Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2017 - 2018 TP.Cần Thơ có đáp án chi tiết | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (592.24 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang 1/2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ CẦN THƠ

(Đề thi có 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP THÀNH PHỐ 
NĂM HỌC 2017-2018

Khóa ngày 09 tháng 02 năm 2018 
MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề 
Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 1 3 1( 4) 2 (2 2 5 3) 2 1 (

3 2

y x m x m m x m m là

tham số thực). Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị x x sao cho 1, 2
1, 2

x x lần lượt là độ dài hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật có đường chéo nhỏ nhất.

Câu 2. (3,0 điểm) Tìm các điểm M thuộc đồ thị hàm số 2 1
1

x
y

x để tiếp tuyến của đồ

thị tại M cắt hai trục tọa độ tại hai điểm ,A B sao cho diện tích của tam giác OAB bằng 2,
với O là gốc tọa độ.

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Cơng ty kinh doanh địa ốc X có 4 nhân viên Phòng Marketing, 5 nhân viên Phòng
Tài vụ và 6 nhân viên Phòng Kinh doanh hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ năm 2017. Lãnh
đạo Công ty chọn ngẫu nhiên 4 người trong những nhân viên trên để sang Trung Quốc xem
Đội tuyển U23 Việt Nam thi đấu trận chung kết giải Bóng đá U23 Châu Á. Tính xác suất để
trong những người được chọn có đủ nhân viên của cả 3 phịng.

b) Giải phương trình log (2x x 1)2 log .log (2x 2 x2 x) 2 0

Câu 4. (2,0 điểm) Trong một cuộc thi, vận động viên xuất phát từ điểm A trên biển, chèo 
thuyền đến một điểm M bất kỳ trên bờ biển sau đó chạy bộ về đích đặt tại điểm C. Biết rằng 
điểm xuất phát cách bờ một khoảng AB 5 km; BC 9 km (như hình vẽ); vận tốc chèo
thuyền và chạy bộ của vận động viên lần lượt là 6 km/h và 10 km/h. Hỏi vận động viên đó
phải chọn điểm M cách điểm đích C một khoảng bao nhiêu km sao cho tổng thời gian thi 
đấu nhỏ nhất?

Câu 5. (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng
o

, D 60 ,

a BA SA SB a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD biết , 6.
3

a
SG

a) Tính thể tích của khối chóp S ABCD. .

b) Gọi E là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2 .
3

a

SE Chứng minh GE vng góc 
với mặt phẳng (SCD và tính khoảng cách từ điểm ) A đến mặt phẳng (SCD ).

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang 2/2
Câu 6. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó trực tâm H(3; 0) và
trung điểm của BC là (6;1).I Đường thẳng AH có phương trình là x 2y 3 0. Gọi

D E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam 
giác ABC biết đường thẳng DE có phương trình x 2 0 và điểm D có tung độ dương. 
Câu 7. (2,0 điểm) Tại một Hội chợ triển lãm quốc tế, Ban tổ chức sắp xếp cho khách tham 
quan xem một buổi biểu diễn văn nghệ bằng hình thức bán vé khuyến mãi. Ban tổ chức có
100 tấm vé được ghi số liên tiếp từ 1 đến 100. Người mua vé lấy vé ngẫu nhiên từ thùng
đựng vé. Nếu lấy được những tấm vé có ghi số chia hết cho 5 thì được miễn phí tiền mua
vé. Nếu lấy được những vé có ghi số khơng chia hết cho 5 thì phải trả một số tiền tương ứng
với số ghi trên tấm vé nhân với 1000 đồng. Hỏi nếu bán hết 100 vé thì Ban tổ chức sẽ thu
được tổng số tiền bán vé là bao nhiêu?

Câu 8. (1,0 điểm) Xét các số thực a b c thay đổi thuộc đoạn , , 1;2 và thỏa mãn

a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 4 5 2 6 1

a b c abc

P abc

ab bc ca

---HẾT---

Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang 3/2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ CẦN THƠ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP THÀNH PHỐ 
NĂM HỌC 2017-2018

Khóa ngày 09 tháng 02 năm 2018 
MƠN: TỐN

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 
(3,0 
điểm)

Cho hàm số 1 3 1( 4) 2 (2 2 5 3) 2 1 (

3 2

y x m x m m x m m là tham số

thực). Tìm các tất cả giá trị của m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị x x1, 2 sao cho x x1, 2
lần lượt là độ dài hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật có đường chéo nhỏ nhất.

3,0 
điểm

TXĐ: D

2 ( 4) 2 2 5 3

y x m x m m 0,5

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt

2 2

0 (m 4) 4( 2m 5m 3) 0 0,25

2
2

9 12 4 0

(3 2) 0

2
3

m m

m
m

0,25

Khi đó nghiệm của y 0 là x 2m 1; x m 3 0,25

Theo giả thiết x x1, 2 lần lượt là độ dài hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật

nên 2 1 0 1 3

3 0 2

m

m
m

0,25

Đường chéo của hình chữ nhật là p x12 x22 5m2 2m 10 0,5
2

1 49 7

5 5 5

p m 0,5

7
min

p khi và chỉ khi 1.
5

m 0,25

So với điều kiện, 1
5

m là giá trị cần tìm. 0,25

Câu 2

(3,0 
điểm)

Tìm các điểm M thuộc đồ thị hàm số 2 1
1

x
y

x để tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt hai

trục tọa độ tại hai điểm A B, sao cho diện tích của tam giác OAB bằng 2, với O là gốc
tọa độ.

3,0 
điểm

Gọi ;2 1 , 1

m

M m m

m là điểm thuộc đồ thị. 0,25

Ta có: 1 2

y

x 0,25

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang 4/2
Phương trình tiếp tuyến tại M là 1 2 2 1 ( ).

1
1

m

y x m d

m

m 0,25

*A ( )d Ox A m(2 2m 1; 0) 0,5

2 2 1

* ( ) 0;

( 1)

m m

B d Oy B

m 0,5

Ta thấy 2m2 2m 1 0, m nên A khác B

Khi đó

2 2

2 2 1 2 2 1

1 1

. 2

2 ( 1) 2 ( 1)

OAB

m m m m

S

m m

0,25

2 2

2 2 1 4( 1) 0

2 4 3 2 1 0

m m m

m m m 0,25

2
2

2 4 3 0 ( )

2 1 0

m m VN

m 0,25

2 2

;

2 2

m m (thỏa mãn điều kiện). 0,25

Vậy các điểm cần tìm là 1 2 2 2; 2 , 2 2 2 2; 2

2 2 2 2 2 2

M M 0,25

Câu 3 
(4,0 
điểm)

a) Công ty kinh doanh địa ốc X có 4 nhân viên Phịng Marketing, 5 nhân viên Phịng Tài vụ
và 6 nhân viên Phịng Kinh doanh hồn thành xuất sắc nhiệm vụ năm 2017. Lãnh đạo Công
ty chọn ngẫu nhiên 4 người trong những nhân viên trên để sang Trung Quốc xem Đội tuyển
U23 Việt Nam thi đấu trận chung kết giải Bóng đá U23 Châu Á. Tính xác suất để trong
những người được chọn có đủ nhân viên của cả 3 phịng.

2,0 
điểm

Cơng ty có 15 nhân viên hồn thành xuất sắc nhiệm vụ năm 2017 0,25

Chọn ngẫu nhiên 4 nhân viên có C154 cách chọn hay n( ) C154 1365 0,5
Gọi A là biến cố trong những người được chọn có đủ nhân viên của cả 3 phịng. Khi đó ta

có:

* Trường hợp 1: 2 Marketing, 1 Tài vụ, 1 Kinh doanh
Có C C C42. .51 61 180 cách chọn

0,25
* Trường hợp 2: 1 Marketing, 2 Tài vụ, 1 Kinh doanh

Có C C C41. .52 61 240 cách chọn 0,25

* Trường hợp 3: 1 Marketing, 1 Tài vụ, 2 Kinh doanh

Có C C C41. .51 62 300 cách chọn 0,25

Suy ra n A( ) C C C42. .51 61 C C C41. .52 61 C C C41. .51 62 720 0,25
Vậy xác suất cần tính

2 1 1 1 2 1 1 1 2
4 5 6 4 5 6 4 5 6

4
15

. . . .

( ) 720 48

( )

( ) 1365 91

C C C C C C C C C

n A
p A

n C

0,25

b) Giải phương trình log (2x x 1)2 log .log (2x 2 x2 x) 2 0 (*) 2,0 
điểm

ĐK: 2 0 1.

x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang 5/2
2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

( )

(*) log log .log ( ) 2 0

2 log ( ) log log .log ( ) 2 0

x x

x x x

x

x x x x x x

0,25

2 2

2 2 2

2 log (x x) 1 log x log (x x) 1 0 0,25

2 2

log (x x) 1 log x 2 0 0,25

2
2
2

log ( ) 1 0

log 2 0

x x

x 0,25

2
2

x x

x 0,25

1; 2
1

x x

x 0,25

Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 2. 0,25

Câu 
4 
(2,0 
điểm)

2,0 
điểm

Đặt x BM (0 x 9), ta có:

Thời gian khi chèo thuyền là

2
1

25
6

x

t 0,25

Thời gian khi chạy bộ là 1 9
10

x

t 0,25

Tổng thời gian thi đấu của vận động viên là

2 25 9
( )

6 10

x x

f x

1
( )

6 25

x
f x

x

0,5

2 15

( ) 0 16 9.25

f x x x 0,25

BBT:

0,25

Ta thấy ( )f x nhỏ nhất khi 15 3, 75
4

x 0,25

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang 6/2
Câu 5

(3,0 
điểm)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng . a BA, D 60 ,o
.

SA SB a Gọi G là trọng tâm của tam giác , 6.
3

a
ABD SG

3,0 
điểm

a) Tính thể tích của khối chóp S ABCD . . 1,5

điểm

0,25

Tam giácABD có AB AD a BA, D 60o nên đều.

Suy ra 2. 3 3.

3 2 3

a a

GA GB

0,25

Xét tam giác SGA có SG2 GA2 a2 SA2 nên tam giác SGA vuông tại G.

Tương tự tam giác SGB vuông tại G. 0,25

Vậy GA SG SG (GAB)

GB SG hay SG (ABCD). 0,25

Mặt khác

2 3
4

ABD

a

S 0,25

Suy ra

2 3

1 3 6 2

.2. .

3 4 3 6

S ABCD

a a a

V 0,25

b) Gọi E là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2 .
3

a

SE Chứng minh GE vng góc với mặt
phẳng (SCD) và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

1,5 
điểm 
Xét hai tam giác vng SGA và SGD có cạnh SG chung và GA GD nên chúng bằng

nhau. Suy ra SD SA a. 0,25

Trong tam giác vng SGD, có E thuộc cạnh SD và

2
2

a

AE SD SG

Suy ra GE SD (1)

0,25

Mặt khác AB/ /CD CD GD

GD AB

Mà CD SG CD (SGD) CD GE (2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra GE (SCD)

Ta có ( ,( )) 3 ( ,( )) 3 ( ,( ))

( ,( )) 2 2

d A SCD CA

d A SCD d G SCD

d G SCD CE 0,25

2 2

3 3 .

( ,( )) . .

2 2

GS GD

d A SCD GE

GS GD 0,25

G

C

D
B

A

O
S

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang 7/2

2 2

6 3

3 3 3 3 2 2

( ,( )) . . .

2 2 3 2

6 3

3 3

a a

d A SCD

a a 0,25

Câu 6 
(2,0 
điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó trực tâm H(3; 0)và trung điểm của

BC là (6;1).I Đường thẳng AH có phương trình là x 2y 3 0. Gọi ,D E lần lượt
là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABCbiết đường thẳng DE có phương trình là x 2 0 và điểm D có tung độ dương.

2,0 
điểm

0,25

Gọi K là trung điểm của AH. Khi đó K, I lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp AEHD và

BEDC. Suy ra KI DE 0,25

Đường thẳng IK đi qua I và vng góc với DE nên có phương trình là y 1 0
K AH KInên tọa độ của K là nghiệm của hệ phương trình

1 0

1;1

2 3 0

y

K

x y

0,25

Vì K là trung điểm của AH nên A 1;2 0,25

Do D thuộc đường thẳng DE nên gọi D



2;d



Ta có 5 1





2 3 ( )

 

2;3
1 ( )

d n

KA KD d D

d l




        



0,25
Đường thẳng AC đi qua A và D nên có phương trình là x3y 7 0

Đường thẳng BC đi qua I và vng góc với AH nên có phương trình là 
2x y 11 0

0,25
C AC BC Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình

3 7 0

8;5

2 11 0

x y

C

x y

0,25

Vì I là trung điểm của BC nên suy ra B 4; 3 0,25
Tại một Hội chợ triển lãm quốc tế, Ban tổ chức sắp xếp cho khách tham quan xem một buổi
biểu diễn văn nghệ bằng hình thức bán vé khuyến mãi. Ban tổ chức có 100 tấm vé được ghi
số liên tiếp từ 1 đến 100. Người mua vé lấy vé ngẫu nhiên từ thùng đựng vé. Nếu lấy được
những tấm vé có ghi số chia hết cho 5 thì được miễn phí tiền mua vé. Nếu lấy được những vé
có ghi số khơng chia hết cho 5 thì phải trả một số tiền tương ứng với số ghi trên tấm vé nhân
với 1000 đồng. Hỏi nếu bán hết 100 vé thì Ban tổ chức sẽ thu được tổng số tiền bán vé là bao
nhiêu?

2,0 
điểm

Đặt u u u1, , , ,2 3 u100 lần lượt là số tiền tương ứng với tấm vé có số 1, 2, …, 100. Đây là
một cấp số cộng có 100 số hạng với số hạng đầu bằng 1, số hạng cuối bằng 100, cơng sai

d

0,5
I

K D

E
H
A

B C

Ta có

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trang 8/2
Câu 7

(2,0 
điểm)

100

100(1 100)

5050
2

S

0,25
Tổng số tiền bán hết 100 vé, chưa kể 20 vé miễn phí là 5 050 000 đồng. 0,25
Các tấm vé có ghi số chia hết cho 5 tương ứng với u u u5, 10, 15, ,u100. Đây là một cấp số
cộng có 20 số hạng với số hạng đầu bằng 5, số hạng cuối bằng 100 và công sai d 5. 0,25

20(5 100)

1050
2

S 0,25

Tổng số tiền bán hết 20 vé miễn phí đã tính vào 100 vé là 1050 000 đồng. 0,25
Vậy tổng số tiền bán vé thực tế là (5050 1050) 1000 4 000 000 đồng. 0,25

Câu 8 
(1,0 
điểm)

Xét các số thực , ,a b c thay đổi thuộc đoạn 1;2 và thỏa mãn a b c 4. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức

4 4 5 2 6 1

a b c abc

P abc

ab bc ca

1,0

điểm

Vì a b c, , 1;2 nên ta có a4 4 5 ,a 2 b4 4 5 .b 2

4 4 2 2 2 2

4 4 2 2

5 5( ) 8

5 5[( ) 2( )] 8

a b c a b c

a b c a b c ab bc ca

4 4 5 2 72 10( )

a b c ab bc ca (1)
* (a 2)(b 2)(c 2) 0

2( ) 4( ) 8 0

abc ab bc ca a b c

2( ) 8.

abc ab bc ca (2)

Từ (1) và (2) suy ra a4 b4 5c2 6abc 1 25 2(ab bc ca (4) ).

0,25

Mặt khác, ta có (a 1)(b 1)(c 1) 0

( ) ( ) 1 0

abc ab bc ca a b c

( ) 3.

abc ab bc ca (5)
Từ (2) và (5) suy ra

3 2( ) 8

ab bc ca abc ab bc ca

ab bc ca

4 4 5 2 6 2( ) 24

a b c abc ab bc ca

Từ (4) và (5) ta suy ra

2( ) 25 25

( ) 3 ( ) 5

ab bc ca

P ab bc ca ab bc ca

ab bc ca ab bc ca

0,25

Đặt t ab bc ca, ta có

( ) 16

3 3

a b c

ab bc ca

16
5;

t

Ta có P 25 t 5 f t( ).

t Xét hàm số

( ) 5,

f t t

t

16
5;

t

Ta có f t( ) 1 252 0,

t

16
5;

t

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Trang 9/2

Suy ra ( )f t nghịch biến suy ra P f t( ) f(5) 5.

Vậy maxP 5 khi a b 1, c 2 hoặc a c 1,b 2 hoặc a 2,b c 1. 0,25

</div>

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2017 - 2018 TP.Cần Thơ có đáp án chi tiết | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện









 

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về