<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

UBND HUYỆN PHÚ THIỆN

<b>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b> <b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆNĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM </b>
<b>Mơn: Tốn</b>

<b>Năm học: 2009-2010</b>

<b>Thời gian: 120phút</b> (khơng kể thời gian giao đề)

<b>Bài 1: (2 điểm). </b> Rút gọn:. 84 24

3 4
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 
 
<b>Giải: </b>Ta có: 8₄ 3 ₂4 4

2

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 
  =

8 4 4

4 2

4 4

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
  

 

1,0đ
=( 4₄ 2)₂2 4

2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
 

  =

4 2 4 2

4 2

( 2 )( 2 )

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

   

 

0,50đ
= 4 2

(<i>x</i>  <i>x</i> 2) 0,50đ

<b>Bài 2 (4 điểm). </b>Chứng minh

Đa thức x 2001_{+ x} 2000_{+ . . . + x + 1 chia hết cho đa thức}
x181_{+ x} 180 _{+ . . . + x + 1.}

<b>Giải: </b>Ta có: x 2001_{+ x} 2000_{+ . . . + x + 1 =}

= (x 2001_{+ x} 2000_{+ . . . + x} 1820_{) + (x} 1819_{+ . . . + x}1638_{) + x} 181_{+…+ x + 1} 1,0đ

= x 1820_(x181_{+…+ x + 1) + x}1638_(x181_{+…+ x + 1) + … + (x}181_{+…+ x + 1)} _1,0đ

= (x 181_{+…+ x + 1 ) ( x}1820_{+ x} 1638_{+ x} 1438_{+ … + x} 182_{+ 1)} _1,0đ

Vậy: (x 2001_{+ x} 2000_{+ ... + x + 1)}__(x 181_{+ x}180_{+ … + x + 1)} _1,0đ

<b>Bài 3 (6 điểm):</b>

a) Tìm các cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn: 70x + 4y = 2012

<b>Giải:</b> Từ 70x + 4y = 2012  <i>y</i>2012₄ 70<i>x</i> 503 35₂ <i>x</i> 0,75đ

Do y <b>N </b>nên <i>x</i>

2
35

503 <b>N</b>. 0,50đ

 x chẵn và 0<i>x</i>503₃₅.2 =
35
26

28 _0,50đ

Do đó x chỉ nhận các giá trị 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28 0,50đ

Với các giá trị của x như trên ta tính được các cặp số (x, y) sau: (0, 503); (2;
468); (4; 433); (6;398); (8; 363); (10; 328); (12; 293); (14;258); (16;223);
(18;188); (20; 153); (22;118); (24; 83); (26; 48); (28; 13).

0,75đ

b) Giải phương trình: 2

10 21 3 3 2 7 6

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> 
<b>Giải</b>: Điều kiện: x  -3

Ta có : 2

10 21 3 3 2 7 6

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> 

 (<i>x</i>3)(<i>x</i>7) 3 <i>x</i> 3 2 <i>x</i> 7 6

0,75đ

3( 7 3) 2( 7 3) 0

( 7 3)( 3 2) 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

       

      0,50đ

7 3 0 2

3 2 0 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 _{ } _{ } _
 

    

 thỏa mã điều kiện

0,50đ
0,50đ

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1 hoặc x = 2. 0,75đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Cho 2 đường tròn (O, R) và (O, r), (R > r), các điểm A, M thuộc đường tròn

nhỏ, dây BC của đường tròn lớn đi qua M và BCAM.

Chứng minh rằng: MA2_{+ MB}2_{+ MC}2_{không phụ thuộc vào vị trí của A, khi A thay}

đổi.

<b>Giải: </b>

Gọi D là giao điểm của (O, r) với BC (D  M), H là hình chiếu của O trên

BC

 OHBC và H là trung điểm của BC và DM: BH = CH = <i>BC</i>₂ ;

MH = DH = <i>MD</i>₂

1,0đ

Ta có:

OH là đường trung bình của AMD nên OH = <i>AM</i>₂  AM = 2OH. 0,75đ

Ta có: MB2_{+ MC}2_{= (BH – MH)}2_{+ (CH + MH)}2_{= 2(BH}2_{+ MH}2_). _0,75đ

Ta có: HBO vuông tại H, nên OH2 + BH2 = OB2 = R2 0,75đ

HMO vuông tại H, nên OH2 + MH2 = OM2 = r2 0,75đ

Suy ra: MA2_{+ MB}2_{+ MC}2_{= (2OH)}2_{+ 2BH}2_{+ 2MH}2

= 2(OH2_{+ BH}2_{) + 2(OH}2_{+ MH}2_{) = 2R}2_{+ 2 r}2 1,0đ
Vì R và r không đổi nên MA2_{+ MB}2_{+ MC}2_{= 2R}2_{+ 2 r}2_{không đổi}

Vậy MA2_{+ MB}2_{+ MC}2_{khơng phụ thuộc vào vị trí của A, khi A thay đổi} 1,0đ

D

O

M

B

C

A

H

<b>Bài 4 (2 điểm)</b>

Cho hai số a,b thỏa mãn a2_{+ b}2_{= 1.}

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a6_{+ b}6_.

<b>Giải:</b>

Ta có: A = a6_{+ b}6_{= (a}2_{+ b}2₎3_{- 3a}2_b2_(a2_{+ b}2_{) = 1 - 3a}2_b2

 A = 1 - 3a2b 2  1 0,50đ

Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hay b = 0. Vậy A đạt giá trị lớn nhất là 1 0,50đ

Mặt khác: A = 1 - 3a2_b 2

 1 - 3 (

2

2

2 <i>_b</i>

<i>a</i> 

)2₌

4
1

0,50đ
Dấu “=” xảy ra khi ab =

2
1

. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là<b> </b>
4
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

UBND HUYỆN HPÚ THIỆN <b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN</b>

<b>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b> <b>Mơn: Tốn</b>

<b>Năm học: 2009-2010</b>

<b>Thời gian: 120phút</b> (khơng kể thời gian giao đề)

<b>Bài 1: (2 điểm). </b> Rút gọn:. 8₄ 3 ₂4 4

2

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 
 
<b>Bài 2 (4 điểm). </b>Chứng minh:

Đa thức x 2001_{+ x} 2000_{+ . . . + x + 1 chia hết cho đa thức}
x181_{+ x} 180 _{+ . . . + x + 1.}

<b>Bài 3 (6 điểm).</b>

a) Tìm các cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn: 70x + 4y = 2012

b) Giải phương trình: <i>_x</i>2 ₁₀<i>_x</i> _{21 3} <i>_x</i> _{3 2} <i>_x</i> _{7 6}

      

<b>Bài 3: (6 điểm).</b>

Cho 2 đường tròn (O, R) và (O, r), (R > r), các điểm A, M thuộc đường tròn

nhỏ, dây BC của đường tròn lớn đi qua M và BCAM.

Chứng minh rằng: MA2_{+ MB}2_{+ MC}2_{khơng phụ thuộc vào vị trí của A, khi A}
thay đổi.

<b>Bài 4 (2 điểm).</b>

Cho hai số a,b thỏa mãn a2_{+ b}2_{= 1.}

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a6_{+ b}6_.

</div>

<!--links-->