PHUONG TRINH HPT va BPT MU VA LOGARIT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (692.25 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

LU

Ỹ

TH

Ừ

A VÀ LƠGARIT

PH

ƯƠ

NG TRÌNH, BPT VÀ HPT M

Ũ

VÀ LƠGARIT

I. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LUỸ THỪA
1. Các ñịnh nghĩa:

a) Luỹ thừa với số mũ nguyên:

• Nguyên dương: Cho a∈ℝ và *

n∈ℤ+, ta có: 1

a =a, n . . ...

a =a a a a

n thừa số

• Số mũ bằng 0 và nguyên âm: Cho a≠0 và n∈ℤ−, ta có: a0 =1, an 1n
a−

b) Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: Cho a>0 và r∈ℚ. Giả sử r m
n

= , trong đó m∈ℤ, 2≤ ∈n ℤ+.
Khi đó:

m
n

r n m

a =a = a

GHI NHỚ: 1) Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a≠0
2) Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun thì cơ số a>0

2. Các tính chất của luỹ thừa:

• a am. n =an m+ •

m

n m
n

a
a
a

−

= •

( )

m n m n.

a =a

•

( )

ab n =a bn. n •

n n

n

a a

b b

 

 
 
3. Các tính chất của căn bậc n:

Với a, b không âm, 2 số nguyên dương m, n và 2 số nguyên p, q tuỳ ý, ta có:

•n n .n

ab= a b • ( 0)

n
n

n

a a

b
b = b >

•

( )

( 0)

p

n p n

a = a a> •m n mn

a = a

• Nếu p q

n =m thì ( 0)

n p m q

a = a a> . ðặc biệt: n mn m
a = a

II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LƠGARIT
1. Các định nghĩa:

• Lơgarit cơ số a của b: Kí hiệu: logab (0< ≠a 1,b>0)
Ta có: logab= ⇔α aα =b

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ta có: logb=lgb=log10b

• Lơgarit tự nhiên của b: Là lôgarit cơ số e của một số dương b. Kí hiệu: ln b 
Ta có: lnb=logeb

CHÚ Ý: 1) Khơng có lơgarit của số 0 và số âm vì aα > ∀ ∈0 α ℝ
2) Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1.

3) Từđịnh nghĩa lơgarit, ta có:

• log 1a =0 • logaa=1

• logaab =b, ∀ ∈b ℝ • alogab =b, ∀ ∈b ℝ,b>0 
2. Các tính chất của lơgarit:

a) Quy tắc tính lơgarit: Với 0< ≠a 1 và b, c >0 , ta có:

• loga

( )

bc =logab+logac

• loga loga loga
b

b c

c

 

= −

 

  •

loga logab
b= −

•logab .logab, ( )

α =α α∈ℝ

•log n .log ( *)

a b =n ab n∈ℤ+
b) ðổi cơ số của lôgarit: Với 0< ≠a 1, 0< ≠b 1 và c >0 , ta có:

• log log

log
a
b

a
c
c

b

= hay logab.logbc=logac

• log 1

log
a

b
b

a

= hay logab.logba=1

• logaα c 1.logac
α

III. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT
1. Hàm số mũ:y=ax, (0< ≠a 1)

• Tập xác định : D=ℝ

• Tập giá trị : T =(0;+∞) (vì ax> ∀ ∈0, x ℝ)

•ðạo hàm:

( )

x ' x.ln

a =a a ñặc biệt:

( )

x ' x

e =e

( )

( ) ( )

' '( ). .ln

u x u x

a =u x a a ñặc biệt:

( )

( ) ( )

' '( ).

u x u x

e =u x e

• Chiều biến thiên:

a > 1 : hàm sốñồng biến trên ℝ
0 < a < 1 : hàm số nghịch biến trên ℝ

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2. Hàm số lơgarit: y=loga x, (0< ≠a 1)

• Tập xác ñịnh : D=(0;+∞)

• Tập giá trị : T =ℝ

•ðạo hàm:

(

log

)

' 1
.ln
ax

x a

= ñặc biệt:

( )

lnx ' 1

x

(

)

'( )

log ( ) '

( ).ln
a

u x
u x

u x a

= ñặc biệt:

(

ln ( ) '

)

'( )
( )

u x
u x

u x

=
• Chiều biến thiên:

a > 1 : hàm sốñồng biến trên (0;+∞).
0 < a < 1 : hàm số nghịch biến trên (0;+∞).

•ðồ thị hàm số lơgarit :

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản

• f x( ) ( ) log

a

a = ⇔m f x = m (∀m, 0< ≠a 1)

• ( ) ( ) 0 1

( ) ( )

f x g x a

a a

f x g x

< ≠



= ⇔

 ; ••••

[

]

[

]

( ) ( )

( ) 1

( ) ( ) 0 ( ) 1

( ) ( )

f x g x

A x

A x A x A x

f x g x




= ⇔ < ≠

 =



2. Phương pháp giải:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

ðưa phương trình về dạng: ( ) ( ) 0 1
( ) ( )

f x g x a

a a

f x g x

< ≠



= ⇔



Bài mẫu: Giải phương trình: 5x2 −3x2+1 =2(5x2−1−3x2−2)(*)
(*)

2 2

2 2 5 3

5 3.3 2. 2.

5 9

x x

⇔ − = − 2 2 2 2 2

1 5 3.3 3 3

5 9

x x x

   

⇔ −  − = − 

   

2 2

2 2 5 3

5 3.3 2. 2.

5 9

x x

⇔ − = −

2 2

1 5 3 3

5 9

x x

   

⇔ −  = − 

   

2 2

3 25

5 3

5 9

x x

⇔ =

2 3

5 5

3 3

x

   

⇔  = 

   

3 3

x x

⇔ = ⇔ = ±

Bài tập:

1) 2x2− +x 8=41 3x− 2) − − =

2 5

x 6x
2

2 16 2 3) 2x+2x 1− +2x 2− =3x−3x 1− +3x 2−
4) 2 .3x x 1− .5x 2− =12 5)

10 5

10 15

16 0,125.8

x x

+ +

− = − 6) 1 2 2 1

3x− =18 .2x − x.3x+
7)

5 17

7 1 3

243 .2187
9

x x

+ +

− = − 8) 2x−1−3x =3x−1−2x+2 9) 73x+9.52x =52x+9.73x

10)

3 1

2 1

2 2

9 2 2 3

x x

x− + = + − x− 11) 2 .3x x+1=

( )

3 x+2 12)

1
1
5 1 5

4 2

x

x + x + x

 

  

=  

 

 

13) (0,6) .52 2 24 3 .9 2 12
5

x

x x − =  x −

 

  14)

( )

( ) ( )

2 2 1

1 1

3 4 2

2 . 2 . 4 2

x

x x

x

−

− −

=
15) 3.4 1.9 2 6.4 1 1.9 1

3 2

x+ x+ = x+ − x+

b) ðưa về cùng 1 cơ số là hàm số:

ðưa phương trình về dạng:

[

]

( )

[

]

( )

( ) 1

( ) ( ) 0 ( ) 1

( ) ( )

f x g x

A x

A x A x A x

f x g x




= ⇔ < ≠

 =



Bài mẫu: Giải phương trình: xx =x 2x−3(*)
Giải: ðiều kiện: 2 3 0 3

2
x− > ⇔ >x

Ta có: (*)

2 3

2x x

x x −

⇔ = 1 1 ( )

2 3 0
2

x loai

x x

=



⇔

= − >



x
x

=


⇔

=

Bài tập:

(

)

2 4

2 5 4 x 1

x − x− − = 2) (x+4)x2− +5x 6=1 3) x3x2 =

( )

x x
4)

5 1 1

2 2

1 1

x x

+ −

   

cos 2 2 cos 2

2 2

x

x x

+ = +

2.2. Phương pháp ñặt ẩn số phụñưa về phương trình bậc 2, bậc 3: 
Bài mẫu: Giải phương trình: 32x2+ −6x 9+4.15x2+ −3x 5 =3.52x2+ −6x 9(*)

Ta có: (*)⇔3.32(x2+ −3x 5)+4.15x2+ −3x 5 =15.52(x2+ −3x 5) ⇔3.92(x2+ −3x 5)+4.15x2+ −3x 5 =15.25(x2+ −3x 5)

2 3 5 2 3 5

9 15

3. 4. 15

25 25

x + −x x+ −x

   

⇔   +   =

   

2 2

2( 3 5) 3 5

3 3

3. 4. 15 0

5 5

x + −x x + −x

   

⇔   +   − =

   

ðặt

2 3 5

0
5

x x
t

+ −

 

=  >

  , ta có phương trình:
2

3 ( )

3. 4. 15 0 5

t loai

t t

t

= −




+ − = ⇔


Với 5

t= , ta có:

2 3 5 2 3 5 1

3 5 3 3

5 3 5 5

x + −x x + −x −

     

= ⇔ =

     

     

3 5 1

x x

⇔ + − = − 2 1

3 4 0

4
x

x x

x
=



⇔ + − = ⇔ = −



Bài tập:

1) 3x+2+9x+1=4 2) 4x+3+2x+7− =17 0 3) 51+x2 −51−x2 =24
4) 5 x −53− x −20=0 5) 4x−41+ x =3.2x+ x 6)

1 1 1

49x −35x =25x
7) 125x+50x =23x+1 8) 2.49x2 −9.14x2 +7.4x2 =0 9)

1 1 1 1

1
2

25x+ +3.10x −2+x =0
10) 4x+ x2−2 −5.2x− +1 x2−2 =0 11) 4x− x2−5−12.2x− −1 x2−5+ =8 0 12)

1 1

1 2

3.2 8.2 4 0

x x

x

− −

+ − + =

13)

2 3 3

8 2 20 0
x

x x

+ − = 14) 32x+4+45.6x−9.22x+2=0 15) 2 .92x x−2.63x−1+42x−1.34x−2 =0
16) 8x+18x =2.27x 17)

3
5 2
1

6 12
6

x

x
−

−

 

= −

 

  18)

3 3(1 )

2 x −6.2x −2 −x +12.2−x =1

19) 1 2 3

2x− +2x− +2x− =448 20) 2 2

2 x−3.2x+ +32=0 21) 3

(

)

5 x+9.5x +27 5− x+5−x =64

22)

1 1 1

x + =2 0

27)

(

) (

)

5− 21 x +7 5+ 21 x =2x+ 28)

(

)

(

31) 5 1 3 5 1

6 7

14 98

x
x

x
−

 

 −  +

 

+ =

 

   

    32)

(

) (

)

cos cos

7 4 3 7 4 3 4

x x

+ + − =

33)

(

)

(

)

2 2

5 1+ x x− +2+ −x x =3 5 1− x x− 34) 2 2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

35) 9x+2(x−2).3x+2x− =5 0 36) 2

(3 2 )x 2(1 2 )x 0

x − − x+ − =

tanx+ −3 2 2

)

tanx =m

2.3. Phương pháp đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: 
Bài mẫu: Giải phương trình: 1

2x+ + =3x 6x+2

(*)
ðặt 2

3
x

x
a
b

 =



 , ta có PT: 3

1 2 1

2 2 ( 1)( 2) 0

log 2

2 3 2

x

x
a

a b ab a b

x
b

 =

= = 



+ = + ⇔ − − = ⇔ ⇒ ⇔

= =

  

Bài tập:

1) 15x−3.5x+3x=3 2) 2x+1+3.22x= +6 23x

3) 2x+1+3x =6x+2 4) 4x2+x.3x+3x+1=2.x2.3x+2x+6
5) 2 2 5 2 4 2 8 3 62 13 5

2 x − +x +2 x − +x = +1 2 x − x+ 6) 2 2 3 3 1 ( )12
2 x − +x +2x− = +2 2x−
7) 34x−3+3x−2= +9 35x−7 8) 53 2− x2 +5x2+ −x 1= +5 51+ −x 2x2

9) 2 2 1

.2x 6 12 6 .2x 2x

x + x+ = x +x + + 10) 3 1 3

.3x 27 .3x 9

x + x=x + + x

11) x2.2x+1+2x− +3 2 =x2.2x− +3 4+2x−1 12)

( )

7 x+1+7x2−2=7x2+ −x 4+7
2.4. Phương pháp lơgarit hóa:

Dạng 1: u x( ) log u x( ) log ( ) log (0 1)

a a a

a = ⇔m a = m⇔u x = m < ≠a

Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( )

log log ( ) ( ) log b (0 , 1)

u x v x u x v x

a a a

a =b ⇔ a = b ⇔u x =v x <a b≠

Bài mẫu: Giải phương trình:

5 .8 500
x

x x
−

= (*)

Ta có (*)

3( 1) 3 3

3 2 3 3

2 2

5 .2 5 .2 5 .2 1 log 5 .2 log 1

x x x

x x x x x x

− − −

−  − 

⇔ = ⇔ = ⇔  =

 

2 2 5

3 1

(x 3) log 5 x 0 (x 3) log 5 0 x 3 x log 2

x x

−  

⇔ − + = ⇔ −  + = ⇔ = ∨ = −

 

Bài tập:

1) 3x2−4=325.125x 2) 83( 2) 36.3 2

x

x+ = + 3) 2x2−2x.3x=1,5

4) 4 .6x x =2.92x 5) 3 .8 1 36

x

x x+ = 6)

3
2 1

5 .2 4

x

x− x+ =

7) 4 tan4 16002

x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2.5. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số mũ: 
Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 ...

u x u x u x u x

n

a +a + +a =b với 0<a bk, ≠1; Max a ,a ,...,a

{

1 2 n

}

<b
Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 ...

u x u x u x u x

n

a +a + +a =b với 0<a bk, ≠1; Min a ,a ,...,a

{

1 2 n

}

>b
Bài mẫu:

Bài 1: Giải phương trình: 32 1 2

x

+ = (*)

Ta có (*) 32 1 2

x

x x

⇔ + = 3 1

( ) 1

2 2

x x

f x    

⇔ =  +  =

 
 

Do 32

x
y= 

  và

( )

12
x

y= giảm nên ( ) 3

( )

2 2

x
x
f x =  +

  giảm.

Vậy: + Nếu x=2, ta có :

( )

2 2

3 1

(2) 1

2 2 4 4

f =  + = + = =VP

  ⇒ x=2 là một nghiệm của PT .
+ Nếu x >2, ta có: f x( )< f(2)= ∀ >1 x 2 ⇒ PT vô nghiệm.

+ Nếu x<2, ta có: f x( )> f(2)= ∀ <1 x 2 ⇒ PT vô nghiệm.
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 2

Bài 2: Giải phương trình:

(

4 15

) (

4 15

) ( )

2 2

x x x

+ + − = (*)

Ta có: PT(*) ( ) 4 15 4 15 1

2 2 2 2

x x

f x  +   − 

⇔ =  +  =

   

Ta có : 4 15 1
2 2

+ >

;

4 15

0 1

2 2
−

< <

nên

4 15
2 2

x
y= + 

  tăng,

4 15
2 2

x
y= − 

  giảm.

Xét 2 khả năng:
+ Nếu x≥0 thì:

4 15 4 15 4 15

( ) 0 1

2 2 2 2 2 2

x x

f x = +  + −  > +  + =

     

+ Nếu x≤0 thì:

4 15 4 15 4 15

( ) 0 1

2 2 2 2 2 2

x x

f x = +  + −  > + −  =

     

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.

Bài 3: Giải phương trình: 2009sin2x−2009cos2x =cos2x(*)

Ta có: PT(*) sin2 os2 2 2 sin2 2 os2 2

2009 x 2009c x cos x- sin x 2009 x sin x 2009c x cos x

⇔ − = ⇔ + = +

ðặt f u( )=2009u+u⇒ f(u) tăng, nên :(*) 2 2
(sin ) (cos )

f x f x

⇔ =

2 2 2 2

sin cos cos sin 0 2 0 ,

4 2

x x x x cox x x π kπ k Z

⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈

Bài tập:

1) 4 92 7

x

x = +

2) 3 4 52

x

x− =

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

4) 82 32 2 39

x x

x

− − = 5) 2x+3x+6x =(0,7)x+1 6) 15.2x+4.7x =2,35.10x−6.5x−4.3x
7) 2 5 292

x

(3 2 )x 2(1 2 )x 0

x − − x+ − = 14) x.2x =x(3− +x) 2(2x−1) 15) 3
8−x.2x+2−x =0
16) (x+2)4x−2+4(x+1)2x−2−16=0 17) 3.25x−2+(3x−10)5x+2+ − =3 x 0 18) 2x+ +3x 5x=10x

2.6. Phương pháp ñánh giá:

Sử dụng BðT Cơsi, Bunhiacopxki và Bernoulli đểđánh giá.

• BðT Cơsi: Cho a1, , , ..., a2 a3 an ≥0. Khi đó:
1 2 3

1 2 3
...

. . ...
n n

n

a a a a

a a a a
n

+ + + + ≥

dấu “ =” xảy ra khi a1 =a2 =a3 = ...= an ≥0.

• BðT Bunhiacopxki:

(

)

(

2 2 2

)(

2 2 2

)

1.1 2.2 ... n.n 1 2 ... n 1 2 ... n

a b +a b + +a b ≤ a +a + +a b + + +b b

dấu “ =” xảy ra khi a1 =b1; a2 =b2; ...; an =bn

• BðT Bernoulli: Cho t>0. Khi đó:

(1 ) 1 0 1

t t

α
α

α α α

α α

 + − ≥ ∀ ≤ ∨ ≥




+ − ≤ ∀ ≤ ≤



dấu “ =” xảy ra khi α = 0 hoặc α = 1 
Bài tập:

1) 3x+2x =3x+2 2) 3x+5x =6x+2 3) 4x + +5x 6x =12x+3
4) 4x +2x =4x+2

5)

27x =(6x2−4x+1).9x

6)

2 2 2 2 1

8 7 8 9 8 7 8 9 2

x x

x

x x x x x x x x +

 − + + − −  + − + − − −  =

   

   

V. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Bất phương trình mũ cơ bản

( ) ( )

f x g x
a >a

0 1

( ) ( )
1
( ) ( )

a

f x g x

a

f x g x

 < <






⇔
>







[

]

( 1) ( ) ( ) 0

a

a f x g x



⇔

− − >


2. Phương pháp giải:

a) Phương pháp ñưa về cùng một cơ số: 
1)

1 1 1

4 .32

x x

−

+ ≤ − 2) 2 3 4 1 2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

(

) (

)

1
1

5 2 5 2

x
x

x
−
−

+ ≤ − 5)

(

2 1

) (

1 2 1

)

x
x

x
+

−

+ ≤ − 6)

(

) (

)

3 1

1 3

10 3 10 3

x x

+ +

− +

+ ≤ −

7) 2 2 2 2 1

3x + +3x ≤2.5x+ 8) 72 1 1

3 1

3 3

x x

   

   

    9)

2 1 2 3 2 5 7 5 3

2 x− +2 x− −2 x− >2−x+2−x−2 −x

10) 1

8x≥6.9x− 11)

6 3

2 1 1

1 1

2 2

x− x + −x

   

   

    12)

3 3

log log

2 x .5 x <400

13) lg 2 lg 2 5

3 x+ <3 x+ −2 14)

(

)

4x +2x+1x−x>1 15)

(

)

2 5 6
3x x 1

x+ − + >

16)

(

x2− +8x 16

)

x−6 <1 17) x−1x2− +5x 6<1 18)

(

)

(

)

3 2

2 1 1 2 1 5

x x

x x x x

+ −

− +

− + > − +

19)

(

)

2 2

2 1 2 1 x x

x − ≤ x − + 20)

lgx.lg 1

x x< 21) x2lgx≥10 22) xlog2 x ≥2

b) Phương pháp đặt ẩn số phụđưa về phương trình bậc 2, bậc 3: 
1) 2.49x2 −9.14x2 +7.4x2 ≥0 2) 2 2 1 2 2 1 2 2

25x x− + +9 x x− + ≥34.15 x x− 3) 2 10 3 2 5 1 3 2
5 x− − x− −4.5x− <5+ x−
4) 2 1 2 2 6 2 2

4x − +2 x − >52+4x − 5) 3 1 22 1 122 0

x
x+ − x+ − <

6) 4 1 4

8.3 x+ x +9+ x ≥9 x

7) 2 4 4

3x −8.3x+ x+ −9.9 x+ >0 8)
1

2 2 1

0
2 1
x x

x
−

− + ≤

− 9) 1 1 1

1 2 5

2−x +1+2x− −1<3(2x− +2−x)
10) 9x − + > −3x 2 3x 9 11) 13x− ≤5 2(13x+12)− 13x+5 12) 2(5x+ −4) 5x− ≤3 5x+3

13)

(

26 15 3+

) (

x+2 7+4 3

) (

x−2 2− 3

)

x<1

c) Phương pháp đặt thừa số chung đưa về phương trình tích:

1) 4x2+x+21−x2 ≥2( )x+12 +1 2) 4x2+x.3 x+31+ x <2x2.3 x+2x+6

3) 2 2 1 2

4x+8 2−x > +4 (x −x)2x+x.2x+ 2−x 4) 2 2 2

2 5− x−3x +2x>2 .3x x 2 5− x−3x +4x .3x

5) 2 2 2 2 2

.2 x 9( 2).2x 8 ( 2)2 x 9 .2x 8 16

x + x+ + x ≤ +x + x + x+

d) Phương pháp dùng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ: 
1) 2x+1+3x+1<6x−1 2)

5 2 29

2 5 10

x
x
   

+ >

   

    3)

6 3 10

2 1

x

x x

− >
−

4)
1

2 2 1
0
2 1

x

− −
+ ≤

− 5)

3 3 2
0
4 2

x

x
x

− + −
≥

− 6)

1
1

2 5.3
1
2 3

x x

+
+

− <

−
7)

3 2

8. 1

3
3 2

x
x

x x

+  

> + 

−   8)

2 1 2 2 2 2

4x +x.2+x +3.2x >x .2x +8x+12

e) Bất phương trình mũ chứa tham số: 
Bài 1: Tìm m để BPT sau có nghiệm:

a) sin2 s2 sin2

2 x+3co x≥m.3 x b) 49x−5.7x+ ≤m 0 c) 4x−m.2x+(m+ ≤3) 0

Bài 2: Tìm m ñể BPT sau:

a) Nghiệm ñúng ∀ ∈x : .4m x+(m−1).2x+2+(m− >1) 0

ℝ

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

c) Nghiệm ñúng 1

0 : .2x (2 1).(3 5)x (3 5)x 0

x m + m

∀ ≤ + + − + + <

d) Nghiệm ñúng 1: .92 2 (2 1).622 .422 0

x x x x x x

x m + m − m −

∀ ≥ − + + ≤

VI. PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

1. Phương pháp đưa về cùng một cơ số:

ðưa phương trình về dạng: log ( ) log ( ) 0 1

( ) ( ) 0

a a

a

f x g x

< ≠



= ⇔

= >



Chú ý: Việc lựa chọn ñiều kiện f x( )>0hoặc g x( )>0 tùy thuộc vào ñộ phức tạp của f x( ) và g x( ).
Bài tập:

1) 3

2 2

log (4x+ = +1) x log (2x+ −6) 2) 2 2 4 2 4 2

2 2 2 2

log (x + + +x 1) log (x − + =x 1) log (x +x + +1) log (x −x +1)

3) 3 2 1 9

log (2x −54) log (+ x+ =3) 2 log (x−4) 4) 2 2 1

2 log x+log x+log x=9

5) 2 4 1

log x+log x=log 3 6) 3 3 1
3

log x+log x+lg x=6 7) 2 1
2

log 1 log 2 0

2 2

x x

 

− + − =

 

  8)

3 27

3 .logx x+ =2 4x+log x 9) x.log2x2+ =1 2x+2 log4 x 10) 2 lg 1
lg(5 4)

x

x− =

11)

(

)

5 5 5

(x−1) log 3 log 3+ x+ + =3 log (11.3 - 9)x 12) log3

(

x+ −1 x

)

=log9

(

4 x− +3 4 1− x

)

13) 2 1 3 2

2 lg 36 lg( 3 3 1) lg( 6) 2 lg 3 lg 2
3

x − + x + x + x+ − x+ + + 14) (lg 5 1)x − =lg(2x+ −1) lg 6

15) 1(lg lg 2) lg(1 2 ) lg 6

2 x+ + + x = 16) log (4.32 6) log (92 6) 1

x− − x− =

17) 5 1

3 1

logx 5 log 5
x

+ −

= 18) 3 2

2 2

4 6

log ( 4) log ( 4)

x +x x − = x − x − 19) 3 2

2 2

4 6

log ( 3) log ( 3)
x +x x − = x − x −
2. Phương pháp ñặt ẩn số phụ:

Nội dung của phương pháp: ðặt ẩn số phụ bằng hàm số lơgarit có trong phương trình, đưa
phương trình về phương trình đại số theo ẩn số phụ.

Bài tập:

1) 4 lg− x=3 lgx 2) 22 2 1

log x+3log x+log x=2 3) log25 x log5x 5 1

x

+ =

4) log (5 -1).log (2.5 - 2) 12 x 4 x = 5) log2

( )

2 .log

( )

2 log41
2
x

x x = 6) 1 lg(2 1) 2 2
1 lg( 1)
1 lg ( 1)

x

x
x

+ − + =

+ −

7) log (22 x2).log 2 12x = 8) 3log2x+xlog 32 =6 9) (x−1)log 4(2[ x−1)] =4(x−1)3

10) (x−2)log 9(3[ x−2)] =9(x−2)3 11)

2 3 3

log (3 3) 4 log x 2 0

x

+ − = 12)

2 2 9

lg 3lg

-2lg

2 10

x x

x

x = −

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

15) 1 2 1

4 lg− x+2 lg+ x =

16)

log2x+ 10 log2x+ =6 0

17)

log0,04x+ +1 log0,2x+ =3 1

18)

3log 16 4 logx − 16x=2 log2x

19)

log 216 log2x64 3

x + =

20)

lg(lg ) lg(lgx + x − =2) 0

3. Phương pháp mũ hóa: log ( ) 0 1
( )

a m

a

f x m

f x a

< ≠



= ⇔



Bài tập:

1) log (2 x2−4 +7)x =2 2) log (2x x2− − =3x 4) 2 3) log (2x x2−4x+ =3) 2
4) logx+3

(

3− x2−2 +1x

)

=2 5) 2

(

)

6 8 2 2 3

log log 2 0

x + +x x+ +x x − x =

6) 2

2
3 4

1
log (9 16 ) 2

log (3 4 )

x x

x

− − = + −

4. Phương pháp sử dụng cơng thức đổi cơ số:

Cơng thức đổi cơ số: log log
log
c

a

c
b
b

a

= ; logab.logbc=logac; alogcb =blogca

Bài mẫu: GPT:

(

) (

)

(

)

2 3 6

log x− x −1 .log x+ x − =1 log x− x −1 (*)

Giải: ðiều kiện

2
2

1 0

1
1 0

x x

x
x

 − − >



⇔ ≥



− ≥



Với x≥1 thì (*)

(

)

(

)

(

)

1 1

2 2 2

2 3 6

log x x 1 .log x x 1 log x x 1

− −

⇔ + − + − = + −

(

) (

)

(

)

2 3 6

x x2 1

)

1 0

 

⇔ + −  + − − =

Xét

(

)

(

)

2 2

6 2

1 0

log 1 0 1 1 1

1 1

x

x x x x x

x x

− ≥



+ − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =

− = −



Xét

(

)

(

)

2 log 26

2 3 3 6

log 6.log x+ x − = ⇔1 1 l og x+ x − =1 log 2⇔ +x x − =1 3

(

3log 26 3 log 26

)

1

x −

⇔ = + ≥

V

ậ

y ph

ươ

ng trình

đ

ã cho có 2 nghi

ệ

m:

x=1

và

(

3log 26 3 log 26

)

x= + −

Bài t

ậ

p:

1) log2 x+log3x=1 2) log3x+log5x=lg15 3) log 2 log4 7 0
6

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

3 3 2 2

log 2 log .log log

x

x x

x

− = + 5) 2 16 3 4

logx x −14 log xx +40 log x x =0

6) 2

2 4

2 2

log .log log 1

x x x+ x= 7) 2

3 ( 4 4)

log ( 8 -14).log 9 1

x x

x x + +

− − =

8) 2

3 2

9 9

logx logx 9 log 2
x

x− x + x = 9)

3 3 2

1 3 1

.log log log

log 2x 3 2

x

x− = +

10) log (5 x+20).logx 5=1 11) log1 2− x(6x2−5x+ −1) log1 3− x(4x2−4x+ =1) 2
12) log3x+7(4x2+12x+ +9) log2x+3(6x2+23x+21)=4 13) log 16 logx2 + 2x64=3

14) logx 2.log (2 x+ =6) 1 15) log log2 3x=log log3 2x 16) log log2 2x=log log5 5x

17) log log4 2x+log log2 4x=2 18) log log log2 3 4x=log log log4 3 2x

19) log log4 2x+log log2 4x=2 20)log3x+log5+log7 x=log3x.log5x.log7x

5. Phương pháp ñưa về phương trình mũ ñơn ñiệu: 
Bài mẫu: GPT: log (2 x− =1) log5x (1)
Giải: ðiều kiện: 0 1

-1 0

x

x
x



⇔ >





ðặt: 5 2

log 5 4 2 1

5 (2 1) 4 2.2 1 5 ( ) 2. 1

5 5 5

log ( -1) -1 2

u u u

u

u u u u u

u

x u x

f u

x u x

= 

 =

       

⇔ ⇒ = + ⇔ + + = ⇔ = + + =

       

= =      

 

 

Ta có

f u( )

gi

ả

m và

f(2)=1

nên

f u( )= ⇔1 f u( )= f(2)⇔ =u 2

V

ớ

i

u=2

, ta có

log 2 25

25 1
-1 4

log ( -1) 2

x x

x
x

x

= =

 

 

⇔ ⇔ = >

 

= 

 



Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 25. 
Bài tập:

1) 2 2 3 2

8 4 3

log (x - 8 - 7)x log + (x - 8 - 8)x

+ = 2)

4 3

log (x − − =x 8) log 3x

3) log (3 x2− −3x 13)=log2x 4)

3 2

log (5+ x)=log ( x−4) 5) 3

2 7

log (1+ x)=log x
6) 2.log cot3 x=log cos2 x 7) 3

3 2

3.log (1+ x+ x)=2.log x
6. Phương pháp hàm số:

Bài 1: Giải phương trình: (x−2) log (

[

2 x− +3) log (3 x−2)

]

= +x 1

Giải: ðiều kiện: x>3

PT log (2 3) log (3 2) 1
2

x

x x

x

⇔ − + − =

−

ðặt: ( ) log (2 3) log (3 2) '( ) 1 1 0 3

( 3).ln 2 ( 2).ln 3

f x x x f x x

x x

= − + − ⇒ = + > ∀ >

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

(

)

1 3

( ) '( ) 0 3

2 2

x

g x g x x

x x

+ −

= ⇒ = < ∀ >

− −

Như vậy ( )f x tăng, ( )g x giảm nên phương trình ( )f x =g x( ) có khơng q một nghiệm.
Mặt khác ta có (5)f =g(5)=2 nên phương trình ( )f x =g x( ) có nghiệm duy nhất x=5.
Bài 2: Giải phương trình: log (12 + x2- 5x+ +5) log (3 x2- 5x+ =7) 2

Giải: ðiều kiện: 2

- 5 5 0

x x+ ≥

ðặt: 2 2 2

- 5 5 0 2 - 5 7

u= x x+ ≥ ⇒u + =x x+

Khi đó ta có PT: f u( )=log (12 + +u) log (3 u2+ =2) 2

Ta có: '( ) 1 22 0 u 0

(1 ).ln 2 (2 ).ln 3

u
f x

u u

= + > ∀ ≥

+ +

( )

f u

⇒ ñồng biến nên phương trình ( )f u =2có khơng q một nghiệm.
Mặt khác ta có: (1)f =2 nên phương trình có nghiệm duy nhất u=1.

Với u=1, ta có 2- 5 5 1 2- 5 4 0 1
4

x

x x x x

x



+ = ⇔ + = ⇔  =


VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

Phương pháp giải giống phương trình lơgarit. Tuy nhiên cần lưu ý một sốđiểm sau:

•••• log ( ) 1 0 1

( ) 0 ( )

a m m

a a

f x m

f x a f x a

> < <

 

> ⇔ ∨ 

> < <

 

•••• log ( ) 1 0 1

( ) 0 ( )

a m m

a a

f x m

f x a f x a

> < <

 

≥ ⇔ ∨ 

≥ < ≤

 

•••• log ( ) log ( ) 1 0 1

( ) ( ) 0 0 ( ) ( )

a a

f x g x

f x g x f x g x

> < <

 

> ⇔ ∨ 

> > < <

 

•••• log ( ) log ( ) 1 0 1

( ) ( ) 0 0 ( ) ( )

a a

f x g x

f x g x f x g x

> < <

 

≥ ⇔ ∨ 

≥ > < ≤

 

Bài tập:

1) log (3 - 2 )x x >1 2) log 3 2
8 2
x

x> −

− 3) 2

2 1

log

- 3 2

x
x

x ≤

4) logx

(

9−x2 − − ≥x 1

)

1 5) log3 x−2 log9x>2 6)

2 4

3log x−4 log x>2

7) log2x64 log 216 3

x

+ ≥ 8) 2

2 2

log ( 3)
1

log ( 1) log ( 1)

x

x x x x

+ >

− + − + 9) 1 5

log (1+ ≤x) log (2−x)

10) log (3 2 ) 1x − x > 11) log 3 2
8 2

x

x> −

− 12) 2

2 1

log

3 2

x

x
x− ≤

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

16) 1 4

(

)

log log x −5 >0 17) 1

(

)

5

(

)

log x −6x+ +8 2 log x− <4 0

18) 1

log log 3

2 x

x+ ≥ 19) logxlog9

(

3x−9

)

<1 20) log 2.logx 2x2.log 42 x>1
21) 1

4 6

log x 0

x+ ≥ 22) log2

(

x+ ≥ +3

)

1 log2

(

x−1

)

23) 8 18

2 log ( 2) log ( 3)

x− + x− >

24). 3 1

log log x≥0

  25) log5 3x+4.log 5 1x > 26)

2
3 2
4 3
log 0
5
x x
x x
− +
≥
+ −

27) 1 3

log x+log x>1 28) log2x

(

x2−5x+ <6

)

1 29) log3x x− 2

(

3− >x

)

30)
2
2
3
1
5

log 1 0

2
x
x
x x
+
 
− + ≥
 

  31) 6 2

log log 0

2
x
x

x
+
−
 
>
 
+

  32)

2 2

log x+log x≤0
33)

2
16

1
log 2.log 2

log 6
x x
x
>
− 34)
2

3 3 3

log x−4 log x+ ≥9 2 log x−3

35) 21 2

(

16 4

)

log x+4 log x < 2 4 log− x 36) 6log26x+xlog6x ≤12 37)

2 2

2 log 2x log x 1
x

x
− − >

38)

(

)

(

)

2 1

log 2x−1 .log 2x+ − > −2 2

39)

(

)

(

)

2 3

2 2

5 11

log 4 11 log 4 11

2 5 3

x x x x

x x

− − − − −

≥

− −

VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT

1. Hệ phương trình, bất phương trình mũ

1.
ỵ

í
ì
=
+
=
+
1
3
2
2
y
x
y
x
2.
ïỵ
ï
í
ì
=
+
=
+

-1
2
1
4

4 2 2

y
x
y
x
3.
ỵ
í
ì
=
+
=
1
5
.
200
2
y
x
y
y
4.
ïỵ
ï
í
ì
=

-=
2

9
1
2
.
3
x
y
y
x
5.
ïỵ
ï
í
ì
=
=

-+
1
5
128
4
3
2

3x y

y
x

6.
ïỵ
ï
í
ì
=
=
y
x
y
x
3
.
243
81
9
27
7.
ïỵ
ï
í
ì
=
=
+
+
2
4
64
12

64
64 2
y
x
y
x
8.
ï
ï
í
ì
=
=
+
+
27
3
28
3
3
y
x
y
x

9.
ïỵ
ï
í
ì

=
=
45
5
.
3
75
5
.
3
x
y
y
x

10.
ïỵ
ï
í
ì
=

-=

-7
2
3
77
2
3

2
2
y
x
y
x

11.
ï
ï
ỵ
ïï
í
ì

-=

-=
+
4
3
3
2
4
11
3
.
2
2
.

3
y
x
y
x
12.
ïỵ
ï
í
ì
=

-=

-0
49
4
0
16
7
y
x
y
x

13.
ïỵ
ï
í
ì

=
+
=
+
-18
9
3
2
3 1
y
y
x
x

14.
ùợ
ù
ớ
ỡ
=
+
+
+
=
+
0
1
2
2
2

4
2
2
y
y
x
x
15.
ùợ
ù
ớ
ỡ
=
+
=
+
+
+
1
)
1
(
2
2
2 y
y
x
y
x
16.

ùợ
ù
ớ
ỡ

-=

-+

-=

-3
4
2
2
2
2
2
y
x
x
x
y
y
x
17.
ùợ
ù
ớ
ỡ

=
+
=
+
+
+
+
8
2
.
3
3
.
2
17
2
3
1
2
2
2
2
y
x
y
x
18.

( )

ùợ
ù

ớ
ỡ
=
=
2
1
2
324
9
x
x
y
y
19.
ùợ
ù
ớ
ỡ
=
=

-ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-+
1
3

3
5
4
y
x
y
x
x
y
x
y

20.
ỵ
í
ì

-³
+
£
+
2
1
2
22
y
x
y

21.

( )

( )

ïỵ
ï
í
ì
=

-+
+
=
12
3
3
2
4
2
2
2
log

log3 3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2. Hệ phương trình, bất phương trình lơgarit 
1.
ỵ
í
ì
=
=

+
1
)
.
(
log
3
2

3 xy

y
x 
2.
ỵ
í
ì
=

-+
+
=
+
0
20
9
log
1
log

log4 4 4

y
x
y
x
3.
ïỵ
ï
í
ì
=

-=
+
20
2
log
log
2
y
x
x
y y
x
4.
ïỵ
ï
í
ì

=
=
+

-2
log
1152
2
.
3
)
(

5 x y

y
x
5.
ỵ
í
ì
=
+
=
+
4
log
log
2
5

)
(
log
2
4
2
2
2
y
x
y
x
6.
ïỵ
ï
í
ì
=
+
=
+
1
log
2
log
81
3
4
2
2

2
y
x
y
x

7.
ïỵ
ï
í
ì
=
=
3
lg
4
lg
4
3
)
3
(
)
4
(
lg
lg
y
x
y

x

8.
ï
ỵ
ï
í
ì
=
=
1
log
5
log
2
1
2
y
x
xy

(

15.

(

)

(

)

ỵ
í
ì
=

-=

-+
1
1
log

log
2
2
3
y
x
y
x
y
x
16.
ïỵ
ï
í
ì
=
+
=
+
28
lg
4
2
lg 2
x
y
x
y 
17.
ïỵ

ï
í
ì
=
+
+
+
=
+
+

-+

-+
2
)
1
2
(
log
)
1
2
(
log
4
)
1
(

log
)
1
(
log
1
1
2
)
1
(
2
1
x
y
x
y
y
x
y
x
18.
ïỵ
ï
í
ì
=

-=
+

+ +
3
2
1
log
).
2
log
2
(
y
x
y
x

x xy x y

19.

(

)

ùợ
ù
ớ
ỡ
=
+
=

-1
log
.

log
2
1
)
(
log

5 xy x y

y
x
xy
xy
20.
ù
ù
ợ
ùù
ớ
ỡ
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-+
=

-4
log
3
1
log
1
5
2
log
5
2
1
x
x
y
x
y
x
y õg
21.

(

)

ùợ
ù
ớ
ỡ
=

-=
1
3

log
.
log
log
.
4
2
5
x
y
y
x
x
x
y
y
y
22.

(

)

(

)

ï
ỵ
ï
í
ì
=
+
+
=
+
2

1
log
log
log
log
2
2
5
5
2
1
2
y
x
y
x
y
x
23.
ï
ỵ
ï
í
ì
=
+

-=
5
log

log
3
log
.
log
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
xy

24.
ï
ỵ
ï
í
ì
=
+
+
=
+
+
=

+
+
2
log
log
log
2
log
log
log
2
log
log
log
4
16
4
9
9
3
4
4
2
y
x
z
x
z
y
z

y
x
25.
ïỵ
ï
í
ì
>
+
+

-<

-0
9
5
3
3
0
log
log
2
3
2
2
2
2
x
x
x

x
x

26.

(

)

(

)

ỵ
í
ì
+
<
+
+
>
+
+

-12
2
.
7
log
1
2
log
2
log
2
)
2
(

log
2
1
2
1
2
x
x
x
x x
35.
ïỵ
ï
í
ì

-=

-=
x
x
y
x
2
2
2
3
2
2
log

8
log
2
log
log
log
5
36.
ïỵ
ï
í
ì
+
=
=

-+1
2
2
2
3
log
.
2
log
.
3
15
3
log

2
y
y
y
x
x
x
37.
ïỵ
ï
í
ì
=
+

-=
+
10
lg
5
log
log
4
log
2
log
log
2
4
2

1
4
2
y
x
y
x

38.

( )

ïỵ
ï
í
ì
+
=
=
3
4
log
log
log
2
2
y
y
x
xy
x
y

x
y

13.

(

)

ïỵ
ï
í
ì

-+
=
3
2
lg
2
lg
lg
81
3
.
9
x
y
x
y
x
14.
ïỵ
ï

í
ì
=
=
+
+
3
12
x
y
y
x
y
ü
y
x

</div>

PHUONG TRINH HPT va BPT MU VA LOGARIT

<b>LU</b>

<b>Ỹ</b>

<b><sub> TH</sub></b>

<b>Ừ</b>

<b><sub>A VÀ LƠGARIT </sub></b>

<b>PH</b>

<b>ƯƠ</b>

<b><sub>NG TRÌNH, BPT VÀ HPT M</sub></b>

<b>Ũ</b>

<b><sub> VÀ LƠGARIT </sub></b>

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

(

)

[

]

[

]

( )

( )

( ) ( )

[

]

[

]

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)