ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————

VÕ QUANG HƯNG

HÀM LỒI
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

VÕ QUANG HƯNG

HÀM LỒI
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng - Năm 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi và
được hồn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phan Đức Tuấn.
Tôi xin chịu trách nhiệm với những lời cam đoan của mình.

Đà Nẵng, tháng 11 năm 2019
Tác giả

Võ Quang Hưng




LỜI CẢM ƠN

Để có thể hồn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh,
bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân cịn có sự chỉ bảo nhiệt tình
của q thầy cơ, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè
trong suốt thời gian tôi học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn TS. Phan Đức Tuấn - Người thầy đã tận tình hướng dẫn
và giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực hiện để tơi có thể hồn thành
được luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các q Thầy, Cơ giáo
và Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà
Nẵng đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện

thuận lợi nhất cho tơi trong suốt q trình học tập nghiên cứu cho đến
khi thực hiện đề tài luận văn. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn
đến các anh chị và các bạn trong lớp PPTSCK35 đã nhiệt tình giúp đỡ
tơi trong q trình học tập vừa qua. Tôi cảm ơn những người thân yêu
trong gia đình và các bạn bè đã ủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinh
thần vững chắc trong quá trình học tập và thời gian làm luận văn.
Do thời gian cũng như kinh nghiệm còn hạn chế nên luận văn khơng
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng
góp ý kiến của các thầy cơ để tơi có thể bổ sung và hồn thiện luận văn
một cách tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Võ Quang Hưng


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1

1 TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI

4

1.1 TẬP LỒI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1 Khái niệm về tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4

1.1.2 Định lý tách tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 HÀM LỒI

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Định nghĩa về hàm lồi

. . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Tính liên tục và khả vi . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Một số đặc điểm về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . 14


1.2.4

Các phép tốn bảo tồn tính lồi . . . . . . . . . . . 17

1.2.5

Hàm lồi liên hợp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 ỨNG DỤNG HÀM LỒI

26

2.1 BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2

Bất đẳng thức Jensen dưới dạng tích phân . . . . . 29

2.1.3

Ứng dụng bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . 30

2.2

BẤT ĐẲNG THỨC HERMITE-HADAMARD . . . . . . . 44

2.3


BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ MỞ RỘNG . . . . 48
2.3.1 Bất đẳng thức Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Bất đẳng thức Ostrowski mở rộng . . . . . . . . . . 53

2.4 BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . 59


MỤC LỤC

1

2.4.1 Một số định lý về bất đẳng thức ma trận . . . . . . . 59
2.4.2 Một số bài toán về bất đẳng thức ma trận . . . . . . 64
KẾT LUẬN

66

TÀI LIỆU THAM KHẢO

67


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Tính lồi là một khái niệm đơn giản và tự nhiên có thể được bắt
nguồn từ Archimede (khoảng năm 250 trước Công nguyên), liên quan

đến ước tính nổi tiếng của ơng về giá trị của π . Ông nhận thấy một
thực tế quan trọng là chu vi của một hình lồi thì nhỏ hơn chu vi của
bất kỳ hình lồi nào khác bao quanh nó. Ngồi ra, tính lồi có ảnh hưởng
lớn đến cuộc sống hàng ngày của chúng ta thông qua nhiều ứng dụng
trong công nghiệp, kinh doanh, y học và nghệ thuật. Vì vậy, nhiều vấn
đề được đưa ra bởi khoa học, kỹ thuật, kinh tế, tin học, các vấn đề
phân bổ tối ưu các nguồn lực, ước tính và xử lý tín hiệu, thống kê và tài
chính. . . vv, đều có quan hệ với lĩnh vực phân tích tính lồi. Trong suốt
thế kỷ XX, đã có nhiều hoạt động nghiên cứu mạnh mẽ và đã thu được
nhiều kết quả quan trọng trong phân tích chức năng hình học, kinh tế
tốn học, phân tích tính lồi và tối ưu hóa phi tuyến. Giải tích lồi cho
ta một lý thuyết phong phú và đẹp đẽ về hàm lồi và ứng dụng tối ưu
hóa về nhiều kết quả nổi tiếng, chẳng hạn như: Bất đẳng thức Jensen,
định lý Fenchel-Moreau về hàm liên hợp, định lý Moreau-Rockafellar về
dưới vi phân hàm lồi, định lý Kuln-Tucker cho bài tốn tối ưu có ràng
buộc,... Có thể nói tập lồi, hàm lồi là các đối tượng đẹp trong tối ưu
hóa. Vì thế hàm lồi và các mở rộng của hàm lồi là một chủ đề hấp dẫn
với nhiều kết quả phong phú và luôn thu hút sự quan tâm của nhiều
nhà nghiên cứu.
Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán
khu vực và quốc tế, thi Olympic toán sinh viên giữa các trường đại học
cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay đề cập đến
và thường thuộc lại khó và rất khó. Có thể nói bất đẳng thức đóng vai
trị khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ mơn tốn. Vì vậy tơi
muốn nghiên cứu một phần của bất đẳng thức nhằm phục vụ công việc


2

giảng dạy tốn sơ cấp.

Chính vì vậy, tơi chọn đề tài “ HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ”.
làm luận văn thạc sĩ tốn học cho mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu về hàm lồi, các tính chất của
hàm lồi và ứng dụng trong giải các bài toán sơ cấp (đặc biệt là bài tốn
bất đẳng thức).
3. Đối tượng nghiên cứu
Hàm lồi, tính chất của hàm lồi và ứng dụng hàm lồi để giải tốn sơ
cấp.
4. Phạm vi nghiên cứu
Tìm hiểu về định nghĩa, tính chất về hàm lồi và những bất đẳng
thức có liên quan đến hàm lồi.
5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách
vở có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng và trình bày các kết
quả về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn ngọn, theo hệ thống khoa
học với các chứng minh chi tiết.
6. Nội dung của đề tài
Nội dung của đề tài được dự định thành 2 chương:
Chương 1: Tập lồi và hàm lồi.
Trong chương 1 sẽ sơ lược một số định nghĩa, tính chất và kết quả
cần thiết liên quan đến tập lồi và hàm lồi.
Chương 2: Ứng dụng hàm lồi.
Trong chương 2 sẽ trình bày bất đẳng thức Jensen và ứng dung
để giải các bất đẳng thức sơ cấp. Ngoài ra còn ứng dụng hàm lồi để
chứng minh và mở rộng một số bất đẳng thức quan trọng như: HermiteHadamard, Ostrowski và đưa ra một số bất đẳng thức về ma trận.
7. Phần kết luận.
Tổng kết các kết quả và ứng dụng đã đạt được, nêu một số vấn đề



3

hạn chế và hướng phát triển tiếp theo của đề tài.


4

CHƯƠNG 1

TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI

1.1

TẬP LỒI

Các nội dụng trình bày trong mục này đã được tham khảo trong
các tài liệu [3]và[4]

1.1.1

Khái niệm về tập lồi

Định nghĩa 1.1.1 (Tập lồi). Một tập C ⊆ R được gọi là một tập lồi,
nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C
lồi khi và chỉ khi:

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] thì λx + (1 − λ)y ∈ C .
Đoạn nối x, y được định nghĩa như sau:

[x, y] = {λx + (1 − λ)y|0 ≤ λ ≤ 1} .

Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (vecto) x1 , x2 , ..., xk nếu:
k

k

λj xj với λj > 0, ∀j = 1, ..., k và

x=
j=1

λj = 1.
j=1

Định lý 1.1.1. Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi
của các điểm của nó, tức là: C lồi khi và chỉ khi ∀k ∈ N,
k

∀λ1 , λ2 , ..., λk > 0 sao cho

λj = 1 và ∀x1 , x2 , ..., xk ∈ C và
j=1

k

λj xj ∈ C .
j=1

Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa. Ta chứng minh
điều kiện cần bằng phương pháp quy nạp. Với k = 2 ta có với mọi


λ1 , λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1, x1 , x2 ∈ C , theo định nghĩa ta có λ1 x1 + λ2 x2 ∈


5

C.
Giả sử định lý đúng với k điểm. Ta cần chứng minh với k + 1 điểm.
Giả sử x là tổ hợp lồi của k + 1 điểm x1 , x2 , ..., xk+1 ∈ C . Tức là
k+1

x=

k+1

λj xj , λj > 0∀j = 1, ..., k + 1,
j=1

λj = 1.
j=1

Có thể xem như λk+1 < 1, bởi vì nếu λk+1 = 1 thì λ1 = λ2 = ... = λk =
0 và ta có ngay x ∈ C . Khi đó:

1 − λk+1 = λ1 + λ2 + ... + λk > 0,
suy ra

λi
1−λk+1

≥ 0, trong đó i = 1, ..., k, bởi vì

k

i=1

λi
= 1,
1 − λk+1

cho nên theo giả thiết quy nạp ta có:

y=

λ1
1−λk+1 x1

+ ... +

λk
1−λk+1 xk

∈ C,

với các điểm y ∈ C và xk+1 ∈ C , ta có:

1 − λk+1 > 0, (1 − λk+1 ) + λk+1 = 1,
do đó

x = (1 − λk+1 )y + λk+1 xk+1 ∈ C.
Vậy điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.1.2. Nếu A, B là các tập lồi trong Rn , C là lồi trong Rm ,

thì các tập sau là lồi:
1. A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B} .
2. αA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} .
3. A × C := {x ∈ Rn+m |x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} .


6

1.1.2

Định lý tách tập lồi

Định nghĩa 1.1.2 (Điểm bọc). Trong không gian Rn cho tập con C =
∅, điểm a ∈ C gọi là điểm bọc nếu với mọi x thuộc C và tồn tại số

α > 0 sao cho a − α(x − a) ∈ C . Tập các điểm bọc của C, kí hiệu là
riC , khi đó riC khác rỗng và là một tập lồi.
Định nghĩa 1.1.3. Siêu phẳng trong không gian Rn là tập hợp các
điểm có dạng:

x ∈ R|aT x = α ,
trong đó a ∈ Rn là một vecto khác 0 và α ∈ R.
Định nghĩa 1.1.4. Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng
aT x = α tách C và D nếu

aT x ≤ α ≤ aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
Ta nói siêu phẳng aT x = α tách chặt C và D nếu

aT x < α < aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
Ta nói siêu phẳng aT x = α tách mạnh C và D nếu


sup aT x < α < sup aT y .
x∈C

y∈D

Bổ đề 1.1.3. Cho C ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng. Giả sử x0 ∈ C .
Khi đó tồn tại t ∈ Rn , t = 0 thõa mãn:

< x − t, x0 − t >≤ 0, ∀x ∈ C.
Chứng minh. (Bổ đề1.1.3) Do x0 ∈
/ riC , nên tồn tại siêu phẳng tách
trong bổ đề.
Định lý 1.1.4 (Định lí tách 1). Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng
trong Rn sao cho C ∩ D = ∅. Khi đó ta có một siêu phẳng tách C và

D.


7

Chứng minh. Định lý1.1.4 Cho C và D là tập lồi, nên

C − D = [x − y|x ∈ C, y ∈ D],
cũng là tập lồi và 0 ∈
/ C − D, vì C ∩ D = ∅.
Thật vậy, giả sử

0 ∈ C − D thì x − y = 0 ⇒ x = y ∈ C ∩ D (vô lý).
Đặt E = cl(C − D), theo Bổ đề 1.1.3 có x0 ∈ E : t = ||0 − x0 || = 0,

sao cho <t, x − x0 >≤ 0, ∀x ∈ E ⇒< t, z >≤ 0, ∀x ∈ E .
Lấy sup < t, z >≤ 0.

⇒< t, x − y >≤ 0, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
⇒< t, x >≤ sup < t, x >≤< t, y >, ∀y ∈ C, x ∈ D.
x∈C

⇒< t, x >≤ α ≤< t, y >, ∀y ∈ C, x ∈ D.
Khi đó siêu phẳng sup < t, x >= α tách C và D.
x∈C

Bổ đề 1.1.5. Cho C ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng sao cho 0 ∈
/ C . Khi
đó tồn tại một vecto t ∈ Rn , t = 0 và α > 0 thõa mãn:

< t, x >≥ α > 0∀x ∈ C.
Chứng minh. Bổ đề1.1.5 Do C đóng và 0 ∈
/ C , nên tồn tại quả cầu B
tâm ở gốc, bán kính r > 0 sao cho C ∩ D = ∅. Áp dụng (Định lý1.1.4)
cho hai tập C và B , ta có t ∈ Rn , t = 0 và α ∈ R, sao cho

< t, x >≥ α ≥< t, y > ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
Bằng cách chuẩn hóa ta có thể xem t = 1 và do đó khoảng cách từ
gốc đến siêu phẳng ít nhất là bằng α ≥ r. Vậy thì

< t, x >≥ α ≥ r > 0.

Định lý 1.1.6 (Định lý tách 2 ). Cho C và D là hai tập lồi đóng khác
rỗng trong Rn sao cho C ∩ D = ∅. Giả sử có ít nhất một tập compac,
khi đó hai tập này có thê tách mạnh được bời một siêu phẳng.

Chứng minh. Định lý1.1.6 Giả sử C là tập compac, ta chỉ ra tập C − D
đóng. Thật vậy, giả sử z k ∈ C − D và z k → z , ta có z k = xk − y k trong


8

đó xk ∈ C, y k ∈ D, vì C là tập compac nên có một dãy con xkj → x
khi j → +∞.
Vậy y kj = z kj − xkj → z − x ∈ D, vậy z = x − y ∈ C − D.
Điều đó chứng tỏ C − D là tập đóng, do 0 ∈
/ C − D nên theo bổ đề
trên, tồn tại t = 0, sao cho

< t, x − y >≥ α > 0
với mọi x ∈ C , y ∈ D.
Vậy

inf < t, x > −

x∈C

α
α
≥ sup < t, y > + .
2
2
y∈D

Chứng tỏ C và D có thể tách mạnh.


1.2

HÀM LỒI

Trong lịch sử, nghiên cứu về các hàm lồi bắt đầu trong bối cảnh
các hàm có giá trị thực của một biến thực, cung cấp một cái nhìn tuyệt
vời về vẻ đẹp và sự mê hoặc của toán học tiên tiến. Hàm lồi có ứng dụng
quan trọng, đồng thời chúng tạo ra nhiều định nghĩa khái quát.
Các nội dụng trình bày trong mục này được tham khảo trong các tài
liệu [5]và[7]

1.2.1

Định nghĩa về hàm lồi

Trong mục này I được định nghĩa là không gian không suy biến
(hay là không gian chứa vô số điểm).
Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm một biến số f : I → R, f được gọi là lồi
(hay hàm lồi ) nếu :

f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ,

(1.1)

với mọi x, y ∈ I , và với mọi λ ∈ [0, 1] .
Ví dụ 1.2.2. Chứng minh hàm số f (x) = x2 lồi trên (−∞, +∞), với
mọi x1 , x2 ∈ (−∞, +∞) và x1 = x2 . Ta có

• f (λx1 + (1 − λ)x2 ) = (λx1 + (1 − λ)x2 )2 = λ2 x21 + (1 − λ)2 x22 +
2λ(1 − λ)x1 x2 .

• λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) = λx21 + (1 − λ)x22 .


9

Ta hoán đổi tương đương

λ2 x21 + (1 − λ)2 x22 + 2λ(1 − λ)x1 x2 < λx21 + (1 − λ)x22
⇔λ(1 − λ)x21 + (1 − λ)(x22 − 2λx1 x2 − (1 − λ)x22 ) > 0
⇔λ(1 − λ)(x21 − 2x1 x2 + x22 ) > 0
⇔λ(1 − λ)(x1 − x2 )2 > 0.
Luôn đúng với λ ∈ (0, 1) và x1 = x2 , từ đó suy ra f (λx1 + (1 − λ)x2 ) <

λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
Vậy f (x) là hàm lồi trên (−∞, +∞).
Ví dụ 1.2.3. Tương tự ta cũng chứng minh được hàm g(x) = sin x là
hàm lồi trên [−π, 0] và hàm h(x) = |x| là hàm lồi trên (−∞, ∞).
Định nghĩa 1.2.4. Nếu −f là hàm lồi, thì chúng ta nói rằng f là hàm
lõm. Nếu f là hàm vừa lồi vừa lõm, thì f được gọi là hàm affine.
Định nghĩa 1.2.5. Hàm f : I → R được gọi là lồi chặt với điều kiện
bất đẳng thức (1.1) là đúng đối với x = y hay

f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) ,
với 0 ≤ λ ≤ 1.
Về mặt hình học thì (1.1) có nghĩa là nếu P, Q và R là ba điểm bất
kỳ trên biểu đồ với Q nằm giữa P và R thì Q thuộc đoạn thẳng P R
hay nằm bên dưới đoạn thẳng P R (xem Hình 1.1). Về slope, nó tương
ứng với

slopeP Q ≤ slopeP R ≤ slopeQR.


(1.2)

Bất đẳng thức (1.2) đúng khi f lồi chặt

1.2.2

Tính liên tục và khả vi

Một hàm lồi và hữu hạn trên một khoảng [a, b] bị chặn trên bởi

M = max (f (a), f (b)): với mọi z ∈ (a, b), ∃λ ∈ (0, 1) thì
f (z) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b) ≤ λM + (1 − λ)M = M.
Một hàm lồi cũng được giới hạn dưới bằng cách viết một điểm tùy ý
dưới dạng (a + b)/2 + t. Khi đó ta có
1
a+b
1
a+b
a+b
≤ f
+t + f
−t ,
f
2
2
2
2
2



10

Figure 1.1

hoặc

f

a+b
+ t ≥ 2f
2

a+b
2

−f

a+b
−t ,
2

sử dụng M làm giới hạn trên
a+b
−f [
− t] ≥ −M,
2
vì thế
a+b
a+b

− M = m.
f
+ t ≥ 2f
2
2
Chúng ta sẽ chứng minh rằng đối với bất kỳ khoảng con [a, b] bên trong
của miền, có một hằng số K sao cho với hai điểm x, y ∈ [a, b] và

|f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|.

(1.3)

Một hàm thỏa mãn (1.3) đối với một số K nào đó và tất cả x và y trong
một khoảng đã cho được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
Định lý 1.2.1. Nếu f : I → R là hàm lồi, f thỏa mãn điều kiện
Lipschitz trên bất kỳ khoảng đóng [a, b] và I 0 là phần trong của I . Khi
đó f hồn tồn liên tục trên [a, b] và cũng liên tục trên I 0 .
Chứng minh. Chọn > 0 sao cho a − và b − thuộc I và đặt m và
M lần lượt là giới hạn dưới và giới hạn trên của f trên khoảng [a − ,

b − ],nếu x và y các các điểm khác của [a, b].
Ta đặt
z=y+

|y − x|

(y − x) và λ =

|y − x|
,

+ |y − x|

khi đó z =∈ [a − , b − ], y = λz + (1 − λ)x và chúng ta có


11

f (y) ≤ λf (z) + (1 − λ)f (x) = λ[f (z) − f (x)] + f (x)
|y − x|
(M − m) = K|y − x|,
f (y) − f (x) ≤ λ(M − m) <
trong đó K = (M − m)/ .
Điều này đúng với mọi x, y ∈ [a, b] nên ta kết luận rằng

|f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|
luôn đúng.
Tiếp theo hàm f liên tục tuyệt đối trên [a, b] nếu với bất kỳ > 0, chúng
ta có thể tạo ra δ > 0 sao cho mọi họ các khoảng mở (ai , bi )ni điều là
các phân đoạn mở của [a, b] với
n

n

(bi − ai ) < δ ,
i=1

|f (bi ) − f (ai )| < .
i=1

Rõ ràng ta có thể chọn δ =


thì đáp ứng được u cầu.
K
Như vậy tính liên tục của hàm f trên I 0 là kết quả của sự tùy chọn bất
kỳ trong khoảng [a, b].
Định lý 1.2.2. Một hàm lồi f : I → R liên tục tại mỗi điểm nằm trong
I.
Chứng minh. Giả sử a ∈ intI và

> 0 sao cho [a − , a + ] ⊂ I, khi

đó

f (a) ≤ 21 f (a − ) + 21 f (a + ),
và

f (a ± t ) = f ((1 − t)a + t(a ± )) ≤ (1 − t)f (a) + tf (a ± ) ,
với mọi t ∈ [0, 1]. Vì thế

t(f (a ± ) − f (a)) ≥ f (a ± t ) − f (a) ≥ −t(f (a ± ) − f (a)),
mặt khác

||f (a ∓ t ) − f (a)|| ≤ t max {||f (a − ) − f (a)||, ||f (a + ) − f (a)||} ,


12

với mọi t ∈ [0, 1].
Từ đó suy ra f liên tục tại a.
Định lý 1.2.3. Hàm f : I → R là hàm lồi khi và chỉ khi thỏa mãn hai

điều kiện sau:
1. f liên tục tại mỗi điểm bên trong của I .
2. f là hàm lồi trung điểm, nghĩa là

f

x+y
2

≤

f (x)+f (y)
2

trong đó x, y ∈ I.
Chứng minh. Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh định lý.
Nếu f khơng lồi, thì sẽ tồn tại một khoảng con [a, b] sao cho đồ thị
f |[a, b] không nằm dưới dây cung (a, f (a)) và (b, f (b))

ϕ(x) = −f (x) + f (a) +

f (b)−f (a)
b−a (x

− a) với x ∈ [a, b],

kiểm tra γ = inf (ϕ(x) : x ∈ [a, b]) < 0, ta thấy rằng −ϕ là trung điểm
lồi, liên tục và ϕ(a) + ϕ(b) = 0.
Đặt c = inf (x ∈ [a, b] : ϕ(x) = γ) khi đó ϕ(c) = γ và c ∈ (a, b), theo
định nghĩa cuả c, với mọi h > 0 sao cho c ± h ∈ (a, b) chúng ta có


ϕ(c − h) > ϕ(c) và ϕ(c + h) ≥ ϕ(c),
khi đó

−ϕ(c) >

−ϕ(c−h)−ϕ(c+h)
.
2

Mâu thẫu với điều kiên ban đầu −ϕ là trung điểm lồi .
Hệ quả 1.2.4. Đặt f : I → R là hàm liên tục, khi đó f là hàm lồi khi
và chỉ khi:

f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) ≥ 0,
trong đó x ∈ I và với mọi h > 0 sao cho (x + h) và (x − h) đều thuộc

I.


13

Hệ quả trên cho phép chúng ta kiểm tra ngay độ lồi ( lõm) của một
số hàm phổ biến.
Định nghĩa 1.2.6. Đạo hàm của hàm lồi được định nghĩa theo đạo
hàm trái và đạo hàm phải được xác định bởi
(x)
f− (x) = lim f (y)−f
y−x ,
y↑x


(x)
f+ (x) = lim f (y)−f
y−x .
y↓x

Định lý 1.2.5. Nếu f : I → R là hàm lồi [lồi tuyệt đối], thì f− (x) và
f+ (x) tồn tại và tăng [tăng mạnh] trên I 0 .
Chứng minh. Xét các điểm w < x < y < z trong I 0 với P, Q, R và S
các điểm này tương ứng nằm trên đồ thị (xem Hình 1.2).

Figure 1.2

Khi đó bất đẳng thức(1.2) mở rộng đếm bốn điểm, ta được

slopeP Q ≤ slopeP R ≤ slopeQR ≤ slopeQS ≤ slopeRS,

(1.4)

cùng với bất đẳng thức vô hạn nếu f lồi mạnh. Khi đó P R ≤ slopeQR,
rõ ràng slopeQR tăng khi x ↑ y và tương tự slopeRS giảm khi z ↓ y .
Do đó

f (x) − f (y) f (z) − f (y)
≤
.
x−y
z−y



14

Bên trái của bất đẳng thức tăng khi x ↑ y và bên phải bất đẳng thức
giảm khi z ↓ y . Điều này đảm bảo rằng f− (y), f+ (y) tồn tại và thỏa
mãn với y ∈ I 0

f− (y) ≤ f+ (y).

(1.5)

Hơn nữa sử dụng (1.4) một lần nữa chúng ta thấy rằng
f (x) − f (w) f (y) − f (x)
f+ (w) ≤
≤
≤ f− (y),
(1.6)
x−w
y−x
với bất đẳng thức ngặt nếu f lồi chặt. Điều này kết hợp với (1.5) ta
được

f− (w) ≤ f+ (w) ≤ f− (y) ≤ f+ (y).

(1.7)

Điều này thiết lập tính đơn điệu của hàm f− và f+ .
Định lý 1.2.6. Nếu f : I → R là hàm lồi trên khoảng mở I , thì tập E
trong đó f khơng tồn tại là đếm được. Hơn nữa f liên tục trên I/E .
Chứng minh. Từ định lý trên ta có


lim f+ (x) = f+ (ω) , lim f+ (x) = f− (ω),

{x↓ω}

{x↑ω}

như vậy f+ (ω) = f− (ω) khi và chỉ khi f+ là hàm lồi tại ω .
Khi đó E tồn tại khơng liên tục của hàm tăng f+ và do đó hàm có thể
đếm được.
Như vậy trên I/E , hàm f+ là hàm liên tục và hàm f cũng hòa hợp với

f+ trên I/E cũng là hàm liên tục ở đó.
1.2.3

Một số đặc điểm về hàm lồi

Theo cách tương tự, định nghĩa của hàm lồi phục vụ các mục đích
hữu ích, nhưng các nhà toán học thường nhận ra và suy nghĩ về các hàm
lồi theo nhiều cách khác: bằng cách biểu diễn tích phân, bởi các tính
chất của đạo hàm hay bởi các tính chất hình học của đồ thị. Tất cả các
đặc điểm này và một số thứ khác cũng được xem xét trong phần này.
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách biểu diễn một hàm lồi như một tích
phân.


15

Định lý 1.2.7. Hàm f : (a, b) → R là hàm lồi khi và chỉ khi có một hàm
tăng g : (a, b) → R với một điểm c ∈ (a, b) sao cho với mọi x ∈ (a, b)
x


f (x) − g(x) =

g(t)dt.

(1.8)

c

Chứng minh. (=>) Giả sử f là hàm lồi. Chọn g = f+ mà tồn tại và là
hàm tăng, chọn c bất kỳ thuộc (a, b), theo Định lý 1.2.1 thì f hồn tồn
liên tục trên [c, x], ta có
x

f (x) − f (c) =

f+, (t)dt

x

=

c

g(t)dt.
c

(<=) Ngược lại. Giả sử (1.8) với g tăng, đặt α, β tương ứng với α+β = 1.
Sau đó cho x < y trong (a, b), ta có
y


αf (x)+βf (y)−(α+β)f (αx+βy) = β

αx+βy

g(t)dt−α
αx+βy

g(t)dt.
x

Để ràng buộc biểu thức bên dưới ta thay cả hai số nguyên bằng hằng
số g(αx + βy), khi đó chúng ta có được phía bên vế phải như sau
y

αx+βy

g(t)dt − α

β
αx+βy

g(t)dt
x

=βg(αx + βy)[y − (αx + βy)] − αg(αx + βy)[(αx + βy) − x],
khi đó ta tính tốn được biểu thức trên bằng 0.
Do đó

αf (x) + βf (y) − f (αx + βy) ≥ 0,

hay

αf (x) + βf (y) ≥ f (αx + βy),
vậy f là hàm lồi,
Vậy điều phải chứng minh.
Nhắc lại Định lý 1.2.5 cho chúng ta thấy rằng, đối với một hàm
khả vi thì một hàm lồi có đạo hàm tăng. Điều này cũng có hai chiều.
Định lý 1.2.8. Giả sử f khả vi trên [a, b], khi đó f là hàm lồi [lồi chặt]
khi và chỉ khi f là hàm tăng [tăng vô hạn].


16

Chứng minh. (=> )Ta đã chứng minh từ Định lý 1.2.5.
(<=) Giả sử f là hàm tăng [tăng vô hạn]. Khi đó, các định lý cơ bản
của vi phân thỏa mãn rằng:
x

f (x) − f (c) =

f (t)dt,
c

với mọi c ∈ (a, b).
Khi đó f là hàm lồi [lồi chặt] được suy ra từ định lý 1.2.7.
Định lý 1.2.9. Giả sử f tồn tại trên khoảng (a, b), khi đó f là hàm
lồi khi và chỉ khi f (x) ≥ 0 trên (a, b). Và nếu f (x) > 0 trên (a, b) thì
f là hàm lồi chặt (mạnh) trên khoảng (a, b).
Chứng minh. Theo giả thuyết từ định lý thì f là tăng khi và chỉ khi f
khơng âm và f tăng vô hạn khi nào f (x) dương. Kết hợp với định lý

Định lý 1.2.8 ta suy ra được điều phải chứng minh.
Chiều ngược lại nếu f là hàm lồi tuyệt đối thì f (x) > 0 trên (a, b)
khơng xảy ra.
Ví dụ 1.2.7. Chọn f (x) = x4 trên (−1, 1) là một hàm lồi như ta thấy
f (x) = 12x2 ≥ 0.
Những đặc tính tiếp theo phụ thuộc vào ý tưởng rõ ràng về mặt
hình học là thông qua bất kỳ điểm nào trên đồ thị hàm lồi, thì sẽ có
một đường thẳng nằm trên hay nằm dưới đồ thị (Xem Hình 1.3)

Figure 1.3

Khi đó, ta nói rằng một hàm f được định nghĩa trên I có đường hỗ


17

trợ (support) tại x0 ∈ I nếu tồn tại một hàm affine A(x) = f (x0 ) +

m(x − x0 ) sao cho A(x) ≤ f (x) với mọi x ∈ I . Đồ thị của hàm hỗ trợ
A (supportA) được gọi là đường hỗ trợ f (supportf ) tai x0 .
Định lý 1.2.10. Hàm f : (a, b) → R là hàm lồi khi và chỉ khi có ít nhất
một đường support f tại mỗi điễm x0 ∈ (a, b).
Chứng minh. (=>)Nếu f là hàm lồi và x0 ∈ (a, b), chọn m ∈ [f− (x0 ), f+ (x0 )].
Ta đã nói ở Mục 1.2.2 khi đó ta có rằng

f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
≥ m (với x > x0 ) hoặc
≤ m (với x < x0 ),
x − x0

x − x0
trong cả hai trường hợp,

f (x) − f (x0 ) ≥ m(x − x0 ) ⇒ f (x) ≥ f (x0 ) + m(x − x0 ),
hoặc

f (x) − f (x0 ) ≤ m(x − x0 ) ⇒ f (x) ≤ f (x0 ) + m(x − x0 ).
Vậy f là một đường support tại x0 ∈ (a, b).
(<=) Ngược lại, giả sử f là một đường support tại mỗi điểm của (a,b),
đặt x, y ∈ (a, b).
Nếu x0 = λx + (1 − λ)y , với λ ∈ [0, 1] và đặt

A(x) = f (x0 ) + m(x − x0 ),
là một hàm support f tại x0 . Khi đó

f (x0 ) = A(x0 ) = λA(x) + (1 − λ)A(y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),
suy ra f là hàm lồi.
Vậy định lý đã được chứng minh.

1.2.4

Các phép toán bảo tồn tính lồi

Phần trên ta đã đưa ra một số cách chứng minh hàm lồi. Tuy nhiên,
thông thường các hàm lồi dễ dàng được chứng minh bằng cách lưu ý