<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Ch 0:

KI N TH C C B N VÀ K N NG OXYZ

I- LÝ THUY T:

1- H tr c Oxyz: G c t a (0;0;0)O

* i m

₍

₎

:

; ; :

:
M

M M M M

M
x

M x y z y

z
* Tr c t a :

Tr c Ox: 0
0
y
z

=

= Tr c Oy:

0
0
x
z

=

= Tr c Oz:

0
0
x
y
=
=
* M t ph ng t a :

z=0 Mp(Oxz): y=0 Mp(Oyz): x=0
2- Các phép toán: Cho các vect a a a a( ; ; ); ( ; ; ); ₁ ₂ ₃ b b b b₁ ₂ ₃ k∈R.

1 1 2 2 3 3

( ; ; )

+ = + + +

a b c a b a b a b ka =ka ka ka ka( ₁; ₂; ₃)
1 1 2 2 3 3

. = . + . + .

a b a b a b a b (Tích vơ h ng) a = ( )a₁ 2+( )a₂ 2+( )a₃ 2
3- H qu : ( ;A xA yA; ); ( ;zA B xB yB; ); C( ;zB xC yC; ).zC

( ; ; )

= _B − _A _B− _A _B− _A

AB x x y y z z AB= AB = (x_B −x_A)2 +(y_B−y_A)2+(z_B −z_A)2

i m M chia o n th ng AB theo t s

k

⇔

MA

=

k MB

.

1
1
1
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz

z
k
−
=
−
−
=
−
−
=
−
H qu 1: Công th c trung i m:

( ; ; )

_I _I _I

I x y z

c a o n AB.

2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y

z z
z
+
=
+
=
+
=

H qu 2: Công th c tr ng tâm:

( ;

_G _G

; )

_G

G x

y

z

c a tam giácABC.

3
3
3
+ +
=
+ +
=
+ +
=

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x
x

y y y

y

z z z
z

4- Góc gi a hai vect : a a a a( ; ; ); ( ; ; ).₁ ₂ ₃ b b b b₁ ₂ ₃

G i ϕ =( ; )a b . Lúc ó: 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

.

. ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( )

ϕ= = + +

+ + + +

a b a b a b
a b

cos

a b a a a b b b

* c bi t: a ⊥b ⇔ a b. = ⇔0 a b1 1+a b2 2 +a b3 3=0
5- i u ki n hai vect a a a a( ; ; ); ( ; ; )₁ ₂ ₃ b b b b₁ ₂ ₃ cùng ph ng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

6- Tích có h ng c a hai vet : a a a a( ; ; ); ( ; ; ).₁ ₂ ₃ b b b b₁ ₂ ₃
* Công th c: ( Quy t c:2-3; 3-1; 1-2)

(

)

1 2 3 ₂ ₃ ₃ ₁ ₁ ₂

2 3 3 1 1 2

1 2 3

2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 2
( ; ; )

, ; ;

( ; ; )

; ;

a a a a a a a a a a

c a b

b b b b b b
b b b b

a b b a a b b a a b b a

= =

= − − −

• Tính ch t:

, c a

c a b

c b

⊥

= ⇔

⊥
,

a b cùng ph ng ⇔ a b, =0.
, ,

a b c ng ph ng ⇔ . ,c a b =0.
7- M t s công th c c n l u ý:

Di n tích tam giác ABC:

1 ,

2
ABC

S = AB AC

Th tích hình h p ABCD.A’B’C’D’:
VABCD A B C D_{. ' ' ' '} = AB AC AA, . '

Th tích t di n ABCD:

1 , . '

6
ABCD

V = DA DC DD ( 1
3

= chi u cao. S áy)

II- LUY N T P:

1)Cho (1; 1;1), (4;0; 1), (3;2; 1).a − b − c − Tính:

_{a) .}

( )

_b) 2

( )

_{. c) 4} ₂ 1 _{d) 3 ,} _{e) . ,} _{2 .}
3

a b c a b c a− b+ c a b c a b + b c

2)Tính góc gi a các vect sau:

a) (4;3;1), ( 1;2;3). b) (2;5;4), (6;0; 3)a b − a b −
3) Xét s ng ph ng c a 3 vect a b c, , trong m i tr ng h p sau:

a) (1; 1;1), (0;1;2), (4;2;3). b) (4;3;4), (2; 1;2), (1;2;1).
c) (4;2;5), (3;1;3), (2;0;1). d) ( 3;1; 2), (1;1;1), ( 2;2;1).

a b c a b c

a b c a b c

− −

− − −

4) Trong không gian Oxyz cho 4 i m: (1;0;1); ( 1;1;2);A B − ( 1;1;0); (2; 1; 2).C − D − −
a. Ch ng minh r ng: A, B, C, D là 4 nh c a m t t di n.

b. Tính ng cao c a tam giác BCD h t D.

c. Tính góc CBD và góc gi a hai ng th ng AB, CD.

d. Tính th tích t di n ABCD. Suy ra dài ng cao c a t di n qua nh A.
5) Cho ba i m (1;0;0); (0;0;1); (2;1;1).A B C

a) Ch ng minh r ng: A, B, C là 3 nh c a m t tam giác.
b) Tính chu vi và di n tích c a tam giác ABC.

c) Tìm to D t giác ABCD là hình bình hành.

α
α
α
α

C
B

A

D'
D

C'
B'

A'

A B

C

B
A

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

d) Tính dài ng cao c a tam giác ABC h t nh A.
e) Tính các góc c a tam giác ABC.

6) Cho i m M( 1;2;3)− . Tìm to hình chi u vng góc c a M:

a. Trên tr c Ox. b. Trên m t ph ng Oyz.

7) Cho i m (1;2;1); ( 2;1;2).A B −

a. Tìm to A’ i x ng v i A qua Oy.
b. Tìm to B’ i x ng v i B qua Oxy.

c. Tìm to i m M chia o n A’B’ theo t s −3.

8) Cho 4 i m ( 3;5;15), (0;0;7), (2; 1;4), (4; 3;0).A − B C − D − Ch ng minh AB và CD c t
nhau.

9) Cho 4 i m (3; 1;2), (1;2; 1), ( 1;1; 3), (3; 5;3).A − B − C − − D − Ch ng minh ABCD là hình
thang.

10) Tìm t a c a tr ng tâm t di n ABCD v i
(3; 1;6), ( 1;7; 2), (1; 3;2), (5;1;6).

A − B − − C − D

11) Cho tam giác ABC v i (1;0;3), (2;2;4), (0;3; 2).A B C −

a. Ch ng minh ∆ABC vuông t i A, t ó tìm tâm và bán kính c a ng trịn
ngo i ti p ∆ABC.

b. Tính góc C c a tam giác.
12) Cho (1;2; 3), (3;2;0), ( 4;2;5).A − B C −

a. Ch ng minh A, B, C là 3 nh c a m t tam giác.

b. Tìm to D sao cho t giác ABCD là hình bình hành.
c. Tìm , a b i m M a( +2;2b−1;1) thu c AC.

13) a) Tìm trên tr c Oy i m cách u hai i m (3;1;0), ( 2;4;1).A B −

b) Tìm trên mp(Oxz) i m cách u ba i m (1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1).A B − C −

Cho tam giác ABC, bi t (1;2; 3), (3;2;0), ( 4;2;5).A − B C − Xác nh t a chân ng cao
xu t phát t nh A c a tam giác ABC.

14) Cho tam giác ABC, bi t (2; 1;3), (4;0;1), ( 10;5;3).A − B C − Hãy tìm dài ng phân
giác trong góc A c a tam giác ABC.

15) Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ bi t (1;0;1), (2;1;2), (1; 1;1),A B D − '(4;5; 5).C − Tìm to
các nh cịn l i c a hình h p.

B ng ph ng pháp t a :

B c 1:Ch n H tr c t a Oxyz

+ D a vào gi thi t tam di n vuông.

+ D a vào gi thi t v dài ch n t a .

B c 2: Suy ra t t c các i m trong bài toán v i t o c th .
B c 3: Gi i u c!u bài tốn theo “ngơn ng ” t a .

Hãy gi i các bài tốn sau:

Bài 1: Cho hình l"p ph ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a. G i M, N l!n l t là trung
i m c a A’D’ và B’B.

a. Ch ng minh r ng: MN ⊥ AC' và AC'⊥

(

A BD'

)

.
b. Tính góc gi a MN và CC’.

Bài 2: Cho t di n ABCD có AB, AC, AD vng góc v i nhau t ng ôi m t. Bi t AB=b,
AC=c, AD=d. G i M, N l!n l t là trung i m AC, BC.

a. Tính góc gi a 2 t AN và DM.
b. Tính góc gi a AN và mp(DBC)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ch 1:

PH

!

NG TRÌNH M

"

T PH

#

NG

I- LÝ THUY T:

1- Vect pháp tuy n- ph ng trình t#ng quát c a m t ph ng:
1-1. Vect pháp tuy n c a mp ( )α :

( ; ; )

n a b c gl vect pháp c a mp( )

α

0 .
( )
n
n

≠
⇔

⊥ α
* Nh$n xét:

N u hai vect u, v khơng cùng ph ng và chúng có giá
song song v i mp ( )α thì ch n c 1 vect pháp c a mp ( )α :
nα =

_[

u v,

_]

1-2. Ph ng trình t#ng quát c a mp( )

α

:

M t ph ng ( )

α

qua M₀( ; ; )x y z₀ ₀ ₀ và có m t vect
pháp là n a b c( ; ; ).

0 0 0

( ) : ( ) ( ) ( ) 0

0 (1)

a x x b y y c z z
ax by cz d

− + − + − =

+ + + =

α

Ng c l i, m t ph ng ( )α có ph ng trình t#ng quát d ng (1) thì ch n c 1 vect
pháp là: ( ; ; )n a b c .

1-3. Ph ng trình các m t ph ng Oxy, Oyz, Oxz.
• Mp Oxy: z=0

• Mp Oyz: x=0
• Mp Oxz: y=0

1-4. Ph ng trình m t ph ng ch%n Ox, Oy, Oz:

( )α c t Ox, Oy, Oz l!n l t t i ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ).A a B b C c
( ) : x y z 1

a +b + c =

α

2- Thu"t toán và m t s nh"n xét quan tr ng:
2-1. Thu"t toán:

L P PH! NG TRÌNH M"T PH#NG
B c 1: Xác nh 1 i m M0( ; ; ) ( ).x y z0 0 0 ∈ α
B c 2: Xác nh 1 vect pháp n a b c( ; ; ).
B c 3: Áp d ng công th c:

( ) : ( 0) ( 0) ( 0) 0

0

a x x b y y c z z
ax by cz d

− + − + − =

+ + + =

α

2-2. Nh"n xét: Cho mp ( )α : ax+by+cz+d =0

Mp ( ) || ( )β α thì ( )β có d ng: ax+by+cz+m=0
II- LUY N T P:

1) L"p ph ng trình m t ph ng ( )

α

bi t ( )

α

:

a. i qua A(1; 2; 1) và có 1 vect pháp (1;3;2).n
b. Qua A(2; 0; -1) và song song v i mp ( )β : x−y=0.

z

y
x

α

C

B
A

O

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2) Cho m t ph ng ( ) : 2P x+5y−7z+ =1 0.
a. Hãy xác nh 1 vect pháp c a mp ( ).P

b. Xác nh m sao cho (2A m−1;m+2;m−1) thu c ( ).P

c. Tìm giao i m c a ( )P v i các tr c to .

3) Vi t ph ng trình m t ph ng ( )

α

:

a. Qua A(1; 0; 2) và song song v i mp Oxy.
b. Qua M(2; -1; -3) và vng góc v i Ox.

c. Qua I(-1; 2; 4) và song song v i mp(P): 2x−3y+5z− =1 0.

d. ( )

α

là m t ph ng trung tr c c a o n AB v i A(1; 3; 2), B(-1; 1; 0).
4) Vi t ph ng trình mp ( )α qua 3 i m A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6).

5) Vi t ph ng trình m t ph ng i qua 3 hình chi u c a M(1; -3; 1) lên các tr c to ,
6) Cho m t ph ng ( )α : 2− x+3y− + =z 7 0. Vi t ph ng trình mp i qua A(1; 1; 0),

B(-1; 2; 7) và vng góc v i mp ( )α .

7) Cho t di n OABC có OA, OB, OC ơi m t vng góc. Bi t O(1; 1; 1), A(2; 3; 5),
B(3; -2; 2). Hãy vi t ph ng trình các m t ph ng (OAC), (OBC).

8) Vi t ph ng trình m t ph ng qua M(0; 2; -1), song song v i Ox và vng góc v i
mp(P): x− + =y z 0.

9) Vi t ph ng trình mp qua A(-3; 0; 1) và vng góc v i 2 m t ph ng (P):
2x 3y z 2 0

− + − + = và (Q): x+5y−2z+ =1 0.

10) Vi t ph ng trình mp ( )α i qua hai i m (3;1; 1), (2; 1;4)A − B − và vng góc v i
m t ph ng 2x− +y 3z+ =4 0.

11) Vi t ph ng trình mp qua M(1; 2; 3) và c t 3 tr c to $ 3 i m cách u g c to
.

12) Vi t ph ng trình m t ph ng i qua i m M(1; 1; 1), c t các tia Ox, Oy, Oz t i các
i m A, B, C sao cho th tích t di n OABC nh% nh t.

13) Cho t di n ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a. Vi t ph ng trình mp(BCD).

b. Vi t ph ng trình mp qua A, B và song song v i CD.

c. G i G là tr ng tâm ∆BCD. Vi t ph ng trình mp qua G và song song (ABC).
14) L"p ph ng trình m t ph ng:

a. i qua i m (1;2;3)G và c t các tr c to t i các i m A, B, C sao cho G là
tr ng tâm tam giác ABC.

b. i qua i m (2;1;1)H và c t các tr c to t i các i m A, B, C sao cho H
là tr c tâm tam giác ABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ch 2:

PH

!

NG TRÌNH

!&

NG TH

#

NG

I-LÝ THUY T:

1. Vect ch' ph ng c a ng th ng:

a a a a( ; ; )₁ ₂ ₃ gl 1 vect ch ph ng c a t 0
// .
a

d

a d

≠
⇔

≡
2. Ph ng trình tham s :

ng th ng d i qua M₀( ; ; )x y z₀ ₀ ₀ và có 1 vect ch ph ng a a a a . ( ; ; )₁ ₂ ₃

0 1

0 2

0 3

: ( )

x x a t

d y y a t t R
z z a t

= +

= + ∈

= +

(1)
3. Ph ng trình chính t%c:

ng th ng d i qua

M x y z

₀

( ; ; )

₀ ₀ ₀ và có 1 vect ch ph ng a a a a( ; ; )₁ ₂ ₃ .

0 0 0

1 2 3

: d x x y y z z

a a a

− − −

= = (2)

(

. .a a a1 2 3 ≠0

)

* Gi i thi u thêm:

4. Ph ng trình t(ng quát:

ng th ng d trong Oxyz c xem là giao tuy n
c a 2 m t ph ng (P), (Q).

1 1 1 1

2 2 2 2

0

( ) ( ) :

0
a x b y c z d

d P Q d

a x b y c z d

+ + + =

= ∩ ⇔

+ + + = (3)

Chú ý: Xác nh xác nh vt ch ph ng nh sau:

+ G i a là 1 vtcp c a d .

+ Mp (P) có 1 vtp n_P
Mp (Q) có 1 vtp n_Q

+ Ta có: ⊥ =

⊥

5. Thu$t tốn:

L P PH! NG TRÌNH !&NG TH#NG
Thu$t toán 1:

B c 1: Xác nh M₀( ; ; )x y z₀ ₀ ₀ ∈d.

B c 2: Xác nh 1 vect ch ph ng a a a a( ; ; )₁ ₂ ₃ c a d.

B c 3: Áp d ng công th c (1) ho c (2).

0 1
0 2
0 3

: ( )

x x a t

d y y a t t R
z z a t

= +

= + ∈

= +

0 0 0

1 2 3

: d x x y y z z

a a a

− − −

= =

Thu$t toán 2: D a vào ph ng trình t#ng quát, xác nh hai m t ph ng (P) và (Q) có giao
tuy n là ng th ng d c n tìm. (Theo u c!u bài tốn)

!

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

II- LUY N T P:

D ng 1: Xác )nh vect ch' ph ng và chuy n i các ph ng trình ng
th ng.

Ph ng pháp:

* Vect ch ph ng: 0
// .
a

a d

≠
≡

- Ph ng trình c a t d ng (1), (2) thì ng th ng có 1 vtcp a a a a( ; ; )₁ ₂ ₃ .
- i v i ph ng trình d ng (3), thu"t tốn xác nh vtcp ã có $ trên.
* Chuy n i gi a các lo i ph ng trình:

1. T tham s sang chính t c và ng c l i:
0 1

0 0 0

0 2

1 2 3

0 3

: ( )

x x a t

x x y y z z

d y y a t t

a a a

z z a t

= +

− − −

= + ⇔ = = =

= +

2. T tham s sang t#ng quát:

0
0 1

1

0 2

0 3

(4)

: (5)

(6)

x x
x x a t t

a
d y y a t

z z a t

−

= + ⇔ =

= +

= +

Thay t t (4) vào pt (5), (6).

3. T t#ng quát sang tham s :

B c 1: Ch n 1 i m M₀( ; ; )x y z₀ ₀ ₀ ∈d.

( T ph ng trình (1) cho z=0 và gi i ra x y, )

B c 2: Xác nh 1 vect ch ph ng c a d.

BÀI T P:

1) Xác nh vect ch ph ng c a các ng th ng cho b$i ph ng trình sau:

1 2 3

5 6

1

0 3 2 0

a) : 2 3 ( ) b) : c) :

3 6 0 4 2 1 0

3 4

2 5 0 1

d) : e) : 2

2 3 0 3 2

x

x y x y z

y t t R

x y z x y z

z t

x y z x y

z
x z

=

− = + + =

∆ = − ∈ ∆ ∆

+ + + = + + + =

= +

− + + = −

∆ ∆ = = +

− + =

2) Vi t ph ng trình tham s và chính t c c a các ng th ng sau:

3 5 2 0 4 0

a) : b) :

2 7 1 0 2 3 1 0

x y z x y

d

x y z x y z

− + − = + =

∆

− + + = − − + + =

3) Vi t ph ng trình t#ng quát c a các ng th ng:

1 1

1

a) : 2 3 ( ) b) : 3 c) : 1 2 ( )

2 3

2 2

x t x t

x y

d y t t R d z d y t t R

z t z

= − + = − +

−

= − ∈ = = − = + ∈

= =

4) Cho ng th ng : 1 2

2
y

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

a) i m M sao cho AM =2.

b) i m B, C sao cho tam giác ABC u.

c) i m B, C sao cho tam giác ABC vuông cân t i A.

d) i m M sao cho M cách u A và mp ( ) : 3α x−4y+ =1 0.

5) Cho ng th ng

1

: 2 3

2

x t

y t

z t
= +

∆ = −

=

và i m (1;2;3)A . Xác nh to :

a) i m H là hình chi u vng góc c a A lên ng th ng ∆.
b) i m /

A là i m i x ng v i A qua ng th ng ∆.

6) Cho hai m t ph ng ( ) : α x+3ky− + =z 2 0 và ( ) : β kx− +y 2z+ =1 0. Tìm k giao
tuy n c a ( ), ( )α β

a) Vng góc v i m t ph ng

( )

P : x− −y 2z+ =5 0.
b) Song song v i m t ph ng

( )

P : x− −y 2z+ =5 0.

D ng 2: L P PH! NG TRÌNH !&NG TH#NG

1) Vi t ph ng trình tham s và chính t c c a ng th ng d trong m i tr ng h p sau:
a. Qua A(2; 0; −1) và có 1 vect ch ph ng ( 1;3;5)u − .

b. Qua A(2; 3; −1) và B(1; 2; 4).

c. Các ng th ng qua i m M0

(

x y z0; ;0 0

) (

x y z0. .0 0 ≠0

)

và song song v i
m i tr c to .

2) Vi t ph ng trình ng th ng d :

a) Qua A(4; 3; 1) và song song v i t

1 2

: 3 ( )

3 2

x t

y t t R

z t

= +

∆ = − ∈

= +

b) Qua A(1; 2; -1) và song song v i t: : 1

2 3

x z

y +

∆ = =

3) Vi t ph ng trình ng th ng d qua M(−2; 1; 0) và:

a) Vng góc v i các m t ph ng to (Oxy), (Oyz), (Oxz).
b) Vuông góc v i mp ( ) : α x+2y−2z+ =1 0.

4) Vi t ph ng trình ng th ng d i qua (2; 1;1)A − và vng góc v i hai ng th ng:

1: 1 ( ) 2: 1 2 ( )

2 0

x t x t

y t t R y t t R

z t z

= =

∆ = − − ∈ ∆ = − ∈

= =

5) Vi t ph ng trình m t ph ng ( )α i qua A(3; -2; 1) và vng góc v i : 1

2 3

x z

y

∆ = − =

− .
6) Cho hai m t ph ng ( ) : α x+2y− + =z 1 0 và ( ) : β x+ +y 2z+ =3 0. Ch ng t% r ng hai
m t ph ng ( ), ( )α β c t nhau và vi t ph ng trình tham s c a giao tuy n gi a hai m t
ph ng ó.

7) Cho 3 i m A(1; −2; 5), B(3; −1; 4), C(4; 1; −3). Vi t ph ng trình:

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8*) Vi t ph ng trình hình chi u vng góc c a ng th ng : 1 2 3

2 3

x y

d − = + = −z lên

m i m t ph ng sau: mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz) và ( ) :α x+ + − =y z 7 0

9*) Cho m t ph ng(α): 2x− +y 3z− =4 0 và ng th ng : 1 3

2 4

x y

z

+ +

∆ = = .

a) Xác nh giao i m A c a t ∆ và mp ( )α .

b) Vi t ph ng trình ng th ng d qua A n m trong mp ( )α và vuông góc v i ∆.
10*) (Kh i A_2008) Trong không gian v i h to Oxy ,cho i m A(2;5;3) và u ng

th ng : 1 2

2 1 2

x y z

d − = = −

a) Tìm to hình chi u vng góc c a i m A trên ng th ng d.

b) Vi t ph ng trình mp(α ) ch a d sao cho kho ng cách t A n (α) l n nh t .

11*) (Kh i B_2007) Trong không gian v i h to Oxyz, cho hai i m A(1;4;2),
B(−1;2;4) và ng th ng : 1 2

1 1 2

x− y+ z

∆ = =

− .

a) Vi t ph ng trình ng th ng d i qua tâm G c a tam giác OAB và vuông góc
V i m t ph ng (OAB)

b) Tìm to M thu c ng th ng ∆ sao cho MA2 + MB2 nh% nh t.

12*) (Kh i B_2006) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho i m A(0;1;2) và hai
ng th ng:

1 2

1

1 1

: 1 2 d :

2 1 1

2 .

x t

x y z

d y t

z t

= +

− +

= − − = =

−
= +

a)) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) qua A , ng th i song song v i d1 và d2.

b) Tìm to d i m N thu c d1 và i m M thu c d2 sao cho ba i m A, M, N

th ng hàng .

13*) (Kh i B_2006) Trong không gian Oxyz cho i m A(−4;−2;4) và: d:

x t

y t

z "t.
= − +
= −
= − +
Vi t ph ng trình ng th ng & i qua i m A, c t và vng góc v i d ng th ng d.
14*) (D* b) Kh i B_2006) # $ % & ' ( ") ) * ) )+ , -.

/

.

1

1

2

6

2

3

:

=

−

=

−

−

−

y

z

x

d

0 1 2& 3 & -. / , (* 4 2 25 / 6 #72 &82 0
9 -. / : 2 &; (*0 < =& > ( 6

15*) (Kh i A_2002) Trong không gian v i h to Oxyz cho hai ng th ng :
: "

"

− + − =

+ − + =

= +

= +

= +

a) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a ng th ng d1 và song song v i ng th ng d2.

b) Cho i m M(2;1;4).Tìm to i m H thu c ng th ng d2 sao cho o n th ng MH có

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Ch 3:

KHO NG CÁCH

D ng 1: Kho ng cách t+ 1 i m ,n m t m t ph ng
Ph ng pháp:

i m M₀( ; ; )x y z₀ ₀ ₀ và mp ( ) : α ax+by+cz+d =0

(

)

0 0 0

0 ₂ ₂ ₂

d M ;( ) ax by cz d
a b c

α = + + +

+ +

H qu : * M0∈( )α ⇔d M

(

0;( )α

)

=0.

* d M

₍

₀;( )α

₎

=M H₀ , v i M H₀ ⊥( )α

D ng 2: Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song

Ph ng pháp: Cho hai m t ph ng song song ( ), ( )α β v i:
( ) : α ax+by+cz+d =0

( ) : β ax+by+cz+D=0
Lúc ó:

( );( )d

(

)

d A

(

;( )

)

₂d ₂D ₂
a b c

α β = α = −

+ + , v i A∈( )β
LUY N T P:

1) Xác d nh kho ng cách t các i m M₁(1; 1;2), − M₂(4;3;0), M₃( 1;4;3)− n m t ph ng
( ) : α x+2y+2z−10 0.=

2) Cho t di n ABCD có 4 nh: (1;1;1), ( 2;0;2), (0;1; 3)A B − C − và (4; 1;0)D − .
a) Tính chi u cao AH c a tam giác ABC.

b) Tính chi u cao c a t di n ABCD xu t phát t nh A.

3) Cho 4 i m ( 1; 2;4), ( 4; 2;0), (3; 2;1)A − − B − − C − và (1;1;1)D . Tính chi u cao c a t di n
ABCD xu t phát t nh D

4) Tìm t"p h p các i m các i m cách u hai m t ph ng:
a) ( ) : 2 4 5 0 ( ) : 3 5 1 0
b) ( ) : 2 1 0 ( ) : 2 5 0

P x y z Q x y z

P x y z Q x y z

− + + = + − − =

+ + − = + + + =

5) Tìm trên tr c Oz các i m cách u i m (2;3;4)A và m t ph ng
( ) : 2α x+3y+ −z 17 0.=

6) Trên tr c Oy, tìm i m cách u hai m t ph ng:
( ) : P x+ − + =y z 1 0 ( ) : Q x− + − =y z 5 0

7) Cho 2 mp ( ) : 4α x+ay+6z−10 0, ( ) : = β bx−12y−12z+ =4 0.
a) Xác nh a, b ( ) //( )α β .

b) Tính kho ng cách gi a ( )α và ( )β .

8) L"p ph ng trình m t ph ng

( )

α i qua hai i m (2; 1;0), (5;1;1)A − B và kho ng cách t
i m 0;0;1

2

M n m t ph ng

( )

α b ng 7
6 3

9)* Cho 2 i m ) ) − ) ) . L"p ph ng trình m t ph ng

( )

α i qua A và cách B
m t kho ng l n nh t.

10)* Cho 3 i m (2;0;1), ( 2;7;2), (1;5; 3)A B − C − . L"p ph ng trình m t ph ng

( )

α ch a
AB sao cho kho ng cách t C n

_{( )}

α l n nh t.

?

α

?

( β

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Ch 4:

V

-

TRÍ T

!

NG

.

I GI A HAI M

"

T PH

#

NG

Ph ng pháp:

Cho hai m t ph ng

( )

α :a x1 +b y1 +c z1 +d1 =0 có 1 vtpháp: n a b c1( ; ; )1 1 1

( )

β :a x2 +b y2 +c z2 +d2 =0 có 1 vtpháp: n a b c2( ; ; )2 2 2
Tr ng h/p 1: Hai m t ph ng

_{( ) ( )}

α , β c t nhau:

1: :1 1 2: 2: 2
a b c a b c

⇔ ≠

L u ý:

Giao tuy n c a

( ) ( )

α , β là ng th ng ∆ có ph ng trình:

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0
a x b y c z d
a x b y c z d

+ + + =

+ + + =

(Ph ng trình t ng quát c a ng th ng trong không gian)
Tr ng h/p 2: Hai m t ph ng

( ) ( )

α , β song song nhau:

1 1 1 1

2 2 2 2

a b c d

a b c d

⇔ = = ≠

Tr ng h/p 3: Hai m t ph ng

( ) ( )

α , β trùng nhau:

1 1 1 1

2 2 2 2

a b c d

a b c d

⇔ = = =

(V i a b c_{2 2 2}. . ≠0)

* c bi t: 2

( )

α ⊥2

( )

β ⇔ n n_α. _β =0
LUY N T P:

1) Xét v trí t ng i c a các c p m t ph ng sau ây:

@ , + " A , "

, @ , B C B @

" , " 6

+ − + = + − − = − + + = − + − =

+ + − = + − + = − − + = − − − =

− + − = − + − =

2) Xác nh các giá tr , l m các c p m t ph ng sau ây song song:

, " +

, D

+ + + = + − + =

+ + − = + + + =

3) Cho hai m t ph ng − + − +C = , + − + @ + − =

V i giá tr nào c a thì hai m t ph ng ó:

a) Song song v i nhau b) Trùng nhau c) C t nhau

4) Cho hai m t ph ng − + + + = , − + + − =

V i giá tr nào c a thì hai m t ph ng ó:

a) Song song v i nhau b) Trùng nhau

c) C t nhau d) Vng góc nhau

5) ( HTCKT HN 98) Cho hai m t ph ng

( )

α " + +C − =

( )

β − − + ="
Xác nh

( ) ( )

α // β . Khi ó, tính kho ng cách gi a

( )

α và

( )

β .

6) Cho 2 i m (4;2;3), (0; 2;1)A B − và m t ph ng ( ) :P x− −y 3z−17 0= . L"p ph ng
trình m t ph ng (Q) song song v i m t ph ng (P), ng th i cách u 2 i m A, B.

∆

α
β

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Ch 5:

V

-

TRÍ T

!

NG

.

I GI

0

A

!&

NG TH

#

NG VÀ M

"

T PH

#

NG

I-LÝ THUY T:

Cho m t ph ng ( ) : α Ax+By+Cz+D=0 và ng th ng

(

)

0 1

0 2
0 3
:

x x a t
y y a t t
z z a t

= +

∆ = + ∈

= +

xác nh v trí t ng i c a ng th ng ∆và mp ( )α , ta th c hi n theo hai b c:
B c 1: Gi i h ph ng trình

0 1
0 2
0 3

(1)
(2)
(3)
0 (4)
x x a t

y y a t
z z a t
Ax By Cz D

= +

= +

= +

+ + + =

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta c: A x

(

0+a t1

)

+B y

(

0+a t2

)

+C z

(

0+a t3

)

+D=0 (*)
B c 2: Bi n lu"n s nghi m c a ph ng trình (*) và k t lu"n:

TH1: Ph ng trình (*) vơ
nghi m.

TH2: Ph ng trình (*) vơ
s nghi m

TH3: Ph ng trình (*) có
nghi m t₀ duy nh t

K t lu"n: ( ) //α ∆ K t lu"n: ∆ ⊂( )α K t lu"n: ∆ c t ( )α t i i m
0( 0 1 0; 0 2 0; 0 3 0)
M x +a t y +a t z +a t
Nh$n xét:

1- M t ph ng ( )α có 1 vtp: n_α( ; ; )A B C và ng th ng ∆ có 1vtcp : a a a a_∆( ; ; )₁ ₂ ₃ .
Ki m tra .n a_α _∆ =0 thì k t lu"n: Ho c ∆ ⊂( )α ho c ( ) //α ∆.

2- N u .n a_α _∆ ≠0 thì ng th ng ∆ c t m t ph ng ( )α .

3- ch ng minh ∆ ⊂( )α , c!n ch n hai i m A, B thu c ∆ và ch' rõ A, B c ng
thu c mp( )α .

c bi t: N u n_α cùng ph ng a_∆ thì ∆ ⊥( )α .
Ki m tra:

_n _ka ₀ a1 a2 a3

A B C

α = ∆ = ⇔ = =

V i . .A B C ≠0
II- LUY N T P:

1) Xác nh v trí t ng i c a mp ( ) : α x+ + − =y z 3 0 và t ∆ trong các tr ng h p sau:

2 1 5

1

a) : 3 b) : 1 1 c) : 1 4
2

1 1 3

x t x t

x

y t y z y t

z z t

= + = +

−

∆ = − ∆ = − − = − − ∆ = −

= = +

B
A

∆

α

∆

α

∆

α

∆

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

2) Ch ng minh r ng ng th ng

(

)

1

: 2 2

4 3

x t

d y t t

z t

= +

= + ∈

= +

vng góc v i m t ph ng
( ) : 2α x+4y+6z+ =9 0.

3) Tính kho ng cách gi a t : 3 1 1

2 3 2

x y z

d + = + = + và mp ( ) : 2α x−2y+ + =z 3 0.
4) Cho i m (1;0;0)A và m t ph ng ( ) : 2α x+ − + =y z 3 0.

a. Xác nh hình chi u vng góc H c a A lên m t ph ng ( )α .
b. Xác nh to i m A’ i x ng v i A qua m t ph ng ( )α .

5) Cho m t ph ng ( ) : 2α x+ + − =y z 1 0 và ng th ng : 1 2

2 3

x z

d − = y= +

− . G i M là
giao i m c a d và m t ph ng ( )α . Vi t ph ng trình ng th ng ∆ qua M vng góc
v i d và n m trong m t ph ng ( )α .

6) Cho i m (2;3;1)A và hai ng th ng: ₁ ₂
2

5

: 2 , : 2

3
2

x t

x

d y t d y z

z t
= − −

+

= + = − =

=

.

a. Vi t pt mp(P) qua A và ch a d₁. a. Vi t pt mp(Q) qua A và ch a d₂.
c. Vi t ph ng trình ng th ng ∆ qua A và c t c d1 và d2.

7) Cho ng th ng

(

)

2
1

:

1 (1 )

m

x mt

y m t t

z m m t

= +

∆ = + ∈

= − + −

:m tham s .

V i giá tr nào c a m thì ∆_m:

a. C t mp Oxy b. Song song mp Oxy c. N m trên mp Oxy

8) Vi t ph ng trình tham s c a ng th ng d là giao tuy n c a hai mp ( )α và mp ( )β :
a) ( ) : 2 5 0 ( ) : 2 3 0

b) ( ) : 3 0 ( ) : 2 6 2 0

x y z x z

x y z x y z

α β

α β

− + + = − + =

+ − + = − + − =

9) a) Cho ng th ng d_m là giao tuy n c a hai mp

( ) : (2α m+1)x+(1−m y) +m− =1 0 và ( ) :β mx+(2m+1)z+4m+ =2 0.Xác nh m
m

d song song v i mp(P): 2x− + =y 2 0

b) Cho ng th ng d_k là giao tuy n c a hai m t ph ng ( ) :α x+3ky− + =z 2 0 và
( ) :β kx− + + =y z 1 0. Xác nh k d_k vng góc v i mp(P):x− −y 2z+ =5 0.

10) Cho mp ( ) : α x+ −y 2z+ =1 0 và hai t ₁ ₂

0
1

: 1 , : 1

2 3

2 2
x

x z

y y t

z t

=
−

∆ = − − = ∆ = −

= +
.
Vi t ph ng trình ng th ng d c t c hai ng th ng ∆ ∆₁, ₂ và n m trong mp ( )α .
11) Cho m t ph ng(α): 2x− +y 3z− =4 0 và ng th ng : 1 3

2 4

x y

z

+ +

∆ = = .

a. Xác nh giao i m A c a t ∆ và mp ( )α .

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Ch 6:

V

-

TRÍ T

!

NG

.

I GI

0

A HAI

!&

NG TH

#

NG

I-LÝ THUY T:

Cho hai ng th ng:

0 1

1 0 2

0 3
:

x x a t
d y y a t

z z a t

= +

= +

= +

/

0 1

/

2 0 2

/

0 3

:

x x b k
d y y b k

z z b k

= +

= +

= +

( , t k∈ )

ng th ng d₁ có 1 vect ch ph ng: a a a a( ; ; )₁ ₂ ₃ .

ng th ng d₂ có 1 vect ch ph ng: b b b b( ; ; )₁ ₂ ₃ .

xét v trí t ng i c a d₁ và d , ta xét theo các b₂ c sau:

B c 1: Ki m tra tính cùng ph ng c a a và b.
B c 2: Nh"n xét:

+ N u a và b cùng ph ng thì : 1 2
1 2

//

d d

d ≡ d

+ N u a và b khơng cùng ph ng thì ho c d₁ c t d₂ho c d₁ và d₂ chéo nhau.

TH1: d₁ c%t d₂.

i u ki n 1: a và b không cùng ph ng .
i u ki n 2: Gi i h ph ng trình:

/

0 1 0 1

/

0 2 0 2

/

0 3 0 3

(1)
(2)
(3)
x a t x b k
y a t y b k
z a t z b k

+ = +

+ = +

+ = +

(*) có nghi m duy nh t ( , )t₀ k₀ .

K,t lu$n: d₁ c t d₂ t i i m M₀(x₀+a t y_{1 0}; ₀+a t z_{2 0}; ₀+a t_{3 0}).

L u ý: Gi i h (*) b ng cách: T (1) và (2) gi i ra ( , )t₀ k₀ và thay vào (3) (N u (3) tho thì
0 0

( , )t k , ng c l i thì không).
TH2: d₁ và d₂ chéo nhau.

i u ki n 1: a và b không cùng ph ng .
i u ki n 2: Gi i h ph ng trình:

/

0 1 0 1

/

0 2 0 2

/

0 3 0 3

(1)
(2)
(3)
x a t x b k
y a t y b k

z a t z b k

+ = +

+ = +

+ = +

(*) vô nghi m.
TH3: d₁ song song v i d₂.

i u ki n 1: a và b cùng ph ng .

i u ki n 2: Ch n i m M₀( ; ; )x y z₀ ₀ ₀ ∈d₁. C!n ch rõ M₀∉d₂.
TH4: d₁ và d₂ trùng nhau.

i u ki n 1: a và b trùng nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

S 1 XÉT V- TR- TRÍ T! NG .I C2A HAI !&NG TH#NG OXYZ:
- ng th ng d có 1 vect ch ph ng

u

_d

,

∈

d .

- ng th ng d’ có 1 vect ch ph ng E

, ∈

/
d

u d .

II- LUYÊN T P:

1) Xét v trí t ng i c a các c p ng th ng sau: (_{t t}_, /_∈ ₎

/
/
1 2
/
2 2
1

a) : 2 : 3 4

3 5 2

= +
= +
∆ = ∆ = +
= − = −
x t
x t

y t y t

z t z t

1 2

2 3
5

b) : 3 4 : 5 3
2
3 6
= −
−
∆ − = − = ∆ = +
= −
x t
z

x y y t

z t

1 2

2 2
2

c) : 1 3 , : 2
3
1 3
= −
−
∆ − = = − − ∆ = − +
= +
x t
y

x z y t

z t

/
/
1 2
/
1 3
1 2

d) : 1 3 : 2 2

5 1 2

= +
= +
∆ = − + ∆ = − +
= + = − +
x t
x t

y t y t

z t z t

e) ₁: 3 4

3 3

x t

d y t

z t

=
= − −
= − −

và d₂ là giao tuy n c a hai mp( ) :α x+ − =y z 0, ( ) : 2β x− +y 2z=0.

2) Xác nh v trí t ng i c a c p ng th ng sau theo m:

E
E E
2 2
E
= −
= +
= + =
= − − _{= −} ₊

3) Cho hai ng th ng:

/
1 2
5

/

: : 4

1 2

2 _{2 2} /

x t

x t

d y at d y a t

z t _z _t

= +
= +

= = +

= − _{= −}

( _, /

t t ∈R), a: tham s .

Xác nh a : a) d₁ vng góc v i d₂. b) d₁ song song v i d₂.

Tính u .u_d _{d '}

=
d d '

u .u u .u_d _{d '} ≠

=
=
d d '

/
d

u .u
u ,M M

=
≠
d d '

/
d

u .u
u ,M M

≠

=
d d '

/
d d '

u .u

u .u M M

≠

≠
d d '

/
d d '

u .u

u .u M M

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

4) Vi t ph ng trình ng th ng ∆ qua A(1;2; 1)− c t và vng góc v i ng th ng:

1 2

:

2 3 4

x y z

d − = = + .

5) Cho hai ng th ng:

/
/

1 2

/

2 2
1

: 2 : 3 4

3 5 2

x t
x t

y t y t

z t _z _t

= +
= +

∆ = ∆ = +

= − = −

(_{t t}_, /_∈_R_).

a) CMR: ∆₁ và ∆₂ cùng thu c m t m t ph ng.
b) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a ∆₁ và ∆₂.
6) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a hai ng th ng:

1 2

2 2
2

: 2 1 : 2
3

1 3

= −
+

∆ − = = − + ∆ = − +

= +

x t
y

x z y t

z t

7) Cho hai ng th ng: 1 2

8

3 1 1

: , : 5 2 ( )

7 2 3

8

= +

− − −

∆ = = ∆ = + ∈

= −

x t
x y z

y t t
z t

.
a) CMR: ∆₁ và ∆₂ chéo nhau.

b) Vi t ph ng trình mp(P) ch a ∆₁ và song song v i ∆₂.

8) Vi t ph ng trình ng th ng ∆ i qua ) )− và c t c 2 ng th ng sau ây:

/
/

1 2

/

1 2

: : 1

3 ₂

=
= +

∆ = ∆ = − −

= − = +

x t
x t

y t y t

z t z t

9) Vi t ph ng trình ng th ng song song v i và c t c hai ng th ng và có
ph ng trình sau ây:

E

E

E
" @

" + B

"

= − +
=

− + −

= − + = = = − +

= − ₌

10) Cho 2 ng th ng:
D
@

+
D

= +

− − −

= + = =

= −

a) Ch ng t% r ng hai ng th ng chéo nhau.

b) Vi t ph ng trình m t ph ng i qua g c O, song song v i và .
11) Cho 4 ng th ng:

1 2 3 4

1 2 2 2 1 2 1

: , : , : , :

1 2 2 2 4 4 2 1 1 2 2 1

x y z x y z x y z x y z

d − = − = d − = − = d = = − d − = = −

− − −

a) CMR: Hai ng th ng d₁, d₂ cùng n m trong 1 mp. Vi t ph ng trình m t
ph ng ó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Ch 7:

KHO NG CÁCH VÀ

PH

!

NG TRÌNH

!&

NG VNG GĨC CHUNG

D ng1 : Kho ng cách t+ 1 i m ,n 1 ng th ng.
Ph ng pháp:

Cho i m M₀( ; ; )x y z₀ ₀ ₀ , và t

1
2
3
'

: ' ( )

'

= +

∆ = + ∈

= +

x x u t
y y u t t
z z u t

.

Cách1:

B c1: Xác nh 1 vect ch ph ng u u u u( ; ; )₁ ₂ ₃ và 1 i m M x( _M;y_M;z_M)∈ ∆

B c 2: Lúc ó:

(

0

)

0

;

d ;∆ =

u M M
M

u

Cách 2: B c 1: G i H là hình chi u vng góc c a M₀ lên ∆.
(to H ph thu c 1 !n t)

B c 2: Xác nh H d a vào: M H u0 . =0

0 0

(d M ; )∆ = M H

Nh$n xét: N u gi i qut bài tốn theo cách 2 thì khoa h c và m b o c nhi u yêu
c!u nh : x hình chi u, vi t ph ng trình ng th ng vng góc…

D ng 2: Kho ng cách gi a hai ng th ng chéo nhau.
Ph ng pháp:

Cho hai ng th ng d₁, d₂:

0 1 1

1 0 2 2 2

3
0 3

' '

: : ' ' ( , ' )

' '

= + = +

= + = + ∈

= +

= +

x x a t x x u t

d y y a t d y y u t t t
z z u t
z z a t

Cách 1: B c 1: Xác nh các vect ch ph ng a₁ c a d₁, a₂ c a d₂.

B c 2: Xác nh các i m M₁∈d₁, M₂∈d₂.

B c 3: Lúc ó:

(

)

[

]

[

]

1 2 1 2
1 2

1 2
; .

d ;

;

= a a M M

d d

a a

Cách 2: ( Ph ng pháp “ g i to ”, “thu c” )******
B c 1: G i H∈d₁, K∈d₂

(lúc này H, K có to ph thu c 2 !n t t ) , '
B c 2: Xác nh , H Kd a vào:

1 1

2 ₂

. 0

. 0

HK d HK a

HK d _{HK a}

⊥ =

⇔

⊥ ₌

B c 3: Lúc ó: d d d

(

₁; ₂

)

=HK

Nh$n xét: Trong nhi u bài toán yêu c!u vi t ph ng trình ng vng góc chung
thì nên s' d ng cách 2.

D ng tốn: Ph ng trình ng vng góc chung c a 2 ng th ng chéo nhau
Ph ng pháp: Tìm o n vng góc chung HK.

B c 1: G i H∈d₁; K∈d₂.(To c a m"i i m ch ph thu c 1 !n)
B c 2: Do HK ⊥d₁ HK a. =0 (1)

∆

?

∆

F
?

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

HK ⊥d₂ HK b. =0 (2)
Gi i h (1) và (2) tìm c to , H K.

Suy ra ph ng trình ng vng góc chung và dài o n vng góc chung là tHK.

LUY N T P:

1) Cho 2 ng th ng: ₁ ₂

1 3

2 3 4

: , : 4 2 ( )

2 3 5

4

= − +

− − +

= = = − ∈

−

= −

x t

x y z

d d y t t

z t

.

a) Ch ng minh d₁ và d₂ chéo nhau. b) Tính kho ng cách gi a d₁ và d₂.
c) Vi t ph ng trình ng vng góc chung gi a d₁ và d₂.

2) Tính kho ng cách gi a các c p ng th ng sau:

1 2

1 3 4 2 1 1

a) d : d :

2 1 2 4 2 4

− + − + − +

= = = =

− − −

x y z x y z

₁ ₂

2

1 2 3

b) d : d : 1

1 2 3

x t

x y z

y t
z t

= −

− − −

= = = − +

=

3) Cho tam giác ABC v i A(1;2; 1), (2; 1;3), ( 4;7;5)− B − C − . Tính dài ng phân giác trong
c a tam giác k( t B.

4) Tính kho ng cách t i m A(1; 2;1) n t : 1 3

3 4 1

− +

∆ x = y = z .

5) Tìm t"p h p các i m M trong không gian cách u 3 i m A(1;1;1), B( 1; 2;0), (2; 3; 2)− C − .

6) Cho 4 i m A(2;3;1), (1;1; 1), (2;1;0), (0;1;2).B − C D

a) Ch ng t% ABCD là m t t di n. b) Tính kho ng cách gi a hai ng th ng AB và CD.

7) Tìm trên : 2 1 1

1 2 3

x+ y− z+

∆ = = nh ng i m M cách u A( 2;1; 2)− và ( ) : 2P x− +y 2z− =5 0

8) Cho A(2;0;0), (0;0;8)B và i m C sao cho AC=(0;6;0). Tính kho ng cách t trung i m I

c a BC n ng th ng OA.

9) Oxyz. Cho hình l"p ph ng ABCD.A’B’C’D’ v i A(1;0;0), (1;0;0), (0;1;0), '(0;0;1)B D A .
a) Xác nh to các nh cịn l i c a hình l"p ph ng.

b)G i M, N l!n l t là trung i m c a AB, B’C’.Tính kho ng cách gi a 2 ng th ng MN và AD.
10) Cho ng th ng

1
: 2

1 2

x t
d y t

z t

= +
= +
= +

và i m M(2;1;4). Tìm i m H trên d sao cho o n th ng

MH có dài nh% nh t.

11) Cho t di n OABC v i A

(

0;0;a 3 ,

)

B a

(

;0;0 ,

)

C

(

0;a 3;0 (

)

a>0). G i M là trung i m
BC. Tính kho ng cách gi a hai ng th ng AB và OM.

12) Cho hai ng th ng ₁ ₂

1 2
: :

1 1 2

1

x t

x y z

d d y t

z t

= − −

= = =

= +

a) Xét v trí t ng i c a d₁ và d₂.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

∆

α

Ch 8:

GÓC TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

D ng 1:

Góc gi a hai vect

Ph ng pháp:

Cho 2 vect a a a a( ; ; ), ( ; ; )₁ ₂ ₃ b b b b₁ ₂ ₃ . G i ϕ =( , )a b , 00 ≤ϕ≤180 0
Lúc ó:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

.

cos

. ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( )

ϕ = = + +

+ + + +

a b a b a b
a b

a b a a a b b b

Nh n xét: a ⊥b ⇔a b_{1 1}+a b_{2 2}+a b_{3 3} =0

D ng 2:

Góc gi a hai

ng th ng

Ph ng pháp:

Cho 2 ng th ng:
1

∆ có 1 vect ch ph ng a a a a( ; ; )₁ ₂ ₃ .
2

∆ có 1 vect ch ph ng b b b b( ; ; )₁ ₂ ₃ .
G i ϕ = ∆ ∆( , )₁ ₂ , 00 ≤ϕ≤90 0

Lúc ó:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

.

cos

. ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( )

ϕ = = + +

+ + + +

a b _{a b} _{a b} _{a b}

a b a a a b b b

Nh n xét: ∆ ⊥ ∆ ⇔₁ ₂ a⊥b ⇔a b_{1 1}+a b_{2 2} +a b_{3 3}=0

D ng 3:

Góc gi a hai m t ph ng

Ph ng pháp:
Cho 2 m t ph ng:

Mp ( )α có 1 vect pháp n a a a₁( ; ; )₁ ₂ ₃ .
Mp ( )β có 1 vect pháp n b b b₂( ; ; )₁ ₂ ₃ .
G i ϕ =

(

( ), ( )α β

)

, 00 ≤ϕ ≤90 0

Lúc ó:

1 2 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 ₁ ₂ ₃ ₁ ₂ ₃

.

cos

. _{( )} _{( )} _{( ) . ( )} _{( )} _{( )}

ϕ = = + +

+ + + +

a b a b a b
n n

n n _a _a _a _b _b _b

Nh n xét: ( )α ⊥( )β ⇔n₁⊥n₂ ⇔a b_{1 1}+a b_{2 2} +a b_{3 3}=0

D ng 4:

Góc gi a

ng th ng và m t ph ng

Ph ng pháp:

ng th ng ∆ có 1 vect ch ph ng a a a a( ; ; )₁ ₂ ₃ .
M t ph ng ( )α có 1 vect pháp n A B C( ; ; )

G i ϕ = ∆

(

, ( ),α

)

, 00≤ϕ ≤90 0
Lúc ó:

1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 ₁ ₂ ₃

.

sin

. _{( )} _{( )} _{( ) . ( )} _{( )} _{( )}

ϕ = = + +

+ + + +

a A a B a C
a n

a n _a _a _a _A _B _C

Nh n xét: //( )∆ α ho c ∆ ⊂( )α ⇔ n a. = ⇔0 Aa₁+Ba₂+Ca₃ =0

ϕ

∆

∆

ϕ

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

LUY N T P:

1) Tìm góc t o b$i ng th ng 3 1 2

2 1 1

x− y− z−

= = v i các tr c to .

2) Tìm góc t o b$i các c p ng th ng sau ây:

a)

1 2

: 1

3 4

x t

d y t

z t

= +
= − +
= +

và /

2

: 1 3 ( , )
4 2

= −

= − + ∈

= +

x k

d y k t k

z k

b) : 1 2 2

3 1 4

x y z

d − = + = + và /

d là giao tuy n c a 2mp:

( ) :α x+2y− + =z 1 0, ( ) : 2β x+3z− =2 0

3) Tính các góc t o b$i các c p c nh i di n c a t di n có các nh A(3; 1;0),− B(0; 7;3), −

( 2;1; 1), (3;2;6).

C − − D

4) Tính góc gi a ng th ng ∆ và m t ph ng ( )α trong các tr ng h p sau ây:

a)

1 2
: 1 3

2

x t

y t

z t

= +
∆ = − +

= −

, ( ) : 2α x− +y 2z− =1 0 b) : 2 1 3

4 1 2

x+ y− z−

∆ = =

− , ( ) : α x+ − + =y z 2 0

c) : 3 4 3

1 2 1

x− y− z+

∆ = =

− , ( ) : 2α x+ + − =y z 1 0 d)

3 1 3

:

2 1 1

x+ y+ z−

∆ = = ,( ) :α x+2y− + =z 5 0.
5) Cho t di n OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông t i nh O. G i

, ,

α β γ là góc l!n l t h p b$i các m t ph ng (OBC), (OCA), (OAB) v i m t ph ng (ABC).

B ng ph ng pháp to hãy ch ng minh r ng:

a) Tam giác ABC có ba góc nh n. b) _cos2_α₊_cos2_β₊_cos2_γ ₌₁

6) ( HQG HN-B1999)

Cho A a( ;0;0), (0; ;0), ( ; ;0), (0;0; ) ,(B a C a a D d a>0,d >0). G i A’, B’ theo th t là hình

chi u vng góc c a O lên ng th ng DA và BD.

a) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a các ng th ng OA’, OB’. CMR: M t ph ng ó
vng góc v i ng th ng CD.

b) Tính d theo a góc A’OB’ có s o b ng 450.

7) ( HGTVT-1997) Cho ba i m 1;0;0 , 0; ;0 , 1;1;1 1 .

2 2 3

H K I

a) Vi t ph ng trình giao tuy n c a (HIK) v i m t ph ng x+ =z 0 $ d ng chính t c.

b) Tính cosin c a góc ph ng t o b$i mp(HIK) v i mpOxy.

8) (HVKTQS-1997)

Cho ∆ABC, có A(1;2;5) và ph ng trình hai ng trung tuy n c a tam giác là:

1 2

3 6 1 4 2 2

: , :

2 2 1 1 4 1

x− y− z− x− y− z−

∆ = = ∆ = =

− −

a) Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC.

b) Vi t ph ng trình c a ng phân giác trong c a góc A.
9) (D* b) -2003)

Cho hai i m I(0;0;1), (3;0;0)K . Vi t ph ng trình m t ph ng qua hai i m I, K và t o v i m t

ph ng (xOy) m t góc b ng _{30 .}0
10) ( H A-2006)

Chohình l"p ph ng ABCD.A’B’C’D’ v i A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). G i M, N l!n

l t là trung i m c a AB và CD.

a) Tính kho ng cách gi a 2 ng th ng A’C và MN.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Ch nâng cao:

!&

NG TH

#

NG-M

"

T PH

#

NG

Bài tốn 1: Vi,t ph ng trình ng th ng ∆ qua A và c%t c 2 ng th ng a b, .

Ph ng pháp:

Cách 1:B c 1: Vi t ph ng trình m t ph ng ( ) : Qua
( )
⊂

A
P

a P
B c 2: Vi t ph ng trình m t ph ng( ) : Qua

( )
⊂

A
Q

b Q

B c3: Bi n lu n theo v trí (P), (Q). ng th ng ∆ là giao tuy n (P) và(Q)
Cách 2 :

B c 1: L"p ph ng trình m t ph ng (P) nh trên .
B c 2: Xác nh giao i m B c a b và (P) .

B c 3: ng th ng ∆ ≡ AB.
Bài t$p :

1) Vi t ph ng trình ng th ng i qua A(3;−1;3) và c t c hai ng th ng:

1 3

4 6

(a) : (b) : 3 2 ( )

2 3 5

2
= − +

+ −

= = = − − ∈

−

= −

x t

x y z

y t t

z t

2)Vi t ph ng trình ng th ng (d) song song v i ng th ng (∆) và c t c hai ng
th ng (a), (b) có ph ng trình :

4 5

1 5 1 2 2

( ) : (a) : (b): 7 9

3 1 1 1 4 3

= − +

− − + + −

∆ = = = = = − +

−

=

x t

x y z x y z

y t

z t

3)Vi t ph ng trình ng th ng (d) vng góc v i m t ph ng (P) và c t c hai ng
th ng:

1 3

1 1

(a): (b): 1

2 1

3
= − −

− +

= = = −

−

=

x t

x y

z y

z t

Bài toán 2: Vi,t ph ng trình ng th ng ∆ i qua i m A và vng góc v i hai
ng th ng a b, .

Ph ng pháp:

Cách 1 : B c 1: Vi t ph ng trình m t ph ng ( ) : Qua
( )
⊥

A
P

a P
B c 2: Vi t ph ng trình m t ph ng( ) : Qua

( )
⊥

A
Q

b Q
B c 3: Khi ó (d) là giao tuy n c a (P)∩(Q).

Cách 2:+ t a có 1 vtcp:

a

₁.

+ t b có 1 vtcp:

a

₂.G i a là 1 vtcp c a ∆. Do 1
2
a a
a a

⊥

⊥ ch n a=

[

a a1, 2

]

(

*
(

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Bài t$p:

1)Vi t ph ng trình ng th ng (d) qua i m A(0; 1; 1) và vng góc v i 2 ng th ng
1

1 2

(a): (b):

8 1

1
= −

− +

= = =

= +
x

x y

z y t

z t

2)Vi t ph ng trình chính t c c a ng th ng (d) i qua i m A(1;1;−2) song song v i

m t ph ng (P) và vng góc v i ng th ng (a) bi t:

(P) : 1 0 (a): 1 1 2

2 1 3

+ − −

− − − = x = y = z

x y z

Bài tốn 3: Vi,t ph ng trình ng th ng qua i m A, vng góc v i ng th ng
(a) và c%t ng th ng (b).

Ph ng pháp:

Cách 1: B c 1: Vi t ph ng trình m t ph ng ( ) : Qua
( )
⊥

A
P

a P

B c 2: Vi t ph ng trình m t ph ng ( ) : Qua
( )
⊂

A
Q

b Q

Bi n lu n v trí t ng i c a (P) và (Q).
ng th ng (d) là giao tuy n c a (P) và (Q).
Cách 2: Vi t ph ng trình m t ph ng (P) nh trên .

Xác nh giao i m B c a (b)và (P). ng th ng (d) c!n tìm là ng th ng AB.
Bài t$p :

1)Vi t ph ng trình ng th ng (d) i qua A(1; 1; 0), vng góc v i ng th ng (a) và
c t ng th ng (b) có ph ng trình:

(a): 1 2

8 1

x y

z

− +

= = (b):

1
1
x
y t

z t

= −
=
= +

2)Vi t ph ng trình ng th ng qua i m M(-1; 2; -3), vng góc v i vector u(6; 2; 3)− −

và c t ng th ng(d): 1 1 3

3 2 5

− + −

= =

−

x y z

3)Vi t ph ng trình ng th ng c t c ba ng th ng (a), (b), (c)và vng góc v i vector
(1;2;3)

u bi t:

(a):

1
1
x t
y t
z

= −
=
= −

(b):

1
0

x k

y k
z

= −
=
=

(c):

1
1

x m

y m
z

= +
=
=

( , ,l k m∈ )

Bài tốn 4: Vi,t ph ng trình hình chi,u vng góc (d) c a ng th ng (∆∆∆∆) lên m t
ph ng (P) cho tr c .

Ph ng pháp:

B c 1: L"p ph ng trình m t ph ng (Q): ∆
⊥

0 1

2 !
B c 2: ng th ng (d) là giao tuy n c a (P) và (Q).
Bài t$p :

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

1) Vi t ph ng trình hình chi u vng góc c a ng th ng

1 2

: 3

2 3

x y

d − = + = −z lên m i m t ph ng sau: mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz) và
( ) :α x+ + − =y z 7 0

2) (HVBCVT-2000) Cho mp ( ) : α x+ + + =y z 3 0và hai ng th ng:

₁: 3 1 1 , ₂: 7 3 9

7 2 3 1 2 1

x− y− z− x− y− z−

∆ = = ∆ = =

− −

Vi t ph ng trình hình chi u c a ∆₂ theo ph ng ∆₁ lên mp ( ).α

Ch nâng cao:

BÀI TOÁN

GIÁ TR

-

L

3

N NH

4

T, NH

5

NH

4

T

D ng tốn: Tìm i m M ∈ mp( ) : α ax+by+cz+d =0 sao cho t(ng kho ng cách
MA+MB nh6 nh t, v i A B, là 2 i m cho tr c không thu c mp( )

α

.

Ph ng pháp:

t ( ; ; )t x y z =ax+by+cz+d Ki m tra: t x( ; ; ). ( ; ; )_A y z_A _A t x_B y z_B _B

V i ( ;t x_A y_A; )z_A =ax_A+by_A+cz_A+d
( ;t x_B y_B; )z_B =ax_B +by_B+cz_B +d
TH1:N u ( ;t x_A y_A; ). ( ;z_A t x_B y_B; ) 0 z_B <
thì A, B khác phía so v i mp( )

α

.

B c 1: L"p pt AB.

B c 2: MA+MB nh% nh t
0

M M

⇔ ≡ V i M0 = AB∩mp( )

α

.

TH2: N u ( ;t x_A y_A; ). ( ;z_A t x_B y_B; ) 0 z_B > thì A, B cùng phía so v i mp( )

α

.
B c1: L y A’ i x ng v i A qua mp( )

α

.
B c 2: Lúc ó: MA+ MB=MA'+ MB≥ A B'
D u “=” xãy ra ⇔ M ≡M₀.

V i M₀ = A B' ∩mp( )

α

.
L u ý:

Thu"t toán i v i bài toàn liên quan n ng th ng hồn tồn t ng t .

Bài tốn xác nh M thu c d sao cho bi u th c MA−MB t GTLN c l"p
lu"n t ng t .

LUY N T P:

1) ( H à N7ng-A2002)

Cho b n i m ( 4;4;0), B(2;0;4),A − C(1;2; 1), (7; 2;3)− D − .
a) CMR: B n i m A, B, C, D cùng n m trên 1 m t ph ng.
b) Tính kho ng cách t C n ng th ng (AB).

c) Tìm trên ng th ng (AB) i m M sao cho MC+MD t GTNN.

(

α

*
(

(

α

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

2) (HVKTQS-1995)

Cho hai i m ( 1;3; 2), ( 9;4;0)A − − B − và mp(P): 2x− + + =y z 1 0. Tìm i m K trên (P) sao
cho AK+BK t GTNN.

3) ( HNN-I 1997)

Cho hai i m (1;2;3), (4;4;5)A B trong mpOxyz.

a) Vi t ph ng trình ng th ng (AB). Tìm giao i m P c a nó v i mp(Oxy).
Ch ng t% r ng: ∀ ∈Q Oxy, bi u th c QA QB− có giá tr l n nh t khi Q trùng
v i P.

b) Tìm trên mp(Oxy) i m M sao cho: MA+MB nh% nh t.
4) ( HHH-AB1997)

Cho mp ( ) : 2α x− + + =y z 1 0và hai i m (3;1;0)P và ( 9;4;9)Q − . Tìm to i m M
thu c mp ( )α sao cho MP−MQ t giá tr l n nh t.

5) ( HQGHN-2000)

Cho mp(P): x+ + − =y z 1 0 và hai i m (1; 3;0), (5; 1;2)A − B − .

a) Ch ng t% r ng t i qua A, B c t mp(P) tai I∈AB. Tìm to I.
b) Tìm trên mp(P) i m M sao cho MA−MB t GTLN.

---

D ng tốn:Tìm trên ng th ng d i m M sao cho MA+MB t GTNN, v i A, B
là hai i m không thu c d.

Ph ng pháp:

Cách 1: Dùng các ph ng pháp i s , gi i tích tìm GTNN ch a bi u th c MA+MB
(ch ph thu c 1 !n )

Cách 2: Nh"n xét: G i I là trung i m c a AB.
Lúc ó: MA+MB=2MI MA+MB =2MI
T ây: MA+MB Min ⇔ IM Min

0

M ≡M ,v i M₀ là hình chi u vng góc c a I lên t d.
LUY N T P:

1) ( HDLP -2000) Cho ng th ng : 1 1

3 2 1

x y z

d − = = +

− và 2 i m (3;0;2), (1;2;1)A B .
a) Tìm i m I trên d sao cho vect IA+IB có dài nh% nh t.

b) K( AA’, BB’ vng góc v i d. Tính dài A’B’.

2) (HVBCVT-2000) Cho mp ( ) : α x+ + + =y z 3 0và hai ng th ng:

₁: 3 1 1 , ₂: 7 3 9

7 2 3 1 2 1

x− y− z− x− y− z−

∆ = = ∆ = =

− −

a) Vi t ph ng trình hình chi u c a ∆₂ theo ph ng ∆₁ lên mp ( ).α

b) Tìm trên mp ( )α sao cho MM₁+MM₂ t GTNN, bi t M₁(3;1;1), M₂(7;3;9).

3) (C SPHN-A2001) Cho t : 2 ( )
3

x t

d y t t R
z t

=

= ∈

=

và 3 i m (2;0;1), (2; 1;0), (1;0;1)A B − C .

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

a) Tìm trên d i m S sao cho SA+SB+SC t GTNN.
b) Tính th tích hình chóp O.ABC

G i ý: G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC. Lúc ó SA+SB+SC =3SG .
SA+SB+SC t GTNN ⇔ S ≡G' v i 'G là hình chi u vng góc c a G lên d.

---
M t s bài t$p:

1) ( H-A2002) Cho hai ng th ng ₁

6

: 2 3

4

x t

y t

z t
= −

∆ = − +

=

và ₂

1

: 2 ( , )

1 2

x k

y k t k R

z k

= +

∆ = + ∈

= +

.
a) Vi t ph ng trình mp(P) ch a ng th ng ∆₁ và song song v i ∆₂.

b) Cho i m M(2;1;4). Tìm to i m H thu c ng th ng ∆₂ sao cho o n
MH có dài nh% nh t.

2) (D* b)-2002)

Cho mp(P): x− + + =y z 3 0 và hai i m ( 1; 3; 2), ( 5;7;12)A − − − B − .
a) Tìm to i m A’ i x ng v i i m A qua mp(P).

b) Gi s' M là m t i m ch y trên mp(P), tìm giá tr nh% nh t c a bi u th c
.

MA+MB

3) (D* b)-2003) Cho t di n ABCD v i (2;3;2), (6; 1; 2), ( 1; 4;3), (1;6; 5)A B − − C − − D − .
Tính góc gi a hai ng th ng AB và CD. Tìm to i m M thu c ng th ng CD sao

cho tam giác ABM có chu vi nh% nh t.

4) ( H A-2004) Cho hình l)ng tr ng ABC.A’B’C’. Bi t A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0),
B’(-a;0;b) a>0; b>0.

a) Tính kho ng cách gi a 2 ng th ng B’C và AC’ theo , a b.

b) Cho a; b thay #i, nh ng luôn th%a a+ =b 4. Tìm , a b kho ng cách gi a 2
ng th ng B’C và AC’ l n nh t.

5) (D* b) 2004) Cho 2 i m A(2;0;0) và M(1;1;1).

a) Tìm t a O’ i x ng v i O qua ng th ng AM.

b) Gi s' (P) là mp thay #i nh ng luôn i qua ng th ng AM và c t các tr c Oy,
Oz l!n l t t i các i m: B(0;b;0), C(0;0;c), b>0, c>0. CMR: b c+ =bc₂ và tìm

b, c sao cho

S

ABC min.

6) (D* b) 2006) Cho hai ng th ng: ₁ ₂
1

3 1

: 1 :

1 2 1

2

x t

x y z

y t

z
= +

− −

∆ = − − ∆ = =

−
=

a) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a ng th ng ∆₁ và song song v i ∆₂.

b) Xác nh i m A trên ∆₁ và i m B trên ∆₂ sao cho o n AB có dài nh% nh t.
7) (D* b) 2007) Cho các i m ( 3;5; 5), (5; 3;7)A − − B − và m t ph ng ( ) :P x+ + =y z 0.

a) Tìm giao i m I c a ng th ng AB v i m t ph ng (P).
b) Tìm i m M ∈( )P sao cho: MA2+MB2 nh% nh t.

8) Trong h cho ; và ng th ng .

a) CMR: dvà AB chéo nhau, tính góc và kho ng cách gi a chúng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

M8T S. BÀI TỐN:

Bài tốn 1: Trong h Oxyz, cho A ) ) B − ) ) và d x− = y+ = z

− .

1. Tìm t a i m M trên d sao cho:

a) MA+MB nh% nh t b) MA +MB nh% nh t.
c) MA+MB nh% nh t d) Chu vi ∆AMB nh% nh t.
2. Vi t m t ph ng (P) ch a d sao cho kho ng cách t A n mp(P) là l n nh t.
3. Trong s các ng th ng i qua A và c t d, vi t ph ng trình các ng th ng
sao cho kho ng cách t B n nó là l n nh t? Nh% nh t?

Gi i:

Ta có:

(

)

x t

d y t t

z t
= −

= − + ∈

=

1. G i M

(

− − +t) t t)

)

∈d MA=

(

t) −t) − t

)

MB= − +

(

t) −t) − t

)

a. Lúc ó: MA+MB= − +

(

t) − t) − t

)

Suy ra: MA+MB = t− + ≥ =

Do ó: MA+MB nh% nh t⇔ =t M − ) )

b. T ng t ta có: MA +MB = t − t+ = t− + ≥
Do ó: MA +MB nh% nh t⇔ =t M − ) )

c. Ta s* xác nh hình chi u A B c a hai i m A, B lên ng th ng d.

2& ) )

MA = t − t+ ⇔ =t ⇔ M ≡ A − − v i AA ⊥d

2& ) )

MB = t − t+ ⇔ =t ⇔M ≡B − v i BB ⊥d

Ta có: AA = BB = .

i m M c!n tìm là i m chia o n A B theo t s k AA
BB

= − = −

Suy ra t a i m M là: M − + )− ) −

+ +

d. Ta có: AM = − − + − +t) t) t ) AB= − −) )

) ) )

AM AB = t− − t+ t−

Suy ra: S_∆_AMB = AM AB) = t − t+

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

2. Ph ng trình t#ng quát c a d: x y
y z

+ + =

− + = . Vì ph ng trình mp(P) ch a d nên mp(P)
có ph ng trình: a x

₍

+ +y

₎

+b

₍

y− +z

₎

= v i a +b > .

* N u a= thì (P): y− + =z . Khi ó: d A mp P

(

)

)

= 6 − + =

+ − .

* N u a≠ thì có th gi s' a= . Khi ó, mp(P): x+ + b y−bz+ + b= .
Suy ra: d A mp P

(

)

)

b 6

b b

+
=

+ + Xét hàm s :

6

b
f b

b b

+
=

+ +

Ta có: E

b

b b

f b

b b

b
=

− + +

= = ⇔

+ +

= −

Do ) G&2

b

f f f b

→∞

= − = = . Nên d A mp P

(

)

)

l n nh t b ng .

K t lu"n: So sánh hai tr ng h p ta có:

(

)

)

d A mp P l n nh t b ng khi b= . Lúc ó, ph ng trình mp(P) có d ng:

P x+ y− z+ = ⇔ x+ y− z+ =

3. Gi s' d là ng th ng b t kì i qua A và c t d t i M − − +t) t t) .

Khi ó: d B d

(

)

)

AM AB) t t t t

t t

AB t t t

− + − +

= = =

− +

− +

Xét u t t t

t t

− +

=

− + . Ta có:

₍

₎

E

t
t t

u t

t

t t

= −

− +

= = ⇔

=

− +

Do ) ) G&2
b

u u u t

→∞

− = = = nên kho ng cách t B n d l n nh t b ng 48

khi t = − và nh% nh t b ng khi t = .

Khi ó: d t ng ng có ph ng trình là: x− = y− = z− ) x− = y− = z−

− − − .

Bài t$p 2: Trong h tr c Oxyz, cho i m A ) ) B − ) ) và d x− = y+ = z

− .

1. Vi t ph ng trình mp(Q) ch a d và t o v i mp(xOy) m t góc nh% nh t.

2. Vi t ph ng trình mp(R) ch a ng th ng d và t o v i tr c Oy góc l n nh t.
Gi i:

1. Ph ng trình t#ng quát c a d: x y
y z

+ + =

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Mp(xOy) có ph ng trình: z= .

* N u a= thì mp(Q): y− + =z và khi ó: :#= .

* N u a≠ ta có th gi s' a= . Khi ó, mp(P): x+ + b y−bz+ + b= .

T ó: :# b 6

b b

=

+ + Xét hàm s :

:

b

g b #

b b

= =

+ +

Ta có:

(

)

E b b b

g b

b

b b

=
+

= = ⇔

= −

+ +

.
Do )

( )

) G&2

b

g g g b

→∞

= − = = nên :# l n nh t b ng khi b= − .

K t lu"n: So sánh hai tr ng h p trên, ta th y :# l n nh t hay mp(Q) t o v i mp(xOy)

góc nh% nh t khi b= − . Lúc ó: 2 Q x− + − =y z 6

2. T ng t , ph ng trình mp(R): a x

₍

+ +y

₎

+b

₍

y− +z

₎

= v i a +b > .
* N u a= thì mp(R): y− + =z thì $ =

(

2 R Oy)

)

th%a mãn :& $= .
* N u a≠ ta có th gi s' a= . Khi ó, mp(P): x+ + b y−bz+ + b= .
Khi ó: :& $ b 6

b b

+
=

+ + Xét hàm s :&

b b

h b $

b b

+ +

= =

+ + .

Ta có:

(

)

E

b

b b

h b

b

b b

=

− + +

= = ⇔

= −

+ +

Do ) ) G&2
b

h g h b

→±∞

= − = = nên :& $ l n nh t b ng khi b= .

K t lu"n: So sánh hai tr ng h p trên, ta th y :& $ l n nh t hay mp(R) t o v i tr c Oy góc

l n nh t khi b= . Lúc ó: 2 R x+ y− z+ = 6

Bài t$p 3: Cho S x + y +z − x+ y+ z+ = và mp P x− +y z+ = .
Tìm M ∈ S sao cho kho ng cách t M n mp(P) là nh% nh t? L n nh t?

Gi i:

Ta có: S x− + y+ + z+ = v i tâm I )− −) , bán kính: R= .
Kho ng cách t I n mp(P): d I

(

)2 !

)

= + − + = >R

+ − +

V"y mp(P) khơng c t (S). G i H là hình chi u c a M lên mp(P).

Ta có: MH ≥IH −IM =IH−R nên kho ng cách t M n mp(P) là ng n nh t thì IH
ph i nh% nh t. V"y H là hình chi u c a I lên mp(P) MH =IH − =

Ta có: IH EE ) )− ph ng trình IH:

(

)

x t

y t t

z t

= +

= − − ∈

= − +

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

) )

H I

M M M

x x

x = + = y = − z = − . V"y t a i m M )− )− .

2. T ng t .

Bài t$p 3: Trong không gian v i h t a Oxyz, cho t di n ABCD v i A ) )

) ) ) ) ) )

B − − C − − D − . Tính góc gi a hai ng th ng AB và CD. Tìm t a
i m M thu c ng th ng CD sao cho chu vi tam giác ABM là nh% nh t?

Gi i:

* Ta có: AB= )− −) CD= ) )−

6

AB CD= ⇔ AB⊥CD.

* Chu vi tam giác ABM= AB+AM +MB

Vì AB khơng #i Chu vi tam giác ABM nh% nh t ⇔ AM +MB nh% nh t.
G i

( )

# là m t ph ng ch a AB và

( )

# ⊥CD

( )

# ∩CD=M M là i m c!n tìm. Mp

( )

# qua A ) ) và có 1 vtp n≡CD= ) )− .
Ph ng trình

_{( )}

# : x− + y− − z− = ⇔ +x y− z− = . (*)

Ph ng trình tham s c a CD :

x t

y t

z t

= +
= − +
= −

Thay (1), (2), (3) vào (*), ta c t = M ) )− .

Bài t$p 3: Trong không gian v i h t a Oxyz, cho các i m A − ) )− B )− ) và
m t ph ng (P): x+ + =y z .

a) Tìm giao i m I c a ng th ng AB và m t ph ng (P).
b) Tìm i m M thu c mp(P) sao cho: MA +MB nh% nh t.
Gi i:

a) M t ph ng (P): x+ + =y z . (*)

ng th ng AB có 1 vtcp là AB= )− ) = )− )

Suy ra, ph ng trình ng th ng AB:

x t

y t

z t

= − +
= −
= − +
Thay (1), (2), (3) vào (*), ta c t = I − ) )− .

b) G i H là trung i m c a o n AB.

Tam giác MAB có trung tuy n MH nên: AM +BM = HM + AB
Do ó: MA +MB nh% nh t⇔ HM nh% nh t.

Ta có : M ∈2 ! , H ) ) . Suy ra: HM nh% nh t⇔ MH ⊥2 !

Và ý r ng, mp(P): x+ + =y z có 1vtp là OH = ) ) và O∈2 ! M ≡O ) )

V"y v i M ) ) thì MA +MB nh% nh t.

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Bài t$p 3: Trong không gian v i h t a Oxyz, cho 2 ng th ng :
)

x t

x y z

y t

z
= +

− −

∆ = − − ∆ = =

−
=

Xác nh i m A trên ∆ và i m B trên ∆ sao cho o n th ng AB có dài nh% nh t.
Gi i:

AB ng n nh t AB
AB

⊥ ∆
⇔

⊥ ∆

ng th ng ∆ có 1 vec t ch ph ng u_∆ = ) ) 6−
ng th ng ∆ có 1 vec t ch ph ng u_∆ = − ) ) 6

Ta có: )

(

)

)

x t x t

y t y t t t

z z t

= + = −

∆ = − − ∆ = + ∈

= =

G i A + − −t) t) ∈ ∆ B −t ) + t t) ∈ ∆ AB= − −t t) + t +t t) −

Ta có: 6

6

AB u
AB

AB _{AB u}

∆

∆

=
⊥ ∆

⇔

⊥ ∆ ₌ gi i c

) )
) )

t A

t B

= −

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Ch 10:

PH

!

NG TRÌNH M

"

T C

9

U OXYZ

I- LÝ THUY T:

1- Ph ng trình chính t%c:

M t c!u (S) có tâm ( ; ; )I a b c , bán kính R>0.

2 2 2 2

( ) : (S x−a) + (y−b) + (z−c) =R (1)
2- Ph ng trình t(ng quát:

2 2 2

( ) : S x +y +z −2ax−2by−2cz+d =0 (2)
i u ki n pt (2) là pt m t c u: a2+b2+c2−d >0

• (S) có tâm ( ; ; )I a b c .

• (S) có bán kính: R= a2+b2+c2−d
3- V) trí t ng i c a i m i v i m t c u:
* Xác nh: IM.

* So sánh IM và R:

+ IM >R: M ngoài (S).
+ IM =R: M n%m trên (S)

(to M tho m n ph ng trình (S)
+ IM <R: M n%m trong (S).

4- V) trí t ng i c a ng th ng và m t c u:
* Xác nh: ( ; )d I ∆

* So sánh ( ; )d I ∆ và R.

+ ( ; )d I ∆ >R: t ∆không c t (S).

+ ( ; )d I ∆ =R: t ∆ ti p xúc (S)
( hay ∆ là ti,p tuy,n c a (S))

+ ( ; )d I ∆ <R: t ∆ c t (S) t i 2 i m A, B phân bi t.

*L u ý:

Lúc ó bán kính R c a (S) c tính nh sau:

+ Xác nh: ( ; )d I ∆ = IH.

+ Lúc ó:

2

2 2 2

2
AB
R= IH + AH = IH +

5- V) trí t ng i c a m t ph ng và m t c u:
* Xác nh ( ;( ))d I α

* So sánh ( ;( ))d I α v i R.
( ;( )) :

d I α >R ( )

α

không c t (S).

( ;( )) :

d I α =R ( )

α

ti p xúc (S).
(( )

α

là ti,p di n c a (S))

( ;( ))d I α <R:( )

α

c t (S) theo giao tuy n là
m t ng tròn (C).

H I

H I

∆

?
H I

? _*

(
I
H

∆

?

α

I

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

*L u ý: !&NG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ

* ng trịn (C) trong khơng gian Oxyz c xem là giao tuy n c a (S) và mp( )

α

.

2 2 2

( ) : S x +y +z −2ax−2by−2cz+d =0
( ) : α Ax+By+Cz+D=0

2 2 2 ₂ ₂ ₂ ₀

( ) :

0

x y z ax by cz d
C

Ax By Cz D

+ + − − − + =

+ + + = (3)

* Xác nh tâm I’ và bán kính R’c a (C).

+ Tâm 'I =d∩( )α . Trong ó d là ng th ng i qua I và vng góc v i mp( )α

+ Bán kính _'_R ₌ _R2₋

( )

_II_' 2 ₌ _R2₋

[

_{d I}_{( ;( )}_α

]

2

6- * i u ki n ti,p xúc:* Cho m t c!u (S) tâm I, bán kính R.
+ ng th ng ∆là ti p tuy n c a (S)

⇔

( ; )d I ∆ =R.
+ M t ph ng( )

α

là ti p di n c a (S)

⇔

( ;( ))d I α =R.
*L u ý: Tìm ti p i m M₀( ; ; )x y z₀ ₀ ₀ .

S' d ng tính ch t: 0 0

0 ( ) ₀

d

IM d IM a

IM _IM _n

⊥ ⊥

⇔

⊥ α _⊥ _α

II- LUY N T P:

D ng 1: VI T PH! NG TRÌNH M"T C9U (S)
Ph ng pháp:

* Thu$t toán 1: B c 1: Xác nh tâm ( ; ; )I a b c .

B c 2: Xác nh bán kính R c a (S).

B c 3: M t c!u (S) có tâm ( ; ; )I a b c và bán kínhR.

_{( ) : (}_S _x₋_a₎2₊₍_y₋_b₎2₊₍_z₋_c₎2 ₌_R2

* Thu$t tốn 2:G i ph ng trình _{( ) :} 2 2 2 ₂ ₂ ₂ ₀
S x +y +z − ax− by− cz+d =
Ph ng trình (S) hồn tồn xác nh n u bi t c , , , .a b c d

BÀI T P:

1)Vi t ph ng trình m t c!u (S) bi t:

a) Tâm I(2; 2; -3) và bán kính R= 3. b) Có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1).
c) Có ng kính AB v i A(1; 3; 1), B(-2; 0; 1).

2) Vi t ph ng trình m t c!u (S) bi t:

a) (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thu c Ox.

b) (S) có tâm O và ti p xúc mp( ) : 16α x−15y−12z+75 0= .

c) (S) có tâm I(−1; 2; 0) và có 1 ti p tuy n là ng th ng: : 1 1

1 1 3

x+ y− z

∆ = =

− −

3) Vi t ph ng trình m t c!u (S) bi t:

a) (S) qua 4 i m: A(1; 4; 0), B(−4; 0; 0), C(−2; −2; 0), D(1; 1; 6).

b) (S) qua A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và có tâm I thu c mp( ) :P x+ + − =y z 2 0.

4) Vi t ph ng trình m t c!u (S) có tâm I thu c ng th ng ∆ và (S) ti p xúc v i 2 m t ph ng
( ), ( )α β có ph ng trình:

H I

α

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

: 1 ( ) : 2 2 3 0 ( ) : 2 2 7 0

x t

y x y z x y z

z t

α β

=

∆ = − + + + = + + + =

= −

5) L"p ph ng trình m t c!u qua 2 i mA(2;6;0), (4;0;8)B và có tâm thu c: 1 5

1 2 1

x− y z+

= =

− .

6) Vi t ph ng trình m t c!u (S) có tâm I(2; 3;−1) và c t ng th ng

25

14 ₂

:

1 4 1

y

x+ − z

∆ = =

− t i

2 i m A, B v i AB=16.

7) Cho ( ) : 5P x−4y+ − =z 6 0, ( ) : 2Q x− + + =y z 7 0 và ng th ng : 1 1

7 3 2

x− y z−

∆ = =

− .

Vi t ph ng trình m t c!u (S) có tâm I là giao i m c a (P) và ∆ sao cho (Q) c t (S) theo m t hình

trịn có di n tích là 20π .

8) Cho ng th ng : 1 1

2 1 2

x y− z+

∆ = = và m t c!u ( ) : S x2+y2+z2+4x−6y+m=0. Tìm m

∆ c t (S) t i M, N sao cho MN =9.

9) a) Cho t di n ABCD v i A(3; 2; 6), B(3;−1; 0), C(0;−7; 3), D(−2; 1;−1)
Vi t ph ng trình m t c!u (S) ngo i ti p t di n ABCD.

b) Xác nh tâm và bán kính c a m t c!u (S) ngo i ti p t di n OABC v i A(a; 0; 0), B(0; b; 0),

C(0; 0; c) (a b c, , >0).

10) ( H LN-2001) Cho ng th ng : 1 2

1 2 1

x y z

d = + = −

− và m t ph ng ( ) : 2P x− −y 2z− =2 0.

a) Vi t ph ng trình m t c!u (S) có tâm thu c d và (S) c t (P) theo giao tuy n là m t
ng trịn có bán kính b ng 3.

b) Vi t ph ng trình mp(R) qua ng th ng d và t o v i (P) m t góc nh% nh t.

11) (HVNH-2001) Cho hai m t ph ng song song( ) : 2P₁ x− +y 2z− =1 0, ( ) : 2P₂ x− +y 2z+ =5 0
và A(−1;1;1) n m trong kho ng gi a 2 m t ph ng ó. G i (S) là m t c!u b t k, qua A và ti p xúc

v i 2 mp( ), ( )P₁ P₂ .

a) CMR: Bán kính c a m t c!u (S) là 1 h ng s và tính bán kính.

b) G i I là tâm c a (S). Ch ng t% r ng I thu c 1 ng tròn c nh. Xác nh to tâm

và bán kính c a ng trịn ó.

D ng 2: V- TRÍ T! NG .I

1) Cho m t c!u ( ) :S x2+y2+z2−2x−2y−2z+ =2 0. Xét v trí t ng i c a i m M i v i (S):

a. M(1; 2; 0) b. M(1; 1; 2) c. M(3; 5; 0)
2) Xét v trí t ng i c a ng th ng d và m t c!u (S) trong m i tr ng h p sau:

2 2 2

1

) : 2 ( ) : 2 1 0
1 2

x t

a d y t S x y z y

z t

= −

= + + − − =

= − +

2 2 2

1 3

) :

3 4 1

( ) : 2 4 2 5 0

x y z
b d

S x y z x y z

− +

= =

+ + − − − + =

3) CMR: m t c!u( ) : S x2+y2+z2−2x− =3 0c t mp(P): x− =2 0 theo giao tuy n là m t ng
trịn (C). Xác nh tâm và bán kính c a (C).

4) Xác nh tâm và bán kính c a ng tròn

2 2 2 ₄ ₆ ₆ _{17 0}

( ) :

2 2 1 0

x y z x y z

C

x y z

+ + − + + + =

− + + =

5) Cho m t c!u ( ) : S x2+y2+z2 =4 và mp(P): x+ =z 2.

a) CMR: (P) c t (S) theo 1 ng tròn (C). X tâm và bk (C).
b) Vi t ph ng trình (C’) là hình chi u vng góc c a (C) lên xOy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

a) Vi t ph ng trình mp(Q) ch a tr c Ox và c t (S) theo m t ng trịn có bán kính b ng 3.
b) Tìm to i m M thu c (S) sao cho kho ng cách t M n mp(P) l n nh t.

7) Cho i m D(−1; 1; 2) và m t ph ng ( )

α

i qua 3 i m A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).
a. Vi t ph ng trình mp( )

α

.

b. Vi t ph ng trình m t c!u tâm D, bán kính R= 5. Ch ng t% m t c!u này c t mp( )

α

.

8) Cho hai i m A( 1;3;0), (0;1; 2)− B − và ( ) :S x2+y2+z2+2x−2y− =7 0. L"p ph ng trình m t

ph ng (P) qua A, B và c t (S) theo 1 giao tuy n là ng trịn có bán kính 77

3

R= .

9) Cho mp(P): 2x− −y 2z− =2 0 và : 1 2

1 2 1

x y z

d = + = −

− .

a. Tính cosin góc gi a d và (P).

b. L"p ph ng trình m t c!u (S) có tâm I thu c d và I cách (P) m t kho ng b ng 2, bi t (S)

c t (P) theo 1 giao tuy n là ng trịn có bán kính b ng 3.
10) Cho (S): 2 2 2 ₂ ₀

x +y +z − z= có tâm I và

2
:

0

x t
d y t

z

= −
=

=

.

1. L"p ph ng trình m t ph ng qua d và c t (S) theo 1 ng trịn có bán kính b ng 1.

2. a. L"p ph ng trình mp(Q) qua d và cách I m t kho ng cách b ng 2 .

b. Tìm to i m M trên (S) và có kho ng cách n (Q) b ng 2 1− (M& r ng)

D ng 3: S: TI P XÚC
Ph ng pháp: * Các i u ki n ti,p xúc:

+ ng th ng ∆là ti p tuy n c a (S)

⇔

( ; )d I ∆ =R.
+ M t ph ng( )

α

là ti p di n c a (S)

⇔

( ;( ))d I α =R.

* L u ý các d ng toán liên quan nh tìm ti p i m, t ng giao.
BÀI T P:

1)Cho_{( ) :} 2 2 2 ₄ ₂ ₆ _{5 0}

S x +y +z − x− y− z+ = . Vi t ph ng trình ti p tuy n c a(S) t iA(0;0;5)bi t:

a. Ti p tuy n có 1 vtcp u=(1; 2; 2).

b. Vng góc v i mp(P): 3x−2y+2z+ =3 0.

2) Vi t ph ng trình ti p di n c a _{( ) :} 2 2 2 ₂ ₄ ₆ _{5 0}

S x +y +z + x− y− z+ = , bi t ti p di n:

a. Qua M(1; 1; 1) b. Ch a ng th ng

1
: 1 2

1

x t
y t
z

= −

∆ = −

=

.

c. Vuông góc v i ng th ng : 3 1 2

2 1 2

x y z

d − = + = −

− .

3) Cho_{( ) :} 2 2 2 ₁₀ ₂ ₂₆ _{113 0}

S x +y +z − x+ y+ z− = . L"p ph ng trình m t ph ng ti p xúc v i (S) và

song song v i 2 ng th ng d, ∆ v i

3 7

5 1 13

: , : 1 2

2 3 2

8

x t

x y z

d y t

z

= −

+ − +

= = ∆ = − −

−

=

4) Cho mp(P): ₂ ₂ 2 ₃ ₀

x+ y+ −z m − m= (m là tham s ) và ( ) : (S x−1)2+(y+1)2+(z−1)2 =9.

Tìm m mp(P) ti p xúc v i m t c!u (S). V i m tìm c, hãy xác nh to ti p i m c a

mp(P) và m t c!u (S).

5) Cho _{( ) :} 2 2 2 ₂ ₂ ₂ _{3 0}

S x +y +z − x+ y+ z− = và 2 t: ₁: 2 1, ₂: 1

2 1 1 1 1 1

x− y z− x− y z

∆ = = ∆ = =

− − −

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

b) Vi t ph ng trình ti p di n c a m t c!u (S), bi t ti p di n song song song v i hai ng

th ng ∆₁, ∆₂.

6) Cho 2 t chéo nhau: ₁: 2 1

1 1 2

x− y− z

∆ = =

− và 2

2 2
: 3

x t
y

z t

= −

∆ =

=

a. L"p ph ng trình mp(P) song song và cách u ∆₁, ∆₂.

b. L"p ph ng trình m t c!u (S) ti p xúc v i ∆₁, ∆₂.

7) L"p ph ng trình m t c!u (S) n i ti p t di n OABC, v i A(3;0;0), (0;6;0), (0;0;6)B C .

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

;

THI

<

I H C:

HÌNH H C GI I TÍCH TRONG KHƠNG GIAN

A- 2010

1) Trong không gian Oxyz, cho ng th ng ∆ x− = y = z+

− và m t ph ng (P):
x− y+ =z . G i C là giao i m c a ∆ và (P), M là m t i m thu c ∆. Tính kho ng
cách t M n mp(P), bi t MC = .

2) Trong không gian Oxyz, cho i m A ) )− và ng th ng ∆ x+ = y− = z+ .
Tính kho ng cách t A n ∆. Vi t ph ng trình m t c!u tâm A, c t ∆ t i hai i m B, C
sao cho BC= .

B- 2010

# $ % & ' ; &82 ) ) ) ) ) )

-J , 25 / 6 K; L , A& 25 / (*0 , % ,M&
25 / ! , $ N ;

A B b C c b c

P y− + =z b c

O 25 / (*0 A3 6

# $ % & ' -. / 6 K; L &82

9 P : $ N ; O A3 6

x y− z

∆ = =

∆

D- 2010

# $ % & ' & 25 / ! , 6

Q& -J 7 25 / H , % ,M& ! , : $ N ; O H A3 6

# $ % &

x+ + − =y z x− + − =y z

' -. / , 6

K; L &82 : $ N ; O A3 6

x t

x y z

y t
z t

= +

−

∆ = ∆ = =

=

∆ ∆

A- 2009

1) Trong không gian v i h t a Oxyz cho m t ph ng ( ) : 2P x−2y− − =z 4 0 và
m t c!u

( )

S : x2+y2+z – 2x – 4y – 6z –11 02 = . Ch ng minh r ng: m t ph ng (P) c t m t c!u
(S) theo m t ng tròn. Xác nh t a tâm và tính bán kính c a ng trịn ó.

2) Trong không gian v i h t a Oxyz cho m t ph ng

( )

P : x – 2y 2z – 1 0+ =

và 2 ng th ng ∆1: x 1 y z 9

1 1 6

+ +

= = ; ∆2: x 1 y 3 z 1

2 1 2

− − +

= =

− . Xác nh t a i m M

thu c ng th ng ∆1 sao cho kho ng cách t M n ng th ng ∆2 và kho ng cách t M

n m t ph ng (P) b ng nhau.

B-2009

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

2) Trong không gian v i h to Oxyz, cho m t ph ng

_{( )}

P : x – 2y 2z – 5 0+ = và

hai i m A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong các ng th ng i qua A và song song v i (P), hãy
vi t ph ng trình ng th ng mà kho ng cách t B n ng th ng ó là nh% nh t.

D-2009

1) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho các i m A (2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0)
và m t ph ng

( )

P : x y z 20 0+ + − = . Xác nh t a i m D thu c ng th ng AB sao cho

ng th ng CD song song v i m t ph ng (P).

2) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho ng th ng ∆: x 2 y 2 z

1 1 1

+ −

= =

− và

m t ph ng

( )

P : x 2y 3z 4 0+ − + = . Vi t ph ng trình ng th ng d n m trong (P) sao cho d

c t và vuông góc v i ng th ng ∆.

A-2008

Trong không gian v i h to Oxy ,cho i m A(2;5;3) và u ng th ng

1 2

:

2 1 2

x y z

d − = = −

1) Tìm to hình chi u vng góc c a i m A trên ng th ng d.

2) Vi t ph ng trình mp(α ) ch a d sao cho kho ng cách t A n (α) l n nh t .

B-2008

Trong không gian v i h to Oxyz cho ba i m A(0;1;2),B(2;-2;1), C(-2;0;1).
1) Vi t ph ng trình m t ph ng i qua ba i m A,B,C.

2) Tìm to c a i m M thu c m t ph ng 2x +2y +z -3 = 0 sao cho
MA=MB=MC.

D-2008

Trong không gian v i h to Oxyz ,cho b n i m A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
1) Vi t ph ng trình m t c!u i qua 4 i m A,B,C,D.

2) Tìm to tâm ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.
D* b) A 1-2008

Trong không gian v i h t a Oxyz cho hai ng th ng

x y z

d − = − = − ; d x y z

x y z

− − + =

− + − =

1. Ch ng minh r ng d1 và d2 c t nhau .

2. G i I là giao i m c a d1 và d2 . Tìm t a các i m A,B l!n l t thu c d1 ; d2 sao

cho tam giác IAB cân t i I và có di n tích b ng
D* b) A 2-2008

Trong không gian h t a Oxyz . cho m t ph ng (P) : 2x + 3y – 3z + 1 = 0 , ng
th ng

x y z

d − = = + và 3 i m A(4;0;3) , B(–1;–1;3) C(3;2;6)

1. Vi t ph ng trình m t c!u (S) i qua ba i m A,B,C và có tâm thu c m t ph ng (P) .
2. Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) ch a ng th ng d và c t m t c!u (S) theo m t

ng trịn có bán kính l n nh t .

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Trong không gian v i h t a Oxyz cho ng th ng
1
5
9
2
3
:
1
+
=
=

− y z

x

d và hai i m

A(5;4;3) ; B(6;7;2)

1. Vi t ph ng trình ng th ng d2 i qua hai i m A,B . Ch ng minh r ng hai ng

th ng d1 và d2 chéo nhau

2. Tìm i m C thu c d1 sao cho tam giác ABC có di n tích nh% nh t . Tính giá tr nh%

nh t ó

D* b) B 2-2008

Trong không gian h t a Oxyz cho ba i m A(1;0;–1) B(2;3;–1) , C(1;3;1) và
ng th ng d:

=
+
+
=
+
−
4
0
1
z
y
x
y
x

1. Tìm t a i m D thu c ng th ng d sao cho th tích c a kh i t di n ABCD
b ng 1 .

2. Vi t ph ng trình tham s c a ng th ng i qua tr c tâm H c a tam giác ABC và
vng góc v i m t ph ng (ABC)

D* b) D-2008

Trong không gian Oxyz cho m t ph ng (α): 2x – y + 2z +1 = 0 và:

2
2
1
1
1
:
−
=
−
=

− y z

x
d

1. Tìm t a giao i m c a d v i (α) . Tính sin c a góc gi a d và (α).

2. Vi t ph ng trình m t c!u có tâm thu c d ti p xúc v i hai m t ph ng (α) và (Oxy)
A-2007

Trong không gian v i h to Oxyz, cho hai ng th ng

1

1 2

:

2 1 1

x y z

d = − = +

− 2

1 2

: 1

3

x t

d y t

z

= − +
= +
=
1) Ch ng minh r ng d1 và d2 chéo nhau

2) Vi t ph ng trình ng th ng d vng góc v i m t ph ng (P): 7x + y - 4z = 0

và c t hai ng th ng d1 và d2

B-2007

Trong không gian v i h to Oxyz, cho hai i m A(1;4;2) , B(−1;2;4) và ng th ng

1 2

:

1 1 2

x− y+ z

∆ = =

− .

1) Vi t ph ng trình ng th ng d i qua tâm G c a tam giác OAB và vng góc
V i m t ph ng (OAB)

2) Tìm to M thu c ng th ng ∆ sao cho MA2 + MB2 nh% nh t.
D* b) 1-A-2007

Trong không gian Oxyz, cho 2 i m A(−1;3;−2), B(−3;7;−18) và
mp

( )

P : 2x− + + =y z 1 0.

1) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a AB và vng góc v i m t ph ng (P) .
2) Tìm to i m M thu c (P) sao cho MA +MB nh% nh t.

D* b) 2-A-2007

Trong không gian v i h to Oxyz. Cho các i m A( 2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6) và
ng th ng d:

=
−
+
+
=
+
−
0
24
2
3
6
0
2
3
6
z
y
x
z
y
x

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

2) Vi t ph ng trình ng th ng∆//d và c t các ng th ng AB,OC

D* b) 1–B-2007

Trong không gian v i h to Oxyz ,cho các i m A(−3;5;−5) , B(5;−3;7) và m t ph ng

( )

P : x+ + =y z 0.

1) Tìm giao i m I c a ng th ng AB v i m t ph ng (P) .
2) Tìm i m M thu c (P) sao cho MA2+MB2 nh% nh t .

D* b) 1- B- 2007

Trong không gian v i h to Oxyz, cho các i m A(2;0;0), M(0;−3;6).

1) Ch ng minh r ng m t ph ng

( )

P : x 2y 9 0+ − = ti p xúc v i m t c!u tâm M bán
kính MO. Tìm to ti p i m .

2) Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) ch a A,M và c t các tr c Oy,Oz t i các i m
t ng ng B,C sao cho VOABC =3 ( vtt ) .

D* b) 1- D-2007

Trong không gian v i h to Oxyz cho ng th ng : 3 2 1

2 1 1

x y z

d − = + = +

− và m t
ph ng

( )

P : x y z 2 0+ + + = .

1) Tìm giao i m M c a d và P .

2) Vi t ph ng trình ∆ ⊂( )P sao cho ∆⊥d và d(M,∆) = 42

D* b) 1- D-2007

Trong không gian v i h to Oxyz .cho m t ph ng (P) : x – 2y +2z -1 = 0 và các ng
th ng

₁: 1 3 d :₂ 5 5.

2 3 2 6 4 5

x y z x y z

d − = − = − = = +

− −

1) Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) ch a d1 và (Q) vng góc v i (P).

2) Tìm các i m

M

∈

d

R

∈

sao cho MN// (P) và cách (P) m t kho ng b ng 2.
A- 2006

Trong không gian v i h to Oxyz, cho hình l"p ph ng ABCD.A'B'C'D' v i A(0;0;0),

B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;0;1).g i M và N l!n l t là trung i m c a AB và CD.

1) Tính kho ng cách gi a hai ng th ng A'C và MN.

2) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a A'C và t o v i m t ph ng Oxy m t góc

α

bi t
1

cos

6

α =

B-2006

Trong khơng gian v i h t a Oxyz, cho i m A(0;1;2) và hai ng th ng:
₁ ₂

1

1 1

: 1 2 d :

2 1 1

2 .

x t

x y z

d y t

z t

= +

− +

= − − = =

−
= +

1) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) qua A , ng th i song song v i d1 và d2.

2) Tìm to d i m N thu c d1 và i m M thu c d2 sao cho ba i m A,M,N th ng

hàng .

D-2006

Trong không gian v i h t a Oxyz, cho i m A(1;2;3) và hai ng th ng:

1 2

2 2 3 1 1 1

: :

2 1 1 1 2 1

x y z x y z

d − = + = − d − = − = +

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

1) Tìm t a i m A' i x ng v i i m A qua ng th ng d1

2) Vi t ph ng trình ng th ng ∆di qua A, vng góc v i d1 và c t d2.
D* b) 1- A- 2006

Trong không gian v i h to Oxyz,cho hình l)ng tr ng ABC.A'B'C' có A(0;0;0),
B(2;0;0), C(0;2;0), A'(0;0;2).

1) Ch ng minh A'C vng góc v i BC'.Vi t ph ng trình m t ph ng (ABC').

2) Vi t ph ng trình hình chi u vng góc c a ng th ng B'C' trên m t ph ng
(ABC').

D* b) 2- A- 2006

Trong không gian v i h t a Oxyz ,cho m t ph ng

( )

α

: 3x 2y z 4 0+ − + = và hai
i m A(4;0;0), B(0;4;0).G i I là trung i m c a o n th ng AB .

1) Tìm to giao i m c a ng th ng AB v i m t ph ng ( )

α

.

2) Xác nh to K sao cho KI vng góc v i m t ph ng ( )

α

, ng th i K cách
u g c to O và m t ph ng ( )

α

.

D* b) 1- B- 2006
Trong không gian v i h t a Oxyz ,cho hai ng th ng :

₁ ₂

1

3 1

: 1 d :

1 2 1

2

x t

x y z

d y t

z

= +

− −

= − − = =

−

=

1) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a ng th ng d1 và song song v i ng d2.

2) Xác nh i m A trên d1 và i m B trên d2 sao cho o n AB có dài nh% nh t .
D* b) 2- B- 2006

Trong không gian v i h t a Oxyz ,cho m t ph ng

_{( )}

P : 2x y 2z 5 0− + + = và các i m
A(0;0;4), B(2;0;0).

1) Vi t ph ng trình hình chi u vng góc c a ng th ng AB trên m t ph ng (P) .
2) Vi t ph ng trình m t c!u i qua O,A,B và ti p xúc v i m t ph ng (P) .

D* b) 1- D-2006

Trong không gian v i h to Oxyz ,cho m t ph ng (P) : 4x-3y+11z-26=0 và hai ng
th ng :

1 2

3 1 4 3

: , d : .

1 2 3 1 1 2

x y z x y z

d = − = + − = = −

−

1) Ch ng minh r ng d1 và d2 chéo nhau .

2) Vi t ph ng trình ng th ng ∆ ⊂( )P , ng th i c t c d1 và d2 .
A-2005

Trong không gian v i h to Oxyz cho ng th ng − = + = −
−

'

và m t
ph ng

( )

P : 2x y 2z 9 0+ − + = .

a) Tìm to i m I thu c d sao cho kho ng cách t I n m t ph ng (P) b ng 2.
b) Tìm to giao i m A c a ng th ng d và m t ph ng (P) .Vi t ph ng trình
tham s c a ng th ng ∆ n m trong m t ph ng (P), bi t ∆ i qua A và vuông góc v i d.

B-2005

Trong khơng gian v i h to Oxyz trong hình l)ng tr ng ABC. A1B1C1 v i

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

a) Tìm to các nh A1, C1. Vi t ph ng trình m t c!u có tâm là A và ti p xúc v i

m t ph ng (BCC1B1).

b) G i M là trung i m c a A1B1. Vi t ph ng trình m t ph ng (P) i qua i m A,

M và song song v i BC1. M t ph ng (P) c t ng th ng A1C1 t i i m N. Tính dài o n

MN.

D-2005

Trong không gian v i h to Oxyz cho hai ng th ng

d1: − = + = +

−

x y z
d :

x y

+ − − =

+ − =

a) Ch ng minh r ng d1 và d2 song song v i nhau .Vi t ph ng trình m t ph ng (P)

ch a c hai ng th ng d1 và d2 .

b) M t ph ng to d Oxy c t hai ng th ng d1,d2 l!n l t t i các i mA,B.Tính

di n tích tam giác OAB (O là g c to ).

D* b) A 1-2005

! " #$ %& ' ' ()*& ' ' ()+& ' ' ( ,

( - . / 0 1 $ 2 / 3 &4( 56 ." 7 6 " *+, 1$

#$ "68 %+ $ 2 / 3 &4(,

9( + 0 $ $ " %*+ : 7 $ " 6 , - . / 0 1 $ 2 " ;6

./ 0 < %*+,

D* b) A 2-2005

= " " 6 " ! " #$ %& ' ' () +& ' '
()

>& ' ' (

( 1$ #$ * 6 " $ 2 / 3 ? " 0 " %*+ : 7 1 " 0@ ,

- . / 0 1 $ 2 " ;6 56 #$ ) *) +) >,

9( 1$ #$ % . 0 #$ % 56 0 7 3 >+,

D* b) B-1 2005

! " 0 7 3

1:₁ ₁ ₂
x y z

d = = và ₂

1 2
:

1

x t

d y t

z t

= − −
=
= +

( A B C 0 . "68 < 7 < ,

9( 1$ " " #$ D 6 " < 7 E 6 " < ? " 0 7 3 DE ?

? $ 2 / 3 &4( F x− + =y z 0 7 < 7 DE G 2,

D* b) B-2 2005

! " #$ D& ' '− ( 7 $ 2 / 3 &4( F 2x+2y− + =z 1 0,

( H D : 7 1 " .6 "68 D : $ 2 / 3 & 4 (, A " B #$ D 7 C

< 7 DD ,

9( - . / 0 1 $ 2 / 3 & I ( 56 D 7 " 0 0 7 3 F

x− y− z−

= =

−

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

D* b) D-1 2005

! " : J 6 0 OAB.O A B₁ _{1 1} %& ' ' () *& '

' () O₁& ' ' (

( 1$ " " #$ % ) * , - . / 0 1 $ 2 " ;6 56 #$ ) %) *) O₁,

9( H D : 7 6 #$ "68 %*,D 2 / 3 & 4 ( 56 D 6 " O A₁ 7 " K

%)OA₁: ; :0 E) L , C < 7 LE,

D* b) D-2 2005

! " 1 : / / 0 %*+M,% * + M

%& ' ' () *& ' ' () M & ' ' (

( A " B " " #$ " 7 : "68 1 : / / 0 %*+M,% * + M ,H D : 7

6 #$ "68 *+ , + 0 $ N $ 2 / 3 & %* M ( 7 & %D* ( 6 "

6,

9( + 0 $ N O ? . 8 " " 07 #$ E 6 " 0 7 3 %+ & E -% (

$ 2 / 3 & %* M ( 7 & %D* ( / 6 6 " 7 B C "68 #$ E,

A-2004

Trong không gian v i h to Oxyz cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi.
AC c t BD t i g c to O. Bi t A (2;0;0), B (0;1;0), S (0;0; ). G i M là trung i m
c a c nh SC.

a) Tính góc và kho ng cách gi a hai ng th ng SA, BM.

b) Gi s' m t ph ng (ABM) c t ng th ng SD t i i m N. Tính th tích kh i chóp
S.ABMN.

B-2004

Trong khơng gian v i h to Oxyz cho i m A(−4;−2;4) và ng th ng d:

x t

y t

z "t.
= − +
= −
= − +

Vi t ph ng trình ng th ng & i qua i m A, c t và vng góc v i d ng th ng d.

D-2004

2) Trong không gian v i h to Oxyz cho hình l)ng tr ng ABC.A’B’C’. Bi t
A(a;0;0); B(−a;0;0); C(0;1;0) ; B’(−a;0;b); a>0, b>0.

a)Tính kho ng cách gi a hai ng th ng B’C và AC’ theo a,b.

b)Cho a,b thay #i , nh ng luôn tho mãn a+b=4. Tìm a,b ( kho ng cách gi a hai
ng th ng B’C và AC’ l n nh t

3) Trong không gian v i h to Oxyz cho ba i m A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và m t
ph ng

( )

P : x y z 2 0+ + − = . Vi t ph ng trình m t c!u i qua ba i m A, B, C và có tâm
thu c m t ph ng

D* b) A-1 2004

# $ % & ,M& S = ' 7 T U (*0V6( * 0 V (

4 ,M& W = * V ( 6

Q& -J 7 25 / ! I X A &82 ( * 0 , ,& -J 7

7 & , % Y -. / * V 9 25 / ! 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

D* b) A-2 2004

# $ % & ,M& S = ' 7 \6(*0V ; (*0V G 7 T

U (0 ] *V =& W = *&

A

(

−

;

−

;

),

B

(

;

−

;

),

S

(

,

,

)

Q& -J 7 25 / X &82 Y = (* : : ,M& &

-. / (V \06

A Z & ! G 25 / X &82 * , , % ,M& \06#[ &S [ &
&S Y 7 \6(*0V ,M& 25 / ! 6

D* b) B-1 2004

# $ % & ,M& S = ' ( ") ) * ) )+ , -. /

.

1

1

2

6

2

3

:

=

−

=

−

−

−

y

z

x

d

0 1 2& 3 & -. / , (* 4 2 25 / 6 #72 &82 0
9 -. / : 2 &; (*0 < =& > ( 6

D* b) B-2 2004

# $ % & ,M& S = ' & &82 ( , 6
#72 = &82 ^ W& 1 ,M& X -. / ( 6

A Z & ! G 25 / _& G % & X -. / ( ] ; P
' G` G-a & ; &82 * 06Z&N :b * )A) 0 Ac c 6 0 1 2&
3 A d eA E 6

K; L A : &S [ 2 &; (*0 f g 6

D* b) D-1 2004

# $ % & ,M& S = ' &82 ( ) ) * ) ) 0 ) ) 6
#72 = &82 ^ W& 1 ,M& W = X 25 / (*0 6
A 0 &82 \ & 8 9 P 9 P ' & ? G 7 & , %
Y 9 -. / \(60 1 2& 3 &S [ 2 &; *? f J "6

D* b) D-2 2004

# $ % & ,M& S = ' &82 ( ,

=
−

−

=
+

.
z

x
y
x

Q& -J 7 25 / ! X ( , , % ,M& -. / 6#72

= 7 & , % *^ Y &82 * 9 25 / ! 6

A-2003

Trong không gian v i h to êcac vng góc Oxyz cho hình h p ch nh"t
ABCD.A’B’C’D’ có A trùng v i g c h to , B(a,0,0), D(0,a,0), A’(0,0,b) (a > 0,b >
0).G i M là trung i m c nh CC’.

a) Tính th tích kh i t di n BDA’M theo a và b.
b) Xác nh t s

b

a

hai m t ph ng (A’BD) và (MBD) vng góc v i nhau.
B-2003

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

D-2003

Trong không gian v i h t a êcac vng góc Oxyz cho

6
k

x ky z
d

kx y z

+ − + =

− + + =
Tìm k ng th ng dk vng góc v i m t ph ng

( )

P : x y 2z 5 0− − + = .

D* b) A-1 2003

# $ % & ,M& S = ' & -. /

=
−
+

=
+
−
=

−

= + ,

y
x

z
x
z

y
x

d : :

0 1 2& 3 h 6

A Q& -J 7 _ X ; Y -. / ] N & -. /

, : : ,M& -. / : .

"
+
"

−
−
=

−
=

− y z

x

D* b) A-2 2003

# $ % & ,M& S = ' 1 &S (*0V ,M& ( * C i i
0 i i" V C i@ 6

#[ &T & -. / (* , 0V 6

A #72 = &82 -. / 0V : 2 &; (* ,&

f g 6

D* b) B-1 2003

# $ % & ,M& S = ' 1 &S (*0 ,M& ( ) ) * ) )
0 ) ) 6Z & G &82 Y *06

#[ $ N ; &T & -. / (* , 6

D* b) B-2 2003

# $ % & ,M& S = ' & &82 I ) ) F 6 Q&
-J 7 25 / & X & &82 I F , = ,M& 25 / 2 A3

6

D* b) D-1 2003

# $ % & ,M& S ' 25 / ! d d ' i 2 i

2e 6 2 G 2 :W , 25 ` \ i d d d 'i e B6 #72 2 8 25

/ ! & j ,M& 25 ` \ 6 QM& 2 ,O 72 -a k ; L & &82
Y ! , \ 6

D* b) D-2 2003

# $ % & ,M& S ' & &82 ( * i , -.
/

=
−
+

=
−
−

.
:

D

z
y

y
x
d

Q& -J 7 25 / ! & X &82 I Y = (* , , %
,M& (* 6Z & F G & &82 Y -. / , 25 / ! 6 0 1 2&
, % ,M& IF6

A Q& -J 7 _ X ; Y 7 & , % Y -. /

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

A-2002
Trong không gian Oxyz cho "

"

− + − =

+ − + = và

= +

= +

= +

a) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a ng th ng d1 và song song v i ng th ng d2.

b) Cho i m M(2;1;4).Tìm to i m H thu c ng th ng d2 sao cho o n th ng MH có

dài nh% nh t.

D-2002

Trong không gian Oxyz ,cho mp(P) : 2x –y +2= 0 và

(

)

(

)

(

)

2 1 1 1 0

:

2 1 4 2 0
m

m x m y m
d

mx m z m

+ + − + − =

+ + + + =

Xác nh m ng th ng dm song song v i m t ph ng (P).
D* b) A-1 2002

# $ % & ,M& S = ' -. /

=

−
−
+

=
+
−
−

"

z
y
x

z
y
x

, 25 ` \ − #72 2 8 -. /

] \ =& & &82 6R : $ N ; &T & &82 A3 D6

D* b) A-2 2002

# $ % & ,M& S = ' & -. /

=
+
−

=
−
−

z
y

a
az
x

=
−
+

=
−
+

C

z
x

y
ax

#72 8 & -. , h

A QM& e ,& -J 7 25 / 1 , : : ,M& 6
#[ $ N ; &T , $ & e 6

D* b) B-1 2002

# $ % & ,M& S = ' -. /

6

i

'

i

"

!

/

25

,

+ =

=
+
+
+

=
+
+
+

x

y
x

z
y
x
:

Q& -J 7 7 & , % Y -. / 9 25 / ! 6

D* b) B-2 2002

# $ % & ,M& S = ' 25 / ! m d' d e ,

& &82 ( i )i )i * i@)+) 6

#72 = &82 0 W& 1 ,M& &82 ( X 25 / ! 6

A #72 = &82 25 / ! : _ (d * = &; L

</div>

<!--links-->