<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

<b>CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG </b>
<b>Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH </b>

<b> A. KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>

 

1 Phép biến hình .

ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất
M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé

 

   f 

p biến hình đó .

ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M = f(M) hay
f(M) = M hay f : M _I M hay M _I M . Điểm M gọi là tạo

  



1 2 2 1

ª

ảnh .
f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H .

Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến .

f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình .

Nếu H l   



à một hình nào đó thì tập hợp các điểm M = f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là
ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) .

 
2 Phép dời hình .

ĐN : Phép dời hình là phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì , tức là với
hai điểm bất kì M,N và ảnh M , N của chúng , ta luôn c  



ó M N = MN . ( Bảo tồn khoảng cách ) .
3 Tính chất : ( của phép dời hình ) .

ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng



thành ba điểm không thẳng hàng .
HQ : Phép dời hình biến :

1. Đường thẳng thành đường thẳng .
2. Tia thành tia .

3. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

4. Tam giác thành t  

  

am giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
5. Đường tròn thành đường trịn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R )

6. Góc thành góc

I I

I
bằng nó .

B . BÀI TẬP



 



 _{ }



 




x = 2x 1

1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = .

y = y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)

Giaûi :

a) A = f(A) = (1;5)
b) B =

I



 



  



 _{ }




 

f(B) = ( 7;6)
c) C = f(C) = (3; 1)

x = 2x y 1

2 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = .

y = x 2y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2

I



  

  





;4)
Giaûi :

a) A = f(A) = (4;3)
b) B = f(B) = ( 4; 4)
c) C = f(C) = ( 7; 7)

3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Đây có phải là phép dời

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>







1 1 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )
Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) .
f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )

I
I

 

     

 

 

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

1 2

Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y )
Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình .
(Vì có 1 số điểm f khơng bảo tồn khoảng cách) .

   

 

 

 

  

y x

x y

4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :

a) f : M(x;y) M = f(M) = ( y ; x 2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) .
Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình

I I

 

 



 

1 2

?
HD :

a) f là phép dời hình b) g khơng phải là phép dời hình ( vì x x thì M N MN )
5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :

a) f : M(x;y) _I M = f(M) = (y + 1 ; x) b) g : M(x;y)  M = g(M) = ( x ; 3y ) .
Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ?

Giải :

a) f là phép dời hình b) g khơng phải là phép dời hình (
I

 

 

1 2

vì y y thì M N MN )


  

  

6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường
thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f .

Giaûi :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

I



 



   



 _ _

  

 __ _{ }_



 _ _ _ _{  } _

                

  



x
x = 2x x
Ta coù f : M(x;y) M = f(M) = ₂

y y 1 _{y y 1}
x

Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0
2

Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
M

I



     



      



( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1)
N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0)

I
I



  

    

  _        

   



 _{}


Qua M ( 4;1) x+ 4 y 1

( ) (M N ) : PTCtaéc ( ) : PTTQ ( ) : x 6y 2 0

6 1

VTCP : M N (6; 1)



  



 

2 2

7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .

b) Tìm ảnh của đường trịn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x
I

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>



  

 

8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3 ;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .

b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 .
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x

I





  

2 2

2 2

1 1 2 2

1 1 1 1

+ 1) + (y 2) = 2 .

x y

d ) Tìm ảnh của elip (E) : + = 1 .

3 2

Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )

Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) .
f : N

I



  

    

2 2 2 2

2 2

2 1 2 1

(x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1)
Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN
Vậy : f là phép dời hình .

I

 

    



 _ _

   

 

      

             

b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

x = x 3 x x 3
Ta coù f : M(x;y) M = f(M) =

y y 1 y y 1

Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) (
I



) : x 2y 4 0  

  



    



    




Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2)

I
I



  

    

  _        

   




 _{}



Qua M (2;1) x 2 y 1

( ) (M N ) : PTCtaéc ( ) : PTTQ( ) : x 2y 4 0

2 1

VTCP : M N ( 2;1)

Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng  


    

    

               




( ) // ( ) .
Laáy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)

Vì ( ) // ( ) ( ) : x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ) : x 2y 4 0
c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

I

 

    



 _ _

   

 

 

       

  



2 2 2 2

x = x 3 x x 3
Ta coù f : M(x;y) M = f(M) =

y y 1 y y 1
Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2
M (x ;y

I



    



  _     _

     

_ _ _

 

2 2

f 2 2

) (C ) : (x 4) (y 3) 2

+ Taâm I( 1;2) + Taâm I = f [I( 1;2)] ( 4;3)

Caùch 2 : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2
BK : R = 2 BK : R = R = 2

 

    



 _ _ _ _

   

 

d) Dùng biểu thức toạ độ

x = x 3 x x 3
Ta coù f : M(x;y) _I M = f(M) = _{y y 1} _{y y 1}

   _{  } _ 

 x2 y2 (x + 3)2 (y 1)2   (x + 3)2 (y 1)2
Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>



  

  

9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .

b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I



   

2 2

2

2 2 2

= 0.

c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .

ÑS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1)


 

10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng định nào sau đây

sai ? I



A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A

C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0


ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai .

 

    



1 1 2 2

1 2

12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :

f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) .
Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghĩa là tìI I

 

 1  2 

2 1

f f

m f [f (A)] .
ÑS : A(4; 1) _I A (6; 5) _I A ( 6 ; 5 ) .



 


x

11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng định nào sau đây sai ?
2

A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì
I

 

 

   aûnh A = f(A) Ox .

C. Ảnh của B Oy thì aûnh B = f(B) Oy . D. M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9)

 

ĐS : Chọn D . Vì M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9)

<b> Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN </b>
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

  

 

1 ĐN : Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u.

 

 

 



Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M_u _u MM u

Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết vectơ tịnh tiến của nó .
Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất ._o _o

2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tịnh tiến Tu

 

 



 _




  

  _{ }



 x = x + a

M(x;y)_I M =T (M) (x ;y ) thì _u _{y = y + b}




3 Tính chất :

ĐL : Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì .

HQ :

1. Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
2. Biến một tia thành tia .

3. Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .

 

Bieán

7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm _I trực tâm , trọng tâm _I trọng tâm )
 


8. Đường tròn thành đường trịn bằng nó .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>




  

  _{ }



 x = x + a

M(x;y)_I M =T (M) (x ;y ) thì _u _{y = y + b}

<b> PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) . </b>

 

  



  




Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường trịn : khơng đổi )
1. Lấy M (H) M (H )

2. (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương

I



 _ _  _

 _   _



 

 

Taâm I Taâm I

(H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I ) .
+ bk : R + bk : R = R

Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ .

Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ .
Cách 3

II

  

  

: Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) _I M , N (H )
B, BAØI TAÄP

 

 

    

       _ _

   

 


 _



1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;1) .
Giaûi

x 3 2 x 5
Theo định nghóa ta có : M = T (M)_u MM u (x 3;y 2) (2;1)

y 2 1 y 1


 






M (5; 1)
2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tịnh tiến theo vectô u :

a) A( 1;1) , u = (3;1)  


 A (2;3)
b) B(2;1) , u = ( 3;2)   



   

B ( 1;3)
c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1)

 
 

   


 

 

3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (3;1) .
Tính độ dài AB , A B .

Giải

Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B)_u _u      

  

     

 

  _ _  _

 _ 

 

1 2

1 2

(4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 .
4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M_{1 2} ₁ T (M),M_u ₂ T (M ). Tìm v để M_u ₁ ₂ T (M) ._v
Giải

Theo đề : M₁ T (M)_u MM₁ u , M₁ ₂ T (M )_u ₁ M M_{1 2}

        



 _ _    _ _ _ _ _


u .₂

Neáu : M₂ T (M)_v MM₂ v v MM₂ MM₁ M M_{1 2} u + u .Vaäy : v u + u₁ ₂ ₁ ₂


  

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

    



    

     

      _   _{   }

  _



 



 


Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) ._u _u

qua A (1; 1) x 1 t

Mặt khác : T ( )_u đi qua A ,B . Do đó : ptts : _y _{1 2t}
VTCP : A B = (1;2)



 

  

   




6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) .

Giải

Vì : A T (A) (0; 2) ,_u    



    

     

      _   _{   }

   


  





 




B T (B) ( 1;1) ._u

qua A (0; 2) x t

Mặt khác : T ( )_u đi qua A ,B . Do đó : ptts :

y 2 3t

VTCP : A B = ( 1;3)

7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3)     



          

: x 2y 2 0
b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0

8 Tìm ảnh c    

 

 _ 

 _ _  _

 







2 2

ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1; 3) .

Giaûi

x = x + 1 x = x 1

Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến T là : _u

y = y 3 y = y + 3

Vì : M(x;y) (                 

   

2 2 2 2 2 2

C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4

2 2

Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4


  

  

9 Trong mpOxy cho pheùp biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .

a) CMR f là phép dời hình .

b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3

I


   

2 2

2

2 2 2

= 0.

c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .

ÑS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x


 

1)

10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng định nào sau đây

sai ?

A. f là 1 phép dời hình B.

I



Neáu A(0 ; a) thì f(A) = A

C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai .

    

 

 _{ }

 _ _  __

 




2 2

9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;4) .
x = x 2 x = x + 2

Giải : Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến T là : _u

y = y 4 y = y 4

       

               

    

2 2 2 2 2 2

Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>



        



     




2 2 2 2

BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1

2 2

b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C )     

 



2 2

: x y 2x 2y 7 0
10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác định toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh
A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) .

Giaûi

     

    

  _ _ 

  

 

  



 




Gọi C(x;y) .Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1)
Vì I là trung điểm của AC nên :

x 1 3 x 4

C = T (I)_AI IC AI C(4;4)
y 2 2 y 4

Vì I là trung điểm của AC neân :

D =   _   _  

  

 

 

  


 

 xD 1 2 xD 3

T (I)_BI ID BI D(3;4)

y_D 2 2 y_D 4

Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) .
11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một



 

 

 

  

phép tịnh tiến
biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế ?

Giải : Chọn 2 điểm cố định A d , A d

Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T_AB(M) MM AB

    

     


 

 


MA M B M B/ /MA M d d = T_AB(d)
Nhận xét : Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d .

12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến (I,R)  

 _   

        

        _

 


 



thành (I ,R ) .
Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M)_II MM II

IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)]_II

13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố định , tâm I thay đổi di động
trên đường trịn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC.

Giaûi

Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d 




</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

Tu+v 



2

14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ u = (m,n)
và (P ) là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến đó . Hãy viết phương trình của 

      

  

 

   

 _ _

 

 

  

     

  _ 



 

u

(P ) .
Giaûi :

T

M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y)

x x = m x = x m

Vì MM = u

y y = n y = y n

2 2

Maø : M(x;y) (P) : y ax y n = a(x m) y =

I

         

      

    




 _

2 2

a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n

2 2 2

Vậy : Ảnh của (P) qua phép tịnh tiến T là (P ) : y = a(x m)_u n y = ax 2amx am n .

15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) . _u

Gi        

 

 

 _   



ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( )_u u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3)
chọn u = (1; 3) .

16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi_{ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v}_u _v  
để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ?

Giaûi

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

  

  

 

 

u v

17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) .
Tìm ảnh của K,M,N qua phép tịnh tiến T rồi T ._u _v

T T

HD : Gỉa sử : A(x;y)_I B_I           

 

    

 _   _ _  

  

 

 

 _  _    _{ }


 

C(x ;y ) . Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)
x 1 1 x 2

Do đó : K =T_{u v}(K) KK (1;5) K (2;7) .
y 2 5 y 7

Tương tự : M (4;4) , N (3;2) .

18 Trong hệ trụ    




  
  



 _

u u

c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G là trọng tâm ABC và phép
tịnh tiến theo vectơ u 0 biến A thành G . Tìm G = T (G) ._u

Giải

T T

A(3;0)_I G( 1;3)_I G (x ;y

 

      

 

    _ _  

  

 



        

 _  _ ) _{x 1} ₄ _x ₅

Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6).
y 3 3 y 6

2 2 2 2

19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ) : x y 10x 4y 25 0.
Có hay khơng phe 

  

 






ùp tịnh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) .

HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 .
Ta thaáy : R = R = 2 nên có phép tịnh tiến theo vectơ u 

    





= (4;1) biến (C) thành (C ) .

20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập
hợp đỉnh C ?

Giải

Vì OABC là hình bình hành nên : BC     

 

     

 

  _ _

    

 

    

            




 _


 _




u

AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1)_u

T _{x x 2} _{x x 2}

B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u

y y 1 y y 1

B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) : 2x y 10 = 0
21 Cho ABC . Goïi A ,B ,C _{1 1 1}

I

lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I_{1 2 3} _{1 2 3}
tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB C ,_{1 1}

BC A₁   

  

    



  



1_AB 1_AB 1_AB

2 2 2

, và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I .

1 1 1 1 2 3 1 2 3

HD :

Xét phép tịnh tiến : T₁ bieán A C,C₁ B, B₁ A .₁
AB

2

T T T

AB C_{1 1} C BA ;O₁ _{1 1} O ;I_{2 1} I .₂

I I I

I I I





  

        

 

 
   

O O_{1 2} I I_{1 2} O O_{1 2} I I ._{1 2}

Lý luận tương tự : Xét các phép tịnh tiến T₁ ,T₁ suy ra :
BC CA

2 2

O O_{2 3} I I vaø O O_{2 3} _{3 1} I I_{3 1} O O_{2 3} I I ,O O_{2 3 3 1} I I_{3 1} O O O_{1 2 3} I I I (_{1 2 3}


c.c.c).

  



   

   



  

 
BC

22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 .
Tính độ dài các cạnh BC và DA .

HD :

T

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

 _ _ _ _ _ _ _



      



 

    


o

Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 .
Định lý hàm cos trong MCD :

3

2 2 2 2 2

MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36
2
MD = 6cm .

1

Ta coù : MD = CD vaø MC = MD 3 MDC laø tam giaùc
2

 

  

    

    

 



đều
MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 .
Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M .

    6 3  

Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm
2

Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm

<i><b>Vấn đề 3 </b></i><b>: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC </b>

<b>A , KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>

1 ĐN1:Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM .
Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứng trục . Đườ

 

ng thẳng a gọi là trục đối xứng.
ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng
với M qua đường thẳng a .

Kí hieä



a o o o

u : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Khi đó :

 Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M cịn gọi là điểm bất động )  _a 
M a thì Đ (M) M _a  a là đường trung trực của MM 

 Ñ (M) M thì Đ (M ) M_a   _a  

 Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H ._a   _a   

 




d

ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H .

Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định khi biết trục đối xứng của nó .

Chú ý : Một hình có thể khơng có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng .

  

  

 

  

 _ _  _ _



 

d

2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y )
x = x x = x

ª d Ox : _{y = y} ª d Oy : _{y = y}
I



3 ĐL : Phép đối xứng trục là một phép dời hình .

1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các
điểm tương ứ

HQ :


ng .

2. Đường thẳng thành đường thẳng .
3. Tia thành tia .

4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâmI trực tâm , trọn 
 


g tâm trọng tâm )
6. Đường trịn thành đường trịn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )

7. Góc thành góc bằng nó .

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

a
PP : Tìm ảnh M = Ñ (M)
1. (d) M , d a

2. H = d a

3. H là trung điểm cuûa MM M ?




 



 


 



  



   

    

a

a

ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : = Đ ( )
TH1: ( ) // (a)

1. Laáy A,B ( ) : A B
2. Tìm aûnh A = Ñ (A)
3. A , // (a)





 
  


  a

TH2 : // a
1. Tìm K = a

2. Laáy P : P K .Tìm Q = Đ (P)
3. (KQ)



ª<i><b> PP </b></i><b>:</b>Tìm M ( ) : (MA + MB)  _min.
 



 

 

    

    

min

min
Tìm M ( ) : (MA+ MB)

Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) :
1) gọi A là đối xứng của A qua ( )

2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B
Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )




   

  

min

Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) :
M ( ), thì MA + MB AB

Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )


<b> B . BAØI TẬP </b>

 

ĐOx  ĐOy  

1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy .
HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1)

2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứ

I I

 

    

 

   

 

  

Ñ_Oy _Ñ_Ox

Ñ_a Ñ_b

Ñ_a Ñ_b

ng qua Ox .
HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b)

3 Cho 2 đường thẳng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điểm M( 1;2) . Tìm : M M M .
HD : M( 1;2) M (5;2)

I I

I I

I I 



        


  


 _{  }



Đ_a Đ_b

Đ_a Đ_b

tđ(m;y) tđ(

M (5; 4) [ vẽ hình ] .
4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).
Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ).

x 2m x
HD : M(x;y) M

y y

I I_{ }   _{    } 




 

      



2m x; n)

x 2m x
M

y 2n y
5 Cho điểm M( 1;2) và đường thẳng (a) : x + 2y + 2 = 0 .

HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , H = d a H( 2;0) , H laø trung điểm của MM M ( 3; 2)

6 Cho ñieåm M( 4;    



    





a
a

1) và đường thẳng (a) : x + y = 0 . M = Đ (M) ( 1;4)
7 Cho 2 đường thẳng ( ) : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .

HD :

4 1
Vì

1         

 

             

 

  




a
caét a K a K( 2;1)

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

 



   



 





a

a

a

8 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + 3 = 0 .
HD : a Ox = K( 3;0) .

3 9

M O(0;0) Ox : M = Ñ (M) = ( ; ) .

5 5

b KM : 3x + 4y 9 = 0 .

9 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .


 



_{ }    



   

 







HD : a Ox = K(3;0) .
P O(0;0) Ox .

+ Qua O(0;0)

: 3x y 0
+ a

3 9 3 9

E = a E( ; ) là trung điểm OQ Q( ; ) .

10 10 5 5

b KQ : 3x + 4y 9 = 0 .

1 

 

  




Ox

Ox

0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
Giải :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay)
Cách 2 : K= a Ox K(3;0)

P(0;1) a Q = Ñ (P) = (0; 1)
 b KQ : x 3y 3 = 0 .  



     



     

       

    

         

a
11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
PP : / /a

Cách 1 : Tìm A,B A ,B A B
Cách 2 : Tìm A A / / , A



    

   

        



   

   




a

2 2

a

2 2

Giaûi : A(0;1) A Ñ (A) (2; 3)

A , / / : x 2y 8 0

12 Cho đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 1 , đường thẳng (a) : 3x y + 1= 0 . Tìm (C ) = Đ [(C)]

HD : (C ) : (x 3) y 1 .

 

 

  _Ox 

13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) và C(1;6) . Khẳng định nào sau đây sai ?
A. ABC cân ở B B. ABC có 1 trục đối xứng

C. ABC Ñ ( ABC) D. Trọng tâm : G = Đ (G)_Oy
HD : Choïn D

     

 



2 2

14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 4.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + 2 = 0 .

Giải : Gọi M ,   

 

 _{ }



       




( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
Qua M( 3;2)

a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :
a

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>



 _




 


     _
 _ _

_{ } _{ }
    _
 _  _   
 

  



  



H M M

H M M

M _M

M
M

1

x (x x )

2

+ H = (d) (a) H( 2;0) H là trung điểm cuûa M,M H ₁

y (y y )

2
1

2 ( 3 x ) _x ₁

2

₁ _y ₂ M ( 1; 2)

0 (2 y )

2
b) Tìm ảnh ( ) :

1 3

Vì ( ) caét (a

1 2   

 

 _{ } 



) K= ( ) (a)

x + 3y 8 = 0

Toạ độ của K là nghiệm của hệ : _{x 2y + 2 = 0} K(2;2)

   
 
 




a

Lấy P K Q = Đ [P( 1;3)] = (1; 1) . ( Làm tương tự như câu a) )
Qua P( 1;3)

Gọi đường thẳng (b) :

a
         
   
 

    
 
 
 _ _ 
 _ _  _ _
 
 

E P Q Q

E P Q Q

+ (b) (a) (b) : 2x y + m = 0 . Vì (b) P( 1;3) m = 1 (b) : 2x y 1 = 0
+ E = (b) (a) E(0;1) E là trung điểm của P,Q

1 1

x (x x ) 0 ( 1 x ) _x

2 2

E

1 1

y (y y ) 1 (3 y )

2 2
 
 _ _

 _{ }

  
 
  _       
    

 _

Q
Q
1
Q(1; 1)
y 1

Qua K(2;2) x 2 y 2

+ ( ) (KQ) : ( ) : 3x y 4 0

1 3

VTCP : KQ ( 1; 3) (1;3)







 
 _ 
  



 
 

Đ_a Đ_a

c) + Tìm ảnh của tâm I( 3;2) như câu a) .

Tâm I Tâm I

+ Vì phép đối xứng trục là phép dời hình nên (C): _{R 2} (C ) : _{R R 2}.Tìm I I
+ Tâm I( 3;2)

Vaäy : (C) BK :

I I



__ _      

 


    
Đa _a
2 2
2 2
+ Tâm I = Ñ [I( 3; 2)] ( ; )

(C ) _{5 5}

R = 2 _{BK : R = R = 2}

2 2

(C ) : (x ) (y ) 4

5 5
I
     
 

2 2

15 Trong mpOxy cho điểm M(3; 5), đường thẳng ( ) : 3x + 2y 6 = 0, đường tròn (C) : (x+1) (y 2) 9.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x y + 1 = 0 .

HD :

a) M(3; 5) _I        

  

         

Ña
a

33 1 9 13

M ( ; ),(d) : x 2y 7 0,tđiểm H( ; )

5 5 5 5

4 15
b) + K= (a) K( ; )

7 7

+ P ( ) : P(2;0) K , Q = Ñ [P(2;0)] = ( 2;2) ( ) (KQ) : x 18y 38 0
c) + I(1; 2) Ña I ( 9 8; ) , R = R = 3  (C ) : (x + ) 9 2 (y 8)29

5 5 5 5

I
       


 

 _ _
 

2 2
ÑOx

16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y 4 = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y 2 0.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng qua Ox .

x x
HD : Ta coù : M(x;y) M (

y y

 
    _

 
 ÑOx
x x

1) (2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

     

         

   

           

     

          



 2 2 2 2

2 2 2 2

M(x;y) ( ) 2x y 4 = 0 M (x ;y ) ( ) : 2x y 4 = 0 .
M(x;y) (C) : x y 2x 4y 2 0 x y 2x 4y 2 0

(x 1) (y 2) 3 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 3


 

   



 _ _

    

 

    

       

Ox
ÑOx

17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .

x x x x

Giải : Ta có : M(x;y) M

y y y y

Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (
I

    



ÑOy 

x ;y ) (a ) : 2x y + 3 = 0
Vaäy : (a)_I (a ) : 2x y + 3 = 0

  

 

     


 _ _ _ _

 

 

    

          

2 2

Oy
ÑOy

2 2 2 2 2

18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x y 4y 5 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .

x x x x

Giải : Ta có : M(x;y) M _{y y} _{y y}

Vì M(x;y) (C) : x y 4y 5 = 0 ( x ) y 4(y ) 5 = 0 x
I

 

   

    



   

2
2 2

ÑOy 2 2

y 4y 5 = 0
M (x ;y ) (C ) : x y 4y 5 = 0

Vaäy : (C)_I (C ) : x y 4y 5 = 0

        



2 2
a

a

19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x y 10x 4y 27 = 0 .

a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đ .
b) Tìm ảnh của điểm M(4; 1) qua Đ .

 

  

 

      

     




 _  _

a a

2 2

Đa

c) Tìm ảnh : ( ) = Đ ( ),(C ) Đ (C) .
Giải

a) Tổng quát (a) : Ax + By + C=0 , A B 0

Goïi M(x;y) M (x ;y ) , ta coù : MM (x x;y y) cùng phương VTPT n = (A;B) MM tn

x

I

 

  

   _   _{ } _ _

 __{ }  __{ }

 

 

     

       



     



2 2

x x y y

x At _{x x At ( t ) . Gọi I là trung điểm của MM neân I(} _; _{) (a)}

y y Bt y y Bt 2 2

x x y y x x At y y Bt

A( ) B( ) C 0 A( ) B( ) C 0

2 2 2 2

2(Ax + By + C)

(A B )t 2(Ax + By + C) t

A 

 _ _

_    

  

 __{ }    __{ } _ _

 

 _

 _{ } 

 __{ }  __ _ _

 

 



  

2 2

2 2 2 2

Ña

B

2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C)

x x ;y y

A B A B

4(2x y 3) 3 4 12

x x x x y

5 5 5 5

Áp dụng kết quả trên ta có :

2(2x y 3) 4 3 6

y y y y y

5 5 5 5

4 7

b) M(4; 1) M ( ;

5
I



     


    

Ña

Ñ_a ₂ ₂

)
5

c) : 3x y 17 0

d) (C) (C ) : (x 1) (y 4) 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

20 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : x 5y 7 = 0 và ( ) : 5x y 13 = 0 . Tìm phép đối xứng qua
trục biến ( ) thành ( ) .       

Giải
1 5

Vì ( ) và ( ) cắt nhau . Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến ( ) thành ( ) chính
5 1

là đường phân giác của góc tạo bởi ( ) và ( ) .

 _ _

     





 

1
2

1 2

x y 5 0 (a )
| x 5y 7 | | 5x y 13|

Từ đó suy ra (a) : _{x y 1 0 (a )}
1 25 25 + 1

Vậy có 2 phép đối xứng qua các trục ( ) : x y 5 0 , ( ) : x y 1 0
   

  _  

    

 

       


a
21 Qua phép đối xứng trục Đ :

1. Những tam giác nào biến thành chính nó ?
2. Những đường trịn nào biến thành chính nó ?
HD :

1. Tam giác có 1 đỉnh trục a , hai đỉnh còn lại đ


   



   

2 2

2

ối xứng qua trục a .
2. Đường trịn có tâm a .

22 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 1) (y 2) 4 qua phép đối xứng trục Oy.
PP : Dùng biểu thức toạ độ ĐS : (C ) : (x 1) (y 2 

  

 

  

 

2
) 4

23 Hai ABC và A B C cùng nằm trong mặt phẳng toạ độ và đối xứng nhau qua trục Oy .
Biết A( 1;5),B( 4;6),C (3;1) . Hãy tìm toạ độ các đỉnh A , B và C .

  

ÑS : A (1;5), B (4;6) vaø C( 3;1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>




ĐS :

Hình vng có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng
đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .

Ngũ giác đều co


ù 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều .
Lục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi
qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .






d

25 Gọi d là phân giác trong tại A của ABC , B là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đ . Khẳng định
nào sau đây sai ?

A. Nếu AB < AC thì B ở trên cạnh AC .


 


 _d 

B. B là trung điểm cạnh AC .

C. Nếu AB = AC thì B C .
D. Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB .
ĐS : Nếu B = Đ (B) thì B AC .

   

   





A đúng . Vì AB < AC mà AB = AB nên AB < AC B ở trên cạnh AC .
1

B sai . Vì giả thiết bài tốn không đủ khẳng định AB = AC.
2

C đúng . Vì AB = AB mà AB = AC nên AB = AC B C .

  

 


a b

Đ_a Đ_b

D đúng . Vì Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC=2AB mà AB =AB nên AC=2AB .
26 Cho 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O . Xét 2 phép đối xứng trục Đ và Đ :

AI BI C





. Khẳng định nào sau đây không sai ?
A. A,B,C đường tròn (O, R = OC) .

B. Tứ giác OABC nội tiếp .

C. ABC cân ở B
D. ABC vuông ở B



   




1 2

HD : A. Khơng sai . Vì d là trung trực của AB OA = OB , d là trung trực

của BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C đường tròn (O, R = OC) .

Các câu B,C,D có thể sai .


       

27 Cho ABC có hai trục đối xứng . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. ABC là vuông B. ABC là vuông cân C. ABC là đều D. ABC là cân .




_     



HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng là AC và BC
AB = AC

AB AB BC ABC đều .
BC = BA

  

       

  

   

o

o o o o o o o

28 Cho ABC có A 110 . Tính B và C để ABC
có trục đối xứng .

A. B = 50 vaø C 20 B. B = 45 vaø C 25 C. B = 40 vaø C 30 D. B = C 35



  

o o

o o o _o

HD : Chọn D . Vì : ABC có trục đối xứng khi ABC cân hoặc đều
Vì A 110 90 ABC cân tại A , khi đó :

180 A 180 110

B C 35

2 2

 

   

 

   

29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ?

A. Hình chữ nhật B. Hình vng C. Hình thoi D. Hình thang cân .

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

 

31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ?

A. Hình thoi B. Hình vng C. đều D. vuông cân .


ĐS : Chọn C. Vì : đều có 3 trục đối xứng .

32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ?

A. Hình vng B. Hình thoi C. Hình trịn D. Hình thang cân .

ĐS : Chọn C. Vì : Hình trịn có vơ số trục đối xứng .

33 Trong các hình sau , hình nào khơng có trục đối xứng ?

A. Hình bình hành B. đều C. cân D. Hình thoi . 
ĐS : Chọn A. Vì : Hình bình hành khơng có trục đối xứng .

34 Cho hai hình vuô   

  
 



ng ABCD và AB C D có cạnh đều bằng a và có đỉnh A chung .

Chứng minh : Có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vng ABCD thànhø AB C D .
HD : Gỉa sử : BC B C = E .

 
  




 

   _  







ÑAE
Ta coù : AB = AB , B B 90 ,AE chung .

EB = EB

ABE = AB F B B

bieát AB = AB I

  



 _

 

 _





    

   

   


ĐAE

Đ_A Đ_AE

EC = EC

Mặt khác : C C

AC = AC = a 2

BAB
Ngoài ra : AD = AD và D AE DAE 90

2

D D ABCD AB C D

I

I I

35 Gọi H là trực tâm ABC . CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có
đường trịn ngoại tiếp bằng nhau .

  

  _{ } 

  

 

1 2

1 1 1 2

Ñ_BC Ñ_BC

HD :

Ta có : A = C (cùng chắn cung BK )

A = C (góc có cạnh tương ứng ) C = C
CHK cân K đối xứng với H qua BC .
Xét phép đối xứng trục BC .

Ta coù : K _I H ; B _I B ; 

  

ĐBC
ĐBC

C C

Vậy : Đường trịn ngoại tiếp KBC Đường tròn ngoại tiếp HBC
I

I






 a

36 Cho ABC và đường thẳng a đi qua đỉnh A nhưng khơng đi qua B,C .
a) Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng Đ .

b) Gọi G là trọng tâm ABC , Xác định G là ảnh của G qua phép đối xứng Đ_a.

a
a

a
a
Giải

a) Vì a là trục của phép đối xứng Đ nên :
A a A Đ (A) .

B,C a nên Đ : B B ,C C sao cho a là trung trực của BB ,CC
b) Vì G a nên Đ : G G sao cho a là trung trực

  

   

  



 



 I I

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>





 

37 Cho đường thẳng a và hai điểm A,B nằm cùng phía đối với a . Tìm trên đường
thẳng a điểm M sao cho MA+MB ngắn nhất .

Giải : Xét phép đối xứng Đ : A_a A .

M a thì MA = MA . Ta c I   



ó : MA + MB = MA + MB A B
Để MA + MB ngắn nhất thì chọn M,A,B thẳng hàng

Vậy : M là giao điểm của a và A B .



38 (SGK-P13)) Cho góc nhọn xOy và M là một điểm bên trong góc đó . Hãy
tìm điểm A trên Ox và điểm B trên Oy sao cho MBA có chu vi nhỏ nhất .
Giải

Gọi N = Đ_Ox(M) và P = Đ_Ox(M) . Khi



đó : AM=AN , BM=BP
Từ đó : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP NP

( đường gấp khúc đường thẳng )

MinCVi = NP Khi A,B lần lượt là giao điểm của NP với Ox,Oy .




39 Cho ABC cân tại A với đường cao AH . Biết A và H cố định . Tìm tập hợp
điểm C trong mỗi trường hợp sau :

a) B di động trên đường thẳng .
b) B di động trên đường trò

 

     



n tâm I, bán kính R .
Giải

a) Vì : C = Đ_AH(B) , mà B nên C với = Đ_AH( )
Vậy : Tập hợp các điểm C là đường thẳng

b) Tương tự : Tập hợp các điểm C là đường tròn tâm J , bán kính R là ảnh của
đường tròn (I) qua Đ_AH .

<i><b>Vấn đề 4 </b></i><b>: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM </b>

<b>A , KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>



1 ĐN : Phép đối xứng tâm I là một phép dời hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua I.
Phép đối xứng qua một điểm còn gọi là phép đối tâm .

Điểm I gọi là tâm của của phép đối xứng hay đơn giản là tâm đối xứng .
Kí hiệu : Đ (M) M_I  IM IM .

Nếu M I thì M I

Nếu M I thì M Đ (M)_I I là trung trực của MM .
ĐN :Điểm I là tâm đối xứng của hình H Đ (H) H._I
Chú ý : Một hình có thể khơng có tâm đối xứng .



 

 

  

 




 <b> </b>

  

  



 



   


I
Ñ

2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x ;y ) và phép đối xứng tâm I : M(x;y)_{o o} M Đ (M) (x ; y ) thì _I
x = 2x_o x

y 2y_o y
3 Tính chất :

1. Phép đối xứng tâm bảo tồn khoảng cách giư

I

õa hai điểm bất kì .
2. Biến một tia thành tia .

3. Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
4. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

 


8. Đường trịn thành đường trịn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I_I I , R = R )
B . BAØI TẬP



 

1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng tâm I :

1) A( 2;3) , I(1;2) A (4;1)


  

2) B(3;1) , I( 1;2) B ( 5;3)
3) C(2;4) , I(3;1) C (4; 2)  
Giaûi :

x 1 3 x 4

a) Gỉa sử : A Đ (A) _I IA IA(x 1;y 2)    ( 3;1)__{y 2}_  ₁__{y 1}_ A (4;1)

   

 

 

Cách : Dùng biểu thức toạ độ 



         



2 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I :

1) ( ) : x 2y 5 0,I(2; 1) ( ) : x 2y 5 0

2) ( )        

    

: x 2y 3 0,I(1;0) ( ) : x 2y 1 0
3) ( ) : 3x 2y 1 0,I(2; 3)  ( ) : 3x 2y 1 0   

  

     

   

    

Giải

PP : Có 3 cách

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

Cách 2 : Xác định dạng // , rồi dùng công thức tính khoảng cách d( ; ) .
Cách 3: Lấy bất kỳ A,B , rồi tìm ảnh A ,B    

 

     



 _ _

      

 

I

A B

Đ x 4 x x 4 x

1) Cách 1: Ta coù : M(x;y) M

y 2 y y 2 y
I

   

                

   

     



     

 

    

I

Vì M(x;y) x 2y 5 0 (4 x ) 2( 2 y ) 5 0 x 2y 5 0
M (x ;y ) : x 2y 5 0

Đ

Vậy : ( ) ( ) : x 2y 5 0

Caùch 2 : Gọi = Đ ( )I _I song song   

 


       _{   }



 

: x + 2y + m = 0 (m 5) .

|5| | m | m 5 (loại)
Theo đề : d(I; ) = d(I; ) 5 | m |

m 5

2 2 2 2

1 2 1 2

    

    

            

( ) : x 2y 5 0
Cách 3: Lấy : A( 5;0),B( 1; 2) A (9; 2),B (5; 0) A B : x 2y 5 0



      

3 Tìm ảnh của các đường trịn sau qua phép đối xứng tâm I :

2 2 2 2

1) (C) : x (y 2) 1,E(2;1) (C ) : (x 4) y 1
2

2) (C) : x           

  

2 2 2

y 4x 2y 0,F(1;0) (C ) : x y 8x 2y 12 0
đ / nghiã hay biểu thức toạ độ

2

3) (P) : y = 2x x 3 , taâm O(0;0) .    

 
E  

2

(P ) : y = 2x x 3

HD : a) Co ù2 cách giải :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ .
Đ

Cách 2 : Tìm tâm I I ,R R (ña õcho) .

b) Tương tự .

4 Cho hai điểm A và B .Cho biết phép biến đổi M thàn
I

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

 _

 

 _{ }





   

 


 

 
 
    

 
  

HD :

MA BM
Neáu AMBM là hình bình hành

MB AM
Vì : MM MA AM MA MB (1)

Gọi I là trung điểm của AB . Ta có : IA IB
Từ (1) MM MI    

 

   

     
  IA MI IB MM 2MI
MI IM M Ñ (M) ._I

5 Cho ba đường tròn bằng nhau (I ;R),(I ;R),(I ;R) từng đôi tiếp₁ ₂ ₃
xúc nhau tại A,B,C . Gỉa sử M là một điểm trên

A B C I1

(I ;R) , ngồi ra : ₁
Đ

Đ

Đ Ñ

M_I N ; N_I P ; P_I Q . CMR : M_I Q .


A A  A  
HD :

Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) tại A , nên : ₁ ₂

Ñ Ñ Ñ

M_I N ;I₁_I I ₂ MI₁_I NI₂ MI₁ NI (1)₂


      



    

 

B B B

C C C

Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) tại B , nên : ₂ ₃

Ñ Ñ Ñ

N P ;I₂ I ₃ NI₂ PI₃ NI₂ PI (2)₃
Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) tại C , nên : ₃ ₁

Ñ Ñ Ñ

P Q ;I₃ I ₁ PI₃

I I I

I I I    

   



 
 

1

QI₁ PI₃ QI (3)₁
Từ (1),(2),(3) suy ra : MI₁ QI₁ M Đ (Q) ._I

5 Cho ABC là tam giác vuông tại A . Kẻ đường cao AH . Vẽ phía





ngồi tam giác hai hình vng ABDE và ACFG .

a) Chứng minh tập hợp 6 điểm B,C,F,G,E,D co ùmột trục đối xứng .
b) Gọi K là trung điểm của EG . Chứng minh K ở trên đường thẳn



 

g AH .
c) Gọi P = DE FG . Chứng minh P ở trên đường thẳng AH .

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

 _  _

    



 

DF DF DF DF

DF
HD :

a) Do : BAD 45 vaø CAF 45 nên ba điểm D,A,F thẳng hàng .

Đ Đ Đ Đ

Ta coù : A A ; D D ; F F ; C G ;
Ñ

B E (Tính chất hình vuông ).
Vaäy : Taäp

l l l l

l





 

 

  

 

hợp 6 điểm B,C,F,G,E,D co ù trục đối xứng chính là đường thẳng DAF .
b) Qua phép đối xứng trục DAF ta có : ABC = AEG nên BAC AEG.

Nhưng : BCA AGE ( 2 đối xứng = )

AGE A (do KAG cân tại K) . Suy ra : A ₂  ₁A ₂ K,A,H thẳng hàng K ở trên AH .
c) Tứ giác AFPG là một hình chữ nhật nên : A,K,P thẳng hàng . (Hơn nữa K là trung điểm của AP )

 

  




 _        



 

Vậy : P ở trên PH .

d) Do EDC = DBP neân DC = BP .
DC = BP

Ta coù : DB = AB BDC ABP CD BP BCD APB nhưng hai góc này có cặp
BC = AP

cạnh : BC AP cặp cạnh cò 


 

n lại : DC BP.
Lý luận tương tự , ta có : BF CP.

e) Ta có : BCP . Các đường thẳng AH, CD và BF chính là ba đường cao của BCP nên đồng qui .
 




2AB

6 Cho hai điểm A và B và gọi Đ và Đ lần lượt là hai phép đối xứng tâm A và B ._A _B
a) CMR : Đ_B Đ_A T .

b) Xác định Đ_A Đ ._B

HD : a) Gọi M là một điểm bất kỳ , ta có :
M



 

 

     

 

 


A

B
Ñ

M : MA AM
Ñ

M M : MB BM . Nghóa là : M = Ñ_B Ñ (M), M (1)_A
I

I





   

   

      




  

   

     


B A

Ñ Ñ

Ta chứng minh : M M :
Biết : MM MM M M

Maø : MM 2MA vaø M M 2M B

Vaäy : MM 2MA 2M B 2MA 2M A 2AB
Vì : MA

I


        

   _  

2AB

AM neân MA M A 0 . Suy ra : MM 2AB M T (M), M (2)










</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

7 Chứng minh rằng nếu hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với nhau thì
(H) có tâm đối xứng .

HD : Dùng hình thoi

Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với nhau

 

 



 

.

Lấy điểm M bất kỳ thuộc (H) và M₁ Đ (M) , M_a ₂ Đ (M ) . Khi đó , theo_b ₁
định nghĩa M ,M₁ ₂ (H) .

Goïi O = a b , ta có : OM = OM và MOM₁ ₁ 2AOM ₁
OM = OM vaø M₁ ₂  

   





 

  

    

 

OM 2M OB

1 2 1

Suy ra : OM = OM vaø MOM₂ ₁ M OM₁ ₂ 2(AOM +M OB)₁ ₁
hay MOM₁ 2 90 180

Vaäy : O là trung điểm của M và M . ₂

Do đó : M₂ Đ (M), M (H),M_O ₂ (H) O là tâm đối xứng của (H) .

8 Cho  

   

  

   

 



 

N

ABC có AM và CN là các trung tuyến . CMR : Nếu BAM BCN = 30 thì ABC đều .
HD :

Tứ giác ACMN có NAM NCM 30 nên nội tiếp đtrịn tâm O, bkính R=AC và MON 2NAM 60 .
Đ

Xét : A_I B (O)_I



  

    

  

 _{ }






    


N

M M

Ñ

(O ) thì B (O ) vì A (O) .₁ ₁

Đ Đ

C B (O) (O ) thì B (O ) vì C (O) .₂ ₂
OO₁ OO₂ 2R

Khi đó , ta có : OO O là tam giác đều ._{1 2}
MON 60

Vì O B O B R R 2R O O nên B là trung điể₁ ₂ _{1 2}

I I

  

 



m O O ._{1 2}
Suy ra : ABC OO O (Vì cùng đồng dạng với BMN) ._{1 2}
Vì OO O là tam giác đều nên ABC là tam giác đều ._{1 2}

<i><b>Vấn đề 5 </b></i><b>: PHÉP QUAY </b>
<b>A. KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>



   

1 ĐN : Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác . Phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M sao cho OM = OM và (OM;OM ) = được gọi là phép quay tâm O với








Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm và góc quay
Kí hiệu : Q ._O

goùc quay .


   

   

 

 



Chú ý : Chiều dương của phép quay chiều dương của đường tròn lựơng giác .
2k

Q phép đồng nhất , k
(2k+1)

Q phép đối xứng tâm I , k
2 Tính chất :

ĐL : Phép quay


là một phép dời hình .
HQ :

1.Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương
ứng .

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>



 

 
(O ; )

Q Q

5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
Q

6. Đường trịn thành đường trịn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R

I I

I = R )

7. Góc thành góc bằng nó .
B. BÀI TẬP





 

 _




 
(O ; )

/

1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) . Tìm M = Q_{(O ; )}(M) .
HD :

x = rcos
Gọi M(x;y) . Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) = thì M

y = rsin

Q _/ _/

Vì : M_I M . Gọi M (x ;y ) thì đo  

           

           

   

   

/ /

ä daøi OM = r vaø (Ox;OM ) = + .
Ta coù :

x = rcos( + ) = acos .cos asin .sin x cos ysin .
y = rsin( + ) = asin .cos acos .sin xsin y cos .

x = x cos ysin
/

Vaäy : M

y = xsin y cos











   

 _{  }

  




      



 _{ }

    



 

(O ; )
(I ; )

o o
(I ; )

o o
Đặc biệt :

Q _// _{x = x cos} _ysin

M M

y = xsin y cos

Q _/ _{x x = (x x )cos}_o _o _{(y y )sin}_o

M M

y y = (x x )sin (y y )cos

I(x ;y ) _o _o _o

Q
M

I(x ;y )
I

I
I




   _{ }     

     



x x = (x x )cos (y y )sin

// o o o

M

y y = (x x )sin_o _o (y y )cos_o







(O ; 45 )

2 Trong mpOxy cho pheùp quay Q . Tìm ảnh của :
(O;45 )

2 2
a) Điểm M(2;2) b) Đường tròn (C) : (x 1) + y = 4

Q

/ / /

Giải . Gọi : M(x;y) _I M (x ;y ) . Ta coù : OM = 2 2, (Ox; OM) 
 

       




       



    

    

=
x = rcos( +45 ) r cos .cos45 rsin .sin 45 x.cos45 y.sin 45
/

Thì M

y = rsin( +45 ) rsin .cos45 r cos .sin 45 y.cos45 x.sin 45


 



 _

  



2 2

x = x y

/ 2 2

M

2 2

y = x y

2 2





 _{} _

 



 _



  







 _

 _

(O ; 45 )

(O ; 45 )

(O ; 45 )
Q

/

a) A(2;2) A (0 ;2 2)

Q _/

Tâm I(1;0) _{Tâm I ?}
b) Vì (C) : _{Bk : R = 2} (C ) :

Bk : R = R = 2
Q

2 2 2 2

/ 2 2

I(1;0) I ( ; ) . Vaäy : (C ) : (x ) + (y ) =

2 2 2 2

I

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

<b> </b>
<b>- 24 - </b>



 




  



1 3

x = x y

2 2

3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : . Hỏi f là phép gì ?
3 1

y = x y

2 2

 _ _ 


  

 _  _

 

  


Giải

x = x cos ysin

3 3

Ta có f : M(x;y) M (x ;y ) với f là phép quay Q

(O; )

y = xsin y cos ₃

3 3

I

4 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x y+1= 0 . Tìm ảnh của đường thẳng qua :
a) Phép đối xứng tâm I(1; 2). b) Phép quay Q .

(O;90 )
Giải

a) Ta có : M (x ;y ) = Đ (M) thì biểu thức _I

 



  



x 2 x x 2 x
tọa độ M _y _{4 y} _y _{4 y}
Vì M(x;y) ( ) : 2x y+1= 0 2(2 x ) ( 4 y ) 1 0 2x y 9 0
M (x ;y ) ( ) : 2x y 9 0

 

     

_ _ _ _

     

 

   

              

   

     

I

(O;90 )
Đ

Vậy : ( ) ( ) : 2x y 9 0
Q

b) Cách 1 : Gọi M(x;y) M (x ;y ) . Đặt (Ox ; OM) = , OM = r ,
Ta coù (Ox ; OM ) = + 90 ,OM r .

x = rcos
Khi đó : M _y



     

  

 

  






I

I

(O;90 )

(

Q

x r cos( 90 ) rsin y x y
M

= rsin _{y rsin(} _{90 ) rcos} _x y x

Vì M(x;y) ( ) : 2(y ) ( x ) + 1 = 0 x 2y + 1 = 0 M (x ;y ) ( ) : x 2y 1 0
Q

Vaäy : ( )

  



 _{} _         _ 

 _   _{ } _

 _ _{ } _{ } _ _{ } 

       

           



 


I

I O;90 ) ( ) : x 2y 1 0   

 

      



 

      

  

       






(O;90 )
(O;90 )
(O;90 )

Q

Caùch 2 : Laáy : M(0;1) ( ) M ( 1;0) ( )
Q

1 1

N( ;0) ( ) N (0; ) ( )

2 2

Q

( ) ( ) M N : x 2y 1 0
I

I
I

 

        _   __  

 

     




 

  _  











(O;90 )
(O;90 )

Q ₁

Caùch 3 : Vì ( ) ( ) ( ) ( ) mà hệ số góc : k 2 k

2
Q

M(0;1) ( ) M (1;0) ( )
Qua M (1;0)

( ) : _{hsg ; k =} 1 ( )
2

I
I

  

: x 2y 1 0



5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) . Hãy tìm toạ độ điểm A là ảnh
o

của A qua phép quay tâm O góc 90 .
HD :

Gọi B(3;0),C(0;4) lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox,

  

    

Oy . Pheùp
o

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>



  

   _{ }

  





 

 

6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy . Tìm phép quay Q biến điểm A( 1;5)
thành điểm B(5;1) .

OA OB 26
HD : Ta coù : OA ( 1;5) vaø OB (5;1)

OA.OB 0 OA OB
B = Q

(_{O ; 90 )} (A) .

     

     





 


7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M(4;1) . Tìm N = Q (M) .
(O ; 90 )

HD :

Vì N = Q (M) (OM;ON) 90 OM.ON = 0 4x+y = 0 y= 4x (1)
(O ; 90 )

2 2

Do : OM ON x y 16 1 17 (2) .

Giải (1) và  

  

(2) , ta coù : N(1; 4) hay N( 1;4) .

Thử lại : Điều kiện (OM;ON) 90 ta thấy N( 1;4) thoả mãn .




  



   _ _{ }



 






8 a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) . Tìm B = Q (A) .
(O ; 45 )
HD : Phép quay Q biến điểm A Oy thành điểm B đt : y x,ta có :

(O ; 45 )

x_B y_B 0 ₂ ₂

. Maø OB = x_B y_B 3 x

OA OB 3  

 


o

3 _B( 3 _; 3 _).

B ₂ ₂ ₂

4 3 3 3 4 3
b) Cho A(4;3) . Tìm B = Q (A) B ( ; )

(O;60 ) 2 2



   

 

      



   




2 2

9 Cho đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 4 . Tìm (C ) = Q (C) .
(O ; 90 )

2 2

HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I ( 2;3) (C ) : (x 2) (y 3) 4 .
(O ; 90 )

2 2

10 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 2 3) 5 . Tìm (C ) =

 

      




Q (C) .
(O ; 60 )

2 2

HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I ( 2;2 3) (C ) : (x 2) (y 2 3) 5 .
(O ; 60 )



   

 

         




2 2

11 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 2) 3 . Tìm (C ) = Q (C) .
(O ; 45 )

2 2

HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I (1 2;1 2) (C ) : (x 1 2) (y 1 2) 3 .
(O ; 45 )









12 [CB-P19] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(2;0) và đường thẳng (d) : x + y 2 = 0.
Tìm ảnh của A và (d) qua phép quay Q .

(O ; 90 )
HD :

Ta có : A(2;0) Ox . Gọi B = Q (
(O ; 90 )

 

 



    



 



A) thì B Oy và OA = OB .
Vì toạ độ A,B thoả mãn pt (d) : x + y 2 = 0 nên A,B (d) .

Do B = Q (A) và tương tự Q (A) = C( 2;0)
(O ; 90 ) (O ; 90 )

x y x y

neân Q (d) = BC (BC) : 1

(O ; 90 ) x_C y_C 2 2



</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

       

  

 

   

  




13 Cho (d) : x 3y 1 = 0 . Tìm = Q (d) . ( ) : 3x y 1 0
(O ; 90 )

14 Cho (d) : 2x y 2 = 0 . Tìm = Q (d) .
(O ; 60 )

1 3
aûnh

HD : d Ox = A(1;0) , d Oy = B(0;2) A ( ; ),B ( 3;1)
2 2

( ) : ( 3 2)x (2 3 1)y 4 0   







15 Cho tam giác đều ABC có tâm O và phép quay Q .
(O;120 )
a) Xác định ảnh của các đỉnh A,B,C .

b) Tìm ảnh của ABC qua phép quay Q

(O;120 )

 _  _ _ _ _ _

  





Giải

a) Vì OA = OB = OC và AOC BOC COA 120 neân Q : A B,B C,C A
(O;120 )

b) Q : ABC ABC

(O;120 )

I I I

16 [CB-P19] Cho hình vuông ABCD tâm O .
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay Q .

(A ; 90 )
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay Q

(O ; 90 )
HD : a) Gọi E = Q (C) thì AE=AC va

(A ; 90 )





 ø CAE 90 neân AEC

vng cân đỉnh A , có đường cao AD . Do đó : D là trung điểm của EC .
b) Ta có : Q (B) C và Q (C) D Q (BC) CD.

(O ; 90 ) (O ; 90 ) (A ; 90 )

 

   

  







 



 

17 Cho hình vuông ABCD tâm O . M là trung điểm của AB , N là trung điểm

của OA . Tìm ảnh của AMN qua phép quay Q .

(O;90 )

HD : Q (A) D , Q (M) M laø trung điểm của A

(O;90 ) (O;90 )



  

   

 

D .

Q (N) N là trung điểm của OD . Do đó : Q ( AMN) DM N

(O;90 ) (O;90 )



18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác đều ABCDEF , O là tâm đường trịn ngoại tiếp của nó . Tìm ảnh của
OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O

  

  






  

  




OE

OE _{(O;60 )}

(O;60 ) (O;60 ) (O;60 )

OE OE OE

, góc 60 và phép
tịnh tiến T .

HD :

Gọi F = T Q . Xeùt :

Q (O) O,Q (A) B,Q (B) C .
T (O) E,T (B) O,T (C) D

Vaäy : F(O) = E , F(A) = O ,




</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

19 Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương , O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó . I là
trung điểm của AB .

a) Tìm ảnh của AIF qua phép quay Q .
(O ; 120 )
b) Tìm ả

 _

nh của AOF qua pheùp quay Q .
(E ; 60 )
HD :

a) Q biến F,A,B lần lượt thành B,C,D , trung điểm I
(O ; 120 )

thành trung điểm J của CD neân Q ( AIF) CJB .
(O ; 120 )

b) Q bieán
(E ; 60 )



  










 A,O,F lần lượt thành C,D,O .

15 Cho ba điểm A,B,C theo thứ tự trên thẳng hàng . Vẽ cùng một phía dựng hai tam giác đều ABE và
BCF . Gọi M và N tương ứng là hai trung điểm của AF và CE . Chứng minh rằng : BMN là tam giác đều .
HD :

Xeùt phép quay Q_{(B; 60 )}.Ta có : Q_{(B; 60 )}(A) E , Q_{(B; 60 )}(F) C
Q_{(B; 60 )}(AF) EC .

Do M là trung điểm của AF , N là trung điểm của EC , nên :

Q_{(B; 60 )}(M) N BM

 

  

 _ 

 



  



 = BN và MBN 60   BMN là tam giác đều .



21 [ CB-1.17 ] Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC . Điểm A chạy trên nửa đường trịn đó .
Dựng về phía ngồi của ABC hình vng ABEF . Chứng minh rằng : E chạy

trên nửa đ






ường cố định .

HD : Gọi E = Q (A) . Khi A chạy trên nửa đường tròn (O) ,
(B;90 )

E sẽ chạy trên nửa đường tròn (O ) = Q [(O)] .
(B;90 )









22 Cho đường (O;R) và đường thẳng không cắt đường tròn . Hãy
dựng ảnh của ( ) qua phép quay Q .

(O ; 30 )
Giải

Từ O hạ đường vng góc OH với . Dựng điểm H sao cho

(OH   






;OH ) = 30 và OH = OH . Dựng đường tròn qua 3 điểm O,H,H ;
đường tròn này cắt tại điểm L . Khi đó LH là đường thẳng phải dựng .





    

23 Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d , M là điểm
di động trên d . Hãy tìm tập hợp các điểm N sao cho OMN đều .
Giải : OMN đều OM ON và NOM 60 . Vì vậy khi M chạ












y trên d thì :
N chạy trên d là ảnh của d qua phép quay Q .

(O;60 )
N chạy trên d là ảnh của d qua phép quay Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>



   

24 Cho hai đường tròn (O) và (O ) bằng nhau và cắt nhau ở A và B .
Từ điểm I cố định kẻ cát tuyến di động IMN với (O) , MB và NB cắt
(O ) tại M và N . Chứng minh đường thẳng 

  

    

M N luôn luôn đi qua một
điểm cố định.

Giải

Xét phép quay tâm A , góc quay (AO; AO ) = biến (O) thành (O ) .
Vì MM và NN qua B nên (AO;AO ) = (AM;AM ) = (AN;AN ) .
Qua pheùp quay Q : M_I



 

 

 


 

 _

(A; )

M , N N và do đó
Q

MN M N

Đường thẳng MN qua điểm cố định I nên đường thẳng M N qua
điểm cố định I là ảnh của I qua Q(A; )

I
I










25 Cho hai hình vuông ABCD và BEFG

a) Tìm ảnh của ABG trong phép quay Q .
(B; 90 )
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AG và CE .
Chứng minh BMN vng cân .

Giải

BA BC
a) Vì

(BA;

  

 

 

   

 

 

      

 

     

 

 

 

 

 


BG BE

vaø

BC) 90 (BG;BE) 90

Q : A C,G E Q : ABG CBE

(B; 90 ) (B; 90 )

b) Q : AG CE Q : M N BM BN vaø (BM;BN) = 90

(B; 90 ) (B; 90 )

BMN vuông cân tại B .

I I

I



 

26 Cho ABC . Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE và ACF . Gọi M là trung điểm của BC
và giả sử AM FE = H . Chứng minh : AH là đường cao của AEF .








HD :

Xét phép quay Q : Kéo dài FA một đoạn AD = AF .
(A;90 )

Vì AF = AC AC = AD nên suy ra : Q biến B , C lần lượt thành E , D
(A;90 )

Đ/nghó
nên gọi trung điểm K của DE thì K= Q (M)

(A;90 )  


  

a MA AK (1) .
Trong DEF , vì AK là đường trung bình nên AK // FE (2)

Từ (1),(2) suy ra : AM FE AH là đường cao của AEF .
 

27 Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều
dương . Các đường chéo cắt nhau tại I. Trên cạnh BC lấy BJ = 1 . Xác định
phép biến đổi AI thành BJ .

HD      

 









 

AB 2

: Ta coù : AI= 1 AI BJ . Lại có : (AI,BJ) 45 .

2 2

BJ = Q (AI) . Tâm O = ttrực của AB cung chứa góc 45 đi
(O;45 )

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

<b> </b>
<b>- 29 - </b>



28 [CB-1.18] Cho ABC . Dựng về phía ngồi của tam giác các hình vng BCIJ,ACMN,ABEF
và gọi O,P,Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng .

a) Gọi D là trung điểm của AB . Chö 


 



ùng minh rằng : DOP vuông cân tại D .
b) Chứng minh rằng : AO PQ và AO = PQ .

HD :

a) Vì : AI = Q (MB) MB = AI và MB AI .
(C;90 )



Mặt khác : DP 1 BM , DO

2 AI

DP = vaø DO   DOP vuông cân tại D .

(D;90 )  (D;90 )  
b) Từ câu a) suy ra :

Q Q

O _I P,A _I Q OA và PQ.



29 Cho ABC có các đỉnh kí hiệu theo hướng âm . Dựng
về phía ngồi tam giác đó các hình vng ABDE và BCKF .
Gọi P là trung điểm của AC , H là điểm đối xứng của D qua B ,
M là tr








 


ung điểm của đoạn FH .

a) Xác định ảnh ủa hai vectơ BA và BP trong phép quay Q .
(B;90 )
b) Chứng minh rằng : DF BP và DF = 2BP .

HD :

BA = BH (cùng bằng BD)
a) Ta coù :

(BA;BH) = 90




   

   

 

 

  

 

 

 

 

90 90

H Q_B (A) BH Q_B (BA)

90 90 90

Vì : Q_B (A) H,Q_B (C) F Q_B (AC) HF .

90 90

Mà : F là trung điểm của AC , Q_B (F) M là trung điểm của HF . Do đó : Q_B (BP) BM

   

 




 

.
90

b) Vì : Q_B (BP) BM BP BM,BP BM .

1 1

Mà : BM = DF và BM // DF (Đường trung bình của HDF ). Do đó : BP = DF , DF BP .

2 2

30 Cho tứ giác lồi ABCD . Về phía ngồi tứ giác dựng các tam giác đều ABM , CDP . Về phía trong
tứ giác, dựng hai tam giác đều BCN và ADK . Chứng minh : MNPK là hình bình hành .

H  

   

 

   






(B;90 )

(D;90 )
60

D : Xeùt pheùp quay Q_B : M A , N C
Q

MN AC MN AC (1)
60

Xeùt pheùp quay Q_D : P C , K A
Q

PK CA PK CA (2)
Từ (1) , (2) suy ra : MN = PK .

Lí luận , tươ

I I

I

I I

I



</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

(B;60 ) (B;60 )
31 Cho ABC . Về phía ngồi tam giác , dựng ba tam giác đều
BCA ,ACB ,ABC . Chứng minh rằng : AA ,BB ,CC đồng quy .₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁

HD :

Q Q

Gỉa sử AA₁ CC₁ I . Xét : A₁ C,A C₁
A A₁



   



 

I I

I  


(B;60 )

Q

CC₁ (A A;CC ) 60₁ ₁ AIC₁ 60 (1)
Lấy trên CC điểm E sao cho : IE = IA . Vì EIA 60₁ EIA đều .

    

  

 _ _



(A; 60 ) (A; 60 ) (A; 60 )

Q Q Q

Xeùt : B C ,I₁ E , B₁ C

Vì : C ,E,C thẳng hàng nên B,I,B thẳng hàng ₁ ₁
AA ,BB ,CC đồng quy .₁ ₁ ₁

  

  



  

I I I

32 Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối tâm các hình vng dựng
trên các cạnh của một hình bình hành về phía ngồi , hợp thành
một hình vng .

HD : Gọi I ,I ,I ,I là tâm của_{1 2 3 4}

 

   

     

    




(I;90 )

hình vuông cạnh AB,BC,CD,DA .
Dùng phép quay Q(I;90 ) : B C . Vì I BA₁ I CD₃

CI₃ BI vaø DCI₁ ₃ ABI₁ 45 . Mà DC // AB CI₃ BI₁
Q

Vậy : I₃ I₁ I I_{2 1} I I vaø I I_{2 3} _{2 1} I I ._{2 3}
Lý luận tương t

I

I

ự , ta có : I I I I là một hình vng ._{1 2 3 4}
<i><b>Vấn đề 6 </b></i><b>: HAI HÌNH BẰNG NHAU </b>

<b>A.</b> <b>KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>

       

1 ĐL : Nếu ABC và A B C là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến ABC thành A B C .
2 Tính chất :

1. Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình .

2. Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia .
<b>B.</b> <b>BÀI TẬP </b>

 

1 Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E,F,H,I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
AB,CD,BC,EF. Hãy tìm một phép dời hình biến AEI thành FCH .

HD :

Thực hiện liên tiếp phép tịnh tie

      



 

án theo AE và phép đối xứng qua đường thẳng IH
T _AE: A_I E,E_I B,I_I H T_AE( AEI) EBH

      

  

      






Ñ_IH: E F,B C,H H Ñ ( EBH)_IH FCH
Ñ_{IH AE}: T ( AEI) FCH

Do đó : Đ_IH T_AE( AEI) FCH AEI FCH

I I I

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

2 Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi O là tâm đối xứng của nó ; E,F,G,H,I,J theo thứ tự là trung điểm của
các cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG . Chứng minh rằng : Hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau .
HD :

Phép tịnh tiến theo AO biến A,I,O,E lần lượt thành O,J,C,F . Phép đối
xứng qua trục của OG biến O,J,C,F lần lượt thành G,J,F,C.

Từ đó suy ra phép dời hình có được ba


èng cách thực hiện liên tiếp hai
phép biến hình trên sẽ biến hình thang AJOE thành hình thang GJFC .
Do đó hai hình thang ấy bằng nhau .






3 [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) và đường thẳng (d) : 2x y = 0 . Tìm ảnh của (d) qua phép
dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay Q và phép tịnh tiến

(O;90 ) T .u

 

 

    

         




 

(O;90 ) _u

Q _T

HD : PP : d d d

Goïi d Q (d) . Vì tâm O d nên Q (O) O d .

(O;90 ) (O;90 )

Maët khaùc : d d d : x 2y C 0 (C 0) mà d qua O nên C = 0 d : x + 2y = 0
Cách khác : Chọn

I I



 

  

 _  _  _

           

_ _ _

  

           

  





    

    

(O;90 )
Q

M(1;2) d M d .

x OM cos( 90 ) x OM cos cos90 OMsin sin90 x x cos90 ysin90
Ta coù : M

y OMsin( 90 ) y OMsin cos90 OM cos sin90 y y cos90 xsin90

I

   

   _   _ _ _

 _{  }




  



        

 

    

   _ _  

  

 

    

 

 



 _


x 1cos90 2sin90 x 2 _{M ( 2;1)}
y 1

y 2 cos90 1sin90

Goïi d T (d )_u d // d d : x 2y C 0 .
x x 3 x 3

Goïi O T (O)_u OO = u O (3;1) .
y y 1 y 1

Vì d O 3 2 C 0




      



   



 

C 5 d : x 2y 5 0
Vaäy :T Q_u (d) (d ) : x 2y 5 0

(O;90 )

    



 2 2

4 Tìm ảnh của đường trịn (C) : x y 2x 4y 4 0 có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
tịnh tiến theo u = (3; 1) và phép Đ_Oy .

ÑS : (C ) : (x + 4) 2 (y 3)2 9

    



2 2

5 Tìm ảnh của đường trịn (C) : x y 6x 2y 6 0 có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
quay Q và phép Đ_Ox .

(O;90 )

HD : (C) có tâm I(3;1) , bk : R = 2 . Khi đó :

(C) : I(3;1)         


   



(O;90 ) _Ox

Q _Ñ

, R = 2 (C ) : I ( 1;3) , R = 2 (C ) : I ( 1; 3) , R = 2

2 2

(C ) :(x + 1) (y 3) 4

I I

  

  






6 [CB-P23] Trong mpOxy cho các điểm A( 3;2),B( 4;5) vaø C( 1;3).

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>







(O;

Q và phép đối xứng Đ_Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của A B C ._{1 1 1}
(O; 90 )

HD :

a) Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A trên Ox,Oy thì
M( 3;0),N(0;2).

Q
Khi đó : Hình chữ nhật OMAN_I 



  



 





 

 

 

  





 



90 )

(O; 90 )

hcnhật OM A N
với M (0;3),N (2;0).

Do đó : A (2;3) = Q (A) .
(O; 90 )

Ttự : B (5;4) = Q (B),C (3;1) = Q (C) .
(O; 90 ) (O; 90 )

Q

Cách khác : Gỉa sử A_I A AOA vng c
   

ân tại O .

Điều đó đúng vì : OA = OA = 13, OA.OA 0 . Làm tương tự cho B,C ta có điều cần chứng minh .

     

     

 

b) Pheùp quay : Q ( ABC) A B C ,Ñ_Ox( A B C ) A B C_{1 1 1}
(O; 90 )



1
1

x_A x_A 2

Khi đó : A (2; 3).Ttự : B (5; 4),C (3; 1).₁ ₁ ₁
y_A y_A 3

2
7 Trong mpOxy , cho hai parabol : (P ) : y 2x ,₁

2

(P ) : y 2x₂ 4x 1. Khẳng định nào sau đây sai ?

2 2

A) y 2x 4x 1 y 2(x 1) 3
B)

  _ 

 _ _ _ _

 _ _{ }






  

      

Tịnh tiến sang trái 1 đơn vị rồi xuống dưới 3 đơn vị ta được (P ).₂
C) (P ) và (P ) bằng nhau .₁ ₂

D) Phép tịnh tiến theo u = (1; 3) biến (P ) thành (P ) .   ₁ ₂ ÑS : B)
8 Trong mpOxy , cho 4 điểm A(2;0),B(4;4),C(0;2) và D( 4;4) .

Khẳng định nào sau đây sai ?

A) Các OAC, OBD là các tam giác vuông cân .
B) Phép quay : OA



 

 B Q(O;90 ) OCD .
C) OAB vaø OCD là hai hình bằng nhau .

D) Tồn tại một phép tịnh tiến biến A thành B và C thaønh D .
ÑS : D)



 



I

9 Trong mpOxy cho ABC với A( 3;0),B(0;3),C(2;4) . Phép biến hình f biến A thành A ( 1;3) , B
thành B (2;6) , C thành C (4;7) . Khẳng định nào sau đây đúng ?     






3
A) f là phép quay Q . B) f là phép đối xứng tâm I( 1; ) .

(O;90 ) 2

C) f là phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;3) . D) f là phép đối xứng trục .

ÑS : C)

<i><b>Vấn đề 7 </b></i><b>: PHÉP VỊ TỰ </b>

<b>A.</b> <b>KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>



   
1 ĐN : Cho điểm I cố đinh và một số k 0 . Phép vị tự tâm I tỉ số k .

k

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

k
I

k
2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x ;y ) và phép vị tự V ._{o o} _I

x x = k (x x ) x = kx+ (1 k)x

V _k _o _o _o

M(x;y) M V (M) (x ;y ) thì _I

y y = k (y y )_o _o y = ky+ (1 k)y_o

 

    

 

  

   _ _

   

 

 

I

      

3 Tính chất :

k k

1. M V (M), N V (N) thì M N = kMN , M N = |k|.MN_I _I

2. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứng .
3. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
4. Biến một tia thành tia .

5. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên |k| .
6. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó .

7. Đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = |k|.R .
8. Biến góc thành góc bằng nó .

<b>B . BÀI TẬP </b>




1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I , tỉ số k 0 :

a) A(1;2) , I(3; 1) , k = 2 .   


      

A ( 1;5)
b) B(2; 3),I( 1; 2),k 3 . B ( 10;1)

1

c) C(8;3), I(2;1) , k = .

2  

 

       

C (5;2)

2 1 1

d) P( 3;2),Q(1;1),R(2; 4) , I O,k = 1/ 3 P (1; ),Q ( ; )

3 3 3  



   

     

        _{   }




   _

_{  }  



 
(I;2)

2 4
,R ( ; )

3 3

V _{x 3} ₄

HD : a) Goïi : A(1;2) A (x ;y ) IA 2IA (x 3;y 1) 2( 2;3)

y 1 6
x 1

A ( 1;5) .
y 5

I

2 Cho ba điểm A(0;3),B(2; 1),C( 1;5) . Tồn tại hay không tồn tại một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến
B thành C ?

HD : Gỉa sử tồn tại một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thà

 

(A;k)

nh C .

V _{1 k(2)} ₁

Khi đó : B C AC kAB k
2 k( 4) 2
Vậy : Tồn tại phép vị tự V ₁ : B C .

(A; )
2

3 Cho ba điểm A( 1;2),B(3;1),C(4;3) . Tồn tại hay không tồn ta
 

   _{  }   







 
I

I

(A;k)

ïi một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến
B thành C ?

HD : Gỉa sử tồn tại một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C .
V

Khi đó : B C AC kAB (1) .
AC (5;4),

  



 

 I

(A;k)
(1) 5 4k k 5 / 4

AB (4;1) _{1 k} _k ₁ he ävô nghiệm AC kAB, k
V

Vậy : Không tồn tại phép vị tự B C

   

 _ _     

   

 



  

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

4 Cho OMN . Dựng ảnh của M,N qua phép vị tự
tâm O , tỉ số k trong mỗi trường hợp sau :

1 3

a) k = 3 b) k = c) k =

2 4

Giaûi

3

a) Phép vị tự V : M_O M







I , N N thì ta có OM 3OM,ON 3ON

1/2

b) Phép vị tự V_O : M H , N K thì HK là đường trung bình của OMN .
3

3/4

c) Phép vị tự V_O : M P , N Q thì ta có OP OM
4

  

  

  

 _ _ _{ }

   

 
I

I I

I I ,OQ 3ON

4
 
 

5 Cho hình bình hành ABCD (theo chiều kim đồng hồ) có tâm O . Dựng :
a) Ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O , tỉ số k = 2 .
b) Ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị t 

 

 

 

 

 

 




 
 
 

1
ự tâm O , tỉ số k = .

2
Giải

2

a) Gọi V : A_O A thì OA 2OA
B B thì OB 2OB
C C thì OC 2OC
D D thì O

I
I
I

I  

   

 

       

 _ _{ }

  

 

 

 
 
D 2OC
2

V : ABCDM_O A B C D .

Ta veõ : AB// A B ,BC// B C ,CD // C D ,DA // D A
1

1/2

b) Goïi V_O : A P thì OP OA
2
1
B Q thì OQ OB

2

I
I
I

  

  



 

 
 

 

1
C R thì OR OC

2
1
D S thì OS OD

2
1/2

V_O : ABCDM PQRS .
Ta veõ : AB// PQ,BC// QR,CD // RS,DA // SP .

I
I



  

6 Cho ABC có AB = 4, AC = 6 , AD là phân giác trong của A của ABC (D BC) . Với giá trị nào
của k thì phép vị tự tâm D , tỉ số k biến B thành C .

HD :

Theo tính chất của phân gi 



          



 


 

( D; 3/2 )
ác trong của A , ta coù :

V

DB AB 4 2 _DC 3_DB _B _{C .}

AC 6 3 2

DC

Do DB và DC ngược hướng .

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

 



    _{ }

7 Cho ABC vuông ở A và AB = 6, AC = 8 . Phép vị tự V ₃ biến B thành B ,C thành C .
(A; )

2
Khẳng định nào sau đây sai ?

9

A) BB C C là hình thang . B) B C = 12 . C) S_{AB C} S_ABC . D) Chu v

4    

  

    

(A;3/2)

2

i ( ABC) = Chu vi( AB C ) .
3

HD :

V

A) đúng vì B C BC .

3 3 ₂ ₂

B) sai vì : B C = BC AB AC 15

2 2




 

    

 


1_{.AB .AC} 3_{.AB. .AC}3

S_{AB C} ₂ ₂ ₂ 9

C) đúng vì : .

1

S_ABC _.AB.AC AB.AC 4
2

Chu vi AB C 3

D) đúng vì :

Chu vi ABC 2








8 Cho ABC có hai đỉnh là B và C cố định , còn đỉnh A di động trên đường tròn (O) cho trước .
Tìm tập hợp các trọng tâm của ABC .

 1
HD : Gọi I là trung điểm của BC . Ta có I cố định . Nếu G là trọng tâm của ABC thì IG IA .

3
1/3

Vậy G là ảnh của A qua phép vị tự V_I .

Tập hợp điểm A là đường tròn (O) nên tập hợp G là đường tròn (O ) , đó chính là ảnh của đường trịn
1/3

(O) qua phép vị tự V_I .

9 Trong mpOxy , cho điểm A( 1;2) và đường thẳng d



 đi qua A có hệ số góc bằng 1 . Gọi B là điểm
di động trên d . Gọi C là điểm sao cho tứ giác OABC là hình bình hành .Tìm phương trình tập
hợp :

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

HD :
a)

Qua A( 1;2)

(AB): (AB) : y 2 1(x 2) y x 4
Hsg : k

1

Vậy B chạy trên d thì I chạy trên d // d và đi qua trung điểm M( ;1) của đoạn OA .
3

Vaäy d : x y 2 = 0 .
b) Ta coù

  _ _{ } _{   }




 

  







 : OG 2OB G V_O2/3(B) . Vaäy G chạy trên đt d // d và qua điểm N( 2 2; ).

3 3 3

d : x y 2 = 0 .

10 Tìm ảnh của các đường thẳng d qua phép vị tự tâm I , tỉ số k :
a) d



   



  

 

2

: 3x y 5 = 0 ,V(O; ) d : 9x 3y 10 0
3

b) d : 2x y 4 = 0 ,V(O;3)



      

  d : 2x y 12 0
c) d : 2x y 4 = 0 ,V(I; 2) với I( 1;2) d : 2x y 8 0
d) d : x 2y 4 = 0



   



       

  ,V(I;2) với I(2; 1)  d : x 2y 8 0   
11 Tìm ảnh của các đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I , tỉ số k : (Có 2 cách giải )

2 2

a) (C) : (x 1)  (y 2) = 5 ,V(O; 2)  (C) : (x 2) 2 (y 4) = 202

2 2 2 2

b) (C) : (x 1) (y 1) = 4 ,V(O; 2) (C) : (x 2) (y 2) = 16

2 2

c) (C) : (x 3) (y 1) = 5 ,V(I; 2) với I(1;2)

 

      

    (C) : (x 3)2 (y 8) = 202
12 Tìm phép vị tự biến d thành d :

x y

a) d : 1,d : 2x y 6 0,V(O;k)
2 4

   




     k = .2

3
HD : d : 2x y 4 0 // d : 2x y 6 0 . Laáy A(2;0) d,B(3;0) d .

3
Vì : phép vị tự V(O;k) : A B OB kOA . Vì : OA= (2;0),OB (3;0) OB OA

2



 

       

      

I

3 3

V(O; ) V(O; )

2 2

Vaäy : A B d d

Lưu ý : Vì O,A,B thẳng hàng nên ta chọn chúng cùng nằm trên một đường thẳng . Để đơn giản ta chọn
chúng cùng nằm trên Ox hoặc Oy



  

I I

.

        

  



2 2 2 2

b) (C ) : (x 4)₁ y 2 ; (C ) : (x 2)₂ (y 3) 8 V(I; 2),I( 2;1)
HD :

(C ) có tâm I ( 4;0),R₁ ₁ ₁ 2 , (C ) coù taâm I (2;3),R₂ ₂ ₂ 2 2
V(I;k)

Gỉa sử :(C )₁ _I


 (C ) thì :₂

      



         

        



 


R2

R₂ | k | R₁ | k | 2 k 2
R1

II₂ kII thì ₁

k = 2 . Gọi I(x ;y ) thì (2 x ;3 y )_{o o} _o _o 2( 4 x ; y )_o _o I( 2;1)
k = 2 . Gọi I(x ;y ) thì (2 x ;3 y ) 2( 4 x ; y )_{o o} _o _o _o _o I( 10; 3)




    

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

<b> </b>

 2  2  2  2

13 Trong mpOxy , cho 2 đường tròn (C ) : (x 1)₁ (y 3) = 1 và (C ) : (x 4)₂ (y 3) = 4 .
a) Xác định toạ độ tâm vị tự ngồi của hai đường trịn đó .

b) Viết phương trình các tiếp tuyến c

 


 

hung ngồi của hai đường trịn đó .
HD : (C ) có tâm I (1;3) , bk : R₁ ₁ ₁ 1 ; (C ) có tâm I (4;3) , bk : R₂ ₂ ₂ 2 .

a) Gọi I là tâm vị tự ngoài của (C ) và (C ) , ta có : II₁ ₂ ₂ kII với₁ k = R2    2 2 I( 2;3)
R₁ 1

        



       

b) Tiếp tuyến chung ngồi của hai đường trịn là tiếp tuyến từ I đến (C ).₁

Gọi đt đi qua I và có hệ số góc k :y 3 = k(x+2) ky y 3 2k 0 .
1

tiếp xúc (C )₁ d(I ; ) R₁ ₁ k

2 2

 _ _ _ _



    



: 2.x 4y 12 3 2 0
1

: 2.x 4y 12 3 2 0
2

 




14 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB . Một đường trịn (O ) tiếp xúc với (O,R) và đoạn AB tại
C, D , đường thẳng CD cắt (O,R) tại I . Chứng minh rằng : AI BI .

HD :

C là tâm v

 



 

 





 



  

ị tự của 2 đường tròn (O) và (O ) .
D (O ), I (O) và ba điểm C,D,I thẳng hàng .
Gọi R là bán kính của đường trịn (O ) , khi đó :

R
R

V_C : O O ,I D
OI // O D I OI AB (VI


  

 

  

ì O D AB)
I là trung điểm của AB AI BI .

  

 

15 Cho hai đường tròn (O,R) và (O , R ) tiếp xúc trong tại A (R > R ) .
Đường kính qua A cắt (O,R) tại B và cắt (O , R ) tại C . Một đường

thẳng di động qua A cắt (O, R) tại M và ca   

  

ét (O , R ) tại N . Tìm quỹ tích của I = BN CM .
HD :

IC CN
Ta có : BM // CN . Hai BMI NCI . Do đó :

IM BM

  

  

     



 




  _ _

     

 

 




 
AC CN
Hai ACN ABM . Do đó :

AB BM

IC AC 2R R IC R

IM AB 2R R IM IC R R

R
V(C;k )

CI R _CI R _CM _{M :} _{R R} _I

CM R R R R

Vậy : Tập hợp các điểm I là đường tròn ( ) vị tự của đường

I






R
tròn (O,R) trong phép vị tự V(C ;k ) .

R R


  



16 Cho ABC . Gọi I , J . M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và IJ . Đường tròn ngoại tiếp tâm O

của AIJ , cắt AO tại A . Gọi M là chân đường vng góc hạ từ A xuống BC

 . Chứng minh rằng : A ,

M , M thẳng hàng .

 

 

 

     

 

 

   
HD :

Gọi M là trung điểm BC .Ta có : AB 2AI và AC 2AJ₁
V(A;2)

Từ đó : AIJ ABC . Khi đó :

V_(A;2): O A ,M M ₁ OM IJ A M₁ BC .
Nhö thế : M₁ M A,M,M thẳng hàng ( vì A,M

I I

,M thẳng hàng )₁

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

17 Cho ABC . Gọi A ,B ,C tương ứng là trung điểm của BC,CA,_{1 1 1}
AB. Kẻ A x,B y,C z lần lượt song song với các đường phân giác trong₁ ₁ ₁
của các góc A,B,C của ABC . Chứng minh : A x,B y,C z₁ ₁ ₁



 đồng quy.

 



  

   

HD :

1

Xét phép vị tự tâm G , tỉ số . G là trọng tâm ABC ,
2

I là tâm đường trịn nợi tiếp ABC .

Ta coù : AJ A x , BI₁ B y , CI₁ C z ,₁

GI 1

I J ( ) A x,B y,C z đồng quy tạ₁ ₁ ₁

GJ 2

I I I

I i J .

18 Cho hai đường tròn (O ,R ) và (O ,R ) ngoài nhau_{1 1} _{2 2}
R₁ R . Một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc ngoài ₂
với (O ) tại A và tiếp xúc ngoài với (O ) tại B . Chứng₁ ₂
minh rằng : Đường t



hẳng AB luôn luôn đi qua một điểm
cố định .

HD : Kéo dài AB cắt (O ) tại C₂

A là tâm vị tự trong biến (O ) thành (O) : AO và AO ngược hướng .₁ ₁

B là tâm vị tự trong biến (O) thành (O ) : AO và CO ngược hướng ₂ ₂

 
 
Vậy : AO và CO cùng hướng . Như vậy AC hay cũng là₁ ₂
AB phải đi qua tâm I à tâm vị tự ngoài của (O ) và (O ) .₁ ₂

 

19 Cho ABC . Người ta muốn định ba điểm A ,B ,C lần lượt trên các cạnh BC,CA,AB sao cho A B C
đều và A B CA , B C AB và C A BC .

1. Gọi E,F,K lần lượt là chân các đường cao

     

 

     

phát xuất từ A,B,C .

2/3 2/3 2/3

Đặt : C = V_B (A),A = V_B (E),B = V_B (F).
2
2/3

a) Nghiệm lại rằng : A = V_B (E) và B C CK .
3

b) Suy ra rằng : A B C đều .

2. Chứng minh rằng trực

  

   

  


 

taâm H của ABC cũng là trọng tâm của A B C .
HD :

a 3

Trong ABC đều các đướng cao : AE = BF = CK = .(a là cạnh của ABC)
2

và E,F,K lần lượt là trung điểm các cạnh .
1. a) Vì A = V

  

 

 

 _B2/3(E) BA 2BE BC CA 2 1( BC) CA 2CB . Vaäy : A = V_B2/3(E) .

3 3 2 3

2 2 1 2

2/3 2/3

Vì C = V_B (A) BC BA BA AC BA AC BA AK B = V_A (C).

3 3 3 3

   

      

           

      
       

2/3 2/3

A A

V V 2

Vaäy : C B , K C B C CK .
3

   

   

I I

 

 



   _{ }

 



 



B C // CK cùng AB
2

b) Ta có : B C CK ₂ _{a 3}
3 B C = CK =

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

   

 ₂ ₂
Tương tự : C A AE và A B BF .

3 3

            a 3     
Vậy : B C AB,C A BC,A B AC và B C =C A =A B = A B C đều .

3


  

       

 

         

2. Trực tâm H của ABC cũng là trọng tâm của tam giác đó , nên :

2 2 2 2

BH BF. Maø : BC BA BH BC (BF BA) C H AF .

3 3 3 3

Vaäy : C H // AF . Suy ra : C   

   H A B

Lý luận tương tự : A H B C .

<i><b>Vấn đề 8 </b></i><b>: PHÉP ĐỒNG DẠNG </b>

<b>A. KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>

1 ĐN : Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M , N và ảnh M ,
N là ảnh của chúng , ta có M N = k.MN .

2 ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ so



  

á k (k> 0) đều là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k và một phép
dời hình D.

3 Hệ quả : (Tính chất ) Phép đồng dạng :

1. Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) .
2. Biến đường thẳng thành đường thẳng .

3. Biến tia thành tia .

4. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên k ( k là tỉ số đồng dạng ) .

5. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó ( tỉ số k).

6. Biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = k.R .
7. Biến góc thành góc bằng nó .

4


Hai hình đồng dạng :

ĐN : Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng biến hình này thành hình kia .
F

H đồng dạng G  F đồng dạng : H _IG

<b>B. BÀI TẬP </b>

1 Cho điểm M

a) Dựng ảnh của phép đồng dạng F là hợp thành của phép đối xứng trục Đ và phép vị tự V tâm O ,_a
với O a , tỉ số k = 2 .

b) Dựng ảnh của phép đồng dạng F là 

2

a O

hợp thành của phép vị tự V tâm O , tỉ số k = 3 và phép quay
tâm I với góc quay = 90 .

Giải

Đ V

a) Gọi : M M₁ M₂

M (a) thì M₁ M và M là trung điểm OM₂
M (a) v




 

 





I I



 à O M thì :₁
a là trung trực đoạn MM1
M là trung điểm đoạn OM ₁ ₂
M (a) và O M thì :₁

a là trung trực đoạn MM1
M là trung điểm đoạn OM ₁ ₂
b) Gọ



 







3 90

O I

V Q

i M M₁ M . Khi đó : ₂
OM₁ 3OM , IM = IM và (IM ;IM ) 90₁ ₁ ₂



 

  



</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

2 Cho ABC có đường cao AH . H ở trên đoạn BC . Biết AH = 4 , HB = 2 , HC = 8 . Phép đồng dạng F
biến HBA thành HAC . F được hợp thành bởi hai phép biến hình nào dưới đây ?

A) P


 

1
hép đối xứng tâm H và phép vị tự tâm H tỉ số k = .

2
B) Phép tịnh tiến theo BA và phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 .
C) Phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 và phép quay tâm H , góc (H



B;HA) .
D) Phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 và phép đối xứng trục AH .

HD :

1
(H, )

H 2

1
(H, )

H 2

V
Đ

A) Gọi : A A' A''
V

Đ

B B' B''
A sai .

 

 



I I

I I

(H,2)
BA

(H,2)
BA

(H,2)
BA

T V

B) Goïi : A A' A''

T V

B B' A A'

T V

H H' H''
B. sai .

 

  

 








I I

I I

I I

(H,2) (H,90 )
(H,2) (H,90 )
(H,2) (H,90 )

Q
V

C) Goïi : H H H

Q
V

A A' A'' C

Q
V

B B' B'' A

C đúng .

 

  

  







I I

I I

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

<b> </b>
<b>Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH</b>

(H,2) _AH

(H,2) _AH

(H,2) _AH

V _Đ

D) Gọi : H H H

V _Ñ

A A' A' vì A' AH

V _Đ

B B' B''
D sai .

 

  

 



I I

I I

I I

 

  

  _

3 Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IA 2IB 0 và gọi G là
trọng tâm của ABD . F là phép đồng dạng biến AGI thành COD . F được hợp thành




bởi hai phép
biến hình nào sau đây ?

A) Phép tịnh tiến theo GO và phép vị tự V(B; 1) .
1
B) Phép đối xứng tâm G và phép vị tự V(B; ).

2
3

C) Phép vị tự V(A; ) và phép đối xứng

2 taâm O .

2

D) Phép vị tự V(A; ) và phép đối xứng tâm G .
3

<b> </b>

 



 

 


 





2/3

O
A

HD :

3
Vì G là trọng tâm ABD nên AO AG

2
3

Theo giả thiết , ta coù : AB AJ .
2

Phép đối xứng tâm O , biến A thành C và B thành D ( O là bất biến )
Đ

V

A_I A_I       

2/3 2/3

O O

A Ñ A Ñ

V V

C . G _I O _I O . I _I B _I D .
_{ } _{ } _O_{ }

3

V(A; ) _Ñ

2

AGI AOB COD

Phép đồng dạng F

<b> </b>

</div>

<!--links-->