toán cao cấp – lien giao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (144.6 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

I.Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm:

Ví dụ:

Xét xem khi nào hệ phương trình sau có nghiệm:

ax by e

cx dy f

 




 

 có nghiệm

Hướng dẫn:

Nếu ad bc 0, tức là hạng của ma trận hệ số bằng 2, thì hệ có nghiệm duy nhất.

Nếu ad - bc = 0 và có ít nhất một trong 4 số a, b, c, d khác 0 thì để hệ có nghiệm ta phải có

0
af ce bf   de

Trường hợp a b c d   0thì để hệ có nghiệm ta phải có ef 0
- Sinh viên cho ví dụ minh họa.

Bài 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm:

ax y z a
x by z b
x y cz c

  




  



   


Hướng dẫn:

Dựa vào định lý Cronecker Capelli để suy ra điều kiện có nghiệm của hệ.
Bài 2:

Cho hệ phương trình

+
2 (1 ) (1 ) 1

mx y z m

x m y m z m

x y mz

 




     



   



Tìm giá trị của m để hệ trên có nghiệm.
Hướng dẫn:

- Nếu m = 1 hệ có vơ số nghiệm

- Nếu m1,m2 hệ có nghiệm duy nhất.
II. Giải hệ phương trình tuyến tính

1. Phương pháp Cramer:

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:

1 2 3

2 6;
) 2 3 7 16;

5 2 16.

x x x

a x x x

x x x

  




  



   



Hướng dẫn

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1 1 2
2 3 7
5 2 1

A



 

 

 

 

 

Ta có: detA = 2.
Đây là hệ Cramer.

Áp dụng phương pháp Cramer ta có:

1 2 3

6 1 2 1 6 2 1 1 6

16 3 7 ; 2 16 7 ; 2 3 16

16 2 1 5 16 1 5 2 16

A A A

 

     

     

    

     

     

Khi đó hệ phương trình có nghiệm
1

2
2

3
3

det 6
3
det 2
det 2

1
det 2
det 2

1
det 2

A
x

A
A
x

A



  





  







  




Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)

1 2 3

2 6;
2 3 7 10;

5 2 16.

x x x

  




  



   



1 2 3

7 2 3 15;
5 3 2 15;
10 11 5 36.

x x x

  




  



   


c)

1 2 3

2 1;

2 2 4;

4 4 2.

x x x

  




  



   



1 2 3

3 2 5;

2 3 1;

2 3 11.

x x x

  




  



   



1 2 3 4

2;
2 3 4 2;

2 3 5 9 2;

2 7 2.

x x x x

   




   




   



    



1 2 3 4

2 5 5;

3 4 1;

3 6 2 2;

2 2 2 3 2.

x x x x

   




   




   



    



1 2 3 4

5;
2 3 4 3;

4 2 3 7;

3 2 3 4 2;

x x x x

   




   




   



    



1 2 3 4

2 2 2;

4 3 2 3;

8 5 3 4 6;

3 3 2 2 3;

x x x x

   




   




   



    


Hướng dẫn:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 2. Kiểm tra xem hệ phương sau có phải là hệ Cramer hay khơng? Giải hệ phương trình 
đó.

1 2 3 4

2 5 5;

3 4 1;

3 6 2 8;

2 2 2 3 2.

x x x x

   




   




   



    



Hướng dẫn

Xét ma trận hệ số của hệ phương trình trên ta có:
:=

B























2 1 5 4
1 1 -3 -4
3 6 -2 1
2 2 2 -3
Ta có: detB = -192.

Suy ra, đây là hệ Cramer.

Áp dụng phương pháp Cramer để giải hệ phương trình trên:

B1
























5 1 5 4
-1 1 -3 -4
8 6 -2 1
2 2 2 -3

B2
























2 5 5 4
1 -1 -3 -4
3 8 -2 1
2 2 2 -3

B3
























2 1 5 4
1 1 -1 -4
3 6 8 1
2 2 2 -3

B4
























2 1 5 5
1 1 -3 -1
3 6 -2 8
2 2 2 2
Khi đó hệ phương trình có nghiệm sau:

det 1 96 1
det 192 2
det 2 204 17

det 192 16
det 3 36 3

det 192 16
det 4 96 1

det 192 2

B
x

B
B
x

B




  

 





   

 





   

 

 

   





</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình
về dạng bậc thang rút gọn, sau đó áp dụng định lý Cronecker Capelli để tìm các trường hợp
nghiệm của hệ

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:

1 2 3 4

2;
2 3 4 2;

2 3 5 9 2;

2 7 2.

x x x x

   




   




   



    



Hướng dẫn

Xét ma trận hệ số mở rộng của hệ trên, dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma
trận này về dạng bậc thang rút gọn.

Ta có:

....

1 1 1 1 2 1 0 0 0 2
1 2 3 4 2 0 1 0 0 9

2 3 5 9 2 0 0 1 0 6
1 1 2 7 2 0 0 0 1 1

A

    

   

  

    

   

   

Khi đó, hệ phương trình trên có nghiệm là:
1

2
3
4

2
9

6
1

x
x
x
x











 


Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
a)

1 2 3 4

2;
2 3 4 2;

2 3 5 9 2;

2 7 2.

x x x x

   




   




   



    



1 2 3 4

2 5 5;

3 4 1;

3 6 2 8;

2 2 2 3 2.

x x x x

   




   




   



    



1 2 3 4

5;
2 3 4 3;

4 2 3 7;

3 2 3 4 2;

x x x x

   




   




   



    



1 2 3 4

2 2 2;

4 3 2 3;

8 5 3 4 6;

3 3 2 2 3;

x x x x

   




   




   



    

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1 2 3 4

2 3 4

5;
2 3 4 3;

2 3 4 5 8;

2 3 2.

x x x x

x x x

   




   




   



   



1 2 3 4

2 2 2;

4 3 2 3;

)

6 5 2 3 6;

3 3 2 2 3;

x x x x

f

x x x x

   




   




   



    


Hướng dẫn: Làm tương tự như ví dụ.
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

1 2 3 4

2;
2 3 4 2;

2 3 5 9 2.

x x x x

   




   



    



III. Giải hệ phương trình thuần nhất:
Hướng dẫn:

Hệ phương trình thuần nhất chỉ có hai trường hợp nghiệm: có nghiệm tầm thường hoặc có
vơ số nghiệm.

Bài 1: Giải hệ phương trình thuần nhất sau:

1 2 3 4

0;
0;
0;
0.

x x x x

    




   




   



    



Hướng dẫn:

Xét ma trận hệ số của hệ phương trình trên:
:=

A
























-1 1 1 1
1 -1 1 1
1 1 -1 1
1 1 1 -1

Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang rút gọn sau:
1 0 0 0

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

A

 

 



 

 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Sinh viên có thể kiểm tra đây là hệ Cramer do detA = -16 nên áp dụng phương pháp
Cramer ta có hệ phương trình thuần nhất có nghiệm tầm thường.

Bài 2: Giải hệ phương trình thuần nhất sau:

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5 6

5 6

2 0;

2 0.

x x

x x x

x x

 




   



   




   



   



  




Hướng dẫn

Xét ma trận hệ số của hệ phương trình trên:

B


































2 -1 0 0 0 0
-1 2 -1 0 0 0
0 -1 2 -1 0 0
0 0 -1 2 -1 0
0 0 0 -1 2 -1
0 0 0 0 -1 2
Ta có: detB = 7, nên đây là hệ Cramer.

Suy ra hệ phương trình có nghiệm tầm thường.

Chú ý: Đối với hệ phương trình thuần nhất khi hạng của ma trận hệ số là r <n với n là số
ẩn của hệ thì hệ sẽ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n – r tham số.

Ví dụ

Giải hệ phương trình thuần nhất sau:

1 2 3

2 0;

2 4 2 0;

3 0.

x x x

  




  



   



Hướng dẫn

Xét ma trận hệ số của hệ phương trình trên có:

2 2 1

3 3 1 3 2

1 2 1 1 2 1 1 2 1

2 4 2 0 0 0 0 1 0

1 3 1 0 1 0 0 0 0

d d d

d d d d d

A

 

  

     

     

       

     

     

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1
2
3

x t

x

x t








  

 

Bài 3: Giải các hệ phương trình thuần nhất sau:

1 2 3 4

2 5 4 0;

2 0;

2 3 6 8 0;

) 2 0; )

6 9 20 0;
2 0.

4 4 0

x x x x

a x x x x b

x x x x



   



   

 

   

 

   

 

   

     

 

   





IV. Giải và biện luận một hệ phương trình tuyến tính.
Hướng dẫn:

Dùng phương pháp Gauss để giải và biện luận các trường hợp nghiệm của một hệ phương
trình tuyến tính dựa vào định lý Cronecker Capelli.

Bài 1. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số:

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

3 2 5 4 3;

2 3 6 8 5;

) ; )

6 9 20 11;
.

4 4 2

x x x x

mx x x

x x x x

a x mx x m b

x x x x

x x mx m

x x x x

   



    

   

 

  

 

   

 

  

     


Hướng dẫn

a) Lập ma trận hệ số mở rộng của hệ pt và dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận này
về dạng bậc thang.

1 2 1

1 3 3 3 1

3 3 2

2 2

2 2 3

2
2

2 2 3

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 1 0 1 1 1

1 1

0 1 1

0 0 2 1

d d d

d d d d md

d d d

m m m m m

A m m m m m m m m

m m m m m m

m m

m m m m

m m m m m

 

  

 

   

 

   

 

              

   

    

     

 

 

        

      

 

Ta có 2

2 0 1 2

m m m m

        .
Nếu m =1 thì

1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0

A

 

 

 

 

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

1 1 2

2 1

3 2

x t t

x t

  




 


  





Nếu m = -2 thì

1 1 1 1
0 3 3 6

0 0 0 3

A

 

 

   

 

 

hệ pt vô nghiệm.

Nếu m ≠ 1 và m ≠ -2 thì hệ có nghiệm duy nhất





2
1

2
3

(2 3 1)
2
4 1

2
1
2

m m

x

m
m
x

m

   







 








 

 



b) Lập ma trận hệ số mở rộng và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dịng ta có:

2 2 1

3 3 1

1 1 2 4 4 1

3 3 2

4 4 2

2
4

3 2 5 4 3 1 1 1 4 2 1 1 1 4 2

2 3 6 8 5 2 3 6 8 5 0 5 8 16 9

1 6 9 20 11 1 6 9 20 11 0 5 8 16 9

4 1 4 2 4 1 4 2 0 5 8 16 10

d d d
d d d

d d d d d d

d d d
d d d

A

  

 
 

   

 

 

             

     

        

                 

     



     

     

   

1 1 4 2
0 5 8 16 9
0 0 0 0 0
0 0 0  1
     

 

 

Nếu 0 thì hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc 1 tham số
1

2
3

1 3 4
5 5 5
9 8 16
5 5 5

x t







  





  




 







Nếu 0thì hệ vơ nghiệm

Bài 2: Xét hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng sau 
1 1 1 1

1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1

m
m
A

m
m

 

 



 

 

a) Giải hệ pt với m = 1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Hướng dẫn:
a)

Với m = 1 thì hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc 3 tham số:

1 1 2 3

2 1

3 2

4 3

x t t t

x t
x t
x t
   


 


 

  





b) Làm tương tự như ví dụ.

Bài 3: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

1 2 3

1;
;

x x x

x mx x m

x x mx m

   

  


  

b)

1 2 3 4

1;
;

;
.

mx x x x

x mx x x m

x x mx x m

x x x mx m

   


   



   

    

c)

1 2 3

4;
3;

2 4.

ax x x

x bx x

x x x

  


  

   


d)
2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

;
;
.

x ax a x a

x bx b x b

x cx c x c

   

  


  


e)

1 2 3

( 1) 3 1;
2 4 (4 2) 1;
3 ( 1) 9 0.

x m x x

x x m x

x m x x

   


   

    

f)

1 2 3 4

1;
1;
1;
1.

x x x x





   


   


   


    

g)

1 2 3

( 3) 2 ;

( 1) 2 ;
3( 1) ( 3) 3.

m x x x m

mx m x x m

m x mx m x

   


   

     

h)

1 2 3

(3 1) 2 (3 1) 1;

2 2 (3 1) ;

( 1) ( 1) 2( 1) .

m x mx m x

mx mx m x m

m x m x m x m

     

   


     

k)
2

1 2 3

1;
2 4 2;
3 9 3.

x mx m x

x x x

   

  

   

l)

1 2 3 4

2 2 ;

2 1;

7 5 .

x x x x m

   


    

    

m)

1 2 3 4

2 ;

2 5 2 2 2 1;

3 7 3 3 .

x x x x m

   


    

    

n)

1 2 3 4

1 3 4

1 2

2 2 0;

2 3;

3 3;
5 .

x x x x

x x x

x x m

   


   


  

  

o)

1 2 3 4

2 1;

2 4 2;

7 4 11 ;

4 8 4 16 1.

x x x x

x x x x m

   


   


   

     

p)

1 2 3 4

2 2 4;

2 3;

2 2 2 3;

2 .

x x x x

x x x x m

   


   



   

    

q)

1 2 3 4 5

1 3 4 5

2 2 3 3;

3 3 4 6;

5 2 5 7 9 .

x x x x x

x x x x m

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Làm tương tự như các ví dụ.

V. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp:
Bài 1. Cho aijlà các số nguyên. Giải hệ phương trình sau:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

... ;
2

...
1

...
2

n n

n n n nn n

x a x a x a x



   




    






    




Hướng dẫn

Hệ phương trình đã cho tương đương với

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

(2 1) ... 0;

(2 1) ... 0;
...

... (2 1) 0
n n

n n

n n nn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

    




    





     



Giả sử Anlà ma trận hệ số của hệ phương trình trên khi đó:

11 12 1

21 22 2

1 2

2 1 ...

2 1 ...
det

... ... ... ...
... 2 1

n

n n nn

a a a

A

a a a








Vì các hệ số aijlà các số nguyên nên các phần bù đại số của các số này



An ij



cũng là các số
nguyên, do đó nếu khai triển định thức theo dịng cuối ta có.

11 12 1, 1

21 22 2, 1

1,1 1,2 1, 1

2 1 2 ... 2
2 2 1 ... 2

det 2 (2 1) 2 det

... ... .. ...
...

n

n nn n

n n n n

a a a

A k a l A

a a a






   



    

Suy ra, detAn detAn12llà một số chẵn, detAn,detAn1có cùng tính chẵn lẻ, mặt khác

1 11

detA 2a 1là số lẻ nên detA0(vì 0 là số chẵn).

Vậy hệ trên là hệ Cramer có ma trận hệ số khác 0 nên có nghiệm tầm thường.
Bài 2: Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thích hợp

;
;

.
;

x y z t a
x y z t b
x y z t c
x y z t d

    




   




   


    


</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 1: Tìm tam thức bậc hai f(x) biết: f(1) = -1; f(-1) = 9; f(2) = -3.

Bài 2: Tìm đa thức bậc ba g(x) biết: g(-1) = 0; g(1) = 4; g(2) = 3; g(3) = 16.
Hướng dẫn

1) Giả sử tam thức bậc hai f x( ) ax2 bx c

   . Theo giả thiết đề bài thì a, b, c cần tìm thỏa
hệ phương trình:

1 1

9 3

4 2 3 5

a b c a

a b c c

a b c b

   

 

 

    

 

     

 

2) Giả sử đa thức bậc ba có dạng: g x( ) ax3 bx2 cx d

   

Theo giả thiết đề bài thì a, b, c, d cần tìm thỏa hệ pt:
0

8 4 2 3

27 9 3 16

a b c d
a b c d

a b c d

    


    




   



    



Giải hệ pt này bằng pp Gauss.

4 4 3 4 4 1

3 1 1

2 1 2

3 3 2

3 3

1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

1 1 1 1 4 0 2 0 2 4 0 2 0 2 4

8 4 2 1 3 8 4 2 1 3 0 12 6 9 3

27 9 3 116 3 3 3 2 7 0 0 6 1 7

1 1 1 1 0

0 2 0 2 4

0 0 6 3

0 0 6 1

d d d d d d

d d d

d d d

d d d
A

   

 

 

           

     

         

      

     

   

     

     

 

    

 



4 4 3

1 1 1 1 0

0 2 0 2 4

23 0 0 6 3 23

7 0 0 0 4 30

dd d

     

   

      

       

   

   

Vậy hệ có nghiệm duy nhất
3

2
11
2

1
12
30

a
b
c
d







 



 


 


Bài 3: Xét mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Tìm điều kiện cần và đủ để 3 điểm M x y M x y1( ; );1 1 2( ; );2 2 M x y3( ; )3 3 cùng nằm trên đường
thẳng.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0
0
0

a x b y c
a x b y c
a x b y c

  





  



   



cắt nhau tại một điểm.

Hướng dẫn:

a) Ba điểm M x y M x y1( ; );1 1 2( ; );2 2 M x y3( ; )3 3 nằm trên một đường thẳng ax + by + c= 0 khi
và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất axibyi c 0,i1, 2,3 có nghiệm tầm
thường.

b) Một họ đường thẳng các nhau tại một điểm khi và chỉ khi hệ phương trình của các
đường thẳng đó có duy nhất nghiệm.

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

a b a b c

r a b r a b c

a b a b c

   

   

 

   

   

Bài 4: Cho hệ phương trình:
* * * 0

* * * 0
* * * 0

x y z

  




  



   



Hai người lần lượt điền các hệ số vào dấu *. Chứng minh rằng người đi đầu bao giờ cũng
có thể làm cho hệ phương trình có nghiệm tầm thường. Người thứ hai có đạt được điều đó
khơng?

Hướng dẫn: Người đi đầu điền các hệ số a a a a a11, 13, 22, 31, 33

Chọn '

11 0, 22 22 12 21/ 11 0

a  a a  a a a  . Khi đó, đưa hệ về dạng:
11

' '

22 23

32 33

* * 0
0
' 0

a x y z

a y a z

a y a z

  




 




 



Vì a a11, '22 0, nên chỉ cần chọn a33sao cho

' ' ' '

22 33 23 32 0
a a  a a 
Người thứ 2 khơng đạt được điều đó nếu người thứ nhất chọn các hệ số đều bằng 0.

BÀI TẬP CỦNG CỐ:

1) Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

1 2 4 5

1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 5

2 2 1

2 4 3 3

3 6 2 3

2 2 8

x x x x

x x x x x m

x x x x m

   




   




    



     



1 2 3 4

1
1
1

mx x x x

x mx x x

x x mx x

   




   



    



1 2 3 4

1
1
1
1

x x x mx

x x mx x

x mx x x

mx x x x

   




   




   



    



1 2 3 4

x x x mx

x x mx x m

x mx x x m

mx x x x m

   




   




   



    

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

1 2

.... 1

2 .... 2 1
3 .... 3 1
....

.... 1
n

n
n
n

n

n
n

x x x

x nx n x






   




   




   





    



3) Chứng minh rằng hệ phương trình

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

.... 0
.... 0
....

.... 0
n n

n n

n n nn n

a x a x a x

   




   





    



Trong đó aij ajivà n lẻ có nghiệm khác 0.

4) Xét hệ phương trình:

1 2 3

2 3 1

2 3 5

mx x x

x mx x

mx x x

  




   



   



a) Tìm điều kiện của m để hệ pt trên là hệ Cramer.

b) Với điều kiện m tìm được của câu a, hãy giải hệ pt trên bằng pp. Cramer

5) Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Trong đó, A là ma trận vuông cấp n hệ số
nguyên, và b n

  .

a) Chứng minh rằng nếu | |A 1thì hệ có nghiệm ngun.
b) Ngược lại, nếu với mọi b n

</div>

toán cao cấp – lien giao

<b>Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH</b>









Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về