HH Lop 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (236.59 KB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN 1

1& ĐƯỜNG THẲNG
Chuyên đề 1. Phương trình đường thẳng

I . Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương

Định nghĩa 1: Một vectơ n là VTPT của đường thẳng (d) 0

( )
n

n d

 

 





 


Nhận xét: Một đường thẳng có vơ số VTPT

Định nghĩa 2: Một vectơ u là VTCP của đường thẳng (d) 0

/ /( )
u

u d
 

 



 


Nhận xét:  Một đường thẳng có vơ số VTCP

 n u( nếu n a a( ; )1 2  u a a( 2; )1 )

II. Phương trình của đường thẳng

PTTQ của đường thẳng (d): 0( ; )0 0

( ; )
qua M x y
vtpt n a b







 là: a x x(  0)b y y(  0) 0

PTTS của đường thẳng (d): 0 0 0
1 2

( ; )
( ; )
qua M x y
vtcp u a a







 là 0 1

0 2

x x a t
y y a t

 




 


PTCT của đường thẳng (d): 0 0

1 2

x x y y

a a

 



 PT đường thẳng (d) đi qua điểm M x y0( ; )0 0 có hệ số góc k: y y 0 k x x(  0)
 PT đường thẳng (d) đi qua điểm M x y0( ; )0 0 , M x y1( ; )1 1 là:

0 0

1 0 1 0

x x y y

x x y y

 



  .

VD1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a) Đi qua điểm M(1;-2) có VTCP u(2; 1)


b) Đi qua điểm N(1;3) có VTPT n(2; 3)

c) Đi qua A(3;2) và song song với đường thẳng (): x2y1 0
d) Đi qua A(1;2) và B(2:-3)

Giải

a) PTTS của đường thẳng (d): 1 2

x t

y t

 



 


b) PTTQ của đường thẳng (d):2(x1) 3( y 3) 0 hay 2x 3y 7 0
c) (d)//() nên nó có dạng x + 2y + m = 0

(d) qua A(3;2), ta có 3 + 2.2 + m = 0  m7

Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng x2y 7 0

d) 5x y  7 0

VD2: Viết PTĐT (d) trong các trường hợp sau:
a. Đi qua điểm M(-1;2) có hệ số góc k = 3

b. Đi qua điểm A(3;2) và tạo với hướng dương ox một góc 450. 
c. Đi qua điểm B(3,2) tạo với ox một góc 600

ĐS: a) 3x - y + 5 = 0; b) x - y -1= 0; 3x y  2 3 3 0 hoặc 3x y  2 3 3 0 .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

I - Vị trí tương đối

1. Trong mp(oxy) cho hai đường thẳng  1, 2 có phương trình

1 1 1 1

2 2 2 2

:
:

a x b y c
a x b y c

  




  



a) Hai đường thẳng cắt nhau  1 1
2 2

0
a b

a b 

b) Hai đường thẳng song song với nhau
  1 1

2 2

0
a b

a b  và

1 1
2 2

0
b c
b c 

  1 1
2 2

0
a b

a b  và

1 1
2 2

0
c a

c a 

c) Hai đường thẳng trùng nhau
1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

a b b c c a

a b b c c a 

Trong trường hợp a b c 2; 2, 2 0 ta có
 1 cắt

1 1
2 2

a b

 

 1 2 1 1 1

2 2 2

/ / a b c

a b c

    

 1 2 1 1 1

2 2 2

a b c

    

VD: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng  1, 2 trong các trường hợp sau:
a) 1: 2x 3y 5 0 và 2:x3y 3 0

b) 1: 3 x2y 7 0 và 2: 6x 4y 7 0
c) 1: 2x y  3 0 và 2: 2x 2y 3 2 0
d) 1:mx y  2 0và 2:x my m   1 0

Chú ý: Nếu cho hai đường thẳng ở PTTS, để đơn giản ta nên chuyển chúng về
PTTQ để thuận tiện cho việc tính toán.

VD: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
1: 2x 2y 9 0 (1) và 2

1 2
:

3 5

x t

y t

 

 

 

 (2)

Cách 1: Thế PT (2) vào PT (1) để tìm t (nếu có). Thay trở lại PT(2) để tìm x, y
 Cách 2: Chuyển về PTTQ, giải hệ PT

2. Trong mp(oxy) cho hai đường thẳng  1, 2 có phương trình:
1:y k x m1 1; 2:y k x m2 2

     

 1 cắt  2 k1k2
 1/ / 2 k1k m2; 1 m2
   1 2 k1k m2; 1 m2
    1 2 k k1. 2 1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1. Khoảng cách

1.1 Cho hai đường thẳng : axby c 0 và điểm M x( M;yM). Gọi d M ( ; ) là khoảng
cách từ M đến .

2 2

( ; ) M byM c

d M

a b

 

 



VD: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng biết:
a) M(1;1) và :x y  2 0 . ĐS 2

b) M(2;1) và : 1 1

1 1

x y

 

 . ĐS
3 2

c) M(1; 5) và : 2
4
x t
y t


 
 

 . ĐS
1

1.2 Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1; 2: a x b y c2  2  2. Phương trình đường phân
giác của các góc tạo bởi 1 và 2 là:

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

   



 

VD: Viết phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:
a) 1:x2y 1 0 và 2:x3y 3 0. ĐS

( 2 1) (2 2 3) 2 3 0
( 2 1) (2 2 3) 2 3 0

x y
x y
      


     


b) 1:

4
x t
y t


 
 

 và 2

:x y 7 0

    . ĐS 2 11 0

2 3 0
y
x
 

  


c) 1

:
4
x t
y t


 
 

 và 1
:
3
x u
y u


 


 . ĐS

2 6 0

2 6 0
x y
x y
  

   


Chú ý: Khi giải toán nên chuyển PTĐT về dạng TQ để tiện tính tốn.

1.3 Cho hai điểm M x( M;yM), ( ;N x yN N) và: axby c 0, Khi đó:
 M, N nằm cùng phía đối với   (axM byM c)(axN byN c) 0
 M, N nằm khác phía đối với   (axM byM c)(axNbyN c) 0

2. Góc giữa hai đường thẳng

 1: a x b y c1  1  1; 2: a x b y c2  2  2. Gọi  = ( ; 1 2). Ta có
1 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

. .

n n u u a b a b

c

n n u u a b a b

    
 

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Nhận xét: Nếu   1 2 a b1 1a b2 2 0

 k k1, 2 là hệ số góc của đường thẳng. Ta có 1 2
1 2
tan
1
k k
k k
  


Nhận xét: Nếu   1 2 k k 1. 2 1

VD: Cho hai đường thẳng 1:x 2y 5 0 và 2: 3x y 0

a) Tìm giao điểm của1 và 2.

b) Tính góc giữa 2và 2.
(ĐS M(1;3);





1; 2 45
   )

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Dạng 1: Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng 
 Viết PTĐT Mx: Qua M

Mx



 


 Tọa độ H(x;y) là nghiệm của hệ: Mx




Dạng 2: Xác định M1 đối xứng với M qua đường thẳng 

 Xác định tọa độ hình chiếu H của M trên  khi đó H là trung điểm của MM1

Dạng 3: Tìm trên đường thẳng : axby c 0. Điểm P sao cho tổng các khoảng

cách từ P tới các điểm A x y( ;A A) và B x y( ;B B)là nhỏ nhất.

Xác định t tA B. (axAbyAc)(axB byBc).

Trường hợp 1: t t  A B. 0 A, B nằm về hai phía của đường thẳng 
 Viết phương trình đường thẳng AB

 Gọi P0 AB   P x y0( ; )0 0

 Ta có PA PB AB. Vậy (PA PB )min AB A B P, , thẳng hàng  P P 0

Trường hợp 2: t t  A B. 0 A, B nằm về một phía của đường thẳng 
 Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua đường thẳng   A x1( A1;yA1)

 Viết phương trình đường thẳng A B1
 Gọi P0 A B1    P x y0( ; )0 0

 Ta có PA PB PA  1PB AB . Vậy (PA PB )min AB A B P1, , thẳng hàng
 P P 0

VD1: Tìm trên trục hồnh điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm
A và B là nhỏ nhất trong các trường hợp sau:

a) A(1;1) và B(2;-4)
b) A(1;1) và B(3;3)
ĐS a) 0

4
;0
5
P  

 ; b) 0
3

;0
2
P  

 

VD2: Cho hai điểm A(1;2) và B(0;-1) và đường thẳng d có phương trình tham số

2 1
x t

t






 . Tìm điểm M thuộc (d) sao cho:



MA MB



nhỏ nhất

b. MA MB lớn nhất
ĐS a) 2 19;

15 15

M  

 ; b) M



2;5



VD3: Cho hai điểm A(1;1) và B(3;3) ; C(2;0)
a. Tính diện tích ABC

b. Tìm điểm M oxsao cho góc AMB nhỏ nhất.
ĐS a. 2; M(0;0)

VD4: Trong mp(oxy) cho A(-1;3), B(1;1) và :y2x
a) Tìm C   để ABC đều.

b) TìmC   để ABC đều cân. ĐS a) Vơ nghiệm; b) Có 5 điểm C

PHẦN II

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chun đề 1. Phương trình đường trịn

1.1 Phương trình đường trịn tâm I x y( ; )0 0 bán kính R là:
 (x x 0)2(y y 0)2 R2

 x2y2 2xx0 2yy0x20 y20  R2 0

I.2 Cho đường cong (C) có phương trình: x2 y2 2ax 2by c 0
     (1)
Thực hiện phép biến đổi (1) (x a)2 (y b)2 a2 b2 c

       (2)

Nếu gọi I a b( ; ), cịn M x y( ; )thì VT của (2) chính là IM2. Bởi vậy ta có kết luận:
PT (2) với a2 b2 c 0

   là PT đường tròn tâm I( ; )a b , bán kính R a2b2  c.
VD: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường trịn? Tìm

tâm và bán kính nếu có:
a) x2 y2 6x 8y 100 0 (1)

     . ĐS (1) khơng là đường trịn
b) x2 y2 4x 6y 12 0

     (2) . ĐS (2) có tâm I(-2;3) và R= 5
c) 2x2 y2 4x 7y 2 0

     (3). ĐS (3) có tâm I(1;-2) và R = 6
VD1: Lập phương trình đường trịn biết:

a) Tâm I(-1;3) có bán kính R = 3
b) Đi qua điểm A(3;1) và tâm I(1;2)

c) Đi qua điểm A(3;1), B(5,5) và tâm I nằm trên trục hoành.
ĐS a) (x 2)2 (y 2)2 9

    ; b) (x1)2(y 2)2 5 ; c) (x10)2(y 2)2 50
VD2: Lập phương trình đường tròn biết:

a) Đi qua điểm A(0;1), B(1;0) và tâm I nằm trên đường thẳng (d): x y  2 0
b) Đi qua điểm A(1;4), B(-4;0), C(-2;2)

c) Tâm I(1;1) và tiếp xúc với đường thẳng (d):3x4y12 0
ĐS a) 2 2

2 2 3 0

x y  x y  ; b) x2y2 x y  20 0 ; c) (x1)2(y1)2 1
VD3: Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC, có ba cạnh nằm trên ba
đường thẳng sau: 5y x  2; y x 2; y 8 x.

ĐS x2 y2 4x 22 0

   

VD4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 0xy xét hai điểm A(4;0); B(0;3).
Viết phương trình đường trịn nội tiếp OAB.

ĐS (x 1)2 (y 1)2 1

   

VD5: Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với hai đường thẳng:2x y 1 0 ;
2x y  2 0 và có tâm thuộc đường thẳng x y 1 0 .

ĐS: ( 5)2 ( 3)2 121;( 5)2 ( 3)2 121

2 2 20 2 2 80

x  y  x  y  .

VD6: Cho đường trịn



Cm



có phương trình: x2y2(m2)x (m4)y m  1 0

a) Chứng minh



Cm



ln là đường trịn với mọi giá trị của m



Cm



luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.

c) Tìm những điểm trong mp tọa độ mà họ



Cm



không đi qua với mọi m.

VD7: Cho phương trình x2 y2 2mx 4my 6m 1 0 (1)

     

a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường trịn.

b) Nếu (1) là phương trình của đường trịn thì tìm tọa độ tâm và bán kính

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Cho điểm M x y( ; )0 0 và đường trịn (C) có phương trình: x2y2 2ax 2by c 0.
 ( )C có tâm I a b( ; ) bán kính R a2 b2 c

  

 Phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là:

2 2 2 2

/ 0 0 2 0 2 0 ( ; )0 0

M I

P MI  R x y  ax  by  c f x y

Nhận xét: - Nếu PM I/  0 M nằm trong đường tròn
- Nếu PM I/  0 M nằm trên đường tròn
- Nếu PM I/  0 M nằm ngồi đường trịn
VD: Cho đường trịn (C) có phương trình: 2 2

2 2 7 0

x y  x y  . Xét vị trí tương
đối của điểm M đối với đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. M(1;1) ; b) M(4;1); c) M(3;5)
Trục đẳng phương của hai đường tròn:

Cho hai đường trịn ( )C1 và (C2) khơng cùng tâm có phương trình:
( )C1 :

2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 0 ( 0)

x y  a x b y c  a b 
( )C2 :

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 0 ( 0)

x y  a x b y c  a b 

Khi đó tập hợp những điểm có cùng phương tích với hai đường tròn ( )C1 và (C2) là
đường thẳng (d) và (d) gọi là trục đẳng phương của hai đường trịn.

VD: Tìm trục đẳng phương của hai đường trịn
2 2

( ) :C x y 3x0 và ( ) :C2 x2y2 2x 2y 1 0
ĐS: 5x2y1 0

II. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường trịn đường trịn (C) có tâm I a b( ; ) bán kính R a2 b2 c

   và đường
thẳng (d) có phương trình:AxBy C 0

(A2 B2 0)

  . Xét vị trí tương đối của (d) với (C) ta làm như sau:

Cách 1: Ta tính h d I d( ;( )) Aa 2Bb C2

A B

 

 

 .

 h R ( ) ( )d  C 

  h R (d) tiếp xúc với (C)

 h R ( ) ( )d  C tại hai điểm phân biệt A, B

Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (C):

2 2 2 2 0

Ax 0

x y ax by c

By C

     



  

 (1)

- Nếu hệ (1) vô nghiệm ( ) ( )d  C 

- Nếu hệ có nghiệm kép (d) tiếp xúc với (C)

- Nếu hệ (1) có hai nghiệm phân biệt  ( ) ( )d  C tại hai điểm phân biệt A, B
VD: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và đường tròn (C):

a) (d): x y  4 0 và (C): x2y22x2y 1 0
b) (d): 3x4y12 0 và (C): x2y2 2x 2y 1 0
c) (d): 2x y  5 0 và (C): x2y2 20x50 0

Bài toán1:

Phương trình đường trịn đi qua giao điểm của đường thẳng (d): AxBy C 0

và đường tròn (C):x2 y2 2ax 2by c 0

     có dạng:

2 2 2 2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VD: Cho đường tròn (C): x2 y2 1 0

   và đường thẳng (d):x y 1 0. Lập phương
trình đường tròn (S) đi qua giao điểm của (d) và (C) trong các trường hợp:

a. (S) đi qua điểm A(2;1)

b. ( S) có tâm thuộc đường thẳng: 2x y  2 0

c. (S) tiếp xúc với đường thẳng:2x y  2 0

d. (S) cắt đường: x y  4 0 tại hai điểm A và B sao cho AB = 2
ĐS: a) 2 2

2 2 1 0

x y  x y  ; b) x2y2 4x 4y 3 0; c) 2 2 2 2 1 0

3 3 3

x y  x y 

d) 2 2 8 8 5 0

3 3 3

x y  x y  .

III. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường trịn khơng đồng tâm ( )C1 và ( )C2 có phương trình:
1

( )C : 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 0 ( 0)

x y  a x b y c  a b 
2

( )C : 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 0 ( 0)

x y  a x b y c  a b 

Gọi I a b1( ; )1 1 , I a b2( ; )2 2 và R R1; 2 lần lượt là tâm, bán kính của ( )C1 và ( )C2 ta có:

- Nếu I I1 2 R1R2  ( )C1 và ( )C2 khơng cắt nhau và ở ngồi nhau

- Nếu I I1 2  R1 R2  ( )C1 và ( )C2 không cắt nhau và nồng nhau

- Nếu I I1 2 R1R2  ( )C1 và ( )C2 tiếp xúc ngoài nhau

- Nếu I I1 2 R1 R2  ( )C1 và ( )C2 tiếp xúc trong nhau

- Nếu R1 R2 I I1 2R1R2  ( )C1 và ( )C2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
VD: Cho hai đường trịn( )C1 và ( )C2 có phương trình:

x2 y2 1 0

   và x2y2 2x 2y 1 0. Xét vị trí tương đối của( )C1 và ( )C2
ĐS: ( ) ( )C1  C2 



A(0;1); (1;0)B



Bài tốn2:

Phương trình đường trịn đi qua giao điểm của hai đường tròn 
1

( )C : 2 2

1 1 1

2 2 0

x y  a x b y c  và ( )C2 :

2 2

2 2 2

2 2 0

x y  a x b y c  có dạng:
2 2

1 1 1

2 2

x y  a x b y c +m x( 2y2 2a x2  2b y c2  2) 0
VD

1. Cho hai đường trịn( )C1 và ( )C2 có phương trình:
x2 y2 1 0

   và x2y2 4x0

a) Chứng minh rằng( )C1 và ( )C2 cắt nhau

b) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của( )C1 và ( )C2 và M(3;0)
c) Viết phương trình đường trịn đi qua giao điểm của( )C1 và ( )C2 và tiếp xúc với

đường thẳng x y  2 0 .
ĐS: b) 11x2 11y2 32x 3 0

    ; c) dùng chùm đường tròn
2. Cho họ đường tròn (Cm):x2 y2 2mx 2(m 1)y 2m 1 0

      

a) CMR khi m thay đổi, họ đường tròn(Cm) luôn đi qua hai điểm cố định

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3. Lập phương trình đường trịn đi qua điểm A(1;-2) và các giao điểm của đường
thẳng (d): x 7y10 0 với đường tròn (S): x2y2 2x4y 20 0

ĐS: x2 y2 x 3y 10 0
     .
4. Cho hai đường tròn 2 2

( ) :C x y  2x4y 4 0 và (C2) :x2y22x 2y14 0
a) CMR:( )C1 và ( )C2 cắt nhau

b) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của( )C1 và ( )C2 và qua M(0;1)
ĐS: b) 16x2 16y2 28x 58y 74 0

     .

5. Cho ba điểm A(-1;0), B(2;4); C(4;1)

a. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn: 3MA2 MB2 2MC2

  là một

đường trịn (C). Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C).

b. Một đường thẳng  thay đổi đi qua A và cắt (C) tại M và N. Hãy viết phương
trình . Sao cho MN ngắn nhất.

ĐS: a.





9 107

2 4

x y

 

   

 

  ; b.

7x 2y 7 0

IV. Tiếp tuyến của đường tròn

1. Tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C): x2 y2 2ax 2by c 0

     . (C) có tâm I(a;b) bán kính R.
Để viết phương trình tiếp tuyến của (C) ta xét 2 khả năng sau:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

+ PT tiếp tuyến với (C) tại điểm M x y( ; ) ( )0 0  C là:

0 0

(x a x )(  a) ( y b y )(  b)R
Chưa biết tiếp điểm

a. Xét tiếp tuyến vuông góc với ox, có dạng:x a R  .

b. Xét tiếp tuyến có dạng (d):y kx m  . Lập HPT hai ẩn theo k và m
+ PT(1) dựa vào điều kiện tiếp xúc

+ PT(2) dựa vào điều kiện của đề bài:
- (d) đi qua A x y( ;A A) yA kxAm

- (d) có phương cho trước  k

-(d) hợp với ( ) một góc  1 2
1 2

tan
1

k k
k k

 

 



-(d)  ( ) k k1 21

VD: 1. Cho đường tròn (C): 2 2

2 8 8 0

x y  x y  . Viết PTTT với (C) biết:

a. Tiếp tuyến đi qua M(4;0)

b) Tiếp tiếp tuyến qua A(-4;-6)
ĐS: a) 3x 4y12 0

2. Cho đường tròn (C): x2 y2 2x 8y 8 0

     . Viết PTTT với (C) biết:
a. Tiếp tuyến song song ( ) : x y 0

b. Tiếp tuyến vng góc với( ) : 3 x 4y0
ĐS: a. x y  2 2 0 ;x y  2 2 0
b.4x3y18 0 ; 4x3y8 0

3.Viết PTTT của đường tròn (C): x2 y2 2x 6y 9 0.

     Biết tiếp tuyến tạo với
( ) : 2 x y 0một góc bằng 450.

ĐS: (S): x 3y 8 10 0 ;x 3y 8 10 0 ; 3x y  6 10 0 ;3x y  6 10 0 .

2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Cho hai đường tròn ( )C1 và ( )C2 . Để tìm tiếp tuyến chung của ( )C1 và ( )C2 ta xét hai
trường hợp:

a. Xét tiếp tuyến vng góc với ox, có dạng: x a R 
b. Xét tiếp tuyến có dạng:y kx m  . Giải HPT kvà m
VD

1. Cho hai đường tròn: (C): x2 y2 4x 3 0

    và ( )C2 :x2y2 8x12 0 . Viết PTTT
của hai đường tròn trên.

(ĐS:x 3y0;x 3y0;x 35y 8 0;x 35y 8 0).

2. Cho đường tròn (C): x2 y2 2x 4y 4 0

     và điểm A(3;5)
a. Hãy tìm các tiếp tuyến kẻ từ A đến (C)

b. Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại M và N. Tính độ dài MN
ĐS: a) y 5 0;24 x 7y 37 0 ; b) 24

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

3. Cho đường tròn (C): (x 1)2 (y 3)2 4

    và M(2;4)

a. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm
A, B sao cho M là trung điểm của AB

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn có hệ số góc k = 1
ĐS: a) x y  4 2 2 0  ; x y  4 2 2 0 

a. Cho đường tròn (C): (x a)2 (y b)2 R2.

    Chứng minh rằng PTTT với (C)

tại M x y( ; ) ( )0 0  C là:

0 0

(x  a x a)(  ) ( y  b y b)(  )R
b. Tìm PTTT của hai đường trịn 2 2

10 24 56

x y  x y và x2y2 2x 4y20
ĐS: b) ((14 10 7) 21  y35 10 7 0  ; (14 10 7) 21  y35 10 7 0 

5. Cho đường tròn (C): x2 y2 1

  và (Cm) :x2y2 2(m1)x4my5

a. CMR: Có hai đường trịn C Cm1; m2tiếp xúc với đường trịn (C)

b. Xác định phương trình đường trịn tiếp xúc với cả hai đường trònCm1;Cm2
ĐS: a.

2 2

2 2 8 6

( 1) 0; 9

5 5

x  y  x  y  

    ; b.2x y 3 5 2 0;2  x y  3 5 2 0 

Một số bài tốn quỹ tích

1. Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với ox và cắt oy tại điểm (0;1). Tìm quỹ
tích tâm của đường trịn đó.

ĐS: x2 2x 1 0
  

2. Cho họ đường trịn ( )Ca có phương trình ( )Ca :x2 y2 (a 2)x 2ay 1 0

     

a. Tìm quỹ tích tâm các đường trịn ( )Ca

b. Chứng tỏ rằng khi a thay đổi,( )Ca luôn đi qua hai điểm cố định. Tìm các điểm đó.
c. Cho a = - 2 và điểm Q(3;0). Viết PTTT của C2 kẻ từ Q.

ĐS: a. 2x y  2 0; b) M(-2;-1); N( 2 1;

5 5

 

 

 ;

c) (45 12 5) x (18 15 5) y135 0 ; (45 12 5) x (18 15 5) y135 0

3& ELIP

Chủ đề 1: Phương trình elip

1. Định nghĩa

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

( )E 



M MF| 1MF2 2a



- Hai điểm cố địnhF F1 ; 2 gọi là hai tiêu điểm

- Khoảng cách F F1 2 2c được gọi là tiêu cự.

- Đường thẳng F F1 2: tiêu trục

- Trung điểm I của F F1 2 là tâm của E.

- Tâm sai của (E): e c

a


2. Phương trình chính tắc của elip

Trong mp(oxy) chọn F1( ;0)c và F c2( ;0). PT chính tắc của (E) là:

22 22 1

x y

a b  với

2 2 2
b a  c

M x y



;



( )E ta ln có: MF1 a cx; MF2 a cx

a a

   

3. Hình dạng của elip

a. M x y( ; ) ( ) E  M1( ; ), x y M2( ;x y M x y ); 3( ; ) nên (E) nhận các trục tọa độ làm trục
đối xứng, gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

b.  ( )E ox



A1( ;0);a A a2( ;0)



và A A1 2 gọi là độ dài trục lớn A A1 2 2a
 ( )E oy



B1(0;b B); 2(0; )b



và B B1 2 gọi là độ dài trục nhỏ B B1 2 2b
c. HCN cơ sở có các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng xa và yb

2
2
2
2

1
( ; ) ( )

1
x

a x a
a

M x y E

b x b
y

b




   



    

  


 




VD:

1. Cho ( )E có phương trình 16x2 25y2 100

 

a. Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tính tâm sai của( )E .

b. Tìm điểm thuộc (E) có hồnh độ bằng 2 và tính khoảng cách từ điểm đó đến
hai tiêu điểm.

c. Tìm b để đường thẳng(d):y x b  có điểm chung với (E).
ĐS: b) 1

6
(2; );

M  2

6
2;

5
M  

 ; c)

41
0

1
b

  .

2. Cho ( )E có phương trình 4x2 9y2 36

 

a. Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tính tâm sai của( )E .

b. Cho M(1;1), lập phương trình đường thẳng qua M cắt (E) tại A, B và MA = MB
ĐS: 4x9y13 0

3. Trong mặt phẳng hệ tọa độ 0xy cho hai điểm F1( 4;0); F2(4;0)và A(0;3)
a. Lập phương trình chính tắc của (E) qua A có tiêu điểm ( ; )F F1 2

b.Tìm tọa độ điểm M trên (E) sao cho MF2 2MF1
ĐS: a. 2 2 1

25 9

x y

  ; b. 1 2

25 3 119 25 3 119

; ; ;

12 12 12 12

M    M  

   

   

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

a. Trục lớn thuộc ox, có độ dài bằng 8, trục nhỏ thuộc oy có độ dài bằng 6
b. Độ dài trục lớn bằng 26, tâm sai 12

e  , hai tiêu điểm trên ox.

c. (E) đi qua các điểm M(4;0) và N(0;3)
ĐS : a. 2 2 1

6 9

x y

  ; b.

2 2

1
169 25

x y

  ; c.

2 2

1
6 9

x y

 

5. Trong mặt phẳng tọa độ oxy, cho điểm A chạy trên ox, điểm B chạy trên oy
nhưng độ dài đoạn AB bằng a khơng đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn
AB sao cho MB = 2MA.

6. Tìm những điểm trên (E): 2 2

1
9

x
y

  thỏa mãn

a. Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm phải.
b. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vng

c. Nhìn hai tiêu điểm dưới góc 0
60
ĐS: a. 3 ; 7

2 2 2 2

 



 

 ; b.

3 7 1

;
2 2 2 2

 

 

 

 ; c.

69 1
;
2 2 2 6

 

 

 

 

7. Cho (E): 22 22 1

x y

a b  (a > b > 0). Gọi F F1; 2 lần lượt là các tiêu điểm và A A1; 2 là

các đỉnh trên trục lớn của (E). M là một điểm tùy ý của (E) có hình chiếu trên
ox là H. Chứng minh rằng

a) 2 2 2
1. 2

MF MF OM a b
b)







2 2



1 2 4

MF MF  OM  b
c) 2 2

1 2
2 .

b

HM HA HA

a


8. Cho (E): x22 y22 1

a b  (a > b > 0). Tính tỉ số
c

a trong các trường hợp sau:

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông

c) Khoảng ách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.
ĐS: a. 2 2

3
c

a  ; b.
1

2
c

a  ; c.

2
5
c
a 

9. Cho (E): 2 2 1
100 36

x y

  .

Hãy viết phương trình đường trịn (C) có đường kính F F1 2 trong đó F F1; 2là hai
tiêu điểm của (E).

ĐS: x2 y2 1
 

Chủ đề 2: TIẾP TUYẾN CỦA ELIP
1. Tiếp tuyến của elip

Cho (E) có phương trình: 22 22 1

x y

a b  . Để viết PTTT của (E) ta xét 2 khả năng:

Biết tiếp điểm

+ PTTT của (E) tại điểm M x y( ; ) ( )0 0  E : 20 20 1

xx yy
a  b 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Cách 1:

+ Giả sử tiếp điểm là điểm M x y( ; )0 0 , khi đó tiếp tuyến có dạng: 20 20 1

xx yy

a  b  (1)

+ Ta có: 02 02

0 0 2 2

( ; ) ( ) x y 1

M x y E

a b

   

+ Sử dụng điều kiện của bài để thiết lập thêm mối liên hệ giữa x0và y0
+ Giải HPT  x0và y0thay vào (1)

Cách 2:

a. Tiếp tuyến vng góc với ox, có dạng: xa
b. Tiếp tuyến vng góc với oy, có dạng: yb

c. Xét tiếp tuyến có dạng: y kx m  . Lập HPT hai ẩn k, m
PT(1) do điều kiện tiếp xúc

PT(2) được suy ra từ đầu bài. Ví dụ:
- (d) đi qua A x y( ;A A) yA kxAm

- (d) có phương cho trước  k

- (d) hợp với ( ) một góc  1 2
1 2

tan
1

k k
k k

 

 



-(d)  ( ) k k1 21

Đường thẳng (d): AxBy C 0tiếp xúc với (E):

2 2

2 2 2 2 2
2 2 1

x y

C A a B b

a b    

Đường thẳng (d):y kx m  tiếp xúc với (E):

2 2

2 2 2 2

2 2 1

x y

m k a b

a b    

VD:

1. Cho (E): 2 2 1
16 9

x y

  . Viết PTTT của (E), biết:

a. Tiếp tuyến đó đi qua A(4;0)
b. Tiếp tuyến đi qua điểm B(2;4)

c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: x 2y 6 0
d. Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: x y 0
ĐS: a. x  4 0 ; b. 8 148 16 148

12 6

y  x  ; 8 148 16 148

16 6

y  x 

c. x 2y 52 0 ; x 2y 52 0 ; d. 3x y  85 0

2. Cho (E): 2 2 1
9 4

x y

  . Viết PTTT với (E) đi qua A(3;2). Tìm tọa độ tiếp điểm.

ĐS: y 2 0; (0;2) A ; x 3 0; B(3;0)

2. Tiếp tuyến chung của hai elip

Cho hai elip có phương trình: ( ) :1 22 22 1

x y

E

a b  và

2 2

2 2 2

( ) :E x y 1

c d  . Để xác định tiếp

tuyến chung của hai (E). Ta xét các trường hợp:

a. a = c tiếp tuyến chung vng góc với ox của hai elip có dạng: xa
b. Xét tiếp tuyến có dạngy kx m  . Lập HPT tìm k, m

1. Viết PTTT chung của hai (E): ( ) :1 2 2 1

9 4

x y

E   và

2 2
2

( ) : 1

4 9

x y

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

ĐS: x y  13 0;

2. Lập phương trình các cạnh của HCN ngoại tiếp (E): 22 22 1

x y

a b 

ĐS: Ax+By C=0 ; Bx Ay D  0.
3.Cho (E) có phương trình: 2 2 1

3 6

x y

  .Viết phương trình các cạnh của hình vng

ngoại tiếp (E). ĐS: x y  3 0
4. Cho hai ( ) :1 2 2 1

9 4

x y

E   và

2 2
2

( ) : 1

4 16

x y

E   .

Xác định phương trình tiếp tuyến chung của hai (E). (ĐS: 27 5 1
3 32 2 32

x y

   )

5. Biết rằng (E) : 22 22 1

x y

a b  nhận các đườngn thẳng ( ) : 3d1 x 2y 20 0 và

( ) :d2 x6y 20 0 làm tiếp tuyến. Xác định a và b. (ĐS:

2 2

2 2 1

40 10

x y

  )

6. Cho (E): 2 2 3
6 3

x y

  . Viết phương trình các cạnh của hình vng ngoại tiếp (E).

ĐS: x y  3 0.

7. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai (E): 2 2 1
25 16

x y

  và

2 2

1
16 24

x y

  .

ĐS: x y  41 0 .

8. Cho 2 (E) có phương trình: 2 2 1

16
x

y

  và

2 2

1
9 4

x y

 

a. Viết PT đường tròn đi qua giao điểm của hai (E)
b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai (E)
ĐS: a. 2 2 460

x y  ; b. x 3 7y 55 0 .

9. CMR: Tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kì của một
(E) bằng bình phương độ dài nửa trục nhỏ của (E).

10. Một đường kính bất kì của (E) cắt (E) tại hai điểm M và N. CMR các tiếp
tuyến của (E) tại M và N song song với nhau.

11. Cho hai điểm M, N trên một tiếp tuyến của (E), sao cho mỗi tiêu điểm F F1; 2
của (E) nhìn đoạn MN dưới một góc vng. Hãy xác định vị trí của M; N.
12. Cho (E). Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vng góc với nhau
tới (E). (ĐS: x2 y2 a2 b2

   )

13. Cho (E): x22 y22 1

a b  . Gọi A A1 2là trục lớn của (E). Dựng các tiếp tuyến AT A T1 1, 2 2.

Một tiếp tuyến đi qua M( )E cắt AT A T1 1, 2 2 tại T T1; 2.
a. CMR: Tích AT A T1 1. 2 2 không phụ thuộc vào M

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

ĐS:a.AT A T1 1, 2 2; b.

2 2
2

2 1

x y

b

a  

14. Cho (E): 22 22 1

x y

a b  . (0 b a). c

a. Gọi (E) là một điểm tùy ý thuộc (E), chứng tỏ rằng b OE a 

b. Gọi A là một giao điểm của đường thẳng y kx với (E). Tính OA theo a, b, k.
c. Gọi A, B là hai điểm tùy ý (E) sao cho OA OB . CMR: 12 12

OA OB không đổi.

ĐS: b. OA ab 2 21 k2 2
a k b




 ; c.

2 2

2 2 2 2

1 1 a b

OA OB a b



 

15. Cho (E): 9x2 25y2 225

  và A(-5;0)

a. Tìm tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của (E). Vẽ (E) trên HCN cơ sở

b. Viết PTĐT đi qua điểm M(1;1) và cắt (E) tại hai M M1; 2 sao cho MM1MM2
ĐS: 9x25y 34 0 .

16. Cho (E): 4x2 16y2 64

 

a. Xác định các tiêu điểm F F1; 2 tâm sai và vẽ (E)

b. M là một điểm bất kì trên (E). Chứng tỏ tỉ số khoảng cách từ M đến F2 và tới
đường thẳng 8

x  có giá trị khơng đổi . ĐS: 2 3

2
MF
MH 

HYPERBOL
Chủ đề 1: Phương trình Hyperbol

1. Định nghĩa:

Hyperbol (H) là tập hợp những điểm sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng
cách tới hai điểm có định phân biệt F F1; 2bằng một số khơng đổi 2a, nhỏ hơn khoảng
cách F F1; 2.

 

H 



M MF/ 1 MF 2a



- Hai điểm cố định F1



c;0 ;



F2



0;c



gọi là hai tiêu điểm

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- Đường thẳng F F1 2 là tiêu trục.
- Tâm sai hypebol e c

a


2. Phương trình chính tắc của Hyperbol

2.1 Phương trình chính tắc của Hypebol

22 22 1

x y

a  b  với

2 2 2
b c  a
a. 1

cx
MF a

a

  ; MF2 a cx
a

  với x > 0

b. 1

cx

MF a

a

  ; MF2 a cx
a

  với x < 0
2.2 Hình dạng Hypebol

a. 1. M x y( ; ) ( ) H  M1( ; );x y M x y M2( ; ); 3( ;x y ) cũng thuộc (H)

2. M x y( ; ) ( ) E  M1( ; ),x y M2( ;x y M x y ); 3( ; ) nên (H) nhận các trục tọa độ làm
trục đối xứng, gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

b.  ( )H ox



A1(a;0);A a2( ;0)



và A A1 2 gọi là độ dài trục thực A A1 2 2a
 ( )H oy



B1(0;b B); 2(0; )b



và B B1 2 gọi là độ dài trục ảo B B1 2 2b

c. HCN cơ sở có các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng xa và yb

2
2

( ; ) ( ) x 1 x a

M x y H

x a
a




    




 M x y( ; ) ( ) H thỏa mãn x a gọi là nhánh bên phải của (H)
 M x y( ; ) ( ) H thỏa mãn x a gọi là nhánh bên trái của (H)
e. M x y( ; ) ( )H y b x2 a2

a

   

 x   : (H) có đường tiệm cận y bx

a


 x    : (H) có đường tiệm cận y bx

a


1. Cho (H) có phương trình: 2 2
20x  25y 100

a. Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tính tâm sai của (H)

b. Tìm tung độ của điểm thuộc (H) có hồnh độ x  10, tính khoảng cách từ điểm
đó đến hai tiêu điểm.

ĐS: a.y 2; M1( 10; 2); M2( 10; 2); b.

1 1 2 1 34 6 10 ; 1 2 2 2 34 6 10

M F M F   M F M F   ; c. b 1
2. Cho (H) có phương trình: 2 2

2 6

x  y 

a. Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tính tâm sai của (H)

b. Cho M(3;1) lập phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (H) tại hai điểm A, B
sao cho MA MB .

ĐS: 3x 2y 7 0

3. Cho (H) có phương trình:x2 2y2 6

 

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b. Lập PT đường tròn (C) đường kính F F1 2 và tìm giao điểm của (C) với (H)\
c. Viết PT chính tắc của (E) có các tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại
tiếp HCN cơ sở (H).

ĐS: b. 2 2
25
x y  ; c.

2 2

1
40 15

x y

 

4. Cho (E): 2 2 1
16 9

x y

 

a. Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tính tâm sai của (E)
b. Lập PT Hypebol (H) có cùng HCN cơ sở với (E)

ĐS: b. 2 2 1
16 9

x y

 

5. Trong mp 0xy cho hai điểm F 1( 4;0) và F2(4;0)thuộc ox và điểm A(2;0)
a. Lập phương trình (H) đi qua A và có tiêu điểm F F1; 2

b. Tìm tọa độ của điểm M trên (H)n sao cho MF2 2MF1
ĐS: a. 2 2 1

4 12

x y

  ; b. M1( 3;  15);M2(3; 15)
6. Lập phương trình chính tắc của Hypebol biết:

a. Trục thực thuộc ox, có độ dài bằng 10, trục ảo thuộc oy có độ dài bằng 8
b. Trục thực bằng 8, tâm sai 5

4
e 

c. Có các tiêu điểm trên ox, độ dài tiêu cự 20 và một được tiệm cận có phương trình
là 4x3y0.

d. Các tiêu điểm trên oy, độ dài trục ảo bằng 6 và hai đường tiệm cận vuông góc với
nhau.

e. Đi qua điểm M(6;4) và mỗi đường tiệm cận tạo với ox một góc 600
ĐS: a. 2 2 1

16 9

x y

  ; b.

2 2

1
16 9

x y

  ; c.

2 2

36 64

x y

  ; d.

2 2

1
9 9

x y

  ; e.

2 2

1
36 64

x y

 

Chủ đề 2: TIẾP TUYẾN CỦA HYBEBOL
1. Tiếp tuyến của Hypebol

Cho (H) có phương trình: x22 y22 1

a  b  . Để xác định PTTT của (H) ta xét hai khả năng

Cách 1:

Biết tiếp điểm

+ PTTT của (H) tại điểm M x y( ; ) ( )0 0  H : 20 20 1

xx yy
a  b 

Không biết tiếp điểm
Cách 1:

+ Giả sử tiếp điểm là điểm M x y( ; )0 0 , khi đó tiếp tuyến có dạng: 20 20 1

xx yy

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

+ Ta có: 02 02

0 0 2 2

( ; ) ( ) x y 1

M x y E

a b

   

+ Sử dụng điều kiện của bài để thiết lập thêm mối liên hệ giữa x0và y0

+ Giải HPT  x0và y0thay vào (1)

Cách 2:

a. Tiếp tuyến vng góc với ox, có dạng: xa
b. Tiếp tuyến vng góc với oy, có dạng: yb

c. Xét tiếp tuyến có dạng: y kx m  . Lập HPT hai ẩn k, m
PT(1) do điều kiện tiếp xúc

PT(2) được suy ra từ đầu bài. Ví dụ:
- (d) đi qua A x y( ;A A) yA kxAm

- (d) có phương cho trước  k

- (d) hợp với ( ) một góc  1 2
1 2

tan
1

k k
k k

 

 



-(d)  ( ) k k1 21

Đường thẳng (d): AxBy C 0tiếp xúc với (H):

2 2

2 2 2 2 2
2 2 1

x y

C A a B b

a  b    

Đường thẳng (d):y kx m  tiếp xúc với (H):

2 2

2 2 2 2
2 2 1

x y

m k a b

a  b    

VD:

1. Cho (H): 2 2 1
16 9

x y

 

Viết phương trình tiếp tuyến của (H), biết tiếp tuyến:
a. Đi qua điểm A(4;0)

b. Đi qua điểm B(2;1)

c. Song song với đường thẳng x y  6 0
d. Vng góc với đường thẳng x y 0
ĐS: a. x  4 0 ; b. 1 31 2 31

6 3

y  x  ; 1 31 2 31

6 3

y  x 

c. x y  7 0 ; d. x y  7 0

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (H): 2 2 1
16 9

x y

  biết tiếp tuyến tạo với đường

thẳng 2x y 0 một góc 450.
ĐS: 3x y  135 0 .

2. Tiếp tuyến chung của hai Hypebol:

Cho hai



H1



và



H2



. Để xác định phương trình tiếp tuyến chung của chúng ta
làm như sau:

a. Xét tiếp tuyến vuông góc với ox của



H1



và



H2



b. Xét tiếp tuyến có dạng (d): y kx m  (1). Lập HPT hai ẩn  k; m
VD:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

(H ): 2 2 1
9 4

x y

  và (H2):

2 2

1
6 1

x y

 

ĐS: x y  5 0

2. Cho (H) có các trục trùng với các trục tọa độ và tiếp xúc với các đường thẳng
5x 6y16 0;13 x10y 48 0 . Hãy xác định phương trình của (H)

ĐS: 2 2 1
16 4

x y

 

3. Viết phương trình tiếp tuyến của (H): 2 2 1
9 16

x y

  . Biết tiếp tuyến tạo với đường

thẳng (d): x2y0 một góc bằng 0
45 .

Một số bài tốn quỹ tích

1. Cho (H): x22 y22 1

a  b  . CMR tích các khoảng cách từ một điểm bất kì của (H) đến

các đường tiệm cận của nó là một hằng số.
ĐS: 1 2 22 22

a b
h h

a b




2. Cho (H): x22 y22 1
a  b 

a. Tính độ dài phần đường tiệm cận chắn bởi hai đường chuẩn
b. Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến các đường tiệm cận

c. CMR chân đường vng góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm
trên đường chuẩn.

ĐS: a. 2a; b. h = b;

PARABOL
Chủ đề 1: Phương trình Prabol

1. Định nghĩa

Parabol (P) là tập hợp những điểm của mặt phẳng cách đều một đường thẳng (d)

cố định và một điểm F cố định không thuộc (d).

P



M MF/ MH



(H là hình chiếu của M khơng thuộc (d))

Điểm F gọi là tiêu điểm

Đường thẳng (d) gọi là đường chuẩn
2. Phương trình chính tắc của Hypebol

2
2

y  px (p > 0)
Đỉnh S(0;0)

Tiêu điểm F(p/2;0)
Đường chuẩn ( ) :

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

(P) nhận 0x làm trục đối xứng, đồ thị ở bên phải 0x
VD:

1. Cho điểm F(3;0) và đường thẳng (d): 3x 4y16 0

a. Tính khoảng cách từ điểm F đến (d) và từ đó suy ra phương trình đường tròn tâm
F tiếp xúc với đường thẳng (d).

b. Viết phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc tọa độ.
CMR (P) tiếp xúc với (d). Tìm tọa của tiếp điểm.

ĐS: a. h = 5; b. y2 12x

 ; y216y64 0 ; 16;8

3
A 

 

Chủ đề 2: Tiếp tuyến của Parabol.
1. Tiếp tuyến của Parabol

Cho (P) có phương trình (P): y2 2px

 .

Để xác định phương trình tiếp tiếp tuyến của (P) ta xét hai khả năng:
Khả năng 1: Biết tiếp điểm

Nếu biết tiếp điểm M x y( ; )0 0 , ta sử dụng phương pháp phân đơi tọa độ, phương trình
tiếp tuyến là (d): yy0 p x x(  0).

Khả năng 2: Không biết tiếp điểm, ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1:

 Giả sử tiếp điểm là M x y( ; )0 0 , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
(d): yy0 p x x(  0)

Ta có: M x y( ; )0 0  y02 2px0

Sử dụng thêm điều kiện của đầu bài lập thêm phương trình theo x0và y0

Giải HPT  x y0; 0, thay vào PTTT.

Cách 2:

a. Tiếp tuyến vng góc với 0x, dạng x = 0
b. Xét tiếp tuyến có dạng: y kx m 

- Lập HPT hai ẩn  k m;
VD:

1. CMR: điều kiện cần và đủ để đường thẳng (d): Ax By C 0(A2 B2 0)

     tiếp xúc
với (P) là: pB2 2AC 0

 

2. CMR: điều kiện cần và đủ để đường thẳng (d): y kx m  tiếp xúc với (P) là:

2 0

p km
3. Cho (P) có phương trình: y2 2x

 . Viết phương trình các tiếp tuyến của (P) biết:
a. Tiếp tuyến đi qua điểm A(2;2)

b. Tiếp tuyến đi qua điểm B(-2;0)

ĐS: a. x - 2y + 2 = 0; b. 1 1; 1 1

2 2

y x y x

4. Cho (P) có phương trình: y2 2px

 . Viết phương trình các tiếp tuyến của (P) biết:
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng x 2y 6 0

b. Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x y 0\
c. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng: 2x y 0 một góc 0

ĐS: a. x 2y 2 0; b. x2y 2 0; c. 2x 6y 9 0;18x6y 1 0

2. Tiếp tuyến chung

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

 

C1 : ( ; ) 0f x y  và



C2



: ( ; ) 0g x y 

Để xác định tiếp tuyến chung của hai Conic ta làm như sau:
a. Xét tiếp tuyến chung vng góc với ox(nếu có)

b. Xét tiếp tuyến có dạng (d):y kx m  . Lập HPT hai ẩn k; m
 PT(1) do điều kiện tiếp xúc của (d) và ( )C1

 PT(2) do điều kiện tiếp xúc của (d) và ( )C2
VD:

1. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của:
(E): 2 2 1

9 4

x y

  và (P): y2 2x
ĐS: 2x6y9 2 0

2. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của:
(H): 2 2 1

9 4

x y

  và (P): y2 2x
ĐS: 8x12y 9 0

3. Cho (P): y2 16x

 . Viết phương trình các tiếp tuyến của (P) biết:
a. Đi qua điểm A



1; 2



b. Đi qua điểm B (1; 4)

c. Vng góc với đường thẳng: 2x y  5 0
ĐS: a. VN; b. y2x 2; c. x2y16 0
4. Cho (P): y2 16x

 . Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến :
a. Vng góc với đường thẳng 3x 2y16 0

b. Đi qua điểm M ( 1;0)

ĐS: a. 2x3y18 0 ; b. y2x2; y2x 2

5. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai (P)

 

P1 :y x 2 x 2;

 

P2 :y x 27x11

ĐS: y7x 2; y7x11

6. Lập phương trình tiếp tuyến chung của (E) và (P):
(E):

2 2

1; ( ) : 12
8 6

x y

P y x

  

ĐS: 3 2 3

y x ; 3 2 3

2
y x
7. Cho hai (P) có phương trình:

 

P1 :y 8 2x 2x2 và

 

2
2 : 2 2 2

P  x x . Xác định giá trị a và b để cho đường thẳng (d):
ax

y b là tiếp tuyến của

 

P1 và

 

P2 . Xác định tọa độ tiếp điểm

ĐS: y6x10; A(1;4); B(2;-2)

8. Cho (P): 2

2 3

y x  x và (d) là đường thẳng có cùng phương với đường thẳng y2x sao
cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

ĐS: a. 2 1
4

y x ; b. y2x79

Cho (P):

2
x

y  và điểm 15 27;
8 8
A 

 

a. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1

1
( 1; )

M  và vng góc với tiếp tuyến của (P) tại M1

b. Tìm các điểm trên (P) sao cho AM vng góc với tiếp tuyến của (P) tại M
ĐS: a. 2x 2y 3 0; b. 1 2 3

1 3 9 5 25

1; ; ; ; ;

2 2 8 2 8

M   M   M  

     

9. Cho Parabol (P): 1 2
2

y x và đường thẳng (d):2mx 2y 1 0.

a. CMR với mọi giá trị của m, (d) luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân
biệt M, N. Tìm quỹ tích I trung điểm của đoạn MN khi m thay đổi.

b. Tính góc tạo bởi các tiếp tuyến tại M và N của (P)
ĐS: a. 2 1

y x  ; b. 0
90

10. Cho (P): y2 4x

 . Một đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm

phân biệt A và B. CMR tích các khoảng cách từ A và B đến trục của (P) là một đại lượng không
đổi.

ĐS: h h1 2y yA B 4

11. Cho điểm A(3;0) và (P): y x2


a. M là một điểm thuộc (P) có hồnh độ xM a. Tính độ dài AM, xác định a để AM ngắn nhất.

b. Chứng tỏ đoạn AM ngắn nhất, thì AM vng góc với tiếp tuyến tại M của (P)
ĐS: a. a = 1; M(1;1);

12. Lấy hai điểm M;N theo thứ tự thuộc (P) và đường thẳng (d) có phương trình:
(P): y2 64 ;x

 (d):4x3y46 0

a. Xác định M; N để đoạn MN ngắn nhất.

b. Với kết quả tìm được ở câu a. Chứng tỏ rằng khi đó đường thẳng MN vng góc với tiếp tuyến
tại M của (P).

</div>

HH Lop 10

























































<sub></sub>

<sub></sub>

 













<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





















 









 

 

 

 

<sub> </sub>

<sub> </sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về