DE THI OLYMPIA TOAN HOC QUOC TE 2010
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (103.52 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
1
ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH NĂM 2010
TP SAINT-PETERBURG, LB NGA
Lớp 9.
1. Trên bàn cờ vua chỉ có quân Vua (nằm ở ô bất kỳ). Bắt đầu vào thứ 2,
mỗi ngày Sereja đi một nước với quân vua theo quy luật sau: vào chủ nhật
cậu ta di theo đường chéo, các ngày khác đi theo hàng ngang hoặc dọc và
quân cờ Vua này không đi vào những ô nó đã từng đi qua. Tính số ơ lớn nhất
mà quân cờ có thể có mặt. (S. Berlov)
<i>2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ</i>
<i>giác lồi ABCD. Trên các cạnh AD và BC chọn các điểm X, Y thỏa mãn</i>
<i>XD = 3AX, Y C = 3BY . Biết rằng ∠MXA = ∠MY B = 90◦</i><sub>. Chứng minh</sub>
<i>rằng ∠XMN = ∠ABC. (S. Berlov)</i>
<i>3. Cho a là một số vô tỷ, a và a</i>3<i><sub>− 6a là hai nghiệm của một đa thức bậc</sub></i>
<i>2 với các hệ số nguyên. Tìm a. (A. Khrabrov)</i>
<i>4. Số tự nhiên A có 20 chữ số. Viết trên bảng số AA . . . A</i><sub>| {z }</sub>
101 lần
<i>, sau đó xóa</i>
đi 11 chữ số cuối cùng. Chứng minh rằng số nhận được có 2009 chữ số và
khơng có dạng 2<i>m</i><sub>. (N. Filonov)</sub>
5. Tại một quốc gia có 2010 thành phố, 2 thành phố bất kỳ được nối bởi
một con đường và con đường này không đi qua các thành phố còn lại. Một
thương gia và Bộ xây dựng giao thơng tham gia một trị chơi như sau: mỗi
buổi sáng thương gia sẽ mua một con đường, còn Bộ xây dựng giao thông
mỗi buổi chiều sẽ quá hủy 10 con đường chưa được mua bởi thương gia. Hỏi
rằng liệu thương gia kia có thể xây dựng một lộ trình theo những con đường
được ông mua nối liền 11 thành phố và mỗi thành phố chỉ đi qua một lần?
(S. Berlov)
<i>6. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện</i> 3
<i>abc</i> <i>≥ a + b + c. Chứng</i>
minh rằng 1
<i>a</i> +
1
<i>b</i> +
1
<i>c</i> <i>≥ a + b + c. (A. Khrabrov)</i>
<i>7. Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA</i>
<i>và AB lần lượt tại các điểm A</i>1<i>, B</i>1 <i>và C</i>1<i>. Đường thẳng AA</i>1 giao với đường
<i>tròn nội tiếp tại điểm thứ 2 là E. Gọi N là trung điểm của đoạn A</i>1<i>B</i>1, điểm
<i>M đối xứng với N qua AA</i>1<i>. Chứng minh rằng ∠EM C = 90◦</i>. (A. Smirnov)
Lớp 10.
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
2
2. Cho 10 số liền nhau và mỗi số có 13 chữ số. Đối với mỗi số đó viết lên
bảng thương số lớn nhất của nó (nhỏ hơn chính số đó). Chứng minh rằng
trong số những số được viết trên bảng có 2 số có cùng chữ số tận cùng. (A.
Golovanov)
<i>3. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ</i>
<i>giác lồi ABCD. Trên các cạnh AD và BC chọn các điểm X, Y thỏa mãn</i>
<i>XD = 3AX, Y C = 3BY . Biết rằng ∠MXA = ∠MY B = 90◦</i><sub>. Chứng minh</sub>
<i>rằng ∠XMN = ∠ABC. (S. Berlov)</i>
4. Tại một quốc gia có 2010 thành phố, và từ mỗi thành phố có đúng 3
con đường dẫn đến 3 thành phố khác. Tổng thống và Thủ tướng của nước
đó tham gia trị chơi sau: theo lần lượt mỗi người sẽ bán các con đường đó
cho 3 Cty tư nhân (lúc đầu tất cả các con đường đều thuộc nhà nước, mỗi
người đến lượt của mình được bán đúng 1 con đường). Ông Thủ tướng bắt
đầu trị chơi. Tổng thống cá rằng ít nhất có một thành phố mà 3 con đường
từ thành phố đó được bán cho các Cty khác nhau, còn Thủ tướng cho rằng
điều đó là khơng thể. Nếu ai thua trong trị chơi này phải từ chức. Hỏi rằng
ai trong số hai nhà chính trị này sẽ tại vị nếu chơi đúng? (D. Karpov)
<i>5. Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, AC của tam giác</i>
<i>cân ABC(AB = BC). Đường thẳng vng góc xuất phát từ B cắt CX tại</i>
<i>Z. Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác XY Z nằm trên</i>
<i>AC. (F. Bakharev)</i>
6. Cho một số tự nhiên bất kỳ. Thực hiện phép trừ số đó với số ngun
tố lớn nhất khơng lớn hơn chính nó, với kết quả mới nhận được ta lại thực
hiện phép trừ tương tự v.v. Chứng minh rằng tồn tại một số mà khi ta thực
hiện phép tính như trên đúng 100 lần thì ta nhận được 0. (A. Golovalov)
<i>7. Một tấm bảng 200 × 200 ơ vng được tô hai màu đen trắng như bàn</i>
<i>cờ vua. Chọn một hình chữ nhật bất kỳ 2 × 3 trong tấm bảng và tô màu</i>
ngược lại ở mỗi ô vuông. Hỏi rằng có thể làm cho tấm bảng chỉ cịn lại một
màu sau một số hành động như trên? (C. Berlov, D. Karbov)
Lớp 11.
<i>1. Giải hệ phương trình trong tâp số dương: xy</i> <i><sub>= z, y</sub>z</i> <i><sub>= x, z</sub>x</i> <i><sub>= y. (F.</sub></i>
Petrov)
<i>2. Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC của tam giác</i>
<i>cân ABC(AB = BC). Đường thẳng vng góc xuất phát từ B cắt CY tại</i>
<i>Z. Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác XY Z nằm trên</i>
<i>AC. (F. Bakharev)</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
3
bởi một con đường không đi qua các thành phố khác. Một thương gia và Bộ
xây dựng giao thông tham gia một trò chơi như sau: mỗi buổi sáng thương
gia sẽ mua một con đường, còn Bộ xây dựng giao thông mỗi buổi chiều sẽ
quá hủy 10 con đường chưa được mua bởi thương gia. Hỏi rằng liệu thương
gia kia có thể xây dựng một lộ trình theo những con đường được ông mua
nối liền đúng 75 thành phố và mỗi thành phố chỉ đi qua một lần? (S. Berlov)
4. Cho một số tự nhiên bất kỳ. Thực hiện phép trừ số đó với số ngun
tố lớn nhất khơng lớn hơn chính nó, với số mới nhận được ta lại thực hiện
<i>phép trừ tương tự v.v. Gọi một số tự nhiên là số chất lượng nếu sau một số</i>
<i>lần thực hiện phép tính như trên ta nhận được 1, số không chất lượng nếu</i>
ta nhận được số 0 ở kết quả cuối cùng. Chứng minh rằng trong các số tự
<i>nhiên từ 1 đến 1000000 số các số chất lương chiếm hơn 1/4 và ít hơn 1/2.</i>
(F. Petrov)
<i>5. Cho hình chóp SABCD đỉnh S có các mặt cạnh là những tam giác</i>
nhọn và các giao điểm của các đường cao của mỗi tam giác đó nằm trên
<i>cùng một mặt phẳng. Các đường chéo AC, BD của đáy hình chóp giao nhau</i>
<i>tại điểm P . Biết rằng SP là đường cao của hình chóp. Chứng minh rằng</i>
<i>AC ⊥ BD. (D. Makximov)</i>
<i>6. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ac = a + b + c. Chứng minh</i>
<i>rằng a + b + c + 1 ≥ 4abc.</i>
</div>
<!--links-->
