nguyen van dien tamdai hoc 2010

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (371.06 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sở giáo dục và đào tạo KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

Thừa Thiên Huế LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2007 - 2008

Đề chính thức

Mơn :

TỐN

Thời gian làm bài : 180 phút

B 1:

(3 điểm)

Giải phương trình

:

sin

x c

os

x

1 (

x



)

.

B 2

: (4

)

a)

:

3 2

1 3

2 3

3

x
x

x



b)

Giải bất phương trình:

2 3

3 1 1

3

x x

2 3

x

(

x



)

.

B 3

: (4 điểm)

Tìm tất cả các giá trị thực của

m

để phương trình sau có một số lẻ

nghiệm thực:

2 2

(3

x

14 x

14)

4(3

x

7)(

x

1)(

x

2)(

x

4)

m

.

B 4

: (4,5 điểm)

Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không

trùng nhau. Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC

khi và chỉ khi :

tgB + tgC = 2tgA .

B 5:

(4,5 điểm)

a)

Cho

a, b

là các số thực khơng âm tùy ý có tổng nhỏ hơn hoặc bằng

.

Chứng minh rằng :

1 a

b

a b

a

b

a b

b)

Xét các số thực không âm thay đổi

x y z

, ,

thỏa điều kiện:

x

y

z

1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:

1 x

y

z

S

x

y

z

.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Sở giáo dục và đào tạo KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

Thừa Thiên Huế LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2007 - 2008

Môn :

TOÁN

ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM

1 NỘI DUNG ĐIỂM
(3đ)

Giải phương trình: 3 4

sin x cos x 1 (x )

Viết lại: 3 4 3 4 2 2

sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x

2 2 2

sin x 1 sinx cos x 1 cos x 0 (*)

0,5

Chú ý: sin2 x 1 sinx 0 và cos2 x 1 cos2x 0.
Do đó: (*) 2

sin x 1 sinx 0 và cos2x 1 cos2x 0

sinx = 0 hay sinx = 1 0,5

Nghiệm của phương trình đã cho là : x = k ; x =

2 + 2k (k )

NỘI DUNG ĐIỂM
B 2

(4đ)

Giải bất phương trình :

3

3x x2 1

2 3

x3 1

(

x



)

.

a) Ta có: 2+3x3 1=1+1+3x3 1 331.1.3x3 1 =

3 2

x

(BĐT Côsi, x )
x = 1.

1,0

Nhận xét x 1 là một nghiệm 0,5

Ta sẽ chứng tỏ với x 1 thì: 3 2 1

3 x x < 2 + 3 1

3x (1) 0,5

Ta có: 2+ 3 1

3x >

3 2

x

(câu a/ và x 1 )

và: x3+2 –3(3x-x2-1) = x3+3x2-9x+5 = (x-1)(x2+4x-5) = (x-1)2(x+5)

0,5

Với mọi x 5 và x 1 thì 33x x2 1

3 2

x

< 2 + 3x3 1
Với x 5 thì 33x x2 1 < 30 < 2 + 3x3 1

0,5

Từ đó (1) đúng với mọi x 1. 0,5

Vậy bất phương trình đã cho chỉ có một nghiệm là x = 1 . 0.5

B 3 NỘI DUNG ĐIỂM
(4đ) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ nghiệm thực:

(3x2 14x 14)2 4(3x 7)(x 1)(x 2)(x 4) m

Đặt: 3 2

( ) 1 2 4 7 14 8

f x x x x x x x và

g x( ) 3x2 14x 14 2 4 3x 7 f x( )
g(x) là đa thức bậc 4 với hệ số của x4

là

-

3 .Ta lập bảng biến thiên của g(x).

'( ) 3 14 14;

'( ) 2 3 14 14 6 14 12 ( ) 4 3 7 '( ) 12 ( )

f x x x

g x x x x f x x f x f x

'( ) 0 1; 2; 4.

g x x x x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(1) 9; (2) 4; (4) 36.

g g g

x - 1 2 4 +
g’(x) + 0

-

0 + 0

-g(x)

4
-

-Từ bảng biến thiên cho thấy phương trình ( )g x m có một số lẻ nghiệm khi
và chỉ khi: m 4;m 9;m 36.

1
B 4 NỘI DUNG ĐIỂM
(4,5đ) Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng

nhau. Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và
chỉ khi: tgB + tgC = 2tgA .

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ :
A(p,q) , B(-r,-s), C(r,-s) (r>0; s>0;q>0)

Ta có : ; 2

3 3

p q s

G )
và p2+q2 = r2+s2 (2)

Do O, G, H thẳng hàng nên GH//BC khi và chỉ khi yG 0 q 2s 0 (3) 0,5
Với tam giác ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC

Do đó : tgB + tgC = 2tgA tgB.tgC = 3 (4)

1
Ta có: tgB = q s

p r ; tgC =

q s

p r ; tgB.tgC =

2 2

(q s)

r p =

2 2

(q s)

q s (do(2))

Hay: tgB.tgC = q s

q s (5)

Nếu GH//BC thì từ (3) cho q = 2s. Từ (5) suy ra tgB.tgC = 3.
Do (4) mà tgB + tgC = 2tgA

0,5
Nếu tgB + tgC = 2tgA thì từ (4) và (5) cho q = 2s . Do (3) mà GH//BC. 0,5
BÀI 5 NỘI DUNG ĐIỂM

Câu a

(1,5đ) Chứng minh : 1 1 1 1

1 1 1

a b a b

a b a b (*) với a, b 0 và a + b

4
5

r
q

-r

-s
p

C

A

B

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bình phương các vế của (*) ta được:

2(1 )
1

ab

ab a b + 2

1 ( )
1

ab a b
ab a b

2
1 a b

+ 2 1 ( )

1
a b
a b
1
1
u v

u v

-1
1

v
v

(2 )

(1 )(1 )

u v

v v u (với u = ab; v = a + b)

0,5

1
1

u v

-

1
1

v

(2 ) 1 1

(1 )(1 ) 1 1

u v u v v

v v u u v v

(1 )(1 )

uv

u v v

(2 ) 1 1

(1 )(1 ) 1 1

u v u v v

v v u u v v

Nếu u = ab = 0 thì (*) có dấu đẳng thức.

0,5

Xét u >0. Lúc đó (*) đúng khi bất đẳng thức:
2
2
v
v
1
1
u v

u v +

1
1

v

v (**) đúng.

Ta có: 1
1

u v

u v +

1
1

v
v > 2

1
1

v
v = 2

2
1

1 v 2

2
1

4
1

5
= 2

3
Ngoài ra: 2

2
v
v=
2
2
1

v
<2

3 (Do 0 < v = a + b
4
5

< 1 ). Từ đó (**) là bất
đẳng thức đúng .

0,5

Câu b

(3đ)

Xét các số thực không âm thay đổi x,y,z thỏa điều kiện: x+ y + z = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: 1 1 1

1 1 1

x y z
S

x y z

Tìm MinS :

Từ x + y + z = 1 và x, y, z không âm, suy ra x, y, z thuộc đoạn [0;1] .

Vì 2

1 x 1 x 1 x 1 nên: 1 2

(1 )
1
x
x
x hay:
1
1
1
x
x

x . Dấu đẳng

thức xảy ra trong trường hợp x = 0 hoặc x = 1

0,5

Do đó: 1 1 1 1 1 1

1 1 1

x y z

S x y z

x y z hay S 2.

Khi x = y = 0 và y = 1 thì S = 2.
Vậy: MinS = 2 .

Tìm MaxS: Có thể giả sử: 0 x y z 1. Lúc đó: 1; 2 4

3 3 5

z x y .

Dùng câu a/, ta có:

1 1 1

x y z

S

x y z 1 +

1 ( )
1

x y

x y +

1
1

z

z =1 + 2

z
z +
1
1
z
z
0,5

Đặt h(z) =
2
z
z +
1
1
z

z . Ta tìm giá trị lớn nhất của h(z) trên đoạn

1
; 1
3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1
'( ) 0

h z z . axf(z)=Max h 1 ; (1); 1 2

3 2 3

M h h

Vì vậy : 1 1 1 1 2

1 1 1 3

x y z

S

x y z .

Khi x = 0 và 1

y z thì 1 2

S . Vậy: MaxS = 1 +

2

3

</div>

nguyen van dien tamdai hoc 2010

Mơn :

<b>TỐN</b>

<i>Thời gian làm bài : 180 phút </i>

(3 điểm)

Giải phương trình

:

sin

<i>x c</i>

os

<i>x</i>

1

(

<i>x</i>



)

.

<b>B 2</b>

: (4

)

<b>a)</b>

:

2 3

3

<i>x</i>

<b></b>

b)

Giải bất phương trình:

3

2 3

(

<i>x</i>



)

.

<b> B 3</b>

: (4 điểm)

<b> </b>

Tìm tất cả các giá trị thực của

<i>m</i>

để phương trình sau có một số lẻ

nghiệm thực:

(3

<i>x</i>

14

<i>x</i>

14)

4(3

<i>x</i>

7)(

<i>x</i>

1)(

<i>x</i>

2)(

<i>x</i>

4)

<i>m</i>

.

<b> </b>

<b>B 4</b>

: (4,5 điểm)

Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không

trùng nhau. Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC

khi và chỉ khi :

tgB + tgC = 2tgA .

<b>B 5: </b>

(4,5 điểm)

a)

Cho

<i>a, b</i>

là các số thực khơng âm tùy ý có tổng nhỏ hơn hoặc bằng

.

Chứng minh rằng :

1

1

1

1

1

1

1