Ghi nhớ:

a). Phương trình có dạng f x

 

m



xD



Nếu f x

 

là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên Dvà phương trình f x

 

m có nghiệm x x 0 thì
0

x x là nghiệm duy nhất của phương trình f x

 

m trên D.
b). Phương trình có dạng f x

 

g x

 



xD



Nếu f x

 

là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D, g x

 

là hàm số nghịch biến (hoặc đồng biến)
trên D và phương trình f x

 

g x

 

có nghiệm x x 0 thì x x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

 

f x g x trên D.
VD1. Giải phương trình 
a). x2 15 3x 2 x2 8

     b). x5x3 4 1 3 x
HDG a).

+ Viết lại: x2 15 3x 2 x2 8 f x

 

3x 2 x2 8 x2 15 0

             (1)

+ Nếu 2
3

x thì: 3 2 2 0 2

8 15 0

x

x x

 





   




 f x

 

0. Do đó phương trình vơ nghiệm.
+ Nếu 2

x thì:

 

3 21 21 0

8 15

f x x

x x

 

     

 

  và

 

f x liên tục trên 2;
3

 




 

 f x

 

đồng biến trên 2;
3

 




 

+ Ta lại có f

 

1 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x1

HDG b).

+ Viết lại: x5 x3 4 1 3x f x

 

x5 x3 4 1 3x 0

          

+ ĐK: 1
3

x . Ta có:

 

5 4 3 2 3 0
2 1 3

f x x x

x

    

 ,

x

  và f x

 

liên tục trên ;2
3

 

 

 

 

 f x

 

đồng biến trên ;2
3

 

 

 

 

+ Ta lại có: f



1



0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x1

VD2. Giải hệ phương trình

a).

cot cot
5 7 2
0 ,

x y x y

x y

x y




  




 



  



b).

3 2
3 2
3 2
2 1

2 1
2 1

x y y y

y z z z

z x x x

    



   




   



HDG a).
+ Viết lại:

cot cot cot cot ( ) ( )

5 7 2 5 7 2 5 7 2

0 , 0 , 0 ,

x y x y x x y y f x f y

x y x y x y

x y x y x y

  

      

  

  

       

  

        

  

(1)

+ Xét f u( ) cot u u



0u



. Ta có:

 

2
1

1 0
sin

f u

u

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 f u

 

nghịch biến trên



0;



. Do đó: f x

 

f y

 

 xy
+ Vậy (1) suy ra

x y 

HDG b).

+ Viết lại:

3 2
3 2
3 2

2 1 2 1 ( )

2 1 ( )
2 1

x y y y x f y

y z z z y f z

z f x

z x x x

       

 

      

 

   

    



(I)
+ Xét f t( ) t3 t2 t

  



t 



. Ta có: f t

 

3t2 2t 1 0, t

      ¡  f t

 

đồng biến trên ¡ .
+ CHỨNG MINH: Nếu hệ (I) có nghiệm



x y z0; ;0 0



thì x0 y0 z0

Giả sử x0  y0 (1). Ta có: f x

 

0  f y

 

0 , vì f là hàm số đồng biến trên ¡ .
Khi đó: 2z0 1 2x0 1 z0 x0 (2)

Suy ra f z

 

0  f x

 

0  2y0 1 2z0 1 y0 z0 (3)
Từ (1), (2), (3)  x0  y0 z0 x0 (vô lý).

+ Do đó: (I) 

3 2 3 2

2x 1 x x x x x x 1 0

x y z x y z

         



 

   

 



1
1

x
x

x y z

 
 



 


 1

x y z

  




  



+Vậy: Hệ phương trình có hai nghiệm x  y z 1, x  y z 1.

VD3. Giải phương trình (x2)(2x 1) 3 x6 4  (x6)(2x1) 3 x2 .

HDG.
+ ĐK: 1

x

+ Viết lại: f x

 





x 6 x2

 

2x1 3



4 (1)
+ Ta có 2x1 3 0   x5 . Do đó ta chỉ xét (1) với x5.

+ Với x5 Ta lại có: g x

 

 x 6 x2 0 và

 

1 1 0

2 6 2 2

g x

x x

   

 

 g x

 

đồng biến trên



5;



( ) 2 1 3 0

h x  x   và ( ) 1 0
2 1

h x

x

  

  h x

 

đồng biến trên



5;



+ Khi đó f x

 

đồng biến trên



5;



. ( f x

 

g x h x

   

. và g x

 

0,h x

 

0)
+ Mặt khác: f

 

7 



13 3

 

13 3



4. Vậy x7 là nghiệm duy nhất của (1).

BÀI TẬP ÔN LUYỆN
1. Giải các phương trình sau:
a). 2 1 32

x
x

  b). 2 3x x28x 14
c). 3.25x2 (3x 10).5x2 3 x 0

     d). x2.3x3 (12 7 )x  x  x38x219x12

2. Giải các phương trình sau:

a). log 12



 x



log3x b).





log

2 6

log 3 x log

x  x

c). xlog 92 x2.3log2x xlog 32 d).

Dung Tinh don dieu GPT

 

<sub> </sub>

<sub> </sub>

 





 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<sub> </sub>

 

 

 

 

<sub> </sub>









 

 





 

 





 

 





 

 

 

 

 



 



 

 

 





 





 





<sub> </sub>

<sub>   </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

 



 















