Ebook Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.28 MB, 234 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

T Ố N G Đ ÌN H Q U Ỳ

HƯỚNG DẨN GIẢI

BÀI TẬP

XÁC SUẤT

THỐNG KÊ

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3></div>
(4)<div class='page_container' data-page=4></div>
(5)<div class='page_container' data-page=5></div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

C h u o n íi I

SỤ K I Ệ N N ( Ỉ Ẫ I J N H I Ê N VÀ
C y u : P H É P T Í N H X Á C S U Ắ T

§1, 1. S ự K I Ệ N N G Â U N H I Ê N VÀ
C Á C P H É P T O Á N T R Ê N S ự K I Ệ N
1.1.1. T ó m tãl lý t h u y ế t^ V

1. S ư k i ệ n là k h á i I i i ẹ m n s u v é n lliLiý k h ỏ n e t h ể đ ị n h n g h ĩ a .

S i í k i ệ n n íịủ n nliiéiì ( h a v h i ế n c ó i h e o m ộ t s ố tài l i ệ u ) c ó t h ể

hiổii như là một hiên t ư ợ n s nào dó có thể xảy ra hoục k h ô n g
thè’ Káy ra khi có m ột bộ diều kiện xác dịnli. Ta sẽ ký hiệu c ác
sư kiện bằiig các chữ' cái iii hoa A. B, c ...

Trong lớp các sự kiện nụẫu nhiên có hai sự kiện dặc biệt: với
mộl bọ điéu kiện xác định, nếu sự kiẹn liíc nào cũng xáy ra ta có
sư kiện lất yêu (kv hiệu là U) và nếu kliông bao giờ xảy ra ta có
sự kiện h ấ i k h ả (kv hiệu là \ ').

N s ư ừ i la x á c d ị n h q u a n h ệ uiĩi'a c á c s ự k i ệ n n h ư sau:

* Tổng: lổní> c u a hai sự kiện là m ột sự kiện chí việc xảy ra
ít nhất mộl Irong hai sự kiện trẽn, ký hiệu là A + B.

Tí cl r. licli c ủ a h a i s ự k i ệ n l à m ộ l s ự k i ệ n c h i v i ẹ c x ả y r a

đ ồng thòi cá hai sự kiện, ký hiệu là AB.

Đối lập: hai sự kiện A và Ẵ dirợc gọi là dôi lập nếu ln
chí xảy ra một ircMig hai sự kiện ấy. Từ dó dẻ

+ 4 = ( / . . 4 . 4 = \ ' .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

* X u n g khắc: hai sự kiện /\ \ ầ B đ ư ợ c gọi là xiíiìịỉ k h ắ c nếu
c h ú n g k h ô n g đ ồ n g thời xảy ra. tức là A B = V,

* Kéo theo: sự kiện /4 kéo iheo sự kiện B. ký hiệu là ,4 ^ B .

nếu xảy ra /4 thì xảy ra B.

* Tương đương: hai sự kiện /i và B được gọi là Itíơiìí; cíicơììg,

ký hiệu là /A = B, nếu B và B => A .

Đ ể ý là hai phép toán tổng và lích có m ột số tính chất c ủ a các
phép cộng và phép nhân:

(a) A + 13 = B + A\ A B = BA:

ịh) {A + B) + c = A + (B + C); { Á B ) C = A{BC)\

Ngồi ra có thể dễ dàng chứng minh:
/l + A = /l; /lA = /l;

Ẩ + ơ = ơ ; A U = /ì;

A + l/ = /i; /11-' =

M ộ t sự k i ê n là kêt quả trực tiê p c ủ a m ột bộ điều kiện xác
định và k h ô n g thể phân c h ia t h à n h c á c sự kiện k h á c được gọi
là s ự kiện s ơ cấp. T rong nhiều bài tập ta cần xác định số lượng
các sự kiện đ ồng khả nàng, dẫn đến cần sử d ụng đến các kê't quá
dưới đây.

2. Giải tích kết hợp

* Chính hợp; chỉnh lìựp chập k từ n phần tử là mộl n h ó m có
thứ tự gồm k phần tử có ihứ tự lấy từ ìì phần tử đó. Đ ó chính là
mộl nhóm g ồ m k phần tử khác nhau dược xếp theo một th ứ lự
nhấl dịnh. s ỏ các c h in h hợp như vậy ký hiệu là

= /;(/; - -Ắ' + l ) .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

từ lì p h ầ n tứ đã cho. N h ư vậv đ â y là m ột n h ó m g ồ m k phần tử
có thể g i ố n g n h a u \'à được x ế p iheo th ử tự. Số c h ín h hợp lặp
như vậy ký hiệu là

* I l o á n v ị ; h o á ì ì v ị c ủ a II p h ầ n t ử l à m ộ t n h ó m g ồ m lì p h ầ n

tử âv đ ư ợ c sắp xếp t h e o m ộl th ứ tự nào đó. Số các h o á n vị n h ư
vậy. ký h iệu là c h ín h là số các c h ín h hợp và ta có

p „ = n \

* Tổ hợp: t ổ hợp c h ập Ấ: từ /; phần tử là một nhóm g ồ m k

phần tử khác nhau được lấy từ n phần từ đã c h o (không phân biệt
thứ tự). Sô các tổ hợp c h ậ p k từ II ký hiệu là

^ ___ ^ ^

" ì ĩ { n - k ) ĩ k ' ■

1.1.2. Các bài giải mẫu

Bài 1. Khi n à o thì c ó đ ẳ n g thức A + B = A I

Giíii: Đ ẳng thức A + B = A sẽ đúng nếu B kéo theo A (hay
việc xảv ra B luôn kéo theo xảy ra /l).

Bài 2. Cho sơ đổ m ạ n g điện trên hình 1.], gồm 3 bóng đèn.
Việc m ạn g mất diện (sự kiện A) chí có thể xảy ra do cháy các
bóng đèn (ký hiệu là các sự kiện Aị. /l,, và Aị). Hãy bicLi diễn A

theo các Aị, I - 1, 2, 3.

Giải'. Sự kiện A xả y ra khi
xảy ra một trong 3 trường hợp:

a) Cả ba b ó n g đểu c háy;
b) C h á y h a i b ó n g 1 v à 3;

c ) C h á y h a i b ó n g 2 v à 3. H ì n h '1.1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

T ừ đ ó ta c ó : /\ = /^I /4 , / l3 + .4 1 / \ .4 3 + /Vị /13,4

Có thể d ùng tính chất của việc mắc s o n s song và nối tiếp các
bóng đê’ có mội biểu diẻn khác như sau:

A = Ụ\ị + /li ),4 , .

Bài 3. Sự kiện /4 - có ít nliất m ột tro n g 4 sản ph ẩm là p h ố
phẩm ; B - s ố p h ế p h ẩ m k h ơ n g ít h ơ n 2. Các sự kiện sau là gì:
a) Ã ; b) 5 ; c) A Ĩ Ì : d) Ã B ‘?

Giải: a) Dễ thấy A - k h ô n g có p h ế phẩm hay cá 4 sản phẩm
đều tốt; b) B - hoặc có một p h ế p h ẩ m hoặc khơng có p h ế phẩm;
hay D - có nhiều nhất một phê p h á m (hoặc có ít nhấl 3 chính
phẩm); c) A B - có đ úng 1 p h ế phẩm; d) Á B = V (khơng xãy ra).

Bài 4. Có 10 viên bi dược đ á n h số từ 1 đến 10, trong đó có 6
viên đỏ và 4 viên xanh. Rút hú họa ra một viên bi. hỏi sự kiện sơ
cấp ở đây là sự kiện nào?

Giải: Nếu ta quan tâm đến s ố thứ tư của viên bi, thì có 10 sự
kiện sơ cấp và chú ý là c húng đ ồng khả năng. Còn nêu chi quan
lâm đên m àu bi, thì ở đây chí có 2 sự kiện sơ cấp và chúng k h ô n g
đồng khả năng.

Bài 5. Có bao nhiêu cách xếp 5 q u v c n sách lên giá?

Giải: Dỗ thấy một cách xếp là hoán vị cúa 5 phần lử. từ đó sị
cách xếp là = 5! = 120.

Bài 6. Có bao nhiêu số điện thoại cúa một tổng đài nòi bỏ
gồm các số cổ 4 c hữ số?

Giải: Có thể nói n g ay r ằ n g t ổ n g đài gổrn 10000 1 = 9999
sô (do sô 0 0 0 0 th ư ờ n g k h ô n g d ù n g ) . Đ ó c ũ n g c h ín h là số c á c
chính hợp lặp c h ậ p 4 lừ 10 p h ầ n tử ( g ó m 0. 1 ,2 . 9) Irù di ì

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

B ài 7. Một Iiíỉày học 3 m ón trong số 7 m ô n học. Hỏi có bao
nliiêu cách xc'p lliịi khóa biếu trong một ng à y ?

Gidi: Già sứ có thc chọn lùy V các m ô n trong ngày đó. Việc
xép thời khóa bicu Irong ngày ấv chínli là việc chọn ra 3 môn
trong sỏ' 7 món C 'ó đé ý đến thứ lự \'à k h ơ n g có lặp. Từ đó số cách

A ĩ = 7 .6 . 3 = 210.

Bài 8. Có bao nhiêu cách rút ra 3 quân bài từ bộ bài 52 con?

Giải: Số c á c h rút b ằn g số lổ hợp c h ậ p 3 lừ 32 phần tử
52!

= - - = - - = 22100.
3 !49!

B à i 9*. C ó m ấ y c á c h x ế p /■ q u ả c ầ u k h á c n h a u vào n

hộp?

Giúi: Mỗi q u ả c ầu có thể xếp vào II h ộ p k h á c nhau, nên có
thè coi s ố c á c h xếp /■ q u ả c ầu vào lì liộp n h ư s ố c á c h c h ọ n ra r
h ộ p (có thể lặp lại và có t h ứ tư) từ tâp lì h ơ p , vây có Ă'. = lì’

1.1.3. Bài t ậ p

1. Cho 3 sản p h á m . A là sự kiện có ít n h ấ t m ột p h ế phẩm . B
- c ả 3 dều tốl, C á c sự kiện sau có n g h ĩa là gì: a) /4 + B: b) AB?

2. Chứng m in h c ô n g thức Đ ơ M oóc-găng: A + B = A B

3. Chứ ng m in h ;

a) AB - (,4 + B)(a + ÌỉỊ ã + b). .

b) Ă B + y\B + Ấ /7 = A «

4. Gọi A,. i = 1 , 2 , 3 là các sự kiện chí việc bắn trúng của xạ
thú thứ /' (mỗi người bắn một phái), Hãy biểu diễn các sự kiện:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) Có đ ú n g 1 người bắn trúng.
b) Có ít nhất 1 người bắn trúng.

5. G i e o m ột con xúc sắc c â n đối đ ồ n g chất và gọi là /4, là sự
k iệ n xuất hiện m ặ t i c h ấ m (/ = 1 , 2 , .... 6). Các sự kiện sau c ó ý
n g h ĩa gì:

ã) A Ị + A j +
b ) A| + + /4<ị.

6. T ì m sự k i ệ n X từ đ ẳ n g th ứ c X + A + X + Á = B.

I . M ộ t bộ m ô n có 15 người. C ó b a o nhiêu cách lập một hội
đ ồ n g gồm 3 người?

8. M ộ t lô h à n g có 100 sản p h ẩ m . C ó bao nhiêu cách chọn ra
5 sản p h ẩ m để đ e m đi kiểm tra?

9. C ó b a o n h iê u số điện thoại c ó các c h ữ số khác nhau ở m ột
tổng đài nội bộ có c ác chữ số chỉ c ó 4 c h ữ số?

10. Có b a o n h iêu số tự n h i ê n có 5 c h ữ số?

I I . M ộ t giải b ó n g đá g ồ m 12 độ i, mỗi đội phải đá với đội
k h á c 2 trậ n trên sân nhà và sân k h á c h . H ỏi phải tổ chức bao
n h iê u trận đ ấ u ?

12. M ộ t lô h à n g có ìì sản p h ẩ m t r o n g đ ó có m p h ế phẩm .
C ó b a o n h i ê u c á c h c h ọ n r a / s ả n p h ẩ m t r o n g đó có k p h ế
p h ẩ m ?

13*. Có b a o n h iê u c á c h x ế p 5 ngư ờ i n » ỗ i quanh một chiếc
bàn tròn sao c h o 2 người đ ịn h trướ c đ ư ợ c ngôi cạnli nhau? Cũng
câu hỏi n h ư vậy n h ư n g thay bàn trò n b ằ n g bàn dài.

i4*. C ó b a o n h iê u số điện Ihoại g ồ m 4 chữ số có đ úng mộl

cặp c h ữ s ố trù n g ?

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

§1.2. C Á C Đ Ị N H N G H Ĩ A X Á C SU ẤT

1.2.1. T ó m tắt lý thuyết

G i á s ử trong tổng s ố II kết c ụ c đ ồ n g khá n ă n g c ủ a m ột phép
thử (tức là khi thực hiện m ột bộ đ iề u kiện xác đ ịnh) có đ ú n g m

kết c ụ c th u ậ n lợi c h o việc xuất h iệ n A, khi đó theo đ ịn h n g h ĩ a cổ
điển, xác suất xuất hiện /4 sẽ là;

p(.4) = - .
II

Đ ỏ i khi người la sử d ụ n g khái n iệ m tần suất xuất h iệ n /4, đó
là ti số giữa số M các thử n g h i ệ m c ó xuất hiện ,4 với t ổ n g s ố N

các t h ử nghiệm . Đ â y là định n g h ĩ a Ihòng kê của xác suất và có
thê' d ù n g tỉ số M / N n h ư là m ột xấp xi của xác suất.

N g o à i ra cịn có các đ ịn h n g h ĩ a khác của xác suất n h ư các
định n g h ĩ a theo hình học, theo tiên đ ề . . .

C h ú ý là khi lính xác suất c ó th ể d ù n g những tính c h ấ t sau:
■ 1 > P (a) > 0 .

■ F (ơ ) = 1 ; F (v) = 0.

■ N ế u A B = V (xung khắc) tlù P ( A + /ỉ) = ^ (b ).

. p ( : 4 ) = l - p ( / l ) .

■ Nếu A = > B thì F (a ) ).
1.2.2. C á c bài giải m ầu

B ài 1. Tim xác suât khi xêp n g â u nhiên một bộ sá c h g ồ m 5
lập lên giá sách thì nc) được x ế p đ ú n g tlìứ tự.

Giải: Sơ c á c h xếp bộ s á c h 5 t ậ p c h í n h là sỏ h o á n vị c ủ a 5
p h ầ n tử P;, = 5! = 120. Đ ể bộ s á c h được xế p đ ú n g t h ứ tự c ó 2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

cách (từ trái qua pliái hoặc n g ư ơ c lại). Từ đó xác suãl cần tìm
là 2 / 1 2 0 = 1/60.

Bài 2. Có 5 m ánh bìa được đánh số từ 1 đến 5. C họn hií họa
liên tiếp ra 3 m ánh và xếp thành một số có 3 chữ số. Tìm xác
suất dể số đó là số chẵn.

Guh: Do ta chọn liên tiếp 3 m ảnh khơng hồn lại và có đc ý
đên thứ tự nên sô cácli được chọn sõ chính là sơ các chính hợp
chập 3 từ 5:

/1^ = 5,4.3 = 60.

Để có sơ chẩn thì số lây cuối c ù n g phải là chẵn, tức là 2 hoạc 4.
Úng với mỗi số đó ta có số c á c h lấv ra 2 số trước nó là 4.3 =12.
Từ đó s ố cách chọn ra được số chẩn theo yêu cầu là 12.2 = 24,

Vậy xác suất cần tìm — = 0.4 .
60

Bài 3. Gieo đ ồ m g thời hai con xúc sắc cân đối d ồ n g chấl.
Tìrn các xác suất:

a) T ổ n g số c h ấ m xuất h i ệ n b ằ n g 5.

b) H iệu số c h ấ m xuất h i ệ n có trị tiivệt đối bằng 3.

Giải: Ký hiệu ni. lì là số c h ấm xuất hiện trên các con XLÌC sắc
tương ứng thì kết quả của p h ép thử chính là cặp số {lìui) vói

1 < i n j ì < 6 { m . n e ỉ \ ) . Số các cặp số như vâv là 6.6 = 36 =- ■
a) Các kêl cục thuận lợi c h o tổng số chấm bằng 5 là (1,4).
(2.3), (3,2) và (4.1). Từ đó xác suất cần tìm là 4/36 = 1/y,

b) Các kết cục lliLiận lợi là (1.4), (2,5), (3,6), (4,1). (5.2) và
(6.3). T ừ đổ xác suáì cần lìm là 6/36 = 1/6.

Bài 4. T rong liổp bi có 6 viôn đo và 4 viên Irắng ciin<: kícli
cỡ, Rúl hú họa ra 2 \'iên bi. T ín h xác suất cỉc troiig dó có:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

h) II nhâ't I viên đó;
c) Viên th ứ 2 màu dó.

Giải:

Nèu ta q u an tâm đêii thứ tự của hai viên bi, sô c ách rứt ra hai

viêa bi sẽ = 10.9 = 90.

a) Sô c á c h thuận lợi đê rút ra 2 bi đỏ trong trường hợp này là
6.5 = 30. T ừ đó xác suất cần lìm là 30/90 = 1/3. Có thể d ù n g khái
niệm lổ h ợ p đ ể tính xác suất: tổng số cách rút ra 2 bi kh ô n g để ý
đến thứ tự làC|'(,, còn số c ác h thuận lợi rút ra được 2 bi đỏ l à Q j ,
từ đó tìm ra cùng kết quá n h ư trơn.

b) C ách tính trực tiếp phải dùns, lại kết quả trên. Ta có thể dễ
dàng tính xác suất xảy ra sự kiện đối lập “khơng có bi đ ỏ ” hay
“cả hai b-i t r ắ n g ” là Cị / C|",) = 2 / 1 5 . Từ đó xác suất cần tìm là 1

■ 2/15 = 13/15.

c) Gọi A là sự kiện bi thứ hai m àu đỏ. Số cách th u ậ n lợi cho

A bao gồm: 6.5 c ách đối với trường hợp viên đầu c ũ n g đỏ và 4.6
cácli đối \'ới tnrờiig hợp viên đầu Irắng. Từ đó xác suất:

/^(.4) = ( 3 0 + 2 4 ) / 9 0 = 3 / 5 .

Chú ý nếu theo c ác h k h ô n g q u a n tâm đến thứ tự thì mọi việc
dơn giản hơn: A sẽ lương đương với sự kiên viên dầu là đỏ và xác
suãt để rút được một \-iẽn bi dó rất dề lính là 6/10 = 3/5.

Bài 5. T im xác suất đê’ khi xếp ngẫu nhiên 5 người q u a n h 1
chióc bàn trịn 5 gliẽ lliì 2 người clịnh irirớc được ngồi c ạn h nhau.

(/uìi: Dỗ thấy lổng sỏ cách xếp 5 imiiời là sõ các h o á n vị cúa
3 và bàng = f ) ’.==ì20. Do vai Irò của 3 người n h ư nhau nên

k h ô ii” mất tínli tổng quái la có tlic bãl clầLi lính từ bất kỳ người

lùu). ch ẳn g hạn (ừ một Irong liai người dịnh Irước. Người ih ứ nhất

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Irong hai người đó chỉ có 3 cách xếp và để được ngồi cạnh người đó
ngvrời thứ hai chí cịn 2 cách xếp; còn đối với 3 người cịn lại có tất
cả 3! cách xếp, T ó m lại số cách xếp thuận lợi cho sự kiện bài ra sẽ
là 5.2.3! = 60; từ đó xác suất cần lìm là 60/120 = 1/2.

B ài 6. T r o n g m ột buổi liên hoan có 6 c ặ p n a m nữ, trong đó
có 3 c ặp là vợ c h ổ n g . Chọn hú họa ra 3 người. 'D m xấc suất để
trong đó:

a) Có đ ú n g 1 n a m ;
b) Cả 3 đ ề u là nữ;

c) K h ơ n g c ó c ặ p vợ c h ồ n g nào.

Giải: T ổ n g s ố k ế t cục củ a p h é p th ử c h ọ n hú h ọ a r a 3 người

c h í n h là c , \ = 220 .

a) Đ ể c h ọ n được đ úng 1 nam (có n g h ĩ a là 2 người còn lại sẽ
là nữ) sẽ có c ' .C^ = 90 cách. T ừ đó xác sưâì cần lìm là 90/220 =
9/22.

b) T ư ơ n g tự s ố c á c h c h ọ n được 3 n ữ là c l = 20 và xác suất
cần tìm là 1/11.

c) Việc lìm trực tiếp số c á c h thuận lợi c h o A -- sự kiện khơng
có cặ p vợ c h ồ n g n à o trong số 3 người k h á phức tạp. Ta tính xác
suất củ a Ả là sự k i ệ n có ít nhất 1 c ặp vợ c h ổ n g , và vì chỉ có 3
niiưừi nên đó c h ín h là sự kiện có đ ú n g 1 c ậ p vợ chồng. Cặp vợ
c hồng đó có 3 c á c h chọn, còn người th ứ ha có 10 c ác h chọn
trong số 10 người c ò n lại, từ đó:

P{a ) = l - f(ã ) = 1 - 3 . 1 0 / 220 - 19 / 22.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Giài: K ý hiệu sô' xếp được là N = lOí/ + h, Irong đó

0 < a . h < 9 . Ta thấv N chia hết cho 18 thì phải c h ẵ n {h c h ẵn ) và
chia hết cho 9 {a + I) chia hết cho 9). Dề thấy tống s ố c á c h ch ọ n
ra 2 m ả n h bìa và xc'p th àn h m ộl số là 10.9 = 90. Số c á c h chọn
thuận iợi c h o số N c h ia hết c h o 18 là 5 (đó là các s ố 18, 36, 54,
72 và 90). T ừ đó xác suất c ầ n tìm là 5/90 = 1/18.

Bài 8. M ộ t lô h à n g có II sản phẩm với m p h ế p h ẩ m . T ìm xác
suất để khi c h ọ n hú họa ra k sản phẩm thì có đ ú n g / p h ế phẩm.

Giải: Số cách c h ọ n n g ẫ u nhiên ra k sản p h ẩ m từ II sẽ là .

Số cách c h ọ n thuận lợi c h o sự kiện cần tìm xác suất c h ín h là tích
của số c ách c h ọ n / p h ế p h ấm từ ÌÌI với số c á c h c h ọ n k - I chính
phẩm từ 11 - m sản p h ẩ m tốt. X ác suất c ầ n tìm dẽ d à n g tính được

băng; ■

c .
^ lì

Bài 9. X ế p n g ẫ u n h i ê n 10 k h á c h đi tàu lên 3 toa tàu hỏa.
Hãy tlm c ác xác suất;

a) T o a đ ầ u có 3 k h á c h ;

b) T o a đầu có 3 k h á c h và toa th ứ hai có 4 k h á c h ;

c) M ộ t toa có 3 k h á c h và một toa k hác c ó 4 k h á c h (toa còn
lại lất nhiên có 3 k h á c h tro n g trường hợp b và c).

Giài: Mỗi kliách c ó 3 k h ả n ã n g k h á c n h a u l ê n c á c to a tàu,
vậy 10 người sẽ c ó 3"' c á c h lên tàu k h á c n h a u ( c h í n h là A|o).

a) Đ ể toa dầu có 3 k h á ch sẽ có C|',) các h xếp; sau đó 7 k h á ch
CÒII lại sẽ có 2’ cácỉi xếp lẽn liai íoa CỊII lại. T ừ đó số c á c h xếp
Ihuận lợi sẽ là C | „ . 2 ' và xác suất cần tìm là:

r - ’ 2 ’ 10—

i 0

5120/19683.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b) Để loa dđu cổ 3 khách sẽ có Cj^j cách xếp, sau đó để loa
hai có 4 k h á c h có C j cách và để toa ba có 3 khách cịn lại là c ị .

Xác SLUÍt cần lìm sc là:

r l 1()A, 7.^.3c - '

Ị () 1400/19683.

c) Dễ Ihấy s ố c á c h ihuận lợi cho trường hợp này sẽ chính
bằng sơ cách thuận lợi cho trường hợp (b) nhân \'ới số hoán \'Ị
của 3 (là 3.2.1 = 6). T ừ đó xác suất cần tìm là:

3 = 2 8 0 0 /6 5 6 1.

Bài 10. Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 5 giỏi, 10 kliá
và 10 trung bình, Chọn hú họa ra 3 người, hãy tìm các xác suất:

a) Cá 3 đều là học sinh yếu;
b) Có ít nhất m ột học sinh ỉiiỏi.

Giải: Số c á c h c h ọ n ra 3 người t r o n g số 30 người dễ thấv là

c ị , = 4060.

a) Đổ cá 3 đều yếu có nghĩa là phải chọn được 3 người Irong
số 5 học sinh yếu. Số cách chọn đó là CỊ = 10 và xác suất cần
tìm sẽ là: - - - = 1/406.

b) íính x á c suất của sự kiện đ(5i lập: khơng có học sinh
giỏi trong số 3 ngirời được ch ọ n ngẫu nhiên đó.

sỏ cách th u ậ n lợi

chínli là số n h ó m g ồ m 3 phần tứ lừ 25 phầii tứ (sô học sinh
không pluii là học sinh giỏi là 25). T ừ đó dẻ dàng thấy xác suất
cần lìm là;

r ^ - 11 s

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài I I . Ciiia thành hai phần hăiiii nhau 10 viên bi, trong đó
có 4 bi đõ và 6 bi xanh. Tìm xác sLiaì dê mỗi phần đ ề u c ù n g số bi

đ ò v à hi x a n h .

Giới: Sô cách cliia ihành 2 phán có sị bi n h ư n h a u chính là số
cách chọn ra ? vièn bi từ 10 và dí) là Để một phần có số viên
bi dị \'à xanli giông phần kia sẽ có cách chia th u ận lợi. T ừ

c c

dó xác suấí cần tìm là: = ] 0/21.
r -10

B à i 12 . T ìm xác suấl khi xếp ngẫu n h i ê n k q u ả c ầ u và o //
hộp (k < //) thì tro n g k hộp xác định trước mỗi h ộ p chứ a đ ú n g

lìiộí q u ả c ầ a .

(ìiár. Tron« bài lập này cần v\ác định rõ khái n iệ m “ xếp ngẫu
nhiên". Ta xét hai trường hợp :

a) Các q u á cầu được phân biệt rõ r à n g sao c h o sự h o á n vị
hai q u á ở hai h ộ p k h á c nhau sỗ cho la hai cácỉi x ế p k h á c n h a u
(đây là íhịnR kê B ơ n -x ơ -m a n ). N h ư \’Ạy l ổ n g các k ết c ụ c đ ổ n g
khá nãim là (mỗi quả cáu có lliế được xếp vào bất c ứ hộp nào
k h ỏ n g phụ t h u ộ c vào cácli xcp íỊLiá cầu k h á c - x e m bài 9 m ụ c

1.!). Số kết cục ihuạn lọi đế xép k quả c ầu vào ỉì h ộ p xác định

trước chính là kl và xác sưấl L ẩ n lìm sc là .

ỉứ

h) \V'LI các quà cấu khong phân biệt, íức là sự h o á n vị 2 quả
cầu ỏ' hai hộp khác nhau kIk^iu’ íao ra cách xếp m ới ihì viêc tìm
,lống sò kếl cục sẽ phức íap hơn. Ta biếu diễn !ì h ộ p bằng các
kh o án g giũa ỉì + 1 \'ach ^'ịn các phần lừ b ằ n g các c hấm

{lìiỉìlỉ ỉ .2). T r o n g tiirờnu \u1\^ nay n 10 và k - 8;

Hỉnh 1. 2

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

C í k h biểu d i ễ n này cho thấv 2 vạch đứng n^oài c ù n g k h ô n g
được di c h u y ể n còn lại n ] vạch đứ n g và k c h ấ m được sắp
xếp tùy ý. N ế u ta đổ i chỗ các c h ấ m cho n h au tương ứng thì do
tính k h ơ n g p h â n biệt của các phần tử la k h ô n g nhận được cách
xếp m ới. C ũ n g như vậy nếu ta h o á n vị các xạch đứng. N hư ng
nếu m ỗ i lần đổ i c h ỗ vạch đ ứ n g với c h ấm ta sẽ ihii được mộl
c ách x ế p m ớ i. Vì vậy tổng sỏ kết c ụ c đ ổ n g k h ả n ă n g sẽ là;

{ k + n - [ ) \

tức b ằ n g sô h o á n vị của Ấ: + /; - 1 phần tử {k c h ấ m và !1 - 1
vạch) c h ia c h o sỏ hoán vị củ a k c h ấ m và sỏ hoán vị c ủ a /í I
vạch đứng.

Số kết cụ c th u ận lợi dể xếp k q u ả cầu vào n hộp định trước
bằng 1, vì việc hoán vị quả cầu không sinh ra cách xếp mới. 'ĩ ừ
đó xác suất c ần tìm là:

Ả-!(»- l)!
(ả- + / ; - 1 ) ! ■

T r o n g lý t h u y ế t xác suất c á c h xếp trong m ục này được
d ùng t r o n g t h ố n g kê Bô“de “ A n h - x ơ - ta n h . T ổ n g số kèt cục
đồng k h ả n ă n g có ĩhể tính được d ù n g khái niệiTi số các tổ hợp
lặp c h ậ p k lừ n p h ầ n tử Irong giải lích kếl hợp.

B ài 13. Đ ư ờ n g dây c áp n g ầ m nòi một tổng đài với một
Irạrn dài 1 k m . T í n h xác suất cú a sự kiện dây cáp bị đứl lại nơi
cách t ổ n g đ à i k h ô n g dưới 80()m.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Từ đỏ

1000

Bạn dọc thử tìm xác suất cúa sự kiện trên với giả thiết là càng
cách xa tổ n g đài khả năng dây c á p hị đứt càng lớn (tírc là tỉ lệ
thuận với kh o ả n g cách từ điểm đúl tới tống đài).

Bài 14. Cho mộl đoạn th ẳn g và bẻ gẫy ngẫu n h iên th àn h 3
đoạn. T im xác suất để 3 đoạn đó tạo t h à n h được m ộ t tam giác.

Gidi: N h ư bài 13 ta dùng định nghĩa theo hình học. Coi đoạn
thầng là một đoạn trên Irục số từ 0 đến a. Ký hiệu ,r là tọa độ điểm
chia thứ nhất \'à y là toạ độ điểm chia thứ hai thì dễ thấy 0 < X < y

< a v à b a đ o ạ n s ẽ c ó c á c đ ộ d à i t ư ơ n g ứ n g X , V - X v à a - y.

Đ ạt tương ứng mỗi cách chia với 1 đ i ể m trong hệ toạ độ Đ ề
các M(x, y). m iền đồng khả năng iưưng ứng sẽ là ta m giác A O B

(xem hình 1.3). Ta cần tìm m iề n th u ậ n lợi cho sự k i ệ n đẩu bài
yêu cầu. M u ố n tạo ra môt tam giác thì tổng hai c ạ n h phải lớn
hơn cạnh còn lại:

A- + (>■

.V + { a

x ) > a - V n ê n V >

-' 2

>’) > V - X nê n \’ < ,v + a

2

y - X + (t/ - v ) > A' nê II V <

a

r ừ đó rniền th u ận lợi cần tim
là tam uiác CD E . Do d i ệ a tích

• " r Hình 1.3

tam giác này bãn« 1/4 d iệ n

lích tam g iác Á O B nên xac suàt c ầ n tìm là = 1 / 4 .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

1.2.3. Bài tập

1. Lấy ngẫu nhiên ra 3 chữ cái từ 7 chữ T O A N TIN và xếp thành
một lừ. Tini xác suất để thu được từ TAN.

2. T ro n g 10 sản p h ẩ m có 2 p h ế phẩm. Tìm xác suất để trong
5 sản phẩm c h ọ n được ngẫu nhiên có:

a) Một p h ế phấm;

b) ít nhất m ộ t p h ế phẩm;
c) K h ô n g có p h ế phẩm.

3. C họn ngẫu n h iên một số điện thoại g ồ m 4 c h ữ số c ủ a một
tổnc đài nội bộ. Tìm c á c xác suất;

a) Cả 4 chũ sô đ ề u k h á c a h a u ;
b) Có đ ú n g 2 c h ữ s ố trù n g .

4. Một k h o á số g ồ m 5 vành quanh một trục, m ỗi vành gồm
10 số (từ 0 đến 9). K h o á được inở khi m ỗi vành đặl đ ú n g vị trí đã
xác định Irước. T ìm xác suất để m ỡ dược khoá.

5. Giả sử biết l à n q trong 20 vé có 4 vé trúng thưởn«. Một
người m u a 3 vé. Tim xác suất trúng thưỏng của người đó.

6. G ieo d ồ n g thời 4 đ ồ n g tiền cân dối đ ổng chất. T im xác
suấl để xuất hiện đ ú n g hai mật sấp.

T . G iả sứ có 10 k h á ch hàng vào một cửa h àn g có 3 q u ầy , mỗi
người chi tới một quầy. Tìm các xác suất:

a) Có 4 ngư ờ i đ ế n q u ầ y s ố 1;

b) Có 4 người đ ế n m ột q u ầ y nà o đó;

c) Cỏ 4 người đ ế n q u ầ y I và 3 người đến q u ầ y 2.

8. Một h ộ p có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Rút hú họa lần lượí ra 2
bi. Tiin các xác suất:

a) Có ít nhất m ột bi trắ n g ;

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

9*, Trong rạp c ó n chỗ ngồi và tất cả vé đã được bán hết. G iả
sử các khán giả n g ồ i hoàn toàn ngẫu nhiên. Tim xác suất để
khơng có khán giả nào ngồi đúng chỗ ghi trên vé của mình.

10’, Tim xác suất để khi rút hú họa ra u con bài từ một c ỗ bài
tú lơ khơ 52 con thì chúng có giá trị khác nhau (chẳng hạn nếu
có át thì chỉ c ó một con á t...).

11 . Bài toán Ba-nắc: Một nhà toán học c ó trong túi 2 bao
diêm, mỗi bao có n que. Mỗi khi cần diêm anh ta rút hú họa một
bao. Tìm xác suất sao cho khi nhà toán học lần đầu rút phải bao
rỗng (đã hết diêm ) thì trong bao kia còn lại k que { k = 1 , 2 , /ỉ).

12. Bỏ ngẫu nhiên 6 lá thư vào 6 phong bì đã viết tên của 6
người nhận. Tính các xác suất:

a) Cả 6 lá thư đ ú n g địa chí;
b) Lá thư thứ nhất đúng địa chí;

c) Chỉ có m ộ t lá t h ư đ ú n g địa chí;

d) Chỉ lá Ihư thứ nhất đúng địa chì.

13. X ác định x á c suất để phương trình y + l a x + b = 0 có
nghiệm thực, nếu c á c hệ số a và h được ch ọn đồn g khả năng từ
hình vu ơn g a < 1, b < ì .

14. Hai người hẹn gặp nhau trước cửa nhà hát từ 10 g iờ đến
10 giờ 30 với quy định người đến trước chờ người kia trong vịng
10 phút, nếu khơng gặp thì bỏ đi. Tính xác suất để họ gặp được
nhau, biết rằng m ỗi người có thể tới điểm hẹn vào một thời điểm
bất kỳ trong khoảng thời gian trên.

15. Bài toán Buy-phông; Trên mặt phẳng đã kẻ sẩn các đường
thẳng song song cách đều nhau một khoảng c ó độ dài 2a g ie o
ngẫu nhiên một ch iếc kim dài 21 ụ < a). Tính xác suất để ch iếc
kim cắt một đường thẳng nào đó.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

§ 1.3. CƠNG THỨC N H Â N V À CỘNG XÁC SUẤT
1.3.1. T ó m tát lý thuyết

1.Ta bắt đầu bằng khái niệm xác suất cố điều kiện, ký hiệu là

p { a b ) và được hiểu là xác suất xuất hiện sự kiện A biết rằng đã

xuất hiện sự kiện B (ngoài bộ điều kiện gốc). N ó i chung

p ( a \ b ) : a P { a ) . Xác suất có điều kiện có các tính chất như xác

suất bình thường.

Sự kiện A được gọi là độc lập với B nếu p [a b)= P{a ). Chú ý
là độc lập có tính tương hỗ và dược định nghĩa thông qua xác suất.

2. Công thức nhân xác suất:

p {a b ) - p {a)p (b \a ) = p{a )p (a I /i).

Có thể mở rộng dễ dàng cho trường hợp tích của nhiều sự kiện.
Dễ thấy một hệ quả đơn giản: nếu A và B độc lập thì

p{a b) = p{a )p {b ) .

3. C ông thức cộng xác suất:

p {a + b ) = p ( / l ) + p {b ) - p {a b ).

Ta c ũ n g c ó thể m ở rộng cô n g thức ch o trường hợp tổng nhiều

sự kiện . N ế u A và B xung k h ắ c ta c ó h ệ q u ả là

P{a + b ) = p{a ) +p {d).

4. Khi nghiên cứu một dãy các phép thử độc lập sao cho
trong mỗi phép thử sự kiện ^ X.UÍÚ hiện với xác suất bằng /;,

người ta hay q u a n tâm đến xác suất để A xuất hiện đ ú n g Ả lần, ký

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Đ ể ý rằng cô n g thức này có nhiều cách m ở rộng khác nhau.

1.3.2. Các bài giải mẫu

Bài 1. M ột tổ c ó 4 nam và 3 nữ. C họn liên tiếp ra hai
người. Tim xác suất để

a) Cả hai là nữ;

b) Có một nam, một nữ.

Giởi: Đặt Aị là sự kiện ch ọ n được nữ ờ lần /, và Bị là sự kiện

chọn được nam ở lần /, 7 = 1 ,2 .

a) Gọi A là sự kiện chọn được 2 nữ, đễ thấy A = A ị A2 và ta có

p ( / l ) = />{A, A , ) = />(/1, )/>(/!, I /1,) = ị I = i .
/ o /

b) G ọi B là sự kiện ch ọn được 1 nam , m ộ t nữ. C ó thể chứng

tỏ B = A ị B2 + B ^ A t D o các s ố hạng của tổ n g xung khắc;

P{b ) = F(A, 5 , ) + P{Bị A , ) ^ P { A , )p (b. I A, ) + P{B, )p {a ^ I )
_ 3 4 4 3 _ 4

~ l ' 6 7 ' 6 ~ 7 ‘

Bài 2. Có 2 hộp bút: hộp I có 2 bút đỏ và 10 xanh; hộp II có
8 đỏ và 4 xanh. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút, tìm xác
suất để có 1 bút xanh, 1 bút đỏ.

Giải: Ta gọi Aị là sự kiện chọn được bút đ ỏ từ hộp thứ 7 và B;

là sự kiện chọn được bút xanh từ hộp thứ i (/ = 1, 2). Theo đầu
bài để khi rút hú họa ra 2 bút c ó 1 xanh và 1 đỏ ta có 2 trường
hợp: Hoặc chọn bút xanh từ hộp I, bút đỏ từ hộp II, hoặc ngược
lại, từ đó xác suất cần tìm:

P{A,B, +

p

{

a

,B .)+ P{

a

.B, )=P{A,

)p(fí2)+ ^^(^2

)P{B

^)

A A 1 ^ - 1 1

1 2 '1 2 1 2 ' 1 2 ~ 1 8

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

(để ý là A, đ ộc lập với Bj. j ^ i, và Aị = B ị , A2 = B-, ).

Bài 3. Một phịng điều trị có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác
suất cần cấp cứu trong vòng một giờ của các bệnh nhân tương ứng
là 0,7; 0,8 và 0,9. Tim các xác suất sao cho trong vịng một giờ;

a) Có hai bệnh nhân cần cấp cứu;

b) Có ít nhất một bệnh nhân kh òng cần cấp cứu.

Giải: Đặt Aị là sự kiện bệnh nhân thứ / cần cấp cứu và ta đã có

P{A, ) = 0,7; P{A^ ) = 0,8; P{A, ) = 0 ,9 .

a) Gọi A là sự kiện có 2 bệnh nhân cần cấp cứu, dễ thấy có
thể xảy ra 3 trường hợp khác nhau và

Á — Aị + Aị At + Áị /4^.

Do tính xung khấc củ a các s ố hạng và tính độc lập của các Aị
(và A ị ) nên:

P ( a ) = p ị ^ ị A i Aị + j+ p A\A-ịA^ )

= P{A, )p{A^ ) p ự , y p { A , ) f ( ã ;)p {A, ) + p ( Ã )p{A, )

= 0,7.0,8.0,1 + 0,7.0,2.0,9 + 0,3.0,8.0,9 = 0,398.

b) Gọi B là sự kiện có ít nhất 1 bệnh nhân không cần cấp cứu,
dễ thấy ổ là sự kiện khơng có bệnh nhân khơng cần cấp cứu tức
là tất cả đều cần cấp cứu. Rõ ràng việc tính p {b ^ dễ dàng hơn
nhiều so với việc tính P { È ) , từ đó:

/ ^ ( ổ ) =1- f ( ổ ) = 1- /^(/11/12^ 3)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài 4. Biêì xác suất để một học sinh thi dạt yêu cầu ở lần
ihi thứ i là /7,, {i - 1. 2). Tìm xác suất để học sinh đó đạt yêu cầu

trong kỳ thi biết rằng mồi học sinh được phép thi tối đa 2 lần.

Giải: Gọi A, là sự kiện học sinh đó thi đạt ở lần thi thứ ị,

còn A ~ thi dạt yêu cầu cứa kỳ thi. Dễ d à n g thây A = Aị + A^A-,.

D ù n g các c ô n g thức cộ n g và nhân xác suất có để ý đ ế n tính

độc lập và xung khắc, ta có:

P { A ) = f'(A, + Ạ /\2 )= F(A, ) + p [ Ã ị A j)

P { A , ) ^ p {Ã^F{A.) p , ^ { \ p , ) p ,

-Bài 5. Mộ! lò hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 5 phế

phẩm. Ló hàng đươc chấp n h ậ n nêu ch ọ n hú họa ra 50 sàn phẩm
đế kiểm tra thì sỗ p h ế p h ẩ m k h ô n g quá 1. Tim xác suất đ ể lô
hàng được c h ấ p nhận.

Giài\ Gọi A là sư kiên ló hàng được chấp nhận, Aị - trong số

50 sàn phẩm chọn ra có i phế phẩm (/ = 0, 1), từ đó /4 = /4(1 + y4|.

Do A,i và .4| xung k h ắ c nên:

c

'50100

B ài 6. M ộ t ngư ờ i viết /ỉ bức t h ư cho lì người bạ n . A n h ta bỏ

mỗi lá thư vào một phong bì rồi viết hú họa một địa chỉ nào đó
của /7 người bạn lên phon" bì đó (các địa chí chí đề một lần và
khác nhau), Tim xác suất sao cho có ít nhất một bức thư đúng với

địa chỉ trôn phong bì.

Giải: Gọi A, là sự kiện bức Ihư thứ i đ úng địa chí (í = 1 , 2 ,
/;). khi đó xác suất phái tìm là:

p

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

D o các A, không xung khắc nên ta phải dùng công thức cộng
xác suất tổng quát. Ta có: P { A ị ) = — =

n n !

/1 , ) = /■(A,)/>(/!, I/ 1 , ) = - . .
/ 7 / 7 - 1 /7!

p (a,a ,a , ) ^ f (a ,)p (a^ | a H a , I ạ /1 ) = ...

/?!

P{ A,A , .../!„) = I>(A,)p(a , I/ 1 , p (a „ IA , A , . . . A„_,) = 1

/71

Á p dụng c ô n g thức:

Vỉ-1 / i<j

ỵ p ( A ^ A ị A , ) - . . . + { - \ Ỵ - ' l Ì A , A , . . . A „ )
i< j<k

nl / / ! lỉl Iil

2! 3! ni

1

N ếu II khá lớn xác suất cần tìm « 1 
-e

Bài 7. Chọn hú họa ra một quân cờ tướng từ một bộ cờ gồm
32 quân. Gọi A là sự kiện rút được quân tướng, còn B là sự kiện
rút được quân cờ đen. Hỏi A và B có độc lập không?

Giải: Chú ý bộ c ờ tướng có 32 quân gồm 16 đen và 16 trắng,

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

p {a ) = />(/}) = 1 ^ = 1 .

^ 32 16 ^ ^ 32 2

Mặt khác sự kiện rút được một con tướiig đen là A B và

P{AB) = — = P{a )p {b) nên A và B là các sư kiên đôc lâp.

Bài 8. Xác suất để một thiết bị bị trục trặc trong một ngày
làm việc bằng a = 0,01. Tim xác suất để trong vòng 5 ngày máy

làm việc tốt.

Giải: Ta coi thiết bị làm việc trong ngày này độc lập so với

ngày khác, như vậy xác suất để nó làin được tốt trong 5 ngày sẽ

bằng tích c ủ a xác suất làm việc tốt trong từng n g ày , từ đ ó xác
suất c ần tìm là:

(l - ơ ) ' ^ = (l - 0 , 0 1 ) ' ’ sí 1 - 5 a = 0,95 (do a r ấ t bé).

Bài 9. Một thiết bị có 10 chi tiết với độ tin cậy (xác suất làm
việc tốl trong một khoảng thời gian nào đó) của m ỗi chi tiết là
0,9. Tim xác suất để trong khoảng thời gian ấy;

a) Có đ ú n g m ộ t chi tiết làm việc tốt;

b) Có ít nhất hai chi tiết làm v iệ c tốt.

Giải-. D ù n g c ô n g thức B é c - n u - l i với lĩ = ỈO, p = 0,9.
a) X á c su ấ t c ầ n tìm là: /^,„(l) = c , ' „ 0 , 9 ' . 0 , r ’ = 0 , 9 . 1 0 \
b) X ác suất cần tìm là:

1

- (p,,, (o) +

/^,0

(l)) =

1

0

1

- c ; , 0 ,9 '.

0

1

'^ =

1

- 0 ,9

1.1

o v

Bài 10. G ieo 5 lần một đồng tiền cân đối đồng chất. Tìm xác

suất xuất hiện;

a) Đ ú n g 1 lần mặt sấp;
b) H a i l ầ n m ặ t sấp;

c) íl n h ấ t m ộ t lầ n m ặt sấp.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Giải: X ác suất để xuất hiện mặt sấp (hoặc mặt ngửa) bằng
1/2.

32 b) p , ự ) = c

16

c ) Ta tính qua sự kiện đ ối lập là khơng c ó xuất hiện mặt
sấp tức là cả 5 lần đều mặt ngửa, từ đó xác suất cần tìm bằng
(chú ý 0! = 1 theo quy ước)

I - Q

v 2 .

1 31

32 32

B à i 11. Tỷ lệ p h ế phẩm của một lô hàng là 1%. Hỏi cỡ mẫu
cần c h ọ n ra là bao nhiêu (chọn có hồn lại) sao cho với xác suất
> 0 ,9 5 trong mẫu đó c ó ít nhất một phế phẩm?

Giải\ G iả sử mẫu chọn ra c ó kích cỡ là /ỉ và viêc chọn ra I

sản phẩm c ó hồn lại là m ột phép thử B éc-n u-li độc lập với p 
-0 ,-0 1 . X á c suất để trong mẫu c ó ít nhất một p hế phẩm sẽ là:

= 1 - 0 , 9 9 ' ' .
Theo đầu bài yêu cầu

1 - 0,99" > 0 ,95 » 0,05 > 0,99" => In 0,05 > ìì In 0,99
In 0,05

n > > 2 9 6 .
In0,99

B à i 12. Một bác sĩ chữa bệnh c ó xác suất chữa khỏi là 0,8.
C ó người nói rằng cứ 5 người đến chữa thì có chắc chắn 4 người
khỏi bệnh, người khác lại c h o rằng trong 10 người đến chữa có
chắc chắn 8 người khỏi bệnh. Đ iều đó đúng không?

Giải: Cả hai người khẳng định đều sai. X á c suất xảy la

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

p^(4) = c ^ 0 , 8 ^ 0 , 2 ' = 0 , 4 0 9 6 .
Còn xác suất x ả y ra trường hợp thứ hai

F,o(8) = C ,V 0,8^ 0,2- * 0 ,3 0 1 8 .
1.3.3. Bài tập

1. Cho biết các xác suất P{A), P(B). và P(AB). H ãy tìm các
xác su ấ t pÍa b ) và P\ B A .

\ / V /

2. Chứng minh rằng nếu A và B độc lập thì các cặp sự kiện
sau cũng độc lập: a) A và B : h ) A và 5; c) A \'ÌL B .

3. M ộ t cậu bé có 20 viên bi trong đó có 12 đỏ và 8 x a n h . M ộ t

hôm cậu thấy mất một viên bi. Tim xác suất để nếu rút hú hoạ ra
một viên ta thu được viên bi đỏ.

4. Có 3 xạ thủ độc lập bắn vào một bia với xác suất trúng
đích của từng người tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,9. Tìm xác suất:

a) Có đúng m ột người bắn trúng;

b) Có n h iề u n h ấ t hai người bắn trúng.

5. X ác suất để lập kỷ lục quốc gia trong lần nhảy ca o thứ ị
cửa một vận đ ộ n g viên là p. Tìm xác suất để vận động viên đó
iập kỷ iục quốc gia trong một cuộc thi chí cho phép m ỗi người

được n h ả y 3 lần.

6. Một cầu thủ ném bóng vào rổ cho đến khi nào trúng rổ thì
thơi. Tun xác suất để cầu thủ đó dừng ném ở lần ném thứ 4, biết

rằng xác suất ném t r ú n g ở mỗi lần ném là 0,4.

7. Cần phải c h ọ n bao nhiêu số từ bảng số ngẫu n h i ê n sao c h o

với xác suất không bé hơn 0,9 ta có ít nhất một số chẵn.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Trong thời gian có dịch, cứ 100 người bị dịch ở vùng dân
cư c ó 10 người phải đi cấp cứu. Xác suất gặp một người phải cấp
cứu vì dịch ở vùng đó là 0,08. Tim tỷ lệ mắc bệnh dịch của vùng

dân c ư trên.

9 * . X ếp ngẫu nhiên n quyển sách vào k ngăn k éo { n > k \
Tim xác suất để ngăn kéo nào cũng có sách.

10. Khi quay một số điện thoại bạn quên mất s ố cuối. Giả sử
quay s ố đó một cách ngẫu nhiên, tìm xác suất để ch o bạn quay
đúng s ố máy mà không phải quay quá 3 lần.

11. Một gia đình có 4 con. Tim xác suất sao cho trong số đó
(giả sử xác suất sinh con trai là 1/2):

a) Có hai con trai;

b) K hôn g quá một con trai.

12. Tín hiệu được phát 4 lần với xác suất thu được của mỗi

lần là 0,4.

a) T im xác suất nơi thu n h ậ n được tín hiệu đó;

b) N ếu m uốn xác suất thu được tín hiệu k h ô n g bé hơn 0,95
thì phải phát bao n h iêu lần?

13. Một mạng điện gồm 3 bóng m ắc nối tiếp nhau với xác
suất ch á y bóng của mỗi bóng đều bằng p. Tim xác suất để
m ạng điện không làm việc (giả sử dây tốt và đầu vào ln có

điện). C ũ n g câu hỏi như vậy cho m ạ n g điện gồm 3 b óng mắc

song song.

14°. X ác suất để một xạ thủ bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn
bằng 0,4. Xác định xác suất mục tiêu bị diệt sau 3 lần bắn độc

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

1.4. C Ô N G THÚC XÁC SUẤT Đ Ầ Y đ ủ v à B A Y -É T

1.4.1. T ó m tát lý thuyết

1. Đ ầu tiên ta đưa vào khái niệm n h ó m đ ầ y đĩì các sự kiện.
N hóm các sự kiện Aị. Ẩ,, A „ ị i ì > 1) được gọi là một nhóm
đầy đủ nếu nó thoả mãn:

A ị A ị = V; \ / ì ^ j (xung khắc từng đôi),

A ị + Aj + ... + Aii = u .

N h óm đầy đủ bé nhất có hai sự kiện, chẳng hạn nhóm A và A .
2. N ếu ta c ó một nhóm đầy đủ các sự kiện, thì với một sự
kiện H bất kỳ;

P(H) = ị p ( A , ) p { H | A , ) ,
i -1

Biểư thứ c trên có tên gọi là cơng thức xác s u ấ t đ ầ y dù.

3. Với diều kiện trên, xác suất để xuất hiện sau khi xuất
hiện H được tính theo cỏiìg thức Bay-éỉ:

Ỳ p {aM h \a,)

/=1

N g ư ờ i ta th ư ờ n g gọi P{Af_ h ) là x á c s u ấ t h ận n g h i ệ m , c ò n

là x á c s uấ t tiên Iiíịlìiệm c ủ a /4^. C h ú ý là Aị^ là m ộ t
th à n h viên c ủ a n h ó m đầy đủ giả thiết.

1.4.2. C á c bài giải m ẫ u

Bài 1. M ơ í xí n g h iệp có 2 p h â n x ư ở n g với các tỷ lệ p h ế
p h ẩ m tương ứng là 1% và 2% . Biết r ằ n g p h â n xưởng I sản xuất
4 0 % , còn phân xưởng II - 6 0 % sản phẩm.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

a) Tim xác suất đ ể lừ kho x í ngh iệp chọn ngẫu nhiên được
1 phế phẩm.

b) Giả sử lấy được 1 phê phẩm, tìm xác suất để nó do phân
xưởng I sản xuất ra.

Giái: G ọi Aị và /I

2

là sự kiện lấy ra 1 sản phẩm của phân

xưởng I và II tương ứng, rõ ràng ta c ó m ột nhóm đầy đủ. Gọi

H ià sự kiện lấy ra được 1 p h ế phẩm.

a) Theo c ô n g thức xác suất đầy đủ

P { H ) = P{A, ) p { h \ A , ) + F ( a , ) p ( h ị A, )
= 0 , 4 . 1 % + 0 , 6 . 2 % = 1,6%

Đ ó cũ n g ch ín h là tỷ lệ phế phẩm chung của x í nghiệp.

b) Sự kiện cần tính xác suất là Aị với điều kiện đã xảy ra
H. T h eo c ô n g thức Bay-ét:

p ( a /1)

0 ,

4 %

1

/=1

B ài 2. Có 3 hộp bi giống nhau: hộp I chứa 20 bi trắng; hộp II
- 10 bi trắng và 10 bi đen; còn hộp III - 2 0 bi đen. C họn hú họa
ra một hộp và từ đó rút hú họa ra được viên bi trắng. Tim xác
suất đó là viên bi của hộp I.

Gidi: N h óm đầy đủ gồm 3 sự kiện Aị, / = I, 2, 3, ký hiệu cho

việc chọn ra các hộp thứ / tương ứng. D ễ thấy P{Aị) = P{A2)

-P{A^) = 1/3. Gọi H là sự kiện rút được bi trắng và ta có

p { h A ])= I (xác suất để rút đượG bi trắng từ hộp I);

p {h \ A 2 ) = \ / 2 - , p [h /1 3) = 0. T h e o c ô n g thức Bay-ét:

1.- .

p (a A h) =

---^ ^ 1 1 1 1 3

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 3. Một trạ m chí phát hai loại tín h i ệ u A và B với xác

suất lương ứng 0 ,8 4 và 0 ,1 6 . Do có nhiễu trên đường truyền

nên 1/6 tín hiệu A bị m éo và được thu n h ư là tín h iệ u B, c ị n
1/8 tín hiệu B bị m é o th à n h lín hiệu A.

a) T ìm xác suất th u được tín hiệu /4.

b) G iả sử th u đ ư ợ c tín hiệu ,4, lìm x ác suất đ ể thu được
đ ú n g tín hiệu lúc phát.

Giải: a) Gọi và Hịị là sự kiện tín hiệu A và B tương ứng đã

được phát, ta có P { H = 0,84; F{Hỵ) - 0,16; và c h ú n g tạo nên
nhóm đầy đủ. Gọi luôn A là sự kiện thu được tín hiệu A. T h e o
điều kiện đầu bài.

T h e o c ô n g thức xác suất đ ầ y đủ

F ( N ) = P { H , )p{a \ H , ) + pỌỉ, )p {a \ H, )

= 0 . 8 4 . - + 0.16.~ = 0,72.

6

8

b) X á c suất c ầ n t ìm c h ín h là p(h ^ a ), t h e o B ay-ét:

^ ^ 0 , 9 7 .
0,84.

p { ỉ ỉ , a )~- 6

0.72 36

Bài 4. M ộ t d â y c h u y ề n g ồ m 2 bộ p h ậ n nối tiếp, với xác
suất iàm việc tốt t r o n g m ột k h o ả n g tliời g i a n n à o đ ó c ủ a m ỗi
bộ p h ậ n tương ứng là P ị và p-,. ở một thời đ i ể m trong k h o ả n g
thời gian trên người ta Ihấy dây chuyền h ỏ n g (giả sử việc h ỏng
xáy ra chi do các bộ phận k h ô n g làm việc). H ã y tìm xác suất để
chi có bộ phận thứ nhất không làm việc.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Giái\ Do các bộ phận mắc nối tiếp nên chi cần một bộ phận

dừng là dây c h u y ề n hỏng. Có thề’ xảy ra 4 khả năng khác n h au :
A,|- cá hai bộ phạn lốt; A|- hộ phận I hỏng, bộ phận II tốt; bộ
phận II hỏng còn bộ phận 1 tơì và /1,- cả hai bộ phận hỏn g . Dễ
thấy: / ^ ( ạ , ) = ; P { A ị ) = { \ - p ị ) p . :

) = /^1 (l - P: )■ ) = (l - P\ X' - P2)
Sự kiện dây c h u y ề n h ỏ n g ký h iệ u là H, có;

p

(

h

/lo)=0;P(//

A^) =

p

(

h

A

j

) =

p

[

h

A . )= \ .

T h e o c ô n g thức Bay-ét:

p (a , h ) = 0 - P l ) P 2

( l - p , ) p 2 + P | ( 1 - / 7 , ) + ( 1 - / 7 | X 1 - P 2 )
_ 0 - Pi ) p i

Bài 5. Cặp sinh đôi được gọi là thật nếu do cùng m ột trứ n g
sinh ra và trong trường hợp này bao giờ cũng cùng giới tính. N ếu
cặp đó do các trứng khác nhau sinh ra thì xác suất để cặp c ù n g
giới tính là 1/2. N ếu biết m ột cặp trẻ sinh đơi có cùng giới tính
thí c h ú n g là cặp sinh đôi thật là bao nhiêu, biết rằng xác suất đê
cặp sinh đôi do c ù n g một trứng sinh ra bằng p (trên tổng s ố tre
sinh đôi)?

Giái: Gọi Aị- sự kiện cặp sinh đôi thật (cùng do một trứng
sinh ra) thl A t = A| là sự kiệii đối lập (do 2 trứng sinh ra).

F{A^) ^ p\ PiA,) = ì - p .

Gọi /7 là sự k i ệ n c ặ p sinh dơi có c ù n g giới tíiih, de ihấy

2 '
T ừ đó theo Bay-ét;

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

f (a , / / ) =

B à i 6*. Tại m ột p h ò n g k h á m c h u y ê n k h o a , tỷ lệ người đ ế n
k h á m c ó b ệ n h là 0,8. Người ta áp d ụ n g phương p h á p c h ẩ n

d o á n m ớ i thì th ấ y nếu khẳ ng dịnh có b ệ n h thì đ ú n g 9 trê n 10
trư ờ n g hợp; c ò n nếu k h ẳ n g đ ịn h k h ô n g b ệ n h thì đ ú n g 5 t r ê n 10
trư ờ n g hợp. H ã y tìm các xác suáì;

a) C h ẩ n đ o á n có bệnh;
b) C h ẩ n đ o á n đúng.

Giải: G ọ i B là sự kiện người k h á m có b ệ n h thì B - ngư ờ i
k h á m k h ô n g m ắ c b ệ n h \’l\ P{B) — O.Ị>\ p {b )= 0,2. G ọ i A là sự

k iện c h ẩ n đ o á n có bệnh, khi đó A sẽ là sự k iệ n c h ẩ n đ o á n
k h ô n s b ệ n h . T h e o bài ra:

f {d I /\) = 0.9; p(b I ã ) = 0.3 = I ^ ) .

a) Do A và Ã tạo nên n h ó m đ ầ y đ ù n ê n theo c ô n g thứ c x á c
suất đ ầ y đù

P{b ) = P {a )p (b \a )+ P ụ ) p ( B |Ã).
Thay số và để ý /^(ã)= 1 - F{a ) la có

0.8 = /^(a).0,9 + (l - P { Á ) ) ữ 3

^ f-(/\) = 0.75.

b) G ọi / / là sự kiện c h ẩ n đ o á n d ứ n g và do A và A t ạ o n ê n
n h ó m đ ầ y đủ nên:

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Mà

P { h ) = P { a ) p ( h I ẩ ) + / ^ ( ; 4 ) p ( / / | Ă )

p { h I a ) = Ia ) : p ( h \ ã ) = p ( ổ Iã )
^ P{h ) = 0,75.0,9 + 0,25.0,5 = 0,8.
1.4.3. Bài tập

1. M ộ t p h â n x ư ở n g có 3 m áy tự động: m áy I sản xuất 25%,
m á y II - 3 0 % và m á y III - 4 5 % sản phẩm. Tỷ lộ p h ế phẩm tương
ứng c ủ a c á c m á y là 0,1% ; 0,2 % và 0,3%. C họn ngầu n h iên ra 1
sản p h ẩ m c ủ a p h â n xưởng, tìm các xác suất:

a) N ó là p h ế p h ẩ m ;

b) P h ế p h ẩ m đ ó d o m á y t h ứ nhất sản xuất.

2. ở m ộ t v ù n g c ứ 100 ngư ờ i có 30 ngư ờ i hút t h u ố c lá. Biết
r ằ n g tỷ lệ n g ư ờ i bị v i ê m h ọ n g t ro n g s ố người hút t h u ố c là là
6 0 % , c ò n t r o n g s ố n g ư ờ i k h ô n g hút là 30%. K h á m n g ẫ u n h iên
m ộ t n g ư ờ i thì t h ấ y a n h ta v i ê m h ọng; tìm xác suất ngư ờ i đó
h ú t t h u ố c . N ế u n g ư ờ i đó k h ơ n g bị viêm h ọ n g thì xác suất để
đ ó là n g ư ờ i h ú t t h u ố c b ằ n g b a o n h iêu ?

3. C ó 2 lô g ồ m 10 và 8 sản phấm, trong đó m ỗi lị có 1 phế
p h ẩ m . L ấ y ra m ột sản p h ẩ m từ lô thứ nhất bỏ vào lơ thứ hai, sau
đó từ lô n à y lấy ra m ộ t sản phẩm. Tính xác suất đê’ sán phẩm lấy
ra là p h ế phấm .

4. N ế u thời tiết tốt x ác su ấ t để m á y b a y hạ c á n h an toàn là
P ị . T r o n g t r ư ờ n g h ợ p thời tiết xấu, m á y bay sẽ hạ c á n h lự đ ộng
n h ờ t h i ế t bị d i ề u k h i ể n với x á c suất làm việc tốt là p. N ế u Ihiêt

bị hoạt đ ộ n g tốt, x á c suất hạ cánh an toàn cũng là nêu nó

k h ơ n g h o ạ t đ ộ n g thì x ác su ấ t h ạ c á n h an to àn c ú a m á y ba y là
/?2- T ì m x á c su ấ t đ ế m á y b a y h ạ c á n h an toàn nếu biết r àn g có

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

5. M ột c ô n g nhân đi làm ỏ' thành phố khi trở về n h à c ó hai
cách; h o ặ c đi theo đường ngầm hoặc di qua cầu. Biết r ằ n g ô n g ta
đi lối đ ư ờ n g n g ầm trong 1/3 các trường hợp; còn lại đi lối cầu.
Nếu đi lối đườ ng ngầm 75% trường hựp ô n g ta về n h à trước 6
giờ; c ò n nếu đi lối cầu thì chí có 70% trường hợp (n h ư n g đi lối
cẩu thíc h hơn). Tìm xác suất để cơ n a nhân đ ó đã đi lối c ầu biết
rằng ô n g ta về nhà sau 6 giờ.

6. Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một phát với xác suất trúng
đích của m ỗi người tương ứng 0,7; 0,8 và 0,9. Người báo bia thơng
báo có hai viên trúng; tìm xác suất để anh th ứ nhất đ ã bắn trúng.

7*. Tại m ộ t b ệ n h viện tỷ lệ m ắ c b ệ n h A là 15%. Đ ể c h ẩ n
đ o á n x ác đ ị n h người ta làm p h ả n ứng m i ễ n d ị c h , n ế u k h ô n g bị
b ệ n h ihì p h ả n ứng dươ ng tín h chí có 10%. M ặ t k h á c biết r ằ n g
khi p h ả n ứng là dươ ng tính thì xác suất bị b ệ n h là 0,5.

a) T ìm xác suất phản ứng dương tính của n h ó m có bệnh.
b) T ì m x á c suất c h ẩn đ o á n đúng.

8*. Hai người thợ cùng m ay một loại áo với xác suất đ ể m a y
được sản p h ẩm có chất lượng cao tương ứng là 0,8 và 0,9. Biết có
m ột người khi m ay 6 áo thì có 5 sản phẩm c h ất lượng cao. T im
xác suất để người đó m ay 6 áo nũa thì có 5 á o chất lượng cao.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

ChưoTig II

B I Ế N N G Ấ U N H I Ê N V À L U Ậ T P H Â N P H Ố l
X Á C S U Ấ T

§2.1. B IẾ N N G Ẫ U N H IÊ N RỜI RẠC,
LUẬT NHỊ THÚC VÀ P O A - X Ơ N G

2.1.1. T ó m tát lý th uyết

1. C ó thể coi hiếiì Iigẫii ìilìiéiì là biến s ố n h ậ n các giá trị nào
đó m à ta k h ô n g thể xác đ ịn h trước. Biến n g ẫ u n h iên sẽ được gọi
là rời rực nếu tập c á c giá trị c ủ a nó là hữu h ạ n hoặc vô hạn đếm
được. T r o n g trườ ng h ợ p tập giá trị này lấp kín m ột đ o ạ n trên trục
số thực, ta có biến n g ẫ u nhiên liên íực.

N h ư vậy đ ể x á c đ ị n h m ộ t biến ngẫu n h i ê n , ở đ â y là biến sỏ'
rời rạc, việc chí biết tập các giá Irị c ủ a n ó ià c h ư a đ ủ . Ta còn
phải biế t được l i i ậ l plìáiì p h ổ i x á c SIÍCÍI, n ó x á c đ ị n h m ố i q u a n
hệ g iữ a c ác oiá trị c ó thể c ủ a biến Iigẫu n h i ê n với c á c x á c suất
tư ư n g ứng. Đ ể x ác đ ị n h luật phân phối c ủ a b i ế n n g ẫ u n h i ê n rời
rạc, la phải tìm đ ư ợ c b á n g phán phôi xác suất:

■V, A7 x„

p. Pl Pi p„

I rong đ ó nêu ta k ý hiệu biến n s ả u n h i ê n là X, c á c giá trị có thể
c ủ a n ó là .V, ( / = 1, 2 , . . . ) thì:

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

(trong trường hợp tập giá írị là vô hạn đếm đưọ’c ta thay n - co).

Đ ể Ý rằng c ó ihể biểu diỗn quy luật phân phối này bằng đồ thị
với Irục hoành là các giá Irị của X còn trục t u n s là các xác suất
iương ứng - la sẽ có inộí dỉíỜỊìg pììcììì phổi gấp khúc.

2. Luật p h â n phối xác suất củ a biơìi n g ẫ u n h i ê n rời r ạc X

hay g ặ p là hiật ỉỉlỉị ĩlìức - kv hiệu là X p), t ro n g đ ó X

biểu thị số lần xuất h iện sự k iệ n ;4 nào đó Irong dãy // p h é p t h ử
độc lập B e c - n u - l i (xác suất đế xuất hiện A t r o n g m ỗi p h é p th ử
là p). N h ắ c lại

/^(x = .v) = c , ( ^ - = : 0 , l „ . . , / 7 ) .
C h ẳ n g h ạ n n ế u n = 12; p = 0 ,4 Ihì;

p [ x = 5 ) = /^,2(5) = C f . , 0 , 4 \ 0 , 6 ^ « 0.22703.

Ta có Ihể xác đ ị n h xác suất tích luỹ

P ( X < . x ) = Ỵ ^ P ( X = x,).

N h ư trong ví dụ trên:

< ố ) = Ỳ , ~ 1.

,v = {)

K hi n khá lớn và p bé, việc tìm xác suất t ư ợ n g ứng sẽ được xét
ở rnục 2.4 sau này.

Ta có t h ể đ ị n h n g h ĩa Ỉ L i ậ l P oa- xơỉ ì ^ c ủ a một b iế n n g ẫ u

n h iê n X. kv h iệu X ) i?i là th a m S(5, giốHR n h ư n và p

c ủ a phân phối nhị thức):

/>(,Y = . v ) = Ẩ ' .v = 0 , l , 2 ...

A - !

Chú ý khi p k h á bé và n khá lớn c ò n g th ứ c Bec-nu-li c ó g iá
ti ị gán vói c ơ n ” ihức P o a - x ô n g ở trên với Ằ - np . L uậ t P o a

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

x ô n g có ứng d ụ n g r ộ n g rãi t ro n g lý t h u y ế t p h ụ c vụ đ á m
đ ô n g . . . N goài r a n g ư ờ i ta c ũ n g sử d ụ n g n h i ề u lu ậ t p h â n phối
rời lạc k h á c n ữ a n h ư luật h ìn h học, luật siêu h ì n h , lu ậ t nhị
thức â m . . .

2.1.2. C á c bài giải m ẫ u

Bài 1. Mộl xạ th ủ có 3 viên đạn được yêu cầu bắn từng viên
cho tới khi trúng thì dừng bắn. Tìm bảng phân phối xác suất của
số đạn đ ã bắn, biết r ằ n g xác suất bắn trúng của mỗi lần bắ n là 0,6.

Giải-. Gọi X là s ố đ ạ n đã dùng, dễ thấy X c ó 3 giá trị là 1, 2 và
3. N ế u gọi /4, là sự k iệ n viên thứ i đã trúng (/ = l, 2, 3), ta có

p { x = [) = P { A ị ) , p { x = 2 ) = p { Ị \ A .) và p { x = 3) = p {Ã^ ẩ T

(lưu ý t ro n g t r ư ờ n g h ợ p X = 3 viên th ứ 3 có th ể t r ú n g h o ặ c

1 2 3

p, 0,6 0,24 0,16

Có thể biểu d i ễ n luật này
b ằ n g đ ồ thị ( x e m h ì n h 2.1)

Pi

0.6

2 3 X,

Hình 2.1

Bài 2. T ừ m ột lô gồm 100 sản p h ẩm , Irong đó có 10 p h ế
p hẩm , người ta c h ọ n hú họa ra 5 sản p h ẩ m để k iể m Ira chất
lượng. L ập b ản g p h â n phối xác suất c ủ a s ố p h ế p h ẩ m Irong sỏ'
sản pliẩm chọn ra.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

1100

Với độ chính xác cỡ 0,001; ta có bảng sau:

0

1 3

A 0,583 0,340 0,070 0,007 0,000 0,0 0 0

Cần chú ý rằng

p { x

= 4 ) =

p { x

= 5) = 0 khơng có n gh ĩa là
không thể xảy ra sự kiện có 4 hoặc 5 phế phẩm trong lô hàng, ở
đây các sự kiện ấy rất khó xảy ra trên thực tế do xác suất của
chúng quá bé.

B à i 3. Tiến hành các xét n gh iệm độc lập ch o đến khi c ó kết
quả dương tính. Gọi X ià số xét nghiệm đã tiến, hành và biết
rằng x á c suất dương tính c ủ a m ỗi xét nghiệm là 0 ,5 . Tìm:

a) Báng phân phối xác suất của X;

b) Đ ổ thị p h â n phối;

c) Số xét n g h iệm có xác suất lớn nhất.

Giải: a) G i á trị cúa X sẽ là 1, 2, 3, ... Dỗ t h ấ y

p { x = i) = g ' 'p vói p - 0.5 vầ q = i - p - 0.5; từ đó;

1 2 3

-.V /7

p, 1/2 \ p j 1/2^

b) Đ ồ thị p h á n pliối trên p ị

h ìn h 2.2.

c) Sỏ xét n a h i ẽ m có k h á Qr
n ã a g xuấi h iện lóìì nhâì (số
c h ắ c c h ắ n n h ấ t) là 1.

[Ị7

Hình 2. 2

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Bài 4. Một kỹ sư kiểm tra chất lượng theo quy trình như sau:

từ m ỗ i lô h àn g lớn lấy hú họa ra 15 sản p h ẩm đem kiểm (ra, nếu

tất cả đều tốt thì lơ hàng được chấp nhận, nếu ngược lại lô hàng
được trả lại để kiểm tra toàn bộ. Biết rằng tv lệ chính phẩm của
hàng hố là 0,95; tìm xác suất để lô hàng không được chấp nhận.

Giải: Gọi A là sự kiện lô hàng không được chấp nhận. Do lô

hàng rất lớn nên có thể coi 15 sản phẩm được chọn ra là dãy 15
phép thử độc lập và nếu ta chọn p - 0 ,9 5 và gọi X là s ố lần xuất
hiện sản phẩm tốt thì X~Jíỹ(l5; 0 ,9 5 ) và

PịA) =

1 - p ( ã ) = ì

- P ( X =

ỉ

5)=

1 - c , '1(0,95)'^(o,05)° « 0,5367.

Có thể làm cách khác; chọn p = 0,05 và gọi X là số lần xuất hiện

sản phẩm tồi 0,05) và

P ị A ) = 1 - p ( x = o ) - 1 - C ; ’5(0,05)'’(0,95)'" * 0.5367.

Có thể thấy quy trình kiểm tra này không được tin cậy lắm.

Bài 5. Một máy tiện tự động có xác suâì sản xuất sản phẩm
đạt yêu cầu là 0,9. Xác định xác suất để trong 5 sản phẩm chọn
ngẫu nhiên của máy tiện đó có 3 sản phẩm đạt yêu cầu.

Giải: Gọi X là số sản phẩm đạt yêu cầu trong số 5 sản phẩm

chọn ra thì có thể cho rằng 0,9). Từ đó:

p { x =

3) = C^.0,9^0,12 = 0,0729 .

B à i 6. M ột lô hàng có 1% là p h ế phẩm. Tun xác suất để khi

chọn ra 50 sản phẩm từ lò hàng trên ta có:

a) Tất cả sản p h ẩ m đều tốt;
b) Có 1 p h ế phẩm .

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Q írO '(1.3

a )

p ( x

= o) = ^ 0,607.

0

A c 1 ^-í),5

b )

p i x

= l) = --- ^ 0,303.

1 !

B à i 7*. Tiến hành một dãy phép thử Bec-nu-li (trong mỗi
phép thừ sự kiện A xuất hiện với xác suất p). Gọi X l à biến ngẫu
nh.ên chí số lần không xuất hiện /l trước lần đầu tiên xuất hiện
A. Xác định luật phân phối của X. Hãy mở rộng cho trường hợp X

là iố lần không xuất hiện A trước khi có lần xuất hiện thứ r của A

(/■= 1 , 2 , ...).

Giái: Nếu X là số lần khơng có /4 trước lần xuất hiện A đầu

tiéa, ta thấy có X + 1 phép thử Bec-nu-li và X có c á c g iá trị 0, 1,

2 ,... Luật phân phối xác suất của X c ó Ihê biểu diễn bằng:
p { X = x) = p { x ) = p { l ~ p Ỵ . x = 0.1....

Đ ó chính là luật phân phối hình học và thường được ký hiệu

là

~ A

p

)-T r o n g trường hợp X l à số lần khơng có /4 trước khi xuất hiện /\
lần th ứ /■(/■= 1 , 2 . ... ) ta có phân pliối nhị thức âm và được kv
hicu X- cy / . í ổ ' ( r, /->). Dẽ ihấy miền aiá trị của X c ó ihể là 0, 1, 2. ..

và đ ể X c ó giá trị .V ta phải tiến hàiih .V + /■ phép thử, 110112, đó phép
thừ cuối cùng có /4 XLIŨÌ hiện lần thứ r. Cịn r - 1 lần xuất hiệi!
trước đó cúa /4 cùng với .V lần khỏỉig xuất hiện A có thổ ùaọc
“ xếp” n g ẫ u nh iên (k h ô n g c h ú ý đến thứ lự) trong X + /- - 1 Ịiíiép

ihừ. T ừ đó:

p { x ,v) ^ p(.v) = c , ' , p' (l - p Ỵ . X = 0,1,2...
Đ â y là một ví dụ của phân phổi nhị thức âm trư ờ n g hợp tổng
quát, rõ ràng nếu /• = 1 ta có phân phối hìnli h ọ c n h ư là một
trường hợp riêng.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Bài 8. Tiến hành 1000 phép thử Bec-nu-li với xác suất thành
công của mỗi phép thử là 0 ,0 0 6 . Tim xác suất để s ố lần thành
công trong dãy phép thử Irên không nhiều hơn 9.

Giải: V iệ c tính theo c ô n g thức Bec-iiu-li khá phức tạp. Ta

lại dùng c ô n g thức xấp xí theo luật Poa-xơng. ở đây À = np =

1000.0,006 =

6 Ố.

và nếu so sánh với giá trị đúng tính theo luật nhị thức thì thấy

k h á c h í n h xác (g iá trị đ ú n g là 0 ,9 1 6 7 ).

2.1.3. Bài tập

1. Một xạ thủ bắn 3 viêrv đạn vào bia với xác suất bắn trúng
của mỗi lần bắn là 0,6. Tim bảng phân phối xác suất của s ố viên
đạn i úng bia.

2. G ieo đồng thời hai con xúc sắc. Gọi và X2 tương ứng là

số chấm xuất hiện trên con xúc sắc thứ nhất và thứ hai. Tim bảng
phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên sau:

a) y , = X, + X2 b) = X - X, c) r , = mcư (X,,x,).

3. Một ,cơ quan có 3 xe ô tô với xác suất bị hỏng trong ngày
làm việc của mỗi xe tương ứng là 0,01; 0,005 và 0,001. Tìm bảng
phân phối xác suất của số xe hòng trong ngày và dựng đồ thị

phân phối c ủ a nó.

4. Có hai cầu thủ lần lượt ném b óng vào rổ c ho đến khi nào

bóng trúng rổ thì dừng ném. Biêl rằng xác suất ném trúng ciui

mỗi người t ư ơ n g ứng là và P2 trong mỗi lần ném. Tini kiậl
phân phối xác suất của;

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

b) Số lần ném của cấu thủ thứ hai;
c) Sô lần ném của cả hai cầu thủ.

5. Một công nhân phải trông 4 máy. M ỗi máy trong 8 giờ làm
việc c ó thể dừng lại nhiều lần và tổng thời gian dừng là 1 giờ với
giá thiết là việc dừng m áy dồng khả nãng đối với thời điểm dừng.
Xác định xác suất để ở một thời điểm nào đó có:

a) 1 m áy làm việc;
b) 3 m áy làm việc.

6. Cho bảng phân phối xác suất sau của m ột biến ngẫu
nhiên X

0 1 2 3 4 5 6 7

p, 0 a 2a 2ơ 3a 2a^ la^+a

a) X ác định a; b) Tính p { x >

5

) và p { x <

3

); c) Tìm giá trị bé
nhất của

k

sao cho

p { x <

k)> 1 / 2 .

7. Một thiết bị gồm 100 chi tiết với độ tin cậy của từng chi
tiết là 0,98. Tim xác suất để ở một thời điểm nào đó (giả sử việc
hỏng của các chi tiết độc lập với nhau):

a) Có 2 chi tiết hỏng;

b) Có khơng ít hơn 2 chi tiết hỏng.

8. N gư òi ta chuyển 10000 chai rượu và o k h o với xác suất mỗi
c h a i bị vỡ khi c h u y ể n là 0,0005. Ì ì r n xác suất để sau khi c huyển

c ó 2 0 chai bị vỡ.

9*. Đi trên m ột đ o ạn đường núi trung bình trong 1 giờ gặp 60

ổ gà. Tim xác suất để trong 30 giây không gặp một ổ gà nào.
10. Một vùng dân cư có tỷ lệ người niăc bệnh sốt rét là 3%.

C ầ n c h ọ n ra ít nhất b a o nhiêu người để với x ác suất 9 9% trong số

đó c ó ít nhất 1 người mắc bệnh sốt rét.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

§ 2 .2 . B IẾ N N G Ẫ U N H IÊ N LIÊN T Ụ C
V À H ÀM P H Â N PHỐI X Á C SU ẤT

2.2.1. Tóm tát lý thuyết

1. Đ ể xác định luật phân phối xác suất của m ộ t b iến ngẫu
nhiên liên tục (và cả rời rạc nữa) người ta đưa v à o khái n iệ m
hàm p h á n p h ố i x á c s uất c ú a X.

F{x) = P { X < x) ;x ^ R .
Hàm này c ó các tính chất sau:

• 0 < F (a) < 1 .

■ F{x) kh ông g i ả m , tức là nếu A', < X, thì F(.V|)< F { x j ) .
Các hệ quả: p { a < X < /? )= F{cc) với X biến liên tụ c ,

p ị ^ x = Xq)= 0 với X b iến liên tục.

- f ( - o o ) = 0 ; F ( + o o ) = l .

2. N g ư ờ i ta c ũ n g đưa r a k h á i n i ệ m h à m m ậ t đ ộ x á c siiấr
(còn g ọ i là hàm phân phối x á c suất vi phân, khác với F{x) hàm
phân phối xác suất tích phân)

f { x ) = F'{x).

Hàm mật độ chi dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục. Các tính chất

của hàm này:

■ /(.'-)> 0.

+C0

- Ị f { x ) d x = l

- c o

p

Hệ q u ả c ủ a t í n h chất n à y p { a < x < 0 ) = f { x ) dx .
a

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

F{x) =

0.5

FM

2.2.2. C á c bài giải inẩu

Bài 1. Xác định hàm phân phối xác suất của biến ngẫu

n h iên À''trong bài 1 của mục 2.1.

Giâi: T heo định nghĩa hàm phân phối ta có ngay

0,

X < 1,

0 ,

6 ,

\<x <2 .

0.84, 2 < X < 3,

1, X > 3.

Đ ồ thị của hàm F{x) c ó dạng

bậc thang (x em hình 2 .3 ). 1 2 3 X

Hình 2. 3

B ài 2. Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên liên tục có
dạng:

0, JC < 0 ,

F{x) =

1 A' > n.

Hãy x á c định hàm mật đ ộ của X và vẽ đồ thị của F{x) và/(.v).

Giải-. T h eo định n g h ĩa hàm mật độ la có

Đ ồ thị của
F{x) và f{x)
vẽ trên hình
2.4 .

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Bài 3, Cho hàm mật độ của biến ngẫi! nhiên X c ó dạng

/ ụ ) =

<0 A' ể a ,b

c X G a, b

a) Xác định hằng sỗ c {a, h đã cho).
b) Tìm hàm phân phối F(.v).

Giải:

a) Theo tinh chất của hàm mật độ;

^ ' V 1

f { x ) d x -- cdx = cịp - a) = l => r — -— .

■ h - a

- c c tí

b) Hàm phân ph(5i tương ứng được xác định theo tính chẫt
của hàm mật độ

0, X < a,

. , v - a
F{x) =

b ~ a

.

a < x < b,
X > b.

Có thể xem đồ thị c ú a /(.v ) và F(x) trên hình 2 .5 . D o mật độ
phân phối xác suất như nhau trên toàn đoạn [a, h] nên phân
phối này được gọi là phân phối đều trên [a, /?] và được ký luẽu
Qí ia. />J •

b - a

fịx)

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Bài 4 C ho h à m p h ân pliối c ù a bièn n g ẫu nhiên X có d ạ n g

/ ' ' ( . \ ) = a + / ; a r c t g v ( - 03 < .V < +ot). Tìm í/, h và hàm mật đ ộ / ( . v ) .

Giải: D ù n s líiih chất của hàm phán phối ta có:

l í \ { b ĩ ĩ

lim [ a + I) c i r c l í Ị x ) = 0

ha>

a - =

0

a -h
0
h/r

1 1 „ I 1 ...

suy ra ii = “ ; b - ~ v i \ r (.V j = ..+ — arclg.v.

2 7T 2 7Ĩ

Việc tìm hàm mật độ khơng có sì khó;

/ ( . . ) = r ( , v ) =

7ĩ\ \ + A'

CÓ ĩhể xcm đồ ihị c ủ a các hàm này írẽn h ìn h 2.6.

Bài 5. Biến n g ẫ u n h iên X c ó hàm m ậl độ sau đây
0. .V < 1.

— v >l .

H ã y x á c d ị n h :

a) Hệ số /4;

b) lỉàiTi phân phối /-'(.v);

c) P{2 < x < 3) - xác suất X rơi vào klioảns (2,3);

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

d) Xác suất đ ể tro n g 4 phép thử độc lập biến X đcu k h ô n g lấy
giá trị trên k h o á n g (2,3).

Giải: a) V iệc xác định A dựa vào tính chất

4 - X '

f ( x ) d x = = Ị . Ta có = - ^ d \ - = - lim

I •

/ 4 , \

///;/ .4
V 1 ì
=> /\ - ỉ.

b) Từ tính c h ất c ủ a hàm mật độ

ío.

p{^) = ị f i ỉ ) dt = '

—co

.v - 1

A' < 1,

x > \ .

ĐỒ thị c ủ a c ác h à m trê n vẽ t ro n g lìình 2.7.

= /1,

c) P ( 2 < x < 3 ) = F ( 3 ) - F ( 2 ) = - - - = Ì .
3 2 6

d) X ác suất đ ể X k h ô n g rơi vào k h o ả n g (2,3) (k h ô n g lấy giá
trị trên k h o ả n g đ ó ) trong m ột phép th ử b ằ n g 1 - — = —, vây để

6 6

trong bốn p h ép t h ử bằng 5

6

0,48.

2.2.3. Bài t ậ p

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

2. Biến na;ẫu n h iên X được gọi là luân theo luật p h ân phối
mũ, ký hiệu lằ X ) nếu h à m m ậ t độ của nó có d ạ n g

0 ,

ac

X < 0.

A' > 0 ( ớ l à t h a m S ố ) .

F{x) =

H ã y x ác đ ịn h :
a) Hộ số í/;

b) Màm p h ân phối của X;
c) p { o < x < 0 ) .

3. Biến n g ẫ u n h iê n X có h à m m ậ t độ / ( x ) = a e ” '". H ã y xác
định: a) hệ s ố a\ b) P{X >0).

4. H à m p h â n phối R ê - l e có d ạ n g :
A - > 0
0, X < Q .

X ác đ ịn h : a) H à m m ật độ tư ơ n g ứng;

b) Xác suất để biến n g ẫ u nhiên tương ứng rơi vào
k h o ả n g (0. ỉììl).

5. T ì m h à m phân phối c ủ a b i ế n n g ẫ u n h iê n X l u â n t h eo luật
P o a - x ô n g ).

6. Tiin hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X tuân theo luật

nhị thức X Tính p { m < X < Ii) .

0. X < 0,

X > 0.

a) X ác đ ịn h A để /'(.v) trở th à n h hàm mật độ c ủ a biến ngẫu
n h iê n X n à o đó.

7. C h o h à m số f(x)

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

b) Tìm h à m phân phối F(.v).

8. Cho biến n a ẫ u n h iê n X có h à m p h â n phối F(.v) t ă n g thực

sự và liên tục. Tìm hàm phân phối của F(X)

9. Một lổ học sinh có 10 n a m và 6 nữ. C họn hú họa ra một
nhóm 3 người. Lập bảng phân phối xác SLiâì c ủ a số n ữ trong

nhóm 3 người đó,

10. Chứng m inh hàm / (.v) = — — '-T là 'Tiột liàin mật độ xác

X + 7 Ĩ

suất cùa một biến ngẫu nhiên nào đó. T ì m xác suất để b iế n ngẫu
n h iê n đ ó n h ậ n giá trị tro n g k h o ả n g >T,+oo).

§2.3. C Á C SỐ Đ Ặ C TRLING C Ủ A B I Ế N N G Ẫ U n h i ê n

2.3.1. Tóm tắt lý thuyết

1. Số dặc trưng quan trọ n g c ủ a biến ngẫu nhiên X l à k ỳ V0I1Í>

của nó. được định nghĩa rièng rẽ c h o trường h ọ p biến rời rạc và
liên tục và được ký hiệu là / ĩ X h a y E(X)

EX = {X là b i ế n rời rạc) (3. l )

E X ~ xf{A')dx (A^là b i ế n licn t ục) (3.2)

- y.

Ý n g h ĩ a c ú a k ỳ v ọ n g : đ ó là Irị t r u n g b ì n h CIUI b i ế n nííẫu n h iè n .
Vì vậy nhiều khi ngưịi ta gọi lu ơ n nó là trị Iruiig binh và ký hiệu
là MX. Các tính chất của kỳ vọng:

■ E(c') = c (c ià h ằ n g số).

■

E{X +

n

= E X + E Y .

■ N ếu X, Y độc lập thì E{ XY) = EX. EY.

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

2. Số đặc trưng thứ hai rất hay dùng cúa biến X được gọi là

phiíơnị’ sui, được ký hiệu là v x hay V(X) và được định nghĩa

V x = E{X - EXỷ.

Phương sai của Ằ đ ậ c trưng c h o đ ộ phân tán cúa biến X quanh trị

trung bình cúa nó. Biên X dao động (tán xạ) càng nhiều nếu

phươníỉ sai càii2 lớn. T í n h V X th e o công thức định nghĩa:

v x = ^ ( . v , - E X Ỵ P ị { X là biến rời rạc) (3.3)

/=1

v x = "ị(.v - E x f f { x ) d x {X là biến liên tục) (3.4)

-cr

Chú ý là EX được tính theo các c ô n s thức tương ứng. Nhiều khi
người ta cịn tính phương sai llie o cồn^ thức sau:

v x = EịX-) - ( E X ) \ (3.5)

Các tính chất c ú a p hươ ng sai:

- V(r) = 0.

■ V(cX) = C-Vx.

■ Nếu X, Y độc lập thì V { X + Y) = V X + V Y .

T r o n g n h i ề u tính t o á n n g ư ờ i ta đưa vào khái n i ệ m d ộ l ệcl ĩ

clìitẩiì (hay ílộ lệch cỊiiủn phươììg) như sau:

a = y j v x .

Đ ể ý là cá phương sai và đ ộ lệch chuẩn đều là các số khơng âm

(nói c hung là dương).

3. Một khái niệm quan trọng nữa là mỏ-men. Ta ký hiệu V'i là
m ô-m en gốc cấp k cúa X. được định nghĩa như sau; \\ = E { X ‘')

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

'a = Ỳ - ^ ' i P i hoặc

17

= í,vV (-vK ''.

/ = 1 _qT,

(3.6)

Đ ể ý E X = V, .

M ô -m en trung tâm cấp Ả, ký hiệu là của biến X được
định nghĩa = E{ X - E X Ỵ . Dễ kiểm tra //| = 0 ; / / 2 = v x . Có
thể biểu diễn các m ô-m en trung tâm theo m ô-m en gốc:

Mi ^ ^ 2 - v 2 ,

/■h = V3 - 3 V | V 2 - 2 v ^ ,

/ / 4 = 'V4 “ 4V|V3 +6V | V2 - 3 v / .

4. N goài ra người ta còn quan tâm đến nhiều đặc s ố khác
nữa. Ta giới thiệu ở đây 2 số đặc trưng khác:

* M ố t của biến ngẫu nhiên X (hay ký hiệu là ModX) là giá trị

tại đó biến X có xác suất lớn nhất (trường hợp rời rạc) hoặc có

mật độ xác suất lớn nhất (trường hợp liên tục).

* Trưng vị của biến ngẫu nhiên X (hay ký hiệu là MedX) là

giá trị m sao cho P ( X < m) = P{X > m). Đ ể ý là nếu phân phối xác
suất c ó một mốt và đối xứng thì cả mốt, trung vị và kỳ vọng đcu
trùng nhau.

2.3.2. Các bài giải mẫu

Bài 1. Tim kỳ vọng của số chấm xuất hiện khi g ieo một con
xúc sắc.

Giải: Dễ thấy, nếu gọi X là số chấm xuất hiện, thì X có các

giá trị n g u y ê n từ 1 đến 6 với cùng xác suất 1/6. T ừ đó theo định

nghĩa (3.1)

£ X = l . - + 2 . - + ... + 6 . - = 3,5.

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Bài 2. T h e o t h ố n g kê việc m ộ t người M ỹ 25 tuổi sẽ sống
ihêm t rê n m ột n ă m có xác suất là 0 ,9 9 2 ; c ò n xác suất để người
đó c h ế t t r o n g v ò n g m ột n ă m tới là 0,008. Một chương trình
bảo h i ể m đề n g h ị người đó b ả o h iể m sinh m ạ n g cho 1 năm với
sô' tiền chi trả 1000 đô la, c ò n tiền đ ó n g là 10 đô la. Hỏi lợi
n h u ậ n c ù a c ô n g ty đó là b a o n h i ê u ?

Gicíi: Rõ ràng lợi nhuận là biến ngẫu nhiên X với 2 giá trị là
+ 10 đô la (nếu người bảo h iể m không chết) và - 9 9 0 đô la (nếu

người đ ó chết). Bảng phân phối xác suất tương ứng:

+ 10 - 9 9 0

p(x) 0,992 0,008

T ừ đó E X = 1 0 .0 .9 9 2 + 0 ,0 0 8 = 2. Ta t h ấ y lợi nhuận tru n g bình
là m ột sô d ư ơ n g và c ô n g ty b ả o h i ể m có th ể làm ăn có lãi.

Bài 3. Biến ngẫu nhiên X c ó bảng phân phối xác suất

- 1 0 + 1

p, 0,2 0,3 0,5

H ã y t í n h

EX, EX

\

vx.

Giải'. Theo các công thức (3.1), (3.5), (3.6)

EX=

-1.0,2 + 0.0,3 + 1.0,5 = 0,3.

E{X-)

= (-1 )'.0 ,2 +

0 \

0,3 +

l-.0,5

= 0,7

(EX)\

v x = E(X-)

{EXỷ

= 0,7 - 0,09 = 0,61.

Đ ể ý rằng la có thể tính v x theo cơng thức (3.3) nhưng việc tính

sẽ khó khăn hơn nhiều.

Bài 4. T ìm k ỳ v ọ n g và p h ư ơ n g sai c ủ a biến ngẫu n h iên

x~

(có phân phối đều trên [a,h]).

Gidi: Biến ngciu n h iê n X sẽ có h à m m ậ t độ

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

.V =

« X G a , b
■ b - a

0 . -V ^ a , b

Từ đó theo (3.2)

+ C O h

E X = í . \ / ( Ạ ừ = i—^ c / x

-•* ị h - a

-cr. a 2 { b - a )

a + h

Rõ ràng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [a,

h]

chính là trị trung bình của đoạn đó. Đ ể tính

vx,

ta c ó thể dùng
(3.4) hoặc (3.5). Chẳng hạn theo (3.4)

+CC

\ x - E X ) - f { x y x = X

---co b - a

dx

i b - a )

a + b

A ' - Ạ b - ^ f

Bài 5. Tìm kỳ v ọn g và phương sai cửa biến ngẫu nh iên X c ó
phân phối nhị thức X ~ J 9 ị n , p).

G i ả i - . T a c ó P{X = k) = C ^ , p ^ { \ - p Ỵ - ^ , Ả = 0,l,...,/7.
T heo (3 .1 ) với í / = l — P'.

£ X = X * C ,

k=0 k=\

= n p Ỳ r C l p ' ^ ~ \ r ^ = ! i p Ỳ

A=l" Ả=1

= = i ’p { p + il)”'^ = n p .

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Tlieo (3.5)

VX=E{X-)

" {EXỷ. Ta tính
£ { x = ) = t A - = c , í / < r ‘ =

K = \ k.-\ "

n p Y ^ k C ^ , : l p ^ ' ' q
k = \

/ ..

= //p

U=1 A=1

A~l „ í . - l , , ( / / - l ) ~ { / . - - l )

Tốnỉi t h ứ nhất t r o n g ngoặc đơn là kỳ vọng của biến x ~ . í ^ { n ~ 1,
/;). còn t ổ n g t h ứ hai sẽ là {p + ợ)" ' = I . Từ đó

E{ X' ) = np{n - 1)/? + np

và v x = //^/r ~ np' + np - i r p ' = Itpi ì - p) = npq.

Có thể việc b i ế n đổi trên làm người đọc hoảng. Ta có thể làm
Iheo c á c h k h á c . R õ ràng X là sô' lần xuất hiện sự kiện A nào đó

trong dãy I I phép thử độc lập Bec-nu-li giống nhau, nếu ta gọi Xị
là số lần xuất h i ệ n /4 ở phép th ử thứ / { / = 1 , 2 , . . . , lì) thì dễ thấy

X = Xị

+ x, +

...+ x„

(chú ý

Xị

độc

lập với nhau). Mặt khác

X/

là

biến n g ẫ u n h i ê n c ó b ả n g phân phối xác suất;

-V, 0 1

p, í/ p

và dể dàiig tính đnọc EX, = 0.q+\.p =--p. V X , = e (

Từ đó d ù n g các tín h châì của kỳ vọng và phương sai

E X = E

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Í J L ^ J L

ỵ x , = ỵ v x ^ =

\i='\ ) /=1

npq.

f(x ) =

Bài 6. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ, ký
hiệu là X ~ ^ ị Ă ), Ẩ là tham số (xem bài tập 2 mục 2.2), nếu hàm
mật độ xác suất của nó có dạng:

0, X < 0,

x > 0 .

Hãy xác định EXvò. KX(tham sô' Ằ rõ ràng > 0).
Giải: T h eo (3 .2 ), (3.4)

4.^

1

+x +:c

EX = íxf(x)đx = /I fx e “'^^dx = —,

■ /)

+ 30 +0C

v x = J ( x - E X f f ( x ) d x = /l j ( x - / i ỵ e - ^ ' d x

-cc õ /l2 ■

(Dùng côn g thức tích phân từng phần). D ễ dàng tính được độ

lệch chuấn

=

i / Ã .

Nếu ký hiệu T là biến ngẫu nhiên liên tục biểu diễn thời gian
hoạt động không hỏng hóc của một phần tử nào đó v à / l - tần suất
hỏng hóc (số hỏng hóc trung bình trong một đơn vị thời gian) thì

X ~ ^ Ị Ã ). Hàm phân phối xác suất của T là

""•'xác định xác suất để phần tử bị hỏng

trong khoảng thời gian t. Trong ứng dụng người ta gọi hàm dưới
đây là lìàm tin cậy Rự) R{i) = e'^'[, t > 0. Đ ó chính là xác suấl để
phần tử hoạt động tốt trong khoảng thời gian từ 0 dến t.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

f(x) =
0.

ọ

l a

■x’ /2a'

X < 0,

X > 0 .

T ìm M c d và M o d c ủ a X (í/ > 0).

1

Giải: Đặt m = M e d X ta có F{m) = - . Với F{x) là hàm phân

phối của X. V iệ c tìm hàm phân phối khơng khó khăn vì

0, X < 0,

/^(•v)= Ịf{t)d> và F ( x ) =

--T: 1 - e

-x^/2a^ X > 0 .

Từ đó 1-í ^ v-/2i;- = J _ _ s u y r a m = .
2

N ếu đặt nì = MocỉX ta phải có / '( /» ) = 0 , tức là
•) *>

-//r /2ơ“

8*. X á c suấl bắn t rú n g đích cú a m ột k h ẩu sú n g là p.
Tiến hành bắn liên tiếp trong điềư kiện không đổi ch o đến khi

c ó k phát súng irú n g đích thì thơi bắn. Tiiĩi kỳ vọng củ a số lần

bắn cần thiếl.

Giải\ Gọi X l ầ số lần bắn c ần thiết thì X nhận giá trị X n g u y ê n
nào đó nếu trước đó đã có Ả - l lần bắn trúng và lần thứ A' đó
cũng bắn trúng. Đ ể ý số k - 1 lần đó có thể tuỳ ý ( k hông phân
biệt th ứ tự Irong s ố .v -- 1 lần). Vì lần cuối cùng (thứ .v) phái trúng

nên

p { x =

,v) = .

Đ ể V rằng nếu V < k ihì F{X = -v) = 0 theo điều kiện đầu bài. Từ

đó theo cơng thirc (3.1)

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

EX = ỵx C ị: Ịp ‘c r ‘ ‘ tp‘ ỵ^-cUr'

A=Ả ,V = Ẳ

Ta đổi biến

X - k - i

hay A'

= k + i

và

kp''

k

--Í

E x = k p ‘^ ỵ c t , q ‘

i=0 0 - ^ / r - ik + \

Bài 9. C h o h à m m ậ t độ c ủ a m ộ t b i ế n n g ẫ u n h i ê n X n h ư sau
0 , A- < 0 ,

a x - , 0 < A < 1 ,

a(2 - x

)~,

1 < A' < 2,

0,

X > 2.

Xác định hệ số ơ, sau đó tính các mô-men gốc và mô-men

trung tâm lới cấp 4.

G i ả i : T h e o tín h chất của kỳ vọn g , đ ể tìm hệ số a ta phải giải
/(^■) =

a

Đầu tiên ta tìm các mơ-men gốc:

2

0

2.-'

V4 =

-3

2

3 \

X ^dx +

—

2

J V

x{2

-

dx -

ì

,

X^^CỈX

+ — A'^

(2

- x)“

clx

= 1,1,

^ 1

x^dx +

—

x ’

(2

- ,v)“

dx

= 1,3,

2 Ỉ
l 2 .

x^^dx + —

2_J

íx'*

(2

V

- ,v)"

dx

= 1

72

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Các m ô - m e n t r u n g tâm:

//, = 0; / / , = V2 - vỊ = 1,1 - 1 = 0,1

/ / 3 = V3 - 3V| + 2 \ ’i'’ = 0

/ ' 4 = I4 -4 V |1 ', + 6 v p s - 3 v ^ =

35
2.3.3. Bài t ậ p

1. C h o biến n g ẫ u nhiên rời rạc có bảng p h â n phối x á c suất

1 3 5 7 9

p, 0,1 0,4 0,2 0,2 0,1

H ã y tìm các m ơ - m e n gốc và tru n g târn đến c ấ p 4.

2. C h o hàm m ật độ xác suất của một b iế n n g ẫ u n h i ê n X
f { x ) = Ăe~^' . X á c đ ị n h h ằ n g s ố Ẫ , lìm kỳ v ọ n g và p h ư ơ n g sai
của X.

3. C h o hàm m ậ t đ ộ của m ột biến ngẫu n h iê n X

0, X < 2,

f { x ) = a( x - 2X4 - x), 2 < X < 4,
0, A- > 4.

X ác định a, sau đ ó lìm kỳ vọng, m ốt và Irung vị c ủ a X.

4. T ìm kỳ v ọ n g và p h ư ơ n g sai của biến n g ẫ u n h i ê n X t u â n
t h eo luật p h â n p h ố i P o a - x ô n g x ~ ^ x Ã ).

5. G ie o đ ồ n g thời 3 con xúc sắc. Tini kv v ọng và phươníi sai
của tổng số c hấm xuất hiện.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

cùa biến ngẫu nhiên X chỉ số đạn c ần b ắ n , biết r ằ n g xác suất
trúng đích củ a m ỗi lần bắn là p.

7. Cho hàm mật độ của X f { x ) = c

2<J-f(x)

b

a X

Hình 2. 8

ơ y í l T T

(phân phối c h u án với hai tham sô' ư và ơ ' ). T im kỳ vọng và
phương sai củ a X.

8. Cho đồ thị hàm mật độ
của m ột biến ngẫu nhiên X là
nửa đường elíp bán trục a và h

(xem hình 2.8). Cho biết í/,
hãy xác định h. EX, V^Xvà hàm
phân phối tương ứng.

9. M ộ t ôtô đi trên phơ có 3 đèn tín hiệu g iao thơng hoạt đ ộng
độc lập. Thời gian tín hiệu xanh là 1,5 phút, vàng 0,3 phút và đỏ
là 1,2 phút. Tìm kỳ vọng, phương sai và dộ lệch c h u ẩn của số lần
dừng vì đèn tín hiệu giao thơng cúa xc ơlỏ dó.

10. Cho biến ngẫu nhiên X và m ột h ằ n a số a. T im các số đặc
trưnq sau đây; a) kỳ vọng; b) phương sai; c) độ lệch chuẩn; d)
m ô -m e n gốc cấp 2; e) trưng vị củ a hai biến Y = X + a và z = a X

iheo các số đặc trưng tương ứng của biến X.

11. Hai đài vô tuyến liên lạc với nhau. Cứ 5 giây m ột lần đài

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

12. H à m p h â n phối c ủ a b iế n n g ẫu n h i ê n liê n tụ c c ó d ạ n g
f(x) = A + Barctg X

2

a) X á c đ ị n h A và D.

b) T ìm kỳ v ọ n g và p hươ ng sai c ủ a X.

c) T im g i á trị c ủ a /77 sao c h o P{X>m) - 1/4.

13. Người ta làm xét nghiệm m áu cho 5000 người để tìm ký
sinh trù n g sốt rét ở một địa phương có tỷ lệ m ắc b ệ n h t h eo thống
kê là 10%. C ó 2 c á c h làm:

a) X é t n g h i ệ m từng người m ộ t,

b) Lấy m áu 10 người trộn lẫn để làm m ột xét nghiệm . N ếu
kết q u ả âm tính thì khơng có ai trong số 10 người đó m ắc bệnh.
Nếu kết q u ả dươ ng tính thì chứng tỏ có ít nhất m ột người m ắc
bệnh và ta phải làm thêm 10 xét n g h iệm lẻ để phát hiện con
bệnh. Hỏi làm c á c h nào lợi hcíii?

14*. C h o h à m m ật độ c ủ a m ộ t biến n g ẫ u n h iê n X

M =

--V

m\

0

X > 0,

X < 0.

T ì m kỳ v ọ n g và p h ư ơ n g sai c ủ a X.

15*. T ìm kỳ v ọ n g và p h ư ơ n g sai củ a số sản p h ẩ m đ ư ợ c sàn
xuất r a giữa hai lần sửa chữa c ủ a m ột m á y . nếu x á c suấl làm ra
p h ế phẩm là p và m á y sẽ được sửa c h ù a sau khi làm ra m p h ế
phẩm.

16. Cho h à m m ậ t độ sau đây;

1 - .V 0 < A* < a.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

a) Chung t ỏ / ( x ) thoả mãn các tính chất của m ộ t hàm mật độ.
b) T í n h kỳ v ọ n g và phư ơ ng sai.

c) T í n h t ru n g vị và mốt.

2.4. LUẬT C H U Ẩ N - CÁC Đ ỊN H LÝ GIỚI H ẠN

2.4.1. T óm tất lý thuyết

i. Biến n g ẫ u n h i ê n X đ ư ợ c g ọ i là t u â n t h e o l uật chiíẩn (gọi
tắt là c h u ẩ n ) , k ý h i ệ u X ~ o / { a , ơ ~). n ế u h à m m ậ t đ ộ xác suấỉ
c ủ a nó có d ạ n g

f ( x ) - 1

V2.

e (4.1)

trong đó a = E X c ò n Ơ = - Ị v x . N a ư ờ i ta c ò n gọi luật c h u ẩ n là
luật G a o - x ơ . C h ú ý h à m / ( x ) đối x ứ n g và có d ạ n g h ì n h c h u ô n g .

Liiậ! c h u á n rất đ ặ c t r ư n g c h o n h i ề u b i ế n n a ẫ u n h i ê n liên lục
trong thực tẽ, vì t h ế nó có ứng d ụ n g r ộ n g rãi.

H à m số sau đây:

ệ{x) =

. \ - 7

n

dì

có tên gọi là h à m Lap-ì a-xơ, rất ích lợi để tính tốn liên q u a n clên
biến ngẫu n h iên chuẩn. Do đây là h à m lẻ ^(.v) = - ệ { x ) . nên báng
số của ệ ị x ) chi c ần thiết lập c h o c á c A > 0. T h e o tính chất của
hàm mật độ, người ta đã chứna, lỏ r ằ n g nế u X ~ ơ ' / { a , ơ ' ) thì

p(a < \ < p ) - ệ - ộ a - (4.2)

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

X á c suất để độ lệch tuyệt đối cùa biến ngẫu nhiên X
ơ ■) khỏi trị trung bình của nó bc hơn một số f > 0 sẽ ià

(4.3)
T r ư ờ n g h ợ p ta có m ột d ã y n phép th ử B ec-nu-li đ ộ c lậ p với
xác su ấ t x u ấ t hiện sự k iện n à o đ ó trong mỗi phép th ử là p, thì
xác s u ấ t đ ể tần suâì xuất h i ệ n s ự kiện ( c h ẳ n g hạn mỊu, m là số
lần x u ấ t h i ệ n sự kiện đ ó ) l ệ c h k h ỏ i p sẽ là

< s ) = 2ộ

[ o - )

/ ( / 1— \

p < s ^ 2 ệ p q

V n )

. q = I - p .

2. T a c ũ n g biết nếu xác suất p cúa một dãy phép th ử
Bec-nu-li khá bé, thì việc tính tốn xác suất rất khó khăn, ở m ụ c 2.1 ta
đã có m ộ t c ác h tính xấp xí d ù n g luật Poa-xông. ở đây ta sẽ tính
xấp xí b à n g luật chuẩn, nhất là trong Irường hợp /; khá lớn.

N ế u X ~ J ^ { i ụ p ) m à I I lứn thì việc tính xác suất

p { x = k ) = Pi,{k) sc vô c ù n g k h ó khăn, T h e o định lý L a p - l a - x ơ
đ ịa p h ư ơ n g , p„{k) có th ể x ấ p xỉ bằng

P Á t )

t r o n g đ ó ọ{ẫ) =

-Ịĩĩpci

,v k - Iip

^ n p q

Đ ế ý (p{x) được gọi là Ììàm s ổ G a o - x ơ và cho giá Irị ớ b á n g 1
p h ụ lụ c A, c h í n h !à h à m inật đ ộ cúa biến ngẫu n h iên o/CO, 1).
nó là m ơt hàm chẩn.

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

T i ế p ỉ h e o n ế u ta m u ố n t í n h p{k^ < x < k ^ ) , t h e o đ ị n h lý
M o a - v ơ - r ơ - L a p - l a xơ:

p , ( k , . k , ) ^ ệ ụ , y ệ ( x - , )

với X, = ~ = l l E - \ c ò n h à m ệ { x ^ đ ã biết t r o n g (4.2). C h ú ý khi
tra b ả n g ệ { x ) nếu A > 5 c ó t h ể đ ặ t ậ { x ) = 0,5.

C u ố i c ù n g ta chú ý đ ế n đ ị n h Iv giới h ạ n t r u n g tâm r ất q u a n
t r ọ n g t r o n g ứng d ụ n g v à o t h ố n g k ê sa u này: N ế u các X, đ ộ c lập

/I

c ó c ù n g kỳ v ọ n g a v à p h ư ơ n g sai ơ ' thì sẽ c ó phân
/-I

p h ố i t i ệ m c ậ n tới L-/{nu, I I ơ ■) k h i /7 —> co .

2.4.2. C á c bài giái m ẫ u

B à i 1. N gư ời ta tiệ n m ộ t loạt c h i tiết c ó độ dài q u y đ ị n h a
- 20 c m . G iả sử đ ộ dài ch i tiết t u â n I h e o luật p h â n phối c h u ẩ n
t>/(20 cm ;0 ,2 ^) (độ l ệ c h c h u ẩ n = 0 , 2 c m ) . T ín h xác suất để độ
dài c ủ a c h i tiếl sản x u ấ t ra l ệ c h k h ỏ i q u y đ ịn h k h ô n ạ q u á

ff = 0 ,3 cm ( d u n g sai).

G i á i : K ý h i ệ u X là đ ộ d à i c h i tiế l v à ta c ó X ơ ■) với

a = 20 và ơ ~ = (0,2)". Bài t o á n y ê u c ầ u t í n h p { x - a < e ) .

T h e o c ô n g thức (4.3)

= 2.í/5(l,5) ~ 2.0,4332 = 0,8664.
G iá trị 0 , 8 6 6 4 có ý nghĩa là xác suấl đ ể m á y sản xuất ra chính
p h ẩ m (độ lệch bé hơn d u n g sai) hay tỷ lệ c h ín h phẩm của lô hàng
đ a n g xét.

/ \

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

B à i 2. Một th iế t bị đ o k h ơ n g c ó sai s ố h ệ t h ố n g . C ò n sai số
n g ẫ u n h i ê n của t h i ế t bị t u â n t h e o luật c h u ẩ n . T ì m sai s ố q u â n
p h ư ơ n g c ủ a thiết bị s a o c h o với x ác suất 0,8 thì sai s ố k h õ n g
vượt r a ngoài giới h ạ n ± 0 , 2 đơn vị đo.

Giải: Gọi X là sai s ố c ủ a thiết bị đo và d o nó là sai số n g ẫ u
nhiên nên E X - 0 ( n ế u là sai s ố hệ t h ố n g t h ì £ X 0 ) . M ặ t khác
sai s ố q u â n phương c ủ a thiết bị c h ín h là độ lệ c h c h u ẩ n c ủ a sai số.
T ừ đó theo đầu bài X ~ ư / { a , ơ ") t ro n g đó ơ là ẩn số cần tìm.
T h e o c ô n g thức (4.3)

^ 0 , 2 ^

p ế x < 0 ,2 ) = 2^

cr 0,8.

T ừ đ ó ệ = 0 , 4

0 , 2

1,28 => ơ

0,2

= 0,156 đ ơ n vị đo.

ơ 1,28

B à i 3. Cho b iến n g ẫ u n h i ê n X H ã y tìm xác suất
p ( j x - a | < 3 ơ )

Giải'. Á p d ụ n g c ô n g t h ứ c ( 4 .3 )
/ o \

p i \ x - a < 3 ơ ) = 2 ệ — = 2 ( ^ ( 3 ) « 0,9973.

\ < y )

Chú ý là xác suất n à y rất g ầ n 1 n ê n n ế u X c ó phân phối ch u ẩn thì
tro n g thực t ế có th ể coi r ằ n g c ác giá trị c ủ a X sẽ p h â n phối iiong
k h o ả n g (í7-3ỡ-,t/ + 3cr). Đ ó là q u y tắc ba s ig - m a rất hay 'ỉịing
trong ứng dụng.

B à i 4. Sai số c ủ a m ộ t p h é p đ o k h o ả n g c á c h đ ế n m ột địa diem
là biến ngẫu nhiên c h u ẩ n với sai số hệ t h ố n g là 50 m lệch vổ phía
g iảm kh o ản g cách v à đ ộ l ệ c h q u â n p hươ ng của sai số là 100 m.
Tính;

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

a) X ác suất đ ể sai số m ắc phải về trị tuyệt đối k h ô n g vượt
quá 150 m.

b) X ác suất sa o c h o độ lệch xa đo được k h ô n g vượt quá
k h o ả n g c á c h thật.

Giải: G ọ i X là sai s ố đ o m ắc phải, sai số h ệ t h ố n g c h í n h là
kỳ v ọng c ủ a X và LI - E X - - 50.

a) T h e o y ê u c ầ u b ài t o án và dựa vào (4.2)
F ( j X Ị < 1 5 0 ) = p ( - 1 3 Ơ < X < 1 5 0 )

I 100 J l 100 )

ệ{2) + (í(l) = 0,4772 + 0.3413 = 0,8185.

> k • V

b) X á c s u ấ t c ầ n t ìm là

p { - ư i < x < ữ ) = ệ 0 + 50^

lOQ ệ

CO+ 50^

100

^ + oo) + ^ 0,5).

Chú ý r ằ n a .V > 5 l a l u ô n c ó ệ { x ) = - . từ dó
7

p ( - 03< X <

0

) « 0,5 + o a 9 15 = 0.6915 .

Bài 5. M ộ t c ầ u t h ủ ném bóng 4 0 0 lần vào rổ với xác suất
ném trúng rố c ủ a m ỗ i lần ném là 0,8. T im xác suất để c ầ u thủ
ném trúng 300 lần.

Gicíi: R õ r à n g c ó th ể d ù n g c ô n g thức Bec-nu-Ii

Tuy n h iên việc tín h t o á n khá phức tạp. Ta sẽ d ù n g đ ịn h lý giới
hạn L a p -l a -x ơ địa phư ơ ng

A ,k,(300)

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

/ 3 0 0 - 4 0 0 . 0 . 8 ^ / ^ ^

với „ ) = (p - p = = - = —=— = (p{- 2.5) ^ 0 . 0 1 7 5 .
^ l 4 0 0 . 0 Ẵ Ẩ ) . 2

T ừ đ ó xác suất c ầ n lìm /^4,11,(3 0 0) 5: 0.0023.

B à i 6. Xác suâì bắn trúng đícli của một xạ thủ là 0,8. Tiiĩi
xác suâì đổ trong 100 lần bắn:

a) X ạ thủ b ắ n t rú n g k h ù n g ít hơn 75 lần và k h ô n g n h iều
hơn 90 lần;

b) K h ô n g ít h ơ n 73 lần b ắ n trúng.

Giúi: DÙ112 đ ịn h lý M o a-v ơ rơ - L áp-la-xơ

K i^i ^ -^2) = Á ^ ' 2 ) - ''ỚI ■

a) /^,„„(75;90) = ^ (a s) - ^ ( .v, ) ,vớì

7 5 - 1 0 0 . 0 . 8 , 9 0 - 1 0 0 . 0 . 8

,V| = —= = = = - L 2 5 ; . V 3 = _ = 2 ,5 .
VlOO.0.8.0.2 VlOO.0,8.0,2

Từ đó (75.90) = ^ (2 ,5 ) + ^ (1.2 5) ^ 0.8882.

b ) T ư ơ n g t ự t a c ó : ( 7 5 . 1 0 0 ) = ízí(5 ) + ^ ( 1 , 2 5 ) ^ 0 ,8 9 4 3 .

l ỉ à i 7. M ộ t n ữ c ô n g n h á n dứ n g m á y xe sọ'i g ồ m 800 õng
sợi. xác suất đứt sợi c ủ a m ỗi ố n g trong v ò n g một g iờ là 0,005.
Tìm xúc suáì c ủ a sự k i ệ n Irong \ ’ò n g i giờ c ó 4 ốno sợi bị đứt.

Gicii: Rõ r àn g số ố n g sợi bị đứl t ro n g vịní’ 1 giờ là hiến
ngảu n h iên X ~ .í ỹ ( 8 0 0 ;( ),0 0 5 ), n h ư n g rất k h ó để lín h Irực tiếp,
ở c!áy p = 0 , 0 0 3 rất bé k h ỏ n a nên d ùng x ấ p xí L a p -l a -x ơ m à
nên dùnti xấp xí t h eo P o a - x ỏ n g (xcm m ục 2,1) với Iham số

i = n p = 8 0 0 . 0 . 0 0 Í S = 4.

/ ^ o o ( 4 ) - ^ ‘ý ' = 0 . 1 9 5 4 .

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Bài 8. Khi sản xuất một loại bi, người t a kiổm tra chất lượng
như sau: nêu viên bi khơng lọt qua lỗ có đườno kính dị nhưng lọt
qua lỗ có đường kính thì có thể coi viên bi đó đạt yêu cầu

{dị<cỈ2). Nêu không thoả m ãn một trong các điều kiện đó thì bi là

phê phẩm. Biêt rằng đường k ín h của viên bi là biến ngẫu n h iê n có
phân phối chuẩn với kỳ vọng là d I +

d-2 và độ lệch c h u ẩ n
bằng . Tim tỷ lê p h ế phẩm c ủ a viêc sản xuất đó.

Giải: G ọi D là đ ư ờ n g k í n h bi, rõ r à n g nó là b i ế n n g ẫ u
nhiên d, + d2 .

ỏ2 - d ,
4

. Tỷ lộ phê p h ẩ m cầ n t ìm ký

hiệu là p , sẽ b ằ n g t h e o (4.2)

p = \ - p{cỉị < D < ^ 2 )

^ d , - E D ^

= 1

-ệ

ộ

ơ
d') — dị

2 ơ
- ệ
D y
\
(J
~ ệ
D J

~ d
2 a
cỉ'f cl Ị

2 ơD J - l - 2 ỹ ỉ ( 2 ) - 0,0456.

Bài 9. C h o độ m ấ p m ô bề m ặt c ủ a m ột loại ch i tiết là b i ế n

ngẫu n h iê n X - c / ị a , ơ ~ ) , Chi liết đ ư ợ c coi là đạt yêu c ầ u n ế u b
< x < ( \ còn nếu

x>

c thì chi tiết c ầ n p h ả i xử lý th ê m . H ã y tìm :

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

b) Màm p h â n phối xác suất c ù a dộ m ấp m ô các chi liết cần
xử lý t h ê m .

Gicỉi: a) Đ ố i với độ mấp inò ciia chi tiết đạt yêu cầu, ký hiệu
là ta lu ô n c ó /?<x „<r; vậy hàm phân phối xác suất của Ả^„,
ký hiệu F,('V), chí khác h ằ n g số trên đ o ạn (/;,(’); bằng 0 khi

< h và b ằ n g 1 khi > c . Trẽn đ o ạ n Ợ),c) sẽ tv lệ
t h u ận với phân phối của biến ngẫu nhiên X ban đầu

F , ( x ) = P(X^, < x )

= k p(b < X < x) (Ả là hệ số tỷ lệ, A < c)

k ệ - ệ

\ ơ J

Đ ể hàm liên tục ta phải có
/■•;,{*)=0 1 _ ,

f„ (r)= l

<x y

T ó m lại h à m p h â n phối cần tìm có dạng:

a

- ệ h - a
ơ

( x - a ^ ' h - a ^

ệ - ệ

K cr ^ 1 cr J
' r - ^ /^ h - aị \1

ệ --- - ệ

l ỡ- j K (y )

k h i x < h.

khi b < x < L\

khi A' > c.

b) N ê u ký h iệ u F,,(a) là h à m p h ân phối của biến n g ẫ u n h iên

Xi, chí đ ộ m ấ p m ô c ú a các chi tiết cần xứ lý bổ x u n g (Xi, > r ) ta
sẽ có lư ơ n g tự n h ư trên

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

F , X x ) = P ( X , < x ) = k P { c < X < x )

k ệ c - d

\

o-Đ ể Fi,{\) là h à m liên tục ta phái có Fi,{c) = 0, na oài ra F , , ( + a ) =

í \

c - ư

T ó m lại F ị j { x ) = ệ

í \ í

x - a
- ệ

\
c - a

V c r y

V cr

k h i X < c

khi V > c.

2.4.3. Bài tập

1. T r ọ n ơ lư ợ n g c ù a m ộ t t o a t à u là m ộ t b iế n n g ẫ u n h i è n có
trị t r u n g b ì n h b ằ n g 6 5 / và đ ộ l ệ c h c h u ẩ n a = 0 , 9 l . Tìm xác suất
đê t r ọ n g lư ợ ng loa tàu k h ô n g vượt q u á 70/ nhưng vẫn lón hơn
60/, biết r ằ n g nó tuân iheo luậl c h u ẩn .

2. Đ ộ dài chi liết do m ột m á v tự đ ộ n g sản xuất ra là m ột biến
n g ẫ u n h i ê n c ó phân phối c h u ẩ n với tru n g h ìn h b ằn g 40cnì \’à độ
lècli c h u ẩ n ơ ~ OAcni. Cần b ả o đ ả m đ ể độ lệch cú a độ dài chi
tiết so với t ru n g bình b ằ n g b a o n h iê u với xác suất bằng 0,8?

3. lY o n g m ột dây c h u y ền c ô n a n g h ệ sản xuất hàng loạ) lỷ lệ
p h ế p h ẩ m là 4% . Cần phải c h ọ n ra b a o n h iêu sản phẩm đ ể có !hc
k h ẳ n g đ ị n h với xác suất 9 9 % r ằ n g tv lệ p h ế phám của số sản
p h ẩ m cliọn ra lệch so với 4% về trị tuyộl dối k h ô n e quá 1.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

là 1/365. Tínlì xác suất để c ó 3 học sinh sin h vào n g ày 1 tháng
giêng.

5. Ta có m ộl lô h à n g 100 chi tiếl với tỷ lệ p h ế phám đã biết
trước từ khi sán xuất là 5%. T í n h xác suất đổ trong lơ h à n g đó có
dứng 5 phê phẩm.

6. C h iề u c ao c ủ a m ộ t n a m giới tr ư ở n g t h à n h ở m ột v ù n g
dâ n c ư là h iế n n g ẫ u n h i é n X c ó p h á n phối c h u ẩ n với t r u n g bình
bằn g 160(7?; và ơ = 6cnì. M ộ t ngư ờ i sẽ bị coi là lùn n ế u chiề u
c a o n h ó h ơ n 154(77;.

a) T ìm tv lệ nam giới lùn ở v ù n g đó;

b) Tính xác suất để khi c h ọ n ngẫu nhiên ra 5 naười thì có ít
nhất I nmrừi k h ô n2 bị lùn.

7. N ã n s suất lúa ớ m ột đ ịa p h ư ơ n g là hiến n g ẫ u n h i ê n có
phán phôi c h u ẩ n \'ới kỳ v ọ n g 45 lạỉlìci \'à cr = 3 tạ!ha. Tìm xác
suất để gặl ngẫu n h iên 3 thửa r u ộ n g thì có 2 thửa ru ộ n g có năno
suất sai lệch so với tru n g b ìn h k h ô n g q u á 1 íạ! hu.

8. Cho /; biến n a ẫ u n h iê n x, đ ộ c lập c ù n g tuân Iheo luật c h u ẩn
_ _ Ị »

\ ớ i kỳ vọnti băng a và p h ư ơ n g sai b ằ n a ơ ~ . Gọi X = —V x , và
''/=1

b i ê ì r ằ n g A " c ũ n g t u â n t h e o l u ậ t c h u ấ n . T ì m x á c s u ấ t

x - a < c \'ó'i í: > 0 .

9. K iể m tra chất lượim 1000 chi tiết với lý lệ c h ín h phẩm là
0.9. Hãv tìm với xác suất b à n g 0 , 9 5 4 4 xem sô sán p h ấ m dạt liêu
c huẩn nãm Irong k h o ả n g nào.

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

§2.5. LUẬT SỐ LỚN
2.5.1. T ó m t á t lý t h u y ế t

1. B ấ t d ẳ n g t h ứ c T r ê- h ư - s é p . N ếu biến n g ầ u n h i ê n .V c ó

p h ư ơ n g sai h ữ u h ạ n thì với m ọi £ > O c h o trước
v x

p ị ị X - E X \ > £ ) < ^ . (5.1)

2. L u ậ t s ố lớn d ạ n g T r ê - b ư - s é p . N g ư ờ i ta nói r ằ n g d ã y c á c
b i ế n n g ẫ u n h i ê n hội tụ t h eo xác suất tới a n ế u với n đủ
l ớ n ta l u ơ n c ó

p(|x„-a|<e)>l-íỹ.

với í > 0 bé tu ỳ ý và ổ nói c h u n g phụ thuộc vào 11 và s . K hi đ ó
ta ký hiệu X „ —^ ơ.

B ây g iờ c ó th ể phát biểu luật số lớn dạng T r ê - b ư - s é p n h ư
sau: N ế u d ã y c á c b i ế n n g ẫ u n h iê n có p h ư ơ n g sai bị
c h ặ n thì khi n đủ lớn t r u n g bình c ộ n g c ủ a các giá Irị c ủ a d ã y sẽ
hội tụ Iheo x ác suâì về t ru n g b ìn h c ộ n g c ủ a các k ỳ v ọng tư ơ n g
ứng, tức là:

< £ > i - ổ . (5.2)

V / = I / = 1 /

v x

T r o n g đ ẳ n g th ứ c t r ê n có thể lấy 0 < ( 5 ' < . L u ậ t s ố lớn n à y

Ì Ì S

là c ơ s ở c h o tất cả c á c ứng d ụ n g thực t ế của lý t h u y ế t x á c su á ì,
n hất là t r o n g t h ô n g k ê toán.

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

c ác p h é p th ử Bec-nii-Ii nếu X là sô lần xuất hiện sự k iện A nào
đó {P{A) = p t ro n g m ỗi phép thử) và aiả sử X = m. khi đó nếu ÌI

khá lớn

p

m \

p < e

V ỉĩ )

> ] ~ ổ

( ỏ có t h ể lấy t r o n g 0 < ổ < , với í/ = 1 - p).
ne

2.5.2. C á c bài giải m ẫ u

Bài 1. Viêt lại b ấ t đ ẳ n g thức T r ê - b ư - s é p cho tr ư ờ n g h ợ p

6' = k ơ , tro n g đ ó a là đ ộ lệch c h u ẩn cù a X. T ìm k đ ể X lấy giá
trị trong k h o á n g t ừ E X - k ơ đến E X + k ơ c ó xác su ấ t k h ô n g
bé hơn 0.9; k h ô n g bé h ơ n 0,99.

G i ả i : T ừ ( 5 . 1 ) t h a y e = k ơ , [ a ~ = v x ) :

k ò k~

hoặc tương đ ư ơ n g

(5.3)

2 ■
(5.4)

Từ đó dể

P{ EX - k ơ < X < E X + k ơ ) < 0,9

=> k ~ > l O hay A>3,162.

Tương tự để x á c s u ấ t n à y < 0,99 , ta phái có 1 - - - < 0,99,
Ả.'

^ Ả “ > 100 hay Ả' > 10

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

C hú ý là đ á n h giá th eo bất đ ẳn g thức T r ê - b ư - s é p là đ án h giá thơ.
N ế u ta biêì được phân phối xác suất c ủ a X thì có đ á n h giá c h ín h
xác h ơ n nữa (x em bài 2).

B à i 2. C h o biến X tuân Iheo luật c h u ẩ n X ~ t 7 ( ư , CT"). Tìm
xác suấl đ ể X lấy g iá trị trong k h o ả n g [a - k a . a + k ơ ) , k = 1, 2,
3. So s á n h c h ú n g với đánh giá thô c ủ a bất đ ẳ n g thức Trê-bư-sép.

Giíii: N ế u X ~ ư f { a , ơ ~ ) việc t ín h xác suất để

X e (ơ - Ẩ;cr,ơ + Ảcr) k h ô n g khó. T h e o (4.2) và (4.3)

tro n g đó ^ ( x ) là h à m Láp-la-xơ. Kết q u ả với Ả’ = 1 . 2 và 3 cho
b ả n g dưới đây. Đ ể đ á n h giá cận dưới c ú a c á c xác suất đó trong
trườ ng h ợ p k h ô n g biết phân phối xác suất t h e o bất d ẳ n g thức l ’ré-
b ư - s é p (5.1) ta d ù n g bất đ ẳ n a ihức (5.4). K ết q u ả tính cũng cho ở
t ro n g bảng:

X thuộc khoảng Đ ánh giá Iheo
Trê-bư-sép

X ác suấl thực nếu

x~c> /(a.ơ

' )

(í/ - a , a + ơ") 0,00 0,68

(í/ - 2 ơ , ơ + 2 ơ ) 0,75 0,93

{ci - 3 ơ , a + 3 ơ ) 0,89 0,997

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Gicii-. Á p d ụ n g lu ật sô lớn d ạ n g T i ê - b ư - s é p , với /; = 250 0 ,

vx

= 9 ,

c

= 0,3 ( x e m (5.2) với

ơ = vx / /;£■“ ).

p

2?iíK) I 25(1(1
2500 Ể r

< 0 ,3 > 1

2500.0.09

0,96.

B à i 4. C h o xác suất xuất hiện sự kiện trong mỗi p h ép th ử
bằng 0,3. T i m xác suất để trong 10000 phép thử độc lập tần suất
xuất hiện sự kiện lệc h khòi giá trị 0,3 về mặt trị tuyệt đối k h ô n g
q u á 0.01.

Giúi: Á p d ụ n g luật số lớn d ạ n g B e c -n u - li, với I I = 10000,

s = 0.01, p = 0,3. (Ị = 0.7 (x e m (5.3) với cr = p q !n s ~ ).

p

ììì \

- p <0.01

Vìl J

> 1 - 0 .3 .0 J

10000.0.0001

=. 0 , 7 9 .

2.5.3. Bài t ậ p

1. G i e o 1000 lần một đồii2 tiền cân đối đ ồng chất. Đ á n h giá

xác suất đổ tần suất xuàì hiện mật sấp lệch khỏi 0,5 về m ặt trị
tuyệt đối k h ô n g q u á 0,1. Tìm kh o ả n g d a o đ ộng cùa số lần xuất
h iện mặt sấp tương ứna.

2. X ác suất để xuất hiện một sự kiện trong mỗi phép th ừ b ằ n g
1/4. T ì m xác suất đè số lần xuất hiện sự kiện trong dãy 8 0 0 p h é p
t h ử độc lập nằm giữa hai giá trị 150 và 250.

3. C ó hai h ộ p bi, mỗi h ộ p có 10 viên bi được đ á n h s ố t ừ 1
đ ế n 10. P h é p t h ừ là việc c h ọ n liú họa từ m ỗi h ộ p ra m ộ t v iê n bi
và ta q u a n tâ m đ ế n X - tổiig c u a hai số trê n 2 viên bi đó. T i ế n
h à n h 100 p h é p lliử (có sự h o à n lại bi sau m ỗi p h é p thử). T ì m

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

xác s u ấ t đ ể t ổ n g s ố (.V, là giá trị lổng hai s ố trê n các viên
; = l

bi ở p h é p t h ử t h ứ /) n ằ m t ro n g k h o á n g (8 0 0 , 1400).

4. X á c suất đ ể c ó lỗ h ống trong m ột vật đúc là 0,2. Tìm xác
suất đ ể từ 1000 vật đúc độ lệch c ủ a s ố vật đúc tốt (k h ô n g có lỗ
h ổ n g ) so với 8 0 0 k h ô n g vượt q u á 5%.

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Chương III

B I Ế N N ( Ỉ Ẩ I ) N H I È N N H I Ề U C H l Ể U

§ 3 . 1 . B I Ế N N G Ẫ U N H I Ê N N H l Ể U C H l Ề U R Ờ I R Ạ C
3.1.1. T ó m t ắ t lý t h u y ế t

1. Tập hợp /; biến ngẫu nhiên, xếp thành vec tơ, sẽ được gọi là

véc to' /ìgaii lìliiên hay hiến Iii^chí nlìiên II cliicii. Đ ể c h o đ ơ n giản
trona chương này ta chí xét biến ngẫu nhiên 2 chiều (lì = 2).

Biên ngẫu n h i ê n được gọi là rời rạc khi c á c t h à n h p h ầ n của
nó là các biên rời rạc (tương tự với khái n i ệ m liên tục). M u ố n
biếl luật phân phối xác suất của một biến n g ẫ u n h i ê n 2 c h i ể u (X,

Y) ta phái xác đ ị n h được b án g phân phối sau đây:

} 'n

P\„
P2n

■V

Vl V2

-V;

■Vl P\\ P\2

Ằ2 P2\ P22

■V/;, Pm 1 Pml plììll

(.\ I <.V2< ... <A„, ; V 1 < V 2 < . . . < V „ , lì và n i có th ể b ằ n g + oo ), t r o n g

dó P ĩ j = P{X = -V,, Y = V,) = F (.V ,, y ị ) được gọi là x á c su ấ t đ ồ n g

thời ( x á c suất xá}’ ra đ ổ n g thời hai sự k iện X = -V,, Y = \j).
Đ ể ý rằng;

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

P ( X = .v, ) = X p ( ^ = v,.]' = . v , ) = X í ’„ = p . ( ' - . ) (11»

./ ./

> Ỷ = = ■'■rl' = v , ) = X / ’., = (1-2)

Z / > / , = Z ' ' ( > Í = . ' , ) = Z ' ’( i ' = . ' ■ , ) = I.

ờ' ' ./

G i ố n g n h ư trong trường hợp 1 chiều, ta c ó thể xác định h à m
p h â n p h ố i x á c suất d ồ ng ĩlìời:

F ụ - , y ) = P { X < x . Y < y ) .

Hàm phân phối này c ảm sinh ra các plìáiì p h ố i hiên
Fị (.v) =

p [ x

< X , Y < +oo) = li m F { x , v )

F^ ( v ) = p { x < +0 0, y < v ) = l i m F{.\\ v )

Đ ể ý l à F ( A ',-co) = F { ~ g o, v ) = F { - c o- c o) = 0 ; F ( + co.-f-co) = 1 .

2. T a có thể đưa vào khái niệm xác suất c ó điều kiện:

p ( x \ y ) = p { x = x\Y = y ^ = ^ ^ ^ ,

(1.3)
p(y|.,v)=/^(r = v|X = , v ) = ^ ^ ^ .

Pi {^ )

T ố n g quát hơn có thể xét hàm phân phối x ác suất có điều kiện:

p(y, < Y < y 2 )

(1.4)

I la i b i ế n n g ẫ u n h i ê n X, Y được gọi là đ ộ c lập nếu và clú
nếu F { x , y ) = Fị{.\)F2 {y) (hoặc p { x . \ y j ) = p ^ { A . ) = F{X = x , ) với
m ọi / và j.

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Bài 1. C h o biến ngẫu n h iê n hai c h i ề u (X, Y) có luật phân
phối đ ồ n g thời n h ư sau:

2 .X'

0 ,2 2 0,16
}S 0,08

I

0 ,1 6 ; 0,20
T ìm luật p h ân phối c ú a từng biến X và Y.

Giíìi\ T h e o c ô n g thức (1.1) ta có

/;, (a-, ) = P { X = X,) = 0,18 + 0,08 = 0,26 .
Tương tự / ; , ( x2) = 0,38 ; ( ^3) = 0,36 .

L u ậ t p h â n phối c ủ a b i ế n X c ó d ạ n g

■A 1 A 2 A ^

p, 0,26 0,38 0 , 3 6

B ằ n g c á c h d ù n g ( 1 .2 ) ta có luật p h â n p h ố i c ủ a Y

>’/ Vl ,V2
P/ 0 ,5 6 0 ,4 4

C h ú ý là P | ( x , ) là t ổ n g cột, c ò n P'>(.Vị) là tổng h à n g tương ứng
của bảng gốc.

Bài 2. C ho b ả n g phân phối c ủ a biến n g ẫ u n h iê n (X, K)

-V/

1 2 3

1
2

0,15 ' 0 ,2 0 0 ,1 0
0,35 ' 0,05 0,15

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

a) X á c đ ị n h h à m p h â n phối đ ồ n g thừi cú a (X, Y).

b) Hai biến X và Y có độc lập khơng?
c ) T í n h P ( x = l | y = 2 ) = / ; ( l | 2 ) .

Giíii: a) T ừ đ ị n h n g h ĩ a h à m p h â n phối đ ồ n g thời

F ( x . j ’ ) = P { X < x , Y < j ' ) t a có F(.\', y) c h o b ở i b ả n g

.V < 1 1 < X < 2 2< A-< 3 3<.v

.V <1 0 0 0 0

1 < \ ’ < 2 0 0,15 0,35 0,45

2< V 0 0,5 0,75 1

b) C h ẳ n g h ạ n = 0,15; t r o n g kh i đó P ị { l ) p2Ì l ) =

0,5.0 ,4 5 = 0 ,2 2 3 ^ p { ỉ , ì ), n ê n X và y k h ô n g độc lập.

c) D ù n g (1.2) và (1.3) ta có p(\ 12) = ■ Chú

ý 7X1,2) c h í n h là p ( x = l , y =

2

) = /)|

2

= 0 , 3 5 .

B à i 3- Các m o a y - ơ ở một phân xưở ng được phân loại theo 2
biến: X - âộ lệc h c ủ a đường kính írong so với kích thước chuẩn
và K - độ ô v a n (inỗi biến có 4 n hóm ứng với 4 giá trị cho trong

b ản g sau). L uật p h â n phối đ ồng thời c ủ a (X. Y) đã biết như sau:

V 0,01 0,02 0,03

0,04
0 , 0 2 0,01 : 0,02 0 , 0 4 ' 0.04

0 , 0 4 0,03 0 ,2 4 0,15 0.06

0 , 0 6 1 0,04 0 ,1 0 0,08 ; 0,08

Ị

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

T ìm c á c xác suấl f [x = .V, Y = 0 . 0 6 ) và h à m phân phối c ó đ i ề u
kiện f {-\\Y = 0 . 0 6 ) .

Giải: Dễ d à n g xác định được phân phối trên biên củ a X và Y.

-V, 0,01 0,02 0,03 0 ,0 4

p, 0,10 0.40 0.30 0 ,2 0

0,02 0,04 0,06 0,08

p, 0,11 0,48 0,30 0,11

0,04

0,13;
T ừ đó theo c ô n g Ihức (1.3) ta có;

p(0,01 0 . 0 6 ) = = 0 ,0 1 1 r = 0 , 0 6 ) =

/ ^ ( 0 , 0 6 )

^ /7 2(0.0 6) 0,30

, (o. 0 3 |o, 0 6 ) = ' Í > ^ . ^ . 0 . 2 7 ;

^ ’ P2(0'06) 0,30

, ( 0 , 0 4 | 0 . 0 6 ) = 'ĩ< 5 ^ ^ = ^ ' . 0 . 2 X
^ ’ /^2(0 .0 6) 0.30

Dỗ d à n g k i c m tra 0,13 + 0,33 + 0 ,2 7 + 0 , 2 7 = 1. Đ ể tlm h à m
p h â n phối có điều kiện f{.\ 0,06) ta d ù n g ( 1 .4 ), từ đó:

/■'(-V 0,06)

0 khi V < 0, 01

0 , 1 3 khi 0,0 1 < V < 0 , 0 2
0 , 4 6 khi 0 , 0 2 < .V < 0 , 0 3
0 , 7 6 khi 0 . 0 3 < .V < 0 , 0 4

1 khi .V > 0 , 0 4 .

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

B à i 4. Ta c ó hai hộp, mỗi hộp có 6 viên bi:

- H ộ p I c ó I bi m a n g số 1, 2 bi - số 2 và 3 bi - số 3;

- H ộ p II c ó 2 bi m an g số 1, 3 bi - số 2 và 1 bi - s ố 3.

G ọ i X và Y t ư ơ n g ứng là số h iệ u c ủ a viên bi tương ứng c h ọ n
n g ẫ u n h i ê n từ hai h ộ p bi (mỗi h ộ p c h ọ n 1 bi). X â v dựng b ả n g
p h à n p h ố i c ủ a c ặ p b i ế n (X, Y) và k i ể m tra lại rằng X và Y là hai
b iến đ ộ c lập.

Giải: T ổ n g số c á c h rút ra 2 viên bi từ hai hộp là 6.6 = 36
( đ ổ n g k h ả n ă n g ) , trong đó số c ách lút ra được cặp (1,1) là 1.2 =
2; c ặp (1,2) là 1.3 = í cặp (1,3) là 1; cặp (2,1) là 2.2 = 4; cặp
(2.2) là 2.3 = 6; c ặp (2,3) là 2.1 = 2; cặp (3,1) là 3.2 = 6; cặp
(3.2) là 3.3 = 9 và cuối cùng c ặp (3,3) là 3.1 = 3. T ừ đó có bảng
ph ân phối c ầ n tìm:

Đ ể k i ể m t r a tín h độc lập, ta x â y dự n g p h ân phối ( b iê n ) củ a

X và Y t h e o ( 1 .2 ) h o ặ c trực tiế p từ đ i ề u kiện bài toán:

1 2 3

Pi 1/6 1/3 1/2

y.i 1 2 3

Pj 1/3 1/2 1/6

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

/ ; ( 1 , 2 ) = 1 / 1 2 = p , (iV . ( 2 ) =

6 2

3.1.3. Bài t ậ p

1. N g ư ờ i ta tiến hành 3 thí n g h i ệ m với x ác suất t h à n h c ô n g
c ủ a m ỗ i th í n g h i ệ m là 0,6. T ìm luật phân p h ố i c ủ a c ặ p b i ế n {X,

y) với X l à s ố thí n g h iệ m ih àn h c ô n g , c ò n Y là số thất bại.
2. Luật p h ân phối c ủ a c ặp b i ế n (X F) c h o bởi b ả n g :

Xi

' 10 20 1 30

20 ■ Ẩ ; 2/1 i 3 Ã

40 í 2 Ã

60 ! 0 /1 Ị Ẩ

/t. /L I Z- /L

60 j 0

X á c đ ị n h Ẫ và các phân phối c ủ a từ n g b i ế n X v à Y.

r - y • 'ĩ . I . _ Ạ ^ _ I _ ?• _ _ 1_ A ^ X 1 ^ ’ - 1 ‘

3. G iả s ứ luật phàn phối đ ồ n g thời c ủ a c ặ p b i ế n (X, Y) c h o
bởi b á n a :

20

0 ,1 2 ; 0,08
1 : 0 ,1 0 0 ,1 6 : 0 , 0 4
2 0 ,2 0 0 ,1 2 I 0,08

ÍBạn có n h ậ n xét gì về q u a n hệ giữa c á c cộ t h o ặ c c á c h à n g
tư ơ ng ứng? C h ứ n g lỏ rằng hai b iên X v à Y đ ộ c lập. T í n h c h ấ t về
m ói q u a n hệ trèn co đ u n g với m ọi h à m p h â n phôi c ủ a b i ế n 2
c h i é u đ ộ c lập k h ô n " ?

4. Luật phân phối đồng thời cú a số lỗi vẽ m àu X và s ố lỗi đúc
cứa một IdỊii sản phẩm nhựa của mộl c ô n g ty cho bởi bảng:

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

1
2

0,10
0 .0 6

0,06
0,05
0,05

Ị

0,02

0.04

0.01

0,01
0.01

0.00

Hai biến X và V có đ ộ c lập k h ô n g ? T ìm xác suất để tổng sò các
lỗi vẽ m à u và lỗi đúc vượi q u á 4. N ếu ta biết trên sản phẩm có
2 lỗi vẽ m à u thì xác suất đ ể k h ơ n g có lỗi đúc là b a o nhiêu?

5. Cho luật phân phối củ a c ặp biến {X, Y) như sau:

2 3 5

0,1 0 0,1

0,2 0,5 0,1

Tim luật phân phối xác suất c ủ a các hàm X + Y \'ầ X Y .

6. Một xí nghiệp c ó 2 d â y c h u y ề n sản xuất cùng một loại sản
phẩm với tỷ lệ tương ứng là 2:1. Theo ihống kê quá khứ người

ta biết rằng nếu gọi X là s ố lỗi bề mặt của sản phẩm dây chuyền
thứ nhất thì X c ó luật phân phối sau:

0 1 2 3 4

p, 0,45 0,20 0,15 0,10 0,1(

Số lôi bề mật của sản phẩm dây cliuyền thứ hai có luật Dhân phối:

0 1 2 3

p, 0,65 0,13 0,15 0,05

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

§3.2. BIẾN NGÂU NHIÊN NHIÊU C H IÊ U LIÊN TỤ C
3.2.1. T ó m t á t lý tluiyốt

1. ÌAiật phân phối xác suất cúa mộl biến ngẫu nhiên 2 chiều

{X. Y) liên tục được xác định n h ờ lìàni lìiậr độ xác suất đồng thời
Ịịx.y). Mở r ộng trường họp một chiều, có thể thấy rằng xác suất

để điểm n g ẫ u nhiên {X, Y) rơi vào miền ứ ) được tính bằng;

/ 4 ( x . e ứ ) ] = f f,/'(x. y)cỉxcỉy ( 2. 1)

ừ)

Đ ể ý rằng f { x . v) > 0; / ' ( . V , y)clxcly = 1 (lấy trên toàn mặt phẳng).

M I’

N ếu ta x á c đ ị n h hàm p h â n phối đ ồ n g thời F(x, v) g i ố n g
n h ư ở m ụ c 3.1, dễ thấy

(

2 .

2 )

/ ( . . v ) =

^

dxcy

\ y

và iương đ ư ơ n g với nó f{ii,v)cliidv = F { x , y ) .
- X -X

2. T ư ơ n g tự như cơng thức (1.4), có thể định nghĩa hàm phân
plìổi có điều kiện f [ x y ị , y i) -

p{x

< X Vị < Y < V2) như sau:

f{ằ- ị V , ,

/(//. v)clndv

1 ỉàm niât đ ô c ó điều kiên /|(.v v) = ~ - ^ ^ nêu /'t(v) ? ^ 0 .
/ii .v )

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

Dưới dạng lích phân / i {x y) = (2.3)

f { x . y ) j x

—oc
/ i G ’ ->■)=

/ C ' ‘. >’k v
- c c

Đ ố i với hai biến X, Y đ ộ c lập ta l u ô n có:

F {x, y ) = F, (,v)F2(.v) h o ặ c f { x , y ) = / | { x ) f , ( y ) .

3.2.2. C á c bài giải m ẫ u

Bài 1, Biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có hàm mật độ đổng thời

' 1 J J . 2 ^ ' ’

a[x + V ) khi X + V < /■

0 khi .

T ìm hệ s ố a.

Giải: H ệ số a đ ư ợ c x á c đ ị n h từ p h ư ơ n g trình

/(•^' .v) =

a f ( x ~ + y - ) d x c l ỵ = ỉ.
Ọ)

trong đó S ) là hình trị n + y ^ < r “ . Đ ổi biến sang hệ toạ độ

^ r V 2

cực a ủ(p q M q = 1 =í> a = —

0

Bài 2. H àm p h â n phôi c ủ a b iế n n g ẫ u nhiên 2 chiề u (X, Y) có
dạng:

F{x. y ) khi .V > 0, y > 0;

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Giưi: Theo còng thức (2.2) Irươc liên tìm

dh

Từ đó / ( a , v) =

*’ í '

c r e -X- \

khi ,v > 0. V > 0;
khi ,v < 0 hoặc V < 0.

khi .V > 0,,v > 0;
khi .V < 0 hoặc y < 0.

cxõy [0

Đ ể tìm h à m / ’(.v v) ta d ù n g c ô n g thứ c (2.3). Đ ầ u tiên tính

f-> = '/(■' • )’K '' = 'í' ' ' í/-v, khi .V > 0 , y > 0

- X 0

- \'

c ' khi V > 0 ,
0 khi y < 0

C u ố i c ù n g nêu V > 0 =í> /(.V v) = /(.v .v )

- . V

khi A > 0 ,
0 khi A < 0 .
Dễ thấy d o / ( . v y) k h ô n g phụ thuộc V (cù n g với m iề n xác định)
nên hai b iế n X và Y độc lập.

Bài 3. C h o hai biến ngẫu n h iên X, Y độc lập và c ù n g có phàn
phối đề u trên [a, h]. X ác định h à m phân phối của z = X + K.

Giủi\ T a đ ã biết nếu X /,| thì f{x) = 0 ở ngoài k h o ả n g [a,

h\ và b ằn g h ằn g sô
lập nên dỗ thấy:

h - u

trong k h o ả n g đó. Do hai biến X, Y độc

khi (.V. \’) e ứX

f{^-

v ) =

ỉ\ ụ)f2

(> ’) = ì <■/)’'

0 khi (x, v) Ể ứ ) .

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

Irong đ ó .(/) là h ì n h v u ơ n g
(xem h ìn h 3,1). X ét điểm
n g ẫ u n h i ê n (X, Y) trên mặt
p h ả n g ,vOv với m iền biến
thiê n c ủ a nó là h ì n h v u ô n g

A B C D . T h e o định n g h ĩa h à m
phân phối:

F ( z ) = P ( Z < z )

f { x . y ) í l x d y ^

(/) { t - a Ỵ

dxdv.
ừ)

trong ổ ó ữ ) ^ là phần hình v u ô n g nằm dưới đường thảng z = -V + y.
1

T ừ đó Fiạ) =

-ữ ) , . T ừ hình 3.1 ta có:

^ Srj) . t r o n g đó là diện tích cùa miền

nếu z < 2 u F ( . - ) = 0 ;

nếu 2 a < z < a + b F {z ) ( i z M

2{h - a)'

(vị trí trên h ì n h vẽ)

( i b - Y

nếư a + h < z <2 bF { z) =^ ỉ (vi tn' đường thẳnỉỉ trên)

2{b - a f

nếu z > 2 h F {z) = ỉ .

Có thể dễ dàng tìm hàm mật độ, d ùng cơng thức (2.2).

l ìà i 4. Cho biến 2 chiều (X, Y) có mặl dộ xác suất hàng bàng
0,5 trong hình vng với các đính có loạ độ (1,0), (0,1). ( 1 , 0 ) ,
(0,- I ). H ãy lìm:

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

b) C ác h à m rnật dộ có điều k iệ n /| (x y) và /^(v .v);
c) X và Y có độc lập k h ô n g ?

Giải: a) T a có n g a v h à m mật đ ộ đ ồ n g thời:
1

/(•v.v) 2 khi

(.V, v) 6 ứ )

c.

/

1 6

\
0 khi (,v, v) Ể (/).
t ro n g đ ó - 0 là h ìn h v u ô n g

( x e m h ì n h 3.2). X ác đ ị n h
p h ư ơ n g t r ì n h của các c ạn h
h ìn h v u ơ n g A B C D :

AB: X + y = 1

B C : y - X = 1

CD: v + .v = - l

DA:

y

~x = - l

+ y.

T ừ đó t h eo c ô n g thức / i ( x ) = / ( x , v)í/.v, ta có ngay;
/ỉ. X

D

Hình 3. 2

l-.v

2
1

c/y - 1 - X khi 0 < X < K

.v-l

1 + A

í/v = 1 + X khi - 1 < ,v < 0,

khi , V < - 1 hoăc X > 1

Tương tự / 2(3’) =

1 - y khi V

0 khi

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

b) T h e o c ô n g thức (2.3) khi V < 1

1

2 (

1 - v)

0

khi -V < 1 -

khi .V > 1 - \'

T ư ơ n g tự khi A‘ < I

khi I v| < I

khi V > 1
,v

c) Hai b i ế n X và Y phụ t h u ộ c vào nhau.

3.2.3. Bài tập

1. Cho hàm mật đ ộ đồng thời của một véc tơ ngẫu nhiên (X, K):
/(.V, v ) = í/(-v + ,V“ ) khi 0 < X, y < 1 .

a) X á c đ ị n h h ằ n g s ố a.

b) T im c á c h à m m ậ t đ ộ b i ê n c ú a X v à Y.

c) X và Y có đ ộ c lậ p k h ô n g ?

d ) T im hàm mật độ có điều kiện của ,v biết ràng Y e [0,4;0,6 .
2. Biết m ộ t h à m m ật độ đ ồ n g thời

/(.V, y ) = r.vv khi 0 < A < 4 ; 1 < V < 5.
a) X á c đ ị n h h ằ n g sơ c.

b) T ì m c ác h à m m ậ t đ ộ biên.

c) Tim hàm mật độ có điều kiện của Y biết rẳng 0.5 < X < 1,5
3. H à m m ậ t đ ộ đ ồ n g th ờ i c ủ a c ập biến (À', K) có dạng;

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

a) T i m hệ s ố a.

b) X và V c ó đ ộ c lập k h ô n s ?

4. T ìin các h à m mật độ biên và mật độ c ó đ iề u k i ệ n c ủ a c ặp
biến (X. V ) có m ật độ xác định trong bài giái 1 c ủ a m ụ c 3.2.

5. C h o hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập và tu â n t h e o luật
chuAn c / ( 0 . ơ ^ ) . T ìm hàm mật độ phân phối c ủ a b iế n n g ẫ u n h iê n
X - + y

6. C h o cặp (X, y) có phán phối đểu trong m ặ t trò n t â m

o

b án
kính r.

a) X á c đ ị n h h à m p h â n phối của mỗi toạ đ ộ X v à Y.

b) T ì m h à m m ậ t độ c ó điều kiện / 2(3’ A').

7. C h o h à m m ậ t độ đ ồ n g thời của cặp b i ế n {X, Y)

f { x , y ) = ae

+ 2 . v v + 5 v '

a) X á c đ ị n h h ằ n g số a.

b) T i m c á c h à m m ật độ có điều kiện.

8. Hai m á y tự đ ộ n g làm việc độc lập, xác suất đ e từng m áy
sản xuâì ra sản p h ẩ m tốt tương ứng là Pị và p^. G iá s ử m ỗi m áy
làm được 1 sản p h ẩ m và gọi X, Y tương ứng là sò' sản pháni tốt
của từng máy. H ã y lìm hàm phân phối xác suất đ ồ n g thời c ủ a

cụp

(X K).

§ 3.3. C Á C Đ Ậ C SỐ C Ủ A BIẾN N G Ẫ U n h i ê n
N H I Ề U CH IỀU. LUẬT CH U Ẩ N HAI C H l Ề U
3.3.1. Tóm tát !ý thuyết

1. Hệ t h ố n g c ác đặc số đầu tiên ta quan tâm là c á c kỳ v ọng
cúa các thành p h ầ n của biến ngẫu nhiên nhiều chiều.

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

Đối với c ác biến liên tục ta có ( b iế n 2 chiều):

E X - 'a/i {x)dx = r ì ĩ ỵ ; E Y = 'a / - ,(,v)í/.v = n ì y . (3.1)

-cc —ClC

C ò n đố i với b iến rời rạc ~ •

' /' i i

T hực ra c ó thể định nghĩa m ô - m e n g ố c bậc k + / củ a biến hai

c h iề u n h ư là tìĨỊ^i = e {x ^ Y ’ ) v à c á c w ^ v à /77) c h í là c á c trư ờ ng
hợp riêng khi / = 0, m = 1 và /?? = 0, / = 1. M ô-inen trung tâm c ấp

k + / c ủ a biến 2 chiều (X.K) được đ ị n h n g h ĩ a là;
I^A./ =

Trong trường hợp riêng, chẳng h ạ n khi Ả' = 2; / = 0. ta có phương
sai c ủ a biến X\ ^ “ ' ' ' h)"

tương tự Vy = e ỊY - niy )■ .

Đ ặ c số thứ 3 được quan tâm c ũ n g là m ộl trường hợp riêng
của đó là hi ệp phương sai c ủ a (X,K), ký hiệu là cov{X,Y)

r m < X . y ) = £ p - / ? 7 ; , X ỉ ' - ' » ỵ ) ]

(l-M.,)-Hiệp phương sai là độ đo quan hệ giữa hai biến ngẫu nhiên X và

Y. N ê u X v à Y tỷ lệ thuận, ta có hiệp p h ư ơ n g sai dương, ngược lại
nếu X và Y tỷ lệ n ghịch thì nó âm. T r o n g nhiều trường hợp người
ta q u a n tâm n h iều đến hiệp phương sai q u y chuẩn. Dạng n h ư vậy
được m a n g tên là lìệ s ố tương q u a n giữa X và Y và được xác đ ịn h
như sau:

W ĩ '

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

N ếu X, Y độc lập, la có r o r ( X , F ) = 0 và tương ứng P x Y = 0 .

Ngược lại nói c h u n g khơng đúng.

T rong trường hợp biến ngẫu nhiên II chiều, người ta tập hợp

c á c hiệp phương sai, hoặc các hệ số tương quan, vào các m a trận
tương ứng gọi là m a trận hiệp phương sai hoặc m a trận tương
quan. C h ẳ n g h ạ n nếu ta xét m ột hệ thống lì biến ngẫu n h iên (X|,

X,,...,

x„)

thì m a trận hiệp phư ơ ng sai, ký hiệu là

r với các phần

lử Ỵiị {i,j = 1 , 2 , được định nghĩa như sau:

M a trận tư ơ ng q u a n c ó các t h à n h p h ầ n đ ư ờ n g c h é o đ ề u b ằ n g 1.

2. Phân phối của (X, Y) được gọi là chuẩn, nếu hà m mật độ có
dạng:

(x-nix f )(y-nh;)

a ị ơ ị

iTTƠy^ơyỶÌ p

-(3.2)
trong đó niỵ, niy là kỳ vọng các thành phần; ơ ỵ ,(Tj là độ lệch
c h u ẩ n tương ứng; p = /7 y J là hệ số tương quan.

Nếu /9 = 0 ta có ngay / ( x , v) = / | ( . \ - ) / , ( v) trong đó / Ị ( .y)
và /-)(>’) là c á c m ật độ của các biến ngẫu nhiên có phân phối
c h u ẩ n c4 '{ìnỵ , c r ị ) và ơs \ i n y , c r f ). T ừ đó X và y trở thành độc
lập (nếu k h ơ n g có giả thiết c hn thì nói c h u n g không độc lập,
x e m bên trên).

3.3.2. Các bài giải m ầu

Bài 1. G i ả sử ta có p h ân phối xác suất đ ổ n g thời th e o b ả n g
( x e m bài giải 2 m ụ c 3.1).

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

0 1 2
1

0 ,15
0 ,35

0,20 0.10
0 ,0 5 0.15
T í n h h ệ s ố t ư ơ n g q u a n của X v à Y.

Gi ải : Cáí p h â n p h ố i biên c ú a X và Y có thể tìm đưọc

1 2

J, 0 ,5 0 0 , 2 5 0,23

V, 1 2

p, 0 .4 5 0.5 5

từ đó k>' v ọ n g c u a c h ú n g nix - 1.0.50 + 2.0,25 + 3.0,25 = 1.75;

I7ìy = 1.0,45 -f 2 .0 .5 5 = 1,35; = 0 .6 9 và = 0.25. Bâv giờ tci
tính E (XV)

E { X Y) = z z ^ i y j P u = 1 ■ 1 -0.15 + 1.2.0,20 +
+ 1.3.0,10 + 2.1.0.05 + 2.3.0,13 = 2.65.
ĩ ĩ i ệ p p h ư ơ n g sai

cov{X, Y) = £'[(x - V). =

E { X Y ) - m ỵ m Y = 2 . 6 5 - 1 . 7 5 . 1 . 5 5 = -0 ,0 6 2 5 .
Hệ s ố t ư ơ n g q u a n

, , £ ^ . „ z M É Ì L _ 0 . L S ( ) 5 .

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

Bài 2. H àm m ật độ đ ồng thời cúa (X, Y) {X. Y là toạ đ ộ của
biên đ ộ d a o đ ộ n g thùng xe ô tô khi chuyổn đ ộ n g ) là;

— sin(,v + v) khi (.V, v) e ứ )

khi (.V, v) Ể iZ>
0

7X

tro n g đó ,íZ) là m i ề n i ( x , v ) ■ 0 ^ .V < —. 0 < V <

2

n

>. X á c đ ị n h
hệ sỏ' t ư ơ n g q u a n c ủ a X, Y.

Giải: Đ ầ u tiên ta tìm m X và ni y . T h e o c ô n g thứ c ( 3 . 1 ) ta có:

m x =

+cy;^ 4--X

x f | ( x ) d x = x f ( x , y ) j x d y
—oc —cr

/2 ^ n:/2

x s in ( x + v)dxdy = — x ( s i n x + r o s x ) d x = — ,

:) ^ 0 ' 4

rìiy ( do tín h đ ố i xứng ciia X v à K).
T i ế p tục tín h các p h ư ơ n g sai:

, Ttn.ĩĩH

ơ \ = £ ( x ' ) - ( /ĩx )" = — + v)dx(Jy - m ị

0 (I

ơ ỹ — ơ ỵ —ơ ỵ ơ ỵ —

_ 7T + ^ 7 Ĩ ~ 3 2

7T- + 8;r - 32

H iệ p p h ư ơ n g sai đ ư ợ c tín h n h ư sau;

J K l l n l l

cov{X, Y ) = E { X Y) - n ỉ ỵ n ì y = — AT sin{x + y ) d x dy 
-n

0 0 16

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

_ - \ 6 - n
16

rr,- . íy;v(X,K) 8 ; r - 1 6 - ; r ^

T ừ đó ta có: p ^ - = ---— - = —-— — « - 0 .2 4 5 4 .
cr^CTy ;r + 8 / T - 3 2

B à i 3. C h o h à m m ậ t độ đ ồ n g thời c ủ a biến (X, Y)

Jv-l)-/'(.V. }') = ac ^
-a) X á c đ ị n h a.

b) X và Y c ó độc lập k h ơ n g ?

c) T í n h x á c su ấ t xảy ra đ ồ n g thời X < - 3 , và Y > 4.

+ o: -fX

Gi ởi : a) D ù n g c ô n g thức / (.V. v)r/,ví/v = 1; ta có
- y . — ' X

a

+ cr. ( y - l ) “

clx e 2 (ịy - [

-r.

+x A

D ù n g t í c h p h â n ơ - l e - P o a - x ô n g - d x - - Ị ĨtĨ , la có

(.v+3)~

^ dx

- X

^ í/y

đổi biến lí

^ +r //“

^ ] = 2 ị e ' chi = l ^ ĩ n

2 -Cf.Ì

đổi biến // = V - 1

•ỉ y . u

e /T

T ừ đ ó I o^ Ị Ĩk ■'J2 n = A a n = 1. Suy ra a =

b) C ó Ihể b i ể u diên

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

/ ( . v . v ) =

An

s
V 't

í' - = / l ( v ) / 2 ( v )

-2 ^ 7 ^ - Ị Ĩk

trong đó /'i (.v) và (v) là các hàm mật độ biên của X \'à Y (chú ý
chúng là các biến có phân phối chuấn 1 chiều). Vậy X v à Y độc lập.

c) D o X và Y d ộ c lập n ê n P ( x < - 3 . Y > 4) = p ( x < - 3 ) p ( Y > 4).

Do X ~ o f ( -3 . 4); Y - 6 7 ( 1 , 1) n ê n t a có n g a y

/^(X < - 3 ) = 0 . 5 : p { Y > 4 ) = i \ 5 + ệ 4 - 1

V 1

0,9 9 8 6 5 .
từ đó x ác suất c ầ n tìm b ằ n g 0,5.0.99865 ^ 0,5 .

B à i 4. Biên độ d a o đ ộ n g n g ẫ u n h i ê n c ủ a t h à n h t à u t h u ỷ là
biến n g ẫ u n h iê n luân t h e o luật p h â n phối Rê-le;

c
ơ

ơ ~ là phương sai của góc n g h i ê n g . T ìm xác suất để b i ê n độ d a o
đ ộ n g bé hơn trung bình; lớn h ơ n t ru n g b ì n h c ủ a nó.

Gi ải: Trước hêt la tìm EX, t ro n g đó X là b iê n đ ộ d a o đ ộ n g
Irong đầu bài:

e la d x =

Vĩ

I n

0 2

Mặl k h á c c ó thể tín h được h à m p h â n phối c ủ a X k h á dể;

) = 1--c ( x > 0 ) .

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

Từ đó;

p{x < niỵ ) = p

x < Ơ ^ I T Ĩ

Vĩ

= F

Vĩ

i n

-F(o)

ĩỉ

= ^ 0 , 5 4 4

và su y ra

p[x

> /77;c) = 1 -

p{x

< m ỵ ) = 0,456 .
3.3.3. Bài t ậ p

1. Tính hiệp p h ư ơ n g sai và hệ số tương q u a n của cặp (X F),
biết rằng luật p h â n phối đ ồ n g thời đã cho:

ly, - 4 - 2 2 4

- 2 0,00 0,25 0 ,0 0 0 ,0 0

- 1 0 ,0 0 0,00 0 ,0 0 0,25

1 ' 0,25 0,00 0,00 0,00

2 : 0,00

0,00 0,25 0 ,0 0

2. C h o c ặp {X, Y) c ó h à m m ậ t độ đ ồ n g thời;

7 , ^ ô ã

r[x^ + y ^ + l )

Xác đ ịn h các kỳ v ọ n g t h à n h p h ần và các h i ệ p p h ư ơ n g sai.

3. Xác đ ị n h m a trậ n p h ư ơ n g sai c ủ a c ặ p b iế n (X, Y) biết
ràng h à m p h â n p h ố i đ ồ n g thời có dạng:

F ( x , y ) = sinx siny, nếu 0 < x < — , 0 < y < ~ ;

n ế u X >

7T

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

trong biểu thức trên thav sinx = 1 (hoặc sinỵ = 1 ) ; nếu Ằ < 0

hoặc V < 0 thì F(ă, ỵ) = 0.

4. Các toạ độ (X, F) của m ột điểm n g ẫ u nhiên trên mặt phẳng
theo luật p h â n phối chuẩn

/(•^% y) =

1

í 2 \ y:

4-2tĩ ab

a h

T im xác suất để đ iể m đó nằm trong một elíp có c ác b á n trục ka

và k h trù n g với các trục toạ độ O x và Oy.

5, Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X, Y có c ù n g phân phối
c h u ẩ n với E X = E Y - 0 và phương sai X ác đ ị n h xác suất của

các sự kiện.:

a) X > Y b) |A^| > Y c) X > |y
d) X < 1 e) Đ ồ n g thời X < 1 và y < 1.

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

Chương IV

MẪU THỐNG

K Ê V À

ư ớ c LƯỢNG THAM s ố

§4.1. M Ẫ U T H Ố N G KÊ VÀ P H Â N PH ƠÌ THỤC N G H IỆ M

4.1.1. T ó m tắt lý thuyết

1. N h i ệ m vụ thống kê toán là phâìì liclì s ấ ìiệii (gồm ihu thập
và xử lý) n h ằ m thu n h ậ n các thông tin c h ân thực về một đại
lượng n à o đó và rút ra các kết luận hợp lý c ó giá trị khoa học và
thực tiễn. G iá o trình sẽ giới hạn tro n g việc giới thiệu một sô
phương p h ấ p x ử lý số liệu.

Khái niệm c ơ sở c ủ a thống kê toán là t ập m ẫ u, gọi tắt là mẫu;
đó là tập các đối tượng cùng bản chất được c h ọ n một cách ngẫu
nhiên. T ậ p lìân được gọi là tập bao g ồ m m ọi đối tượng cùng bản
c h ất nào đó, nơi m à ch ú n g ta tiến h à n h việc c h ọ n ra mẫu. DiiiiíỊ
lượng niẫii là số lượng các đối tượng c ó tro n g tập mẫu. Mẫu sẽ
được gọi là k h ô n g hoàn lại nếu đối tư ợ ng c h ọ n kh ô n g bị Iiá lai
trước khi c h ọ n đối tượng tiếp theo và c ó h o à n lại nếu k h ô n s làm
n h ư thế. T h ô n g thường m ẫu được gọi là bé n ế u d u n g lượng của
nó k h ô n g vượt q u á 23 - 30 phần tử.

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

m âu để ihấy lính hợp lý cùa việc sử dụng c h ú n g cả về lý ihuyếl

và thực hành). Cịn troiiíi các bài tập lính tốn, m ẫ u đ ơ n giản là
một dãy số thực n h ư ta vẫn thường gặp trong tốn nói c hung.

2. Khi n g h iê n cứu một inẫii có dung lượng //, k h ố n g loại irừ
khả n ãn g m ột giá trị nào xuất hiện nhiều lần trong m ảu. Bằng
việc g ộ p các giá trị bằng nhau lại. ta có thể biểu diễn m ẫ u b ằn g
b ã n s sau đây:

■\'l -V;

X,

ỉỉ

1 2

n ^

trong đó / / , là s ố lần xuất hiện giá trị .V, ( / = 1, 2, Ả). C á c riị

chính là t t h ỉ .vô’ c ủ a các giá trị lương ứng và //j + ỈỈ2 + . . . + /ỉ^ = /?.

Đồ ý rằng nếu tất cả các /í, đều bằng 1, ta sẽ có giá trị m ẫ u k h á c
nhau và trong Irường hợp đó k - ỉỉ (dung lượng mẫu).

Tỷ số giữa tần số và dung lượng mẫu được gọi là tán s uấ t củ a
siá trị tương ứng và được ký hiệu là {i = 1, 2,.., k). Có

Ihể c h ứ n g lỏ dễ dàng:

Ì ' V , = Ẻ

i=i i=i n n n

Bảng số sau đây thiết lập mối q u an hệ tương hỗ giưa các g iá trị
mẫu và tần suất c ủ a chúng:

(

.

)

X

^'2

và cho c h ú n g ta một bức tranh nào đó về há n chất xác suất c ủ a
biến ngẫu nhiên X c ảm sinh ra mẫu; vì vậy bảng s ố n à y h a y được
gọi là pliâìỉ p h ố i íỉìực lìịỊlìiệni (hoặc phân p h ố i m ẫ u ) c ủ a biến X.

N ó có d ạ n g rất g iố n g bảng phân phối xác suất c ủ a b i ế n n g ẫu
nhiên rời rạc ( x c m mục 2.1). Đôi khi irong bảng (1.1) c ác g iá trị

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

mẫu được cho k h ô n g phải b ằ n g số, m à b ằn g m ộ t k h o ả n g trê n
trục số; sau này khi tính tốn, t h ơ n g th ư ờ n g ta thay k h o ả n g số
bằng giá trị n ằ m giữa kh o ả n g ( n h ư là t r u n g bình c ủ a khoản g ).

Ngoài b ả n g (1.1) người ta còn xâ y d ự n g h à m p h á n p h ố i x á c
suất thực ng h i ệm c ủ a biến n g ẫu n h i ê n c ả m sinh ra m ẫu; c á c h tìm
m ột hàm n h ư vậy giống như c á c h l à m tro n g m ụ c 2.2 b ằ n g c á c h
coi ( 1.1) n h ư là m ộ t b ả n g phân phối x ác suất và các M’, là các xác
suất. N h ư vậy việc xác định h à m p h â n p h ố i thực n g h i ệ m sẽ c h í n h
là quá trình tìm tần suất tích luỹ (và k h i đ ó trong b ả n g (1.1) các
số liệu phải được sắp theo thứ tự tă n g d ầ n c ủ a giá trị).

Bây giờ c ó th ể x ác đ ị n h c á c đ ặ c t r ư n g m ẫ u c ơ bản:

* Tr ưng bình m ẫu

A" = —V / 7 , x , hoặc

x

= — ( 1. 2)

« t í ' » /=1

* P h ư ơ n g s a i mẫii

= - Y n , { x ^ - x f hoặc s2 (a. - x ) " . (1.3)

” ,=1 « ,=1

Ph ư ơ n g s ai m ầ n h i ệu c h ỉ n h

hoặc ụ . - x Ỵ . (1 .4 )

Dễ thấy

/ 7 - 1

* H à m p h â n p h ố i mẫu: G i ả s ử t r o n g ( 1 .1 ) < X2 < ...< Xị.

0 k h i X < X , ,

t a c ó

F„ U ) =
h

/=^1

k h i < X < ^ / , + 1, ( / / = 1 , 2 . . . , , k - 1 )

k h i X > X k •

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

Ngồi ra có thể xác định các đặc trưng mâu khác như trung vị
mẫu, m ô - m e n m ẫ u . . . Việc tính theo (1.2) - (1.4) sẽ xét ở m ục 4.3.

3. T r o n g thống kê m ỏ tả, để biểu diẻn quy luật phán phối xác
suất người ta còn d ùng phương p h áp đổ thị, chẳng hạn:

* Đư ờn g g ấ p k hú c p h â n p h ố i là đường nối các điểm (X|, M’|),
(^2, Wj), (x^., vvj; hoặc các đ i ể m (.V/, «/), //<).

* T ổ chức đ ồ trên hệ toạ đ ộ (a', v); trục hoành là toạ độ X j , ^2,

Xị^ và giả sử c h ú n g c á c h đều h = ~ A',. Ta dựng các hình

c h ữ nhật có c h iề u c ao bằng (hoặc M',) và chiều rộng bằng Ìì với
đ iểm giữa đ á y chính là các X ị . ..

4.1.2. C á c bài giải m ẫu

B à i 1. Khi đo độ dài của 30 chi tiết chọn ngẫu nhiên củ a một
loại sản p h ẩ m , người ta thu được s ố liệu sau đây:

39 41 40 43 41 40 44 42 41 43 41 42 39 40 42
43 41 41 42 39 42 42 41 42 40 41 43 41 39 40

X â y dựng; a) Bảng phân phối thực n g h iệ m và h à m phân phối
m ẫ u tương ứng; b) Đ ư ờ n g c o n g g ấ p k h ú c phân phối c ủ a độ dài

chi tiết đã đo.

Gi ải : S ố liệu đ ã c h o c ầ n t ậ p h ợ p lại vào bảng s ố sau đây:

X 39 40 41 42 43 44

n 4 5 9 7 4 1

a) B ả n g p h â n p h ố i thực n g h i ệ m củ a bộ số liệu gốc sẽ là:

X 39 40 41 42 43 44

7. 1 7 ? 1

w

15 6 10 30 15 30

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

Từ b ả n g số trên b ằn g c á c h tìm c ác tầ n s u ấ t tíc h luỹ ( x e m c ô n g
thức (1.5) )ta có h à m p h â n phối m ẫu :

0

15
3

khi X < 39.

khi 39 < A- < 40,

khi 4 0 < x < 4 1 ,

khi 41 < X < 42,

khi A 2 < x < 43,

khi 43 < X < 44,

khi A' > 4 4 .

3
5
5
6

30
1

N ế u b i ể u d iễn trên đồ thị đ â y
là m ộ t h à m b ậ c thang.

b) Đ ư ờ n g gấp k h ú c p h ân
phối c h o bởi hình 4.1: trục
tu n g ta c h ọ n đ ơ n vị là r t ị - tầ n
s ố c ủ a g iá trị A', tương ứng .

B à i 2. Đ o đ ộ lệch của k íc h th ư ớ c s ả n p h ẩ m so với c h u ẩ n ta
được b ộ s ố liệu sau:

Hình 4.1

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

0 , 0 2 0 ,1 0 0 ,1 6 0 , 0 4 0 ,0 9 0,15 0,12 0,07 0,17 0,16
0 , 0 4 0 ,0 6 0,17 0 ,0 3 0 ,0 4 0 ,0 4 0,11 0,15 0,15 0,17
0 ,0 5 0 ,0 7 0 ,0 4 0,11 0,05 0,08 0,10 0,06 0 ,0 6 0,09
0 ,0 3 0 ,0 6 0 ,0 2 0 , 1 7 0,17 0 ,0 9 0,09 0,12 0,07 0,10
0 , 0 6 0,11 0,09 0 , 1 4 0 , 1 4 0 ,1 0 0,08 0,10 0,11 0,09
0 ,0 8 0 ,1 2 0 ,1 0 0 , 1 0 0 ,1 0 0,02 0,07 0,06 0 ,1 2 0,10
X á c đ ị n h b ả n g p h â n p h ố i thực n g h i ệ m và x â y dự n g tổ chức đồ
tư ơ n g ứng.

Giải: Đ ộ lệ c h b é n h ấ t là 0 ,0 2 c ò n lớn nhấ t là 0,17; vì vậy
ta c h i a m ẫ u t h à n h 8 k h o ả n g với độ dài 0,02. B ả n g p h â n phối
thự c n g h i ệ m sẽ c ó d ạ n g {n - 100):

0,0 2 - 0 ,0 4 - 0 , 0 6 - 0 ,0 8 - 0,10- 0,02- 0,1 4 -
0,16-0 ,0,16-0 4 0 ,0 6 0 ,0 8 0 ,1 0 0,12 0,14 0,1 6 0,18
0,08 0,13 0 , 1 4 0,13 0,19 0,08 0 ,1 2 0,13
T ố c h ứ c đ ồ của độ l ệ c h c h o bởi h ì n h 4.2

0,20

0,10

(')

0,02 0,06 0,10 0,14 0,18 X

Hình 4. 2

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

B à i 3. C h o bộ số liệu g ồ m 79 giá trị n h ư salu:

43 52 53 54 45 54 59 54 48 40 56 53 59 42 43

49 51 51 44 57 51 4 5 - . 50 42 51 56 57 50 50 51

55 50 53 48 46 47 51 51 57 52 48 5Í 50 47 53

57 55 50 50 49 52 48 51 60 48 53 62 51 49 61

42 50 51 60 51 50 57 55 49 53 56 49 46 55 56

47 50 47 54

X ây d ự n g b ả n g p h â n phối x á c su ấ t thự c n g h i ệ m .

Giải: Kết q u ả cho bởi b ả n g sau đây: Cột 1 là các n h ó m số
liệu, cột 2 và 3 là tần s ố và tần s ố tích luỹ, cột 4 vẵ 5 là tần suất
và tần suất tích luỹ.

N h ó m T ầ n số T ầ n s ố

tíc h luỹ T ầ n suất

T ầ n s u ấ t
t c h l u ỹ (% )

40 - < 44 6 6 7,59 7 ,5 9

44 - < 48 9 15 11,39 1 8 ,9 9

48 - < 52 31 46 39,2 4 5 8 , 2 3

5 2 - < 56 17 63 21,52 7 9 , 7 5

56 - < 60 12 75 15,19 9 4 , 9 4

60 - < 64 4 79 5,06 1 0 0 ,0 0

Đ ể ý rằng cột 4 cho ta một hình ả nh xấp xi về híiĩi p h â n phối
mẫu. Cách xây dựng bảng p h â n phối thực nghiệm cưới d ạ n g cột
thường rất phổ biến trong các tài liệu củ a M ỹ - Anh.

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

3.39 3 ,3 9 3,38 3,41 3,42 3,40 3,41 3,39 3,44 3,43
3,38 3 ,4 0 3 ,3 7 3,41 3,40 3,41 3,38 3.42 3,43 3,39
3.40 3,41 3.46 3,39 3,37 3,42 3,41 3,40 3,38 3,41
M ô tá d ã y s ố liệu đó bằng biểu đồ c h ấm , sau đó xác định bảng
p h â n p h ố i thự c n g h iệ m .

Giải-. Biểu đồ c h ấ m có thể xây dựng n h ư sau đây và tương
ứng với b i ể u đ ồ là b ả n g phân phối thực n g h i ệ m

•
•
1—
•
•
•

--- 1—
•
•
•
---
1---•
•
•
1
•
•
•
•
•
• •• • •

3,37 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 1 ■ -i---13,45 ,3,46
X 3 ,3 7 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 3,46

] 2 1 1 7 1 1 1 1

15 15 6 6 30 10 15 30 30

Đ ể ý rằng ngoài tổ chức đồ và biểu đổ chấm , cịn có nhiều cách
m ơ tả s ố liệu khác, c hẳng hạn sơ đồ kiểu c ây - lá, kỉểu hình trịn
v .v ... M ụ c đích c h u n g đều là tạo đồ thị để bằng trực giác xác
d in h dê d à n g các tần suất lớn nhó khác nhau ứng với các giá trị
tương ứng .

Bài 5. C ho m ộ t b ản g phân phối thực n g h i ê m n h ư sau:

1 9 3 4

0,4 0.1 0,3 0,2

l 'ìi n h à m phân p h ố i m ẫ u và vẽ đồ thị của nó.

Giải: T h e o c ô n g thức (1.5) ta có:

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

f , , w =

1 ^

n
n , =

-n

khi
- 1

X < 1 ,
0,4 khi 1 <A < 2 ,
0,5 khi 2 < X < 3,

0,8 khi 3 < a- < 4 ,

1 khi a' > 4 .

biểu diễn 1

trên hình 4.3

4.1.3. Bài t ậ p 1 2 3

1 lĩ_ • A

4 X

1. C ho bộ số liệu sau đây: Hình 4. 3

-1,54 1,71 -0,59 -1,08 -1,18 -0,08 0,46 0,46 0,82 0,80
0,69 -1,41 -0,87 -0,27 0,08 -0,81 1,47 0,11 1,60 -0,42
0,98 0,90 -0,48 -0,48 0,25 -0,62 -0,81 -0,36 1,45 -0,13
0,78 1,33 0,03 -1,32 -0,09 0,17 0,47 -0,45 0,34 -0,72
-0,47 0,93 0,89 0,35 0,22 -1,92 0,20 -0,34 -1,05 2,18
-0,60 -0,91 -0,23 -1,50 0,47 0,41 -0,77 0,70 1,10 -1,31

0,79 -0,39 -1,16 -0,50 -0,60 -2,51 -0,73 -1,24 1,35 0,32
-0,21 0,29 0,07 - 1,00 0,28 1,56 0,43 1,41 0,04 0,05

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

Xác định b ản g phân phối thực nghiệm , sau đó tìm đường gấp
khúc phân phối tương ứng.

2. Sau đ â y là giá c ủ a m ộ t loại bất đ ộ n g sản ở m ột huyện:

180 165 151 148 145 121 110 110 105 100

100 100 100 98 95 95 90 90 90 85

84 83 82 80 80 75 72 72 68 65

61 61 60 60 60 58 57 56 55 55

54 54 53 52 51 50 50 50 50 50

50 49 46 45 45 41 41 4 0 , 40 38

38 36 35 35

Xác định b ả n g p h ân phối thực n g h iệm (lấy độ dài b ằ n g 30 và bắt
đầu từ giá trị 30), sau đó vẽ tổ chức đồ và đường gấp khúc phân
phối của tần suất tích luỹ.

3. T ừ m ộ t bộ s ố liệ u về đ ộ dài, n g ư ờ i ta đã xây dự n g được
sơ đồ d ạ n g “ c â y l á ” n h ư sau:

2,0 II 49 , 39, 73, 30, 40, 23, 46, 94, 88, 65, 03, 20, 39, 65
2 , 1 II 65, 23, 54, 63, 68, 12, 92, 19, 71, 5 4 ,1 9 , 13, 80,9 3 , 94
2,2 |Ị 87, 74, 11, 25, 03, 02, 42, 97, 22, 54, 95, 89, 71, 75, 9 0 ,4 8
2,311 4 8 , 7 4 , 4 4 , 7 9 , 8 1 , 7 8

2.4 II 43, 24, 60, 26, 55, 7 3 ,0 7
2.5 II 09, 3 7 ,4 6 , 3 9 ,0 3 , 11
2.6 II 4 2 , 4 3 , 2 2 , 9 9 , 64, 15,49
2.7 II 2 8 ,0 0 , 38

2.8 II 29, 96, 60, 73, 14, 64
2.9 6 5 , 1 1 , 2 5 , 8 4 , 7 9 , 5 9

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

T rong sơ đồ n à y c ây c h í n h là b ộ s ố trướ c dấu , c ò n lá là các
số c òn lại; để ý lá là c á c p h ầ n c h ữ s ố c ủ a phần t h ậ p p h â n
(hàng c h ụ c và h à n g trăm , tức là c h í s ố p h ầ n trăm và p h ầ n vạn
của số đo tương ứng; c h ẳ n g h ạ n ứ n g với c â y 2,7 ta c ó c ác sỏ'
liệu gốc là 2 ,728; 2 ,7 0 0 và 2 , 7 3 8 ) . H ã y x á c định b ả n g p h ân
phối thực n g h i ệ m ứng với s ơ đ ổ c â y - lá này.

4. Q u a n sát m ột biến n g ẫ u n h i ê n 25 lần ta có bộ s ố liệu:

2 5 7 Ỉ 10 5 9 6 8 6

2 3 7 6 8 3 8 10 6 7

3 9 4 5 6

Xác đ ị n h b ả n g p h â n phối th ự c n g h i ệ m v à đ ư ờ n g gấp k h ú c p h â n
phối tương ứng.

5. Người ta chọn ra 65 lô h à n g c ủ a 2 th á n g liên tiếp c ủ a c ù n g
mộl nhà m áy đem đi thử n g h iệ m , s ố lư ợ n g các p h ế p h ẩ m là;

0 1 1 3 0 1 0 0 1 2 1 0 1 1 1 0 0 3 1 2 2 4
2 1 1 1 0 2 0 0 0 1 1 1 2 2 1 0 1 1 1 2 0 1

1 2 1 2 2 2 0 1 0 1 1 0 2 2 1 1 2 1 1 0 0

và

1 2 2 1 2 3 1 0 2 4 0 0 2 3 4 4 1 1 2 3 2 5
4 1 6 2 2 0 4 2 2 2 2 1 1 2 1 3 3 3 0 1 1 0

1 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 6 4 0 4 1 2 2 1 1 2

Xây dựng các đường gấp k h ú c p h â n phối tương ứng \'à c h o biết
chấl lượng của hai bộ lỗ h à n g c ủ a h a i th án g đó có g iống nhau
khơng? tại sao?

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

59 70 79 73 79 45 71 67 61 69 61 59 73 71 67
69 61 59 75 71 67 61 59 85 90 87 44 46 85 54
76 77 68 77 79 51 59 67 54 57 75 69 66 60 74
64 74 66 86 75 59 71 72 76 69 59 61 64 71 72

Hãy x á c đ ị n h b ả n g p h â n phối thực n g h iệ m . Sau đó vẽ các
đườ ng g ấ p k h ú c p h â n p h ố i và tổ c h ứ c đồ ( c h ọ n độ dài k h o ả n g
cách b ằ n g 10).

7. Đ i ể m s ố c ủ a sin h viên ở m ộ t lớp là ( đ iể m tối đa là 100);
42 48 4 4 34 45 77 81 80 80 83 79 77 76 75 81

81 75 80 32 39 48 77 33 57 27 46 49 76 74 77
85 79 42 32 46 49 56 45 39 53 32 50 44 53 47
38 46 48 42 33 39 39 40 33 72 83 82 75 76 85

X ác đ ị n h b ả n g p h â n p h ố i thự c n g h i ệ m và đ ư ờ n g gấp k h ú c phân
phối. C h o n h ậ n xét về s i n h v iê n lớp đ ó dựa vào đồ thị xác định
ở trên.

8. C h o b ả n g p h â n p h ố i thự c n g h i ệ m có dạng:

Mhóm g i á trị T ầ n su ấ t ( % ) X á c đ ịn h h à m p h ân

2 0 đ ế n - 1 5 3 tư ơ n g ứng và

- 1 , 5 đ ế n - 1 , 0 13
- 1 , 0 đ ế n - 0 , 5 16
- 0,5 đ ế n 0,0 15

0,0 đ ế n 0,5 25

0,5 đ ế n 1,0 14

vẽ đồ thị.

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

1,0 đến 1,5 7
1,5 đ ế n 2 ,0 7

9. T r ọ n g lư ợ n g c ủ a c ác sản p h ẩ m c ủ a m ột lô h à n g là:

99,8 99,3 99,7 99,5 99,5 100,1 100.0 100,5 100.1 99,2
99.7 99,3 99,8 99,9 99,8 99,9 100.4 100,2 100.2 100,1
98,5 97,9 98,7 99,2 98,2 100,9 101,1 102,2 9 8 .6 97,0
98.7 99.1 100,5 100,7101.1 99.6 100,2 100.3 9 9 ,8 99.2
X ác định b ả n g p h á n phối thực nghiêm và đường gấp k h ú c phân
phối. Sau đó tìm h à m phân phối m ẫu và đồ thị cùa nó.

§ 4 . 2 , C Á C P H Â N PHỐI H A Y D Ù N G T R O N G T H ố N G K Ê

4.2.1. Tóm tắt lý thuyết

1. Pliáìì p h ố i ciìitẩiì. ở chương II ta đ ã làm q u e n với biến
ngẫu nhiên có p h ân phối c h u ẩn và ký h iệu X ~ưi \ a , ơ ’) với a =
£X, ơ ■ =

vx.

Đ â y là phân phối l ất th ư ờ n g gặp trong thực t ế và
trong các điều k iệ n c ủ a các bài tập sau này.

N ế u Y ~ ư ị \ 0 , ỉ ) ta nói rằn g b i ế n n g ẫ u n h iên Y có p h â n phôi

c h u ẩ n rút g ọ n ( h a y c h u ẩ n 0 - 1). Có i h ể c h ứ n g tỏ r ằ n g n ế u X
ơ ' ) thì:

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

Phép biên đổi A" - a

ơ

được gọi là phép riìl gọn (hay q u y c h u ẩ n
ih e o nghĩa đưa inột b iế n ngẫu n h iê n vé d ạ n g có kỳ v ọ n g 0 và
p h ư ơ n g sai bằng 1).

Bàv giờ n ế u ta có lì b iến n g ẫ u n h i ê i i đ ộ c lập , V | , .V ,,.. ., A „ có

c ù n g pliân phối c h u ẩ n C>r(a,cr“), thì có thể c h ứ n g m i n h r ằ n g
V = —(.V| + AS + ... + x„) c ũ n g có phân phối c h u ẩ n ư i

lĩ

ơ
a.

lỉ

có nghia là phương sai bé hơn fi lần p h ư ơ n g sai c ủ a c á c biến
t h à n h phần. Ta có thổ rút gọn X n h ư Irên;

ơ ưi (

o a).

(

.

)

Đ ế ý rằng tổ hợp l u y ế n lính cửa các b i ế n n g ẫu n h i ê n c h u ẩ n
tiế p lục là biến ngẫu n h i ê n c h u ẩ n .

2, Flìúiỉ phổi klìi bìỉilì phiíơng, N ếu ta có ìì biến n g ẫu n h i ê n .V,
độc lập có cùno phân phối chuẩn ơi (0, 1) thì biến sau:

n

/--1

(

2 .

2 )

sc có phân phơi khi b ì n h p h ư ơ n g vứi n bậc tự do và k ý h iệu
n h ư sau X ~ ỵ~ (n). V iệc lín h l o á n xác suất liên q u a n đ ế n p h â n
phoi x~ i u) dược liến h à n h b ằ n g b ả n g sò (xcni phụ lục A ). Có
ihể tổng qt hố kết q u á (2.2) nhu' sau; N ếu ta c ó ìì b i ê n đ ộ c
láp .V,, .V,___ V,, có p h â n phối c h u ẩ n (t, ~ c' ( ‘(í/,, ơ ,’ )) thì:

ơ
ơ:

I J

X (n).

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

N g ư ờ i ta đã tìm được kết q u ả sau rất có ích k h i c h ứ n g
m in h các q u y tắc t h ố n g kê: nếu t a c ó n b i ế n n g ẫ u n h i ê n V, (/■ =

1, 2 , . . . , n) c ó c ù n g p h â n p h ố i c h u ẩ n n h ư n g k h ô n g b i ế t k ỳ v ọ n g

Xị ~ ư i ' t h ì :

- L x ( x , - x f

(2.3)

^ i=ì

với X là t r u n g b ì n h c ộ n g c ủ a c á c b i ế n X, ở trên.

3. P h â n p h ố i Stin-đơn {plìân p h ố i t). Tỷ số giữa một biến
ngẫu n h iê n z ~ơi'^{0, 1) và VÃVÃ?, tro n g đó X ~ (ii) sẽ là m ột
biến n g ẫ u n h iê n có phân phối Stiu-đơn với n bậc tự do, ký hiệu:

- 7 = ~

G iố n g n h ư phân phối c huẩn 0 - 1, p h ân phối r đối xứng qua gốc 0

(tức là c ó trung bình bằng 0). Khi n bé thì phân phối t có đường

cong m ật độ “m ậ p ” hơn đườ ng m ật độ tyí "(0,1), nhưng khi n k h á
lớn nó rất gần với chuẩn rút gọn, h a y còn gọi là tiệm cận chuẩn.
T rong thực t ế nếu n > 30 thì đ ã c ó ihể coi phân phối / và c h u ẩ n
rúl g ọ n là n h ư nhau.

Tổng quát hơn nếu ta có

n

biến ngẫu nhiên độc lập X có cùng

p h â n p h ố i c h u ẩ n n h ư n g k h ô n g b iế t p h ư ơ n g sa i, th ì:

/ ( « - ! ) (2.4)

t r o n g đ ó s~ được x ác định t h e o c ò n g thức (1.4)

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

Ằ//; ị .

—--- /• \n.m).

Y/m ’

Đ ư ờng cong mật độ phân phối F , giống n h ư với phân phối !
k h ô n g đối xứng và chi khác 0 với các giá trị dương. C ũng giống
n h ư phân phối và /, việc tính tốn với biến ngẫu nhiên có
phân phối F phải n h ờ tới các b ả n g số (xem phụ lục A).

Một kết quả sau này ta hay dùng: N ếu ta có X|, và

Vị, }-2, ■■■,}'><, l à c á c b i ế n n g ẫ u n h i ê n đ ộ c l ậ p , c ó p h â n p h ố i c h u ẩ n

( c á c c ó c ù n g p h â n p h ố i c h u ẩ n , c á c V, c ũ n g v ậ y ) ; k h i đ ó n ế u t a

xác định sf và theo cô n g thức giống n h ư (1.4), thì
2

sr

F { n ị - ], IÌ2 - l )

^'2 (2.5)

Chú ý bảng số chỉ xây dựng cho các giá trị Sị > s ỉ .
4.2.2. C á c bài giải m ẫ u

Bài 1. Cho biến ngẫu nhiên X c ó phân phối (4, 1). Tim xác
suất

p[x

> + 4 (ký hiệu là biến có phân phối với 9
b ậ c tự do).

Giải: Ta tìm c á c h biến đổi b iể u thức X > + 4 về d ạ n g
c ó p h â n phối xác đ ị n h (ở đ ẳ y 2 ’g là biến n g ẫ u n h i ê n có phân

p h ố i ỵ - với 9 bậc tự do). Đ ể làm điều ấy ta b iế n đổ i bất đẳng
th ứ c trẽn:

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

X - 4

A ( X -

) > ^

2 / 3 2 =

dễ

thấy

z

~ ol ( 0 , l ) và

— > ^ Keo m e o .

} 1 9

Từ đó xác suất c ầ n tìm có d ạ n g

P{T > 3),

với T = Z / ^ ỵ l / 9 ~ / (9). D ù n g b ả n g số chi tiết h o ặ c p h ầ n m ề m

m áy tín h tư ơ ng ứng sẽ lìm được

p {r

> 3 ) = 0,0075 .

B à i 2. C h o À’ là biến n g ẫ u n h i ê n ~ (9). T ìm xác suất đ ể X
k h ô n g vượt q u á giá trị 2,7.

Giải: Ta phải tìm p { x <2,1 ) . Theo bảng phân phối

(xem phụ lục A) ở giao điểm củ a h à n g n = 9 với cột a = 0 ,975 ta
có giá trị 2,7; điều đó có n g h ĩa là: P{T >2 ,7 ) = 0 ,9 7 5 .T ừ đó xác

suất c ần tìm là 0,025.

B à i 3- T ìm x á c suất đ ể b i ế n n g ẫ u n h i ê n T - í (1 7 ) c ó giá
trị; a) k h ô n g bé hơn 2,11; b) k h ô n g bé hơn - 2,11.

Giài\ a) T a phải tìm P{T > 2 , 1 1). T ra b ả n g p h â n p h ố i /, lìm
giao đ i ể m c ủ a h à n g /7 = 17 với cột a = 0 ,0 5 ta có giá trị 2,11;
vậy x á c suất c ầ n tìm là 0 , 5 / 2 = 0,025 ( x e m phụ lục A).

b) Do tínli đối xúiig của phân phối t, P ( í> - 2,11) = 1 - 0,025 = 0,975
(và bằng P{T>-2A 1)). Chú ý rằiig /'{7’| > 2 ,1 1) = 0,05 theo báng Stiu-đơn
(tìm/(17; 0,05)-2,11).

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

dựníz c ó luật J “ (9). Tìm xác suất dể vật liộu đó chịu được áp lực
đã biết.

Giải\ T rên thực t ế ta phải tìm xác suất để cirờiig độ chịu lực
cúa vậl liệu phái bé hơn áp lực đã biết, tức là tìm p

x h

. Để

ý tỷ số f ’ sẽ có phân phối F ( 9 ,2 2 ) . xem (2.5). Tra
^22 / 2 2

bảng p h â n phối F với a - 0,05, giao điểm của hàng «1 = 9 và

7 9

cơt = 22 cho ta kết quả 2,34 ^ ~ . Điều đó có nghĩa là

P [F > 2,3 4 ) ^ p

Suy ra x á c suất

í -> ^
>1 = p

y X ị l j

/ 9 / 9 ^ 22

/ ả / 2 2 9 ^

= l \ F > 2,3 4),

p

X 2 2

> 1 0,05;

từ đó \ á c suất cần tìm là 1 — 0,03 = 0,95.
4.2.3. lìài t ậ p

1. N ă n g suất lúa của m ột vùng là biến ngẫu nhiên c h u ẩn X

~o ) ( í / , ơ ‘ ) với a = 50 tạlììíi và ơ = 3,5. Tim xác suất để khi gặt
ngầu n h iên m ột thửa ruộng ở \'ùna dó thì n ăn g suất lúa sẽ:

a) K h ô n g vượt q u á 40 tạ/ììíi:

h) Sai lệch so với nãnp, sú truim bình c h u n a không vượt quá
lO^r.

2. Ngưòi ta kicin ira chất iượng 1000 sán phám và biết rằng
xác suất để sán phám đạt yêu cáu là 0,92. Hãy lìm với xác suất

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

0 ,9 5 4 xem s ố sản phẩm đạt yêu cầu nằm trong k h o ả n g n à o (chọn
k h o ả n g đối xứng với tâm đối xứng là 9 2 0 sản phẩm )?

3. Tim xác suất để biến ngẫu nhiên X ~ r (15) nhận giá trị: a)
k h ô n g bé hơn 2,6; b) nằm giữa - 2 , 6 và 2,6; c) nằm giữa 0 và 2,6.

4. Lần thử n g h iệ m đầu tiên kết quả là m ột đại lượng tuân
theo l u ậ t / “ (4), còn lần thứ hai - tuân theo l u ậ t / " ( 6 ) . Tìm xác
suất đ ể đại lượng của lần th ử nghiệm th ứ hai ít nhất lớn g ấ p 3 lần
đại lượng của lần th ứ nhất.

5. Cường độ chịu lực của một loại vật liệu là biến n g ẫ u nhiên
tuân theo luật khi bình phương X ~ / “ (9) (với cường đ ộ trung
bình là 9). Tim xác suất để loại vật liệu đó chịu được áp lực
k h ô n g q u á 19.

6. Cho X|, Xị,..., X, và F|, ^2, ..., r , , là các biến n g ẫ u nhiên

độc lập có phân phối ch u ẩn với kỳ vọng 0, n h ư n g các Xị có
phương sai - và các y, có phương sai —. Tính

3 4

í 5 11 >

i = l i = l

V 1=1 1=1 y

7. C h o X ~ j ' ( 3 ) , Y ~ / " ( 4 ) và X độc lập với Y. T im xác suất

â ể z = x + Y lớn hơn g iá trị 16.

8. Cho X ~ ưí \ 6 A ) . T im xác suất đ ể trong hai p h é p th ử độc
lập đều có kết quả x > 5,8.

9. Cho x ~ ưí ' (3,1), Y ~ ơi'\4,2). T im x ác suất để m ột quan
sát c ủ a X có giá trị lớn hơn m ột quan sát của Y.

10. Cho phương sai của một biến ngẫu n h iê n bằng 25. G iả sử
c h ọ n m ột m ẫu có d u n g lượng /ỉ = 16 c ủ a biến này. hãy tìm P{s >

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

§ 4 . 3 UỒC LUỢNG ĐIỂM
4.3.1. T ó m t á t lý t h u y ế t

1. Cho một mẫu X | , .v,,..., ,v„ có liên hệ với một tham số không
biết 6 và bài toán đặt ra là xác định ớ dựa trên thông tin mẫu trên.
Đây chính là bài toán ước ỉượuị> tham sổ. Tất nhiên do 6 không
biết và thông tin m ẫu thường là chưa đủ nên việc xác định 6 chỉ là

x ấ p xỉ ( g ầ n đ ú n g ) . C ó t h ể c o i m ộ t h à m g i á trị ê { Xị , x„) là

một ước lượng của ô . N h ư vậy từ nay về sau ta ký hiệu ước lượng
của một tham số 6 nào đó là ị (tham sơ' có đội mũ).

Uơc lượng, được xác định bằng một số, sau này sẽ được gọi
là ì(ớc hrợng điểm. Phụ thuộc vào những tiêu chuẩn (hay ng u y ê n

lý thống kê) khác nhau m à ta sẽ có các ước lượng khác nhau của
c ùng một tham số.

* uiýc lượng X,) được gọi là khơng chệch, nếu ta có
£'ớ = 0 ( h a y / ? ( ớ - ớ ) = 0 - ước lượng có lệch trung bình bằng 0).
Nếu không t h ế ta có ước lượng chệch.

* ư&c lượng Ớ ( X | , . . . , ,Y„) được gọi là v ữ n g , nếu n lớn vơ hạn
Ơ sẽ hội tụ về ỡ theo xác suất (xem mục 2.4).

* ư ớ c lượng ,v„) được gọi là hiệu qitả, nếu nó là ước
lượng k h ơ n g c h ệ c h có phương sai bé nhất.

* Uơc lượng ớ(.v,... x„) được gọi là Ììợp ì ỷ ììiìất, nếu nó làm
cực đại hàm hợp lý (hàm hợp lý chính là tích các hàm mật độ của

V, và các hàm đó có phụ ihuộc vào tham sỏ cần ước l ư ợ n g ) ...

2. Có nhiều tham số lất được quan tâm và chúng ta phải tìm
ước lượng c ủ a nó.

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

* Ucíc lượng của kỳ vọng củ a biến n g ẫu nhiên X cảm sinh ra
m ẫu thường rất được chú ý. M ộ t Irong nhũìig ước iượng n h ư vậy
là trung bình m ẫ u (xem công thức (1.2)) c ó n h iều tính chất thống
kê rất đẹp đẽ, c h ẳ n g hạn nó vừa là k h ơ n g c h ệ c h , vừa là vững và
đ ồ n g thời c ó thể cũng hiệu q u ả .. . C ông thức (1.2) rất dễ d ù n g , dễ
tính và trong nhiều trường hợp nó có thể đ ơ n giản hơn nữa;
c h ẳ n g hạn nếu các .V, cách đều n h au m ột k h o ả n g là li, các tần số
xuất hiện X ị tương ứng là l ì ị , với m ột x„ c h ọ n k h á tuỳ ý, ta c ó thể

c hứ ng minh:

(3.1)

với d: = X : — X . N h ư vậy nếu c h ọ n x,| h ợ p lý, thay vì tính tổng

^ r i i X i , t h ư ờ n g g ồ m tổng của các tích thập phân, ta đưa về tính
tổng

I

tĩịdị là tổng của các tích nguyên.

* P h ư ơ n g sai củ a biến X c ũ n g là m ột t h a m s ố rất cần phải ước
lượng, c h ẳ n g hạn có thể d ùng (1.3) hoặc (1.4). G iố n g n h ư trong
c ô n g thức (3.1) có thể chứng m in h m ột c ô n g thức tương đ ư ơ n g
n h ư sau:

/r^

n - l i = ì

-í ^
\i=ì

n

(3.2)

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

h o ặ c

5’- = - x ( - " ' < ' w ã

,=1 ô ,=l

ằ ô /=1

* N g o à i ra còn các đạc trưng mẫu khác cung đáng q u a n tâm
như: m ô - m e n m ẫu, trung vị m ẫu , tần suất m ẫ u . ..

3. Có thể tổng kết các tính chất của các ước lượng đ iểm quan
trọng tro n g bảng số sau đây, với .V|. .Vị,..., .v„ là tập m ẫu c ảm sinh
bởi biến n g ẫu nhiên X có E X = a và

vx

= ơ ^ (riêng đối với xác
suất: m là số lần xuất hiện sự kiện trong n phép thử).

l l i a m
số

ư ớ c lượng E ồ

VỒ Tính chất

Kỳ
vọng

a = EX

1 »

» /=i

a

n

Không chệch
vững

Phirơng
sai

= v x

n - 1

ơ~

l ( n - 3 2 '

/^4 ,

11 \ » - 1 y
- mô-men
trung lâm cấp 4

Không chệch
vững

Xác ỉìl

p Á ^ - p ) K hơng chệch

suấl p

/7

n vững

4.3.2. C á c bài giải m ẫ u

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

B ài 1. Cho m ẫu A'|, A'2,..., A'„ c ả m s in h bởi m ột biến ngẫu nhiên

X ~ ưf H ãy tìm ước lượng h ợ p lý nhất của hai tham số a

và ơ ^

Giải: H à m mật độ chuẩn, ký hiệu l à / ( x . a , c r "), đã biết ở
chương II. H à m hợp lý, ký hiệu là L ( x ị , . . . , x „ , a , a ^ ) , sẽ có dạng:

» /
L = n / (

/ = 1

X :,a ,a 2tĩ ■nll 1

r T I ^ / ỉ . 9

m L = - — ỉn 2 7Ĩ - ~ ỉn ơ

2

Chú ý là điểm cực đại của IriL c u n g c h í n h là đ i ể m cực đại của L,

^ ^ ^ . T . , Ổ ìỉi Ị_/ í

nên ta có thê giải hệ —- — = 0 (z = 1,2)..

dỡ; V w

Hệ phương trình hợp lý sẽ là:
ổ l n L

õa

ổ l n L

= 4 r ẳ f c - « ) = 0 ,
ỡ- /=1

2cr -^Ị

n

= 0.

Rút ơ từ phương trình đầu t h ay vào p h ư ơ n g trình thứ hai, ta có
thể tìm được các nghiệm m ột c á c h d ễ d à n g (chú ý là nếu hệ có
n g h i ệ m d u y nhất thì nó chính là đ i ể m cực đại c ủ a hàm hợp lý):

i=\

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

Bài 2. Đ o độ dài của một loại trục xe, ta có bảng kết quả sau

đây (cột 1 và cột 2):

Nhóm Số lượng

giá trị

h

í/,77, dfn^

1 8 ,4 - 1 8 ,6 1 18,5 - 3 - 3 9

1 8 ,6 - 1 8 ,8 6 18,7 - 2 - 1 2 24

18,8 - 19,0 22 18,9 -1 - 2 2 22

19,0 - 19,2 41 19,1 0 0 0

1 9 ,2 - 1 9 ,4 19 19,3 1 19 19

19,4 - 19,6 7 19,5 2 14 28

19,6 - 19,8 4 19,7 3 12 36

z

100

8

138

Hãy ước lượng độ dài trung bình và phương sai.

Giải: Ta c h ọ n g iá trị g i ữ a các k h o ả n g làm đại diện cho
khoảng đó. Bây giờ có thể dùng (3.1) và (3.2) để tìm các ước

lượng khơng chệch cho kỳ vọng và phương sai với x„ chọn = 19,1
và lì = 0,2. Các g iá trị X, xếp v à o cột th ứ 3, còn dị xếp vào cột thứ
4; các tích í/,/7, và dỊriị n ằ m ở cột 5 và cột 6. T ổ n g của cột 2,
c h ín h là d ung lượng m ẫ u n = 100, tổng cột 5 và cột 6 sẽ được
d ù n g để tính X vầL s^ :

x = + ! i y „ dị = 1 9 ,1 + - ^ . 8 = 19,116;

" ' ' 100

h
n - 1

(z )‘

n

0 , 0 4 r j 3 3 _ 64

99

100

0.0555.

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

B à i 3. Đ ể xác định độ chính xác của một ch iếc cân tạ khơng
có sai số hệ thống, người ta tiến hành 5 lần cân độc lập (cùng
m ột vật), kết quả như sau:

9 4 ,1 9 4 ,8 9 6 ,0 9 5 ,4 9 5 ,2 (kg)

X ác định ước lượng không ch ệch của phương sai số đo trong hai
trường hợp: a) biết khối lượng vật cân là 95; b) không biết khối
lượng vật cân.

Giải: a) Khi đã biết trị trung bình lý thuyết a = 95 thì ước

lượng không ch ệch của phưofng sai được tính theo cơn g thức (bạn
đọc c ó thể chứng m inh)

« /=1 J /=1

b) N ếu không biết a, ta phải ước lượng theo còng thức (1 .2 )

Từ đó ước lư ợng k h ôn g ch ệch của phương sai là;

= Ì Ẻ ( ^ . - « 5 . 5 ) " = 0 , 7 .

tỉ i /=1 ^ ,=1

B à i 4 . Đ o lượng huyết tương của 8 người mạnh khoẻ ta có:
2,7 5 2 ,8 6 3,37 2,76 2,62 3,49 3,05 3,12 Ợít)

X ác địn h cá c đặc trưng mẫu: a) trung bình; b ) trung vị; c) m ốt.

Giải: a) ở đây « = 8 và v iệc tìm trung bình mẫu là kh ơn g có

gì k h ó khăn: X = = 3,001.
8 ;=1

1 _ \ T - x ^ _ . _ _ • s : , s

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

2 ,6 2 2,75 2 ,7 6 2,86 3,05 3,12 3,37 3 ,4 9

T ừ đó tru n g vị m ẫu sẽ là giá trị nằm ở vỊ trí (8 + l ) / 2 = 4,5; vậy
có thể coi nó bằng trung bình của các g iá trị thứ 4 và th ứ 5 và
bằng (2 ,8 6 + 3,05)/2 = 2,96.

c) D o c á c giá trị m ẫu k h á c n h a u n ê n k h ô n g c ó ước lư ợ ng
m ẫ u c ủ a m ố t.

B à i 5*. Người ta tiến hành m ột dãy phép thử đ ộ c lậ p nh ằm
xác đ ị n h xác suất xuất hiện một sự kiện. Khi tiến h à n h 100 phép
th ử sự k i ệ n trên xuất hiện 35 lần, tần suất xuất h i ệ n c ó thể coi là
giá trị g ầ n đ ú n g củ a xác suất cần tìm.. Tim xác suất để độ sai
phạm phải k h ô n g vượt quá 10% tần suất.

Giải: T a đã b iết rằng tần suất xuất hiện m ộ t sự kiện , ký hiệu
là Ị y, là m ộ t biến n g ẫu nhiên có phân phối gần c h u ẩn (trong thực

t ế n ế u tip v à /7(J - p), \' ớ i p l à x á c s u ấ t x u ấ t h i ệ n s ự k i ệ n t r o n g

m ộ t phép thử, lớn hơn 4 thì có thể coi r ằn g p c ó p h ân phối
c huẩn). T h a m số của phân phối c h u ẩ n này là:

E p = p va V p = p q

n q = ì - p .

T r o n g b à i t o á n n à y c ó th ể c o i (do Aỉ = 100 k h á lớn)

np ^ n p = 35; nq ^ /ỉ(l - p) = 65.

Phân phối c huẩn có thể áp dụng, từ đó với ệ {x) là h à m Láp-la-xơ:

p { p - p < c ) = 2 ệ s
ơ ip)

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

trong đó <t{p ) = p . Trong côn g thức trên p - p chính là độ

sai và nó khơng thể vượt quá 10% tần suất; tức là không vượt
quá: e = 0,1.0,35 = 0 ,0 3 5 .

m ặt khác độ lệc h chuẩn mẫu:
0,35.0,65

100

0 ,0 4 7 6 .

D ù n g bảng L á p -la -x ơ (x em phụ lụ c A ) ta có;
l ộ

Ẳ p )

2(ỉỉ(0,735) = 0 ,5 3 7 6 .

Đ iều này có nghĩa là với độ tin cậy 53,76% có thể khẳng định
rằng tần suất xuất hiện sự kiện lệch khỏi xác suất tương ứng
không quá 10% tần suất.

B ài 6. Tìm trung bình mẫu và phương sai mẫu của bộ s ố liệu
sau đây:

' 13,8 13,9 14 14,1 14,2

X:

rì:

1

Giải: D ù n g c ô n g thức ( 3 . 1 ) ta có thể tính được dễ dàng X . Tuy

nhiên có thể làm cách khác như sau: chọn nào đó và dê thấy:

- 1 ^ 1 ^

^ z “ -^0 + ^ 0 )

« /=1 « /=l

ị ^ _________

= =-^0 + ^ - ' ^ 0 -

« ,=I

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

X - 14 - 0 , 2 - 0 , 1 0 0,1 0,2

'h 4 3 7 6 5

______ I s

T ừ đó X - l 4 = - ^ ^ / í , ( x , - 1 4 ) = 0 ,0 2 ,
2^ /=I

^ X = A-„ + x - 1 4 = 14 + 0,02 = 14,02.
T ư ư n g t ự có thể c h ứ n g minh:

S ^ - = ~ ỵ

(.V , -

x f = { x -

A „ ) ' - ( x - A-„

Ỵ

n = \
I 5

5 - = — ^ 7 / , (a-, - 1 4 ) - - ( 0 , 0 2 ) - = 0 . 0 1 8 - 0 . 0 0 0 4
/1=1

= 0,0176

4.3.3. Bài t ậ p

1. C h o các .V, {;' = 1 , 2 , c h ọ n từ t ậ p nền c ó p h á n phối
c h u ẩ n . H ã y c hứ ng m i n h rằng:

- ẳ (

» M 1 ,=1

là các ước lượng không chệch c ủ a giá trị phương sai thật ơ " { a

-kỳ vọng thật, X - trung bình mẫu).

2. T im ước lượng hợp lý nhất của tham số Ẳ của biến ngẫu
nhiên có phân phc)i Poa-xông X ~ . ỷ ^ { À ) dựa trên tập mẫu Ấ2

,v„ của X

3. X á c định trung bình m ẫu, phương sai m ẫu và đ ộ lệch
c h u ẩn m ẫ u của bộ sô' liệu sau;

9,8 9,9 10 10,1 10,2

.V,

II 1 3

8

</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

4. Đ o chiều cao 100 sinh viên c ủ a m ột trường đại học thì thu
được kết q u ả sau đây:

C h i ề u c ao 152 -
156

156 -
160

160 -
164

164 -
168

168 -
172

172 -

174

Số s in h viên 15 16 25 27 10 7

T im k ỳ v ọ n g và p hươ ng sai m ẫu .

5. Sô liệu đo điện trở c ủ a 2 0 tụ đ i ệ n n h ư sau:

4 ,4 5 4 ,4 5 4 ,4 0 4,42 4 ,4 5 4 , 3 8 4 , 4 2 4,36 4,35 4 ,4 0
4 , 4 2 4 , 4 4 4,36 4,42 4 , 4 4 4 ,3 8 4 , 3 9 4,40 4,42 4,45

X ác đ ị n h trung bình m ẫu và p h ư ơ n g sai m ẫu của s ố liệu đo điện
trở và tìm h à m phân phối mẫu.

6. T h e o kết quả m ột cuộc đ iề u tra d ư luận trên tập g ồ m 2 000
người thì thấy 2/3 số được hỏi c ó ý k iế n chống lại việc chi phí
q u â n sự q u á cao của chính phủ Pháp. H ã y xác định bằng phương
p h á p h ợ p lý nhất ước lượng c ủ a tỷ lệ người dâ n P háp c hong chi
ph í q u â n sự quá cao.

7. Đ i ề u tra 1600 g ia đ ì n h c ó 4 c o n t h u được k ế t quả:

X, ( s ố c o n trai) 0 1 2 3 4

//, ( s ố g ia đ ình) 111 3 6 7 5 7 6 428 118
Xác đ ị n h các ước lượng của kỳ v ọng và phương sai.

8. N g ư ờ i ta đo k h o ả n g c á c h 4 0 0 l ầ n b ằ n g m ộ t thiết bị đ o
thì th u đươc:

Đ ộ dài 950-960 960-970 9 7 0 - 9 8 0 980-990 99 0 -1000

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

1000-1010 1010-1020 1020-1030 1030-1040 1040-1050

60 55 20 10 3

H ãy xác định kỳ v ọng m ẫu và phương sai m ẫu hiệu chỉnh; vẽ
đ ư ờ n g gấp khúc phân phối m ẫu.

9. T ìm ước lượng c ủ a trung vị và mốt của hai bộ số liệu sau:

a) 2 3 6 8 9 10 4 5 7 11

b) 3 3 8 10 6 14 13 14

10. Đ ể xác đ ị n h ước lư ợ ng t r o n g t rư ờ n g h ợ p số liệu có
p h â n phối (thực ra là c ó p h ư ơ n g sai) k h á c n h a u , người ta d ù n g
c á c c ô n g Ihức:

t s , “ p ,

/ = ỉ ĩ=l

với ẹ, = l/o - ỉ (/■ = 1, 2,..., n). Á p d ụ n g đ ể t ìm đườ ng k ín h trung
b ì n h c ủ a m ột loại t r ụ c và đ á n h giá đ ộ c h í n h xác c ủ a nó dựa
trê n s ố liệu đo đ ư ợ c b ằ n g 4 c á c h k h á c n h a u với các phương sai
tư ơ ng ứng :

c r f = 1, 6; 0-2 = 2 ; c r | = 2 , 5 ; 0-4 = 3 .

Đ ư ờ n g kính đ o đ ư ợ c t h e o 4 c á c h đó là:
A-, = 1 9 ; a

'2

= 1 8 ; x , = 2 0 ; .V

4

= 2 1 .

11. Cho 8 số liệu đ o c ủ a c ù n g m ột đại lượng bằng thiết bị đo
k h ơ n g có sai số hệ thống;

369 378 315 4 2 0 385 401 372 383

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

H ãy x á c đ ị n h ước lượng k h ô n g c h ệ c h c ủ a phư ơ ng sai sai sô'
tro n g c ác t rư ờ n g hợp; a) biêì s ố đo thực b ằ n g 375; b) k h ỏ n g biếl
s ố đo thực.

12. M ộ t lô h à n g có /; sản p h ẩm (/; rất lớn). Người ta c h ọ n
n g ẫ u n h i ê n ra m s ả n p h ẩ m , đ á n h dấ u c h ú n g , sau đ ó trả lại v à o
lô h àn g . C u ố i c ù n g c h ọ n n g ẫ u n h iên ra k sản p h ẩ m và t h ấ y có /
s ả n p h ẩ m đ ư ợ c đ á n h dấu {k bé hơn I I n h iều lần). H ã y x ác đ ị n h
ước l ư ợ n g h ợ p lý n h ấ t c ủ a th a m số n chỉ s ố lượng sản p h ẩ m c ủ a
lô hàng.

13. T h e o dõi thời gian h o àn thành m ột sản phẩm c ủ a hai
n h ó m c ơ n g n h â n ta c ó kết quả:

- N h ó m 1

■V, (th ờ i g i a n ) 43 4 4 50 55 60 63

//, ( s ố n g ư ờ i) 2 5 15 20 3 3

- N h ó m 2

X ị ( th ờ i g i a n ) 45 49 53
n , ( s ố n g ư ờ i) 2 41 6

T í n h t r u n g b ì n h m ẫ u và p h ư ơ n g sai m ẫ u h iệu c h ỉn h của h a i bộ
s ố liệ u trê n và b ạ n c ó n h ậ n xét gì về k ết q u ả ấy?

§ 4.4. K H O Ả N G TIN CẬY
4.4.1. Tóm tắt lý thuyết

1. ư ớ c lượng đ i ể m , dù là tốt, có m ột hạn c h ế c ơ bản là chỉ
c h o ta đ ú n g m ột g i á trị trong m ột tập hợp vô hạn ( k h ô n g đ ế m

</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

mình. C h o nên trong thực tiễn biết ưcýc lư ợ ng đ i ể m là chư a đủ.
Đ ể có thêm t h ô n g tin, người ta khai thác th ê m luật phân phối <ác
suất v à đ ư a r a khái niệm ước

ÌIÍỴĨIIÍỊ khoảng.

ơ đáy ước lượng khoảng, hay klìoảiìg tin cậv, cho m ộ t th a m
s ố ỡ với một đ ộ tin cậ y cho trước ỵ = \ - a được xác định bởi hai
giá trị cận dưới và trên ớ, và 0,. K h o ả n g (ớ|, Ớ2) được gọi là

k h o ả n g tin cậ y \ - a (hoặc f ) n ế u
p ớ e ( ớ | . ế?2 )

= ỉ - ữ ■

ơ đây ỵ = ] - a được gọi là cỉộ tin cậ y (hoặc đ ộ c h ắc c hắn, độ tin
t ư ở n g , .. .) còn hiệu Oị-Ô, được gọi là độ dài k h o ả n g tin c ậy đã
cho.

2. T a x e m x é t đ ầ u tiên ư ớ c li ừ / iì g k ì ì o ả ì i g CÌÌO k ỳ v ọ n q :

* N ế u p h ư ơ n g sai đã biết và tập nềii t u â n t h e o luật c h u ẩ n ,

người ta c h ứ n g m i n h được k h o ả n g tin c ậ y ] - a c ủ a ơ = E X c ó

d ạ n g :

x + e.

ơ

n ^ i ì j

t r o n g đó giá trị tìm từ b ản g hàm L á p - I a - x o ’ ỉhco q u y
1 —

cc

ệ { 0 Ị , ) =--- . D ễ t h ấ y độ dài k h o ả n g tin c ậ y lỷ lệ thuậi! - ri
p h ư ơ n g sai và đ ộ tin cậy, n h ư n g lỷ !ệ n g h ị c h \ ó i d u n g ỉu ■ u;
m ẫ u ; và nếu biết hai t ro n g ba đại lượng đ ó ia dẻ d à n g lìiiỊ a
đại lượng th ứ ba. Đ ể ý ràng;

p X ~ O ị ^ < X + 0

iì

1 - 6 /

</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>

k h ô n g có n g h ĩ a là giá trị thật c ủ a a lúc nào cũ n g n ằ n tro n g
k h o ả n g tin c ậ y \ - a , m à vẫn có thể xảy ra việc a nằm ngoài
k h o ả n g đ ă c h o với xác suất a (xác suất sai lầm khi chọn kho ả n g
đó). T h ô n g th ư ờ n g đ ộ tin c ậy I ~ a được c h ọ n theo yêu cấu trước
và k h á lớn: 0.9; 0,95; 0,99; 0 , 9 9 9 . . .

* N ế u g i ả th iế t c h u ẩ n v ẫ n c ò n giữ, n h ư n g phương sai
k h ô n g b iế t, thi ta p h ả i t h a y n ó b ằ n g ước lượng k h ô n g c h ệ c h .

K h i đ ó k h o ả n g tin c ậ y 1 - a

V VH

(4.2)

t ro n g đ ó .y^- p h ư ơ n g sai m ẫ u hiệu c h ín h , cịn tra từ bảng Stiu-
đ ơ n ỡị, = / ( « - ! ; « ) . '^ o p h â n phối t, c ũ n g như phân phối c h u ẩn ,
ỉà đ đ i xứng, k h o ả n g tin c ậy c ũ n g thường được xây dựng đối xứ n g
q u a ước lượng m ẫu . C ó thể tìm k h o ả n g tin cậy k h ô n g đối xứng
phụ t h u ộ c vào yêu c ầu c ủ a người dùng. N goà i ra khi tra b ản g đ ể
ý rằng: nếu T ~ t{n - 1) thì p {t < / ( / 7 - 1 ,«■)) = ỉ - « hay

p{t > / ( « - 1 , « ) ) = o r . Vì vậy dù b ản g x â y dựng kiểu nào, nếu

biết c ô n g thứ c tín h là ta c ó thể tìm ra c á c h tra bảng tươr.g ứng.
* N ế u d u n g lượng m ẫ u k h á lớn, thì trong mọi trườíig h ợ p có
thế t h a y ơ b ằ n g i' và k h o ả n g tin c ậy 1 - a xấp xỉ có thể được
x ây d ự n g g iố n g n h ư (4.1) (tất n h iên ơ coi « i); tức là n ó có
d ạng:

x + (9.

n

</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

* N ế u lì k h á lớn và p k h ô n g q u á Iihỏ; có thể tìm ước lư ợ n g
k h o ả n g ! - a c h o xác suất x u ấ t hiện sự k iệ n n à o đ ó ( k iể u Bcc-
n u - li c h ẳ n g hạn):

p ( l - p ) .

ỉì

:

/3 +

e,

p

/?
(4.3)

với đ ư ợ c tìm từ ệ{ỡị,) l - a , f) là tần suất m ẫ u . C á c
trư ờ n g h ợ p k h á c , x e m t h ê m t r o n g c á c tài liệu th a m k h ả o .

3. Bây giờ ta tìm ước lượng k h o ả n g c h o phương sai. G i ả sử ta
c ó m ẫ u A '|, X2, c h ọ n từ tập có phân phối ch u ẩn ơ i'\ a , ơ ^ ) ,

ta có hai trường hợp:

* N ế u a đã biết, kh o ản g tin cậ y I - a c ủ a phương sai c ó d ạ n g

cx

t r o i i g đ ó ớ | = / /ỉ, 1 - ^

V 2y

(4.4)

ỈU “

V 2 ;

tra từ bảng phân phối X l

* N ế u k h ô n g biế t kỳ vọng, ta th ay t h ế n ó b ằ n g ước lư ợ n g

X và k h o ả n g tin c ậ y 1 - a c ủ a phư ơ ng sai có dạng:

______________ _ị=Ị____________

ỚT ' ớ,

(/ ỉ - l ).V“ {lì - l)i'^ ^
ớ, ,

(4.5)

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

tro n g đ ó ớ, = J /? - 1, 1 - a \ Ô 2 = X - H - 1 . a tra từ b ả n g
phân phối ỵ " . C h ú ý r ằ a g đôi khi người ta c h ọ n c ậ n d ư ớ i của
k h o ả n g tin c ậ y trê n b ằ n g giá trị 0 .

4.4.2. Các bài giải mẫu

B à i 1. Đ o sức b ề n c h ịu lực c ủ a m ộ t loại ống c ô n g n g h i ệ p
người ta t h u đ ư ợ c b ộ s ố liệu sau

4 5 0 0 6 5 0 0 5 0 0 0 5 2 0 0 4 8 0 0 4 9 0 0 5 125 6 2 0 0 3375

(đo 9 ống). T ừ kinh n ghiệm nghề n g h iệp người ta c ũ n g biết răng
sức bền đó có phân phối c huẩn với độ lệch chuẩn ơ = 300. H ãy
xây dựng k h o ả n g tin cậy 95% cho sức bén trung b ì n h c ủ a loại
ống trên.

Giải: T r ư ớ c hết ta tín h tru n g b ìn h m ẫu c ủ a sức b ề n c h ị u lực
ký h i ệ u là X :

1 ^

- 5 2 8 8 , 8 9 .
9 /-I

T h e o ( 4 .1 ), vì ở đ â y ta đa có <T - 300, k hố ntì tin c ậ y c ầ n lìm
có dạn g :

x - ớ

ơ

\

trong đ ó ệ{OỊ^) = -— — - — - 0 ^ 4 7 5 . T h e o b ả n g 2 phụ lụ c A

ta có ớ/, = 1,96 , vậy k h o ả n g tin Cí\y c ầ n tìm là

5 2 8 8 , 8 9 - 1 , 9 6 , — , 5288,8 9 + 1,96.— ì = ( 5 0 9 2 , 8 9 ; 5 4 8 4 , 8 9 ) .

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

B à i 2 . T im khoảng tin cậ y 95% cho kỳ vọng của bộ số liệu
trên, nhưng g iả sử không b iết phương sai.

G iải: D o phương sai chưa biết, ta sẽ ước lượng nó bằng

phương sai mẫu hiệu chỉnh:

i-2 -5288,89)^ = (655,28)^

8 /=1

N go à i ra cũng do phương sai không biết nên khi tra bảng phải
dùng phân phối Stiu-đơn : = /( S ; 0,05). ở đây dóng hàng có
giá trị bằng 8 và cột c ó giá trị bằng 0,0 5, ta tìm được

6f, = 2,3 0 6 w 2,31. Từ đó theo (4 .2 ) khoảng tin cậy 95% có dạng:

^

5288

,

89 -

2 ,

31 .^^?^;

5288,89

+

2 ,

31 .^^^^

-= (4785,2 ; 5792,6).

Có n h ậ n xét rằng cả giá trị đ ộ lệc h chuẩn m ẫu hiệu c h ỉn h lẫn giá
trị b ả n g đ ề u lớn hơn các s ố liệu tương ứng ở bài 1, n ê n kho ản g

tin c ậ y ở đây có độ dài lớn hơn và trong một chừng mực nào đó
có thể nói rằng nó “xấu” hơn.

B à i 3. Đ ộ d à y c ủ a b ả n k i m loại giả sử là t u ân t h eo luật
c h u ẩ n . Đ o 10 bả n k im loại đ ó t a thu được số liệu sau:

4,1 3,9 4,7 4,4 4 , 0 3,8 4,4 4,2 4,4 5,0

H ãy x á c định: a) kho ản g tin c ậy 9 0 % cho độ dày trung b ìn h trên;
b) k h o ả n g tin cậy 9 5% cho p hươ ng sai của độ dày đó.

G iả i: Trước hết ta phải tính các ước lượng X và cho kỳ

vọng và phương sai của độ dày đang xét;

x = — (4,1 + 3,9 + ... + 5,0) = 4,29;

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

9

(4,1 - 4,29)^ + (3,9 - 4,29 f + ... + (5 , 0 - 4,29)-
h o ặ c d ù n g c ô n g thức

» 0,1367 ^ s = 0.37.
a) T h e o (4.2) k h o ả n g tin c ậ y 9 0 % c ó d ạ n g (đ ể ý

ớ;, = / (

9

,

0

,

1

) = 1,833)

_ 0 37 . _ 0 37
4 , 2 9 - 1 . 8 3 3 . ^ ; 4,29 + 1,833. ’

V ĩ õ a/ĨÕ

(4,076; 4,504).

(0,064; 0,45 6 ).

b) Đ ể tìm k h o ả n g tin c ậy 9 5 % c h o phương sai, ta phải tìm

các giá trị ;ịf^(9,

0 ,

975 ) và ^^(

9 ,

0 ,

025 ). Tra bảng phân phối

c h ú n g lần lượt là 2,7 và 19,02. T ừ đó th e o c ô n g thức (4.5) ta c ó

k h o ả n g tin cậy cần tìm là;

' 1,23 1,23
. 1 9 , 2 ’ 2 , 7 ,

B à i 4. Tại m ột v ùng rừng n g u y ê n sinh, người ta đ e o vòng cho
1000 con chim. Sau m ột thời g ian bắt lại 2 0 0 con thì t h ấy c ó 40
con c ó đeo vòng. T h ử ước lượng s ố c h im t ro n g v ùng rừng đ ó với
độ tin c ậ y 9 9 %.

Giải: N ếu ước lượng được xác suất bắt được chim đe o v ò n g p

thì có thể xác định g ầ n đ ú n g được tổ n g s ố chim. T r ê n tập m ẫ u
2 0 0 c h im ta có tần suất m ẫu c ủ a c h im đ e o vòn g là 4 0 / 2 0 0 = 0,2.
T h e o c ô n g thức (4.3)

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

0,2 - 2 , 5 7 5 < p < 0,2 + 2,575

200

0,1271 < p < 0,2729.

0

,

2

.

0,8

200

T ừ đó t ổ n g s ố c h im c ủ a v ù n g rừng đó sẽ n ằ m tro n g k h o ả n g sau

'

1000

1000 V

.

— —— ; — hay « ( 3 4 4 5 ; 7880).
0,2729 0,1271 J

B ài 5. Trước b ầ u cử tổng thống người ta phỏng vấn ngẫu
n h i ê n 1800 c ử tri thì t h ấ y có 1180 người ủng hộ m ột ứng cử viên
A. Với độ tin c ậy 9 5 % hỏi ứng viên đó thu được tối thiểu bao
n h iê u p h ần trăm s ố ph iếu bầu?

Giải: Số phần t r ă m phiếu bầu ở đây c h ín h là c ận dưới của
k h o ả n g tin c ậy 9 5 % c ủ a xác suất bầu cho ứng cử viên A. Theo
c ô n g thức (4.3) với p = 1 1 8 0 /1 8 0 0 « 0,6556; ^(l,9 6 ) = 0,4 7 5 ; số
p h ần trăm cần tìm là (/; = 1800)

p - 1 , 9 6 J ® 3 Ĩ ~ 63 ,3 5 % .

n

B ài 6. Biết tỷ lệ n ả y m ầ m c ủ a m ột loại hạt g i ố n g là 0,9.
V ớ i đ ộ tin c ậ y 0 , 9 5 , n ế u ta m u ố n dộ dài k h o ả n g tin c ậ y c ủ a tỷ
lệ n ả y m ầ m k h ô n g v ư ợ t q u á 0 ,0 2 thì c ầ n phải g i e o b a o n h iêu
h ạ t?

Giải: T h e o đ ầ u b à i ta c ó p = 0,9; ỉ - a = 0 ,9 5 s u y r a d o
^ ( l ,96) = 0,473 n ê n ỠỊ, t r o n g c ô n g thức ( 4 .3 ) là 1,96.

M ặ t k h á c đ ộ d ài k h o ả n g tin c ậ y c h ín h là 26.

n

2.1,96.

0,9.0,1

V

< 0 ,0 2

n

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

G iải bất phương trình trên theo n, ta có ngh iệm n > 34 57 .

B à i 7. N gư ời ta đo một đại lượng không đổi 25 lần bằng
dụng cụ đo khơng c ó sai sô' hệ thống và sai s ố đo trung bình bằng
0. G iả sử sai số tuân 'theo luật phân phối chuẩn và m ô-m en gốc
cấp 2 mẫu tính được bằng 0,5.

a) X ác định k h o ản g tin cậ y 95% ch o phương sai củ a sai số
đo.

b) T ính xác suất đ ể sai số đo kh ôn g vượt quá 0 ,5 .

Giải: a) G ọi X là sai số của phép đo và theo đầu bài X

trong đ ó là phương sai sai số. K hoảng tin cậy
95% cùa phương sai đó được tính theo cơ n g thức (4.4);

nm2 nm2

; r '( 2 5 ; 0 ,0 2 5 ) ’ (2 5 ;0 ,9 7 5 )

với nĩ2 là m ô -m en g ố c cấp 2 mẫu = —' ỵ ^ x Ị = 0,5 theo đầu bài.

còn ;ịf^(25; 0 ,0 2 5 ) và ỵ ^ { 2 5 ;

0

,

975

) c ó thể tìm được bằng tra
bảng phân ph ối vớ i bậc tự do là 25: đó là cá c g iá trị 4 0 ,6 4 6

và 1 3 ,1 2 0 . Từ đ ó k h oản g tin cậy cần tìm là:

2 5.0 ,5 25.0,5
: 4 0 ,6 4 6 ’ 13,120

^ (0 ,3 0 7 5 ; 0 ,9 5 2 0 ).

b ) C ó t h ể c o i s a i s ố đ o c ó p h ư ơ n g s a i x ấ p x í b ằ n g

1

— V ( a ; - O ) = nĩ2 = 0 ,5 . Từ đó theo phân phối chuẩn ở chương
,=|

</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

p { x

< 0,5) = 0,5 +

ệ

0.5

V o l

0,5 + ^ ( 0 , 7 0 7 ) « 0,5 + 0.26 = 0,76 .

B à i 8. T h e o kết q u ả 5 số liệu do xác đ ị n h được ước lư ợ n g
m ẫ u h i ệ u c h í n h c ủ a phương sai là 9. Tìm xác suất đ ể g i á trị
thật c ủ a p h ư ơ n g sai nằm trong k h o ả n g ( 2 ,7 1 1 5 ; 5 0 , 6 3 2 9 ) .

G iải: T h e o d ạ n g công th ứ c(4 .5 ), la có k h o ả n g tin c ậ y với
xác s u ấ t tin c ậ y 1 - a

^ {ỉ2

-ì)s~

{lì-ỉ)s~

/ T ^ ( 4 , « i ) ' 2 ^ 4 , « 2) /

trong đ ó .V" là phư ơ ng sai mẫu hiệu chính b ằ n g 9, - 1 = 4; c òn
, ị = 1, 2, được tính n h ư sau: nếu X ~ ỵ~{rì) thì

p(x > ^^(/?,«.))=

ữị . Từ đó xác suất để phương sai rơi vào
k h o ả n g tin c ậy trên bằng \ - a và sẽ bằng

p ( ; ỉ f ^ (

4

, a 2 ) < ^ < / ^

4

, « i ) ) = l - « | - ( 1 - « 2 ) = « 2 ■

Bây g i ờ ta đi t ì m c ác cận c ủ a X; Do {n - l)i'^ = 36 nê n
/ 2 ( 4 . « j ) = 3 6 / 2 , 7 1 1 5 ^ 1 3 , 2 7 7 ;

( 4 ^ ^ J = 3 5 / 50,6329 « 0,711.

Sử d ụ n g b ả n g p h â n phối ỵ - ta c ó (2 | = 0 , 0 1 ; « 2 = 0 , 9 5 và x ác

suất c ầ n tìm là a-, - ơ ị = 0,94. Đ â y là m ột ví dụ vể k h o ả n g tin
c ậy 9 4 % c ủ a p h ư ơ n g sai mà các c ận k h ơ n g tín h c h í n h x á c t h e o
(4 .5 ) ( đ ể V r ằ n g t r o n g (4.5) ta ln có « 1 + « 2 = 1).

4.4.3. Bài tập

1. Sản lượng ngày của một phân xưởng ià biến ngẫu nhiên tuân
theo luật chuẩn. Kết quả thống kê của 10 ngày cho ta bộ s ố liệu:

</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

23 27 26 21 28 25 30 26 23 26

H ã y x á c đ ị n h c á c k h o ả n g tin c ậ y 9 0 % c h o sản lượng trung
b ì n h n g à y và c h o p h ư ơ n g sai t ư ơ n g ứng.

2. M ộ t th iế t bị đo k h ô n g có sa i s ố hệ thống, còn sai s ố
n g ẫ u n h i ê n t u â n t h e o luật c h u ẩ n với đ ộ lệch c h u ẩ n ơ = 20.

N g ư ờ i ta yêu c ầ u đ ể độ l ệ c h t u y ệ t đ ố i c ủ a ước lượng s ố đo so
với g iá trị th ậ t k h ô n g vượt q u á 10. H ã y xác định xem x á c suất
để th ự c h i ệ n đ ư ợ c việc đó t r o n g c á c t rư ờ n g hợp: a) sỏ lần đo n
- 5; b) ìì = 10; c) n - 25.

3. Đ ư ờ n g k í n h trụ c của inột sản p h ẩ m tu â n th e o luật chuẩn.
Đ o đ ạ c 6 trụ c c h ọ n n g ẫ u n h i è n , ta c ó kết q u ả cụ thể n h ư sau:
7,1; 6,6 ; 9,7; 10,6; 7,5; 9,1. T ì m ước iư ợ ng k h ô n g c h ệ c h cúa
p h ư ơ n g sai và sau đ ó xác đ ị n h k h o ả n g tin c ậ y 95 % cho p hươ ng
sai đó.

4. T r ê n t ậ p m ẫ u g ồ m 100 s ố liệu người ta tín h được
= 0,1; .V = 0,0 1 4 . X á c đ ị n h k h o ả n g tin c ậ y 9 9 % c ho g iá trị
t r u n g b ì n h thật.

5. T r ê n tập m ẫ u g ồ m 16 s ố liệu người ta tính được
x = 3 2 ,2 ; - 6 , 2 5 . T ìm k h o ả n g lin c ậ y 9 5 % c ho phư ơ ng sai.
Có th ể coi r ằ n g tậ p m ẫ u được c h ọ n từ m ộ t tập nền có p hươ ng
sai ơ-^ = 10 đ ư ợ c k h ô n g và tại sa o ?

6. C â n t h ử 100 q u ả trứ n g ta c ó b ộ số' liệu sau:

K h ố i lư ợ n g 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Số q u ả 2 3 15 28 30 8 3 5 4

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

b) Trứng có khối lượng dưới 34 được coi là loại 2. T ìm ước
lượng khơng chệch cho tỷ iệ Irứng loại 2 và k h o ả n g tin cậy 9 5%
c ú a tỷ lệ đó.

7. Sai sơ' đo của mộl ỉoại dụn g cụ đo có phân phối c h u ẩ n với
đ ộ lệch c h u ẩ n bằng 20. Cần phải liến hành bao n h iêu p h é p đo
đ ộc lập để sai số phạm phải k h ô n g vượt quá 15 với độ tin cậy
0,9?

8. Đ ể xấc đ ịn h định mức thời gian gia c ô n g m ột chi tiết m á y
người ta tiến h àn h thử n g h iệ m gia công 25 chi tiết; kết q u ả trên
tập m ẫ u thu được: thời gian trung bình X = 20 với đ ộ lệch
c h u ẩ n m ẫ u hiệu chính s = 2 , 0 2 . Với độ tin cậy 9 0 % h ã y xác
đ ịn h thời gian gia cô n g trung bình tối đa đối với loại chi tiế t trên
(giả sử thời gian đó tuân theo luật chuẩn).

9. K iểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm c ủ a m ột n h à m á y thì
th ấy có 360 sản phẩm loại A. H ã y ước lượng tỷ lệ s ả n p h ẩ m loại
A tối thiểu của nhà m áy trên với độ tin cậy 95% .

10. Người ta bắt được 1500 con thú, đánh dấu rồi thả ra. Sau
đ ó m ột thời g ia n bắt lại 200 con thì thấy có 40 con bị đ á n h dấu.
H ã y ước lượng số thú có trong thực t ế với độ tin cậy 90 % .

11. Đ ể ước lượng xác suất mắc bệnh A với độ tin c ậ y 9 5 % và
sai s ố k h ô n g vượt q u á 2% thì c ần khám b a o nhiêu a g ư ờ i, biết
rằn g tỷ lê m ắ c bệnh thực n g h iệm là 0,8?

12. Một kỹ sư nghiên cứu chiều cao của m ột loại c â y với giả
thiết nó có p h ân phối chuẩn. Trên tập mẫu với /; = 10 a n h ta tính
ilược chiều c ao trung bình bằng 13,78 và kh o ả n g tin c ậ y 9 0 % của
írung bình là (13,063; 14,497). K hông may bộ số tài liệu bị thất
lạc, nhưng anh ta vản còn n h ớ các số liệu sau: 12,2; 15; 13; 13,5;
!2,S; 15,2; 12,0 và 15,2. Hói có ihể xác định lại 2 sô' liệu bị mất

đưọc khônỉi?

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

13. Người ta iheo dõi 100 sinh viên để xác định số giờ tự học
ở nhà, kết quả tính được n h ư sau; X = 4,01 với độ lệch c h u ẩn
mẫu hiệu chính = 3,54. H ã y xác định k h o ả n g tin cậy 9 5% cho
số giờ tự học trung bình c ủ a sinh viên, u ờ c lượng tv lệ sinh viên
không tự học ở nhà.

14. N g h i ê n cứu điểm t r u n g b ìn h m ơ n tiếníì A n h c ủ a 50
sinh viên ta có kết quả X = 65 với í = 10. T ìm k h o ả n g tin c ậy
9 5% c h o đ i ể m số t ru n g b ì n h Ihực. N ế u k h o ả n g tin cậy c ó độ
dài b ằ n g 2 thì độ tin c ậy c ủ a nó b ằ n g b a o n h i ê u ?

15. Đ ể biết tỷ lệ p các n h à trẻ có ít n h ấ t m ộ t p h ư ơ n g tiện
n g h e n h ì n hiện đại, người ta đ iều tra 100 n h à trỏ chọn n g ẫ u
n h iê n thì t h ấ y chỉ có 2 nhà trẻ có ít n h ấ t m ộ t p h ư ơ n g tiện.

a) X á c đ ịn h k h o ả n g tin c ậ y 9 5 % c h o p.

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

C h ư ơ n g V

K IỂ M Đ ỊN H G IẢ T H U Y Ế T T H Ô N G KÊ (T E S T )

§ 5 . 1 . GIẢ T H U Y Ế T T H Ố N G K Ê VÀ Q U Y TẮC K I Ể M đ ị n h
5.1.1- Tóm tát lý thuyết

1. Cho m ẫu A'| được chọn từ m ột tập nền chưa biết
phân phối hoặc có phân phối F {ả\ ớ) với tham số ỡ chư a biết.

Người ta có thể nêu ra nhiều nhận xét giả đ ịn h khác nhau về các

yếu tố chưa biết; nhĩrng giả thuyết như vậy thường được gọi là

giả thuyết thống kê (thí dụ: p h á n phối chưa biết là c h u ẩn , th a m số
chưa biết bằng một số cho t rư ớ c ,...)

T ro n g trường hợp có tham số chưa biết, n ế u giả th u y ết nói về
việc th am sô nhận m ộ t giá trị cụ thể ớ,| ta có giả thuyết đơn; còn
nếu k h á c đi ta có m ột giả th u y ết phức. T h ô n g thường k iểm tra
m ột giả thuyết đơn sẽ đơn giản hơn.

G iả thuyết được đ ư a ra k i ể m định được gọi là giả th u yế t gốc,

ký hiệu là //(); nó ihường là giả thuyết đơn. N bữ ng giả ihuyết
khác với gốc được gọi là dố i thuyết (có thể là đơn ha y phức), ký
hiệu là / / ) . Đ ể ý tro n g một số tài liệu người ta c ò n d ù n g các
thuật n g ữ giả thiết và đối thiết.

2. Đ ế kiểm đ ịn h m ộ t giả t h u y ế t / Y ị , xem nó đ ú n g hay sai dựa
trên thông tin m ẫ u người ta phải xây dựng tiêu

</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

chuẩn; để đơn giản sau nà y đó là m ột t h ố n g kê /c = Ẫr(x|

n ào đó. N êu ta th à n h c ô n g trong việc c h ia m iề n giá trị cùa K

th à n h hai phần: và trong đó là m iề n bác bỏ Hị, ; còn
là m iên c h ấ p n h ậ n Hq ; thì quy tắc k i ể m đ ịn h sẽ rất giản dị:

nếu K tính trê n tập m ẫ u th u ộ c m i ề n ta bác bỏ //(),
n gượ c lại ta c h ấ p n h ậ n //q . M iền bác bỏ thường được gọi là

m iện tới hạn c ủ a tiêu c h u ẩ n K .

K h i k iểm đ ị n h g iả t h u y ế t / /q ta c ó thể m ắ c hai loại sai lầm
sau đây:

- Sai lầm loại 1: b á c bỏ m ộ t giả t h u y ế t đ ú n g ;
- Sai lầm loại 2: c h ấ p n h ậ n một g iả t h u y ế t sai.

N ê u Hq đ ú n g Ẩ^(x|,...,x„) thường có p h â n phối xác suất xác

đ ịn h và nếu gọi a là x ác suất phạm sai lầm loại 1 thì

a = P { K , „ & B ^ \ H ị ^ ă ú n g ) ( l . I )

tro n g đó c h í n h là giá trị c ủ a K tính trê n m ẫ u cụ thể. Tương
t ự n ế u ký hiệu p là x ác suất p h ạ m sai lầ m loại 2 thì

P =

(

1

.

2

)

N g ư ờ i ta đ ị n h n g h ĩ a 1 - yỡ là lực lìtợng c ủ a tiêu c h u ẩ n K .

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

xác suất xảy ra sai lầm loại 1 cho trước n h ư n g có xác suất xảy ra
sai lầm loại 2 cực tiểu. Các giá trị của a thường được c h ọ n là
0,05; 0,01; 0,001 và được gọi là mức ỷ nghĩa c ủ a bài t o á n kiểm
định giả thuyết (hay c ủ a tiêu c h u ẩ n kiểm đ ịn h tương ứng).

3. T rong thực h à n h người ta thường c h ọ n m iề n tới hạn của
tiêu c h u ẩn K , tức là , phụ ihuộc vào đối th u y ết H ị th e o các

quy tắc n h ư sau:

* N ếu / / | là đối x ứ n g (thí dụ H ị \ 9 ^ ỚQ với giả th u y ế t gốc
là Hq'.0 = ớ(,) thì ta c h ọ n m iề n đối xứng. T a sẽ c h ọ n các giá

trị K^ / 2 ''à ^ i - a/2 (xem hình 5.1), dựa vào h à m phân

phối của K khi Hq đ ú n g :

K > K a/ 2

a

K < K .ữ . a

~2

Hình 5.1

Hình 5. 2

Khi đó miền +

N ế u Hị bất đối x ứ n g lệc h về
trái (thí dụ Hị : 0 < 6q ta c h ọ n

m iền tới hạn lệch về bên
trái (xem hình 5.2). D ự a vào
hàm phân phối c ủ a K khi //()
đúng, ta xác đ ịn h g iá trị Ẩ^|_„

sao c h o P ( K < K | j,|H„đúng = a )

m iền tới hạn sẽ c ó d ạ n g

Hỉnh 5. 3

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

* Tương tự nêu / / | bất đối xứng lệch về phải ta c h ọ n B

lệch về bên phải tương ứng (xem hình 5.3). Dựa vào phân phối
của K khi //q đún g , ta chọn sao cho P ( k > K |H„đúng = a )

M iền bác bỏ //() theo tiêu chuẩn K sẽ là (/^^^, + 00).

5.1.2. Các bài giải m ẫu

Bai 1, Theo bô đê N â y - m a n — Piếc-sơn: “Giả sử SG có p h ân
phối /o ( x ) dưới giả th u y ết //q và phân phối /ị(x ) dưới đối
thuyêt / / j ; cho 0 < ứr < 1 sao c ho tồ n lại m ột vSố k để

P Ì f Ả ^ ) > K f Á A ^ ữ ) = o^ thì ={9G:./,(9S)>ấ:„/o(9G)} sẽ là
tiêu c h u ân m ạ n h nhất mức cc cho bài to án kiểm định giả thuyết
đơn //q đối với đối thuyết đơn Hy

A p dụng vào bài toán; T ừ tập hợp nền có phân phối ch u ẩn

c 4 \ 6 , 2 5 ) lấy m ẫu với n = 9 và x = 2,35. D ùng quy tắc m ạn h
nhất đê kiêm định giả thuyêí H ( ) : ớ - 3 với đối thuyết //j : (9 = 4
với mức a = 0,05 .

Giài: Theo bổ đề trên m iền tới hạn có d ạ n g

5 ^ - {ss = (xj / | ( 9 s ) > /|j(9G)},

từ đó do cả /o ( x ) và / | (a') đều là phân phối chuẩn cùng phương

1 % ^

2tĩơ

\ /

nên suy ra (ớ, l n k „

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

và a =

c r " l n k „ + " ( ớ f - ớ , 7 )
a.’ = (>í|...r , X--- = A,

n(ớ| - ớ , , )

trong đó /1() xác định lừ p { x > /1(J / 7 y ) = a , còn X = “ (v, + ... + .Vụ),
ớ đây được xác định dựa vào giả thiết phân phối chuẩn:

= 0 .05.
Tra bảng hàm Láp-la-xơ, ta có

^ ^ ^ . 3 = 1 .6 4 5 ^ Ạ, = - i ^ . 5 + 3 = 5.74 .

5 3

M ẫu đã cho có X = 2,35 < 5.74 và ĨG e (miền chấp nhận //(,)
nên có cơ sở đê c hấp n h ậ n //(, : ớ = 3 .

Bài 2. Xét m ột m ẫu ngẫu nhiên gồm 25 giá trị từ tập nền có
phân phối chuẩn với ơ = 2 5 0 . Xét giả thuyết gốc

H „ : E X = 800Q với đối thuyết /7| : E X - 7 9 0 0 . Tính xác suất
xảy ra sai lầm loại 1 nếu ta ch ọ n ngưỡng /í(, (xem bài 1) tương
ứng là; a) 7900; b) 7950.

Giải: N ếu giả thuyết //(, đ ú n g thì x ~ c>( (8000,2500) vì
phương sai cùa X bằng ơ " / ' / ỉ = ( 2 5 0 ) ^ / 2 5 = 2500 = 50^. Còn
nếu //, là đ úng thì A" ~ ưi (7 900,2500). Ta dựng các hàm mật độ
tương ứng trên hình 5.4.

a) Rõ ràng quy tắc để bác bỏ //() (với đối thuyết f / | ) sẽ
l à : ổ „ = {íX; = (a-,,...,a , 5 ) : ^ < 4 , }

</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151>

ở đây la ch ọ n y4() = 7900 nên
xác suất p h ạ m sai lầm loại 1
là; a = P ( 9 6 e B j H „ đ ú n g ) .

sẽ là m iền có gạch chéo trên
hình 5.4.

Từ đó, do X ~ cyf'(8000,2500), nên:.
0,05

/

«0

/ M

\ \

7900 8000

Hình 5.4

£)ặ( ——8000 _ 2;

ta c ó

z

~ ưí ỊO,

1)

khi Hrị đúng, nên

« =

p(z

-2)

p(z

> 2) = 0,5 - ệ{2) « 0,5 - 0,4772 = 0,0228.
Chú ý là xác suất xảy ra sai lầm loại 2 t r o n g trường hợp này rất
lớn, bằng 0,5.

b) T rong trường hợp c h ọ n /4(1 = 795 0 , đ ó chính là h o à n h độ
của giao đ iểm củ a hai hàm m ật độ và x ác suất để xảy ra hai loại
sai lầm bằng nhau. Bây giờ ta tính:

p ( x < 7 9 5 0 H „ ) = p X - 8 0 0 < 7 9 5 0 - 8 0 0 0 H,

50 50

= p(z<-l)=0,5-ííỉ(l)

« 0 , 5 - 0 , 3 4 1 3 = 0,1587.

Qua Ihí du này để ý nếu cho trước o r , ta có thể tính z sao
ơ,
c h o / ’( Z > Z ^ ) = ũr với

z

~ c y K ( 0 , l ) và ngưcfiig / 4 | | = ữ | , - Z „

</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

Bài 3. C ho gicí thuyết gốc /y„ và đối thuyết giống bài 2. Cần
phải c họn m ột m ẫ u có dung lượng bằng bao nhiêu và chọn
ngưỡng /4(, t h ế nào để ơ = 0,03 và p = 0,075 ?

Giải'. Do tập n ề n có phân phối với cr = 2 5 0 , nên

n ế u đ ú n g v à n ế u c ỡ m ẫ u c h ọ n b ằ n g /7 t h ì t r u n g b ì n h m ẫ u

X 0' \

X ~

ưV

n
a

với í / ị , - 8 0 0 0 , ngược lại nếu / 7 | đ ú n g thì

N

với ŨỊ = 7900 .

Từ bài 2 ta c u n g đ ã biết để cho a = 0,05 ta phải c h ọ n

~ ~~r^ ^ ^ .3a)

■sjrỉ

với tra từ b ả n g Láp-la-xơ sao cho ậ { z ^ ) = 0 , 5 - a = 0 Ậ 5 .

Tương tự muốn c ho f3 - 0,075 ta phải chọn

ơ

/4q - ữ | (1.3b)

n 5 9 , 4 8 .

với Zp tra n h ư trên ộ { z ữ , 5 ~ f3 ^ ữ Ậ 2 5 . Từ hai c ỏ n g thức
( L 3 a ) -- (1.3b) ta tìm được (vớiz^ = 1,645 \ Zp = 1,44)

^ [^a +^/7 í
( a o - a , ) ’

N hư vậy phải c h ọ n m ẫ u có lì = 60. Thay giá trị nà y vào (1.3a)
hoặc ( ỉ . 3 b ) ta sẽ c ó tương ứng /4(1 = 7946,68.

5.1.3. Bài t ậ p

1. Cho tập nền có phân phối chuẩn íyi '(a, CT') và các tham số đều
chưa biết. Ta đi kiểm định giả thuyết /7() : cr = cr^ với đối thuyết

</div>
(153)<div class='page_container' data-page=153>

//, : cr = <T,, ( cr, > cr,, đều đã biết). Cho thống kê:

^(T /=1

với X, là các giá trị c ủ a tập m ẫu với d u n g lượng còn X là trung
bình m ẫu. Q u y tắc k i ể m định có m iề n tới hạn

e„ = l(A-...(1.4)

trong đ ó xác đ ị n h từ p ( z > z „ ) = a , với z là biến ngẫu
n h iên c ó p h â n phối , r với ìì - 1 bậc tự do.

Á p d ụ n g c ho bài toán với giả thuyết gốc //() ; ơ = 0.02 với
đối t h u y ế t Hị : ơ = 0,08 . T ập m ẫ u g ồ m 25 giá trị chọn từ tập nền
c ó p h â n phối chuẩn.

a) N ế u n g ư ỡ n g = 33,2 thì xác suất phạm sai lầm loại 1
bằn g b a o n h iêu ?

b) N ế u phương sai m ẫu hiệu c h ín h là 0,024; hãy k iểm định
theo tiêu c h u ẩ n (1.4) với m ức ý n g h ĩa a = 0,05 .

2. M ộ t loại b ó n g đèn có tuổi thọ tuân theo luật c h u ẩn ~
cyf '(a, CT“ ), với ơ = 150. C h o giả th u y ết /-/|) : cr = 3600 với đối
thuyết /7| : ơ = 3500 và a = 0,1.

a) N ế u m u ố n p - 0,05 xác suất phạm sai lầm loại hai) ihì
cần địi hỏi tập m ẫ u có d ung lượng b ằ n g bao nhiêu?

</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154>

5.2. C Á C T E S T M Ộ T M Ẫ U
5.2.1. Tóm tát lý thuyết

1. Bài toán quan trọng nhất là test vâ kị' vọng c ủ a p h â n phối
c huẩn. Cho m ẫu X|, X2,...X„ lấy từ tập nề n ~ cyf '(a,cr“ ). T a phải
k iểm đ ị n h giả thuyết hỈQ '.a = a(^ với đối thuyết H) ( h o ặc

ơ <ƠỊ^ hay a > ơq) với m ứ ca .

Q u y tắc 1. N ế u cr- = ơ ị đã biết ta c ó quy tắc n h ư sau:

x - a ,

Bước 1: Tính =

ơ,

Bước 2: Tra bảng L áp -la -x ơ ^(ớ/,) = 1 - a

Bước 3: Kết luận : nếu ta c h ấ p nhận
nêu > ớ/, ta bác bỏ //„.
Còn tro n g trường hợp Hị : ừ < ứ(j (hoặc a > a ^ ị ) khi đó

Bước 2: Tra bảng = 0,5 - a

Bước 3: M iề n bác bỏ là ( - 00,-ớ/,) (trường hợp / / | : a >

thì m iề n bác bỏ /y„ là (ớ/,,+oo)), tức là nếu < -ớ/, ( h o ặc
> 6ị^ ) ta bác bỏ Hịy

Qiiv tắc 2. N ế u ơ ' chưa biết, ta thay cr“ b ằn g ước lượng k h ô n g
c h ệc h .V*:

x - a ,

Bước i : Tính 0,„ =

Bước 2: Tra bảng Stiu-đơn ớ/, = /(/; - l , a ) .

</div>
(155)<div class='page_container' data-page=155>

Bước 3: N ếu 0,„ < ớ/, ta chấp nhận //,„ ngược lại ta bác bỏ
(Trong trường hợp với các đối thuyết a < ơịị hoặc a > Qq-.

Bước 2: Tra bảng ớ/, = t{ii - l,2ct).

Bước 3: M iền bác bỏ hoặc là ( - c o , - ớ ^ ) hoặc là (ớ;,,+oo)phụ
thuộc vào đối thuyết Hị tưcmg ứng.

Clúi ý: nếu cỡ m ẫu lớn, thay vì tra bảng Stiu-đơn ta tra bảng
Láp-la-xơ; thậm chí có thể giảm nhẹ giả thiết về tính chuẩn của
phân phối.

2. Hệ quả trực tiếp của bài toán trên là tesl về tỷ lệ. Trong
nhiều vấn đề thực tiễn ta cần kiểm định giả thuyết về tỷ lệ p của số
phần tử có tính chất xác định nào đó (xác suất p) trong tập nền. Tức
là với mức a ta phải làm test //{J \ p = Pq với đối tlĩuvết

H ị ' . p * Pq (h o ặ c p p „ ): N ế u c ỡ m ẫu đ ủ lớ n

{n > 1 oo) có thể dùng quy tắc sau:

m
^ - P o

Q u y tắc 3. Bước 1: Tính ớ,„ = ^ /2. trong đó í/(, = \ - Pq, m

là số lần xuất hiện số phần tử ta quan tâm trong mẫu có dung lượng
/ỉ; hay p = — là tần suất mẫu.

lì

Bước 2: Tra bảng Láp-la-xơ ệ{ỡi, ) = - —

</div>
(156)<div class='page_container' data-page=156>

C h ú ý I: Đại lượng có phân phối tiệm cận chuẩn ơi'XO,ỉ)

nên q u y tắc ở đây là xấp xỉ.

C h ú ý 2: Nếu ta so sánh hai tỷ lệ, tức là kiểm định

Hị Ị . P ị = P; với đối thuyết / / | : /?| 5Ế ( Pi < P2 hoặc Pi > p , );

/77, + /77t

khi đ ó ta xác định p =
/2, +

—; với m I và «2 là số phần tử q u a n

tâm t r o n g c ác m ẫu tương ứng có c ỡ m ẫu là /ỉ| và «2; sau đó tính

C Ỡ m âu g iá n = — .

»1 + ÌI2

T h ố n g k ê ở bước 1 sẽ được tính như sau:
m, m ,

- v n ; với q = l - ^
v p ỹ

Các bước sau làm theo c ách th ô n g thường n h ư trên.

3. C uối c ù n g ta xét bài toán lest vê' p h ư ơ n g sai của phàn phối
chuẩn. Bài toán đặt ra là với mức a , dự a trên tập m ẫu lấy từ tập
nền c ó phân phối c 4 \ a . ,ơ ~ ) , hãy k iể m định giả thuyết:

//(, :ơ ~ =ƠQ với đối thuyết Hị :ơ~ ^ ƠQ (hoặc cr- > ctq ).

Q / I V tắc 4. Bước 1: Tính 0,11 = i -

xỴ

= ~

<^0 /=I

Bước 2: T ra bảng : ớ, = z /? - 1, 1
-a

Ỡ 2 = x n - 1,

a

(hoặc ớ/, = / " ( / 7 - 1 , « ) ) .

</div>
(157)<div class='page_container' data-page=157>

Bước 3: N ế u ớ| <ớ,„ <ỚT ta chấp n h ậ n / / ( |( h o ặ c nếu <ớ,,
ta c h ấ p n h ận //„), n g ư ợ c lại bác bỏ //„ đó.

C h ú ý rằng có thể so sánh với m ục 4.4, c h ư ơ n g trước để thấy

m iền chấp nhận //(I với mức

a

chính là khoảng tin cậy tương ứng

với đ ộ tin c ậ y \ - a . K h o ả n g tin c ậy đ ó th ư ờ n g chứa giá trị ỠQ

tro n g c ác giả t h u y ế t //,„ nếu ta c h ấp n h ậ n //,„ tuy nhiên vẫn có
th ể k h ô n g n h ư vậy, vì độ tin cậy mới là ] - ứr c h ứ chưa bằng 1.

5.2.2. C ác bài giải m ẫu

B à i 1. K iểm tra đ ộ dài X c ủ a 16 chi tiết c ù n g loại với giả thiết
là X ~ ư í ị a , ỉ ) . T r u n g bình m ẫu của c á c độ dài đó X = 10,1.
Với m ứcor = 0,05 hãy kiểm định giả thiết //(, ; E X = 10,5.

Giải: D o k h ô n g nhắc tới đối thuyết t ro n g đầu bài, ta nên
c h ọ n Hị : E X 5*10,5. ở đ â y phương sai đ ã biết nê n ta áp dụng
q u v tắc 1;

+ T r a bảng L á p - l a - x ơ ệ{ỡi,) = = 0,475 => ỡ,, = 1,96.
+ D o - 1,6 < 1,96, giả thuyêì //,) c h ấ p n h ậ n được.

B à i 2. K ết q u ả đ o chiều cao c ủ a 24 trẻ e m 2 tuổi c h o bởi
b ả n g số liệu (cm):

</div>
(158)<div class='page_container' data-page=158>

Chiều ca o chuẩn c ủ a trẻ em 2 tuổi ở vùng đ ó là 86,5 cm . H ỏi với

a = 0,01 có sự k h á c biệt đ á n g kè của ch iề u c a o n h ó m trẻ so với
c huẩn hay kh ô n g ?

Giải: Chú ý là c ó th ể coi kết quả đo n h ư là m ẫu c h ọ n từ tập
nền có phân phối c h u ẩ n (đó c ũ n g là ý n g h ĩ a ứng d ụ n g c ủ a p h â n
p h ố r c h u ẩ n rất hay g ặ p trong thực tế). Do p h ư ơ n g sai c h ư a b iết, ở
đ ây ta sẽ d ùng q u y tắc 2; giả t h u y ế t //(, : ơ = 86,5 với

Hị : a ^ S 6 , 5 và « = 0,01.

+ Trước hết ta tính X = 84,1 c m ; i' = 3,11;

ũ _ ^ ~ 8 6 , 5 /— 8 4 , 1 - 8 6 , 5 ^ TO,

ỡ,n = = — ^ r f ^ V 2 4 ^ - 3 ,8 1 .

i’ 3,11

+ T ra bảng Stiu-đơn ớ/, = r ( 2 3 ; 0 , 0 l ) = 2,807.

+ Dễ thấy - 3,81 > 2,807, ta khơng có cơ sở để c hấp n h ậ n giả
thuyết /y„ và nhóm trẻ trên có chiều cao lệch đ á n g kể so với chuẩn.

Bài 3. Độ bền c ủ a m ột loại dây thép sản x u ấ t theo c ô n g n g h ệ
cũ là 150. Sau khi cải tiến kỹ thuật người ta lấy m ẫu g ồ m 100 sợi
d â y thép để thử độ b ề n thì thấy độ bền trung b ìn h là 185 và í =
25. Với a = 0,05 hỏi c ô n g n g h ệ mới có tốt hơn c ố n g n g h ệ cũ h a y
không?

Giải: ở đây !ì - 100 khá lớn nên k h ô n g cầ n giả thiết c h u ẩ n
đối với độ bền c ủ a loại dây thép. Rõ ràng đ ể so sá nh hai c ô n g
nghệ sản xuất trên ta chi có thể so sánh độ bền t ru n g b ìn h của
phương pháp sau với 150 là kỳ VỌIIẸ, của đ ộ bền t h e o p h ư ơ n g
pháp cũ, từ đó / / q I c / ^ I S O . Do yêu cầu đ ầ u bài, ta sẽ c h ọ n

/ / | : í / > I 5 0 ; ngoài ra a = 0,05: n = 100. Đ ể k i ể m đ ị n h /7(1 ta sẽ
d ù n ^ quy tắc 2 có đê ý đến n Rhá lớn.

</div>
(159)<div class='page_container' data-page=159>

+ Tính

e,„ = ^ỉ— ^ 4 7 ì =

^ V ĩ õ õ «14.

i- 25

+ M ật k h á c tra b ả n g L á p -la -x ơ (do n k h á lớn)

ệ{e

„ ) = 0,5 - a = 0,45 và ớ/, = 1,645.

+ Do 14 > 1,645 nên k h ơ n g có cơ sở đ ề chấp nhận //(, và có
thể cho r ằ n g việc cải tiến kỹ thuật là có hiệu quả.

Bài 4. G i á m đ ố c m ột công ty tu y ê n b ố 90% đ ộng c ơ của
công ty đạt c h u ẩ n q u ố c gia. M ột h ã n g độc lập kiểm tra 200 đ ộng
c ơ của c ô n g ty thì t h ấ y có 168 đạt yêu cầu. Với mức a = 0,05 la
có thể kết luận gì về tu y ê n b ố trên?

Giải: T ần suất c ủ a số đ ộ n g cơ đạt yê u cầu là 168/200 = 84%
hơi thấp làm c h ú n g ta nghi ngờ. Gọi p là xác suất gặp m ột đ ộng
c ơ đạt tiêu c h u ẩ n q u ố c gia của c ô n g ty nọ, ta sẽ kiểm đ ị n h giả
thuyết / / ( , : / ? = 0,9 với đối thuyết / / , : / ? < 0,9, {a = 0.05). D ùng
quy tắc 3:

T ín h ^ - 2 ,8 3 .

V0,9.0,l

+ Do đối t h u y ế t k h ô n g đối lập, để ý đ ế n q u y tắc 1 ta có

ệ{ới, ) = 0,5 - a - 0,45 và ỡ,, = 1,645.

+ Vì - 2,83 < - 1,645 ta k h ô n g có c ơ sở để chấp n h ậ n /y,,.
T h ậm c h í a = 0 ,0 0 2 giả thuyết /-/„ vẫn chư a thể chấp nhận được
(do xác suất đ ể ớ,II bé hơn - 2,83 vẫn c ò n b ằ n g 0,00233).

</div>
(160)<div class='page_container' data-page=160>

kể về chất lượng c ô n g tác bảo hộ lao động hay k h ô n g ở hai phân
xưởng trên?

Giải: Ta phải k i ể m định giả thuyết về s ự b ằ n g n h a u củ a hai
tỷ lệ tai n ạ n lao đ ộ n g {a - 0,05).

ỉ^o -P\ = P i ''ới
Trước tiên dễ t h ấ y

_ 20 _ 120 _ 140 .

ò, = = 0,1; 0 , = = 0,15; p = — — = 0,14;

" 2 0 0

^

800 1000

«iAỉ2 200.800

n = — = — :— —— = 16U.

« ị + « 2 200 + 800
T ừ đó:

+ Tính

e,„ =

- ^ = £ á L V ĩ ^ ~ -1,82.

Vo,14.0,86

+ / / | là giả th u y ế t đối lập với //(, nên ệ{ới,)= — — = 0,45 và

0 , = 1,96.

+ Do 1,82 < 1,96 có thể c h ấ p n h ận //„. Đ iề u đ ó có nghĩa là
k h ô n g có cơ sở c h o rằng có sự khác biệt đ á n g k ể về chất lượng
c ô n g tác b ả o hộ lao đ ộ n g ở hai phân xưởng.

Bài 6. Chủ h ã n g sản xuất cho biết độ l ệ c h c h u ẩ n của sai số
đo (dung sai) củ a thiết bị là 5 đơn vị. Người ta k i ể m tra 19 thiết
bị đo thì thấy 5“ = 33. Với a = 0,05 có kết luận gì về ý kiến
c ủ a chủ hãng trên?

Giải: G iả t h u y ế t gốc là //() : = CT(^ = 25; ta chọn đối
thuyết là Hi'. ơ ^ > 25 (hoặc Hi'. ơ ^ 2 5 . T h e o q u y tắc 4:

</div>
(161)<div class='page_container' data-page=161>

+ T í n h

e...

tìl =- yfĨ6Õ ^ 23,76.
25

+ N ế u c h ọ n H ị - . ơ ^ > 2 5 thì ớ,, = ;ịf^(l8;0,05) = 28,9 còn
n ế u c h ọ n / / | : 25 ta phải tra h a i lần bảng

ế?, = ^ - ( l 8 ; 0 , 9 7 5 ) = 8,2 và 6»2 = / H l 8 ; 0 , 0 2 5 ) = 31,5.

+ K ế t luân: trong cả hai trườ ng h ợ p giả thuyết đều có thể
c h ấ p n h ậ n được (2 3 ,7 6 < 28,9 hoặc 8,2 < 23,76 < 31,5).

Bài 7. Đ ể n g h iê n cứu ả n h h ư ở n g của m ột loại t h u ố c ngủ,
người ta c h o 10 b ệ n h n h ân u ố n g thuốc; lần khác họ c ũ n g cho
u ố n g n h ư n g là thuốc giả (placebo). K ết quả thí nghiệm n h ư sau:

Bệnh nhân 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số gi ờ ngủ

có thuốc 6,1 7,0 8,2 7,6 6,5 8,4 6,9 6,7 7,4 5,8
thuốc giả 5,2 7,9 3,9 4,7 5,3 5,4 4,2 6,1 3,8 6,3
G i ả sử r ằ n g số g iờ n g ủ của các b ệ n h nhân có q u y luật c h u ẩ n , với
m ứ c a = 0,05 có k ế t luận gì về ả n h hưởng c ủ a loại t h u ố c ngủ
trên?

Giải: D o hai m ẫu đều làm trên c ù n g m ột loại đối tượng, nên

ta thiết lập m ộ t biến ngẫu n h iê n mới X là hiệu số giờ ngủ c ủ a các
đối tượng tương ứng. Rõ ràng X m ới vẫn tiếp tục có p h â n phối
c h u ẩ n và tư ơ ng ứng với nó là m ẫu

0,9 - 0 , 9 4,3 2,9 1,2 30, 2,7 0,6 3,6 - 0 , 5
T a sẽ k i ể m đ ị n h giả thuyết /y,) : E X = a = 0 với đối t h u y ế t là

</div>
(162)<div class='page_container' data-page=162>

+ T r ư ớ c h ế t t í n h X = 1.78; .V = i , 7 7 ; lừ đ ó

L77

+ ĐỔ tìm ớ„ ta c ó = /(9;2.0,05) = /(9;0,l) = 1,833.

+ M iề n bác bỏ g iả thuyêt //,, là (l,833; + co) và vì 3,18 n ằ m
trong m iền đó nên //,, bị bác bỏ. Đ iều đó có nghĩa là c ó c ơ sở để
tin rằng loại th u ố c n g ủ trên có tác dụng.

Bài 8. Người ta thủ độ c hịu lực của 35 chốt k h o á thì thấy
rằng độ lệch c h u ẩn m ẫ u là 3,5 p a o (1 p a o k h o ả n g 4 5 0 g a m ). Có
thể cho rằng bảo đ ả m của người sản xuất; độ. lệch c h u ẩ n thật
bằng 3 p a o , là đ ú n g k h ô n g ?

Giải: T ro n g trư ờ n g hợp này /Y„:cr = 3 với đối t h u y ết
/7| : ơ > 3. D o n - 35 có thể coi là lớn; ta nên sử d ụ n g s ự k i ệ n
sau (xem trong các tài liệu tham khảo):

.2 ^

,v CÓ phân phối tiệ m cận c h u ẩ n ưị ơ ơ0

2/í

Từ đó để kiểm đ ị n h //„ ta sử d ụ n g quy tắc giống n h ư q u y tắc 1.
Cho a = 0.05 .

ơ 0

VtÕ ^ 1,39.
3,0

+ Tra bảng với 0,5 - u,03 - 0,45 ^ 0^ = 1,645.

+ Do m ién bác b ó

lí,)

là - ( l , 6 4 5 ; + o o ) và = 1,39^

b

nên khổng có c ơ sở đ ể bác bỏ bảo đ ả m trên củ a nhà sản xuất.

5.2.3. Bài tập

</div>
(163)<div class='page_container' data-page=163>

1. M ột k h á c h hàng m uốn m u a một loại sơn k h ô n h a n h nhiều

n h í t là 17 phút sau khi sơn. H ã n g sơn A bảo đảm rằng sản phẩm
của họ, ngồi các tính chất tốt khác, sẽ khô sau 15 phút (trung
bình). N ế u độ lệch c h u ẩ n củ a thời gian khô là 1,75 và a ch ọ n là
0,1; hãy xác định d u n g lượng m ẫ u sao cho lô hàng m ẫu đó với
thời gian k h ô trung b ìn h 17 phút sẽ bị bác bỏ với xác suất 95%.
N ếu lấy m ẫ u đó nhưng X = 16 thì ta sẽ quyết định như th ế nào về
loại sơn đó?

2. T h e o q u ả n g cáo chỉ s ố ốc-tan của một loại xăng cao cấp là
90,5. Người ta thử n g h iệ m 23 m ẫu xăng đó chọn ngẫu nhiên thì
thấy chỉ số ốc-tan trung bình X = 89 với s = 3. Bạn có thể kết
luận gì về thơng tin quảng c áo đó? T h e o bạn có nê n ch ọ n thêm
m ẫu nữa hay không?

3. M ộ t h ã n g phần m ề m tu y ên b ố sẽ cung cấp và cài đặt sản
p h ẩm c h o k h á ch h à n g trong th à n h p h ố c h ậm nhất sau 30 phút
tính từ lúc n h ận được cuộc gọi đặt hàng. Chọn m ộ t m ẫu gồm 28
k h á c h h àn g thì thấy thời gian c u n g cấp trung bình X = 34,5 phúl
với .v = 2,3. Có thể c h ấ p n h ậ n tuyên b ố của hãng đó hay kh ô n g

{a - 0,1)?

4. N h à sản xuất đ in h tán c h o rằng đường kính đ in h c ủ a ô n g
ta có ơ = 0,01. C h ọ n m ột m ẫ u g ồ m 10 đinh tán ta xác đ ịn h được
í = 0,018. Bạn sẽ nói gì về ý kiến c ủ a nhà sản xuâ't? T h e o bạn
d u n g lượng m ẫu đã đủ đ ể Qiiyết định cíĩưa?

</div>
(164)<div class='page_container' data-page=164>

Khối lượng (kg) 0,95 (3,97 0,99 1,01 1,03 1,05

Số gói 9 31 40 15 3 2

Với mức a = 0 ,05, hãy kết luận về nghi n g ờ trên.

6. Tỷ lệ người mắc bệnh A ở một địa phương là 5%. Trong
m ột lần kiểm tra sức k h o ẻ ngẫu nhiên 300 người thấy có 24
người m ắc b ện h A. Với a = 0,05 có thể c h o rằng tỷ lệ người bị
b ệ m h A có xu hướng tăng lên kh ô n g ?

7. Đ ị n h mức thời gian để sản xuất 1 loại sản p h ẩm là 45
phút. Sau cải tiến c ô n g nghệ, người ta sản xuất thử 100 sản p h ẩ m
thì thu được X = 42,5 với = 1.2. Với mức a - 0,05 có thế cho
rằng c ô n g n g h ệ mới giảm bớl thời gian sản xuất m ộ t sản phẩm
không?

8. T ỷ lệ bệnh nhàn được chữa khỏi bệnh khi điều trị bằng
thuốc A là 80%. Người ta đưa vào một loại thuốc m ới để chữa
b ệ n h c h o 1100 người thì có 9 2 0 người khỏi bệnh. Có thể cho
rằng th u ố c mới hiệu quả hơn k h ô n g với mức a = 0,01?

9. Đ ể xác đ ị n h độ béo củ a m ột loại pho- mát, người ta chọn
ngẫu nhiên ra 10 m iếng, mỗi m iếng lại được chia đô i và m ột nửa
gửi cho phịng thí n ghiệm A, nửa còn lại cho phòng thí n g h iệ m

B . Kết q u ả xét n g h iệ m cho bởi b ả n g (%)

Sô thứ tự 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1(

40 39 40,2 38,2 39,7 37,7 41,1 36,5 40,7 3 8 /
B 41,9 39 40,7 39,3 39,2 38,7 41,3 38,5 39,8 38.^
G iả sử rằng các sô' đo tuân theo luật phân phối chuẩn. Gọi X 1.

hiệu số của c ác độ béo tương ứng tác h theo hai p h ò n g th

</div>
(165)<div class='page_container' data-page=165>

n g h i ệ m , hãy xác đ ị n h k h o ả n g tin cậy 9 9% cho EX. Có thế cho
rằng c á c kết quả xét n g h iệm của hai phòng thí nghiệm khác nhau
c ơ b ả n hay k h ô n g ?

10. T rong m ột thùng rác chuyên để đựng chai cũ người ta
c h ọ n ngẫu nhiên 300 chai thì thấy có 83 chai màu trắng. Với mức

a - 0,05 có thể c h o rằng tỷ lệ chai màu trắng là 25% được
k h ô n g ? Xác đ ịn h kho ản g tin c ậy 95% cho tỷ lệ chai có màu trắng.

11. T h e o p h ư ơ n g pháp nuòi thứ nhất ta có 12 con gà con bị
chết tro n g m ột đ à n 2 0 0 con. Người ta nuôi một đàn đối chứng
100 con theo phư ơ ng pháp Ihứ hai thì có 5 con bị chết. Với

a = 0,05 có thể kết luận r ằ n g việc nuôi theo phương pháp thứ
hai c ó tỷ lệ gà con bị chết thấp hơn không?

12. C h ọ n n g ẫ u nhiên 47 vịng bi cùng loại thì thấy độ lệch
c h u ẩ n trung bình i' = 0,003. T h e o quảng c áo thì độ lệch chuẩn
thực k h ô n g vượt q u á 0 ,0025. V ậy ta có thể kết luận gì
( « = 0 , 0 5 ) 7

§ 5 . 3 . C Á C T E S T HAI M Ẫ U
5.3.1. Tóm tắt lý thuyết

1. Bài toán đầu tiên có tên gọi so sáiili ha i kỳ VỌIOỈ. Giả sử ta
có hai m ẫu .V,, ,V2, ... XI, và V,, >'2,... V1,^ ấy lừ hai lập nền có cùng

ph ân phối c h u ẩ n với phương sai giống nhau. Vấn đề đặt ra là với
m ức a đã c h o trước ta phải kiểm định giả thuyết /7(, ; Uị = CI2 với

đối thuyêì / / | : í/) 5*Í/T(tương tự như ở mục 5.2 có thể chọn đối
t h u y ế t / / , là íỉị > í/t hoặc «1 < ƠT, với là các kỳ vọng của X

</div>
(166)<div class='page_container' data-page=166>

«1 - 0 2 với 0 và quay vể với các bài toán so sánh kỳ v ọ n g với

hằng s ố (xem mục 5.2). ở đây có thể d ù n g q u y tắc sau;

Qiiy tắc I .

X ~ Ỹ

Bước I : T ính ớ,,, ('3.1)

Ịh

(/ỉ| - ì ị s Ị + { ì ì 2 - l)v2

Iiị + / ; , - 2

Irong đó , sỊ là các phương sai mẫu hiệu chính củ a các m ẫ u
tương ứng.

Bước 2: Tra bảng Stiu-đơn ổ,, = t{ìiị + IÌ2 - 2 ; a )

Bước 3; N ế u <ỡf^ ta chấp nhận //(,; tro n g trư ờ n g h ợ p
ngược lại thì bác bỏ.

C h ú ỷ 1: N êu đối thuyết kh ô n g đối xứ n g x e m b ư ớ c 2 và 3
của quy tắc 2 m ụ c 5.2.

C h ú ý 2; N ế u /ỉ, k h á lón ( > 3 i ) thay vì tra b ả n g S tiu -đ ơ n , ta
tra bảng Láp-la-xơ; và khi /7, đủ lớn (> lo o ) Ih ậ m c h í k h ơ n g c ầ n
có giả thiết c h u ẩ n và có thể tính xấp xỉ m ẫ u s ố c ủ a ( 3 .1 ) b ằ n g

I /7, + .Vọ //?ọ .

Chíi ý 3: Bài toán so sánh hai tỷ lệ đã nhắc đ ế n ở p h ầ n 2 c ủ a
m ục 5.2. Bài toán so sán h hai m ẫu tạo thành c á c c ập s ố liệ u c ũ n g
vậy.

C h ú ỷ 4; Bài toán so sánh nhiều kỳ vọng c h ín h là việc p h â n
tích phương sai sẽ phức tạp hơn và ta không nhắc đến ở đây.

C h ú ý 5: T rong thực t ế đỏi khi người la giảm n h ẹ g i ả thiết
n h ư bỏ q u a sự kiện c ù n g phương sai, và nếu biết cả hai p h ư ơ n g

</div>
(167)<div class='page_container' data-page=167>

sai thật thì m ẫ u s ố c ủ a (3.1) se là và ở bước 2
sẽ tra b ả n g L á p - l a - x ơ (dùng phân phối c huẩn).

2. X é t bài t o á n so sánh hai phương sai bắt đầu từ hai m ẵu A'|,

X2, . . . X, , v à v p Va , - - . Yn, l â y t ừ các t ậ p n ề n c ó phân phối c h u ẩ n

c hư a biết t h a m số. V ớ i mức a cho trước hãy kiểm định giả
th u y ết Hq \ ơ { = ơ ị với đối thuyết / / | \ ơ ị > a ; (trong đó ơ|^ và

ơ ỉ là c á c p h ư ơ n g sai tương ứng).

Oiiy tắc 2 . G i ả sử (nếu k h ô n g ta đổ i th ứ tự mẫu).
.V?

Bước 1: T í n h

e... = '

.,2 ■

S2

Bước 2; T r a b ả n g Phi-sơ - 1;«).

Bước 3: N ế u < ỡf, ta chấp nhận Hị„ nếu ngược lại ta bác bỏ.
5.3.2. C á c b à i giải m ẫ u

B ài 1. N g h i ê n c ứ u trọ n g lượng trẻ sơ sinh c ủ a hai n hóm với m ẹ
n g h i ệ n t h u ố c v à k h ô n g hút thuốc lá, ta có k ế t q u ả (kg).

K hông hút thuốc 3,99 3,79 3,60 3,73 3,21 3,60 4,08 3,61
N ghiện thuốc 3,18 2,84 2,90 3,27 3,85 3,52 3,23 2,76

K hông hút thuốc 3,83 3,31 4,13 3,26 3,54 3,51 2,71
Nghiện thuốc 3,60 3,75 3,59 3,63 2,38 2,34

</div>
(168)<div class='page_container' data-page=168>

k h ô n g n g h i ệ n thuốc không? Xác đ ịn h k h o ả n g tin cậy 9 5 % c h o
hiệu s ố trọ n g lượng trung bình của hai n hóm trẻ.

Giải: Việc đầu tiên là xác định các đ ặ c trưng m ẫ u c ủ a hai
n h ó m trẻ trên;

/ 7 , = 1 5 ; X | = 3,5933;ì-, = 0 ,3 7 0 7 ;

u , = 14; X2 = 3,2029; i’2 = 0,4927.

Với giả thiết của đầu bài, có thể sử dụng quy tắc 1 với //q : «1 = « 2 •

3 , 5 9 3 3 - 3 , 2 0 2 9
+ T í n h ớ,„ =Ỉ U

14.0,3707^ + 1 3 .0 ,4 9 2 7

2,42.

15 14 /

15 + 1 4 - 2

+ 0 đ à y đối t h u y ế t //, ; ữ, > «2; tra b ả n g Stiu-đơn

= / ( 2 7 ; 2 . 0 , 05) = 1,703.

+ Vì 2,42 > 1,703 nên giả thuyết //„ bị b á c bỏ. C ó c ơ sở đ ể
c h o r ằ n g trẻ sơ sinh c ủ a nhóm m ẹ k h ơ n g hút t h u ố c n ặ n g hơn.

Đ ể tìm khoảng tin cậy 95% cho Ơ Ị - Ú 2 ta sẽ dùng công thức

(4.2) c ủ a m ụ c 4.4. T rong công thức đó 0^ = / ( 2 7 ; 0 , 0 5 ) « 2,05; c ò n
a / V n c h ín h là m ẫ u s ố của (3.1); X = X| - X ọ . T ừ đó k h o ả n g tin
c ậ y cần tìm là:

(0,3904 - 2,05.0,1612; 0,3904 + 2,05.0,16 1 2 ) = (0,06;0,72).

Bài 2. Một n h à kinh doanh vòng bi tu y ê n bố r ằ n g s ả n p h ẩ m
m ới d o ông ta bán c ó độ ma sál thấp hơn s ả n p h ẩ m cũ. Đ ể k i ể m
tra điều ấy người ta đ e m xcl n s h i ệ m 36 v òng bi cũ và 25 v ò n g bi
niới dưới c ù n g điều kiện Ihì thấv độ ma sát trung b ìn h X.Q = 5 2

'^niới = 4 4 . N g o à i ra oiá sử ta biết = 8 và = 1 2 . Với

</div>
(169)<div class='page_container' data-page=169>

a = 0,05 ta sẽ kết l u ậ n thê nà o vể ý kiến của nhà kinh d o a n h
trên, g iả sử rằn g c á c đ ộ m a sát có p h â n phối chuẩn?

G iải: Đ ể trả lời c â u hỏi trên ta đặt X|, X2 tương ứng là đ ộ m a
sát c ủ a hai n h ó m vòng bi mới và cũ. Ta phải kiểm định
/ / o : ữ , =úT2 với đối thuyết Với đối thuyết / / , đó

d ù n g q u y tắc 1 có đ ể ý đến các chú ý 1 và 5;
+ T í n h

e... =

- p l L ..^X , - X j - 8

6 4 144 2,56
36 25

+ T r a b ả n g L á p - l a - x ơ ệ{6i^) = 0,5 - a = 0,45 => Bị, = 1,645.
+ M iề n b ác bỏ g i ả thuyết sẽ là = ( - c o - 1 ,6 4 5 ) và g i á trị
- 3 , 1 5 € ổQ,. N h ư v ậ y ta bác bỏ giả t h u y ế t f/ị, và với độ tin c ậy
9 5 % có thể thừ a n h ậ n ý kiến c ủ a nhà k in h d o a n h đó.

B à i 3. H ai c ô n g ty c h ế tạo th u ố c sú n g c hào hàng. Đ ầ u tiên
c h ú n g ta m u ố n k i ể m tra xem các sản p h ẩ m của họ có c ù n g c h ất
lượng h a y k h ô n g . M ộ t trong những chỉ tiêu người ta hay q u a n
t â m là tốc độ x u ấ t p h á t c ủ a đ ạ n khi sú n g phát hoả.

ở m ỗ i c ô n g ty c h ọ n ra 10 m ẫ u th ử n g h iệ m và kết q u ả thu
được ở m ẫ u c ủ a c ô n g ty 1: X, = 1210; = 2 550; còn ở bộ m ẫ u
th ứ hai = 1175; s ị = 3600. Có thể kết luận về chất lượng sản
p h ẩ m g i ố n g n h a u c ủ a hai c ơ n g ty đó hay kh ô n g (với m ứ c

a = 0 , 0 5 ) ?

</div>
(170)<div class='page_container' data-page=170>

+ T í n h = 1 2 1 0 - 1 1 7 3

9 . 2 5 5 0 + 9.3600 í 1 1
+
18

K42.

10 10,

+ T r a b ả n g StÌLi-đơn ớ;, = r ( l 8 ; 0 , 0 5 ) = 2,J01.

+ D o |l,42 < 2,101, giả thuyết /Y|, được c h ấ p n h ậ n . Đ ể ý rằng
ở dây ta k h ô n g có giả thiết về phân phối c h u ẩn c ú a tập nền.
T rong thực lê đối với nhĩrng số liệu hàng loạt c ù n g bản c h ất thì
giả thiết c h u ẩ n m ặ c n h iên được thừa nhận. T a c ũ n g k h ơ n g có giả
thiết c ù n g phương sai. Nó có thể được thừa n h ậ n d ễ d à n g b ằ n g
q uv tắc 2; ở đây H^, : CT|- = ơ ị với đối thuyết / / | ; ơ Ị > (T|“ .

+ T í n h ỡỉn 3600

2500 1.41.

+ T r a b ả n g P h i-s ơ ớ,, = F ( 9 ;9 ; 0 ,0 5 ) = 3,18.

+ Vì 1,41 < 3,18 nên giả thuyết về sự b ằ n g n h a u c ủ a hai
phương sai là c h ấ p n h ậ n được (với độ tin cậy 9 5% ).

B à i 4. N gư ời ta n g h i ê n cứu nãng suất lúa m ì ở 2 v ù n g với hai
c h ế đ ộ c an h tác k h á c nhau, ở vùng thứ n h ấ t có 9 th ử a r u ộ n g
được c h ọ n với n ă n g suất bình q u â n Xị =2A,6 tạlha và Sị = 0 , 2 4 ;
ở \'ùng t h ứ hai c ó 16 thửa với n ăn g suất b ì n h q u â n

^ 2 = 2 5 Ẵ tạHia v à s ị = 0,16 . Với ơ = 0,05 hỏi c ó sự sai k h á c

đ á n g k ể giữa c ác n ă n g suất trung bình và c ác đ ộ tán x ạ t ru n g
bình c ú a n ă n g suất hai vùng trên hay k h ô n g ? Giải lại bài toán
nếu d u n g lượng m ẫ u c ó thay đổi /2, = 40; /?2 = 70 n h ư n g c ác đặc

irưng m ẫ u k h ô n g t h a y đổi.

Giải: Bài ra yêu cầu so sánh hai kỳ vọng, hai p h ư ơ n g sai c ủ a
năng suất hai v ùng, la sẽ làm lần lượt:

</div>
(171)<div class='page_container' data-page=171>

Đ ể so s á n h hai phưcfng sai, ta phải kiểm định giả thuyết

^ 0 ■ “ ^ 2 đ ố i th u y êt chọn là Hị : ơ Ị > ơị (hoặc

Hị -.ơỊ ). T h e o đ ầ u bài ta có:

«, = 9 ; = 0,24; «2 = 16; = 0,16; a = 0,05.

G iả sử c á c n ă n g suất c ó phân phối c h u ẩn m à k h ô n g sợ là quá vô
lý. Á p d ụ n g q u y tắc 2:

u ũ _ _ 0,24 , _

+ T í n h ớ,„ = : ^ = ^ = 15.

s ị 0,16

+ T r a b ả n g P h i-s ơ = F(8;15 ;0,05) = 2,64.

+ D o 1,5 < 2 ,6 4 giả th u y ết H„ c h ấ p n h ậ n được tức là hai
p h ư ơ n g sai k h ơ n g c ó sự k h á c nhau đ án g kể.

Đ ể so s á n h hai kỳ vọng, ta sẽ k i ể m đ ịn h giả thuyết

H q : Uị = Ũ

2

với đối th u y ết H ị : ữ| a-,. Á p d ụ n g q u v tắc 1:

+ T í n h =

i

(«, - «1 + «2 ~ 2 + (/?2
-24,6 - 25,8

1

V«1 n

'8.0,24 + 15.0,16

V

1 J_

9 "^16

- 6 ,6 7 .

/
9 + 1 6 - 2

+ T r a b ả n g Stiu-đơn = /(23;0,05) = 2,07.

</div>
(172)<div class='page_container' data-page=172>

Bây giờ ta giải q u y ết trường hợp = 4 0 ; « 2 = 7 0 . Đ ể so

sán h hai phưcmg sai, ta kiểm đ ịn h Hq : CT|^ = ơ ị với đối th u y ết

T I _ 2

H ị -.ơ; > ơ-| :

+ T r a b ả n g P hi-sơ ớ/, = F ( 3 9 ; 6 9 ; 0 , 0 5 ) » 1,57.

+ V ì 1,5 < 1,57 g iả thuyết H , I vẫn còn c h ấ p n h ậ n được, dẫu

1,5 đã k h á gần với ngưỡng và đô i khi do sai s ố tín h t o á n có thể
làm c h ú n g ta kết luận sai. T r o n g những trường h ợ p n h ư vậy,
n g o à i thực tiễn thông thường người ta ch ọ n th ê m c á c bộ m ẫu
k h á c để k i ể m định thêm, hoặc tìm cách thay đổi q u y tắc k i ể m
đ ị n h bằng m ột quy tắc khác để yên tâm hơn. Đ ể so s á n h hai kỳ
v ọ n g ta k i ể m định //q : ữ| = a-, với đối thuyết đố i lập;

+ D o m ẫu có d u n g lượng lớn, ta d ùng kết q u ả g ầ n đ ú n g (x e m
c h ú ý 2) ớin X, - _ - 1 , 2

4 ~ 10,24 ^ 0,16
«2 V 40 70

13,19.

+ C ũ n g do m ẫ u có d u n g lượng lớn, tra b ả n g L á p - l a - x ơ
^ = 0,475 ớ , = 1,96.

+ Vì - 1 3 , 1 9 > 1,96 việc bác bỏ giả thuyết //() về sự giống nhau
c ủ a các năng suất trung bình sẽ k h ô n g gây ra tranh cãi gi lớn.

Bài 5. K iểm tra chất lượng c ủ a hai lô sản p h ẩ m , người ta
th ấ y trong lơ thứ nhất có 50 p h ế phẩm trê n tổ n g s ố 5 0 0 sản

</div>
(173)<div class='page_container' data-page=173>

p h ẩ m , còn trong lô t h ứ hai tỷ lộ đó là 60 p h ế p h ẩ m /4 0 0 . Với mức
ý n g h ĩ a a = 0,05 ta c ó thể k ế t luận gì về hai lơ sản phẩm trên?

Giải: G ọi Pị và P2 là tỷ lệ lý th u y ết c ủ a p h ế phẩm (xác suất
gặp phê p h ẩ m ) t ro n g hai lô h à n g tương ứng; ta kiểm đ ịn h giả
t h u y ế t Hq : - P-, với đối t h u y ế t Hị : Pị ^ P t Ì u = 0,05 ). Có thể
sử d ụ n g chú ý 2 c ủ a q u y tắc 3 m ụ c 5.2):

+ D ễ d à n g tìm được = ^ ^ = 0,1; Pn = - ^ = 0,15;

50 + 60
500 + 400

Pi - P i

500 ‘ " 400

0 ,12;

ri| + n 2 9
0 , 1 - 0 , 1 5 2 000

11 = - 2 , 2 7 6 .

V M l - p ) V0,12.0,88 ^

+ T r a b ả n g L á p - l a - x ơ (do m ẫ u có d u n g lượng lớn)
= 0,475 = > ớ ^ = 1,96.

+ T ừ - 2,276 > 1,96 ta k h ơ n g có c ơ sở để c h ấ p nhận //„.
Chú ý rằng do m ẫ u lófn ta có thể xấp xỉ bằng công thức sau:

P , - P 2 _ 0 , 1 - 0 , 1 5

am

ì n n

0 4 .0 , 9 0^15.0,85

- 2 , 5 6 .

500 400

V à rõ r à n g //(, c à n g bị bác bỏ. C ó n g h ĩ a là c h ấ t lượng của ch ú n g
k h ô n g đ ồ n g đều. Bây giờ ta t h ử k i ể m đ ị n h //„ trên với đối lliuyết

</div>
(174)<div class='page_container' data-page=174>

ệ{6i^) = 0,5 - a = 0.45 và =>ớ,, = 1,645 .

+ M iề n bác bỏ giả th u y ết //„ sẽ là - ( - c o , - l , 6 4 5 ) và do
- 2 , 2 7 6 € nên có c ơ sở để c h ấ p nhận giả th u y ế t H,: tỷ lệ phê
phẩm c ủ a lô hàng t h ứ nhất b é hơn đ á n g kể so với lô h à n g thứ hai.
5.3.3. Bài t ậ p

1. Hai hãng c hào hàng m uốn bán nguyên liệu thô là các thanh
thép để sản xuất dây điện. Đ iều nhà sản xuất dâ y điện q u a n tâm là
độ dẻo của nguyên liệu. T ừ kho của mỗi hãng chào h àn g người ta
chọn ngẫu nhiên ra 14 thanh thì thấy; X| = 46 và X , = 53 (độ dẻo

Irunii bình cúa các m ẫu tương ứng). Đ ộ lệch c h u ẩn các đại ỉượng
quan tâm đã biếtCT| = 5 và = 7. Với mức a = 0,01 hỏi có sự
khác biệt đáng kể giữa hai độ dẻo cúa các n g u y ê n liệu thỏ trên?

2. Đ ộ linh khiết c ủ a m ột chất xúc tác rất q u a n trọ n g trong
nghiên cứu khoa học. Người ta t h ử n ghiệm hai p h ư ơ n g p h á p khác
nhau: bằng phương p h á p 1 (hữu cơ) làm 34 m ẫ u và b ằ n g phương
pháp II (tổng hợp) làm 22 m ẫu. Kếl quả thu được n h ư sau (lượng
chất bẩn trôn đơn vị c hất)

2,0 2,0 1,8 0,9 1,7 1,6 1,7 1,5 1,9 2,0
1.8 1,6 1.8 1,7 1,6 1,7 2,1 1,5 1,7 2,0

1.8 1,7 1,5 1,6 1,6 1,7 1,7 1,4 1,5 1,7
1,6 2,0 1,9 2,1__________________________
Phương pháp

Phương pháp
11

1,5 1,4 1,5 1,6 1,1 1,7 1,4 1,7 1,4 1,4
1,7 1,1 1.5 1,2 2,0 1,6 1,1 1,3 1,5 1,7
1,9 1,0

Mỏi có sự khác n h a u đ á n g kể giữa các lượng c h ất b ẩ n c ủ a hai
phương pháp trên hay k h ô n g ?

</div>
(175)<div class='page_container' data-page=175>

3 . N gười ta làm một test trên 15 sinh viên để tìm hiểu hiệu
quả của v iệc giảng dạy một vấn đề theo phương pháp mới. Trước

khi h ọ c phương pháp này sinh viên được ch o làm một bài kiểm
tra (kết quả tính bằng điểm số với điểm tối đa là 100); sau khi
h ọc, sinh viên được làm bài kiểm tra thứ hai. Kết quả điểm của
từng h ọc sinh ch o ở bảng sau:

Số thứ tự
Trước học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

54 79 91 75 68 43 33 85 22 56 73 63 29 75 87

Sau học 6 6 85 83 88 93 40 78 91 4 4 82 59 81 64 83 81
V ớ i m ức a = 0 ,0 5 bạn có nhận xét gì về sự khác nhau giữa hai
dãy đ iểm s ố trên? Có thể coi rằng v iệc học theo phương pháp
m ới c ó hiệu quả hơn hay khơng?

4 . C ó hai m áy tiện sản xuất cùng m ột loại sản phẩm. Từ các
lô sản phẩm của m ỗi máy ta chọn ra 10 sản phẩm và kết quả đo
(độ dài) của các mẫu đó như sau:

Mẫu 1 4 9 ,3 7 49,88 49,91 49,33 49,77 49,81 50,52
5 0 ,1 4 49 ,7 5 50,50

Mẫu 2 4 9 ,6 8 49,7 5 50,12 48,99 49,67 49,09 50,30

5 0 ,1 4 50,44 49,72

H ỏi c ó sự khác nhau đáng kể giữa các độ dài trung bình; giữa các
độ tán xạ trung bình của độ dài đó của hai m áy hay không (ch ọn

a = 0 ,0 5 ) ?

</div>
(176)<div class='page_container' data-page=176>

§ 5.4. T E S T V Ề LUẬT P H Â N PH Ố l
5.4.1. tóm tát lý thuyết

1. P h ư ơ ng p h á p n g h iê n c ứ u tro n g p h ầ n n à y th ư ờ ng k h ô n g đ ò i

hỏi các giả thiết về hàm phân phối xác suất với các tham số đã

biết; vì vậy người ta hay gọi là phân tích th ố n g kê p h i t h a m số.
Bài toán đặt ra là: có thể dựa vào bộ mẫu của m ột biến ngẫu

nhiên để rút ra kết luận về phân phối của biến ngẫu nhiên đó với

mức a được hay k h ô n g . Cụ th ể là ta sẽ k iể m đ ịn h g iả th u y ế t
“X có phân phối F„” , F(| đ ã b iết và trong n h iề u trư ờ ng h ợ p ta ký
hiệu luôn f(| cũng là hàm phân phối xác suất; đối thuyết / / | chính
là giả thuyết đối lập với Hịy

ở m ục này ta n g h iê n cứu F„ là một p h â n phối liên tục đ ã cho.

Tuy nhiên có thể nó phụ thuộc vào /• tham số chưa biết và trong

khi tính tốn ta sõ thay các tham số đó bằng các ước lượng của
chúng (thông thường là các ước lượng hợp lý nhất). Số liệu quan
sát thường được sắp xếp vào các khoảng liên tiếp như sau

Mẫu X,) (X„X2) ... (a^,

«2 . . .

với H | + /Ỉ

2

+ = n dung lượng mẫu và l ĩ ị là số lượng mẫu

rơi vào khoảng thứ i là (jr,

1

, X,). Các khoảng được chọn sao ch o
Iii > 5 và có thể c ó độ dài tuỳ ý (sau này ta thường chia cách đều)

và số lượng khoảng khơng q ít hoặc q nhiều 4 < / c < 1 5 . T u y
nhiên vẫn có thể có n goại lệ với các khoảng mút và trong trường
hợp đó, chẳng hạn /ỉ| và lÌỊ. có thể bé hơn 5. G iá trị dùng dể ước
lượng các tham sô chưa biết nói ở trên sẽ được chọn ở giữa các
khoảng tương ứng ; còn khi dùng các khoảng để tính xác suất lý

</div>
(177)<div class='page_container' data-page=177>

thuyết P i nếu //() đúng thì hai giá trị mút Xq đặt bằng

~co và Xị. - + C O .

Q u y tắc Pi êc- xơn :

k
Bước 1: Tính

e,„ =

/=1

, {llị - n p ; )•
n p ;

trong đó P ị là xác suất

p{x,_ị

< x <

X ị ) hay p,

=

p[x

e (x /_ |, A',) .

Bước 2: Tra bảng tìm 6ị, = x ~ { k - ì - 1;«).

Bước 3: N ếu 6ị, ta chấp nhận giả thuyết //,„ ngược lại
bác bỏ nó.

2. Khi trong //(( phân phối F„ là rời rạc (và có thể tính cả
trưcíng hợp liên tục theo cách này) ta sẽ làm như sau: quv tắc vẫn
giữ nguyên, nhưng việc tính Pị sẽ khơng cịn giống như trên vì bộ
số liệu sẽ có dạng

Mẫu A'2

"i >h «2 >h

Khi đó nếu //(, đúng, P ị sẽ được tính là p ( X = X||H(, đúng ).

N ếu phân phối trong //() là liên tục thì theo lý thuyết rõ ràng
là xác suất đó bằng 0, tuy nhiên ở đây ta xấp xỉ bằng xác suất rơi
vào khoảng thứ / có chứa X ị và có độ dài tương ứng. Rõ ràng xác

suất đó ước lượng xấp xỉ là — nếu f/|| đúng; việc tính tốn dựa
n

vào quy tắc trên được chấp nhận và tất nhiên là gần đúng.

</div>
(178)<div class='page_container' data-page=178>

5.4.2. C á c bài giải m ẫ u

B à i 1. Đ o độ n h ạy một kênh tru y ền hình củ a 50 m áy thu
hình ta có kết q u ả sau:

K ho ản g (//V) Số lượng m áy Iiị K hoảng ",

75-125 1 375-423 6

125-175 0L. 425-475 5

175-225 4 475-525 2

225-275 9 525-575 2

275-325 8 575-625 1

325-375 8 625-675 2

Với a - 0,05 h ã y kiểm định giả th u y ết rằng độ nhạy cảm củ a
kênh tru y ề n h ình tu â n theo luật phân phối chuẩn.

Gi ải: Đ ể kiểm định giả thuyết trên trước hết ta cần ước lượng
hai th am số của phân phối chuẩn là ơ và (ở đây k - 12; /ì = 50)

X = — (l 00.1 + 150.1 + ... + 600.2) = 346;
50

N hư vậy ta phải k iểm định X ~ c/í (3 4 6 ; 124,4 “ ) với mức

a = 0,05 . D ùng q u y tắc Piêc-xơn
p - "Pi )■

+ Tính ff,„ = ỵ

i=ì np^

Do có n h iều /7, < 5, ta săp xếp lại m ầu như sau

<225 225-275 273-325 325-375 375-425 425-475 >475

n. 7 9 8 8 6 5 7

</div>
(179)<div class='page_container' data-page=179>

N h ư vậy số kh o ản g chỉ cò n k = 1 với các «, có th ay đổi chút ít.
Bây g iờ ta đi tính P ị , / = 1 , 2 , . . . , 7. D o X có phân phối chuẩn

c4 (

346

; 124,4 khi //(I đ úng nên:

Pi = ệ

X; - 346
124,4

J

A-,_1 - 346
124,4

trong đ ó ( x , . , , X,) l à k h o ản g th ứ / ( đ ể ý Xg = - o o ; a '7 = )• D ùng
b ản g L á p -la -x ơ ta sẽ tính được

p , = 0,1660 P 2 = 0 , m 3 /7^ = 0,1482 = 0,1585

= 0,1447 p , = 0,1151 />7 = 0,1492.

K hi đó 2,22.

/=1

+ T ra bảng ta có - 2 - 1;0,05):= 7,815.

+ D o 2,22 < 7,815; giả th u y ết về p h â n phối c h u ẩn là chấp
n h ậ n được.

Bài 2. Q u a n sát m ột đối tượng có 10 Irạng thái tất cả 96 lần
thì thu được kết quả:

T rạng thái i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số lần Ih 13 8 10 9 10 14 5 12 11 4

Với « = 0 ,0 1 , có thể coi vai trò của các trạn g thái là như nhau
hay k h ô n g ?

</div>
(180)<div class='page_container' data-page=180>

ngẫu n h iên chỉ th ứ tự c ủ a trạ n g thái thì X phải tu ân th e o luật
phân phối đều rời rạc với P i = i - 1,2,... 10.

Bài to á n đưa về k iể m đ ịn h giả th u y ết //(,: “X có phân phối đ ề u ”
với a = 0,01.

- («, -

Y
10

+ T ín h = X
i=l

= 9,84.

n p

-+ T ra bảng ta đượ c ớ/, = J ^ ( l 0 - l ; 0 , 0 l ) = 21,666.

+ D o 9,84 < 2 1 ,6 6 6 ; g iả th u y ế t //,) chấp nhận được; c ó c ơ sở
để tin rằn g vai trò c ủ a c ác trạ n g thái là n h ư nhau.

Bài 3. Q u an sát m ộ t đối tư ợng 100 ngày, và gọi X l à số lần
xuất h iệ n của đối tư ợ n g tro n g m ộ t n g ày , ta có:

Số lần/ngày 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số ngày 3 12 19 29 21 6 9 0 0 1 0

Với a = 0,01 hãy k iể m đ ịn h g iả th u y ết //(,: “X có p h ân p hối nhị
thức ^ ( 1 0 ; 0 ,3 )” .

Giải: Đ ầu tiê n ta sắ p x ế p lại m ẫu; vì 4 giá trị cu ố i c ù n g chỉ
xuất hiện 1 lần n ê n ta g h é p ln nó vào giá trị thứ 7. Sau đó d ù n g
phân phối nhị thức .í3’(10; 0 ,3 ) để tính xác suất tương ứng ta có
kết quả

</div>
(181)<div class='page_container' data-page=181>

Pi

0 3 0 , 0 2 8 3

I 12 0 J 2 1 1

2 19 0,2335

3 2 9 0,2668

4 21 0,2001

5 6 0 , 1 0 2 9

6 -1 0 10 0 W 3

+ T ín h

e,„ = ịỳ li- IE lL ^

8,72.

,=1

+ T ra b ả n g ta c ó ớh ( ? - 1 ; 0 , 0 l ) = 16,812 .

+ D o 8 ,7 2 < 1 6 ,8 1 2 có thể cho rằn g b ộ số liệu cảm sinh bởi
b iến n g ẫ u n h iê n tu â n th e o luật nhị thức ,í?*(10; 0,3).

B ài 4. Đ ể k iể m tra chất lượng c ô n g v iệc của 200 công nhân,
người ta c h ọ n n g ẫ u n h iê n 1000 sản phẩm c ủ a rnỗi người đem đi
th ử n g h iệ m đ ể tìm s ố p h ế phẩm . Kết quả k iể m tra như sau;

Số p h ế phẩm trên 1000 sản phẩm

0

1 3 4
Số lượng c ô n g nhân 109 65 22 3 1
V ới m ức a - 0,01 có th ể coi phân phối c ủ a lượng p h ế phẩm tuân
theo luật P o a -x ô n g h a y kh ô n g ?

Giải: N ếu g ọ i X là số p h ế phẩm củ a m ột công nhân la phải
k iểm tra g iả th u y ế t X trong đó /l là tham số chưa bict.
N ó có th ể ước lư ợ n g b ằ n g trung bình m ẫu

^ - Ề (O-109 + 1.65 + 2.22 + 3.3 + 4. l) = — = 0 ,6 ].

</div>
(182)<div class='page_container' data-page=182>

Bài toán đưa vể k iểm định “X c ó phân phối .í^^(0,61)” với m ức

a = 0 . 0 1. Ta thiết lập bảng tính tốn sau:

n, 'V,
Hi

0,61^'

p, = , npi (riị - n p i ) ^

npị

0 109 0 0,5434 108,68 0,001

1 65 65 0,3315 6 6 ,3 0 0,0 2 5

2 22 44 0,1011 2 0 ,2 2 0 ,1 5 7

3-4 4 13 0,0233 4 ,6 6 0 ,0 9 4

X 2 0 0 122

199,86
=^200

0 ,2 7 7

+ T a có: ớ,„ = 0 , 2 7 7 .

+ T ra b ản g có ớ/, = / “ ( 4 - 1 - l ; 0 , 0 l ) = 9 ,2 1 0 .

+ Vì 0 ,2 7 7 < 9 ,2 1 0 ; phân phối P o a-x ơ n g c ó th ể co i là th íc h
hợp đ ể m ơ p h ỏ n g q u y luật phân phối của X.

B ài 5. M ột m á y lự động làm ra sản phẩm là m ộ t loại trụ c có
đườ ng k ín h .X', q u a n sát được trên 200 trục n h ư sau: (/!■ là số trụ c

c ó đ ư ờ n g k ín h A,)

.V 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3

6 9 26 25 30 26 21 24 20 8 5

Có thể c h ấp n h ận g iả thuyết về phân phối c h u ẩ n c ủ a đ ư ờ ng k ính
sản phẩm củ a m áv tự đ ộng với mức a = 0,05 được k h ô n g ?

Giải: G ọi X là đườ ng kính trục sản xuất ra và ta phải k iểm
định giả th u y ết /y„: “X có phân phối c h u à n ” với c á c th a m số a,

ơ~ đ ề u chưa biết. T a sẽ ước lượng chúng tro n g b ả n g sau:

</div>
(183)<div class='page_container' data-page=183>

X = ^ . ơ , 2 + 1,1 « 1,26,

200

200

5 = 0,490.

1 3 3 2 - 162

200

2 >

0 ,2 4 0 2 ,

h

Đ ể tín h p- ta c ó c ơ n g thức xấp xỉ Pị - - ẹ

s

V

X ị - x

s

, trong đó

<p{u) =

y Ị l n

</div>
(184)<div class='page_container' data-page=184>

p-x , - X 11: = A', - X

s ) np; - npi

{ r ỉ ị - n p ị f
npi

0,3 6 -0,96 -1,96 4,8 1,2 1,2 0 ,3 0

0,5 9 -0,76 -1,55 9,80 -0,8 -0,8 0 ,0 6

0,7 26 -0,56 -1,14 17,0 9,0 9,0 4 ,7 6

0,9 25 -0,36 -0,73 24,9 0,1 0,1 0,005

1,1 30 -0,16 -0,33 30,8 -0,8 -0,8 0 ,0 3

1,3 26 0,04 0,08 32,5 -6,5 -6,5 1,30

1,5 21 0,24 0,49 28,9 -7,9 -7,9 2 4 6

1,7 24 0 ,4 4 0,90 2 1 , 7 2,3 2,3 0 ,2 4

1,9 20 0,64 1,31 31,8 6,2 6,2 2,78

2,1 8 0 ,8 4 1 , 7 1 7,5 0,5 0,5 0,03

2,3 5 1 ,0 4 2,12 3,4 1,6 1,6 0 ,7 6

+ T ổ n g cộ t c u ố i c ủ a bảng trên ch o ta « 12,425.
+ T ra b ả n g ta c ó ớị, = - 2 - 1 ;0,05)= 15,507.

+ V ì 12,425 < 15,507 có thể c h ấp nhận g iả th u y ế t p h â n p hối
c h u ẩn với m ức q u y tắc a = 0,05 .

5.4.3. B ài t ậ p

1. M ộ t h ãn g b ả o h iể m n g h iên cứu tần số tai nạn tại g ia tro n g
các gia đ ìn h có từ h a i con trở lên. M ột m ẫu g ồ m 2 0 0 g ia đ ìn h
được c h ọ n và kết q u ả n g h iên cứu cho bởi b ản g sau;

Số tai nạn A ' , 0 1 2 3 4 5 7

Số g ia đình / í , 25 54 59 36 18 7 1

</div>
(185)<div class='page_container' data-page=185>

T h e o bạn bộ sô' liệu trên phù hợp với phân phối xác suất nào?
K iểm đ ịn h đ iề u n h ậ n xét c ủ a bạn với mức a - 0,05 .

2. C ũ n g câu h ỏ i n h ư trên cho bộ số liệu sau về số lượng các

sốc c ủ a m ộ t b ộ p h ậ n ch u y ển đ ộ n g trong v òng m ột g iờ (sau m ột
giai đ o ạ n q u a n sát 126 giờ):

Số lượng sốc X, 0 1 2 3 >4

Số g iờ /7, 44 49 24 7 2

3. T ừ b ộ sản p h ẩ m của m ộ t loại m áy tiện người ta chọn ra
2 0 0 ch iếc. B án k ín h c ủ a sản phẩm được đo đạc và cho bởi bảng:
Bán k ính X ^ 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4.4 4,6 4,8 5,0

S ỏ'lư ợ ng/;, 1 5 4 18 86 62 14 6 3 1

V ới = 0,01 c ó th ể co i rằn g bán kính sản phẩm của m á y tiện đó
tu ân th e o lu ật p h â n p hối ch u ẩn được kh ô n g ?

4. K h i q u a n sát 2 0 0 số liệu củ a m ột thiết bị đo g ồ m các số có
m ộ t c h ữ số th ậ p p h â n , ta q u a n tâm đến các c h ữ số th ập phân đó
(từ 0 đ ế n 9). K ế t q u ả q u a n sát n h ư sau:

C hư số X

0

l 4 7

8

Số lượng/?, 35 16 15 17 17 19 11 16 30 24
Số liệu n à ỷ c ó tu â n theo luật phân phối đều h a y k h ô n g
( a = 0 , 0 5 )?

</div>
(186)<div class='page_container' data-page=186>

K hoảng số A', Số lượng A/,

0 - 0 , 1 110 0,5 - 0,6 119

0,1 - 0,2 100 0,6 - 0,7 95

0 ,2 - 0,3 124 0 , 7 - 0 , 8 84

0,3 - 0.4 98 0,8 - 0,9 76

0 ,4 - 0,5 93 0 , 9 - 1,0 101

Với a - 0,005 hỏi kết quả này có phù hợp với p h ân p hối đều
trên [0,1] hay k h ô n g ?

6. N gười ta tiến hành bắn th ử 100 loạt vào 100 b ia, m ỗ i loạt
10 viên vào 1 bia. Bảng số liệu quan sát n h ư sau

Sổ đan trúng 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số bia 0 1 3 5 20 22 25 16 6 2 0

H ỏi số đ ạ n bắn trúne; một bia có tuân th eo luật nhị thức hay
k h ô n g ( a = 0.05 , tham sô' p ước lượng bằng tầ n su ất)?

7. N g h iê n cứu 1000 đối tượng, ta có bộ số liệu:

5 - 1 5 1 5 - 2 5 25 - 35 35 . 4,^; 45 - 55 55 - 65 63 - 75

45 197 308 212 198 22 18

Có th ể ch o rằn g bộ số liệu này cảm sinh bởi m ột b iế n n g ẫu nhiên
c h u ẩ n hay k h ô n g ( a = 0.05 )?

8. Cho bộ số liệu về độ cao của một giống cây hai th á n g tuổi

Đ ộ cao x, 5 1 9 11 13 15 17 19 21

Sô' lượng n, 11 26 27 32 25 22 24 20 13

Với a = 0,01 hãy kiểm định giả thuyết về p h ân p hối c h u ẩ n củ a
đô cao trên.

</div>
(187)<div class='page_container' data-page=187>

C h ư ơ n g V I

HỔI Q U Y

§ 6 .1 . P H Ụ T H U Ộ C T U 3 N G Q U A N
6.1.1. T óm tắt lý thuyết

1. T a đ ã biết từ lý th u y ế t x ác su ấ t đ ể đ o phần nào sự phụ
th u ộ c c ủ a hai b iến n g ẫu n h iê n , tá p h ải d ù n g k h á i niệm hệ số
tư ơ n g q u an . X é t bài toán th ố n g k ê c ó m ẫu c ặ p (a'|, (^2, .Vt)...

(x„, y„). H ệ s ố tương q ua n m ẫ u đư ợ c tín h th e o c ô n g thức

ẳ ( x , - x X y , - Y )
i=l

ẳ ( x , - x r Ì ( y , - Y ) ^

i=I i=l

(1-1)

tro n g đ ó X và Y là các tru n g b ìn h m ẫ u của các b iến tương ứng.

Có thể chứng tỏ -1 < /■ < 1; nó = ±1 khi các

đ iể m

(x,,

V,), / = 1,

</div>
(188)<div class='page_container' data-page=188>

và Y tu â n th eo lu ật ch u ẩn thì hai biến sẽ trở nên đ ộ c lậ p (tất
nh iên p h ải c ó điều k iệ n P ỵ ỵ = 0 ) .

T h ô n g thường nếu tính trực tiếp b ằn g c ô n g thức (1 .1 ) sẽ k h á
phức tạp. N gư ời ta d ù n g các c ô n g thứ c sau:

=

z -y/ = ’

= - n X Ỹ ;

z = H 4 - ( z f A = ;

ỵi yi -ỹỴ=ỵyỉ -(ỉ :y, f/ n = ỵyf-nỸ^.

2. Đ ể k iể m đ ịn h giả th u y ết r ằ n g p ỵ ỵ = 0 ; ta có m ộ t q u y tắc
đơn g iả n sau:

+ T ín h ỡ.ỉn n - 2

ĩ - 7 ^ '

+ T r a b ản g S tiu -đ ơ n = t { n - 2: a ) .

+ N ế u 0I„\<ỠI, ta ch ấp n h ậ n g iả th u y ết Hị^ \ P x Y = 0 (với

đ ối th u y ế t / / | : p x Y ^ 0 ) ; ngược lại ta b ác b ỏ //(,. V à n ế u có
th êm g iả th iết c h u ẩ n củ a X, Y; ta có th ể k ết lu ậ n hai b iế n đ ó độc
lập hay k h ô n g dự a trên bộ m ẫu đ ã cho.

6.1.2. C ác bài giải m ẫu

B ài 1. C ho b ộ m ẫ u cặp n h ư sau

12,0 16,5 15,2 11,7 18,3 10,9 14,4 16,0

y; 2,75 3,37 2,86 2,62 2,72 3,49 3,12 3,05

</div>
(189)<div class='page_container' data-page=189>

G iả sử c h ìnẹ đượ c c h ọ n từ tập nền có phân phối ch u ẩn . Với m ức

a = 0 ,0 5 kiểm đ ịn h tín h độc lập củ a hai biến X và Y c ảm sinh ra
tập m ẫ u trên.

Giải: T rư ớ c hết ta phải tín h hệ số tương q u an m ẫu {lì = 8).
= 1 2 .0 + 1 6 ,5 + ...+ 16,0 = 115;

y , - 2,75 + 3,37 +... + 3,05 = 24,02;

- 1701.24; = 7 2 ,7 9 8 0 ; ^ X i Y i = 345,008:
5 ^ ( x , A ^ y , - Ỹ ) = 3 4 5 , 0 0 8 - 1 1 5 . 2 4 .0 2 / 8 = - 0 ,2 7 9 5 ;

y { x . - x ) ‘ = 1 7 0 1 . 2 5 - 1 1 5 ^ / 8 = 4 8 4 2 5 ;
y (y ị - Ỹ f = 72,798 - 24.02 ’ / 8 = 0,6780;

- 0 , 2 7 9 5

r -0,0489.

/4 8 ,1 2 5 X )/i7 8 0

T a ị-hải kiếm đ ụ ih “X và Y độc Ịập” . N h ừ giả ihiết c h u ẩn bài
toán dư a về kiểm đ ịn h //() ; p ỵ y = 0 . T a có;

+ T ín h ớ,„ = r / 2 - 2

1- / .2

1 - /-2

-0,1 i 99.
+ T ra b ả n g S tiu-đơ n = r(6 ;0 ,0 5 )= 2,447.

+ Do - 0 . 1 199| < 2.447; giả thuyết chấp nhận được; tức lù có
thể coi hai biến X và Y độc lập.

l ìà i 2. N g ư ờ i ta đo chiều dài vật đúc và khn thì thấy c h ú n g
lệch k h ỏ i qui đ ịn h n h ư sau (ký hiệu X ị và V, là các độ lệch iư ơ n g

ứng);

</div>
(190)<div class='page_container' data-page=190>

X ác đ ịn h b ả n g tươHR quan và lính hệ số tương q u a n m âu.

Giải: Bảng tương quan có dạng:

0,4-0,6 0,6-0,8 0,8-l,0 1,0-1,2 1,2-1,4 /2,

( -0,7; -0,42) — — 1 — — 1

(- 0,42;- 0,14) ... 1 1 — 1 3

(-0,14; 0,14) — — — — 1 1

(0,14; 0,42) — — — 2 2 4

(0,42; 0,70) 1 - - — — 1 2

1 1 2 2 5 11

T a có /7 11;

2 ].v . = 0,5.1 + 0 , 7 . 1 + 0 , 9 . 2 + 1,1.2 + 1,3,5 = 11,7;

2 ] V = -0,56.1 - 0 , 2 8 . 3 + o a + 0 , 2 8 . 4 + 0,56.2 = 0 ,8 4 ;

' ỵ ^ x Ị = 0,5 ^1 + 0 , 7 l l + 0 . 9 \ 2 + U - 2 + 1,3'-5 = 13,72;

^ = 0,56-. 1 + 0,282.3 + o l 1 + 0 ,2 8 ^ 4 + 0,562.2 = 1,4896;
^ ,v,.y, = -0,56.0,5.1 - 0,28.0,7.1 - 0,56.0,9.1 - 0,28.0,9.1

+ 0 ,2 8 .1 .1 .2 -0 ,2 8 .1 ,3 .1 + 0.1,3.1
+ 0,28.1.3.2 + 0,56.1,3.1 = 0 ,4 7 6 ;

- y ) = 0 .4 7 6 - 1 1 ,7 .0 ,8 4 /1 1 = - 0 , 4 1 7 4 ;

= 13,72 - 1 1 ,7 ^ /11 = 1,2754;
(_v,. - f )- = 1,4896 - 0,84- /11 = 1,4254.

- 0 , 4 1 7 4

T ừ đó -0 ,3 0 9 6 .

^1,27 54.1,4254

B ài 3. T rên 100 thửa ru ộ n g , m ỗi thửa có d iệ n tíc h 0 ,3 ha,

người ta b ó n nhữ ng lượiig phán khác nhau (x,) và tiế n h à n h th eo
dõi năníi suất ngô (v/). Kết q u ả q u an sát cho bởi b ả n g

</div>
(191)<div class='page_container' data-page=191>

^ i< ư ợ iig phân

X ị

Năng suất

1 2 3 4 5 r - .

14 10 8 — — — 18

15 — 12 7 — — 19

16 — — 28 6 — 34

17 — — — 8 9 17

18 — — — 12 12

n.

10 20 35 14 21

100

T ín h h ệ số tương q u a n m ẫu.

Giải: « = 100

Y ^ X ị - 1 0 . 1 + 20.2 + 35.3 + 14.4 + 21.5 = 316;

5 ] y = 1 4 .1 8 + 15.19 + 16.34 + 1 7 . 1 7 + 18.12 = 1586:

Y ^ x f - I l l + 2 l 2 0 + 3 l 3 5 + 4 l l 4 + 5 \ 2 1 = 1154;

Y ^ y Ị = 1 4 ^ 1 8 + 1 5 ^ 1 9 + 1 6 ^ 3 4 + 1 7 2.1 7 + 182.12 = 25308;

Y ^ x ^ i = 1.1 4 .1 0 + 2.14.8 + 2.15.12 + 3.15.7 + 3.16.28

+ 4.16.6 + 4.17.8 + 5.17.9 + 5.18.12 = 5156;
(x, - x \ y i - f ) = 5 1 5 6 - 3 1 6 . 1 5 8 6 / 1 0 0 = 144,24;

' = 1 1 5 4 - 3 1 6 2 / 1 0 0 = 155,44;

- Ỹ f

= 2 5 3 0 8 - 1 5 8 6 2 / 1 0 0 = 154,04.

144,24

T ừ đó /* = 0,9321.

V l5 5 ,4 4 .1 5 4 ,0 4

</div>
(192)<div class='page_container' data-page=192>

1. Cholượng nước m ưa ở hai địa phương q u a n sát ở 9 íhời
đ iểm khác nhau

6.1.3. Bài tập

87 47 74 86 38 15 41 8 79

.V, 86 56 84 72 47 17 43 19 88

H ãy xác định hệ s ố tư ơng q u a n mẫu.

2. Q u a n sát hai b iến n g ẫ u nhiên X và y đ ồ n g thời ờ n h ữ n g
thời đ iể m khác n h a u ta có

14360 11350 14140 11540

13860 11400 ỉ 4240 ■ 11450

13650 11400 14250 11465

14400 11560 14630 11640

13900 11500 14080 11450

14350 11450 14350 11500

14210 11400 14020 11400

X ây dựng bảng tương quan và tính hê số tương q u a n m ẫu.

T ính hệ số tương q u a n mẫu củ a bộ số liệu trên.

</div>
(193)<div class='page_container' data-page=193>

§ 6 .2 . HỒI Ọ U Y T U Y Ế N T ÍN H
6.2.1. T ó rn í ắ t lý th u y ế t

I . M ơ hình hồi qiiv dơn Iitỵếiì línìi dễ xâv d ự n g và có nhiều
tính ch ất th ố n g kê rấl tỏt; vì vậy nó hav được d ù n g đ c m ỏ tả q u an
hệ giữa hai biến ngẫu nhién dựa trên thông tin m ẫu của chúng.

G iả sử tíỉ có bộ quan sát (.V|, V|), ( Aị , (-V„, v„) củ a m ộí
cặp b iế n (X, K). Đ ường hồi quy tu y ến línli Ihực n g h iệ m sẽ ỉà

' • - - ừ x + h . (2.1)

trong đó ã và /; được tìrn theo phươ ng p h áp b ình phươíiíỉ bé
nhất và c ó c ơ n g thức tính n h ư sau:

â = ---. ( 2 . 2 a )

.-t\2
/=1

tro n g đó X và Y ký hiệu trung bìnlì m ảu cửa các m ãư íirưng
ứng, và

h = Ỹ - à X . (2.2b)

Từ đ ó ta có th ể viết lại cô n g thức tính â c h o g ọ n hơn qu a các
tham số m ẫu đã biết như sau

-a = r ,

tro n g đ ó /■ là hệ số tương quan m ẫu; còn và Sỵ là c ác độ lệch

ch u ẩn m ẫu (h o ặc độ lệch chuai. m ẫu hiệu ch ín h ). C ác ước lư ợ n g

</div>
(194)<div class='page_container' data-page=194>

2. Đ ể đánh g iá m ột m ơ hình hồi quy tuyến tính là tốt hay
k h ô n g người ta dựa vào nhiều tiêu chuẩn khác nhau. Trước hết, ta
phải có j /• Ị khá gần 1 ( n h ư ta đ ã nhắc đến ở m ục 6.1). T h ứ hai,
phư ơ ng sai của sai số m ơ hình, được tính ở dưới đây, phải khá
bé. C ô n g thức để tính phương sai sai số m ơ hình trên;

ở

1 1-2
(2.3)

3. T a có thể xác đ ịnh k h o ả n g tin cậy 1 - a đối với các hệ số
a v à b; cũ n g như kiểm định các giả thuyết thống kê liên quan đến
c h ú n g . Đ ể làm điều đó để ý là

E ( ã ) . a ,

4 ) = b , v(ả) =

v{b}=

2 ^ {a) - x ) f ì 2 ^ { x , - x )

tro n g đó f7" là g iá trị phươ ng sai sai số lý thuyết và nó có thể
được ước lượng b ằ n g (2.3).

C h ẳn g hạn nếu ta m u ố n tìm khoảng tin cậy 1 - a ch o hệ số
tư ơng q u a n tuyến tính ứ, nó sẽ là

à - t { n - 2 ; a ) , - -— ;ã + t { n - 2 ; a ) - i ^ = ^ = ^

V Z ( A - , - x ) ^

t y y l * - ? 4 * 1 • ' » « 1 „ _ 1

2
y
T ư ơ n g tự cho các bài to án kiểm định giả thuyết và ước lượng
k h o ả n g khác. Đ ể ý rằng giả thiết về phân phối chuẩn củ a các sai
sô' m ô hình m ặc n h iên được coi là có thì việc ước lư ợng và kiểm
đ ịn h trên m ới đạt độ ch ín h xác c ần thiết.

6.2.2. C á c bài giải m ẫ u

</div>
(195)<div class='page_container' data-page=195>

B ài 1, Số liệu th ố n g kê n h ằm n g h iê n cứ u q u an hệ giữa tổng
sản p h ẩ m n ô n g n g h iệ p với tổ n g g iá trị tài sả n c ố định X, củ a 10
n ô n g trại (tín h trê n 100 ha) n h ư sau

11,3 12,9 13,6 16,8 18,8 22,0 22,2 23,7 26,6 27,5
.V/ 13,2 15,6 17,2 18,8 20,2 23,9 22,4 23,0 24,4 24,6
X ác đ ịn h đ ư ờ n g h ồ i q u y tu y ến tín h m ẫ u (c ủ a J theo x). Sau đ ó
tìm p h ư ơ n g sai sai s ố thực n g h iệ m và k h o ả n g tin cậy 95% ch o hệ
số góc c ủ a đ ư ờ n g h ồ i q u y trên.

Giải: T a th iế t lậ p b ản g tín h dưới đ â y (n = 10)

T h e o b ả n g trê n từ c ộ t 1 và 2 ta có
19,54;

T ừ cột 3 và 4 d ù n g (2 .2 )

1 0 ^

Y = —y y ,

1 0 ^ ' ' = 20,33;

4 V = ơXị + b yi - ỳi

11,3 13,2 149,16 127,69 14,751 -1,551 2,4056

12,9 15,6 20124 166,41 15,823 -0,223 0,0497

13,6 17,2 233,92 184,96 16,292 0,908 0,8245

16,8 18,8 315,84 282,24 18,436 0,364 0,1325

18,8 20,2 379,76 353,44 1 9 J7 6 0,424 0 J 7 9 8

22,0 23,9 525,80 484,00 21,920 1,980 3,9204

22,2 22,4 497,28 492,84 22,054 0,346 0,1197

23,7 23,0 545,10 561,69 23,059 -0,059 0,0035

26.6 24,4 649,04 707,56 25,002 -0,602 0,3624

27,5 24,6 676,50 756,25 25,605 -1,005 1,0100

</div>
(196)<div class='page_container' data-page=196>

Ỷ { x . - x Ị y , - Y ) ^ _____ v . v .

/=1

1 0 .4 1 7 3 ,6 4 -1 9 5 ,4 .2 0 3 ,3

0,6728;
1 0 .4 1 1 7 ,0 8 - 1 9 5 ,4 ^

b = Ỹ - ã X = 20,33 - 0,6728.19,54 = 7,1835.
V ậy đườ ng h ồ i q u y tu y ế n tín h m ẫu có dạng (xem (2 .1 ))

J = 0,67jt: + 7 ,1 8 .

D ùng ã » 0,67 và 6 = 7,18 để tính ba cột 5, 6 và 7 tro n g b ả n g
lính, ta có cuối c ù n g

i \2

CT =

10-2

= U

26

Đ ể xác đ ịn h k h o ả n g tin c ậy 95% cho hệ số a, ta c ầ n tín h
T = 1,061 = 54,6776. Từ đó k h o ản g tin c ậ y 9 5 %

ơ

cần tìm (/(8 ;0 ,0 5 ) = 2 ,3 0 6 )
/

â - 2,306 ơ ơ

Ì Ĩ J ^ X )

= ( 0 ,6 2 8 0 ;0 ,7 1 7 6 ).

B ài 2. Q uan sát 40 lần cặp biến (X, Y) ta có bộ số liệu sau đây

V, \ 0-0,2

0,2-0,4 0,4-0,6 0,6-0,8 0,8-1,0 1,0-1,2

10-15 4 2 — — — — 6

15-20 — 2 — 6 _ _ — 8

20-25 — 2 - — — 2

</div>
(197)<div class='page_container' data-page=197>

25-30 __ — — 4 — — 4

30-35 — — 4 6 — 10

35-40 — . — — 6 4 10

4 4 2 14 12 4 40

X ác đ ịn h đư ờ n g hồi q u y tu y ến tính m ẫu.

Giải: Đ ố i với b iế n X ta c h ọ n giá trị A'o = 0,7; /;, = 0,2 và b iến

, ,, _ 0,7

a V ': — --- —

---g i ả V,.

!h

0,2

( x e m m ụ c 4.3); cò n đối với Y c h ọ n V,|

V - 2 7 5

= 27,5; hj = 5 và Uị = — — — ^ . Bảng s ố trên trở th àn h

- 3 - 2 -1 0 1 2

- 3 4 2 ~ — — 6

- 2 — 2 — 6 — — 8

- 2 — — 2 — — — 2

0 — — — 4 — — 4

1 — — — 4 6 — 10

2 — — — — 6 4 10

n. 4 4 2 14 12 4 40

N h ư vậy th ay vì làm việc với các .V, và hoặc k h ô n g n g u y ê n ,
h o ặc q u á lớn, ta tín h tốn với các V A-; - ; đề u

/ / ị / Ỉ 2

là các số n g u y ê n k h á bé. Đ ể ý rằn g sau khi tín h tốn với Uị v à \’

ta có th ể tìm lại k ế t q u ả đ ố i với X ị , th eo các công thức

X = v / 7 | + JC();

_ /,202 .

- /Zj ò,, ;

r = 1/ /Í2 + yo ;

st = h ỉ s ĩ.

2^11

</div>
(198)<div class='page_container' data-page=198>

V = — 2 ] v,/z,, = — ( - 3 . 4 - 2.4 - 1.2 + 0 . 14 + 1.12 + 2.4) = - 0 , 0 5 ;
40

40
4

y , , , , = — ( - 3 . 6 - 2 . 8 - ] . 2 + 0.4 + 1.10 + 2.10) = - 0 ,1 5 ;
4 0 ^ ' 40

^ ^ v f = — (9.4 + 4.4 + 1.2 + 0.14 + 1.12 + 4.4) = 2,05;

40 40

/ r = — =- i - ( 9 . 6 + 4.8 + 1.2 + 0.4 + 1.10 + 4.10) = 3,45;
^ /í,. = (9.4 + 6.2 + 4.2 + 1.2 + 1.6 + 2.6 + 4.4) = 92.
Từ cô n g thứ c (2.2) có thể thấy rằng

T a tính

từ đó

a = /
5,

trong đó r

n u 2 - ( ũ ) 2 v 2 -(v )^
9 2 - 4 0 .0 ,1 5 .0 ,0 5

4 0 ^ ( 3 ,4 5 - 0,0225)(2,05 - 0,0 0 2 5 )
91,7

40.1,85.1,43

0

,86.

X = vhị + = -0 ,0 5 .0 ,2 + 0,7 = 0,69;

Ỹ = nh2 + ya = - 0 , 1 5 .5 + 27,5 = 2 6 ,7 5 ;

s ị = 1.43.//, = 0 ,2 8 6 ;

S Ỉ = 1,85./ỉ2 = 9 ,2 5 .

a = 0 , 8 6 - ^ ^ « 27,8147;
0,286

</div>
(199)<div class='page_container' data-page=199>

b = Y - ầ x ~ - l , 5 5 1 S .

Đ ư ờ n g hồi q u y tu y ế n tính thực n g h iệ m sẽ là: y = 27,8 Lv - 7.56.
6.2,3. Bài tập

1. T h e o kết quả th ử n g h iệm đ ộ b ề n củ a các loại d â y đ iệ n có
đ ư ờ n g k ín h k h ác n h au người ta c ó b ả n g số liệu sau đây

Đ ư ờ ng kính dây X ị 0,6 2 2,2 2,45 2,6

Lực tối đa >>, 500 560 690 760 850

X á c đ ịn h đ ư ờ n g hồi quy tu y ế n tín h m ẫ u của y th eo X . B ạn có
n h ậ n x ét gì về m ối phụ thuộc đó ?

2. Số liệu n g h iên cứu về n h iệ t độ c ủ a m ột lò xi m ă n g (y,) và
k h ố i lư ợ n g m ộ t ch ất h o á học (Xị) có ảnh hưởng lớn đ ế n p h ả n ứng
h o á h ọ c c ủ a lò ch o bởi bảng sau;

26 29 36 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68

y i 78,5 74,3 104,3 87,6 95,9 109,2 102,7 72,5 93,1 115,9 83,8 1 1 3 3 109,4

X á c đ ịn h đ ư ờ n g hồi quy tu y ế n tín h th ự c n g h iệm c ủ a V th e o X .
T im k h o ả n g Ún cậy 95% ch o c ác h ệ số hồi quy củ a đ ư ờ n g hồi

q u y tu y ế n tính.

3. T ro n g m ộ t n g h iê n cứu về tai n ạ n g iao thông, n g ư ờ i ta đã
th ố n g k ê về g iá trị th iệt hại ( V i ) và tố c đ ộ va ch ạm c ủ a phư ơ ng
tiệ n đ ã q u y c h u ẩ n (x,):

1 6 11 16 2 7 12 17 3 8 13 18

</div>
(200)<div class='page_container' data-page=200>

4 9 14 19 5 10 15

y, 50 73 106 147 58 81 118

m ô h ình tu y ến tín h đó và có ý kiến gì đổ cải tiế n m ơ hìn h ?

4. Người ta n g h iê n cứu về số lượng p rõ -tê-in ch ứ a trong hạt
lúa m ì và năng suất lú a đó trên 10 thửa r u ộ n g c ù n g k íc h thước
kết q u ả đo đạc n h ư sau:

Năng suất X , 9,9 10,2 11,0 11,6 11,8 12,5 12,8 13,5 14,3 14,4
Tỷ lệ prô-

tê-in y, 10,7 10,8 12,1 12,5 12,2 12,8 12,4 11,8 11,8 12,6

đó củ a X theo >-. B ạn có n h ậ n xét gì về hai đư ờ n g h ồ i q u y đó?

5. Số liệu đo đạc thực n g h iệ m về năng suất m ù a m à n g (y,) và
lượng m ưa tro n g n ă m (x,) c h o bởi bảng số:

y-5-15 15-25 25-35 35-45 ^\5-55 55-65 65-75 75-85 85-95 ĩĩy

1,5-4,3 2 — - - - - — — —' 2

4 5 - 7 ,5 1 1 - - - — — — — 2

7,5-10,5 - — ỉ - — — — — — 1

10,5-13,5 — 4 - - - _ — — -- 4’

13 5-16,3 __ 2 1 4 - - — - 1 8

16.5-19,5 — — 2 - - 2 - 1 2 7

19,5-22,5 — — - 2 5 2 2 1 3 15

22,5-25,5 — — — . . . 6 3 2 -- 11

n . 3 7 4 6 5 10 5 4 6 50

sơ m ơ hình. Bạn có nhận xét gì và đề x u ất cải tiế n gì m ơ h ìn h
đó?

</div>

Ebook Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê

<b>HƯỚNG DẨN GIẢI</b>

<b>BÀI TẬP</b>

XÁC SUẤT

THỐNG KÊ

<b>sỏ cách th u ậ n lợi </b>

<i>c c</i>

<i>2</i>

<i>P{A,B, + </i>

<i>{</i>

<i>,B .)+ P{</i>

<i>.B, )=P{A,</i>

<b> )p(fí2)+ ^^(^2 </b>

<i>)P{B</i>

<b>^)</b>

<i>c</i>

1

/^,0

1

0

1

0

1

1

1.1

2

0

,

4

%

1

6

8

<i>(</i>

<b> /lo)=0;P(// </b>

<i>A^) = </i>

<i>(</i>

<i> A</i>

<i>) = </i>

<i>[</i>

<i> A . )= \ .</i>

0

<i>p { x</i>

<i>p { x</i>

<i>PịA) =</i>

<i>- P ( X = </i>

<i> 5)=</i>

<i>p { x =</i>

<i>p ( x</i>

0

<i>p i x</i>

<b>là </b>

<i>~ A</i>

<i></i>

1000.0,006 =

6

Ố.

5

3

<i>k</i>

<i>p { x < </i>

0,

X < 1,

0

,

6

,

<i><b>/ ụ ) =</b></i>

.

<i>0</i>

<i>p{^) = ị f i ỉ ) dt = '</i>

6 6

6

0

,

■

<i>E{X +</i>

n

<i>= E X + E Y .</i>

17