tai lieu on thi dai hoccap toc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (729.64 KB, 27 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 1. Đạo hàm và ứng dụng
Một số kiến thức cần nắm vững:

Cỏc quy tc tớnh đạo hàm.

 Bảng đạo hàm của các hàm số thờng gặp.
 Đạo hàm cấp cao.

1. Đạo hàm cấp n:
PP tính đạo hàm cấp n:

+ Bớc 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3.
+ Dự đốn cơng thức tổng qt;
+ Chứng minh bằng quy nạp;
+ Kết luận.

* Một số công thức tính đạo hàm cấp n:

( )

1 1

( )

1 ( 1) . !

( )

( 1) ( 1)!

ln( )

( )

sin sin

cos cos

2
n n
n

n
n n
n

n

a n

y y

ax b ax b

a n

y ax b y

ax b
n

y x y x

n

y x y x






 



  

 

 

   



 

     

 

 

     

 

VÝ dơ 1. Cho hµm sè y = 1
1 x .
a) TÝnh y’, y’’, y’’’

b) Chøng minh r»ng: ( ) ! 1
(1 )
n

n
n
y

x 



 .

Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số:
a) y = 22

1
x

x  ; b) y = 2

2008

5 6

x
x  x .

2. ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng 
thức:

PP: Để chứng minh f(x) > g(x) x  (a; b) ta đặt
(x) = f(x) - g(x).

+ Xét xự biến thiên của hàm y = (x) trên (a; b).
+ Dựa vào sự biến thiên chứng tá r»ng (x) > 0, x

(a; b).

* Chú ý: Đơi khi ta phải chọn hàm số (x) để có điều
cần chứng minh.

VÝ dô. Chøng minh r»ng:
a) ln(1 + x) > x -

2
x

, x > 0.
b) sin 2 , (0; )

2
x

x x

HD:

a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x +

x víi x > 0.

Cã

'( ) 1 0, 0

1 1

x

f x x x

x x

      

 

 f(x) > f(0) = 0 với x > 0 đpcm.
b) Đặt f(x) = sinx 2

x   víi x (0; )2

Có f x'( ) xcosx2 sinx
x

Đặt g(x) = xcosx - sinx.

g’(x) = -xsinx < 0 víi (0; )
2

x g(x) là hàm NB trên
(0; )

2


 g(x) < g(0) víi (0; )
2
x  .
f(x) là hàm số NB trên (0; )

f(x) > f(

2


) = 2

 , x (0; )2


 .

Bài tập luyện tập:
Chứng minh các BĐT:

a) ex > x + 1 víi x > 0; b) x > ln(1 + x) víi x > 0.

c) (x + 1)lnx > 2(x - 1) víi x > 1;
d) cosx  1

-2

2
x

víi x > 0; e) sinx  x

-3

6
x

với x>0;
3. ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn.

0
0

( ) ( )

lim '( )

x x

f x f x

f x
x x







 .

PP: Để tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa đạo

hàm tại một điểm ta làm theo các bớc:

+ Bớc 1: Đa giới hạn cần tính về đúng cơng thức:
0

0
0

( ) ( )
lim

x x

f x f x
x x






+ Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x). TÝnh f(x0), f’(x) vµ f’(x0).

+ Bíc 3: KÕt luËn
0

0
0

( ) ( )

lim '( )

x x

f x f x

f x
x x







 .

Chú ý: Một số trờng hợp ta phải biến đổi về dạng:

0 0

( ) ( )

'( )
lim

( ) ( ) '( )

x x

f x f x

x x f x

g x g x g x
x x

Ví dụ. Tính các giới hạn:
a)

1 1

lim
x

x x

x

;

HD: Đặt f(x) = 3 x 1 1 x

thì giới hạn có dạng:

( ) (0)
lim

0
x

f x f
x





 . Do đó:

1 1

lim '(0)

x

x x

f
x



  

 .

Cã 2

1 1

'( )

2 1
3 ( 1)

f x

x
x

 



 ; f’(0) =

1 1 5

3 2 6
VËy

1 1 5

lim

6
x

x x

x



  

 .
b)

3
4

9 1

lim

7
x

x x

x



  



; §S: 5
96

c)

(2 1) 3 9

lim

1
x

x x x

x



   



; §S: 4
3
d)

3
3

1 1

lim

1 cos
x

x x



  

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

HD:

3
3

3 3

0 0

1 1

lim lim

1 cos 1 cos

x x

x x x

x x x x

x

 

  



    .

1 2 1 3

lim
x

x x

x



   ; f) 3 2

2
1

5 7

lim

1
x

x x

x



  



;
4. ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN
* Bài tốn 1: GTLN, GTNN của hàm số trên một
khoảng.

PP: + Lập BBT của hàm số trên khoảng cần tìm.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một điểm

cực tiểu thì đó là GTNN.

+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một điểm
cực đại thì đó là GTLN.

* Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một
đoạn.

PP: + Tìm TXĐ, tìm các điểm tới hạn x1, x2, x3, .... của

f(x) trên đoạn [a; b].

+ TÝnh f(a), f(x1), f(x2), ..., f(b).

+ T×m sè lín nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trªn
råi kÕt luËn.

M = max ( )[ ; ]a b f x , m = min ( )[ ; ]a b f x

* Bài toán 3: Xác định tham số để các phơng trình hoặc
bất phơng trình có nghiệm.

+ F(x) = m  m  [MaxF(X); minF(x)]
+ F(x) > m víi mäi x . .<=> m < minF(x)

+ F(x) > m có nghiệm . .<=> m<MaxF(x) . . .
 Chú ý: khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mi cú

thể sử dụng phơng pháp miền giá trị.
Các ví dụ

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

1
1

x
x

y trên

đoạn [-1;2].

Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

x
x
y ln2 trên
đoạn [1;e3].

Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

3
2

6 4(1 x )

x

y trên đoạn [-1;1] .

Bi 4: Tỡm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi
x thuc [-1/2;3]

)
3
5
2
(
)

3
).(
2
1

( 2

x x m x x

HD Đặt t= (12x).(3 x) Từ miền xác đinh của x

suy ra 









4
2
7
;
0

t .

Biến đổi thành f(t) = t2 + t > m + 2.

Tìm miền giá trị của VT m < -6.

Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình sau thoả mãn
với mọi x thuộc [0;1]

2
2

)
1
(

)
1

.(x x x x

a

HD Đặt t = x2 + x dùng miền giá trị suy ra a = -1.

Bài 6: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm

2 1 2 1

x   x x  x m

HD: m  2.

Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi
x

4 2 2

3cos x 5.cos3x 36.sin x15cosx36 24 m12m 0

HD Đặt t = cosx BBT 0  m  2.

Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm trên [-/2;
/2]

2
)
cos
1
(
2
sin
2

2 xm  x

Bµi 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

x
x

y 2sin8 cos42

HD : 3 vµ 1/27

Bµi 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2x 2 x (4x 4 )x

y  

    víi 0 x 1 .

Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hs y x 4 x2





* PP tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng miền giá trị
của hàm số.

Ví dụ:

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a)

2
2

3
12
x
y

x x



 

; b) 28 3

1
x
y

x x



  ;
c) 2sin 1

cos 2

x
y

x



 ; d)

sin cos
sin 2cos 3

x x

y

x x

Bài 2: Tiếp tuyến, tiếp xúc và
tơng giao

1. Phơng trình tiếp tuyến của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).
* Tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0)  (C):

y - y0 = f’(x0)(x - x0).

* TiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k cho tríc:

+ Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm. Ta có f’(x0) = k.

+Giải phơng trình ta tìm đợc x0, rồi tìm y0 = f(x0)

Từ đó ta viết đợc phơng trình.
Chú ý: Nếu  là tiếp tuyến và:
+  // d: y = ax + b  k = a.

+   d: y = ax + b  k = -1/a.

+  hỵp víi trơc Ox mét gãc   k =  tg().

+  hỵp víi tia Ox mét gãc   k = tg().

* TiÕp tuyÕn ®i qua mét ®iĨm A(x1; y1).

Cách 1: Gọi x0 là hồnh tip im.

PTTT tại x0 là: y = f(x0)(x - x0) + f(x0).

A TT  y1 = f’(x0)(x1 - x0) + f(x0).

Giải phơng trình ẩn x0 rồi tìm f(x0), f(x0).

Cách 2: Đờng thẳng đi qua A có hệ số góc k có 
ph-ơng trình: y = k(x - x1) + y1.

 lµ tiÕp tun cđa (C)  hƯ PT sau cã nghiÖm:

1 1

( ) ( )

'( )

f x k x x y
f x k

  







giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế để tìm k.
2. Điều kiện tiếp xỳc ca hai th:

Đồ thị 2 hàm số y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc nhau  hệ
phơng trình sau có nghiệm:

( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x









nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm.

Đặc biệt đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục Ox 
hệ phơng trình sau có nghiệm.

3. Điểm cố định của họ đờng cong.

Điểm cố định là điểm có toạ độ (x0; y0) nghim ỳng

phơng trình: y0 = f(x0, m). Vì vậy: muốn tìm điểm cố

nh m h ng cong (Cm) đi qua ta làm theo hai bớc

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

* 2

0 0

0
A

Am Bm C m B

C




      

 



* 0 0

0
A

Am B m

B



    




+ Giải hệ điều kiện trên ta tìm đợc điểm cố định.
4. Tiếp tuyến cố định

* PP:

 Dạng 1: Họ đờng cong đi qua điểm cố định: Ta
tìm điểm cố định M(x0; y0), rồi chứng minh f’(x0) =

h»ng sè víi m.

 Dạng 2: Họ đờng cong không đi qua điểm cố
định: áp dụng điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số,
ta có hệ phơng trình sau có nghiệm với mọi m:

( )
'( )

f x ax b
f x a

 







.
5. T¬ng giao

Hồnh độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y = f(x) và y =
g(x) là nghiệm của phơng trình: f(x) = g(x).

Chú ý bài tốn tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với
trục hoành.

* Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục hoành

tại 3 điểm lập thµnh cÊp sè céng  hµm sè cã 2 cùc trị
và điểm uốn nằm trên trục hoành

' 0
0

uốn

có hai nghiệm phân biệt
y

y

* Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4

điểm lập thành cấp số cộng phơng tr×nh:
at2 + bt + c = 0 cã 2 nghiƯm dơng t

1 < t2 thoả mÃn t2 =

9t1.

Các bài tập luyện tập:

a) Các bài tập về phơng trình tiếp tuyÕn:

Bài 1. Cho hàm số y = x3 - 2x2 + 2x có đồ thị là (C).

1) ViÕt PTTT cđa (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
đ-ờng thẳng y = -x +1.

2) Chứng minh rằng trên (C) không có 2 điểm mà tiếp
tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với nhau.
HD: 1) ĐS: y = x, y = x + 2/27.

2) CM: y’ > 0 víi x.

Bài 2. Viết PTTT tại điểm uốn của đồ thị hm s y = x3

- 3x2. CMR đây là tiếp tuyÕn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt

trong các hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị.
HD: ĐS: y = -3x + 1.

CMR y’ - 3 víi x.

Bµi 3. Cho hµm sè y = x3 - 3x + 1. ViÕt PTTT víi (C)

biÕt tiÕp tun ®i qua ®iĨm A(1; 6).
ĐS: y = 9x - 15.

Bài 4. Cho hàm sè y = 1
2
x
x



 . CMR tiếp tuyến tại một
điểm bất kì của đồ thị ln cắt hai đờng tiệm cận và
tam giác tạo thành có diện tớch khụng i.

HD: + Giao với TCĐ tại 0

(2; )

2
x
A

x

, giao với TCN tại

(2 2;1)
B x .

Bài 5. Cho hµm sè y = f(x) = ( )
( )
u x
v x .

1) CMR hÖ sè gãc của tiếp tuyến tại giao điểm x = x0

ca thị với trục hoành là k = 0

'( )
( )
u x

v x .
2) Tìm m để đồ thị hàm số y =

2 2

x x m

x

 

 cắt trục
hoành tại 2 điểm mà các tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm
này vng góc với nhau.

§S: m = 2/5.

b) Các bài toán về tiếp tuyến cố định:
Bài 6. CMR với m0 thì đồ thị hàm số

(m 1)x m
y

x m

 



 luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố
định.

HD: điểm cố định (0; 1), y’(0) = 1.
Bài 7. Chứng minh rằng đồ thị hàm số

(m 2)x (m 2m 4)
y

x m

   





luôn tiếp xúc với hai đờng
thẳng cố định.

HD: G/s tiếp tuyến cố định là y = kx + b. Ycbt  hệ:

4
1
4

( )

m kx b

x m
k
x m


   

 




 





cã nghiƯm víi m.

§S: y = x + 3, y = x - 5.
c) Các bài toán về tiếp xúc:

Bi 8. Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx + m + 1 tip xỳc

với trục hoành.
ĐS: m = 1.

Bài 9. Cho (C): y= (x2 - 1)2 và (P): y = ax2 - 3. Tìm a để

HD: a = 2, tiếp điểm lµ x =  2.

Bài 10. Tìm m để (P): y = x2 + m tiếp xúc với đồ thị

hàm số:

1
1
x x

y

x

.
ĐS: k = -1.

d) Các bài toán về tơng giao:

Bi 11. Tỡm m th hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt

trục hoành tại 3 điểm lập thành một CSC.
HD: m = 0, m = 1

 .

Bài 12. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 +

2m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một CSC.
ĐS: m = 4, m = -4/9.

HD: Ycbt  trung điểm đoạn thẳng thuộc đờng thẳng y
= x.

Bµi 13: Cho hµm sè (1)

1
1




x
x
y

1) Tìm m để đờng thẳng D: y= 2x + m cắt (C ) tại 2
điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại
A, B song song với nhau.

2) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng
cách từ M đến giao điểm 2 đờng tiệm cận là ngắn
nhất.

Bµi 14: Cho hµm sè (1)
1

1
2





</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Gọi I là giao điểm 2 đờng tiệm cận của (C ) Tìm điểm
M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vng góc với

d-ờng thẳng IM.

Bµi 15: Cho hµm sè (1)
1






x
m
x
mx
y

Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại 2 điểm
phân biệt có hồnh độ dơng.

Bµi 16: Cho hµm sè 4 2 1 (1)




x mx m

y Tìm m để

đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Bài 17: Cho hàm số (1)

1
2
2






x
x
x
y

Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và đối xứng nhau
qua đờng thẳng x - y - 4 = 0.

Bµi 18: Cho hµm sèy x4 4x2 m (1)




Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Hãy
xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C)
và trục hồnh có diện tích phần phía trên và phần phía

dới đối với trục hồnh bng nhau.

HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1, x2, x3, x4,

là nghiệm

Strên= Sduói<=>

3 4

( ) ( )

x x

x

f x dx f x dx



Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét m=20/9
Bài 19: Cho hàm số (1)

2
9
2






x
x
x
y

Xác định m để (d) y = m(x - 5) + 10 cắt đồ thị (C ) tại 2
điểm phân biệt nhận I(5;10) là trung điểm.

Bµi 20. Cho hµm sè

2 1

(1)
1

x x
y

x
 





CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C ) dến 2 tiệm
cận của (C ) không phụ thuộc vào vị trí của M.

Các bài tập tự luyện:

Bài 1 (39.I): Cho y = x3 + 3x2 + 3x + 5.

1. CMR: Trên đồ thị không tồn tại hai điểm mà hai tiếp
tuyến tại đó vng góc với nhau.

2. Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp
tuyến tại đó vng góc với đờng thẳng y = kx.
Bài 2: Tìm các điểm M  đồ thị hàm số y =

2
2
x x

x
 


sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục toạ độ tại A và B
tạo thành tam giác vng cân OAB.

Bµi 3 : T×m tiÕp tun cã hƯ sè gãc nhá nhÊt cđa y = x3

+ 3x2 - 9x + 5.

Bµi 4 : ViÕt tiÕp tuyÕn víi y = -x3 + 3x2 biết tiếp tuyến

vuông góc với y = 1
9x.
Bài 5: ViÕt pttt qua M(2

3; 1) víi y = -x

3 +3x -1.

Bài 7: CMR trên đồ thị của y = 3 2
1
x
x

không có tiếp
tuyến nào đi qua giao hai tiƯm cËn.

Bµi 8: Qua A(-2; 5) cã mÊy tiÕp tuyÕn víi y = x3 - 9x2 +

17x + 2.

Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số y = (x - 1)(x2 + mx + m)

tiÕp xóc víi trơc hoµnh.

Bµi 12. Cho hµm sè

2 2

x mx m

y

x m

 



 có đồ thị là Cm.
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp

tuyến tại hai điểm đó vng góc với nhau.

Bài 13. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C). Qua

A(1; 0) kẻ đợc mấy tiếp tuyến tới (C). Viết các phơng
trình tiếp tuyến ấy. Chứng minh rằng khơng có tiếp
tuyến nào của đồ thị song song với tiếp tuyến qua A(1;
0).

Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + 1 tiếp

xúc với đờng thẳng d có phơng trình y = 5.

Bài 15. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y
= x4 - 2x2 tại 4 điểm phân biệt.

Bài 16. Tìm m để đồ thị (C) của hàm số y = 1
1
x
x


 cắt
đờng thẳng d: y = mx + 1 tại 2 điểm thuộc 2 nhánh
khác nhau của đồ thị.

Bài 17. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị (C) của 
hàm số y =

3 3

2( 1)

x x

x

  

 tại hai điểm A, B sao cho AB
= 1.

Bài 18. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị (C) của 
hàm số y =

x mx m
x

tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho OA  OB.

Bài 19. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 - m cắt

trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng.
Bài 20. Tìm m đề đồ thị hàm số y =

2 1

2 2

x

mx m

  

cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một cấp số cộng.
Bài 3. Tính đơn điệu và cực trị

Một số kiến thức cần nắm vững:
1. Tính đơn điệu của hàm số:

Hµm sè y = f(x) §B/(a; b)  f’(x)  0 x  (a; b).
Hµm sè y = f(x) NB/(a; b)  f’(x)  0 x  (a; b).
Chó ý:

Cho tam thøc bËc 2: f(x) = ax2 + bx + c (a  0).

+ f(x)  0 x  0
0
a 



 


; f(x) 0 x  0
0
a

2. Cực trị của hàm số.

Cn nm vng hai quy tắc để tìm cực trị.
* Cho hàm số y = f(x).

+ Hàm số đạt cực đại tại x = x0 
0

'( ) 0
''( ) 0
f x
f x









+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 
0

'( ) 0
''( ) 0
f x
f x

.
* Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d.

+ Hàm số có cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Khi đó hàm số có một CT và một CĐ.

+ Khi chia y cho y’ ta đợc: y = y.g(x) + r(x).

Nếu x0 là điểm cực trị th× yCT = r(x0)  y = r(x) chÝnh lµ

đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
* Đối với hàm số y = ax4 + bx2 + c:

+ Hàm số luôn có một điểm cực trị nằm trên trục tung.
+ Vì y = 2x(2ax2 + b) nên hàm số có 3 cực trị phơng

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

+ Do tính chất đối xứng nên nếu hàm số có 3 cực trị thì
ln có 2 cực trị đối xng nhau qua trc Oy.

* Đối với hàm số

' '

ax bx c
y

a x b

 




:

+ Hµm sè cã cùc trị y = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
'

'
b

a

 . Khi đó hàm số có một CT và một CĐ.
+ Hàm số có 2 cực trị trái dấu

' 0
0

có 2 nghiệm phân biệt
vô nghiệm

y
y

+ Hàm sè cã 2 cùc trÞ cïng dÊu 
' 0

cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
y

y







+ Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y(x0) = 0

2
'
ax b

a

.
+ Đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị lµ 2

' '

a b

y x

a a

  .

Mét sè vÝ dơ :

* Các ví dụ về tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + mx + 1.

1) Tìm m để hàm số ĐB trên R.
2) Tìm m để hàm số ĐB với x > 1.
HD:

1) §K  y’  0 víi x  g(x) = 3x2 - 6x + m  0 víi

x  ’  0  9 - 3m  0  m  3.

2) §K  y’  0 víi x > 1. XÐt 2 trêng hỵp:

+ TH1: ’  0  m  3  y’  0 x  y’  0 víi x
> 1.

+ TH2: ’>0 th× y’  0 víi x > 1  g(x) cã 2 nghiƯm
x1, x2 thoả mÃn: x1 < x2 1.

ĐS: m  3.

Cách 2: Dùng PP hàm số.
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y =

2 5 2 6

x x m

x

ĐB trên
khoảng (1; +).

HD: Hm số xác định với x(1; +).

2 2

6 9

( 3)

x x m

y

x

  



 .

§K  y’  0 víi x > 1  g(x) = x2 + 6x + 9 - m2  0

víi x > 1  m2  x2 + 6x + 9 x > 1  m2  mint(x)

= x2 + 6x + 9 x > 1.

§S: -4  m  4.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số

2 2

2 3

x mx m

y

x m

 





đồng
biến trên khoảng (1; +).

HD: Hàm số xác định với x > 1  2m  1  m 
1/2.

2 2

4
'

( 2 )

x mx m

y

x m

 



 .

§K  y’  0 víi x > 1  g(x) = x2 - 4mx + m2  0

víi x > 1. XÐt 2 trêng hỵp:
+ TH1: ’  0  m = 0.
+ TH2: ’>0  m < 2 - 3.
* C¸c vÝ dơ vỊ cùc trị của hàm số:

Dng 1. Tỡm m hm s có cực trị:

Bµi 1. Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 3(2m - 1)x + 1.

Tìm m để hàm số có CĐ và CT.
HD: y’ = 3x2 - 6x + 3(2m - 1).

§K  y’ = 0 cã 2 nghiƯm ph©n biƯt  y’ > 0  m >

-1.

Bµi 2. Cho hµm sè:

y = 1 3 ( 2) 2 (5 4) 2 1
3x  m x  m x m 
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và x1 < -1 <x2.

HD: §K  1.f’(-1) < 0  m < -3.
Bµi 3. Cho hµm sè:

3 2 2 2

( 2) (3 1) 5

y x  m  m x  m  x
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.
. ĐS: m = 3.

Bµi 4. Cho hµm sè 1 3 2 1

y x  mx  x m  .
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách giữa
chúng là nhỏ nhất.

HD: y’ = x2 -2mx - 1, y’ = 0  x2 -2mx - 1 = 0 (1). Cã

= m2 + 1 > 0 m hàm số luôn có CĐ và CT.

Chia y cho y’ ta đợc:

1 2 2

'. ( ) ( 1) ( 1)

3 3 3

yy x m  m  x m .

Gọi 2 điểm cực trị là: A(x1; y1), B(x2; y2) với x1, x2 là

nghiệm của (1) thì:

y1 = 2 1

2 2

( 1) ( 1)

3 m x 3m

    ;

y2 = 2 2

2 2

( 1) ( 1)

3 m x 3m

    ;

AB2 = (x

2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = (4m2 + 4)[1+ 2 2

( 1)

9 m  ]
 4(1 4) 52

9 9

  .

 AB  2 13

3 ; AB min  m = 0.
Dạng 2. Biểu thức đối xứng của cực trị:
Bài 5. Tìm m để hàm số y =

3
4

x x m

x

  



cã C§, CT
vµ yCD yCT 4.

HD: y’ =

8 12

( 4)

x x m

x

HS có CĐ và CT y = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 4

 4 0 4.

16 32 12 0

m

   


 



    



Gäi (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:

y1 = -2x1 +3, y2 = -2x2 + 3.

1 2 4 2 1 2 4 ( 1 2) 4 1 2 4

y  y   x  x   x x  x x 
 m = 3.

Bài 6. Tìm m để hàm số y =

2 3 2

x x m

x

  



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

§S: m  0;9
2

 

 

 .

Bài 7. Tìm m để hàm số :
y =

2 ( 1) 2 4 2

x m m m

x

   

có CĐ, CT và yCĐ.yCT là nhỏ nhất.

ĐS: yCĐ.yCT nhá nhÊt = -4/5 khi m = 7/5.

Bµi 8. CMR hµm sè y =

1
x mx m

x

 

 ln có CĐ, CT
và khoảng cách giữa chúng khơng đổi.

D¹ng 3. Vị trí của CĐ và CT trong mặt phẳng Oxy.
Bµi 9. Cho hµm sè

2 2

3 4 1

mx mx m m

y

x

   





. Tìm m
để hàm số có CĐ, CT nằm về hai phía của trục Ox.
HD:

2 5 1

( 1)

mx mx m

y

x

  



 ;

§K  ' 0
0

có 2 nghiệm phân biệt
vô nghiệm

y
y

ĐS: 0 < m < 4.

Bài 10. Tìm m để hàm số y =

2 ( 1) 1

x m x m

x m

   

 cã 2

cùc trÞ cïng phía.
ĐK ' 0

có 2 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt
y

y

.
Các bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hµm sè (1)

1
2
2






x
mx
x

y

Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B. CMR khi
đó đờng thẳng AB song song với đờng thẳng 2x - y -10
= 0.

Bµi 2: Cho hµm sè y (x m)3 3x (1)





Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hồnh
độ x = 0.

Bµi 4: Cho hµm sè 4 2 2 2 1 (1)



x m x
y

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác vng.

Bµi 5: Cho hµm sè (1)

1
)

1
(









x

m
x
m
x
y

CMR với m bất kỳ đồ thị ( Cm ) ln ln có điểm cực

trị và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20.
Bài 6: Cho hàm số 4 2 2 2 1 (1)




x m x

y .

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi
m=1

2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác vng cân.

Bµi 7: Cho hµm số y=mx3-(2m-1)x2 + (m-2)x - 2.

1) Khảo sát khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số đồng biến với x.
Bài 8: Cho hàm số y =

2 3

x x m

x

1) Khảo sát khi m = 2.

2) Tìm m để hàm số đồng biến với  x (3, +).
Bài 9: Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5. Tìm m

để hàm số có cực trị.

Bµi 10: Cho hµm sè y = x3 + mx2 + 3mx + 5.

Tìm m để hàm số có cực trị.

Bµi 11: Cho hµm sè y = x3 + mx2 + 7x + 3.

1) Khảo sát khi m= 5.

2) Tìm m để hàm số có cực trị, viết phơng trình đờng
thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Bài 12: Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m4. Tìm m để hàm

số có ba cực trị và các điểm cực trị tạo thành một tam
giác đều.

Bài 10. Biện luận số nghiệm của phơng 
trình bằng th

Một số kiến thức cần nắm vững:

bin lun số nghiệm phơng trình F(x, m) = 0 ta có
thể biến đổi về dạng: f(x) = g(m), trong đó y = f(x) là
hàm số đã khảo sát hoặc có thể dễ dàng khảo sát cịn y
= g(m) là đờng thẳng phụ thuộc tham số m.

Với phơng pháp này ta chú ý tới cách vẽ đồ thị các hm
s cú cha du giỏ tr tuyt i:

* Đồ thị hµm sè y = f(|x|):

Đồ thị hàm số y = f(|x|) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y =
f(x) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục Oy.
+ Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục Oy và lấy đối xứng
phần bên phải qua trc Oy.

* Đồ thị hàm số y = |f(x)|:

thị hàm số y = |f(x)| đợc suy ra từ đồ thị hàm số y =
f(x) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox.

+ Bỏ phần đồ thị phía dới trục Ox và lấy đối xứng phn
phớa di qua trc Ox.

* Đồ thị hàm số

' '

ax bx c
y

a x b

 



 đợc suy ra từ đồ thị

hàm số

' '

ax bx c
y

a x b

 





(1) b»ng c¸ch:

+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (1) với '
'
b
x

a
  .
+ Bỏ phần đồ thị hàm số (1) với '

'
b

x

a

  và lấy đối
xứng phần đó qua trục Ox.

Bài tập áp dụng:

Bài 1. Khảo sát y = (x + 1)2(x - 1)2 (C). BiÖn luËn sè

nghiƯm cđa (x2 - 1)2 - 2m +1 = 0 (1).

HD: y = x4 - 2x2 + 1.

Bµi 2. Khảo sát y = x3 -3x2 + 2. Biện ln sè nghiƯm

cđa PT: x3 -3x2 + 2 = 2(
2

1
m

m


HD:

1 1 1

2


    

m

m m

m m m

1
2

m

m hoặc

1
2

m

m
.

Bài 3. Khảo sát y =

2
1
x x

x
 

 . BiƯn ln sè nghiƯm
cđa:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

HD: Đặt cosx = t (-1 t  1) th×
(1)  t2 - (m -1)t + m + 2 = 0 

2
1
 


t t

t = m.

Bài 4. Khảo sát y =

2 2

x x
x

. Biện luận số nghiệm của

phơng trình:

2 2

x x
x

= m.
Bài 5. Khảo sát y =

2 2

x x

x

. BiƯn ln sè nghiƯm
cđa PT: x2 + 3x + 2kx - 1= 0 (1).

HD: (1)

2 2



x x

k

x .

Bài 6. Khảo sát y =

1
1
x

x

. Biện luận số nghiệm của
PT

1
1
x

k
x

Bài 8. Khảo s¸t y = -x3 + 3x2 - 2. BiƯn ln sè nghiÖm:

x3 - 3x2 + m = 0.

Bài 9. Khảo sát y = 4x3 - 3x - 1 (C). Tìm m để phơng

tr×nh 4 x3 3 x m có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 10. Cho hàm số (1)

2
2






x
m
x
x

y

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi
m=1

b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn
[-1;0]

c) Tìm a để phơng trình sau có nghiệm:

2 2

1 1 1 1

9 t (a 2).3 t 2a 1 0

     (2)

HD:

Đặt x = 1 1 2

3 t . Điều kiÖn x  3.
(2)  x2 - (a + 2)x + 2a + 1 = 0 

2 1

x x

a
x

 




XÐt hµm sè

2 2 1

x x

y
x

 




trên [3; + ).
DS: m 4.

Bài 5. Phơng trình và hệ phơng trình
mũ - Lôgarit

1. Một số kiến thức cần nhớ:
* Một số phép toán về luỹ thõa:

 

( ) ; ; . ;

; ;

m

n m
n

a a

ab a b a a a

b b

a

a a a a a

a

 

      





   







 

    

 

  

* Một số công thức biến đổi về logarit:

1 2 1 2

1 2

log log

log ;

log ( . ) log log ;

log log log ;

log log ; log log ;

log ln lg

log ;

log ln lg

log ; ;

log

log .log .log log

b b

x

a

a a a

a a a a

b
a

b

c a

a

b

a b c a

a b x b

x x x x

x

x x

x

x x x x

x x x

x

a a a

b a c

a

b c x x



 



  



2. Phơng trình mũ:
a) Dạng cơ bản:

( )

( ) ( )

0
( ) log

( ) ( )
f x

a
f x g x

b

a b

f x b

a a f x g x



  




  

b) cã sè cã chøa Èn:





( )





( )

( ) 1
( ), ( )

( ) ( )

( ) 0
( ) ( )

cã nghÜa

f x g x

h x
f x g x

h x h x

h x

f x g x

 







 



3. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải phơng 
trình mũ:

+ Đa về phơng trình dạng cơ bản.

+ Lấy lôgarit hai vế;

+ Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện của ẩn phụ);

+ Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán nghiệm và chứng
minh nghiệm duy nhất,..

4. Phơng trình logarit:
a) Dạng cơ bản:

0 1

log ( )

( )

( ) 0( ( ) 0)
log ( ) log ( )

( ) ( )
hc

a b

a a

a
f x b

f x a

f x g x

 


  




 



  




b) C¬ sè cã chøa Èn:









( ) ( )

0 ( ) 1

log ( ) log ( )

( ) ( ) 0

f x f x

f x

g x h x

 



  

 



5. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải phơng 
trình logarit:

+ Đa về cùng cơ số;

+ t n ph giải phơng trình bậc hai;

+ Đặt ẩn phụ để giải phng trỡnh m;
+ a v dng tớch bng 0;

+ Đáng giá: Dùng BĐT, Hàm số, đoán nghiệm và chứng
minh nghiệm duy nhất,...

Một số ví dụ:

Bài 1. Giải các phơng tr×nh sau:
a) 2 .3 .5x3 x2 x1 4000;



b) 5x2 3x21 2 5 x21 3x22

  

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

c) x 3x2x (x 3) ;2

  

d) 2 5 1 2 5

4x x 12.2x  x  8 0

   ;

e) 6.9x 13.6x 6.4x 0;

   §S: x = 1;

f) (5 24)x (5 24)x 10;

    §S: x = 1;



5 21



x 7 5



21



x 2x3

    ;

g) ( 15)x 1 4x

  ; §S: x = 2.

h) 23x 32x 7x 14x 2

;

Bài 2. Giải các phơng trình sau:
a) logx 2.log (2 x 6) 1 ;
b) log (9 2 ) 32 x

x    ;

c) log3x7(4x212x9) log 2x3(6x223x21) 4
d) log22 x(x1) log2x 6 2 ;x

e) 27log2xxlog 32 30;
f) log5xlog (7 x2);

g) 4 8

6 4

2 log ( x x) log x;
h) log (3 x2 3x13) log 2x;
i) log (3 x2 x 1) log 3x2x x 2;
j)

3 2

log 3 2

2 4 5

x x

 



;

Bài 3. Giải các hệ phơng trình sau:
a) log (3 2 ) 2

log (3 2 ) 2
x

y

x y

y x

 





 




;

2 2 2

3 3 3

log 3 log log

2
2

log 12 log log

3
x

x y y

y

x x y



  





   




c) log (2 2 2 ) log (3 ) 1
3

x y x y

x y

   




 



;

d) 2 2 (log2 log )(2 1)
1

x y

e e y x xy

x y

    




 




;
Mét sè bµi lun tËp:

Bµi 1: Cho phơng trình

0
1
2
1
log

log 2

3
2

3 x x m

1) Giải phơng trình khi m=2.

2) Tỡm m phng trỡnh cú ít nhất một nghiệm thuộc



1;3 3



.

HD: m thuéc [0;2]

Bµi 2:

4 log

2

5 )

(

log

2
4

2
2
2

y

x

y

x

đs (4,4)

Bài 3: log ( 1) log (4 )

4
1
)
3
(
log
2
1

2
8

2 x  x  x

HD: §K x>0 Và x 1
ĐS x=2 , x2 3 3.

Bài 4: log5 x.log3 xlog5x.log3 x

HD: dổi cơ số x=1 va x=15
Bài 5:

2 2

log ( ) log 3

2 2

9 3( ) (1)

3 3 6 (2)

xy

x y y x

 




 

DH: lôgarit hai vế phơng trình (1) theo cơ số 3.
Bài 6:

x

1)
(
log3

HD: ĐK x>-1

TH1: -1<x<=0 phơng trình vn.
TH2: x>0 dỈt y=log3(x+1)

Suy ra 1

3
1
3
2















 y y PP hµm sè.

Bµi 7: 2 3

2 3 2

log x x

x
x










 

HD: VP <= 1 víi x >0 BBT.
 VT >=1 C«si trong loggrit
ĐS x =1.

Bài 8:

y

x
x
x

x

2

4

5

2

1
2
3

ĐS (0,1) (2,4)

Bi 9: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc [32,
+)



log 3



3
log

log 2

4
2

2
1
2

2x x  m x 

HD: Đặt t = log x2 (t 5.)

1 3

3
m

m
t

 






 



Bµi 10















3

2 log

y
x

x

y

xy

y

HD ĐK x,y>= và khác 1
BĐ (1) đợc

TH1: y=x thay vµo (2) cã nghiệm.
TH2: 2

y

x thay vào (2) CM vô nghiệm chia 
thành 2 miền y >1 và 0<y<1.

Các bài tËp tù luyÖn:

1) x x x

x 2

3
2

3 log

2
1
3
log
log

.
3

log  
















2) 2



log



2 log3 .log3( 2 1 1)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



















0 log

0

3

4 x

y

x

§K x, y1 (1,1)(9,3)





















3 )

5

3

2 (

log

3 )

5

3

2 (

log

2
3

x

y

x

y
x



















25

1 )

1 (

log

)

(

log

2
2

4
4

x

y

x

y

KA 2004 (3,4)

6) log (2 1).log (2 1 2) 6

2   



x

x . ĐS x=log

23.

7) logx

log3(9x 6)

8) Giải phơng tr×nh log ( 2 1) log ( 2 2 )

2
2

3 x  x  x  x

























x

y

x

y

x

x
y

x 1

2
2

2

10)






















0

6 )

(8

1

3 ).

(

4
4

y
x
x
y

y

x

y

x

11) Tìm m để phơng trình 4



log



log 0

2
1
2

2 x xm

có nghiệm thuộc khoảng (0;1).
12) Giải hệ phơng tr×nh:

2 2

1 1

log (1 2 ) log (1 2 ) 4

log (1 2 ) log (1 2 ) 2

x y

y y x x

y x

 

      




   




Bµi 6: BÊt phơng trình và hệ bất phơng trình mũ - 
lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ:
* Bất phơng trình mũ:

( ) ( ) 1: ( ) ( )

0 1: ( ) ( )

f x g x a f x g x

a a

a f x g x

 



  

  





( )



( )



( )



( ) ( ) 0

[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0

f x g x h x

h x h x

h x f x g x




  

  





( )



( )



( )



( ) ( ) 0

[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0

f x g x h x

h x h x

h x f x g x






* Bất phơng trình logarit:

1: ( )
log ( )

0 1: 0 ( )

1: 0 ( )
log ( )

0 1: ( )

b

a b

b

a b

a f x a

f x b

a f x a

f x b

a f x a

  

  

   



   

  

  



1: ( ) ( ) 0
log ( ) log ( )

0 1: 0 ( ) ( )

a a

a f x g x

f x g x

a f x g x

  



  

   



( ) ( )

log ( ) log ( )
( ) 0

[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x g x f x h x

f x

f x g x h x




 

  


Mét sè vÝ dô:

VÝ dô 1. Giải các bất phơng trình sau:
a) 2 5 6 2

1 1

;
3
3 x  x  x

b) (4x2 2x 1)x2x 1

   ;

c) 9x 3x 2 3x 9
    ;
d) 2.49x2 9.14x2 7.4x2 0;

  

2 2 1

2 1

x
x

x

;

Ví dụ 2. Giải các bất phơng trình sau:

a) 1 2 5

log (x 6x8) 2log ( x 4) 0 ;
b) log log (3x 9 x 9) 1;

c) 2 1 1

log (4x 4) x log (2x 3)

    ;

d) 2 2

4 2

log (2x 3x2) 1 log (2  x 3x2);
e) 2

6 6

log log

6 x x x 12

  ;

Bµi tËp lun tËp:

Bài 1: Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm

2 3

2 2

1 3 0 (1)

1 1

log log ( 1) 1 (2)

2 3

x x k

x x

  

HD: ĐK x > 1.
Giải (2) 1< x ≤ 2.

BBT: f(x) = (x -1)3 -3x. §S k > -5

Bµi 2:

0
6
log
)
1
(
log
2

log 2

4
1
2

1 x x  

Bµi 3:

1
))
27
9
.(
(log

logx 3 x 
Bµi 4:



log ( 2 )



log 2

2
4




 x x

x



Bµi 5: ( 1)log (2 5)log 6 0

2
1
2

1    

 x x x

x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

 đặt t bằng log của x coi là phơng trình bậc 2 ẩn 
t.

 Chó ý so s¸nh 2 trờng hợp t1, t2
 ĐS (0;2] v (x 4)

Bài 6: Giải bất phơng trình x x
x 2 log2

2
3
log

2
1

2 

Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2.
Bài 7. Tìm m để phơng trình:

m9x (2m 1)6x m.4x 0 (1)

   

nghiệm đúng với mọi x  [0; 1].
Bài 8: Giải bất phơng trình

0
1

)
3
(
log
)
3
(

log 3

3
1

2
1

x

x
x

Bài 9: Giải bất phơng trình
2

4 2

1 1

log (x 3 )x log (3x1)
Bài 10. Giải bất phơng trình

1
2
9

2
2

x
x
x

x

Bài 11. Giải bất phơng trình:

2 1 2

1 1

9. 12

3 3

x x

   

 

   

   

(1)

Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất
phơng trình:

2x2 + (m + 2)x + 2 - 3m < 0 (2)

Bài 12. Giải bất phơng trình:

xlg(x2 x 6) 4 lg(  x2)

TÝch ph©n - diƯn tÝch- thĨ tÝch
Mét sè kiÕn thøc cần nắm vững:

1. Bng nguyờn hm ca cỏc hm s.
2. Các phơng pháp tính tích phân:
a) Phơng pháp đổi biến số:

* Lo¹i 1:

 D¹ng: a2 x dx2









2 2

dx
a x









đặt x = asint.

 D¹ng: 2dx 2
x a









đặt x = atgt, 2 2

( )

dx
ax b c







 

đặt
tg

ax b c t  .

* Lo¹i 2: ( ( )) '( ) .
b

a

f u x u x dx

Đặt t = u(x).

+ Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx.
+ Ta cũng có thể biến đổi:

( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))

b b

a a

f u x u x dx f u x d u x



b) Ph¬ng pháp tích phân từng phần:
Dạng: ( )sin ,

b

a

P x xdx



( )cos ,

b

a

P x xdx



( ) ,

b

x
a

P x e dx



Đặt

u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx).

 D¹ng: 2 , 2 ,

cos sin

b b

a a

x x

dx dx

x x



Đặt u = x, dv = 2
cos

dx

x hoặc dv = 2

sin
dx

x .
3. Một số tích phân thờng gặp:

a) Tích phân hữu tỉ: ( )
( )
b

a
P x

dx
Q x

P(x), Q(x) là các đa
thức.

+ Nu bc P(x)  bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phơng pháp đổi

biến hoặc phơng pháp hệ số bất định.

b) Tích phân chứa các hàm số lợng giác.
+ Nắm vững các công thức biến đổi.
c) Tích phân hồi quy:

 D¹ng sin ,
b

x
a

e xdx

cos .

b
x
a

e xdx

Đặt u = sinx (u = cosx), dv = exdx. Tích phân từng phần

2 lần.

Dạng: sin(ln ) , cos(ln ) .

b b

a a

x dx x dx



Đặt u = sin(lnx) (u = cos(lnx)), dv = dx. Tích phân từng
phần 2 lần.

d) TÝch ph©n hàm số chẵn, lẻ:

Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:
+ y = f(x) chẵn thì

( ) 2 ( )

a a

a

f x dx f x dx







+ y = f(x) lẻ thì: ( ) 0
a

a

f x dx

e) Tích phân dạng ( )
1
x
f x

dx
a

trong ú f(x) l hm s

chn.

Cách giải: Tách thành 2 tích phân :

( ) ( ) ( )

1 1 1

x x x

f x f x f x

dx dx dx

a a a

 

 

 

  



XÐt tÝch ph©n

( )
1
x
f x

dx
a









đổi biến số x = -t.

Kết quả ta đợc

( )

( )
1

x

f x

dx f x dx
a

 









f) TÝch ph©n d¹ng:

0 0

( ) ( )

a a

f a x dx  f x dx



trong đó

f(x) lµ hàm số liên tục trên [0; a].
Đổi biến x = a - t.

Các ví dụ

Bài 1: Tính tích phân

0
2

1dx
x

x
I

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 2: Tính tích phân

3
ln

0 ( 1)3

dx
e

e
I

x
x

HD: đa về dạng 
b

a
u du



. §S I 2 1

Bài 3: Tính tích phân









2 1 )

(e x dx
x

I x

HD T¸ch thành 2 tích phân.
ĐS I=3/4e-2 - 4/7

Bài 4: TÝnh tÝch ph©n







5
61 cos3 .sin .cos


dx
x

x
I

HD: t =6 3

1 cos x  cos3x = 1- t6. 
ĐS I =12/91

Bài 5: Tính tích ph©n






3
2

5 . 2 4

dx
x

x
I

HD: nhân cả tử và mẫu với x rồi đặt 2 4


 x

t .

ĐS I=1/4.ln5/3

Bài 6: Tính tích phân

01 cos2

dx
x
x
I

HD:Đa về dạng tích phân từng phần.
 ĐS I = /8-1/4.ln2

Bài 7: Tính tích phân

3 1 x dx

x
I

Bài 8: Cho hµm sè bxex

x
a
x

f .

)
1
(
)

( 3 



 Tìm a,b biết

rằng f(0) = -22 và

5
)

( dxx
f

Bài 9: TÝnh tÝch ph©n






cos
1
.
cos



dx
x
x

tgx
I

HD: Biến đổi về dng

2 2

cos . 1

tg
tg
x

I dx

x x

Đặt t 1 tg2x

Bài tập áp dụng

1) Tính tích phân






1
3

1
dx
x
x
I

2) TÝnh tÝch ph©n 





8
ln

3
ln

1e dx
e

I x x

3) TÝnh tÝch ph©n







cos
)
1
2
(



xdx
x

I

4) TÝnh tÝch ph©n






1
2

1
ln
ln
e

dx
x
x

x
I

5) TÝnh tÝch ph©n







sin cos )cos

(



xdx
x

e

I x

6) TÝnh tÝch ph©n









0
2
4

4
1dx

x

x
x
I

7) TÝnh tÝch ph©n







0 3 1

2
dx
x
x
I

8) TÝnh tÝch ph©n







sin cos )

(



dx
x
e

tgx

I x

9) TÝnh tÝch ph©n





2 . .

sin



dx
tgx
x
I

10) TÝnh tÝch ph©n





cos sin2 .


dx
x
e

I x

11) TÝnh tÝch ph©n








cos
1

sin
.

dx
x
x
x
I

12) TÝnh tÝch ph©n







0 2

3
5

2 dx
x

x
x
I

13) TÝnh tÝch ph©n 



e

dx
x
x
I

2ln .

14) TÝnh tÝch ph©n

2 2

4 3
I 



x  x dx

15) TÝnh tÝch ph©n 4

sin 2 cos
1 cos

x x

I dx

x








16) TÝnh tÝch ph©n:

1 4

2
1

sin
1

x x

I

x










17) TÝnh tÝch ph©n

sin
2x 1

x

I dx











18) TÝnh tÝch ph©n 2

2 2
1

( x sin )

I e x e x dx









19) TÝnh tÝch ph©n

1 2

1
1
x

x

I dx

e










20) TÝnh tÝch ph©n 2

sin
4 cos

x x

I dx

x








4. DiƯn tÝch:

* Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a; b]. Trong
đó phơng trình: f(x) - g(x) = 0 vơ nghiệm trên [a; b].

( ) ( )
b

a

S



f x  g x dx

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

đó phơng trình: f(x) - g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x
= x0 trên [a; b].

( ) ( ) ( ) ( )

x b

a x

S



f x  g x dx



f x  g x dx

* Bài tốn 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x).

GPT: f(x) - g(x) = 0, đợc các nghiệm x = a, x = b.
( ) ( )

b

a

S



f x  g x dx
5. ThÓ tÝch:

* Quay quanh Ox:

( )
víi

b

a

V 



y dx yf x
* Quay quanh Oy:

2 ( )

víi
b

a

V 



x dx x g y
C¸c vÝ dơ :

Bài 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi phép
quay xung quanh trục ox của hình phẳng giới hạn bởi
trục Ox và đờng y 2sinx(0x).

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng :

3
,

3
4






x x y x

y

Bài 3: Tính diện tíc hình phẳng giới hạn bởi các đờng
2

4
,
4
4

2 x

y
x

y  

§S:

Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y =
-x2 + 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và Oy.

Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = x3 - 3x và tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hồnh

độ x = -1

Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số và các tiếp tuyến của đồ thị kẻ từ điểm 5; 1

2
M   

 

M.
Bài 7. Tính thể tích các vật thể trịn xoay tạo nên do
hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau đây quay quanh
Ox:

1) y = x3, y = 0, x = 0, x = 1.

2) y = -3x2 + 3x + 6, y = 0.

Bài 13. Hình học phẳng
Một số kiến thức cần nắm vững:
+ Toạ độ của vectơ, của điểm;

+ Tích vơ hớng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ, độ dài
vectơ, độ dài đoạn thẳng.

+ Phơng trình đờng thẳng;

+ Các đờng bậc hai trong mặt phẳng: Đờng trịn, elíp,
hypebol, parabol. Với mi ng cn nm vng:

Dạng phơng trình chính tắc, c¸c u tè;

 Phơng trình tiếp tuyến của mỗi đờng, điều kiện
để một đờng thẳng là tiếp tuyến của mỗi đờng.
Một số bài tập luyện tập:

PHẦN 1: ĐƯỜNG THẲNG

Baøi 1: Cho tam giaùc ABC: A(2;0), B(4; -1), C(1; 2).

a) Tính góc BAC. Tìm chu vi và tính diện tích tam
giác.

b) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm ngoại I.
Chứng minh G, H, I thẳng hàng.

HD: a) ABC 143 7 '48''0 , 2p = 2 5 3 2

 , S = 3
2.
b) G(7/3; 1/3), H(-2; -4), I(-9/2; -5/2).

Bài 2: Trong mp Oxy cho điểm B trên đường thẳng x 
+ 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0

a) Xác định tọa độ B và C sao cho tam giác OBC
vuông cân đỉnh O.

b) Xác định tọa độ B; C sao cho OBC là tam giác

đều.

HD: a) B(-4; -3), C(3; -4) vµ B(-4; 3), C(3; 4)
b)

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm 
A(5 ; 5), B(1 ; 0), C(0; 3). Viết phương trình đường
thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A và cách B một khoảng bằng 4.
b) d đi qua A và cách đều hai điểm B, C.
HD: a) x - 5 = 0 vµ 9x - 40y +165 = 0.
b) y = 5 vµ 5x - 3y -10 = 0.

Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường 
thẳng d: x + 2y – 6 = 0 , d’: x – 3y +9 = 0.

a) Tính góc tạo bởi d và d’. Tính khoảng cách từ
M(5;3) đến hai đường thẳng d và d’.

b) Viết phương trình các đường phân giác của các
góc tạo bởi d và d’. Tìm phân giác góc nhọn.
c) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’. Tìm phương
trình d’’ đối xứng với d qua d’.

HD: a) (d; d’) = 450; d(M, d) = 5; d(M, d’)= 2 5

2 .
b) ( 2 1) (2 2 3) 6 2 9 0 (1)

( 2 1) (2 2 3) 6 2 9 0 (2)

x y

      



     



;

LÊy N(6; 0) d; d(N, (1)) < d(N, (2))  (1) lµ phân giác
của góc nhọn.

c) I(0; 3); d: 2x - y + 3 = 0 (d’’ là đờng thẳng qua I
hợp với d’ một góc 450).

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường 
thẳng a: 3x – 4y + 25 = 0, b: 15x + 8y – 41 = 0.
a) Viết phương trình các đường phân giác của các góc
hợp bởi hai đường thẳng a, b

b)Gọi A, B lần lượt là giao điểm của a, b với Ox, I là
giao điểm của a, b. Viết phương trình phân giác trong
của góc AIB.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

HD: a) 3 4 25 15 8 41

5 17

x y x y


b) A(-25/3; 0), B(41/15; 0). So sánh vị trí của A, B với
hai đờng phân giác.

3 3 83

3 0

70 14
3 3 83

3 0

70 14
x y

x y


   





   




Bài 6: Tam giác ABC có A(-1 ; - 3), các đường cao có
phương trình BH: 5x + 3y –25 = 0; CH: 3x + 8y – 12
= 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và
đường cao còn lại.

HD: AB: 8x - 3y - 1 = 0, AC: 3x - 5y - 12 = 0; BC: 5x
+ 2y - 20 = 0. AH: 2x - 5y - 13 = 0.

Bài 7: Trong hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6), 
B(-3; -4), C(4 ; 1) và đường thẳng d: 2x – y – 1 = 0.
a) Chứng minh rằng A, B nằm về cùng một phía; A,
C khác phía đối với đường thẳng d.

b) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.

c) Tìm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất,
|MA - MB| ln nht.

HD: b) M là giao điểm của A'B với d. ĐS: M(0; -1)
c) MA MB ABdấu "=" xảy ra M, A, B thẳng

hàng M là giao ®iĨm cđa AB víi d. M(-9; -19)

Bài 8: Cho A(1 ; 1), B(-1 ; 3) và đường thẳng d: x + y 
+ 4 = 0.

a) Tìm điểm C trên d cách đều hai điểm A, B.

b) Với C vừa tìm được, tìm D sao cho ABCD là hình
bình hành. Tính diện tích hình bình hành đó.

HD:a) chun d vỊ PT tham sè.
b)

Bài 9:

a) Tìm phương trình đường thẳng qua A(8 ; 6) và tạo
với hai trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 12.
b) Lập phương trình đường thẳng qua A(2 ; 1) và tạo
với đường thẳng 2x + 3y + 4 = 0 góc 450.

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A có BC: 3x – y + 
5 = 0, AB: x + 2y – 1 = 0. Lập phương trình AC biết
AC đi qua điểm M(-1 ; 3).

PHẦN 2: ĐƯỜNG TRÒN

Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn 
(T) có phương trình: x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0.

a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường trịn

(T).

b) Với giá trị nào của b thì đường thẳng y = x + b có
điểm chung với đường trịn (T)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn song
song với đường phân giác góc x’Oy.

d) Viết phương trình các tiếp tuyến với (T) đi qua
điểm M (5 ; -3).

Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm 
A(1 ; 2), B(5 ; 3), C(-1 ; 0).

a) Viết phương trình đường trịn tâm B và tiếp xúc
với đường thẳng AC.

b) Tìm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tâm
và tính bán kính của đường trịn đó.

c) Viết phương trình đường trịn đi qua A, C và có
tâm trên Ox.

d) Viết phương trình đường trịn đi qua A, B và tiếp
xúc với trục Oy.

Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác 
ABC với A(5 ; 4), B(2 ; 7), C(-2 ;-1).

a) Tìm tọa độ trựïc tâm H của DABC và viết phương

trình các đường cao AE, BF của nó.

b) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tứ giác
ABEF.

Bài 14: Cho đường tròn (T) có phương trình: x2 + y2 –

2x + 4y – 20 = 0.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (T) tại các điểm
A(4 ; 2), B(-3 ; -5).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (T) đi qua C( 6 ;
5).

c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (T) và (T’)
có pt: x2 +y2 -10x + 9 = 0.

d) Với giá trị nào của m thì (T) tiếp xúc với đường
trịn (T’’) có pt: x2 + y2 – 2my = 0.

HD:

PHAÀN 3: CONIC

Bài 15 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elíp (E) có

phương trình: 1

25
,
6

2
2


 y

x

a) Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tính tâm
sai,viết phương trình các đường chuẩn của Elíp đó.
b) Tìm tung độ của điểm thuộc (E) có x = 2 và tính
khoảng cách từ các điểm đó tới hai tiêu điểm.
c) Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b có
điểm chung với Elíp.

d) Viết phương trình các tiếp tuyến với (E) song song
với đường thẳng 2x – y + 1 = 0.

e) Viết phương trình các tiếp tuyến với (E) đi qua M (

5
; 4
2

- ).

Bài 16: a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương 
trình chính tắc của elíp (E) có một tiêu điểm F2(5 ; 0)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) Hãy tìm tọa độ các đỉnh và tiêu điểm F1 và tính

tâm sai của (E).

c) Tìm điểm M trên (E) sao cho MF1= MF2.

Bài 17 : Cho Elíp 2 2 1
18 2

x y

+ = (E), với F F1, 2 theo thứ

tự là tiêu điểm trái, phải của (E).
a) Tìm MỴ ( )E sao cho MF1 =5MF2.

b) Tìm M Ỵ ( )E sao cho · 0

1 2 60

F MF = .

Bài 18 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm 
F1(-7 ; 0), F2(7 ; 0) và điểm A(- 2 ; 12).

Viết phương trình chính tắc của Elíp đi qua A và có
tiêu điểm F1, F2.

Bài 9:

Tìm quỹ tích các điểm M từ đó kẻ được hai tiếp
tuyến vng góc với nhau tới (E): 1

3
6

2
2

y
x

.
Bài 14: Hình học không gian

Một số kiến thức cần nắm vững
Cho hai vectơ: a x y z( ; ; ), ( ; ; )1 1 1 b x y z 2 2 2

+ TÝch v« híng: a b x x .  1 2y y1 2z z1 2.

+ Góc giữa hai vectơ 2 1 22 21 2 2 1 22 2

1 1 1 2 2 2

cos( , )

.
x x y y z z
a b

x y z x y z
 


   

 

+ TÝch cã híng cđa hai vect¬:

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

[ , ]a b y z , z x , x y

y z z x x y

 

 

 

 

+ K/c giữa 2 điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB):

2 2 2

B A B A B A

AB = (x - x ) +(y - y ) +(z - z )
+ DiÖn tÝch ABC: 1|[ , ] |

2
ABC

S                AB AC

+ §êng cao AH cña ABC: AH | [AB AC, ] |
BC


 

+ ThĨ tÝch h×nh hép: VABCD A B C D. ' ' ' ' [AB AC AA, ]. '
  

+ ThĨ tÝch tø diƯn ABCD: 1 [ , ].
6

ABCD

V  AB AC AD

  

+ mp() cã cỈp vtcp u x y z u x y z( ; ; ), '( '; '; ') cã vtpt:

, ' ; ;

' ' ' ' ' '

y z z x x y

n u u

y z z x x y



+ Đờng thẳng cã pttq: Ax + By + Cz + D = 0
A'x + B'y + C'z + D' = 0





cã vtcp: B C ; C A ; A B
B' C' C' A' A' B'

u 

 



+ K/c từ điểm M(x0; y0; z0) đến mp():

Ax + By + Cz + D = 0

0 0 0

2 2 2

| Ax + By + Cz + D |
d(M, ( )) =

A + B + C


+ K/c từ điểm M1 đến đường thẳng  qua M0 có vtcp u


: d(M , ) =1 | [M M , ] |0 1

| u |

u


 


+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và
’:

'
0

'
'

| [ , ].M M |
d( , ) =

| [u, ] |
u u

u

+ Đờng tròn (C)là giao của mặt cầu (S) và mp():

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

x a y b z c R

Ax By Cz D

      



  

Có tâm H là hình chiếu của I trên mp(), cã b¸n kÝnh r
= R2 d2 víi d d I( ,( )) .

Mét sè bµi tËp lun tËp:
Bµi 1: Trong hƯ trơc Oxyz cho

1
2

1
1

)

(d1 x y z ( 2) 1 1

1 2 3

x y z

d    



1) CMR 2 đờng thẳng trên chéo nhau và vng góc với
nhau.

2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả 2 đờng thẳng
trên và song song với đờng thẳng

2
3
4

4
)
(








 x y z .

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2

đ-ờng thẳng

2
1
1
:

z
y
x

d

t

z

t

y

t

x

d

1

2

1 :

a) Xột vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng trên.

b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho

MN song song với mặt phẳng (P) x-y+z=0 và

MN .

ĐS:

Bài 3: Trong hệ trục Oxyz cho mặt cầu: 
(S) ( 1)2 ( 1)2 ( 1)2 9

y z

x và mặt phẳng:

(P) 2x + 2y + z - m 2 - 3m = 0.

Tìm m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm đợc
hãy xác định toạ độ tiếp điểm.

Bài 4: Trong hệ trục Oxyz cho A(0;1;1) B(1;0;0) 
C(1;2;-1). Tìm toạ độ tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác
ABC.

Bµi 5: Oxyz cho ( ) 1 3 / 2

2 1 2

x y z

d    

(S) 2 2 2 4 6 0







y z s y m

x

Tìm m để mặt cầu (S) cắt đờng thẳng (d) tại M,N sao

cho MN = 9.

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các 
điểm A(2;0;0) B(2;2;0) S(0;0;m)

a) Khi m=2, tìm toạ độ điểm C đối xứng với gốc toạ độ
O qua mặt phẳng SAB.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các 
điểm A(1;1;1) B(1;2;0) và mặt cầu (S) có pt:

x2y2z2 6x 4y 4z13 0

a) ViÕt phơng trình mặt phẳng chứa AB và tiếp xúc với
(S).

b) Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S), song song với
AB và khoảng cách giữa (P) và AB nhỏ nhất (lớn
nhất).

HD: + sử dụng phơng pháp chùm mặt phẳng qua AB.
+Tìm M thuộc (S) sao cho k/c (M,AB) nhá nhÊt, (P)
tiÕp xóc víi (S) tại M.

Bài 8: Trên hệ trục Oxyz cho A(2a;0;0) B(0;2b;0) 
C(0;0;2c) a,b,c>0.

a) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC).

b) Tớnh th tớch khi t din OABE với E là chân đờng

cao từ E trong tam giác ABC.

Bài 9: Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Biết 
S(3;2;4) B(1;2;3) D(3;0;3).

a) Lập phơng trình đờng vng góc chung của AC và
SD.

b) Gäi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lập phơng
trình mặt phẳng qua BI và song song với AC.

c) Gọi H là trung điểm BD, G là trc tõm tam giỏc SCD
Tớnh di HG.

Bài tập áp dông:

1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ
đứng OAB.O1A1B1 với A(2;0;0) B(0;4;0) O1(0;0;4).

a) Tìm toạ độ các điểm cịn lại. Viết phơng trình mặt
cầu đi qua 4 điểm O,A,B,O1 .

b) Gäi M là trung điểm AB. Mặt phẳng (P) qua M
vuông góc với O1A và cắt OA , AA1 lần lợt tại N, K.

Tớnh di on KN.

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập
phơng ABCD. A’B’C’D’ Với A(0;0;0) B(2;0;0)
D’(0;2;2).

a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình lập
ph-ơng. Gọi M là trung điểm BC. CMR (AB’D’) và
(AMB’) vng góc với nhau.

b) CMR tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đờng thẳng
AC’ với N khác A tới (AB’D’) và (AMB’) không
phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

3) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AC cắt BD
tại gốc toạ độ O. Biết A ( 2; 1;0) , B( 2; 1;0) ,
S(0;0;3).

a) Viết phơng trình mặt phẳng qua trung điểm M của
cạnh AB, song song với 2 đờng thẳng AD và SC.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vng góc với

SC. TÝnh diƯn tích thiết diện của hình chóp S.ABCD
với mặt phẳng (P).

4) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng
thẳng :

2
1
1

2
3

1
:








 y z

x

d 2 : 12 10

3 1 2

x y z

d    

 

a) CMR 2 đờng thẳng trên song song với nhau. Viết
phơng trình mặt phẳng (P) chứa cả 2 đờng thẳng
trờn.

b) Mặt phẳng (Oxz) cắt d1, d2 tại A, B TÝnh diÖn tÝch

tam giác OAB.
5) Cho 2 đờng thẳng

:( )1 23 10 ( 2) 3 2

8 4 1 2 2 1

x y z x y z

d     d    



a) CMR đờng thẳng d1 và d2 chéo nhau.

b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả 2 đờng thẳng
trên và song song với Oz.

6) Cho 2 điểm A(2;-1;1) B(-2;3;7) và đờng thẳng
3

1
2

2
2

2
:









 y z

x
d

a) CMR đờng thẳng d và đờng thẳng AB cùng thuộc 1
mặt phẳng.

b) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA+IB nhỏ nhất.
7) Cho 2 điểm A(2;4;1) B(3;5;2) và đờng thẳng:

1
( ) : 3




   

 


x

y t

z t

a) Xét vị trí tơng đối gia AB v ().

b) Tìm điểm M thuộc thuộc () sao cho MA MB
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

đạt
GTNN.

8) Cho 3 ®iĨm A(2; 0; 1) C(1 ; 0 ;1) B(2 ; -1; 0) và
đ-ờng thẳng:

( ) :

1 2 3
x y z
d

T×m ®iÓm M thuéc thuéc (d) sao cho
MA MB MC 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

đạt GTNN

9) Trong hƯ trơc Oxyz cho A(2; 0 ; 0) C(0 ; 4; 0) S(0 ;
0 ; 4).

a) Tìm toạ độ B thuộc Oxy sao cho OABC là hình chữ
nhật. Viết phơng trình mặt cầu đi qua 4 điểm O, B,
C, S.

b) Tìm toạ độ điểm A1 xứng A qua SC.

10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vng cạnh a, SA vng góc với (ABC) và SA = a, E
là trung điểm CD. Tính theo a khoảng cách từ S tới
BE.

11) Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng:

1 2

2 1

( ) : 2 3 ,( ) : 2

4 1 2

  

 

 

       

    

 

x t x t

y t y t

z t z t

a) LËp PT mp(P) chøa (1) vµ song song víi (2).

b) Cho M(2; 1; 4). Tỡm to H ((2) sao cho di

đoạn thẳng MH là ngắn nhất.

Bi 3: H phng trỡnh i số
 Một số loại hệ ph ơng trình th ờng gặp :
 I)Hệ đối xứng loại I

1) D¹ng: Hệ phơng trình

0 )

;

(

0 )

;

(

y

x

g

y

x

f

l h i xng

loại I nếu

)

;

(

)

;

(

)

;

(

)

;

(

x

y

g

y

x

g

x

y

f

y

x

f

2)Cách giải : - Đặt x y S
xy P

 







. §K: 2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- BiĨu thÞ hƯ qua S vµ P .

- Tìm S ; P thoả mÃn điều kiện S2 4P

 .
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phơng trình :

2 StP

t . Từ đó có nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý 1 :

+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng
của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy hệ có
nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y.

+) HÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi hƯ S, P cã nghiƯm S, P
tháa m·n S2 4P

 .

+) Khi S2 4P

 th× x = y = -S/2

VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi chØ khi cã duy nhÊt
S, P tháa m·n S2 4P

 .

Chó ý 2 :

Nhiều trờng hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá
trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem có thoả
mãn hay không - (Đ/K đủ).

II) Hệ đối xứng loại II 
1)Hệ :









0 )

;

(

0 )

;

(

y

x

g

y

x

f

là hệ đối xứng loại II nếu :

)
;
(
)
;

(y x g x y

f

2)Cách giải :

+)i vi hu ht cỏc h dng này khi trừ 2 vế ta đều

thu đợc phơng tình :

(x-y).h(x;y) = 0

Khi đó hệ đã cho 0 ( ; ) 0

( ; ) 0 ( ; ) 0

x y h x y

f x y f x y

  

 

   

 

 

( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ 2 vế
cha xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận tiếp mới
có điều này).

+) Phơng pháp điều kiện cần và đủ:

Phơng pháp này đ ợc áp dụng tốt cho hệ đối xứng với
u cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm duy nhất.

Đ/k cần:

Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ có
nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ, do đó

hÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi x0 = y0 (1)

Thay (1) vào một phơng trình của hệ, tìm đ/k của tham
số để pt` có nghiệm x0 duy nht ,ta c giỏ tr ca tham

số. Đó là đ/k cÇn.

Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi
kết luận.

III) Hệ nửa đối xứng của x và y 
1)Dạng hệ:









)2

(;

0 )

;

(

)1

(

);

;

(

)

;

(

y

x

g

x

y

f

y

x

f

(Tøc lµ cã 1 ph¬ng

trình là đối xứng )
2)Cách giải:

Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phơng trình
tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho tơng đơng
với:











)2

(;

0 )

;

(

0 )

;

(

).

(

y

x

g

y

x

h

y

x



























0 );

(

0 );

(

0 );

(

0 yx

g

yx

h

yx

g

y

x

Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng

VÝ dơ :





























5

2 ty

yt

tx

xy

yx

IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y 
1) Hệ phơng trình









0 )

;

(

0 )

;

(

y

x

g

y

x

f

đợc gọi là hệ đẳng cấp

bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do) u
cú bc l 2.

2) Cách giải :

* Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này thờng dùng
khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở số hạng tự
do cho đơn giản)

* C¸ch 2) Khư x2 ( víi y  0 ) hoặc y2 (với x 0):

(Cách này thờng dïng khi hÖ cã chøa tham sè).
VI. Mét sè hÖ ph ơng trình khác.

*) Cách giải: Để giải hệ phơng trình không mẫu mực ta
thờng áp dụng một số pp :

+ Phân tích thành tích có vế phải bằng 0.
+ i bin (t n ph)

+ Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số.
Một số ví dụ:

1. H i xng I:

Giải các hệ pt sau đây :

2 2

11
1)

30
xy x y
x y xy

  




 



5; 6 5. 6

. 30

p s

hpt s p p s

p s

 



       





ÑS : x = 2; 3; 1; 5
2

-2 2

3 3

30
35

5; 6 (2;3) ; (3; 2)

x y xy
x y

hpt s p

  




 




</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

4 4

2 2

1
3)

11 1

0; 2 (0;1);(1;0)

( 2 ) 2 1

x y
x y

p s s

hpt

p p

s p p

 




 



  

 

 

  

   



3
3

4) : ; 0; ; .

. 30

125, 5 6

3 35

x y y x

HD x y s x y p x y

x x y y
p s

hpt s s p

s sp

  



   



 







       

 



Vậ
y Hpt có ngh ( 4;9) ; ( 9;4).

5- cho: 5(x xyy) 4xy xy1 m4

   



a) Tìm m để hpt có nghiệm.

HD: Giải hệ S ;P ta được S= 4m ;p = 5m-1
ĐK : S2-4p 0  1; 1

m m .
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
ĐS: m = 1/4, m = 1.

6) a-Cmr: Hpt có ngh với mọi m :

2 2 2

2 1

x y xy m

x y xy m m

   




  



b) Tìm m hpt có nghiện duy nhất .
HDĐS :

a- 2

1 1 2 2

2 1

; 1 1.

p s m

hpt

p s m m

s m p m s m p m

  


 

 



       

ĐS:hệS1,P1 Vn ; S22  4P2 (m1)2 0.

Vậy: HPt có nghiệm với mọi m.
b-HPT cã ngh duy nhÊt  2

2 4 2 0

S  P  

(m 1) 0  m1.
=> x = y = 1 Vaọy : (1;1).
2. Hệ đối xứng loại II:
Giaỷi heọ pt :

3
3

3 8

1 :

3 8

x x y

hpt

y y x

  



 

 




3 4

2 :

3 4

y

x y

x
hpt

x
y x

y


 




 

  




2 2

2 3 2

x x y

y y x

   


 

  



HDÑS :

1-Hpt

2 2

3
3

( )( 5) 0

3 8
3 8

(0;0) ( 11; 11) ( 11; 11)
x y
x y x y xy

x x y



      





 

 

 




2- ÑK : x  0 ; y  0. Hpt :

2 2

( )( 4) 0

6 4( ) 0

x y x y

x y xy x y

   




    



 (-2; -2)

3-2 2

2 2

2 3 2

x x y

y x x

   




  




Lấy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0  y=x hoặc y = 1-x.
Kết hợp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2)

Khi y = 1 -x VN .

4-1 3

1 1

2
x

y x
y

x y


 





  




Laáy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0  y = x ; y = -2/x
+ y = x : (1;1) ; (-1;-1) .

+ y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2)
3) . Hệ nửa đối xứng

VD. Gi¶i hƯ :





















1

2

1 x

y

x

Gi¶i:























































12 0)1)(

(

0.

12

0

0.

12

11

3

22

3

xy

xyyx

yx

xy

yxxyy

x

yx

xy

y

x

. 0

( ) ( )

2 1 0 2 0

x y
x y

x y I y II

x

x x x x




  



 

     

 

  

    

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

+ Ta cã I):







































2

5

1

2

5

1 )(

0

1

2 (

0 .

y

x

y

x

y

x

I

x

y

x

yx

+ Ta cã II) :

2 2 2

. 0
1
( )

1 1 3

( ) ( ) 0;( )

2 2 2

x y

II y

x

x x VN



 




  




    


4. Hệ đẳng cấp :

VD. Cho hệ phơng trình :

2 2

4 (1)

3 4 (2)

x xy y m

y xy

   




 




a) Gi¶i hƯ pt` víi m = 1

b) Tìm a để hệ có nghiệm
Giải:

C¸ch 1:

DƠ thÊy y = 0 không phải là nghiệm của hpt.
Đặt x = ty, ta cã :

HÖ 

2 2 2 2

2 2

3 4

t y ty y m

y ty

   




 





2 2

( 4 1)

(1 3 ) 4

y t t m

y t

   




 






4 1

1 3 4

(1 3 ) 4

t t m

t

y t

  








  



(I)

Do y  0 nªn tõ y2(1 - 3t) = 4  1 - 3t > 0  t < 1

3
a) Víi m = 1 ta cã hƯ :

4 1 1

1 3 4

(1 3 ) 4

t t

t

y t

  







  



Giải hệ ta đợc kq : (1 ; 4), (-1 ; -4).
b) Ta có :

(I) 

4( 4 1) (1 3 )

(1 3 ) 4

t t m t

y t

    




 





4 (16 3 ) 4 0 (*)

(1 3 ) 4

t m t m

y t

  

Đặt f(t) = 4t2 - (16 - 3m)t + 4 - m = th×

HƯ cã nghiƯm  (*) có nghiệm thoả mÃn t < 1
3.

Ta lại có ( )1 8 0

3 9

af    m nên hệ luôn có nghiệm
thoả mÃn t1 <

3 < t2. Vậy hệ luôn có nghiệm với m.
Cách 2 : Khư mét Èn.

HƯ 

3 4

x xy m
y xy

   




 





4 2 2

2 (8 ) (4 ) 0 (*)

x m

y

x

x m x m

  





     



(x = 0 tho¶ m·n hƯ khi m = 4).

Với m  4 đặt : f(t) = 2t2 + (8 - m)t - (4 - m)2 ta có f(0)

= -(4 - m)2 < 0 nên phơng trình f(t) = 0 luôn có nghiệm

t > 0 hay phơng trình (*) luôn có nghiệm với m.
Các bài tập luyện tập :

Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản

1) Cho hệ phơng tr×nh















8 )1

)(

1 (

2
2

y

x

y

x

m

y

x

xy

a) Giải hệ khi m=12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình

2 2 2

1 1

2
a
x y

x y a



 




   



Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
3) Cho hệ phơng trình

2 2

3 2

x xy y

x xy y m

   




  



Tìm m để hệ có nghiệm





















2 x

y

x

















m

y

x

y

x

y

x

1

3

1

a) Gi¶i hƯ khi m=6

b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:



















2
2

2

3

2

3 y

x

y

(KB 2003)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Th1 x=y suy ra x=y=1

TH2 chó y: x>0 , y> 0 suy ra v« nghiƯm 
Bµi 3:

















35

8

15

2

3
3

2
2

y

x

xy

y

x

HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt 
S=2x+y và P= 2x.y 
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:





















)

2 (

1 )1

(

3

6
6

3
3

y

x

y

x

HD: tõ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hµm sè :
f

 

t t3 3t

trên [-1,1] áp dụng vào phơng trình

(1)

Bài 5: CMR hệ phơng trình sau cã nghiÖm duy nhÊt



















x

a

x

y

a

y

x

2
2

2

HD:













2
2
3

2 x

a

y

x

xÐt 3 2

2
)

(x x x

f   lËp BBT suy ra KQ

Bµi 6:





















2 x

y

x

HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2

Bµi 7:





















)1

(

)1

(

2
2

x

a

y

xy

y

a

x

xy

xác định a để hệ có nghiệm

duy nhÊt

HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8

Bµi 8:



















)2

(

5 )1

(

20

10

2
2

y

xy

x

xy

HD : Rót ra y
y
y

y

x5 5 
2

C« si 5  y 2 5
y

x .

2 20



x theo (1) 2 20



x suy ra x,y

Bµi 9:





















2 )1

(

y

x

y

x

y

x

y

x

(KB 2002)

HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1)
(3/2;1/2)

Bµi 10:





















a

y

x

a

y

x

3

2

1

Tìm a để hệ có nghiệm

HD: từ (1) đặt u x1,v y2 đợc hệ dối

xøng víi u, - v

Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng 
ứng có 2 nghiệm trái dấu.

Bài tập áp dông

















49

5

56

2

6

2
2

y

xy

x

y

xy

x
















)
(

2
2

y
x
y

x

y
y
x
x

KD 2003



















0

9

5

18 )

3 )(

2 (

2
2

y

x

y

x

4)





















2 )

(7

2
2

3
3

y

x

y

x

y

x

y

x

HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm

m

xy

x

y

xy

26

12

2
2

Tìm m để hệ có nghiệm

















19

2 .

)

(

3
3

y

x

y

x

dỈt t=x/y cã 2 nghiÖm















6

4

9 )

2 )(

2 (

x

y

x

y

x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>





















4 )1

(

2

2
2
2

y

x

y

x

y

x

y

x

đổi biến theo v,u từ

ph¬ng tr×nh sè (1)



















2
2

3
3
3

6

19

1 x

xy

y

x

y

x

Đặt x=1/z thay vào đợc hệ y,z

DS (-1/2,3) (1/3,-2)

10)





















1

2

1 x

y

x

(KA 2003)

HD: x=y V xy=-1

CM 4 2 0

x

x vô nghiệm bằng cách 
tách hoặc hàm số kq: 3 nghiƯm

11)



















a

x

y

a

y

x

2
2

)1

(

)1

(

xác định a để hệ có nghiệm duy

nhất HD sử dụng ĐK cần v

12)

3

2 xy

y

x

y

x

HD bình phơng 2 vế .

Bài 2: Phơng trình và bất phơng trình 
Đại số

Một số dạng ph ơng trình và bất ph ơng trình th ờng 
gặp

1) Bất phơng trình bậc hai ;

Định lý về dấu của tam thức bậc hai;
Phơng pháp hàm số.

2) Phng trỡnh, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối

2 2

0
B

A B

A B A B

A B

A B

A B B A B




  




 

3) Phơng trình, bất phơng trình chứa căn thức
*PT chứa căn thức:

0






B
A B

A B

0( 0)

0
0

 



  




 


   



  


A hayB

A B

A B
A

A B C B

A B AB C

* Bất phơng trình chứa căn thức:

2 2

0 0

* 0 * 0

0 0

* *

0 0

A A

A B B A B B

A B A B

A A

B B

A B A B

B B

A B A B

   

 

       

   

 

   

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

Mét sè vÝ dơ
BÀI TẬP :

Bài 1: Bình phương hai vế : 
a) x2 + x  1 1

Hd: 4 2

1 1

2 0

1 5

2
x

x

x x x

x

 


  



  


   




 


b)pt: 5x 1 3x 2 x 1 0 §K x  1.
Chuyển vế, bình phương hai vế : x = 2 ;

x = 2/11( loại ). Vậy x=2 .

c) pt: x9  5 2x4 §K x 2.
Bình phương hai lầ ta có : ĐS x = 0 .
d) pt: 16 x 9x 7. §S: x = 0, x = -7.
e)

2 2

: (4 1) 9 2 2 1

: 1/ 4

pt x x x x

dk x



Bình phơng hai lần ta có :ẹS x = 4/3.
Baứi 2 : Đặt Èn phô:

a) x2  3x 3 x2  3x6 3 . §S: x = 1, x = 2.

b) 1 2 2 1 0 : 0 1

3 x x x x dk x

       

- Đặt : 1 ; 0 2 2 1

t
t  x  x t   x x  

pt  t2-3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn.

t =1  x = 0 ; x =1.

c) 2x 3 x 1 3x 2 2x2 5x 3 16

       

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

2 2

: 1

2 3 1 0

3 4 2 2 5 3

5 3.

DK x

t x x

t x x x

pt t x



    

     

   

2 2 2

) 7 2 3 3 19

. 2 7 / 4

5 3 13 4

1; 2

d x x x x x x

t x x

pt t t t t

x x

       

   

      

  

Bµi 3:

1) x 1 3 x (x1)(3 x) m

a) Giaûi pt khi m=2
b) Tìm m pt có nghiệm.
HDĐS:

ĐK: . 1 3 ; 2 2 2

: 2( )

t x x t

vi a b a b a b

      

    

2 0( )

1) 2 : 2 0 1, 3

t l

m t t x x

t



      




2) f(t) = -t2/2 + t +2 = m (1) . Laäp bảng biến thiên :

Tacó : 2 2 2 m2.

Bài 4. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

9 9

x   x  x  xm

Bình phương : Ñaët t= x(9 x)   0 t 9 / 2
KSHS f t( ) t2 2 9 ;t o t 9 / 2Ds 9 / 4 m 10

       

Bài 5. Tìm m để phơng trình có nghiệm:

4 4 4 4 4 6

x  xm  x  xm 

HDĐS: Đặt t 4 x4 4x m 0pt t: 2 t 6 0

      

4
4

3 ( )

4 2

4 16

lo¹i




     




   

t

PT x x m

t

m x x

Laäp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh.

Baứi 6. Giải các phơng trình sau:

1) 3(2 x)2 3(7x)2  3(7 x)(2 x) 3

-Đặt :

2 2

3 3

2 3

9
7

u x u v uv

pt

u v

v x

      

 



 

 



 

 


3

1; 2 1; 6

2
u v

u v x

uv
 


      




2) 32 x 1 x 1

   

.ÑK : x1 đặt

3 2

1; 0

  




  




u x

v x v

3 2

0;1; 2; 1;0;3
1

1;2;10
 


    

 




u v

u v
x

Mét sè bµi tËp lun tËp:

Bài 1 : Tìm m để (x1)(x3)(x2 4x6)m

Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm đúng với mọi
x.

HD: sư dơng hµm sè hoặc tam thức : m-2
Bài 2: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:

1) 8 2 6 1 4 1 0






 x x

x

2) x4 1 x 1 2x : x = 0

3) 2(x2 2 )x x2 2x 3 9 0. DS x: 1 5

       

4) 2 1 2 1 2







 x x x

suy ra cách giải.

5)( 2 3 ) 2 3 2 0

x x x

x (KD 2002)

Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm





















0

1

2

0

9

10

2
2

m

x

§S m  4.

Bài 4: Giải bpt: 2 x1 2xx 2

 nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT 
 Biến đổi về BPT tớch chỳ y K

Bài 5: Giải bất phơng trình:

7
2

1
2
2

x
x
x
x

HD Đặt , 2

2
1

t

x
x

t AD BĐT cô si suy ra 
ĐK.

Bài 6: Giải bất phơng trình 4

)
1
1

( 2

x x

x

 XÐt 2 trêng hỵp chó ý DK x  -1.

 Trong trêng hỵp x  4 tiÕn hành nhân và chia cho 
biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT.

Bài 7: Cho phơng trình:

m
x
x
x

x 9   29 

Tìm m để phơng trình có nghim.
HD

Bình phơng 2 vế chú y ĐK 
 Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t 
 Sử dụng BBT suy ra KQ

Bài 9: Giải bất phơng trình (KA 2004)

3
7
3
3

)
16
(

2 2

x
x
x

x
x

Bài tập áp dụng

1) Tỡm m để bất phơng trình sau có nghiệm

m
x
x 2 16 4 
4

2) 4 4 2 12 2 2 16








 x x x

x

3) x12 x 3 2x1

4) 2(1 ) 2 2 1 2 2 1







 x x x x x

HD: đặt 2 2 1




 x x

t coi lµ PT bËc hai Èn t.

5) (x1)x (2x)x 2 x2

6)

2
3
1

)
2
(
1

2      

 x x x x

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

7) 1
1

51 2







x
x
x

8) 2 3 4 2 3 2 0








 x x

x .

9) x 2 4 x 3x2 18x 29

    

B i 3: Phơng trình và

hệ phơng trình lợng giác
Một số kiến thức cần nhớ

1. Cỏc cụng thc biến đổi lợng giác
a) Công thức cộng:

cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb

( )

tga tgb

tg a b

tgatgb


 



b) Công thức nhân đôi, nhân ba

cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a;

sin2a = 2sinacosa;

2 ,

2 4 2

1
tga

tg a a k a k

tg a

  



 

      

  

3 3

sin 3a3sina 4sin ; cos 3a a4 cos a 3cos ;a c) 
Công thức hạ bËc

2 1 cos 2 2 1 cos 2

cos ; sin ;

2 2

a a

d) Cụng thc chia ụi

Đặt





x

t tg x  k  . Ta cã:

2
2

2 2 2

2 1 2

sin ; cos ;

1 1 1

t t t

x x tgx

t t t



  

 

;
e) Cụng thc bin i

* Đổi tích thành tổng

:







cos cos cos( ) cos( )

2
1

sin sin cos( ) cos( )

2
1

sin cos sin( ) sin( )

a b a b a b

   

   

  

* Đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos cos ;

2 2

cos cos 2sin sin ;

2 2

sin sin 2sin cos ;

2 2

sin sin 2cos sin ;

2 2

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

f) Mét sè c«ng thøc hay dïng:

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x x x x

 

   

       

   

   

        

   

1 1

; ;

4 1 4 1

tgx tgx

tg x tg x

tgx tgx

   

   

   

   

 

   

2. Mét sè phơng trình lợng giác thờng gặp
a) phơng trình lợng giác cơ bản:

+ sinx = a
1

1 (sin )

2
PTVN

PT có ngh
a

x k

a a

x k

 



  



 


  

  



+ cosx = a

1 2 (cos )

PTVN
PT cã ngh
a

a x  k   a



   

+ tgx = a §K:
2

x k , x =  k (tg = a).
+ cotgx = a, ĐK: x k , x =  k (cotg = a).
b) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số 
l-ợng giác.

* Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt:





( ) ( ) 2

sin ( ) sin ( ) ;

( ) ( ) 2

cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ;

( ) ( ) ( ) ( ) ;

sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ;
cos ( ) cos ( ) cos (

tg tg

cotg cotg

f x g x k

f x g x

f x g x k

f x g x f x g x k

f x g x f x g x

f x g x f x



 






 



   

  



    

    

    

   ) cos



( ) ;



sin ( ) cos ( ) sin ( ) ;
2

g x

f x g x g x




 

 



Phơng trình bậc 2:

sin sin 0

a x b x c  đặt t = sinx ( t 1).

cos cos 0

a x b x c  đặt t = cosx (t 1).

0;
0;
atg x btgx c

acotg x bcotgx c

  

c) Phơng bậc nhất i vi sinx v cosx.
asinx + bcosx = c.

Cách giải:

+ Cách 1: chia cả hai vế cho a2 b2

; đặt:

2 2 2 2

cos a , sin b

a b a b

   

 

ta đợc PT:

2 2

sin(x ) c

a b

;

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

+ Cách 2: Đặt tg b
a

  ta đợc phơng trình:
sin(x ) ccos

a

 

  .

d) Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

2 2

sin sin cos cos
a x b x x c x d
Cách giải:

* Cách 1: Thử với cos2x = 0  sinx =  1 nÕu nghiÖm

đúng phơng trình thì đặt cosx làm thừa số chung.
Với cos2x  0 chia cả hai vế cho cos2x ta đợc:

atg2x + btgx + c = d(1 + tg2x).

* Cách 2: Hạ bậc đa về phơng trình bậc nhất đối với
sin2x và cos2x.

e) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx + cosx = t, điều kiện t  2

2 2 0

2
t

at b   c bt at b c

         

 

* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx - cosx = t, điều kiện t  2

2 2 0

2
t

at b   c bt at b c

     

3. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải các phơng
trình lợng giác:

+ ỏp dng cỏc hằng đẳng thức;
+ áp dụng các công thức biến đổi;
+ Đổi biến số, đặt ẩn phụ;

+ Biến đổi về tích bằng 0;

+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx;
y = cosx, dùng đạo hàm;

+ Biến đổi về tổng bình phơng bằng 0.
4. Cỏc vớ d:

Giải các phơng trình sau:
Bài 1:

x
x
tgx

gx

2
sin

4
cos
.
2

cot  .

ĐS:

3
x k.
Bài 2:

)
1
(sin
2
1
3
2
cos

cos2 2






















 x x

x  

§S: ; 2 ; 5 2

6 6

x k  x k  x x  k  .

Bµi 3:

2
sin

2
sin
2
sin

sin

2
2
2




x
x
x

x

.

§S: 2 ; 2 2

3 3

x  k  x x  k  .

Bµi 4: 8

1
3

.
6

3
cos
.
cos
3

sin
.

sin3 3

x
tg
x

tg

x
x

x

HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3

ĐS:

6
x k .
Bài 5:

0
cos
.
6
)
sin
.
2
(

3 tgx tgx x  x
HD: Biến đổi theo sin và cos.
ĐS:

3
x  k .
Bµi 6:

3. 6sin 2sin( ) (1)

2sin 6sin( ) (2)

2
y

tg x y x

y

tg x y x



  





   




2  .

đặt

2
y
t tg    

  t

= 0, t = ±
3.
Bµi 7:

x
x

x
x
x

x .sin3 1 cos

2
1
sin
.
4
cos
2

sin
.
3

cos  

HD : BĐ tích thành tổng rút gọn.
Bài 8:

2
1
5
cos
4
cos
3
cos
2
cos

cosx x x x x

NhËn xét: Trong bài toán chứa tổng

nx
x

x
T

nx
x

x
T

sin
..
2
sin
sin

cos
..
2
cos
cos

thực hiện rút gọn bằng cách trên.
Bài 9:

)
cos
.
sin
2
(cos
3
sin
.
2
sin

. 2 x 2 x x x x

tgx

HD: BĐ về dạng: (sinxcos )(sinx 2 x 3cos2 x) 0
Bµi 10

9 sin

cos

log 4.log x2 4

x


  

 

 


HD:





sin sin

2
sin

2. log 2.log 2 4

log 2 4

x x

x



 

5. Một số phơng trình có tham số:
Bài 1. Tìm m để phơng trình:
sin2x + m = sinx + 2mcosx
có đúng 1 nghiệm [0;3 ]

4
x  .
HD: PT  (sinx - m)(2cosx - 1) = 0.
Bài 2. Tìm m để phơng trình:

(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos2x

có đúng 2 nghiệm x  [0; ].

HD: PT  (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0.
Bài 3. Tìm m để phơng trình:

mcos22x - 4sinxcosx + m - 2 = 0

cã nghiÖm x [0 ; /3].
HD: Đặt t = sin2x.
Bài 4: Cho phơng trình

0
2

sin
2
4
cos
)
cos
.(sin

2 4 4

x x x m

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn
0;

2


 

 

 

HD: [-10/3;-2] 
Bµi 5: Cho phơng trình

3
cos
2
sin

1
cos
sin

x
x

a

1) Gii phng trỡnh khi a=1/3.
2) Tỡm a phng trỡnh cú nghim.

HD: Đa về dạng

(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
ĐS [-1/2,2]

Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, )

4
3
cos

2
1
2
cos
.
3
2
sin

4 2 x x 2 x

6. Các bài tập luyÖn tËp:
1)

2
1
3
sin
.
2
sin
.
sin
3

cos
.
2
cos
.

cosx x x x x x .

2) sinx 3.cosx sinx 3.cosx 2.

x
x

cos
1
3

cos
.
2
sin

1
3
sin

2    .

x
x
x

g

2
sin

2
cos
1
2
cot

1   2 .

5) cos2 cos (2. 2 1) 2



 x tg x

x .

6) 3cos4 8cos6 2cos2 3 0





 x

x .

1
1

cos
2

3
sin
4
2
sin
2
cos
)
3
2

( 2


















x

x
x

x 

.
8) 1sinxcosxsin2xcos2x0.
Một số đề thi từ năm 2002

1) T×m nghiƯm thc khoảng

0; 2 của phơng trình

2
cos
2

sin
2
1

3
sin
3
cos
sin

x

x
x
x

x . KA 2002

2) Giải phơng trình

x
x
x
x

tg 4

2
4

cos

3
sin
)
2
sin
2
(

(DB 2002)

3) Tìm nghiệm thuộc khoảng

0; 2 của phơng trình

x
x

tgx
x
g

2
sin

2
2

sin
4
2

cot KB 2003

4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng



0;14



của phơng
trình cos 3x 4 cos 2x3cosx 4 0 KB 2003
5) Giải phơng trình

4 4

sin cos 1 1

cot 2

5sin 2 2 8sin 2

x x

g x

x x



 

DB 2002
6) Giải phơng trình

cos cos sin 1 .

2
x
tgx x x x tgx tg

(DB 2002)

7) Cho phơng trình 2sin cos 1 (1)

sin 2cos 3

x x

a

x x

 



 

a) Giải phơng trình (2) khi 1
3
a

b) Tỡm a để phơng trình có nghiệm
8) Giải phơng trình

sin

8cos x x (DB 2002)

9) Giải phơng trình

cos 2 1

cot 1 sin sin 2

1 2

x

gx x x

tgx

  

(KA 2003)

10) Giải phơng trình 3 tgx tgx

2sinx

6 cosx0
(DBKA 2003)

11) Giải phơng trình cos 2xcosx tg x

2 2 1

2
(DBKA 2003)

12) Giải phơng tr×nh 3cos 4x 8cos6x 2 cos2 x 3 0

 

(DBKB 2003)

13) Giải phơng trình

2 3 cos 2sin

2 4 1

2cos 1
x
x

x



 

    

 

(DBKB 2003)

14) Giải phơng trình sin2 . 2 cos2 0

2 4 2

x x

tg x


   

  

 

(KD 2003)

15) Giải phơng tr×nh









cos cos 1

2 1 sin
cos sin

x x

x

x x

(DBKD 2003)

16) Giải phơng trình cot 2sin 4
sin 2

x
gx tgx

x

  (DBKD

2003)

17) Giải phơng trình 5sinx 2 3 1 sin

x g x

t 2 (KB
2004)

18) Giải phơng trình :

2cosx1 2sin

xcosx

sin 2x sinx
KB 2004.

Bài 4: Hệ thức lợng trong tam giác
Một số kiến thức cÇn nhí

*Một số phép biến đổi thờng dùng
+ Cung liên kết

+ Các cơng thức biến đổi.

*Mét sè hƯ thøc trong tam giác cần nhớ:

+ . 4 .

2 2 2

A B C

SinA SinB SinC  Cos Cos Cos

+ . 1 4sin sin sin

2 2 2

A B C

CosA CosB CosC   
+ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
+

cot
.
2
cot
.
2
cot
2
cot
2
cot
2

cotg A gB gC  g A g B gC

+ 1

2
2
2
.
2
2
.

2   

A
tg
C

tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg

+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
+Sin2A. Sin2B Sin2C 2 2CosACosBCosC





</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

+Cos2A. Cos2B Cos2C 1 2sinAsinBsinC







+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC
+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC
C¸c vÝ dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR

. . 1

2 2 2 2 2 2

A B B C C A

tg tg tg tg tg tg

Bài 2:Cho tam giác ABC cã 3 gãc nhän CMR:
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC

b) tgAtgBtgC 3 3

dÊu “=” x¶y ra khi nào?
HD: áp dụng BĐT côsi

3 . .

3 tgAtgBtgC
tgC

tgB

tgA

lp phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đợc 
đpcm.

Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta ln có :

HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.

VP= [cos(B-C) – cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) –
cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) – cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos2A + Cos(C-A).cosB +Cos2B + 
Cos(A-B).cosC + cos2C.

thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, 
cos2C… sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos2A, 
cos2B, cos2C suy ra pcm.

Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta cã

 

2 2 2

1 Cos A Cos B Cos C.  2.CosACosBCosC 1 Từ
đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi

. 2 2

Sin B Sin C

A

Sin

Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mÃn đk:
2tgA = tgB + tgC

CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA

HD: xuất phát:

tgC
tgB

tgC
tgB
C

B
tg

.
1
)

( đpcm

Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC 
(*)

Mà cos(B - C) =2.cos[  (B  C)] khai triển suy ra 
đẳng thức (*).

Bµi 6: CMR víi mäi tam gi¸c ABC ta cã:


















2
cot
2

cot
2
cot
2
2
2
2
1

sin
1
sin

1
sin

A
g
A
g
A
g
C

tg
B
tg
A

tg

C
B

A

HD: thay

2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
.
2
cot
.
2

cotg A gB gC  g A gB  gC
áp dụng công thức nhân ụi.

Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có

C
B

A
B

A
C
CCosA

B

C
Sin
B
Sin
A
Sin

cos
sin
sin
2
cos
sin
sin
sin

sin
2

. 2 2

Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C
thoả mÃn đk 4A = 2B = C. CMR:

c
b
a

1
1
1


 vµ

4
5

. 2 2

2A Cos BCos C 

Cos

Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta u cú:

C
B

A
R

r

cos
cos

cos

Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mÃn đk:

bc
a
A
Sin

2 , CMR tam giác ABC cân

Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mÃn đk

2
2

.tgB tg A tg B

tgA

CMR tam giác ABC cân

Bài 12. CMR nếu tam giác ABC có

a
c
b
C
Bcos

cos thì tam giác vuông

Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và chỉ khi

2
C
B
tg
c
b

c

b

Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mÃn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15

CMR tam giác vuông

Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mÃn đk
2
1
2
sin
.
2
sin
.
2
sin
2
cos
.
2
cos

.
2

cos A B C  A B C 

CMR tam gi¸c ABC vuông.

Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mÃn đk



 





























2

4

2 sin

cos

1 )

(

2
2

3
3
3
2

b

a

b

a

C

a

c

b

a

c

b

a

CMR tam giác ABC đều.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

gC
gB

C

A sin 3 cot cot

1
sin

2   











CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk

2
sin
2
sin
2
sin

. CosB CosC A C

CosA    B CMR tam

giỏc ABC l tam giỏc u

Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mÃn hệ thức:
9

2
2

.
2

Cotg B Cotg C
A

Cotg

Bài 20:CMR nÕu trong tam gi¸c ABC ta cã

2
cos
2

cos
2

cos
sin

sin

sinA B C A B C thì

tam giỏc u

Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mÃn đk:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc

CMR tam giỏc u

Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mÃn đk

gC
gB

gA

C
B

A
C

g
B
g
A
g

cot
cot

cot

cos

1
2
cos

1
2

cot
.
2
cot
.
2
cot

Bài 23: tg8A tg8B tg8C 9tgA.tg2B.tg2C






Bµi 24: 6 6 6 81

tg B tg C

A
tg

Bài 25: Tìm GTNN biểu thức

C
B

A
M

2
cos
2

1
2

cos
2

1
2

cos
2

Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC

Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác xuất hiện
bình phơng một nhị thức>

Cho tam giác ABC bất kỳ. T×m GTLN cđa biĨu thøc

)
cos
(cos

3
cos

3 B A C

P 

Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mÃn hệ thức:

4
17
)
cos

cos

(sin
3
sin

.
sin
.
cos

2 B B C A B C  Hái

tam gi¸c ABC là tam giác gì? CM?

Bài 12. Đại số tổ hợp - công thức nhị thức
niu tơn

Một số kiến thức cần nắm vững

+ Hai quy tc m c bn: Quy tắc cộng và quy quy tắc
nhân.

+ C¸c kh¸i niƯm: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
+ Các công thức:

1 1

! !

!; ; (0 )

( )! !( )!

;

k k

n n n

k n k k k k

n n n n n

n n

P n A C k n

n k k n k

C C  C  C C

 

    



+ Công thức nhị thức Niutơn

0 1 1

( )n n n ... k n k k ... n n

n n n n

a b C a C a b C a b C b

      

Một số công thức đặc biệt:

0 1

(1 )n ... k k ... n n

n n n n

x C C x C x C x

      

0 1 ... n 2 ;n

n n n

C C  C 

0 1 2 ... ( 1)k k ... ( 1)n n 0

n n n n n

C  C C  C C
Đặt P(x) = (1x)n Cn0C xn1 ...C xnn n

P(x) là đa thức bậc n nên ta có thể tính giá trị tại một
điểm bất kì; lấy đạo hàm; tích phân trên một đoạn bất
kì. Khi đó ta có các bài tốn mới.

VÝ dô:

P(2008) = 0 2008 1 ... 2008n n 2009n

n n n

C  C   C 

1 2 2 3 1

'( ) 2 3 ...

(1 ) ' (1 )

n n

n n n n

n n

P x C xC x C nx C

x n x



    

 

    

1 2 3 1

'(1) 2 3 ... n .2n

n n n n

P C C C nC n 

     

1 2 3

'( 1) 2 3 ... ( 1)n n 0

n n n n

P  C  C  C    nC 

1 2 2 3 1 1

'( ) 2 3 ... n n (1 )n

n n n n

P a C aC a C na C n a 

      

1 2 2 3 3 1

'( ) 2 3 ... n n (1 )n

n n n n

xP x xC x C x C nx C nx x 

      

1 2 2 2 2 3 2 1

1 2

2 3 ...

(1 ) ( 1) (1 )

n n

n n n n

n n

C xC x C n x C

n x n n x x



 

    

    

2 3 2 4 2

1 2

''( ) 2 3.2 4.3 ... ( 1)
(1 ) ' ( 1)(1 )

n n

n n n n

n n

P x C xC x C n n x C

n x n n x



 

     

 

     

2 3 4 2

''(1) 2 3.2 4.3 ... ( 1) n ( 1)2n

n n n n

P C C C n n C n n 

       

0 1

0 0 0

0 2 1 3 2 1

( ) ( ... ) (1 )

1 1 1 (1 ) 1

...

2 3 1 1

a a a

n n n

n n n

n
n n

n n n n

P x dx C C x C x dx x dx

a

aC a C a C a C

n n




     

 

     

 



...

Mét sè bµi tËp:

1. Các bi toỏn v phộp m:

Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi
số có 4 chữ số khác nhau.

HD: Xét 2 trờng hợp. ĐS: 9.8.7 8.8.7 952  .

Bài 2: Đội tuyển học sinh giỏi của trờng gồm 18 em.
Trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5
học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh
trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học
sinh đợc chọn

HD: C188  (C118 C128 C138) 41811 .

Bài 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao
nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và
trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của
3 chữ số cuối một đơn vị.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Có 3 cặp số thoả mÃn là:

+ Cặp 3 số đầu gồm các số 1, 4, 5 ba sè cuèi gåm c¸c
sè 2, 3, 6. Cã 3!.3! = 36 số.

+ Cặp 3 số đầu gồm các số 2, 3, 5 ba sè cuèi gåm c¸c
sè 1, 4, 6. Cã 3!.3! = 36 sè.

+ CỈp 3 sè đầu gồm các số 1, 3, 6 ba số cuối gåm c¸c
sè 2, 4, 5. Cã 3!.3! = 36 sè.

VËy cã: 3.36 = 108 sè.

Bài 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc bao
nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và
chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

HD: Coi hai số 2 và 3 là một cặp. Xét 2 trờng hợp:
+ TH1: cặp 2,3 đứng đầu, có: 2.4! = 48 số.

+ TH2: cặp 2, 3 đứng ở các vị trí khác, có: 4.2.3.3! =
144.

ĐS: 192

Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cã thÓ lập
đ-ợc bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác
nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm,
hàng nghìn bằng 8.

ĐS: 2. .3! 1440A63  .

Bài 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao
nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và
nhất thiết phải có 2 chữ số 1 và 5.

§S: 5.4.A 53 1200.

Bài 7: Một đội văn nghệ có 15 ngời gồm 10 nam và 5
nữ. hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8
ngời, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.
ĐS: C C53. 105 C C54. 104 C C55. 310

Bài 8: Một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần
chọn ra 6 học sinh trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn
4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy?

§S:

Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi
một khác nhau và nhỏ hơn 2158.

§S:

Bài 10: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời,
gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng
đội thanh niên tình nguyên đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền
núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

§S: (C C124. ).(31 C C84. ).(21 C C 44. ) 20790011 .

2. Các bài toán nhị thức, phơng trình bất phơng 
trình tổ hợp, chỉnh hợp.

1) Biết rằng (2x)100 a0 a1x...a100x100 CMR:
a2 < a3. Với giá trị nào cđa k th× ak< ak+1 (0≤ k ≤

99).

100 100 100 1 100 1

100 1 100

100 100 1

1 100 100

2 . ; 2 .

2. 3 98 32

k k k k

k k

a C a C

a a C C k k

     



  



 

      

2) Tìm số nguyên n >1 thoả mãn đẳng thức:

2 2

n
2




 n n

n A P A

P .

3) Tính giá trị của biểu thức:

( 1)!

4 3

n 1 n

A 3A

M
n

 



 nN* BiÕt

r»ng: 2 2 2 149

4
2

3
2

2
2

1       

 n n n

n C C C

C

4) T×m hƯ sè cđa x7 trong khai triển thành đa thức của

(2 - 3x)2n, trong đó n N* thoả mãn:

1024
... 2 1

1
2
5

1
2
3

1
2
1

2     








n
n
n

n

n C C C

C .

5) Gi¶ sư (1 2 ) x na0a x1 ...a xn n. BiÕt r»ng:

729
...

0 a an

a . Tìm n và số lớn nhất trong
các số : a0,a1,...,an.

6) Giải bất phơng tr×nh 5 60 32

)!
(




 



k
n

n A

k
n

P

víi 2 Èn n,
k thuéc N. (TNPT 2003 - 2004)

7) Gi¶i bÊt phơng trình :

1
2
... 2 2003

2
4

2
2

2x C x C xx

C .

8) Tìm số n nguyên dơng thoả mÃn bất phơng trình:

n
C

A n

n
n3 2. 2 9

§S n = 4 v n = 3.

9) Giả sử n là số nguyên dơng và
(1x)n a0a1...anxn

BiÕt r»ng k nguyªn (0< k < n) sao cho:
24

9
2

1 




 k k

k a a

a

TÝnh n. §S n =10
10) Giả sử n là số nguyên dơng vµ

10 11 10

1 10 11

(1x) (x2)x a x ...a x a . H·y tÝnh hÖ
sè a5. ĐS 672

11) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị

thức:

n

x
x 







 5

1 .

BiÕt r»ng: 3 7( 3)

4    



 C n

C n

n
n

n ĐS 495

12) Tìm hệ số của số hạng chøa x8 trong khai triĨn nhÞ

thøc 1x2(1 x)8.
13) Tìm số tự nhiên n thoả mÃn:
2. 22 2. 3 3. n3 100

n

n
n
n
n

n

n C C C C C

C

14) Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005):

1 2 2 3 3 4 2 2 1

2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 4.2 2 1 ...(2 1).2 2 1

2005
n n

n n n n n

C C C C n C 

       

15) Tìm số nguyên dơng n sao cho:

0 1 1 1 2 1 3 ... ( 1) 1

2 3 4 1 2008

n
n

n n n n n

C C C C C

n

16) Tìm số nguyên dơng n sao cho:

1 1 2 2 3 3 1

2n 2.2n 3.2n ... ( 1)n n 2008

n n n n

C C C nC

   

     

17) Chøng minh r»ng

1 3 5 2

2 2 2 2

1 1 1 1 2 1

...

2 4 6 20 2 1

n
n

n n n n

C C C C

n


    

</div>

tai lieu on thi dai hoccap toc





 





























4

log

log

2

5

)

(

log

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

2

2

2

4

4

5

2



















3

2

2

log

log

<i>xy</i>

<i>y</i>























0

log

log

0

3

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>





