hoäi nghò chaát löôïng laàn iv “naêng suaát chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 211101 boä moân toaùn öùng duïng ñhbk toaùn 1 hk1 0708 baøi 4 vcbeù – vclôùn lieân tuïc sinh vieâ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (597.29 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

---TỐN 1 HK1 0708

• BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN. LIÊN TỤC (SINH VIÊN)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

VÔ CÙNG BÉ

--- 

0
lim



 x x

x 

Đại lượng (x) – vô cùng bé (VCB) khi x  x0:

VCB cơ bản (x  0): Lượng giác 

 

x sin x ,1 cos x , tgx

Muõ, ln: ex



x





 1, ln 1 Lũy thừa:



1 x



  1. VD: 13x  1

x0: Khoâng quan troïng. VCB x  :

x

1 VCB x  1: sin(x–1) …

VD:

x
x

c
x

x
b

x
a

x
x

x






sin
lim

/
sin

lim
/

sin
lim

0  



(x), (x) – VCB khi x  x0

 (x)  (x) , (x)(x): VCB  C(x)(x): VCB

(x) VCB, C(x) bị chặn

BT:



x x



x sin 1 sin

lim  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ

---(x), (x) – VCB, x  x0 vaø 

 

x c
x

x

x  



lim  So sánh được

VD: So saùnh VCB: sin x,1 cos x, tgx

1/ c = 0 : (x) – VCB cấp cao so với (x): (x) = o((x))

2/ c = : Ngược lại trường hợp c = 0  (x) = o((x))

3/ c  0, c   : vô cùng bé cùng cấp

Cách nói khác: (x) – VCB cấp thấp hơn

VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn. VD: sin2x, x3

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG)

---(x), (x) – VCB tương đương khi x  x0 

 

lim



 x

x

x
x 



VD: Tìm hằng số C và  để: tgx  sin x ~ Cx , x  0

VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào 
tích & thương (nhưng khơng thay vào tổng & hiệu!)

VCB lượng giác: , 0

2
~
cos

1
,
~
tg
,
~
sin



 x x x

x
x

VCB muõ, ln: ex  1 ~ x, ln



1 x



~ x, x  0

VCB lũy thừa (căn):



1 x



  1~ x, x  0 VD:

3
2
~
2
1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN 

---3
0
tg
sin
lim
x
x
x
x


:
VD

 ~ & 1 ~ 1 khi x  x0    1 ~   1

VD: Tìm





x

x
x
x sin
tg
2
1
ln
lim
2
0









e



x

x 1 sin

3
cos
ln
lim
/
2 2
0 



x có thể  x0 bất kỳ. VD: Tìm

x
x x x

x
x











 1
3
2
lim 2
2

p dụng: Dùng vơ cùng bé tương đương tính giới hạn

 

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x 1
1
1
1
0
0
0
0
lim
lim
~
,
~
















Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ

---,  – VCB khác cấp   +  tương đương VCB cấp thấp hơn

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp 
 lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu)

VD:









0 ln 1

2
cos
ln
lim
x
x
x
x 







x
x
x
x
x

x sin 2

tg
3
2

2
sin

lim 3 2 2

0 






















0
&
iff
~
,
~
,

~









  


x
x
g
f
a
x
x
g
a
x
x
f

Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa &   0



x x x x



x
x
x

x

x   






 2/ lim

sin
lim

/
1














 




0 2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL

---Hàm y = f(x) – vô cùng lớn (VCL) khi x  x0 :

 



 x f x

xlim0

 Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất
 Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính lim

So sánh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x  x0 và  giới hạn f/g

c
x

g
x
f

x

x ( ) 

)
(
lim

VD: 3x2 4x 1 ~ 3x2

x



   log



1,  0







  

 x a

x
a

x
x

x

c  0, : f(x), g(x) – VCL cùng cấp

c = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ g

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

KẾT LUẬN

---Với giới hạn chứa Vơ Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …):

 Dạng tích (thương)  Thay các THỪA SỐ bằng biểu

thức tương đương & đơn giản hơn

   

 

   

 

x
h

x
g
x
f
x

h

x
g
x
f

x
x
x

x

1
1
1

0
0

lim
lim



 

với f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) …

 Dạng tổng VCB khác cấp  Thay bằng VCB cấp thấp 1

 Dạng tổng VCB tổng quát fi(x)  Thay mỗi fi(x) bằng

VCB tương đương dạng luỹ thừa: f

 

x ~ C x i &



C x i 0

i
i

i




Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng / …): 1/ Thay tương đương

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

HÀM LIÊN TỤC

---Hàm sơ cấp (định nghĩa qua 1 biểu thức) liên tục  xác định

VD: Tìm a để hàm liên tục tại x = 0:









0

,
0
,
sin
x
a
x
x
x
y

 f(x) xác định tại x0

 

0

lim f x f x

x

x 



Hàm f(x) liên tục tại x0: Hàm liên tục/[a, b]  (C): đường liền

Gián 
đoạn!

VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số:

1
1
tg
/ 2
2




x
x
x
y
a
x
x
y

b / sin








1

,
1
1
,
)
(
/
x
x
x
x
x
f
c

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

LIÊN TỤC MỘT PHÍA

---Hàm f(x) liên tục tại x0  Liên tục trái & liên tục phải taïi x0

 

0

0
0

lim f x f x

x
f
x

x 






 



f(x) liên tục phải tại x0 khi xác định tại x0 và

 

 

0

0
0

lim f x f x

x
f

x

x 






 



f(x) liên tục trái tại x0 khi xác định tại x0 và

Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt …  Khảo sát

VD: Khaûo sát tính liên tục:












 

1
,

1
1
)

( 1

x

x
e

x

f x Chú ý: lim ?




</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN

---Hàm f xác định & gián đoạn tại x0  Không có

Hoặc  lim f  f(x0), hoặc lim–  lim+, hoặc  lim f: 3 trường hợp!

 

0

lim f x f x

x

x 

Loại 1:

 Điểm khử được:

 

0

lim f x f x

x

x 





 Điểm nhaûy:

 

x f

 

x
f

x
x
x

xlim 0  lim 0

Bước nhảy: f

 

x f

 

x

x
x
x

xlim 0  lim 0

Loại 2: f

 

x f

 

x

x
x
x

x    



0
0

lim

lim hoặc

(Hoặc khơng tồn tại cả 2 ghạn 1 phía)
f(x) gián

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

VÍ DỤ

---Điểm x0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại

 












0
,

sin

x
a

x
x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

VÍ DỤ

--- 












0
,

sin

x
x
x

x
x

f

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

VÍ DỤ

---Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo a

 











0
,

1
sin

x
a

x
x

x
f

 

a
f 0 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN

---f bị chặn trên [a, b]:  m, M

& m  f(x)  M  x  [a,

b]

f đạt GTLN, BN trên [a, b]:

 x0, x1  [a, b]: f(x0) = m, …

f nhận mọi giá trị trung gian:

 k & GTBN  k  GTLN 
 c  [a, b]: f(c) = k

(Hay sử dụng) Định lý giá trị 
hai đầu trái dấu: f(a).f(b) < 0

  c  (a, b) : f(c) = 0

Chú ý: Khơng 
thể thay đoạn

bằng khoảng!

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

VÍ DỤ

---2/ Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm âm

x
x5 1

1/ Tìm a, b để hàm số

sau liên tục trên R

 























1
,

1
0

0
,

1 2

x
x

x
b

ax

x
x

x

f f liên tục tại 0 & 1

a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định trên R: f2(x) = 1  x  R

b/ Bao nhieâu hàm số f(x) liên tục trên R: f2(x) = 1  x  R

</div>

hoäi nghò chaát löôïng laàn iv “naêng suaát chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 211101 boä moân toaùn öùng duïng ñhbk toaùn 1 hk1 0708 baøi 4 vcbeù – vclôùn lieân tuïc sinh vieâ

<b>BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK</b>

<b>---TỐN 1 HK1 0708</b>

•

<b>BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN. LIÊN TỤC (SINH VIÊN)</b>

--- 

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>

 

 

 

 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>













 

 

 

 

 

 

























<sub> </sub>





   

 

   

 

<sub> </sub>

<sub></sub>

 

 

 

 

<sub> </sub>

 

 

 

 

 

 

 

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

 

--- 

 

 

 





Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về