De va Dap an thi HK II mon toan 0910

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (85.92 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sở Giáo dục và Đào tạo

TP. Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 ( 2009-2010) 
 Mơn Tốn lớp 12

Thời gian làm bài : 120 phút

A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 ñiểm) 
Câu 1. (2,5 ñiểm)

Cho hàm số : ( )

1
2
3

C
x

x
y

+
+
=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số.

b) Tính diện tích hình phẳng (S) giới hạn bởi ñồ thị (C), trục Ox,
trục Oy và ñường thẳng x =1.

Câu 2.(1 điểm) Xét hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2

4 x

y= − và
trục Ox. Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối trịn
xoay ñược tạo nên.

Câu 3. (1,5 điểm)

Tính các tích phân :

a) I=

∫

0
2

1dx

x

x b) J=

∫

dx
e

x

Câu 4. (2 ñiểm)

Trong không gian Oxyz, cho ñường thẳng (D) :






−
=

+
=

t
1
z

3
y

t
2
x

và ñiểm A(2 ; 1 ; 0).

a)Chứng minh ñiểm A khơng thuộc đường thẳng ( D ).Viết phương
trình mặt phẳng (P) chứa A và ( D ).

b)Tìm tọa độ các ñiểm M thuộc ñường thẳng ( D ) cách ñiểm A một
khoảng bằng 3.

B.PHẦN RIÊNG : ( 3 ñiểm)

Học sinh chỉ ñược làm một trong hai phần( phần I hoặc phần II) 
I)Theo chương trình chuẩn.

1) Giải các phương trình sau trong tập số phức:
a) z2 +3z+4=0

b) z2 +2=0

2) Trong khơng gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của

điểm A(−2 ; 1; 3 ) lên ñường thẳng ( d) :

2
1
2

3 +

=
−
=

− y z

x

II)Theo chương trình nâng cao.

1) Tìm các số phức z trong mỗi trường hợp sau:
a) z2 +i=0

b) z4 +1=0

2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) ñi qua ñiểm

A(2 ; 3 ; 4) và tiếp xúc với mp(Oxy) tại ñiểm H(1 ; -2 ; 0)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 ( 2009-2010)
 Mơn Tốn lớp 12

A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 ñiểm) 
Câu 1. (2,5 ñiểm)

Cho hàm số : ( )

1
2
3

C
x

x
y

+
+
=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số.

Tập xác ñịnh : R\{−1} 0,25 ñ

Sự biến thiên.

. chiều biến thiên : 0, 1

)
1
(

' 2 > ∀ ≠−

= x

x

y 0,25 ñ

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞) 0,25 đ
Hàm số khơng có cực trị

Tiệm cận : 3

1
2

3 =

+
+
=

±∞
→
±∞

→ x

x
Lim
y
Lim

x

1 1

xLim y→− − = +∞ và Lim yx→−+ = −∞ 0,25 ñ

Đường thẳng y=3 là tiệm cận ngang

Đường thẳng x=−1 là tiệm cận ñứng. 0,25 ñ
Bảng biến thiên

- Điểm khơng xác định
- Dấu của ñạo hàm

- Chiều biến thiên
-Các giá trị của giới hạn

0,25 ñ

Đồ thị cắt trục Oy tại ñiểm ( 0 ; 2 ), cắt trục Ox tại ñiểm (

3
2

−

;0)
Vẽ ñồ thị .

Lưu ý: Giao ñiểm của hai tiệm cận là tâm ñối xứng của ñồ thị.
 0,25 đ
b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị (C), trục Oxvà trục

Oyvà ñường thẳng x = 1.

Giao ñiểm của ( C )với trục Ox : (

3
2

−

; 0 )

Vì 0

1
2

3 >

+
+
=

x
x

y với x∈[0;1] nên diện tích hình phẳng cần tìm :

∫

= − +

+
−
=
+

+
=

1
0
1

)
1
3

(
)
1
1
3
(
1

2
3

x
Ln
x
dx
x
dx

x
x

S 0,5 ñ

S =3−Ln2 ( ñvdt) 0,25 ñ

Câu 2.(1 điểm) Xét hình phẳng giới hạn bởi ñường cong 2

4 x

y= − và trục

Ox. Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối trịn xoay
được tạo nên.

Giao ñiểm của ñường cong 2

4 x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm là

: V=

∫

−

−
−

+
−
=

− 2

2
2
5
3
4

2
2

)
5
3

8
16
(
)

( x dx π x x dx π x x x

π 0,5 ñ

V= ( )

15
512
)
5
32
3
64
32
(

2π − + = π ñvtt 0,25 ñ

Câu 3. (1,5 ñiểm)

Tính các tích phân :

a) I=

∫

0
2

1dx

x
x

Đặt u =x2 +1 thì du=2xdx 0,25 
đ
Ta có :x = 0 thì u=1

x = 1 thì u =2

Vậy I =

3
1
8
)

(
2

1
2

3 −

=
=

∫

u du u 0,5 ñ

b) J=

∫

0
dx
e

x

x Đặt u= x thì u'=1 0,25 đ

x

x e thì v e

e

v'= 1 = − =− −

(ta chọn v là một nguyên hàm của v’)

Ta có J=

e
e
e

e
e

e
dx
e
e

x. x x 1 ( x) 10 1 1 1 2

0
1

−
=
+
−
+
−
=
−

+
−
=
+

− −

∫

− −

0,5 ñ
 Câu 4. (2 ñiểm)

Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (D) :






−
=

+
=

t
1
z

2t
3
y

t
2
x

và ñiểm A(2 ; 1 ; 0).

a)Chứng minh điểm A khơng thuộc đường thẳng ( D ).Viết phương
trình mặt phẳng (P) chứa A và ( D ).

Thế tọa ñộ ñiểm A vào phương trình tham số của ( D ) :

)
(
1

0
t
t

1
0

2t
3
1

t
2
2

lý
vơ





=
=
⇔








−
=

+
=

Vậy điểm A khơng thuộc ( D ). 0,5 ñ

Đường thẳng ( D ) ñi qua B(2 ; 3 ; 1) và có vectơ chỉ phương

→

D

a (1 ; - 2 ; -1)

Mp(P) chứa ( D ) và ñiểm A nên ñi qua A, có vectơ pháp tuyến là

= → →

→

]
,

[a AB

nP D (0 ; -1 ; 2)

( =(0;2;1)

→

AB )

Phương trình mp(P):

0
1
2
0

2
)
1
)(
1
(
0

)
2

(x− + y− − + z= ⇔−y+ z+ = 0,5 ñ

b)Tìm tọa độ các điểm M thuộc ñường thẳng ( D ) cách ñiểm A một
khoảng bằng 3.

Điểm M thuộc (D) nên : M(2+t ; 3 -2t ; 1-t) 0,25ñ
Khoảng cách giữa hai ñiểm A , M :

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3
1
2

0
4
10
6
3
)
1
(
)
2
2

( 2 2 2

2 + − + − = ⇔ − − = ⇔ = = −

⇔ t t t t t t v t

0,25ñ

Vậy có hai điểm M tìm được là : M1(4 ; -1 ; -1) ; M2( )

3
4
;
3
11
;
3
5

0,5 ñ

B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm) 
I)Theo chương trình chuẩn.

1) Giải các phương trình sau trong tập số phức:
a) z2 +3z+4=0

Ta có ∆=9−16=−7

∆ có hai căn bậc hai là : ±i 7

Phương trình có hai nghiệm :

2
7
3 i

z= − ± 0,75 ñ

b) z2 +2=0⇔ z2 =−2=2i2 ⇔z =±i 2 0,75 ñ

2) Trong khơng gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của

điểm A(-2 ; 1; 3 ) lên ñường thẳng ( d) :

2
1
2

3 = +

−
=

− y z

x

Phương trình tham số của đường thẳng ( d):






+
−
=

−
=

+
=

t
z

t
y

t
x

2
1

0,25 ñ

Đường thẳng (d ) có vectơ chỉ phương là a→d =(1 ; -2 ; 2) 0,25 ñ

Điểm H thuộc (d) : H ( 3 + t ; -2t ; -1 + 2t) 0,25 ñ

)
2
4
;
2
1
;
5

( t t t

AH→ = + − − − + 0,25 đ

Ta có AH vng góc với ( d) nên AH→ .a→d =0⇔5+t+2+4t−8+4t =0

9
1

⇔t 0,25 ñ

Vậy H ( )

9
7
;
9

2
;
9

28 − −

0,25 ñ
Cách khác :

Xét mặt phẳng (P) qua A và vng góc với đường thẳng ( d).
Viết phương trình mp(P) qua A( -2 ; 1 ; 3 ), có vectơ pháp tuyến là

→

d

a (1 ; -2 ; 2)

Mp(P) : ( x+2)1 + (y-1) (-2) + ( z-3)2 = 0⇔ x-2y+2z-2 = 0

H chính là giao ñiểm của (d) và mp(P):









=
−
+
−

+
−
=

−
=

+
=

0
2
2
2

2
1

2
3

z
y
x

t
z

t
y

t
x

Giải hệ trên ta ñược H ( )

9
7
;
9

2
;
9

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

II)Theo chương trình nâng cao.

1) Tìm các số phức z trong mỗi trường hợp sau:
a) z2 +i=0

Ta có z2 +i=0⇔z2 =−i

Nên z là các căn bậc hai của số phức −i
Ta ñặt z=a+bi với a, b là các số thực thì :
(a+bi)2 =−i⇔a2 −b2 +2abi=−i








=
−
=








−
=

=
⇔





=
−
=
⇔





−
=
±
=
⇔





−
=

−
⇔

2
2

2
2
2

1
2
1
2

1
2

2
2

b
a
v
b

a
a

b
a
ab

b
a

Vậy : z i

2
2
2

2 −

= hoặc z i

2
2

2 +

−

= 1 đ

b) Ta có z4 +1=0⇔ z4 =−1=i2 ⇔(z2 =i)v(z2 =−i)

i
z

v
i
z

2
2
2

2
2

+
−
=
−

=
−

−
=

=
⇔

0,5 ñ
2) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) ñi qua ñiểm
A(2 ; 3 ; 4) và tiếp xúc với mp(Oxy) tại ñiểm H(1 ; -2 ; 0)

Gọi I là tâm của mặt cầu thì I thuộc đường thẳng ( d) qua H, vng góc
với mp(Oxy).

Đường thẳng ( d) qua H ( 1 ; -2 ; 0 ) và có VTCP là ( 0 ; 0 ; 1 )
Phương trình đường thẳng ( d )







+
=

+
−
=

+
=

t
z

t
y

t
x

0
0
2

0
1

0,5 ñ 
Tâm I thuộc ( d) : I ( 1 ; -2 ; t)

Ta có :

IH = IA 2 2 2 2 2 2

)
4
(
)
3
2

(
)
2
1
(
)

2
2
(
)
1
1

( − + − + +t = − + − − + −t

⇔

4
21
8

26 2

2 = + − + ⇔ =

⇔t t t t

Vậy tâm I( )

4
21
;
2
;

1 − 0,5 đ

Bán kính mặt cầu ( S ) : IH =

4
21

0,25 ñ

Phương trình mặt cầu ( S ) : 2 2 2 2

)
4
21
(
)
4
21
(
)
2
(

)
1

(x− + y+ + z− = 0,25 ñ

</div>

De va Dap an thi HK II mon toan 0910

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

<sub>∫</sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về