<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài tập</b>

"Vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông"

Môn Toán - Lớp 9

<i><b>I. Mục tiêu:</b></i>

- Củng cố, khắc sâu các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

- Rốn k năng vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để giải các
tam giác vuông, giải các bài toán thực tế nh xác định chiều cao hoặc khoảng cách.
- Hạn chế các sai lầm khi vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
<i><b>II. Tài liệu hỗ trợ:</b></i>

- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9; Nâng cao và phát triển tốn 9; Ơn kiến thức,
luyện kĩ năng hình học 9.

<i><b>III. Néi dung:</b></i>

<i> </i> <i><b> 1. LÝ thuyÕt:</b></i>

Chúng ta đã biết trong một tam giác vuông nếu biết hai yếu tố về độ dài của tam giác
vng thì có thể tính đợc độ dài của các yếu tố cịn lại theo định lí Pi ta go. Bây giờ nhờ có
khái niệm tỉ số lợng giác của góc nhọn ta có thêm các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong
một tam giỏc vuụng.

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cơsin góc kề (1)

b) Cạnh góc vng kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cơtang góc kề (2)

c¹nh góc vuông cạnh góc vuông
Từ (1) suy ra: cạnh hun = =

sin góc đối cơsin góc kề

Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông đợc vận dụng trong nhiều bài tập:
- Biết độ dài một cạnh và biết số đo một góc, tính độ dài cạnh cịn lại.

- Giải các tam giác vng tức là trong một tam giác vuông nếu biết độ dài hai cạnh
hoặc độ dài một cạnh và số đo một góc, tính độ dài các cạnh cịn lại và số đo các
góc cịn lại.

- Giải các bài toán thực tế nh xác định chiều cao hoặc khoảng cách.
<i>2. Bài tập:</i>

<i><b>VÝ dơ 1:</b></i> Cho h×nh thang ABCD cã   0

A D 90  , C 50  0. BiÕt AB = 2, AD = 1,2. TÝnh diÖn tích

hình thang ABCD.

<i>Giải: Vẽ BH </i> CD ta có ABHD là hình chữ nhật

b = a sin B = a cos C
c = a sin C = a cos B
b = c tan B = c cotC
c = b tanC = b cot B

c a

b _C

B

A

1,2

2

D C

B

H
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

nªn BH = AD = 1,2, DH = AB = 2.
Xét tam giác vuông HBC, _{H 90} 0

, ta cã:

HC = HB .cotC = 1,2 .cot 500 __1,0.

CD = CH + HD  1 + 2 = 3

Diện tích hình thang ABCD là: S

AB CD AD



2 3 .1, 2



3

2 2

 

   (®vdt)

<i><b>Chú ý: Việc kẻ BH </b></i>CD là để tạo ra một tam giác vuông biết độ dài một cạnh và biết số đo

một góc, từ đó tính đợc độ dài CH và CD, do đó tính đợc diện tích hình thang.

<i><b>Ví dụ 2:</b><b> Cho tam giác ABC vng tại A, đờng cao AH, biết BC = a và </b></i>B . Hãy tính AH,
BH và CH theo a và .

<i><b>Giải:</b></i>

Tam giác ABC vuông tại A (GT) nên AB = a cos , AC = a sin .
Tam gi¸c ABH vuông tại H ta có

AH = AB. sinB = a cos . sin 

BH = AB. Cos B = a cos . cos  = a cos 2 _

CH = AC. cosC = AC .sinB = a sin . sin  = a sin2 __.

<i><b>VÝ dô 3:</b></i> Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4, AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai trờng
hợp:

a) _A = 400_;

b) _A = 1400_.

<i><b>Gi¶i:</b></i>

a) Vẽ đờng cao CH, ta có _A = 400₍

Anhọn) thì
H và B nm cựng phớa i vi A.

Xét tam giác HAC vuông t¹i H, ta cã
CH = AC. sinHAC = 3,5 .sin 400 _2,2

Diện tích của tam giác ABC là:

1 1

S AB.CH .4.2, 2 4, 4

2 2

   (đvdt).

b) Trờng hợp _A = 1400

V ng cao CH, ta có _A = 1400₍

Atù) thì
H và B nằm khỏc phớa i vi A.

Xét tam giác HAC vuông tại H, ta cã
CH = AC. sinHAC = 3,5 .sin 400 _2,2

Diện tích của tam giác ABC là: S 1AB.CH 1.4.2, 2 4, 4

2 2

   (®vdt).

<i><b>Lu ý</b>:Một cách tổng quát, ta chứng minh đợc rằng: Diện tích tam giác bằng nửa tích hai </i>
<i>cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đờng thẳng chứa hai cạnh đó.</i>

1

1

1

S

ab.sin C

bc.sin A

ac.sin B

2

2

2







<i><b>Bµi tËp 1</b></i>: Cho tam giác ABC cân tại A, 0

B 65 , ng cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.



C

B H

A

a

A

4
3,5

C

B
H

40

4
A

3,5

C

B
H

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>Giải: Tam giác ABC cân tại A nên </b></i>_{C B 65 , A 180}  0  0 ₁₃₀0 ₅₀0

.

Xét tam giác vuông HBC vuông tại H có:

0

CH 3, 6

BC 4,0

sin B sin 65

  

Vẽ AD BC khi đó DB = DC = 2,0.

Xét tam giác ABD vuông tại D, có
AB = BD 2 ₀ 4, 7

cos B cos 65 
Do đó AC  4,7.

<i><b>Chú ý: </b>Việc vẽ thêm đờng cao AD là để tạo ra một tam giác vuông biết một cạnh góc vng </i>
<i>và một góc nhọn, từ đó sẽ tính đợc cạnh huyền AB, AC.</i>

<i><b>Bài tập 2</b>: Vì kèo của một mái nhà có dạng tam giác cân (hình vẽ). Biết đáy BC = 4,2 m, </i>
chiều cao AH = 1,7 m. Hãy tính:

a) §é dèc cđa mái nhà.

b) di ca cỏc thanh HD, HE.
<i>Gii:</i>

a) AH là đờng cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân
ABC nên:

HB = HC = 4,2 : 2 = 2,1 (m)

Xét tam giác ABH vuông tại H cã tan = AH
BH =

1,7

0,8095

2,1    400.
b) Xét tam giác DBH vuông tại H có HD = HB. Sin B 2,1. 0,643  1,3 (m)
Suy ra HE  1,3 (m).

<i><b>Bài tập 3</b></i>: Tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O. Biết _AOD = 700_{; AC = 5,3 cm; BD}

= 4,0 cm. TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABCD.

<i>Tìm hớng giải: Diện tích tứ giác ABCD bằng tổng diện tích của các tam giác ABC và ADC. Đã</i>
<i>biết AC, cần biết thêm chiều cao tơng ứng với AC. Do đó cần vẽ DK</i><i>AC, DK</i><i>AC</i>

<i><b>Gi¶i</b></i><b>: Vẽ BH </b>AC, DK AC.

Xét tam giác HOB vuông tại H ta cã BH = OB sinO2

XÐt tam gi¸c KOD vuông tại K ta có DK = OD sin O1

M _O ₁ __O ₂_{(đối đỉnh)}

 SABCD = SABC + SADC = 1

2AC (BH + DK)
= 1

2AC(OB + OD) sin O1 =
1

2AC.BD sin O1
= 1

2.5,3 . 4. sin 70

0 _ 1

2. 5,3 . 4 . 0,9397  10,0 (cm

2_).

<i><b>Nhận xét</b></i>: Nếu tứ giác có độ dài hai đờng chéo là m và n, góc nhọn xen giữa hai ng chộo l

thì diện tích của tứ giác lµ : S = 1

2.m.n .sin .

<i><b>Bài tập 4:</b></i> Cho tam giác nhọn ABC, _{B C} _ _{, đờng cao AH và đờng trung tuyến AM.}

a) Chøng minh r»ng HC - HB = 2 HM.

H

A

C

B D

E

H



A

C
B

D

K
H
A

C
B

D

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b) Gọi  là góc tạo bởi đờng cao và trung tuyến. Chứng minh rằng: tan cot C cot B
2

 

<i><b>Gi¶i: </b></i>

a) Ta cã HC – HB = (HM + MC) – (MB – HM) = 2HM.
c) XÐt tam gi¸c AHC vuông tại H, ta có HC = AH.cotC
Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có HB = AH.cotB

_{HC – HB = AH(cot C – cotB)}

hay 2HM = AH(cot C cotB) (1)

Xét tam giác vuông AHM vuông tại H ta có:
HM = AH. tan 2HM = 2AH. tan ₍₂₎

Tõ (1) vµ (2)  _{AH(cot C – cotB) = 2AH. tan} _{hay tan} ₌ cot C cot B

2

<i><b>IV. Híng dÉn HS tù häc ở nhà:</b></i>

- Học thuộc các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, nắm chắc phơng pháp
giải tam giác.

- Xem kĩ các bài tập trong buổi học, tham khảo các ví dụ trong các tài liệu nâng cao.
- Bài tập về nhà: Cho tam giác nhọn ABC,  0

A 75 , AB = 30 mm, BC = 35 mm, hÃy

giải tam giác ABC.

M
H

A

</div>

<!--links-->