<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

I

−

TỐN ƠN THI

I H C.

I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m).
Câu I (2,0 i m). Cho hàm s y x 2

x 1
+
=

− có th (C).
1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C).

2) Tìm hai i m A, B thu c (C) sao cho A, B i x ng nhau qua ng th ng d có ph ng
trình: x 3y 4 0+ − = .

Câu II (2,0 i m).

1) Gi i ph ng trình: sin x cos x4 4 1(tan x cot x)
sin 2x 2

+

= + .

2) Gi i b t ph ng trình: _{(x 3)(8 x) 26 11x x}2

− − + > − .

Câu III (1,0 i m). Tính:

1

0

2 x

x ln dx

2 x
+

− .

Câu IV (1,0 i m). M t m t c u n i ti p trong m t hình nón, bi t th tích kh i nón t ng ng b ng
hai l n th tích kh i c u t ng ng. Tính t s gi a di n tích tồn ph n c a hình nón v i di n tích
c a m t c u.

Câu V (1,0 i m). Ch ng minh r ng n u a, b, c là các s th c d ng th a mãn i!u ki n

ab bc ca abc+ + = thì: 1 1 1 3

a 2b 3c 2a 3b c 3a b 2c 16+ + + + + + + + < .
II/ PH N RIÊNG (3,0 i m).

A) Theo ch ng trình Chu n:

Câu VI.a) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy, vi t ph ng t"#nh ng th ng i qua i m M(8; 6) và t$o v i hai
tr%c t&a m t tam giác có di n tích b ng 12.

2. Trong khơng gian Oxyz cho hai i m A(1; 2;1)− , B( 1; 2; 0)− và m t ph ng
( ) : 2x y z 2 0α − + + = . Vi t ph ng trình m t ph ng (β) i qua hai i m A, B và t$o v i
m t ph ng (α) m t góc 600.

Câu VII.a) (1,0 i m). Cho s ph c _{z (11 5i)}2011 _{(11 5i)}2011

= − + + . Ch ng minh r ng z là s th c.
B) Theo ch ng trình Nâng cao:

Câu VI.b) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho parabol (P): _y2 _5x

= . ng th ng ∆ i qua i m A(3; 0) và c't
(P) t$i hai i m M, N. Ch ng minh r ng tích s kho ng cách t( M và N t i tr%c hoành là
m t s không )i.

2. Trong không gian Oxyz, hãy vi t ph ng trình ng th ng ∆ ti p xúc v i m t c u (S):

2 2 2

x +y +z −4x 8y 12z 39 0+ − + = t$i i m M(5; 2; 4)− và t$o v i ng th ng

x 1

' : y 4 t
z 5 t

= −

∆ = −

= +

m t góc 450.

Câu VII.b) (1,0 i m). Ch ng minh r ng th các hàm s

2

2x 1
y

x
+

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

S

O A

B

I H

Tóm t't cách gi i ! I. i m

1) TX : D = R\{1}.
y ' 3 ₂

(x 1)
−
=

− .

1

1

1
+∞

-∞

+∞

-∞

y'

y
x

Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng

(−∞;1), (1;+ ∞).

TC : x = 1 ; TCN: y = 1.

1,0
I

2) ∆ i qua H(4 3h; h) d− ∈ và ∆ ⊥d ∆: 3x y 10h 12 0− + − = .
PT H G c a ∆ và (C) : _3x2 _{(10h 16)x 10h 10 0 (1)}

+ − − + =

∆ c't (C) t$i hai i m A, B i x ng nhau qua H (1) có hai nghi m xA và xB th a

A B

H

x x
x

2
+

= 4 3h 5h 8

2

− +

− = h 1= . Th vào (1) _3x2 _{6x 0}

− =

x 0= y= −2 A(0; 2)− . x 2= y 4= B(2; 4) (th a K bài toán)

1,0

1) K: sinx.cosx ≠ 0 sin2x ≠ 0.

V i i!u ki n trên, ph ng trình ã cho t ng ng v i:

2

1

1 sin 2x ₁
2

sin 2x sin 2x
−

=
sin2x = 0 không th a K. V*y ph ng trình ã cho vơ nghi m.

1,0
II

2) _{(x 3)(8 x) 26 11x x}2

− − + > − −x2+11x 24 ( x− > − 2+11x 24) 2− −
t _y _x2 _{11x 24}

= − + − (y 0)≥ y2− − <y 2 0 0 y 2≤ < −x2+11x 24 2− <

2
2

x 11x 24 0
x 11x 28 0

− + − ≥

− + − < . T*p nghi m S [3; 4) (7; 8]= ∪ .

1,0

III

2 x
u ln

2 x
dv x dx

+
=

−
=

₂ 2 ₂

4

du dx

4 x

x 4 x 4

v

2 2 2

=
−

−

= − =

1 ₁

2

0
0

x 4 2 x 3

I ln 2 dx 2 ln 3

2 2 x 2

− +

= + = −

− 1,0

IV 2

n

3
c

OA .SO

V ₃

2
4

V _.OI

3
π

= =

π

2
2

OA .SO
2
4OI = .

n 2 2

tp

c 2 2

S .OA.SA OA OA.SA OA

S 4 OI 4OI

π + π +

= =

π
SIH

∆ ng d$ng v i SOA∆
IH SI

OA =SA OI.SA OA.SI OA(SO OI)= = − .

n 2 2 2 2

tp

c 3 3 3

S OA.SA.OI OA .OI OA (SO OI) OA .OI OA .SO
2

S 4OI 4OI 4OI

+ − +

= = = = .

1,0

V

ab bc ca abc+ + = 1 1 1 1
a b c+ + = (1)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1

a 2b 3c+ + = a c+ +2 b c+ ≤4 a c+ +2 b c+

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

1 1 1 1 1 1 1 3

.
a 2b 3c 16a 16c 32b 32c 16a 32b 32c+ + ≤ + + + = + +

ng th c x y ra a c 2(b c)
a b c

+ = +

= = c 0= (trái v i gi thi t).

1 1 1 3 _.

a 2b 3c 16a 32b 32c+ + < + +

T ng t ta có: 1 1 1 3
2a 3b c+ + <32a 32b 16c+ + ;

1 1 1 3

.
3a b 2c+ + <32a 32b 32c+ +
T( các b t ng th c trên và k t h+p v i (1) ta +c:

1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 .

a 2b 3c 2a 3b c 3a b 2c+ + + + + + + + < 16 32 32+ + a b c+ + =16
1) Gi s, ∆ c't Ox, Oy l n l +t t$i A(a; 0), B(0; b) :x y 1

a b

∆ + =

∆ i qua M(8; 6) 8 6 1

a b+ = 8b 6a ab (1)+ = . OAB
1

S ab 12

2

= = ab= ±24 (2)

1

A ( 8; 0)− , B (0; 3) 1 ∆1: 3x 8y 24 0− + = A (4; 0) , 2 B (0; 6)2 − ∆2: 3x 2y 12 0− − =

1,0
VI

a

2) Gi s, (β) có VTPT m (a; b; c) _(a2 _b2 _c2 ₀₎

+ + ≠ .

(

)

0

m AB

cos m, n cos60
⊥

= ₂ ₂ ₂

2a 4b c 0

2a b c 1

2
6 a b c

− + − =

− +
=

+ +

c 4b 2a₂ ₂
5a 16ab 11b 0

= −

− + =

2 2

5a −16ab 11b+ =0 (a b)(5a 11b) 0− − =

V i a b= . Ch&n a b 1= = c 2= ( ) : x y 2z 1 0β₁ + + − = .

V i 5a 11b= . Ch&n a 11= và b 5= c= −2 ( ) :11x 5y 2z 1 0β₂ + − + = .

1,0

VII

a

(

)

(

)

2011 2011

2011 2011 2011 2011

z (11 5i)= − +(11 5i)+ =(11 5i)− +(11 5i)+ = 11 5i− + 11 5i+

2011 2011

z (11 5i)= + +(11 5i)− z z= pcm.

1,0
1) Gi s,∆ có VTPT n(a; b; c) (a2+b2+c2≠0) : ax by 2a 0∆ + − = .

2

y 5x

ax by 3a 0
=

+ − =

2
2

x y /5 (1)

ay 5by 15a 0 (2)
=

+ − = (a = 0 không th a).
a ≠ 0 : PT (2) ln có 2 nghi m yM, yN

M N M N

d(M; Ox).d(N; Ox)= y . y = y .y = −15 15=

1,0
VI

b

2) _{(S) : (x 2)}2 _{(y 4)}2 _{(z 6)}2 ₁₇

− + + + − = (S) có tâm I(3; 2; 6)− IM(3; 2; 2)− .
Gi s, ng th ng ∆ có VTCP u(a; b; c) (a2+b2+c2≠0).

u IM
1
cos(u, k)

2
⊥

= 2

3a 2b
c

2
a 2bc

+
=

= −

2 2

a +3ab 2b+ =0 (a b)(a 2b) 0+ + =

Khi a= −b. Ch&n b 1= a= −1 và c= −1/2 :x 5 y 2 z 4

1 1 1/2

− + −

∆ = =

− −

Khi a= −2b. Ch&n b 1= a= −2 và c= −2 :x 5 y 2 z 4

2 1 2

− + −

∆ = =

− −

1,0

VII
b

2

2x 1

3 ln x
x

1 1
2

+

= +

− =

2

2

2x 1

3 ln x
x

2x x 1 0
+

= +
− − =

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

II

−

TỐN ƠN THI

I H C.

I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m).
Câu I (2,0 i m). Cho hàm s _{y x(x 3)}₌ ₋ 2_{có th (C).}

1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C).

2) Tìm a, b, c (a ≠ 0) (P) : y ax= 2+bx c+ i qua i m c c i, i m c c ti u c a (C) và
ti p xúc v i ng th ng d: y= −2x 4.+

Câu II (2,0 i m).

1) Gi i ph ng trình: sin 2x 2 cot x 3.+ =
2) Gi i h ph ng trình:

2

x y z 19
xy yz zx 285

xz y
+ + = −

+ + = −

=

.

Câu III (1,0 i m). Tính:

4

2
3

dx
x 25 x−

.

Câu IV (1,0 i m). Cho hình nón (N) có bán kính áy R và thi t di n qua tr c là tam giác u. Tính
theo R th tích c a kh i tr (T) n i ti p kh i nón t ng ng v i hình nón (N), bi t r ng thi t di n
qua tr c kh i tr (T) là m t hình vng.

Câu V (1,0 i m). Cho x, y, z là ba s th c khơng âm th a: _x2011₊_y2011₊_z2011₌₃_{. Tìm giá tr l n}

nh t c a bi u th c: _{P x}₌ 5₊_y5₊_z5_.

II/ PH N RIÊNG (3,0 i m).
A) Theo ch ng trình Chu n:

Câu VI.a) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho ng tròn (C): _x2₊_y2₊_{16x 6y 21 0}₊ ₊ ₌ _{. Ch ng minh r ng}

i m M( 3;1)− n m trong ng trịn (C). Vi t ph ng trình ng th ng ch a dây cung
c a (C) nh!n M( 3;1)− làm trung i m.

2. Trong không gian Oxyz, hãy vi t ph ng trình m t c"u có tâm thu c ng th ng
x 5 3t

: y 1 2t
z 1 2t

= +

∆ = − −

= − −

và ti p xúc v i hai m t ph ng ( ) : x 2y 2z 2 0α + − − = ;

( ') : x 2y 2z 4 0α + − + = .

Câu VII.a) (1,0 i m). Cho hai s ph c 13
1

z =5x y 7 (2x 9y 1)i− + + + − và

11
2

z =2x 3y 5 (3x 7y 8)i+ − − − + (x, y R)∈ . Tìm x, y sao cho z₁ và z₂ là hai s ph c liên
h#p c a nhau.

B) Theo ch ng trình Nâng cao:

Câu VI.b) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho ba i m A(2; 1), B(−2; 3), C(4; 5). T_$m ph ng t_%$nh các ng
th ng cách u ba i m A, B, C.

2. Trong không gian Oxyz, hãy vi t ph ng trình m t c"u có tâm thu c ng th ng
x y 1 z 1

:

2 1 2

− +

∆ = = và ti p xúc v i hai m t ph ng ( ) : x y 2z 5 0α + − + = ;
( ') : 2x y z 2 0α − + + = .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

S

O

A M N B

P
Q

Tóm t't cách gi i ! II. i m

1) TX : D = R. _{y ' 3x}2 _{12x 9}

= − +

y ' 0= x 1= ho c x 3= .

+
0
1

x

y

y'

- +

-0

3
0
4

xlim y→−∞ = −∞, xlim y→+∞ = +∞. C (1; 4) ; CT (3; 0) .
y '' 6x 12= − . y '' 0= x 2= . i m u n (2; 2) .

1,0
I

2) (P) i qua i m C , i m CT c a (C) a b c 4
9a 3b c 0

+ + =

+ + =

a b c 4 (1)
b 2 4a (2)

+ + =
= − −

Gi s, (P) ti p xúc v i (C) t$i i m M(x ; y ) ₀ ₀

2

0 0 0

0 0

ax bx c 2x 4

f '(x ) 2ax b 2

+ + = − +

= + = −

0

2 b 2 ( 2 4a)

x 2

2a 2a

− − − − − −

= = = 4a 2b c 0 (3)+ + = . T( (1), (2), (3)
a 2
b 10
c 12

=
= −
=

1,0

1) K: sinx ≠ 0. cos x 0= không th a. V i K: sin x.cos x 0≠ , ph ng trình ã cho
t ng ng v i: 2 tan x₂ 2 3

1 tan x t anx+ + =

2

(t anx 1)(3tan x t an 2) 0− − + =
t anx 1= x k (k Z)

4
π

= + π ∈

1,0
II

2)

2

x y z 19

xy yz zx 285

xz y
+ + = −

+ + = −

=

2

2

x y z 19
xy yz y 285

xz y
+ + = −

+ + = −

=

2

x y z 19
y(x y z) 285

xz y
+ + = −

+ + = −

=
x z 34

y 15
xz 225

+ = −
=

=

x 9

y 15
z 25

= −
=
= −

ho c

x 25

y 15

z 9

= −
=
= −

.

1,0

III _t_t _{25 x}2

= − t2=25 x− 2 x dx= −t dt. x 3= t 4= . x 4= t 3= .

4

4 4 4

2 2

3 3 3 ₃

5 t

x dx dt 1 1 1 1 1 18

I dt ln ln

(5 t)(5 t) 10 5 t 5 t 10 5 t 10 7
x 25 x

+

= = = + = =

− + − + −

−

. 1,0
IV Thi t di n qua tr%c là SAB∆ !u SO R 3= .

MQ AM 3= . OM 1MN 1MQ AM 3

2 2 2

= = =

(

)

AM 2 3
R OA AM MO

2
+

= = + = AM 2R

2 3

=
+

(

)

R 3

OM R 2 3 3

2 3

= = −

+

(

)

3

2 3 3

t

V = πOM .MQ= π.2.OM = π2 R 2 3 3− .
V Áp d%ng B T Cô si cho 2006 s 1 và 5 s x2011:

(

)

5

2001 2001 ₂₀₁₁ 2001

1 1 ... 1 x+ + + + +... x+ ≥2011 x 2006 5x+ 2011≥2011x5.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

α

α'

I

M

N

∆

1) (C) có tâm I( 8; 3)− − , bán kính R=2 13. IM<R I n m trong (C).

∆ i qua M và nh n M làm trung i m ∆ có VTPT IM(5; 4) ∆: 5x+4y 11 0+ = . 1,0
VI

a

2) Cách 1: ∆ c t (α) t i M(2; 1; 1) . ∆ c t (α’) N( 4; 5; 5)− .
( ) / /( ')α α Tâm I c a m t c u là trung i m c a MN.

I( 1; 3; 3)− . Bán kính R=d I, ( )

(

α

)

=1
(x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 1.
Cách 2: I(5 3t; 1 2t; 1 2t)+ − − − − ∈ ∆.

(

)

(

)

R =d I, ( )α =d I, ( ')α t= −2 I( 1; 3; 3)− .

(

)

R=d I, ( )α =1 (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 1.

1,0

VII
a 1

z =5x−y 7 (2x 9y 1) i+ + + − và z₂=2x 3y 5 (3x 7y 8) i+ − + − +

1 2

z =z 5x y 7 2x 3y 5
2x 9y 1 3x 7y 8

− + = + −

+ − = − + −

3x 4y 12
5x 2y 7

− = −

+ = −

x 2

y 3/2
= −
= .

1,0

1) ∆: ax+by c+ =0(a2+b2+c2≠0)
d(A; ) d(B; )

d(A; ) d(C; )

∆ = ∆

∆ = ∆

2a b c 2a 3b c
2a b c 4a 5b c

+ + = − + +

+ + = + +

2a b c ( 2a 3b c)
2a b c (4a 5b c)

+ + = ± − + +

+ + = ± + +

Có ba ng th ng th a yêu c u bài toán:

1: x 3y 6 0

∆ − + = ; ∆₂: x+2y 9− =0;

3: 2x y 2 0

∆ − + = .

1,0
VI

b

2) Cách 1: G i I(x; y; z) là tâm m t c u. d(I, ( ))α =d(I, ( '))α =R
3x z 7 0 (P)

x 2y 3z 3 0 (Q)

− + =

− + − = {I }1 =(P)∩ ∆, {I }2 =(Q)∩ ∆.

Cách 2: I(2t; 1 t; 1 2t)+ − + ∈ ∆ là tâm m t c u. d(I, ( ))α =d(I, ( '))α =R

1

I ( 4; 1; 5)− − − , I₂ 8 7 5; ;

3 3 3 . R1=d(I , ( ))1 α , R2=d(I , ( ))2 α .

2 2 2 50

(x 4) (y 1) (z 5)
3
+ + + + + = ;

2 2 2

8 7 5 200

x y z

3 3 3 27

− + − + − = .

1,0

VII

b Gi s w=x+yi (x, y∈R). w=(3 4i)z− +2

w 2 x 2 yi
z

3 4i 3 4i

− − +

= =

− − .

z 1− =2 x 2 yi 1 2
3 4i

− +

− =

− (x 5) (y 4)i− + + =2 3 4i−

2 2

(x 5)− +(y 4)+ =100 ( ng tròn tâm I(5;−4), bán kính R=10)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

III

−

TỐN ƠN THI

I H C.

I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m).
Câu I (2,0 i m). Cho hàm s _{y x}4 _mx2 _{2m 5}

= + + + có th (Cm).
1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) khi m = −2.
2) Xác nh m (Cm) c't tr%c hoành t$i b n i m phân bi t.
Câu II (2,0 i m).

1) Gi i ph ng trình: _{2 tan x 3tan x 2cot x 3cot x 3 0}2 2

− + + − = .

2) Gi i ph ng trình: log_x 2x . log x₂ = −1.

Câu III (1,0 i m). Cho hình trịn gi i h$n b.i ng tròn (T): x2+(y 2)− 2 =1 quay quanh tr%c Ox.
Tính th tích c a kh i tròn xoay t$o thành.

Câu IV (1,0 i m). Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vng c$nh b ng a. SA ⊥ (ABCD);
SA 2a= . G&i A’ là i m thu c c$nh SA v i AA ' x= (0 x 2a)< < . M t ph ng qua A’ và song
song v i áy hình chóp; c't SB, SC, SD l n l +t t$i B’, C’, D’. G&i V là th tích kh i tr% có áy
là ng tròn ngo$i ti p t giác A’B’C’D’ và ng sinh là AA’. Tìm x V l n nh t.

Câu V (1,0 i m). Cho /0c s 1th c x, y 23 a i!u ki n: x + y = 2. 4#m 56012" 173 1nh t / a bi u th c
A = 2x_{+ 2}y_.

II/ PH N RIÊNG (3,0 i m).
A) Theo ch ng trình Chu n:

Câu VI.a) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho ∆ABC có ph ng t"#nh ba c$nh AB : 3x 4y 6 0+ − = ;
AC : 4x 3y 1 0+ − = , BC : y 0= . Vi t ph ng t"#nh ng phân giác trong góc A c a
∆ABC.

2. Trong không gian Oxyz cho m t ph ng ( )α có ph ng trình: x 2y 3z 6 0− − − = . M t
ph ng ( )α c't các tr%c t&a Ox, Oy, Oz l n l +t t$i A, B, C. Tìm t&a tr c tâm c a
∆ABC.

Câu VII.a) (1,0 i m). Có 4 bi xanh, 5 bi và 6 bi vàng. T( ó ng i ta ch&n ra ng th i 4 bi.

Tính xác su t sao cho 4 bi có c 3 màu.

B) Theo ch ng trình Nâng cao:

Câu VI.b) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy, vi t ph ng t"#nh ba c$nh c a ∆ABC bi t A(1; 3) và ph ng t"#nh
hai ng trung tuy n là: x 2y 1 0− + = ; y 1 0− = .

2. Trong không gian Oxyz cho OA 2i 4j k= + + , OB= − +i 4j, OC= −3k. Xác nh tâm và
bán kính c a ng trịn (T) ngo$i ti p ∆ABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

2a/3 2a
0

V '
V

x

0

Tóm t't cách gi i ! III. i m

1) _{y x}4 _2x2 ₁

= − + .
TX : D = R. _{y ' 4x}₌ 3₋_4x

y ' 0= x 0= ho c x= ±1.

C ( 1; 0)± ; CT(0;1)

1

1

0 0

x

y
y'

- 0 +

0
-1

0 0

+
+

1,0
I

2) _x4 _mx2 _{2m 5 0 (1)}

+ + + = . t t=x (t 0)2 ≥ t2+mt 2m 5 0 (2)+ + =
(1) có b n nghi m phân bi t (2) có hai nghi m d ng phân bi t.

2

m 8m 20 0
2m 5 0

m 0

− − =

+ >
− >

5 m 2
2

− < < − .

1,0

1) _{2(tan x cot x) 3(tan x cot x) 3 0}2 2

+ − − − = _{2(tan x cot x)}2 _{3(tan x cot x) 1 0}

− − − + =

2

t tan x cot x
2t 3t 1 0

= −

− + =

t 1
t 1/2

=
=

(

)

(

)

tan x 1 5 / 2
tan x 1 17 / 2

= ±

= ±

x arc tan (1 5)/2 k
x arctan (1 5)/2 k

= ± + π

= ± + π

1,0
II

2) K:

x

0 x 1
log 2x 0

< ≠

≥ . V i K trên, PT ã cho t ng ng v i:

x x x

log 2 log+ x = −log 2 1log 2_x 1 log 2_x
2 +2 = −

x

t log 2
1

(t 1) t
2

=

+ = −

x
2

t log 2 0
2t t 1 0

= <

− − = x

1
t log 2

2

= = − x 1

4

= (th a K)

1,0

III &i V là th tích c n tìm. V = V1 − V2. V i V1, V2 l n l +t là th tích hình (H1), (H2)
quay quanh Ox.

2

1

y 2 1 x
(H ) : y 0

x 1

= + −

=
= ±

;

2

2

y 2 1 x
(H ) : y 0

x 1

= − −

=
= ±

(

)

(

)

1 ₂ 1 ₂ 1

2 2 2 2

1 1 1

V 2 1 x dx 2 1 x dx 4 1 x dx 2

− − −

= π + − − π − − = π − = π ( t x sin t= )

1,0

IV A 'B' SA ' SA AA '

AB SA SA

−

= = A 'B' 2a x

a 2a

−

= A 'B' 2a x

2
−

=
h AA ' x= = ; R A 'C ' A 'B' 2 (2a x) 2

2 2 4

−

= = =

2

2 (2a x) 2 2

V R h .x (2a x) x

4 8

− π

= π = π = −

2 2

V ' (3x 8ax 4a )
8

π

= − +

V ' 0= x 2a/3
x 2a

=
=

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

+∞ +∞

4
-2

x

A
A'

-∞ 0 +∞

0

2
0

V C0ch 1: x + y = 2 y = 2 − x A = 2x+22 x− . t t 2= x >0

2

t 4 4

A t

t t

+

= = +

2

2 2

4 t 4
A '(t) 1

t t

−

= − =

A’(t) = 0 t = 2 (t = −2189$i).

min A = 4, $t +c khi :;1/3 1khi t = 2 x y 1= = .
<6 i /0ch 2: 2x+2y ≥2 2 .2x y =2 22 =4

min A = 4, $t +c khi :;1/3 1khi x y 1= = .

1,0

1) PT ng phân giác góc A: 3x 4y 6 4x 3y 1

5 5

+ − + −

= 1

2

: x y 5 0
: x y 1 0

∆ − − =

∆ + − =

Gi thi t B(2; 0) , C(1/4; 0) .

*(x_B−y_B+5)(x_C−y_C+5) 0> B và C cùng phía i v i ∆1.

*(xB+yB−1)(xC+yC−1) 0< B và C khác phía i v i ∆1 ∆1 là phân giác trong A

1,0
VI

a

2) Cách 1: A(6; 0; 0) , B(0; 3; 0)− , C(0; 0; 2)− . G&i H(x; y; z) là tr c tâm ABC∆ .

OH⊥(ABC) H là giao i m c a OH:

x t
y 2t
z 3t

=
= −
= −

v i ( ) : x 2y 3z 6 0α − − − = .

Cách 2:

AH BC
BH AC
H (ABC) ( )

⊥
⊥

∈ ≡ α

3 6 9

H ; ;

7 −7 −7

1,0

VII
a

G&i A là bi n c c n tìm.

1 1 2 1 2 1 2 1 1

4 5 6 4 5 6 4 5 6

4
15

C .C .C C .C .C C .C .C 300 240 180 720 48
P(A)

C 1365 1365 91

+ + + +

= = = = . 1,0

1) A(1; 3) không thu c hai trung tuy n BB’: x 2y 1 0− + = ; CC’: y 1 0− = .
Tr&ng tâm G(1;1) . Gi s, B(x ; y ) , _B _B C(x ; y ) . _C _C

G A B C

G A B C

B B

C

3x x x x

3y y y y

x 2y 1
y 1 0

= + +

= + +

+ =

− =

B( 3; 1)
C(5;1)

− −

x y 2 0
x 2y 7 0
4x 7y 1 0

− + =

+ − =

+ − =

1,0
VI

b

2) Gi s, ng trịn ngo$i ti p ∆ABC có tâm I(x; y; z), bán kính r.
IA IB

IA IC
I (ABC)

=
=
∈

3x z 2
x 2y 2z 3
2x 5y 6z 18

+ =

+ + =

+ − =

x 1

y 2
z 1

=
=
= −

I(1; 2; 1)− r IA 3= = . 1,0
VII

b G&i A là bi n c c n tìm.

2 2 1 3 4

4 11 4 11 11

4
15

C .C C .C C 330 660 330 1320 33
P(A)

C 1365 1365 34

+ + + +

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

IV

−

TỐN ƠN THI

I H C.

I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m).
Câu I (2,0 i m). Cho hàm s y 2x 1

x 1
−
=

+ có th (H).
1) Kh o sát s bi n thiên và v th (H).

2) G&i M là m t i m b t kì thu c (H). Ch ng minh r ng ti p tuy n c a (H) t$i M t$o v i hai
ng ti m c*n c a (H) m t tam giác có di n tích khơng )i.

Câu II (2,0 i m).

1) Gi i ph ng trình: 3_{2x 3}_{+ +} 3_{x 1}_{+ =} 3_{3x 7}₊ _.

2) Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s : _{y 2sin x cos 2x}8 4

= + .

Câu III (1,0 i m). Tính:

1 x

x
0

1 e

I dx

e 5
−
=

+ .

Câu IV (1,0 i m). Cho hình chóp tam giác !u S.ABC có c$nh áy và chi!u cao b ng a. G&i (M) là
m t c u ngo$i ti p hình chóp S.ABC. Tính di n tích m t c u (M) và th tích kh i c u t ng ng.
Câu V (1,0 i m). Cho ba s 1không âm x, y, z 23 a i!u ki n: x + y + z ≤ 3. 4#m 56012" 1l n nh t / a

bi u th c A x ₂ y ₂ z ₂
1 x 1 y 1 z

= + +

+ + + .

II/ PH N RIÊNG (3,0 i m).
A) Theo ch ng trình Chu n:

Câu VI.a) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho elip (E): _4x2₊_9y2₌₃₆_{. G}_&_i_{∆ là} _{ng th ng i qua i m}

M(1; 1)− và có h s góc k. Tìm k bi t r ng ∆ c't (E) t$i hai i m A, B và M là trung i m
c a AB.

2. Trong không gian Oxyz cho ng th ng Dm :

x mt

y (m 1)t
z 3 t

=

= −

= −

(t là tham s th c).

Ch ng minh r ng v i m&i s th c m khác 0, Dm luôn n m trong m t m t ph ng (P) c nh.
Tính th tích kh i t di n t$o b.i mp(P) và các m t ph ng t&a .

Câu VII.a) (1,0 i m).

Tìm s ph c z sao cho: _z3₌ _z _.

B) Theo ch ng trình Nâng cao:

Câu VI.b) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho hypebol (H): _4x2 _9y2 ₃₆

− = . G&i ∆ là ng th ng i qua i m

M(1; 1)− và có h s góc k. Tìm k bi t r ng ∆ c't (H) t$i hai i m A, B và M là trung i m
c a AB.

2. Trong không gian Oxyz cho ng th ng Dm :

x 3 (m 1)t
y 1 (2m 3)t
z 1 (m 1)t

= + +

= − + +

= − − −

(t là tham s th c).
Ch ng minh r ng v i m&i s th c m, Dm luôn n m trong m t m t ph ng c nh. Xác nh m

Dm song song v i hai m t ph ng( ) : 6x y 3z 13 0α − − − = , ( ') : x y 2z 3 0α − + − = .
Câu VII.b) (1,0 i m).

Gi i h ph ng trình:

(

)

2

2 2

5

log(x 3x 4) log(x 4) 2 x
log x y 1

+ − = + + −

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

S

O
H

C

B
A

Tóm t't cách gi i ! IV. i m

1) TX : D = R\{−1}.
y ' 3 ₂

(x 1)
=

+

-1

2
+

-2
+

-y '

y
x

Hàm s ng bi n trên các kho ng

(−∞ −; 1), ( 1;− + ∞).
TC : x = −1 ; TCN: y = 2.

1,0
I

2) M m; 2 3 (H)
m 1

− ∈

+ . 2

3(x m) 3

: y 2

(m 1) m 1

−

∆ = + −

+ + (PTTT c a (H) t$i i m M)
∆ c't Ox t$i A 1; 2 6

m 1

− −

+ . ∆ c't Oy t$i B 2m 1; 2

(

+

)

. Giao 2 ti m c*n I( 1; 2)− .

IAB

1 1 6

S IA.IB . 2(m 1) 6

2 2 m 1

= = + =

+

1,0

1) 3_{2x 3}_{+ +} 3_{x 1}_{+ =} 3_{3x 7 (*)}₊

(

3_{2x 3}_{+ +}3 _{x 1}₊

) (

2 ₌ 3_{3x 7}₊

)

3

(

3 3

)

3_{(2x 3)(x 1)}₊ ₊ _{2x 3}_{+ +} _{x 1}₊ ₌₁3_{(2x 3)(x 1)}₊ ₊

(

3_{3x 7}₊

)

₌₁

3 2

6x +29x +44x 20 0+ = _{(6x 5)(x 2)}2 ₀

+ + = x= −2 ho c x= −5/6
x= −5/6 th a PT (*). x= −2 không th a PT (*).

1,0
II

2) _y 1_{(1 cos2x)}4 _{cos 2x}4

8

= − + . TX : D = R.

4 4

1

y f (t) (1 t) t
8

= = − + . TX :D_t = −[ 1;1]. _{f '(t)} 1_{(1 t)}3 _4t3

2

= − − + . f '(t) 0= t 1
3
= .
f ( 1) 3− = ; f (1) 1= ; f (1/3) 1/27= max y 3= cos 2x= −1 x (2k 1)

2
π

= + ;

min y 1/27= cos 2x 1/3= (PT có nghi m x).

1,0

III 1 x 1 x 1 x x 1 1 x

x x x x

0 0 0 0 0

1 e 1 5 5e 1 5 e 6e 1 6 e dx

I dx dx dx dx

e 5 5 e 5 5 e 5 5 5 e 5

− − + −

= = = = −

+ + + +

(

)

1

1 x

x
x

0
0

1 6 d(e 5) 1 6 1 6 e 5

I ln e 5 ln

5 5 e 5 5 5 5 5 6

+ +

= − = − + = −

+ .

Cách khác:

1 x 1 1 x 1 x 1 x

x x x x x x

0 0 0 0 0

1 e dx e dx e dx e dx

I dx dx

e 5 e 5 e 5 e (e 5) e 5

−

= = − = −

+ + + + + . t

x

t e= .

1,0

IV G&i H là hình chi u vng góc c a S trên (ABC), SH⊥(ABC). S.ABC là hình chóp

!u SH là tr%c c a ng tròn ngo$i ti p ABC∆ . M t c u (M) có tâm O, bán kính R
O SH∈ , R SO OA= = . AH a 3

2

= . OH= SH SO− = a R−

2 2 2

OA =AH +BH

2

2

2 a 3

R a R

3

= + −

a 6
R

3

=

2

24 a
S

9
π

= ;

3

8 a 6
V

27
π

= .

1,0

V _x ₁ _{2x 1 x}2 _{(x 1)}2

0

− − − −

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

max A = 3

2, $t +c khi :;1/3 1khi x y z 1= = = .

1) : kx y k 1 0∆ − − − = _{(4 9k )x}₊ 2 2₋_2(9k2₊_{9k)x 9k}₊ 2₊_{18k 27 0 (*)}₋ ₌

(*) có 2 nghi m xA, xB th a

2

A B 2

2(9k 9k)

2 x x

4 9k
+

= + =

+

4
k

9
=

Ng +c l$i v i k 4/9= : (*) _52x2₋_{104x 155 0}₋ ₌ _{có hai nghi m phân bi t (a.c 0)}_<

xA, xB th a xA+xB=2xM M là trung i m c a AB.

1,0
VI

a

2) D i qua i m_m M(0; 0; 3) và có VTCP u(m; m 1; 1)− − (vì m 0≠ ).
Gi s, D luôn n m trong (P) c nh có VTPT n(a; b; c) _m (a2+b2+c2≠0)

u.n 0= (a b)m (b c) 0+ − + = a b 0
b c 0
+ =
+ =

a b

c b

= −

= − . Ch&n b= −1 a c 1= =
(P) i qua M(0; 0; 3) và có VTPT n(1; 1;1)− (P): x y z 3 0− + − = .

(P) c't Ox, Oy, Oz l n l +t t$i A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) V_OABC =9/2.

1,0

VII

a Gi s, z a bi (a, b R)= + ∈ .

3

z =z (a bi)+ 3= −a bi

3 2

2 3

a 3ab a
3a b b b

− =

− = −

2 2

2 2

a(a 3b 1) 0
b(3a b 1) 0

− − =

− + =

a 0
b 0

=

= ho c
a 0

b 1

=

= ± ho c
b 0

a 1

=
= ± .

1,0
1) : kx y k 1 0∆ − − − = (4 9k )x− 2 2+2(9k2+9k)x 9k− 2−18k 45 0 (*)− =

(*) có 2 nghi m xA, xB th a

2

A B 2

2(9k 9k)

2 x x

4 9k

− +

= + =

−

4
k

9
= −

Ng +c l$i v i k= −4/9: (*) 20x2−40x 349 0− = có hai nghi m phân bi t (a.c 0)<
xA, xB th a x_A+x_B=2x_M M là trung i m c a AB.

1,0
VI

b

2) D_m i qua i m M(0; 0; 3) và có VTCP u(m 1; 2m 3;1 m)+ + − .

Gi s, D luôn n m trong (P) c nh có VTPT n(a; b; c) _m (a2+b2+c2≠0)
u.n 0, m R= ∀ ∈ (a 2b c)m (a 3b c) 0 , m R+ − + + + = ∀ ∈

a 2b c 0

, m R
a 3b c 0

+ − =

∀ ∈

+ + =

a 5/2b
c 1/2b

= −

= − . Ch&n b= −2

a 5
c 1
=
=

(P) i qua A(3; 1; 1)− − và có VTPT n(5; 2;1)− (P): 5x 2y z 16 0− + − = .
c) m

m

(D ) / /( )
(D ) / /( ')

α
α

1
2

u.n 0
u.n 0

A ( ), A ( ')
=

=

∉ α ∉ α

m = 0.

1,0

VII
b K:

2

x 3x 4 0
x 4 0

+ − >

+ > x > 1. V i K: x > 1:

2

log(x +3x 4) log(x 4) 2 x− = + + −

2

x 3x 4

log 2 x

x 4

+ −

= −

+ log(x 1) 2 x− = −
f (x) log(x 1)= − ng bi n trên (1;+ ∞) f '(x) 1 0, x (1; )

(x 1) ln10

= > ∀ ∈ + ∞

− .

g(x) 2 x= − ngh ch bi n trên (1;+ ∞) ( g(x) 2 x= − ngh ch bi n trên R).
PT có nghi m duy nh t x = 2 H PT ã cho có 2 nghi m: x 2

y 1
=
= và

x 2

y 1

=
= − .

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Bùi Gia Phong −_{Giáo viên tr} _{ng THPT Tr} _{ng V nh Ký B n tre.}

V

−

TỐN ƠN THI

I H C.

I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m).
Câu I (2,0 i m). Cho hàm s

3

2 3

x 3

y mx 2m (1)

2 2

= − + .

1) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s khi m 1= .

2) Tìm m th c a hàm s (1) có i m c c i và i m c c ti u, ng th i i m c c i
và i m c c ti u i x ng nhau qua ng th ng d : y x= .

Câu II (2,0 i m).

1) Gi i ph ng trình: 3cos x cos 2x cos3x 1 2sin x.sin 2x+ − + = .
2) Gi i b t ph ng trình: ₁₅x₊_{25 5}₋ x _<_25.3x_.

Câu III (1,0 i m). Tính:

e

1

cos(ln x) dx

π

.

Câu IV (1,0 i m). Cho kh i chóp S.ABCD có áy là hình bình hành, bi t SA 2AB 2a= = . M là
m t i m trên c nh SA v i AM x= (0 x 2a)≤ ≤ . Xác nh x sao cho (MBC) chia kh i chóp
thành hai ph n có th tích b ng nhau.

Câu V (1,0 i m). m !"#$ "%&'"nh t ( a bi u th c: A = x + y v i 1 4 1

x+y = ")*"x > 0, y > 0.
II/ PH N RIÊNG (3,0 i m).

A) Theo ch ng trình Chu n:

Câu VI.a) (2,0 i m).

1. Trong m+t ph ng Oxy, hãy xét v trí t ng i c a hai ng tròn

2 2

(C) : x +y −8x 2y 7 0− + = và (C ') : x2+y2−3x 7y 12 0− + = . Vi t ph ng trình ti p
tuy n chung c a (C) và (C’).

2. Trong không gian Oxyz, cho ng th ng ∆ : x = t ; y = 0 ; z = −t. T_,p h_-p các i m M
thu c m+t ph ng (Oxy) sao cho i m M cách ng th ng ∆ m t o n b ng 5 là m t elip
(E). Tìm t.a các tiêu i m c a (E) và ch ng minh r ng ∆ vng góc v i tr/c bé c a (E).
Câu VII.a) (1,0 i m).

Gi i ph ng trình sau ây trong t,p s ph c, bi t r ng ph ng trình có m t nghi0m thu n o:

3 2

z −(10 3i)z− +(29 30i)z 87i 0− + = .
B) Theo ch ng trình Nâng cao:

Câu VI.b) (2,0 i m).

1. Trong m+t ph ng Oxy cho hai ng #$1n (C ) : x₁ 2+(y 2)− 2 =1 v*"

2 2

2

(C ) : (x 2)− +(y 1)− =4. _2.i ∆_"3*" ng th ng i qua A(0; 1) _)*"(4"h_0"s _{" 4}c k. ∆ c₅t
(C1), (C2) l n l -t # i M, N (M A N)≠ ≠ . 6!c nh k "MN 3*"l n nh t.

2. Trong không gian Oxyz cho ng th ng ∆ i qua i m A(2; 0; 1)− và có véct ch₇ ph ng
a(1; 0;1) . T,p h-p các i m M thu c m+t ph ng (Oxy) mà góc gi8a ∆ và ng th ng AM

b ng 600 là m t hypebol (H). G.i α₁, α₂ là các m+t ph ng i qua A và ch a m t trong hai
ng ti0m c,n c a (H). Ch ng minh r ng tích kho ng cách t9 m t i m thu c (H) n α₁,
α₂ là m t s không _:i.

Câu VII.b) (1,0 i m).

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

2a
x

b
a

N
M

D
C
B

A
S

+∞ +∞

9
-1

x

A

A'

-∞ 1 +∞

0

3
0

Tóm t t cách gi i V. i m

1) m = 1
3

2

x 3

y x 2

2 2

= − + . TX : D = R.
2

3

y ' x 3x
2

= − . y '=0 x=1 ho c x=2.

+
0

0
x

y
y '

- +

-0

2
0
2

xlim y→−∞ = −∞, xlim y→+∞ = +∞. C (0; 2) ; CT (2; 0) .

y ''=3x 3− . y ''=0 x=1. i m u n (1; 1) .

1,0
I

2) _{y '} 3_x2 _3mx
2

= − . y '=0 x=0 ho c x=2m ( m=0 hàm s khơng có c c tr )
m≠0: th hàm s có hai i m c c tr là _{A(0; 2m ) và B(2m; 0) .}3

A và B i x ng nhau qua y = x OA=OB _2m3₌_2m _m_{= ±}₁_.

1,0

1) PT ã cho 3cos x+(2 cos x 1) cos 3x 1 cos x cos 3x2 − − + = −

2

2 cos x+2 cos x=0 cos x(1 cos x)+ =0 cos x 0

cos x 1

=
= −

x ( /2) k
x (2k 1)

= π + π

= + π

(Ho c gi i b ng cách áp d ng : cos3x=4 cos x 3cos x3 − ; sin 2x=2 sin x.cos x)

1,0
II

2) 15x+25 5− x <25.3x (15x−5 ) (25 25.3 )x + − x <0 5 (3x x−1) 25(3− x−1)<0

x x

(3 −1)(5 −25)<0
x
x
3 1 0
5 25 0

− >

− < ho c

x
x
3 1 0
5 25 0

− <

− > 0 x 2

< < 1,0

III

u cos(ln x)
dv dx

=

=

1

du sin(ln x)dx
x

v x

= −
=

e
e
1

0

I x cos(ln x) sin(ln x) dx
π

π

= +

e

0

J sin(ln x) dx
π

= . u sin(ln x)
dv dx

=

=

1

du co s(ln x)dx
x

v x

=
=

I= −J I e 1
2

π

− −

=

1,0

IV BC // (SAD) MN// BC // AD. G i V, V1, V2 l n l t là th tích các kh i chóp

S.ABCD, S.MBC, S.MNC.

S.MBCN 1 2 1 2

SABC SACD

V V V V V 1 SM 1 SM SN 1 2a x 4a x

V V 2V 2V 2 SA 2 SA SD 2 2a 2a

+ − −

= = + = + ⋅ =

S.MBCN

1 2a x 4a x

V V

2 2a 2a

− −

= .

Yêu c u bài toán V_S.MBCN 1V
2

= (2a−x)(4a−x)=4a2

2 2

x −6ax+4a =0 x=a 3

(

− 5

)

(x=a 3

(

− 5

)

lo i)

V

C ch 1: 1 4 1

x+y=

4x
y

x 1

=

− . V i y > 0

1
1

x< x > 1

4x

A x

x 1

= +

− (v i x > 1)

2

2 2

4 (x 1) 4

A '(x) 1

(x 1) (x 1)

− −

= − =

− −

A’(x) = 0 x = 3 (x = −1 i).

min A = 9, t c khi khi x 3

y 6

=
=

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

4
0

-1/2
x

f(k)
f '(k)

-∞ +∞

4

0

2
0
20

C ch 2: A x y x 4x x 4 4 (x 1) 4 5 2 4(x 1) 5 9

x 1 x 1 x 1 x 1

−

= + = + = + + = − + + ≥ + ≥

− − − −

1) (C) có tâm I(4; 1) , R= 10. (C’) có tâm I '(3/2; 7/2) , R '= 10 / 2.

R−R '<II '<R+R ' (C) và (C’) c t nhau. Tâm v t S: SI R 2

SI '=R '= SI=2SI '

S( 1; 6)− . Ti p tuy n chung∆: a(x 1) b(y 6)+ + − =0 _(a2₊_b2 _≠₀₎

d(I, )∆ =R 3a2−10ab 3b+ 2=0. Vì b≠0 nên ch n b=1 a 3

a 1/3

=
= .

Có hai ti p tuy n chung: x 3y 17+ − =0; 3x+y 3− =0.

1,0
VI

a

2) M(x; y; 0)∈mp(Oxy). H(t; 0;−t) là hình chi u vng góc c a M trên ∆

HM(x−t; y; t) vng góc v i VTCP a(1; 0; 1)− c a ∆ t=x/2 HM(x/2; y; x/2) .
HM 5

z 0

=
=

2 2

x 2y 50

z 0

+ =

= (E) :

2 2

x y

1
50 25
z 0

+ =

=

(Ho c s d ng công th c:

AM, a

d(M, ) 5

a

∆ = = ) F ( 5; 0; 0)₁ − , F (5; 0; 0) . ₂

1,0

VII
a

Gi s PT ã cho có nghi!m thu n o z=bi (b∈R)

3 2

b i (10 3i)b (29 30i)bi 87i 0

− + − + − + =

3 2

10b(b 3) 0

b 3b 29b 87 0

+ =

+ − − = b= −3.

PT ã cho t "ng "ng v i: (z 3i)(z+ 2−10z+29)=0 z 3i
z 5 2i

= −
= ± .

1,0

1) ∆: y=kx 1+ x_M ₂4
k 1

=

+ ; N 2

2k
x

k 1

=

+

2 2 2

N M N M

MN =(x −x ) +(y −y )
Trong #: y_N =kx_N+1, y_M =kx_M+1

2
2

2
4(k 2)
MN

k 1

−
=

+

2
2
k 4k 4
f (k) 4

k 1

− +

= ⋅

+

2

2 2

2k 3k 2
f '(k) 4

(k 1)

− −

= ⋅
+

f '(k)=0 k = 2 ho c k = –1/2.
max MN = 2 5 khi k = –1/2.

1,0
VI

b

2) M(x; y; 0)∈mp(Oxy). AM(x−2; y; 1).

(

)

1
cos AM; a

2
z 0

=
=

2 2

x y 3

z 0

− =

=

(H) :

2 2

x y

1

3 3

z 0

− =

=

F (₁ − 6; 0; 0), F ( 6; 0; 0) ₂

1,0

VII
b

4 3

z +3iz −iz 3+ =0 (z4−iz) (3iz+ 3+3)=0 z(z3−i) 3(iz+ 3+i )4 =0

3 3 3 3

z(z +i ) 3i(z+ +i )=0 (z3+i )(z 3i)3 + =0 (z 3i)(z i)(z+ + 2−iz 1)− =0

z= −i ho c z= −3i ho c z 3 i
2

± +

= .

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

VI

−

TỐN ƠN THI

I H C.

I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m).
Câu I (2,0 i m). Cho hàm s

4
2

x

y mx m

2

= − + có th (Cm).

1) Kh o sát s bi n thiên c a hàm s và v th (C1) khi m = 1.

2) Xác nh m hàm s có c c i và c c ti u ng th i các i m c c i, i m c c ti u
c a (Cm) l p thành m t tam giác u.

Câu II (2,0 i m).

1) Gi i ph ng trình: _{(1 t anx)sin x 3(cos x s inx)s inx 3}2

+ = − + .

2) Gi i h ph ng trình:

3 2

3 2

x 3x y 2

3y xy 1

+ =

− = .

Câu III (1,0 i m). Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ng _{y e}x

= , y ln x= , x 0= , x 1= ,
y= −1.

Câu IV (1,0 i m). Cho hình chóp t giác u S.ABCD có c nh áy b ng a, các c nh bên t o v i
áy m t góc 600. G i M là trung i m c a SC. M t ph ng i qua AM ng th i song song v i
BD c!t SB, SD l"n l #t t i E, F. Tính th tích kh i chóp S.AEMF.

Câu V (1,0 i m). Cho các s th c d ng x, y, z th$a mãn: x + y + z = 1. Ch ng minh r ng:

2 2 2 2 2 2

2x +xy 2y+ + 2y +yz 2z+ + 2z +zx 2x+ ≥ 5.
II/ PH N RIÊNG (3,0 i m).

A) Theo ch ng trình Chu n:

Câu VI.a) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho ba i m A( 1;1)− , B(4; 1)− , C(3; 4). Vi t ph ng trình t%ng
quát c a ng th ng i qua C và t o v i ng th ng AB m t góc 450.

2. Trong không gian Oxyz cho i m M(1; 2; 3). & i (P) '()m t ph ng i qua M *()c!t Ox, Oy,

Oz l"n l #t + i A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (v i a > 0, b > 0, c > 0). ,-m a, b, c )th )
+.ch kh i t )di n OABC '()/0$)nh1t.

Câu VII.a) (1,0 i m).

Cho n 2 n 1 2 n 3

0 1 2 n 3

(1 x) x (1 x) + a a x a x ... a x .+
+

− + + = + + + +

Bi t a₀+a₁+a₂+... a+ _{n 3}+ =4096. Tính a . 5

B) Theo ch ng trình Nâng cao:

Câu VI.b) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho parabol _{(P) : y}2 _2x

= và ng th ng (d) : 2x my 1 0− − = .
Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m, ng th ng (d) luôn i qua tiêu i m c a (P) và
c!t (P) t i hai i m M, N phân bi t. Tìm qu2 tích trung i m I c a MN khi m thay %i.
2. Trong không gian Oxyz cho hai i m A(1; 4; 2) , B( 1; 2; 4)− và ng th ng

x 1 y 2 z
:

1 1 2

− +

∆ = =

− . Tìm t a i m M thu c ∆ sao cho di n tích tam giác MAB nh$
nh1t.

Câu VII.b) (1,0 i m).
Cho

2011

2 2011

0 1 2 2011

1 1

x a a x a x ... a x .

2 3+ = + + + +

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

O
F

a

E

M
D

C
B

A

S

Tóm t!t cách gi i VI. i m

1)

4
2

x

y x 1

2

= − + . TX : D = R.

3

y ' 2x= −2x. y ' 0= x 0= ho c x= ±1.

1/2
1
x

y
y '

- 0 +

0
-1

0 0

+
+

1/2
1

C (0;1); CT( 1; 1/2)± − .

2

y '' 6x= −2x. i m u n

(

±1/ 3 ;13/18

)

.

1,0
I

2) _{y ' 2x}3 _{2mx 2x(x}2 _m)

= − = − . Hàm s có C và CT m 0> .
y ' 0= x 0= ho c x= ± m. Các i m c c tr A(0; m),

2

m

B( m; m)

2

− + ,

2

m

C( m; m)

2

− − + . A Oy∈ ; B và C i x ng nhau qua Oy ∆ABC cân.
ABC

∆ u AB BC=

4

m

m 4m

4

− = m=312 >0.

1,0

1) V i K: cos x 0≠ , PT ã cho t ng ng v i:

2 2

(1 t anx) tan x 3(1 t anx) t anx 3(1 tan x)+ = − + +

3 2

t t 3t 3 0
t t anx

− − − =

=

2

(t 1)(t 3) 0
t t anx

+ − =

=

t anx 1
tan x 3

= −
= ±

x (3/4) k
x (3/3) k

= − + π

= ± + π

1,0
II

2)

3 2

3 2

x 3x y 2
3y xy 1

+ =

− =

3 2

3 2

x 3x y 2
6y 2xy 2

+ =

− =

3 2

3 2 3 2

x 3x y 2

x 3x y 6y 2xy 0

+ =

+ − + =

t y tx (x 0)= ≠ ho c chia hai v cho y3 ≠0 x 3 1 y

2

= = .

1,0

III G i S là di n tích c"n tìm. S S= ₁+S₂ trong ó S , ₁ S l₂ "n l #t là di n tích hình ph ng

(

x

)

1

(H ) : y e ; y 0; x 0; x 1= = = = ,

(

)

2

(H ) : y ln x; x 0; y 0; y= = = = −1

(

y

)

2

(H ) : x e ; x 0; y 0; y= = = = −1

1 0

1 0

x y x y 1

0 1

0 1

S e dx e dy e e e e−
−

−

= + = + = −

1,0

IV O là tâm hình vng ABCD SO (ABCD)⊥ . G i V, V’ l"n l #t là th tích kh i chóp
S.ABCD, S.AEMF . AM SO a 6

2

= = ; EF 2BD 2a 2

3 3

= =

2
AEMF

1 1 a 6 2a 2 a 3

S AM.EF

2 2 2 3 2

= = =

2 3

1 a 3 a 2 a 6
V '

3 2 2 18

= =

Cách 2:

3

a 6
V

6

= ; SAMF

SACD

V SA.SM.SF 1
V =SA.SC.SD =3;

SAMF SAMF

S.ACD

V V 1

V = 2V = 6;

SAME

V 1

V =6

V V

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

V ₁ ₇

u x y; x; y

2 2

+ , v y 1z; y; 7 z

2 2

+ , u z 1x; z; 7x

2 2

+ .

u + v + w ≥ u+v+w pcm.

Cách 2: 2 2

(

)

2

(

)

2

(

)

2

4(2x +xy 2y )+ =5 x+y +3 x−y ≥5 x+y
Vì x, y > 0 2x2 xy 2y2 5

(

x y .

)

2

+ + ≥ +

T ng t : 2y2 yz 2z2 5

(

y z

)

2

+ + ≥ + ; 2z2 zx 2x2 5

(

z x

)

2

+ + ≥ + pcm.

1,0

1) AB(5;−2) ng th ng AB có VTPT n(2; 5) . Gi s (D) có VTPT u(a; b)

2 2

(a +b ≠0)

2 2

2a 5b 2

2

29 a b

+

=
+

2

a a

21 40 21 0

b − b − = (vì b ≠ 0)

a/b= −3/7 ho c a/b=7/3 3x 7y 19− + =0; 7x+3y 33− =0.

1,0
VI

a

2) V_OABC 1OA.OB.OC 1abc

6 6

= = .(P) :x y z 1

a+b+c= . (P) i qua M

1 2 3

1
a+b+c=

3

1 2 3 6

1 3

a b c abc

= + + ≥ 1 27 6

abc

≥ ⋅ abc≥27.6 V_OABC 1abc 27

6

= ≥

min V_OABC =27, t c khi khi 1 2 3 1

a =b =c=3 (a=3; b=6; c=9)

1,0

VII
a

Cho x = 1 n 1

0 1 2 n 3

2 + a a a ... a 4096

+

= + + + + = n = 11.

11 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5

11 11 11 11 11 11

(1 x)− =C −C x+C x −C x +C x −C x +...

2 12 0 2 1 3 2 4 3 5

12 12 12 12

x (1 x)− = C x +C x +C x +C x +... a₅= −C₁₁5 +C₁₂3 = −242.

1,0

1) (P) có tiêu i m F(1/2; 0)∈(d).

2
2

x y /2

y my 1 0

=

− − =

2

m 4 0, m R

∆ = + > ∀ ∈ .

I(x; y) v i

M N

2x my 1 0

y y

y
2

− − =

+
=

2x my 1 0

y m

− − =

=

2

y =2x 1−

1,0
VI

b

2) V i M(1 t;− − +2 t; 2t)∈ ∆ MA=(t ; 6 t ; 2 2t)− − . AB= −( 2;−2; 2)

MA, AB =(16 6t;− − +4 2t; 12 4t)− _S 1 _56t2 _304t ₄₁₆

2

= − +

T ó S nh nh!t t=19/7 M

(

−12/7 ; 5/7 ; 38/7

)

Cách khác: S 1AB.MH

2

= , trong óMH⊥AB. S nh nh!t MH là o n vng góc

chung c"a AB và ∆. ∆ có VTCP a( 1; 1; 2)− . AB có VTCP b(1; 1; 1)− .

M(1 t;− − +2 t; 2t)∈ ∆; M(1 t '; 4 t '; 2 t ')+ + − ∈AB MH=(t ' t; 6+ + −t ' t; 2 t ' 2t)− −

MH a

MH b

⊥
⊥

2t 3t ' 4

6t ' 2t 10

+ = −

− − = −

t 19/7

t ' 22/7

=

= − .
19
t

7

= M 12 5 38; ;

7 7 7

− .

1,0

VII
b

2011 ₂₀₁₁ 2011 k k

k
2011

k 0

1 1 1 1

x C . . x

2 3 2 3

−

=

+ = . Tìm k∈

{

0; 1; ...; 2011

}

sao cho a_{k 1}₊ ≤a_k

(

)

2011 k 1

(

)

k 1

(

)

2011 k

(

)

k

k 1 k

2011 2011

C − 1/2 − + 1/3 − ≤C 1/2 − 1/3 k≤804,8 k = 804.

0 1 803 804

a <a <...<a <a 804

(

) (

207

)

804

0 1 2 2011 804 1011

max(a ; a ; a ; ...; a )=a =C 1/2 1/3

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

VII

−

TỐN ƠN THI

I H C.

I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m).
Câu I (2,0 i m). Cho hàm s y 2x 6

x 1
+
=

+ có th (H).
1) Kh o sát s bi n thiên và v th (H).

2) Tìm t&a các i m thu c (H) sao cho t)ng kho ng cách t( ó n hai ng ti m c*n
c a (H) là nh nh t.

Câu II (2,0 i m).

1) Gi i ph ng trình: 1 1 2
cos x sin 2x+ =sin 4x.
2) Gi i b t ph ng trình:

(

_x2 _{x 1}

)

x ₁

+ + < .
Câu III (1,0 i m). Tính:

2

e

1

(1 x) ln x

I dx

x
−

= .

Câu IV (1,0 i m). M t hình tr% có bán kính áy R và chi!u cao R 3 . A và B là hai i m l n l +t
n m trên hai ng tròn áy sao cho góc h+p b.i AB và tr%c c a hình tr% b ng 30 . D ng và 0
tính dài o$n vng góc chung c a AB và tr%c c a hình tr%.

Câu V (1,0 i m). Cho x, y là hai s th c d ng th a x y 1+ = . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

x y

P

1 x 1 y

= +

− − .

II/ PH N RIÊNG (3,0 i m).
A) Theo ch ng trình Chu n:

Câu VI.a) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho elip (E) có ph ng trình: _5x2 _9y2 _{30x 18y 9 0}

+ + − + = . Tìm t&a
các tiêu i m và tính tâm sai c a (E).

2. Trong không gian Oxyz, hãy vi t ph ng trình ng th ng i qua i m M( 1; 2; 3)− − ,

vng góc v i ng th ng

x 2 6t
: y 2t

z 5 3t
= − +

∆ = −

= −

và c't ng th ng ' :x 4 y 1 z 2

3 2 5

− − +

∆ = =

− .
Câu VII.a) (1,0 i m). Gi i ph ng trình sau ây trong t*p s ph c: z3+3z2+3z 63 0− = .

B) Theo ch ng trình Nâng cao:

Câu VI.b) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho hypebol (H) có ph ng trình: _2x2₋_7y2₊_{4x 70y 187 0}₊ ₋ ₌ _.

Tìm t&a các tiêu i m và tính tâm sai c a (H).

2. Trong không gian Oxyz, hãy vi t ph ng trình ng th ng i qua i m M(0;1; 1)− , vng
góc và c't ng th ng :x 1 y z 1

4 4

− +

∆ = =

− .

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

O'
O

B
H
A'

J I

R
R

A

Tóm t't cách gi i ! VII. i m

1) TX : D = R\{−1}.
y ' 4 ₂

(x 1)
−
=

+ .

x

y
y'

- -1 +

2
2

-+

Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng

(−∞ −; 1), ( 1;− + ∞).
TC : x = −1 ; TCN: y = 2.

1,0
I

2) TC : ∆₁: x 1 0+ = ; TC : ∆₂: y 2 0− = . M(x ; y ) (H)₀ ₀ ∈ ₀

0

4
y 2

x 1
= +

+

1 1 0

d =d(M;∆ =) x +1; ₂ ₂ ₀

0

4
d d(M; ) y 2

x 1

= ∆ = − =

+ d1+d2≥2 d .d1 2 =4

1 2

min(d +d ) 4= d1=d2
0
0

x 1

x 3

=
= −

1
2

M (1; 4)
M ( 3; 0)− .

1,0

1) V i K: sin 4x 0≠ , PT ã cho t ng ng v i: 2sin x 1 2
sin 2x 2sin 2x cos 2x

+
=

(2sin x 1)cos2x 1+ = 2sin x cos 2x 1 cos2x= − 2sin x cos 2x 2sin x= 2
sinx(cos2x sinx) 0− = cos2x s inx 0− = (vì K sin x 0≠ )

2

2sin x sinx 1 0+ − = sinx 1
2

= ( sinx= −1 lo$i vì cos x 0= ) x (B/6) k2
x (5B/6) k2

= + π

= + π

(có th gi i: cos2x s inx 0− = cos2x s inx= cos2x cos x
2
π

= − …)

1,0
II

2)

(

_x2 _{x 1}

)

x ₁

+ + < x.ln x

(

2+ +x 1

)

<0

(

2

)

x 0

ln x x 1 0
>

+ + < ho c

(

2

)

x 0

ln x x 1 0
<

+ + >

2

x 0
x x 0

>

+ < ho c 2
x 0
x x 0

<

+ > x (∈ −∞ −; 1).

1,0

III

u ln x
(1 x)dx
dv

x
=

−

= _1/2 _3/2

dx
du

x
2

v 2x x

3
=

= −

2 2

e e

1/2 1/2

1
1

2 2

I 2 x x x ln x 2x x dx

3 3

−

= − − −

2 2

e e

3

1 1

2 4 32 8

I 2 x x x ln x 4 x x x e

3 9 9 3

= − − − = − .

1,0

IV G&i O, O’ l n l +t là tâm c a hai áy. A (O)∈ , B (O ')∈ .
AA '/ /OO ' _{A 'AB 30}0

= .∆AA’B vuông t$i A’
AA ' OO ' R 3= = A 'B R= ∆O’A’B !u.
G&i H là trung i m c a A’B O 'H⊥(AA 'B)

ng th ng qua H và song song v i OO’, c't AB t$i J.
D ng IJ // O’H (c't OO’ t$i J)

IJ⊥OO ' và IJ⊥AB IJ O 'H R 3
2

= =

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.
+
1/2
2
1
0
P '
P
x
0
+

m
B ∆∆∆∆'

∆
∆
∆
∆
u
b
n
d
Ν
Ν
Ν
Ν
Μ
Μ
Μ
Μ αααα'
α
αα
α

V x 1 x

P

1 x x

−

= +

− v i x (0;1)∈ .

₍

₎

3

_{( )}

3

2 x 1 x

P '

2 1 x 2 x

− +

= −

−
P ' 0=

(

2 x 2−

)

( )

x 3=

(

1 x 2 1 x+

)

(

−

)

3

(

2

)

1

x 8x 8x 2 0

2

− − + = x 1

2

= min P= 2 khi x 1 y
2
= = .

1,0

1)

2 2

(x 3) (y 1)

(E) : 1

9 5

+ −

+ = . t: X x 3
Y y 1
= +
= −

x X 3
y Y 1

= −

= +

Trong h t&a IXY, elip

2 2

X Y

(E) : 1

9 + 5 = có

2 2 2

c =a −b =4 c = 2.

Tâm sai e c 2
a 3

= = . Tiêu i m F₁ X 2
Y 0

= −
= , 2

X 2
F

Y 0
=
=
Trong h t&a Oxy, (E) có tiêu i m F₁ x X 3 5

y Y 1 1
= − = −
= + = , 1

x X 3 1

F

y Y 1 1
= − = −

= + =

1,0
VI

a

2) (α) i qua M và ( )α ⊥ ∆ ( ) : 6x 2y 3z 1 0α − − + = . {N} ( )= α ∩ ∆'
N(1; 1; 3)− MN :x 1 y 2 z 3

2 3 6

+ − +

= =

− .

Cách 2: (α) i qua M và ( )α ⊥ ∆ (α) có VTPT n (6; 2; 3)= − − .
∆’ i qua B(4;1; 2)− và có VTCP b(3; 2; 5)− . (α’) i qua M và ch a
∆’ (α’) có VTPT m= b, MB = − −( 3; 28; 13)− . d ( ) ( ')= α ∩ α

d có VTCP u= n, m = −( 58; 87; 174)− = −29(2; 3; 6)− .

1,0

VII

a z3+3z2+3z 63 0− = (z 3)(z− 2−6z 21) 0+ = z 3₂

z 6z 21 0
=

− + =

z 3

z 3 2 3 i
=

= − ± .

1,0
1)

2 2

(x 1) (y 5)

(H) : 1

7 2

+ −

− = . t X x 1

Y y 5
= +
= −

x X 1
y Y 5

= −

= +
Trong h t&a IXY, hypebol

2 2

X Y

(H) : 1

7 − 2 = có

2 2 2

c =a +b =9 c = 3.

Tâm sai e c 3

a 7

= = . Tiêu i m F₁ X 3
Y 0

= −
= , 2

X 3
F

Y 0
=
=
Trong h t&a Oxy, (H) có tiêu i m F₁ x X 1 4

y Y 5 5
= − = −
= + = , 1

x X 1 2
F

y Y 5 5

= − =

= + =

1,0
VI

b

2) T ng t VIa2): N 13 5; ; 13
33 33 33

−

MN 13; 28 20;
33 33 33

− x y 1 z 1

MN :

13 28 20

− +

= =

− . 1,0

VII

b

3 2

z −2(1 i)z+ +3iz 1 i 0+ − = (z 1) z− 2−(1 2i)z 1 i+ − + =0

2

z 1

z (1 2i)z 1 i 0
=

− + − + =

z 1
z i
z 1 i

=
=
= +

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

VIII

−

TỐN ƠN THI

I H C.

I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m).
Câu I (2,0 i m). Cho hàm s _{y x}3 _3mx2 _3(m2 _{1)x m}3

= − + − − có th (Cm).
1) Kh o sát s bi n thiên và v th c a th hàm s khi m= −2.

2) Tìm m th (Cm) c't tr%c hoành t$i ba i m phân bi t, trong ó có duy nh t m t i m
v i hoành d ng.

Câu II (2,0 i m).

1) Gi i ph ng trình: _{sin x 2sin x cos x 3cos x 0}3 ₊ 2 ₋ 3 ₌ _.

2) Gi i ph ng trình: _x₊ _{17 x}₋ 2 ₊_{x 17 x}₋ 2 ₌₉_.

Câu III (1,0 i m). Tính:

4

0

x dx
4− 1 2x+ .

Câu IV (1,0 i m). Cho kh i nón (N) có chi!u cao h và bán kính áy R. Tìm th tích l n nh t V ₀
c a kh i tr% (T) n i ti p trong kh i nón (N). Tính t s gi a V và th tích c a kh i nón (N). ₀
Câu V (1,0 i m). Cho x, y, z là ba s th c d ng th a: x y z 1+ + = . Tìm giá tr l n nh t c a bi u

th c: P x y z
x 1 y 1 z 1

= + +

+ + + .

II/ PH N RIÊNG (3,0 i m).
A) Theo ch ng trình Chu n:

Câu VI.a) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho hai i m A(1; 5) , B(3; 1)− và ng th ng d có ph ng trình:
3x 2y 6 0− − = . Vi t ph ng t"#nh hai ng th ng l n l +t i qua A, B và i x ng nhau
qua ng th ng d.

2. Trong không gian Oxyz cho ng th ng :x 2 y 1 z 1

2 3 5

− + −

∆ = =

− và m t ph ng
( ) : mx ny 5z 22 0α + − − = . Xác nh m, n ∆ n m trong ( )α .

Câu VII.a) (1,0 i m). Tìm s ph c z th a i!u ki n:

z 12 5
z 8i 3
z 4

1
z 8

−

=
−
−

=
−

.

B) Theo ch ng trình Nâng cao:

Câu VI.b) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho ∆ABC có di n tích b ng 1,5 và hai nh là A(2; 3)− , B(3; 2)− .
Bi t tr&ng tâm G c a nó n m trên ng th ng d : 3x y 8 0− − = . T#m i m C.

2. Trong không gian Oxyz cho hai m t ph ng ( ) : (1 m)x (m 2)y mz 1 0α − + + + + = và
( ') : 4nx (7n 3)y 3(n 1)z 2n 0α − + − + + = . Tìm m, n (α) song song v i (α’).

Câu VII.b) (1,0 i m). Tìm các s ph c z và w th a i!u ki n: z w 3(1 i)₃ ₃
z w 9( 1 i)

+ = +

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

O'

O B

S

A

Tóm t't cách gi i ! VIII. i m

1) m= −2 y x= 3+6x2+9x 8+ . TX : D = R.

2

y 3x= +12x 9+

y ' 0= x= −1 ho c x= −3.

+
4
-3

x

y
y '

- +

-0

-1

0
8

xlim y→−∞ = −∞, xlim y→+∞ = +∞. C ( 3; 8)− ;
CT ( 1; 4)− .

y '' 6x 12= + . y '' 0= x 2= . i m u n ( 2; 6)− .

1,0
I

2) _{y ' 3x}2 _{6mx 3(m}2 ₁₎

= − + − . y ' 0= x m 1= ± .
f (m 1)− = −3m 2+ ; f (m 1)+ = −3m 2− .

(Cm) c't Ox t$i 3 i m phân bi t f (m 1).f (m 1) 0− + < −2/3 m 2/3< < (1)
Có m t i m hoành âm m 1 0 ₃

f (0) m 0
− <

= − < 0 m 1< < (2). (1) và (2) 0 m 2/3< <

1,0

1) _{sin x 2sin x cos x 3cos x 0}3 ₊ 2 ₋ 3 ₌ _{tan x 2 tan x 3 0}3 ₊ 2 _{− =}
2

(t anx 1)(tan x t anx 3) 0− + + = t anx 1= x (= B/4) k+ π 1,0

II

2) _x _{17 x}2 _{x 17 x}2 ₉

+ − + − = . t y= 17 x− 2 ≥0 x y xy 9₂ ₂
x y 17

+ + =

+ = .

S x y
P xy

= +
=

2

S P 9
S 2P 17

+ =

− = 2

P 9 S
S 2P 35 0

= −

+ − =

S 5
P 4
=
=

S 7

VN
P 16

= −

= . T*p nghi m T {1; 4}= .

1,0

III

t t= 1 2x+ t2= +1 2x

2

t 1
x

2
−

= dx t.dt= . x 0= t 1= ; x 4= t 3= .

3

3 3

2 2

1 ₁

1 60 1 t 82

I t 4t 15 dt 2t 15t 60 ln 4 t 30ln 3

2 4 t 2 3 3

= − − − + = − − − − − = − +

− .

1,0

IV G&i x là chi!u cao, r là bán kính áy và V là th tích c a kh i tr% (T).
r h x

R h

−

= r R(h x)

h

= −

2

2 2

2

R

V r x (h x) x
h

π

= π = − .

3

2 2

2 2

R R 2h

V (h x)(h x)2x

2h 2h 3

π π

= − − ≤

3

2 2

0 2

R 2h 4 R h
maxV V

2h 3 27

π π

= = = . D u “=” x y ra x h

3
=
G&i V là th tích kh i nón (N). _N V_N 1 R h2

3

= π 0

N

V 4

V =9.

V _x _{x 1 1} ₁

1

x 1 x 1 x 1

+ −

= = −

+ + + . T ng t

1 1 1

P 3

x 1 y 1 z 1

= − + +

+ + +

B T Cô si: 1 1 1 33 1 (1)

x 1 y 1 z 1+ + + + + ≥ (x 1)(y 1)(z 1)+ + +
_{(x 1) (y 1) (z 1) 3 (x 1)(y 1)(z 1) (2)}₊ ₊ ₊ ₊ ₊ _≥ 3 ₊ ₊ ₊

(1) x (2) 4. 1 + 1 + 1 ≥9 − 1 + 1 + 1 ≤ −9

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

6
5
4
3
2
1

1
2

2 4 6 8

O
y

x

7
1

3

d: 3x - 2y - 6 = 0
H

A'

I
B
A

2

4

6

8

10

5

3x - y - 8 = 0

C2

C1
O

y

x
3

-3
2

x - y - 5 = 0
G

B
A

1 1 1 3

P 3

x 1 y 1 z 1 4

= − + + ≤

+ + + . Khi

1
x y z

3

= = = thì P 3
4
= .
1) A '(x; y) i x ng v i A qua d

AA’ i qua A(1; 5) và AA ' d⊥

AH : 2x 3y 17 0+ − = . H là giao i m c a AH v i d
H(4; 3) A '(7;1) A 'B : x 2y 5 0− − =

I(x; y) là giao i m c a A’B v i d I 1; 9
2 −4
IA : 29x 2y 19 0− − = .

1,0
VI

a

2) Cách 1: V trí t ng i gi a ng th ng và m t ph ng.
Cách 2: Ph ng trình: ax b 0+ = có vơ s nghi m a 0

b 0
=
=

m 7
n 13

=
= − .

1,0
VII

a Gi s, z x yi (x, y R)= + ∈ . 3 z 12 5 z 8i

z 4 z 8

− = −

− = −

3 (x 12) yi 5 x (y 8)i
(x 4) yi (x 8) yi

− + = + −

− + = − +

2 2 2 2

2 2 2

3 (x 12) y 5 x (y 8)
(x 4)2 y (x 8) y

− + = + −

− + = − +

z 6 8i
z 6 17i

= +
= + .

1,0

1) Gi s, C(x; y) . G(x ; y ) d_G _G ∈ 3x_G−y_G− =8 0

2 3 x 2 3 y

3 8 0

3 3

+ + − − +

− − = 3x y 4 (1)− =
AB= 2. AB : x y 5 0− − = . CH d(C, AB) x y 5

2
− −

= = .

ABC

3
S

2

= 1AB.CH 3

2 = 2

x y 5

1 ₂ 3

2 2 2

− −
=
x y 5− − =3 x y 5− − = ±3 (2)

(1) và (2) Có hai i m C (1; 1)₁ − và C ( 2; 10)₂ − − .

1,0
VI

b

2) * Tr ng h+p n 0≠ và n≠ −3/7 và n≠ −1: ( ) / /( ')α α

m 1 m 2
4n 7n 3

m 2 m

7n 3 3m 3

− +

=

+
+

=

+ +

mn m 5n 1
2mn 3n 3

+ − =

− = 2

7n 1
m

2
7n 4n 3 0

−
=

− − =

n 1
m 3

=

= ( n= −3/7lo$i)
* n = 0: ( ') : y z 0α + = . ( ) / /( ')α α m = 1 và m 2 m

1 1

+

= không th a.
* n = −1: ( ') : 2x 2y 1 0α − + = . ( ) / /( ')α α m = 0 và 1 m m 2

2 2

− +

=

− không th a.

1,0

VII

b 3 3

z w 3(1 i)
z w 9( 1 i)

+ = +

+ = − + 2 2

z w 3(1 i)

(z w)(z zw w ) 9( 1 i)

+ = +

+ − + = − + 2

z w 3(1 i)
(z w) 3zw 3i

+ = +

+ − =

z w 3(1 i)
zw 5i

+ = +

= z, w là nghi m c a PT ph c:

2

t −3(1 i)t 5i 0+ + =
z 2 i

w 1 2i
= +

= + ho c

z 1 2i
w 2 i

= +
= + .

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.

IX

−

TOÁN ÔN THI

I H C.

I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m).
Câu I (2,0 i m). Cho hàm s

4
2

x

y 3x 1

2

= − + có th (C).
1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C).

2) Xác nh m ph ng trình: _x4 _6x2 ₂ _m

− + = có úng sáu nghi m phân bi t.

Câu II (2,0 i m).

1) Gi i ph ng trình: _{x 35 x x}3 3

(

3_{35 x}3

)

₃₀

− + − = .

2) Gi i b t ph ng trình: 4 2 4 2

3 1 1 1

3 3 3

x

4log x log 32log x 41 85log x.
81

− + + <

Câu III (1,0 i m). Tính: 4 3
0

I x.cos x.sin x.dx
π

= .

Câu IV (1,0 i m). Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông tâm O, c$nh b ng a.
SO (ABCD)⊥ và SO a 2

2

= . Trên c$nh SC l y i m M v i SM x= (0 x a)< < . SD c't (ABM)
t$i N. nh x (ABMN) vng góc v i (SCD). Khi ó hãy tính th tích kh i chóp S.ABMN.
Câu V (1,0 i m). Cho x, y, z là ba s th c d ng th a: x y z 1+ + = . Tìm giá tr l n nh t c a bi u

th c: P xyz(x y)(y z)(z x)= + + + .
II/ PH N RIÊNG (3,0 i m).

A) Theo ch ng trình Chu n:

Câu VI.a) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho hai i m A(1; 2), B(3; 4) và ng th ng ∆ có ph ng trình:
3x y 3 0+ − = . Vi t ph ng trình ng trịn i qua hai i m A, B và ti p xúc v i ng
th ng ∆.

2. Trong không gian Oxyz cho hai ng th ng

x t
: y 11 2t

z 16 t
=

∆ = − +

= −

và ' :x 5 y 2 z 6

2 1 3

− − −

∆ = = ⋅

G&i d là hình chi u song song c a ∆ theo ph ng ∆’ trên mp(P): 3x 2y 2z 1 0− − − = . Vi t
ph ng trình chính t'c c a ng th ng d.

Câu VII.a) (1,0 i m). M t lơ hàng có 30 thùng hàng, trong ó có 3 thùng hàng ph phCm. L y
tùy ý 8 thùng hàng t( lơ hàng ó. Tính xác su t (k t qu chính xác n hàng ph n nghìn),

8 thùng hàng l y ra có ít nh t m t thùng hàng ph phCm.
B) Theo ch ng trình Nâng cao:

Câu VI.b) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho hai ng th ng ∆: 2x y 1 0+ − = và ∆': 2x y 2 0− + = , vi t
ph ng 2"#nh ng 2"=n i qua g c t&a O và ti p xúc v i hai ng th ng ∆, ∆’.

2. Trong không gian Oxyz cho hai ng th ng

x 3 2t
: y 1 3t

z 1 t
= − +

∆ = −

= − +

và ' :x 2 y 7 z 1

3 4 2

+ + +

∆ = = .

Vi t ph ng trình m t c u có tâm I thu c ∆, bán kính R 6= và ti p xúc v i ∆’.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

L
a
a

x
S

O
I

K
N

B

D C

A

M

Tóm t t cách gi i IX. i m

1) TX : D = R. y '=2x3−6x.

y '=0 x=0 ho c x= ± 3.

-7/2

3

1

-7/2
x

y
y '

- 0 +

0
- 3

0 0

+

+

C (0; 1); CT(± 3; 7/2)− .
2

y ''=6x −6x. y ''=0 x= ±1.
i m u n ( 1; 3/2)± − .

1,0
I

2) x4−6x2+2 =m
4

2

x m

3x 1

2 − + = 2 . Yêu c u bài toán

m 7

1

2 2

< < 2<m<7. 1,0
1) t y= 335 x− 3

3 3

xy(x y) 30

x y 35

+ =

+ = . S=x+y; P=xy.
3

S P 30

S 3SP 35

+ =

− = 3

P 9 S

S 125

= −
=

S 5

P 6

=

= . T p nghi m T={2; 3}.

1,0
II

2)

4

4 2 2

3 1 1 1

3 3 3

x

4 log x log 32 log x 41 85 log x (1).

81

− + + < K: x > 0. t t=log x₃ .

Khi ó (1) có d ng: 4t4−(4 4t)− 2−32t+41 85t< 2 4t4−101t2+25<0

2
1

t 25

4< <

1

t 5

2 < <

1

t 5

2

1

5 t

2
< <
− < < −

3

3
1

log x 5

2

1

5 log x

2
< <
− < < −

3 x 243

1 1

x

243 3

< <
< < .

1,0

III

4 3

u x

dv cos x.sin x.dx

=
=

7 5

du dx

cos x cos x

v

7 5

=

= −

7 5 7 5 7 5

0 0

0

cos x cos x cos x cos x 2 cos x cos x 2

I x dx dx

7 5 7 5 35 7 5 35

π

π π

π π

= − − − = − − = .

1,0

IV SO⊥(ABCD), OA=OB=OC=OD SA=SB=SC=SD SA=a

AB//CD MN//AB; BCM∆ = ∆ADN MB=AN ABMN là hình thang cân.

SCD

∆ u ∆SMN u SM=x MN=x.

BCM

∆ MB2 =MC2+BC2−2MC.BC.cos600

2 2

AN=BM= a +x −ax.

G i K, I l n l t là trung i m c a MN, AB. D ng ML//KI.

a x

LB
2
−

= _ML _IK 1 _3x2 _2ax _3a2

2

= = − +

SK⊥MN và IK⊥MN

SKI là góc gi a (ABMN) và (SCD).

(ABMN)⊥(SCD) IK⊥SK SI2=IK2+SK2 x a

3
= .
3

S.ABMN ABMN

1 1 1 4a a 2 a 3 a 6

V S .SK

3 3 2 3 3 6 81

= = ⋅ ⋅ = .

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.
3

(x+y) (y+ +z) (z+ +x)≥3 (x+y)(y+z)(z+x) ₂_≥_{3 (x}3 ₊_{y)(y z)(z}₊ ₊_{x) (2)}

(1) x (2) ₂_≥_{9 P}3 _P 8

729

≤ . Khi x y z 1

3

= = = thì P 8

729

= .

1) (T):x2+y2−2ax−2by c+ =0. (T) có tâm I(a; b), R= a2+b2−c.

A (T)

B (T)

d(I, ) R

∈

∈

∆ = 2 2

a (15 c)/2

b (c 5)/2

3a b 3 10 a b

= −

= −

+ − = +

a 4

b 1

c 7

=
=
=

ho c

a 3/2

b 7/2

c 12
=
=
=

Có hai ng tròn: x2+y2−8x−2y 7+ =0 và x2+y2−3x 7y 12− + =0.

1,0
VI

a

2) Cách 1: M t ph ng (α) xác nh b i ∆ và ∆’.

7x 5y 3z 7 0

d (P) ( ) :

3x 2y 2z 1 0

− − − =

= ∩ α

− − − =

x 9 y 14 z

d :

4 5 1

+ +

= = .

Cách 2: {M}= ∆ ∩(P) và {N}= ∆ ∩' (P) M(11; 11; 5) , M(3; 1; 3) d≡MN

1,0

VII
a

G i A là bi n c c n tìm.
Cách 1:

1 7 2 6 3 5

3 27 3 27 3 27

8
30

C .C C .C C .C

P(A) 0, 621

C

+ +

= ≈ .

Cách 2:

( )

8
27
8
30
C

P(A) 1 P A 1 0, 621

C

= − = − ≈ .

1,0

1) (T):_x2₊_y2₋_2ax₋_{2by c}_{+ =}₀_._O_∈_(T) _c₌₀_{. (T) có tâm}_{I(a; b)}_,_R₌ _a2₊_b2_.

d(I, ) d(I, ')

d(I, ) R

∆ = ∆

∆ = ₂ ₂

2a b 1 2a b 2

5 5

2a b 1

a b

5

+ − − +

=
+ −

= +

1
a

4
3 2 10
b

8
= −

− ±
=

Có hai ng trịn:4x2+4y2+2x+

(

3 2 10 y±

)

=0

1,0
VI

b

2) Cách 1: ∆’ i qua i m A( 2;− −7; 1)− và có VTCP a(3; 4; 2) .

I( 3 2t; 1 3t; 1 t)− + − − + ∈ ∆. IA(1 2t; 8 3t;− − + −t) IA, a =(10t 16; t− −2; 28 17t)−

d(I;∆ =') 6 _390t2₋_1276t₌₀_{. t}₌₀_{I(3; 1; 1)}₋ _._t 638
195

= I 691; 573 443;

195 65 195

−

.
Cách 2: I( 3 2t; 1 3t; 1 t)− + − − + ∈ ∆. G i H là hình chi u c a vng góc c a I trên ∆’.
Gi s H(3m 2; 4m 7; 2m 1)− − − ∈ ∆' IH(3m 2t 1; 4m 3t 8; 2m t)− + + − − .

IH .a 0

IH 6

=

=

691 573 443

I ; ;

195 65 195

−

1,0

VII
b

G i A là bi n c c n tìm.
Cách 1:

8 1 7

28 2 28

8
30

C C .C

P(A) 0, 94

C

+

= ≈ .

Cách 2:

( )

6 2

28 2
8
30
C .C

P(A) 1 P A 1 0,94

C

= − = − ≈ .

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

X

−

TỐN ƠN THI

I H C.

I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m).
Câu I (2,0 i m). Cho hàm s y 5 2x

x 1
−
=

− có th (H).
1) Kh o sát s bi n thiên và v th (H).

2) Tìm a, t( i m A(0; a) kE +c hai ti p tuy n n (C) sao cho hai ti p i m t ng ng
n m v! hai phía c a tr%c hồnh.

Câu II (2,0 i m).

1) Gi i ph ng trình:

2

sin 2x 2cos x 1

cos x
cos x sinx cos3x sin 3x

+ −

=

− − + .

2) Gi i h ph ng trình: xy x 1 7y_{2 2} ₂
x y xy 1 13y

+ + =

+ + = .

Câu III (1,0 i m). Ch ng minh r ng hàm s _{f (x) ln x}

(

_{1 x}2

)

= + + là m t nguyên hàm c a hàm s

2

1
g(x)

1 x
=

+ . Tính

1

2
0

I= 1 x dx+ .

Câu IV (1,0 i m). Cho hình nón có ng cao SO h= và bán kính áy R. G&i M là i m trên o$n
SO v i OM x= (0 x h)< < . M t ph ng vng góc v i tr%c hình nón t$i M, c't hình nón theo
m t ng trịn (M). Tính th tích V c a kh i nón có nh O và áy (M). Tìm x sao cho V $t
giá tr l n nh t.

Câu V (1,0 i m). Cho x, y, z là ba s th c d ng th a: _x2 _y2 _z2 ₃

+ + = . Tìm giá tr nh nh t c a
bi u th c:

3 3 3

2 2 2

x y z

P

y 3 z 3 x 3

= + +

+ + + .

II/ PH N RIÊNG (3,0 i m).
A) Theo ch ng trình Chu n:

Câu VI.a) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho hai i m A( 1; 3)− , B(6; 2) và ng th ng ∆ có ph ng trình:
4x 3y 30 0+ − = . Vi t ph ng trình ng trịn (T) i qua A và ti p xúc v i ng th ng ∆
t$i B.

2. Trong không gian Oxyz cho i m I(1;2;−2) và m t ph ng (α) : 2x + 2y + z + 5 = 0. G&i (S)
là m t c u tâm I sao cho m t ph ng (α) c't m t c u (S) theo m t ng trịn có chu vi b ng
8π. Ch ng minh r ng m t c u (S) ti p xúc v i ng th ng ∆ : 2x − 2 = y + 3 = z. Tìm t&a

ti p i m.

Câu VII.a) (1,0 i m). Cho a th c _{P(x) (x a) (x b)}3 6

= + − . Bi t r ng trong khai tri n c a P(x), h
s c a _{x b ng 483 và h s c a}7 _{x b ng 33. Tìm a và b.}8

B) Theo ch ng trình Nâng cao:

Câu VI.b) (2,0 i m).

1. Trong m t ph ng Oxy cho parabol (P) : y = x2 − 2x và elip (E) :

2
2

x

y 1

9 + = . Ch ng minh
r ng (P) và (E) c't nhau t$i 4 i m phân bi t A, B, C, D và b n i m A, B, C, D cùng n m
trên m t ng 2"=n. Xác nh tâm và bán kính c a ng 2"=n ó.

2. Trong khơng gian Oxyz cho hai m t c u : (S) : x2 + y2 + z2 − 64 = 0
(S’) : x2_{+ y}2_{+ z}2_{− 6x − 12y + 12z + 72 = 0.}

Ch ng minh r ng (S) và (S’) c't nhau theo m t ng tròn mà ta ph i xác nh tâm và
bán kính.

Câu VII.b) (1,0 i m). Tìm s ph c z sao cho z i 1
z 3i

−

=

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre.
Tóm t't cách gi i ! X. i m

1) TX : D = R\{1}.
y ' 3 ₂

(x 1)
−
=

−
x

y
y '

- 1 +

-2
-2

-+

Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng
(−∞;1), (1;+ ∞).

TC : x = 1 ; TCN: y = −2.

1,0
I

2) PTTT t$i M(x ; y ) (H)₀ ₀ ∈ : 0

0
2

0 0

5 2x 3

y (x x )

x 1 (x 1)

− −

− = −

− −

TT i qua A(0;a) 0 0
2

0 0

5 2x 3x

a

x 1 (x 1)
−

− =

− −

0
2

0 0

x 1

(a 2)x 2(a 5)x a 5 0 (*)
≠

+ − + + + =

T( A(0;a) kE +c 2 TT n (H) (*) có hai nghi m x , x khác 1. ₁ ₂

2

' (a 5) (a 5)(a 2) 0
(a 2) 2(a 5) a 5 0

∆ = + − + + >

+ − + + + ≠ a> −5. Khi ó hai ti p i m (x ; y ), (x ; y ) 1 1 2 2
n m v! hai phía c a Ox y .y₁ ₂<0 1 2

1 2

5 2x 5 2x
0

x 1 x 1

− −

<

− −

10
a

3
>

1,0

1) cos x sinx cos3x sin 3x (cos x cos3x) (sin 3x sinx) 2sinx(sin2x cos2x)− − + = − + − = +

2

sin 2x 2cos x 1 _{cos x}
cos x sinx cos3x sin 3x

+ −

=

− − +

2

sin 2x 2 cos x 1 _{cos x (1)}
2sinx(sin2x cos2x)

+ −

=

+ .

K: sinx 0

sin 2x cos2x 0
≠

+ ≠ . V i i!u ki n trên, PT (1) t ng ng v i:
sin 2x cos 2x

cos x
2sinx(sin2x cos2x)

+

=

+ 1 2sinx cos x= sin 2x 1= x 4 k
π

= + π(th a K).

1,0
II

2)y = 0 không th a ₂

1 x

x 7

y y

1 x

x 13

y y

+ + =

+ − =

2

1 1

x x 20 0

y y

x 1

7 x

y y

+ + + − =

= − +

Nghi m (1; 1/3), (3; 1).

1,0

III

(

2

)

2

2 2 2

x
1

x 1 x ' ₁

1 x

f '(x) g(x)

x 1 x x 1 x 1 x

+

+ +

+

= = = =

+ + + + + .

2

u 1 x
dv dx

= +

=

2

x

du dx

1 x
v x

=
+
=

1 2 1 2 1

1
2

2 2 2

0 ₀ ₀ ₀

x 1 x 1 dx

I x 1 x dx 2 dx 2 I

1 x 1 x 1 x

+ −

= + − = − = − +

+ + +

(

2

)

1

(

)

0

2I= 2 ln x+ + 1 x+ = 2 ln 1+ + 2 I 2 1ln 1

(

2

)

2 2

= + +

Ho c có th bi n )i:

1 1 2 1 1 2 1

2

2 2 2 2

0 0 0 0 0

1 x dx x dx dx

I 1 x dx dx 2 I

1 x 1 x 1 x 1 x

+

= + = = + = + −

+ + + +

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

M

O
S

A
IV

G&i r là bán kính c a (M). r h x

R h

−

= r R(h x)

h

= −

2 2

2 2

2 2

1 1 R 1 R

V r .OM (h x) .x (h x)(h x).2x

3 3 h 6 h

= π = π − = π − −

3

2 2

2

1 R 2h 4 R h
V

6 h 2 81

π

≤ π =

2

4 R h
maxV

81
π

= khi x h
3
= .

1,0

V 3 3 2 6 2

3

2 2

x x y 3 x 3x

3

16 64 4

2 y 3 2 y 3
+

+ + ≥ =

+ + .

T ng t

(

)

2 2 2

2 2 2

x y z 9 3

P x y z

16 4

+ + +

+ ≥ + + P 3 9 3 3

16 4
+

+ ≥ ⋅

P 3/2≥ . Khi x y z 1= = = thì P 3/2= min P 3/2= .

1,0

1) ∆’ vuông góc v i ∆ t$i B ∆': 3x 4y 10 0− − = . Gi s, (T) có tâm I(a; b), bk R.
R IA IB

I '

= =

∈ ∆

2 2 2 2

(a 1) (b 3) (a 6) (b 2)
3a 4b 10 0

+ + − = − + −

− − =

a 2

b 1

=

= − R IA 5= =

2 2

(T) : (x 2)− +(y 1)+ =25

1,0
VI

a

2) (S) có tâm I bán kính R. (α) c't (S) theo m t ng tịn (T) có tâm H, bán kính r 4= .
d(I, ( )) 3 IHα = = R= IH2+r2 =5. H PT c a (S) và ∆ có m t nghi m duy nh t

∆ ti p xúc v i (S) t$i i mM 5/3; 5/3; 4/3

(

−

)

.

1,0
VII

a

2 2

15b 18ab 3a 483
6b 3a 33

− + =

− + =

2

3b 22b 40 0
a 11 2b

+ + =

= +

a 3

b 4

=

= − ho c

a 13/3
b 10/3

=

= − . 1,0

1)

2 2

2

x 9y 9
y x 2x

+ =

= −

2

4 3 2

y x 2x

9x 36x 37x 9 0 (*)

= −

− + − = . Hàm s

4 3 2

f (x) 9x= −36x +37x −9
liên t%c trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 (*) có 4 nghi m thu c các kho ng ( 1; 0)− , (0;1) ,

(1; 2) , (2; 3) . T&a các giao i m là nghi m c a h :

2 2

2

x 9y 9
y x 2x

+ =

= −

2 2

2

x 9y 9
8x 16x 8y

+ =

− =

2 2

9x +9y −16x 8y 9 0− − =

2 2

8 4 236

x y

9 9 36

− + − = . Tâm I 8 4;
9 9 ;

2
R 59
3
=
1,0
VI
b
2)

2 2 2

2 2 2

(S) : x y z 64 0

(S') : x y z 6x 12y 12z 72 0

+ + − =

+ + − − + + =

2 2 2

(S) : x y z 64
( ) : x 2y 2z 23 0

+ + =

α + − − =

(T) (S) (S') (S) ( )= ∩ = ∩ α . (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R 8= . d(O, ( )) 23 R
3
α = < .
H PH có nghi m vì (α) c't (S) (S) c't (S’) theo ng tròn (T) (S) ( )= ∩ α . Gi s,
(T) có tâm H, bán kính r _r _R2 _OI2 560 4 35

9 9

= − = = , v i OI d(O, ( ))= α
H là giao i m c a ∆ i qua O và ∆ ⊥ α( ) H 68/27; 136/27; 136/27

(

−

)

.

1,0

VII

b Gi s, z x yi (x, y R)= + ∈ . z i 1
z 3i
−
=
+
x R
y 1
∈

= − z x i= − z 1 (x 1) i+ = + −
z + 1 có m t acgumen b ng

6
π

− z 1 r cos i sin r 3 r i1

6 6 2 2

π π

+ = − + − = −

x 1 r 3 / 2
1 r / 2

+ =
− = −

r 2
x 2 3 1

=

= − z 2 3 1 i= − − .

</div>

<!--links-->