Bài tập về Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8 năm 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (721.54 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI SỐ 8 – NĂM HỌC 2019

Chuyên đề:

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ







2 2 2

A + B = A + 2AB + B (1)







2 2 2

A - B = A - 2AB + B (2)

 2 2







A - B - A + B A - B (3)







3 3 2 2 3

A + B = A + 3A B + 3AB + B (4)

= A + B + 3AB A + B3 3











3 3 2 2 3

A - B = A - 3A B + 3AB - B (5)

= A - B - 3AB A - B3 3





 3 3







2 2



A + B = A + B A - AB + B (6)

 3 3







2 2



A - B = A - B A + AB + B (7)

KIẾN THỨC BỔ SUNG 
1. Bình phương của đa thức

2 2 2 2

1 2 n 1 2 n 1 2 1 3 1 n

(a + a + ... + a ) = a + a + ... + a + 2a a + 2a a + ... + 2a a

+ 2a a + 2a a + ... + 2a a + ... + 2a a .2 3 2 4 2 n n-1 n

Đặc biệt, với n = 3 ta có :

2 2 2 2

(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

n n n-1 n(n-1) n-2 2 n(n-1)(n-2) n-3 3 n

(a + b) = a + na b + a b + a b + ... + b .

1.2 1.2.3

Cho n các giá trị từ 0 đến 5 ta được :

Với n = 0 thì



a + b = 1



0
Với n = 1 thì



a + b = a + b



Với n = 2 thì



a + b



2 = a + 2ab + b2 2

Với n = 3 thì



a + b



3 = a + 3a b + 3ab + b3 2 2 3

Với n = 4 thì





4 4 3 2 2 3 4

a + b = a + 4a b + 6a b + 4ab + b

Với n = 5 thì





5 5 4 3 2 2 3 4 5

a + b = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b

Ta nhận thấy khi khai triển (a+b)n ta được một đa thức có n + 1 hạng tử, hạng tử đầu là an, hạng

tử cuối là n

b , các hạng tử còn lại đều chứa các nhân tử a và b.

Vì vậy n n n

(a+b) = B(a) + b = B(b) + a .

3. Bảng các hệ số khi khai n
(a+b)

Với n = 0 : 1

Với n = 1 : 1 1

Với n = 2 : 1 2 1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.

Bảng trên đây được gọi là tam giác Pa-xcan.

B. MỐT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn :





 



5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b

thì tam giác đó là tam giác vng.

Giải.





 

















  





2
2

2 2 2

2 2 2 2 2

Ta có 5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b
<=> 5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c = 3a - 5b

<=> 5a - 3b - 4c = 3a - 5b

<=> 25a - 30ab + 9b - 16c = 9a - 30ab + 25b
<=> 25a - 9a2 + 9b - 25b - 16c

   

   

2 2 2

2 2 2 2 2 2

= 0
<=> 16a - 16b - 16c = 0

<=> 16a = 16b + 16c <=> a = b + c .

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c chính là một tam giác vng.

Ví dụ 8. Cho x + y = -9 ; xy = 18. Khơng tính các giá trị của x và y, hãy tính giá trị của các biểu
thức sau :

2 2 4 4 2 2

a M = x + y ; b N = x +) ) y ; c P = x - y . )

Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của các biểu thức M,

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>





 





 





2 2 2 2

4 4 4 2 2 4 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

a M = x + y = x + 2xy + y - 2xy = x + y - 2xy
= -9 - 2.18 = 45.

b) N = x + y = x + 2x y + y - 2x y = x + y 2 - 2 xy
= 45 - 2.18 = 1377.

c Ta có x - y = x - 2xy + y = x + 2xy + y
)

) - 4x





 

y
= x + y - 4xy = -9 2 - 4.18 = 9.

Suy ra x - y = ±3.

• Nếu x - y = 3 thì

P = x - y = x - y x + y = 3. -9 = -27.

2 2







 

• Nếu x - y = -3 thì 2 2





    

P = x - y = x - y x + y = -3 . -9 = 27. .

Ví dụ 9. Tìm x, y, z biết:





2 2

x - 6x + y + l0y + 34 = - 4z - l .

Giải.

Ta có

x - 6x + y + l0y + 34 = - 4z - l

2 2





Suy ra



x - 6x + 9 + y + l0y + 25 = - 4z - l2

 











x - 3



2 + y + 5



 

2 + 4z - l



2 = 0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Nội dung của phương pháp này dựa vào nhận xét:

2 2 2

A



0; B



0; C



0

Nếu có

A +B +C =0

2 2 2 thì A =B =C =0.2 2 2 .

Ví dụ 10. Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng

a +b +c =3abc.

3 3 3

Giải. Từ a + b + c = 0, suy ra a + b = -c.

Lập phương hai vế ta được 3 3

(a + b) (-c) .

Suy ra a + b +3ab(a + b) = - c 3 3 3

Thay a + b = -c vào đẳng thức trên ta được a + b + 3ab -c = -c .3 3

 

Do đó 3 3 3

a + b + c = 3abc.

Lưu ý.

• Nên nhớ kết quả của ví dụ này để vận dụng giải nhiều bài tốn khác.
• Trong q trình giải ví dụ trên ta đã khai triển 3

(a+b) thành

a + b

3 3



3ab(a + b)

(1) tiện lợi

hơn là khai triển thành 3 2 2 3

a + 3a b + 3ab + b (2) vì trong khai triển (1) có

sẵn (a + b) để thay bằng - c ra kết quả được nhanh chóng.

Ví dụ 11. Số

a = 8

31000

- 1

là số nguyên tố hay hợp số ?

Giải. Ta có 31000 3 nên ta đặt

3

1000

= 3 (n



N*).

Do đó 3n n 3 3

a = 8 - 1(8 ) - 1

= (8 - 1)(8 + 8 + 1).n 2n n

Số a là tích cửa hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên a là hợp số.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>











2 2



a5 - b5 - a - b = 5ab a - b a - ab + b

Giải

• Xét vế trái T : 5 5





T = a - b - a - b .

= a - b - a - 5a b + 10a b - 10a b + 5ab - b5 5



5 4 3 2 2 3 4 5



= a - b - a + 5a b - 10a b + 10a b - 5ab + b5 5 5 4 3 2 2 3 4 5

= 5a b - 10a b + 10a b - 5ab .4 3 2 2 3 4

• Xét vế phải P :

P = 5ab a - b a - ab + b







2 2



= 5ab a - 2a b + 2ab - b



3 2 2 3



= 5a b - 10a b + 10a b - 5ab .4 3 2 2 3 4

Vậy T = P.

Ví dụ 13. Cho



a + b + c



2 = 3 ab + bc + ca .





Chứng minh rằng a = b = c.

Giải. Ta có



a + b + c



2 = 3 ab + bc + ca















 



























2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

<=> a + b + c + 2 ab + bc + ca = 3 ab + bc + ca
<=> a + b + c - ab - bc - ca = 0

<=> a - 2ab + b + b - 2bc + c + c - 2ca + a = 0
<=> a - b + b - c + c - a = 0

<=> a - b = b - c = c - a

 

 















2 2 2



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:















a 5 x + 4 + 4 x - 5) - 9 4 + x x - 4 ;





















b x + 2y) + 2x - y - 5 x + y x - y - 10 y + 3 y - 3 .

2. Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí:

a) 413(413 - 26) + 169;

2 4 16

b) (625 + 3)(25 - 3) - 5 + 10;

2 2

41 + 39 + 82.39

c) .

41 - 39
 3. Tìm x biết:

a) (5x - 1) - (5x - 4)(5x + 4) = 7;

2 2 2

b) (4x - 1) - (2x + 3) + 5(x + 2) + 3(x - 2)(x + 2) = 500.

4. Cho biểu thức 2 2 4 2

A = (x +x+1)(x -x+1)(x -x +1).

Chứng minh rằng biểu thức A ln ln có giá trị dương với mọi giá trị của biến.

5. Tìm x biết:















a x + 4 x - 4x + 16 - x x - 5 x + 5 = ) 264 ;



 





2









b x - 2 - x - 2 x + 2x + 4 + 6 x - 2 x + 2 ) = 60.

6. Tìm giá trị của biểu thức :

3 2

a A = x - 15x + 75x) - 124 tại x = 35;

3 2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3 3
3 3

a +b a+b

a +c a+c

8. Thu gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau :

2 2 2

a) (a+b+c) + (a++b-c) - 2(a+b)

2 2 2 2

b) (a+b+c) + (-a+b+c) + (a-b+c) + (a+b-c) với a +b +c = 10.2 2 2

9. Chứng minh đẳng thức :

4 4 4 2 2 2

(x+y) + x + y = 2(x +xy+y ) .

10. Tính:













</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Bài tập về Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8 năm 2019

<b>ĐẠI SỐ 8 – NĂM HỌC 2019 </b>

<i><b>Chuyên đề:</b></i>

<b> NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ </b>











































































 







 

















  









 





 









 

P = x - y = x - y x + y = 3. -9 = -27.







 





    





x - 6x + y + l0y + 34 = - 4z - l

