Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (949.5 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM BIỂU DIỄN

SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC

1. Kiến thức cần nhớ

Điểm M a b

 

; biểu diễn số phức z = a + bi.
2. Một số dạng toán thƣờng gặp

Dạng 1: Tìm điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trƣớc. 
Phƣơng pháp:

Cách 1: Tính số phức z dựa vào các phép đổi thông thường. 
Cách 2:

- Bước 1: Gọi số phức z x yi x y



, R



có điểm biểu diễn là M x y

 

; .
- Bước 2: Thay z = x + yi và điều kiện đề bài tìm x y, M.

Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn w + 2z = i biết w = 2 - i. Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z. 
Giải:

Gọi z a bi a b



, R



biểu diễn số phức z, ta có:







 



2 2 0 1

2 2 2 2 2 2 0

2 2 0 1

a a

i a bi i a b

b b

   

 

          

  

 

Vậy M



1;1



Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức. 
Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Gọi số phức z x yi x y



, R



có điểm biểu diễn là M x y

 

; .

- Bƣớc 2: Thay z = x + yi vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa x,y 
- Bƣớc 3: Kết luận:

+) Phương trình đường thẳng: Ax + By + C = 0
+) Phương trình đường trịn: 2 2

2 2 0

x y  ax by c 

+) Phương trình parabol: 2

yax bx c hoặc xay2by c
+) Phương trình elip:

2 2

2 2 1

x y
a b 

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:|z (3 4 ) | 2i  .
A. Đường tròn tâm I



3, 4



và bán kính R = 2.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
C. Đường trịn tâm I



3, 4



và bán kính R = 1.

D. Đường tròn tâm I



3, 4



và bán kính R = 1.
Giải:

Giả sử ta có số phức z = a + bi.
Thay vào |z (3 4 ) | 2i  có:

|a bi  (3 4 ) | 2i  | (a  3) (b 4) | 2i 

2 2 2 2

(a 3) (b 4) 2 (a 3) (b 4) 4

          .

Chọn đáp án A
3. Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z x yi M, 0. Xem số phức
2

1 1

.
2

Z z

z

 

   

  Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực.
A. Trục tung (hay trục hồnh ) , khơng kể điểm O.

B. Trục tung hay trục hoành
C. Đường thẳng y1
D. Đường thẳng x1
Lời giải

Trường hợp Z là một số thực Phần ảo bằng 0.









2 2 2 2

2 2

0, 0

1 0 0, 0

0, 0

x y

xy

x y xy x y

y x

x y

 



 

          

    



Tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z là
- Trục tung , không kể điểm .O

- Trục hồnh, khơng kể điểm .O

Chọn A.

Bài 2: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z x yi M, 0. Xem số phức
2

1 1

.
2

Z z

z

 

   

  Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo.
A. Đường trịn tâm O, bán kính R1

B. Đường trịn tâm I

 

0;1 bán kính R1
C. Đường thẳng y1

D. Đường thẳng x1
Lời giải

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3



2 2



2 2 2

1 0 1

x y x y

      

Tập hợp điểm M là đường trịn tâm O, bán kính R1.
Chọn A.

Bài 3: Cho 1 ,
1

iz
Z z
iz

 

 , z x yi với x y,  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực.
A. Trục tung ngoại trừ điểm A

 

0;1 B. Trục hoành ngoại trừ điểm A

 

0;1

C. Đường thẳng y1 D.Đường thẳng x1

Lời giải

Ta có:









1
1

; ,

1 1

i x yi
zi

z x yi x y R Z

zi i x yi

 


     
  





























2
2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1

1 1 1 1

1 1 2 1 2

1 1 1

y xi y xi
yi xi y xi

Z

yi xi y xi y xi y xi

xi y x i xi y x y xi

y x i y x y x

   
   
   
       
       
  
     

Z là một số thực  x 0,y0

Ta có z yi y, 1.

 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục tung ngoại trừ điểm A

 

1;0 . 
Chọn A.

Bài 4: Cho 1 ,
1
iz
Z z
iz

 

 , z x yi với x y,  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần

ảo.

A. Đường trịn tâm O, bán kính R1 ngoại trừ điểm A

 

0;1
B. Đường tròn tâm O, bán kính R1

C. Đường thẳng y1
D. Đường thẳng x1
Lời giải

Số phức Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi:





2 2 2 2

2 2

1 0 1

0, 0

1 0

x y x y

x y
y x
      
 
 

 
   


 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường trịn tâm O, bán kính R1 ngoại trừ điểm

 

0;1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
Bài 5: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có mơ đun
bằng 1.

A. Đường trịn tâm O, bán kính R1
B. Đường tròn tâm O

 

2; 2 , bán kính R1
C. Đường thẳng y1

D. Đường thẳng x1
Lời giải

Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z a bi với a b, 
Ta có: z  1 OM 1

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R1

Chọn A.

Bài 6: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có phần
thực bằng 1.

A. Đường trịn tâm O, bán kính R1
B. Đường trịn tâm O

 

2; 2 , bán kính R1

C. Đường thẳng y1

D. Đường thẳng x1
Lời giải

Ta có: a1

Tập hợp điểm M là đường thẳng D x: 1
Chọn D.

Bài 7: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có phần ảo
bằng -1.

A. Đường trịn tâm O, bán kính R1
B. Đường trịn tâm O

 

2; 2 , bán kính R1
C. Đường thẳng y 1

D. Đường thẳng x1
Lời giải

Ta có: b 1

Tập hợp điểm M là đường thẳng :y 1
Chọn C.

Bài 8: Tìm trong mặt phẳng tập hợp

 

 các điểm M biểu diễn số phức z sao cho Z z 4
z

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5
A. Trục hoành x Ox' ngoại trừ điểm gốc và đường trịn tâm O, bán kính R2

B. Trục hoành x Ox' ngoại trừ điểm gốc và đường trịn tâm O, bán kính R1

C. Đường trịn tâm O, bán kính R1
D. Trục hồnh x Ox' ngoại trừ điểm gốc
Lời giải

Đặt z x yi z,



0



với x y, 

Ta có: Z z 4 x yi 4 x yi 4



2x yi2



z x yi x y



       

 



2 2

 

2 2



2 2

4 4

x x y y x y i

Z

x y

    

 



Z là một số thực:





2 2 2 2

2 2

4 0 0 4

0
0

y x y y x y

x y
x y

        

 

 

 



  



Do đó

 

 gồm :

- Trục hoành x Ox' ngoại trừ điểm gốc.
- Đường trịn tâm O, bán kính R2.
Chọn A.

Bài 9: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z 2 z i .

A. 2 2 8 4 0

3 3

x y  y  B.



x1

 

2 y1



2 4

C.

2 2

4 3

x y

  D.3x24y2360

Lời giải

Cách 1. Đặt z x yi z,



0



với x y, R

Ta có: 2 2





2 2 8 4

2 4 1 0

3 3

z  z i x y  x  y x y  y 

Cách 2. Ta có: z 2 z i  OM 2OMOB  OM 2BM

Với B

 

1; 0 là điểm biểu diễn số i.
Do đó ta có: OM 2BM MO 2

MB

  

Ta suy ra tập hợp các điểm M là đường trịn Apollonius đường kính IJ , với I J, thuộc trục tung và:
2

O 2

OI IB

J JB


 

2
0;

I 

  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6
Phương trình đường trịn :





2 2 2 2 8 4

2 0 0

3 3 3

x y  y  x y  y 

 

Chọn A.

Bài 10: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: 1  z z i.
A. Đường thẳng y x

B. Đường trịn tâm I

 

0;1 , bán kính R1
C. Đường thẳng y1

D. Đường thẳng x1
Lời giải

Cách 1. Đặt z x yi z,



0



với x y, R

Ta có: 1    z z i



1 x



2y2 x2



y1



2  y x.
Cách 2. Gọi A là ảnh của 1 và B là ảnh của i A:

   

1;0 ,B 0;1 .
Ta có: 1   z z i MA  MB MAMB

Do đó tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB y x
Chọn A.

Bài 11: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao
cho: za z.  a aa.

A. Đường trịn tâm A , bán kính R AO
B. Đường trịn tâm A , bán kính R2
C. Một hyperbol vng góc

D. Đường thẳng x1

Lời giải

Ta có: za z.  a aa z a2  a2

 

1
Gọi A là điểm biểu diễn số phức a trong mặt phẳng phức.

Ta có:

 

1  MA2  OA2  AM2 OA2 AM AO

Do đó, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A , bán kính RAO.
Chọn A.

Bài 12: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao
cho: 2 2 2 2

z a z a

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7
C. Một hyperbol vng góc

D. Đường thẳng x1
Lời giải

Ta có: z2a2 z2a2 z2z2 a2a2 

     

zz zz  aa a a

 

2
Đặt: z x yi

a  i

 


  



Ta có:

 

2 2x

 

2yi 2 

 

2 i xy

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trang | 8
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên 
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

<b>PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM BIỂU DIỄN </b>

<b>SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC </b>

 





 











 











 





















 





 

 



<sub></sub>



<sub></sub>





























 

 





 

 

 

 

 











 







 



 













