Bài tập trắc nghiệm Cấp số cộng năm học 2019 - 2020 có lời giải chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.23 MB, 18 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ CẤP SỐ CỘNG CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. LÝ THUYẾT 
I. ĐỊNH NGHĨA.

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Đặc biệt, khi d 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

1) Nếu

 

un là một cấp số cộng với công sai d , ta có cơng thức truy hồi

1 , .

n n

u  u d n

 

2) Cấp số cộng

 

un là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d 0. 
3) Cấp số cộng

 

un là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d 0.

STUDY TIP

Để chứng minh dãy số

 

un là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh un1 u là một hằng số với n

mọi số nguyên dương n .

Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:

2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

 .

Lời giải

Vì 1  2 3; 4 1 3;  7 4 3; 10 7 3;

13 10 3;  16 13 3;  19 16 3. 

Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với cơng sai

d

Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và cơng sai của nó.

a) Dãy số

 

an , với an 4n3; b) Dãy số

 

bn , với 2 3

4



n

b ;

c) Dãy số

 

cn , với cn 2018n; d) Dãy số

 

dn , với dn n2.

Lời giải

a) Ta có an1 4(n  1) 3 4n1 nên an1an (4n 1) (4n   3) 4, n 1.

Do đó

 

an là cấp số cộng với số hạng đầu a1 4.1 3 1 và cơng sai d 4.

b) Ta có 1 2 3( 1) 1 3

4 4



   

 

n

n n

b nên 1 1 3 2 3 3, 1

4 4 4

n n

b  b        n

Suy ra

 

bn là cấp số cộng với số hạng đầu 1

2 3.1 1

4 4



  

b và công sai 3

4
 

d .

c) Ta có 1

1 2018

  n

n

c nên 1

1 2018 2018 2017.2018


   n  n  n

n n

c c (phụ thuộc vào giá trị của

n). Suy ra

 

cn không phải là một cấp số cộng.

d) Ta có 2

1 ( 1)
  
n

d n nên 2 2

1 ( 1) 2 1

      

n n

d d n n n (phụ thuộc vào giá trị của n).

Suy ra

 

dn không phải là một cấp số cộng.

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng

 

un có 7 số hạng với số hạng đầu 1 2

3


u và công sai 4

3
 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

triển của cấp số cộng đó.

Lời giải

Ta có 2 1 2; 3 2 2; 4 3 10;

3 3

           

u u d u u d u u d

5 4 6 5 7 6

14 22

; 6; ;

3 3

           

u u d u u d u u d

Vậy dạng khai triển của cấp số cộng

 

un là 2; 2; 2; 10; 14; 6; 22.
3 3   3  3   3

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG. 
Định lý 1.

Nếu cấp số cộng

 

un có số hạng đầu u1 và cơng sai d thì số hạng tổng qt un được xác định

bởi công thức:

1 ( 1) , 2.

    

n

u u n d n (2)

STUDY TIP

Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra nhận xét sau:

Cho cấp số cộng

 

un biết hai số hạng up và uq thì số hạng đầu và cơng sai được tính theo cơng thức:

(1) :  



p q

u u

d

p q

(2) : u1 up (p1) .d

Ví dụ 4. Cho cấp số cộng

 

un có u1 2 và d  5.

a) Tìm u20.

b) Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Lời giải

a) Ta có u20 u1(20 1) d  2 19.( 5)  93.

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un u1(n1)d  7 5 .n
Vì un  2018 nên 75n 2018 n 405.

Do n405 là số nguyên dương nên số2018 là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho.

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG. 
Định lý 2.

Trong một cấp số cộng

 

un , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của
hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

1 1

  

 k k
k

u u

u với k2. (3)

STUDY TIP

Một cách tổng quát, ta có:

Nếu

 

un là cấp số cộng thì , 1

  

 p k p k  

p

u u

u k p .

Ví dụ 5.

a) Cho cấp số cộng

 

un có u99 101 và u101 99. Tìm u100.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
Lời giải

a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 99 101

100

2

 u u

u nên u100 100.

b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 2 6 2

2
 

 

x và 6

2

 x y.
Vì x2 nên y10.

Vậy 2 2 2 2

2 10 104

    

P x y .

IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG. 
Định lý 3.

Cho một cấp số cộng

 

un . Đặt Sn u1u2  ... un. Khi đó:
1

( )

2


 n

n

n u u

S (4) hoặc 1 ( 1) .

2


 

n

n n

S nu d (5)

STUDY TIP

1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính Sn khi biết số hạng đầu và số hạng thứ n của cấp số

cộng.

2) Để tính được S , thì cơng thức (5) được sử dụng mọi trường hợp. Cụ thể là, chúng ta cần tìm được số n
hạng đầu u và cơng sai 1 d của cấp số cộng.

3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng u d n u1, , , n,S . Chúng ta cần biết ba đại n

lượng trong năm đại lượng là có thể tìm được hai đại lượng cịn lại. Tuy nhiên, theo các cơng thức tính 
,

n n

u S thì các bài tốn về cấp số cộng sẽ quy về việc tính ba đại lượng u d n1, , .

Ví dụ 6. Cho cấp số cộng

 

un có u1  2 và d 3.

a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
b) Biết Sn 6095374, tìm n .

Lời giải

Ta có

2
1

( 1) 3( ) (3 7)

2 .

2 2 2

  

     

n

n n n n n n

S nu d n

a) Ta có 25 25(3.25 7) 850

2


 

S .

b) Vì Sn 6095374 nên (3 7) 6095374 3 2 7 12190748 0

     

n n

n n

Giải phương trình bậc hai trên với n nguyên dương, ta tìm được n2017.

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ CỘNG

Câu 1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. Dãy số

 

an , với an 2 ,n  n *.

B. Dãy số

 

bn , với b1 1,bn1 2bn   1, n *.

C. Dãy số

 

cn , với cn (2n3)2 4n2, n *.

D. Dãy số

 

dn , với 1 1, 1 2018, *



   



n
n

d d n

d .

Lời giải 
Đáp án C.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 2, 4, 8.

Ba số này khơng lập thành cấp số cộng vì 4    2 2 4 8 4.
- Phương án B: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 1, 3, 7.

Ba số này không lập thành cấp số cộng vì 3 1    2 4 7 3.

- Phương án C: Ta có *

9 12 ,

   

n

c n n

Do đó, *

1 12,

     

n n

c c n nên ( )cn là cấp số cộng.

- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 1, 1009,1009.
505

Ba số này không lập thành cấp số cộng.

STUDY TIP

1) Để chứng minh dãy số

 

un là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh un1 un là một
hằng số với mọi số nguyên dương n.

2) Để chỉ ra dãy số

 

un không phải là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chỉ ra ba số hạng
liên tiếp u uk, k1,uk2 của dãy số không lập thành một cấp số cộng.

Câu 2. Cho cấp số cộng

 

un có u1 123 và u3 u15 84. Tìm số hạng u17.

A.u17 242. B.u17 235. C.u17 11. D. u17 4.

Lời giải 
Đáp án C.

Ta có cơng sai của cấp số cộng là 3 15 84

3 15 12



   

 

u u

d .

Suy ra u17 u1(17 1) d 11.
Vậy phương án đúng là C.

STUDY TIP

Với việc biết được số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng, chúng ta hoàn toàn xác định
được các yếu tố còn lại của một cấp số cộng như số hạng tổng quát, thứ tự của số hạng và tổng
của n số hạng đầu tiên. Tham khảo các bài tập sau.

Nhận xét: Cụ thể chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho cấp số cộng

 

un có u1 123 và u3 u15 84. Số 11 là số hạng thứ bao nhiêu của

cấp số cộng đã cho?

A. 17. B. 16. C. 18. D. 19.

Câu 2: Cho cấp số cộng

 

un có u1 123 và u3 u15 84. Tìm số hạng tổng quát của cấp số

cộng

 

un .

A. un 1307n. B. un 1167n. C. un 123 7 n. D. un 123 7 n.
Câu 3: Cho cấp số cộng

 

un có u1 123 và u3 u15 84. Tính tổng S2017 của 2017 số hạng

đầu tiên của cấp số cộng đã cho.

A. S2017 14487102,5. B. S2017  13983861.

C. S2017  13990920,5. D. S2017 14480043.

Câu 4: Cho cấp số cộng

 

un có u1 123 và u3 u15 84. Biết rằng tổng n số hạng đầu tiên
của cấp số cộng bằng 18, tìm n.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Câu 3. Cho cấp số cộng

 

un có u1 2u5 0 và S4 14. Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp
số cộng.

A.u1 8,d 3. B. u1  8,d 3. C.u1  8,d  3. D. u1 8,d  3.

Lời giải 
Đáp án D.

Ta có u12u5  0 u12(u14 )d  0 3u18d 0.

4 1

4(2 3 )

14 14 2 3 7

2


  u d    

S u d

Ta có hệ phương trình 1 1

3 8 0 8

2 3 7 3

  

 



     



u d u

u d d .

Vậy phương án đúng là D.

Câu 4. Cho cấp số cộng

 

un . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A.um k un k um un, với km k, n.

B. um k um k 2um, với k m.

C.um uk (mk d) , với k m.

D. u3n u2n un1.

Lời giải 
Đáp án D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A: Ta có um k un k u1(m k 1)d  u1 (n k 1)d

1 ( 1) 1 ( 1)

u  m d u n d um un.

Do đó A là phương án đúng.

+ Phương án B: Ta có um k um k u1(m k 1)d  u1 (m k 1)d

2[ ( 1) ] 2

 u  m d  um.
Do đó B là phương án đúng.

+ Phương án C: Ta có um u1(m1)d u1(k1)d(mk d) uk (mk d)

Do đó C là phương án đúng.

+ Phương án D: Ta có u2n un1 u1(2n1)d  u1 nd u1(3n1)du1u3nu1

Vậy phương án D sai.

STUDY TIP

Qua ví dụ này, chúng ta lưu ý một số tính chất của cấp số cộng như:
1) um k un k um un, với km k, n.

2) um k um k 2um, với k m.
3) um uk (mk d) , với k m.
Do đó C là phương án đúng.

+ Phương án D: Ta có u2n un1 u1



2n1



d u1 nd  u1



3n1



d u1 u3n u1 u3n.
Vậy D là phương án sai.

Câu 5. Cho dãy số

 

un xác định bởi u1 321 và un1un3 với mọi *

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A. S 16875. B. S63375. C. S 63562,5. D. S 16687,5.

Lời giải

Từ công thức truy hồi của dãy số

 

un , ta có

 

un là một cấp số cộng với cơng sai d  3. Do
đó tổng của 125 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là





125. 2 125 1

16875
2

u d

S     

Vậy chọn phương án A.

Câu 6. Cho cấp số cộng

 

un có cơng sai d  3 và 2 2 2

2 3 4

u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S100
của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A. S100 14650. B. S100 14400. C. S100  14250. D. S100 15450.

Lời giải

Đặt au1 thì



 







2 2 2 2

2 3 4 2 3 3 36 126 3 6 18 18

u u u  ad  a d  a d  a  a  a   với mọi a

Dấu bằng xảy ra khi a   6 0 a 6.Suy ra u16.

Ta có 100 100. 2 1



100 1



14250

u d

S        . Vậy phương án đúng là C.

Nhận xét: Từ kết quả bài tập này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:

Câu 1. Cho cấp số cộng

 

un có cơng sai d  3 và 2 2 2

2 3 4

u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ
2017 của cấp số cộng đó.

A. u2017 6042. B. u2017 6045. C. u2017  6044. D. u2017  6054.

Câu 2. Cho cấp số cộng

 

un có cơng sai d  3 và 2 2 2

2 3 4

u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2019 là số
hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?

A. 676 . B. 675 . C. 672 . D. 674 .

Câu 3. Cho cấp số cộng

 

un có cơng sai d  3 và 2 2 2

2 3 4

u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng
tổng quát của cấp số cộng đó.

A. un  9 3n. B. un  6 3n. C. un  5 3n. D. un   3 3n.

Câu 4. Cho cấp số cộng

 

un có cơng sai d  3, trong đó m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 2 2 2

2 3 4

F u u u .

A. minF18. B. minF 6. C. minF 99. D. minF117.

Câu 7. Cho cấp số cộng 3,8,13,... Tính tổng S    3 8 13 ... 2018.

A. S408422. B. S408242. C. S 407231,5. D. S 409252,5.

Lời giải

Cấp số cộng 3,8,13,... có số hạng đầu a1 3 và cơng sai d 5.
Suy ra 2018 là số hạng thứ 2018 3 1 404

  

của cấp số cộng.

Do đó 404





404. 3 2018

408242
2

S S    . Vậy B là phương án đúng.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

A. 402 . B. 403. C. 404 . D. 405 .

Câu 2.Cho cấp số cộng 3,8,13,..., ,...x Tìm x biết 3 8 13 ...    x 408242.

A. x2017. B. x2016. C. x2019. D. x2018.

Câu 3. Cần viết thêm vào giữa hai số 3 và 2018 bao nhiêu số hạng để thu được một cấp số
cộng hữu hạn có tổng các số hạng bằng 408242 ?

A. 402 . B. 403. C. 405 . D. 404 .

Câu 4.Cho cấp số cộng

 

un có u13,uk 2018 và Sk 408242. Số hạng thứ 2018 của cấp
số cộng đó là số nào dưới đây?

A. 10088 . B. 10093 . C. 10083 . D. 10098 .

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một
cấp số cộng: x33mx22m m



4



x9m2 m 0.

A. m0. B. 17 265

m  . C. 17 265

m  . D. m1.

Lời giải 
Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận.

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3 lập thành một
cấp số cộng. Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có x1  x2 x3 3m. Vì

1, 2, 3

x x x lập thành cấp số cộng nên x1x3 2x2. Suy ra 3x2 3mx2 m. Thay x2 m vào
phương trình đã cho, ta được





3 2 2 2 0

3 . 2 4 . 9 0 0

1
m

m m m m m m m m m m

m




          




- Điều kiện đủ:

+ Với m0 thì ta có phương trình x3   0 x 0 (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó
0

m khơng phải giá trị cần tìm.
+ Với m1, ta có phương trình 3 2

3 6 8 0 1; 2; 4.

x  x  x   x x  x
Ba nghiệm 2; 1; 4 lập thành một cấp số cộng nên m1 là giá trị cần tìm.

Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi chọn được phương án đúng.
Trước hết, ta kiểm tra phương án A và D (vì m ngun).

+ Với m0 thì ta có phương trình x3   0 x 0 (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó
0

m khơng phải giá trị cần tìm.
+ Với m1, ta có phương trình 3 2

3 6 8 0 1; 2; 4.

x  x  x   x x  x
Ba nghiệm 2; 1; 4 lập thành một cấp số cộng nên m1 là giá trị cần tìm.

STUDY TIP

Phương trình bậc ba 3 2





0 0

ax bx   cx d a có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp 
số cộng thì điều kiện cần là

b
x

a

  là nghiệm của phương trình. Giải điều kiện này ta có hệ

thức liên hệ giữa các hệ số của phương trình là 3 3

2b 9abc27a d 0. Trong thực hành giải 
toán, chúng ta cũng chỉ cần ghi nhớ điều kiện cần là

b
x

a

  là nghiệm của phương trình.

Câu 9. Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập

thành một cấp số cộng: 4 2 2

10 2 7 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

A. 343

 . B. 721

8 . C.

721
8

 . D. 343

8 .

Lời giải

Đặt 2





tx t . Khi đó ta có phương trình: t210t2m27m0 (*).

Phương trình đã cho có 4nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm
dương phân biệt

2 2

2
2

5 (2 7 ) 0

0 2 7 25.

2 7 0

m m

   



    

 



(do tổng hai nghiệm bằng 100 nên không cần điều kiện này).

+ Với điều kiện trên thì (*)có hai nghiệm dương phân biệt là t t1, 2 (t1 t2).
Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là  t2; t1; t1; t2 .
Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

 

1 2 1 1 2 1 2 9 .1

t t t t t t t t

         

Theo định lý Vi-ét ta có: 2

1 2 10; 1 2. 2 7

t  t t t  m  m.

Suy ra ta có hệ phương trình

2 1 1

1 2 2

2 2

1 2

9 1 1

10 9 9

. 2 7 2 7 9

t t t m

t t t

m

t t m m m m

     

      

    

      




Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.

Do đó

3 9 721

2 8



 

   

  .

Suy ra phương án đúng là C.

Câu 10. Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá của
mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan
một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hồn thành việc
khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?

A. 7700000 đồng. B. 15400000 đồng. C. 8000000 đồng. D. 7400000 đồng.

Lời giải

Gọi un là giá của mét khoan thứ n, trong đó 1 n 20.

Theo giả thiết, ta có u1100000 và un1un 30000 với 1 n 19.

Ta có (un) là cấp số cộng có số hạng đầu u1100000 và công sai d30000.

Tổng số tiền gia đình thanh tốn cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số
cộng (un). Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là

20 1 2 20

20[2 (20 1) ]

.... 7700000

u d

S  u u  u     (đồng).

Vậy phương án đúng là A.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 
Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
A. 3,1,5,9,14. B. 5, 2, 1, 4, 7   . C. 5,1, ,1 1, 3

3 3  3 . D.

7 5 1 1

, , 2, ,

2 2 2 2

    .

Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?

A. Dãy số

 

an với an 3n5.

B. Dãy số

 

bn với bn  3 5n.

C. Dãy số

 

cn với 2
n

c n n.

D. Dãy số

 

dn với 2017 cot



4 1



2018
2

n

d     .

Câu 3. Cho các số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện: Ba số 1 , 1 , 1

xy yz zx theo thứ tự lập thành một
cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. Ba số x y z2, 2, 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

B. Ba số y z x2, 2, 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

C. Ba số y x z2, 2, 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

D. Ba số z y x2, 2, 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công sai của cấp số cộng.

Câu 4. Cho cấp số cộng

 

un xác định bởi u3  2; un1un3,  n *. Xác định số hạng tổng

quát của cấp số cộng đó.

A. un3n11. B. un 3n8. C. un 2n8. D. un  n 5.

Câu 5.Cho cấp số cộng

 

un có u2 2017;u51945. Tính u2018.

A. u2018 46367. B. u201850449. C. u2018  46391. D. u201850473.

Câu 6. Cho cấp số cộng

 

xn có Sn 3n2 2n. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng

đó.

A. u12;d 7. B. u11;d 6. C. u11;d 6. D. u12;d 6.

Câu 7. Cho cấp số cộng

 

un có Sn 7n2n2. Tính giá trị của biểu thức Pu32u52u72.

A. P491. B. P419. C. P1089. D. P803.

Câu 8. Cho cấp số cộng

 

un với 3 5

3 5

. 6

u u

u u

 


 

 . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

A. u11 hoặc u14. B. u11 hoặc u1 4. C. u1 1 hoặc u14. D. u1 1 hoặc u11.

Câu 9. Cho cấp số cộng

 

un có cơng sai d 2 và 2 2 2

2 3 4

u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là số
hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng

 

un ?

A. 1012 . B. 1011. C. 1014 . D. 1013 .

Câu 10. Cho cấp số cộng 6, , 2,x  y. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. x2;y5. B. x4;y6. C. x2;y 6. D. x4;y 6.

Câu 11. Viết sáu số xen giữa 3 và 24 để được một cấp số cộng có tám số hạng. Sáu số hạng cần viết
thêm là

A. 6,9,12,15,18, 21. B. 21,18,15,12,9,6.

C. 13,10,27,17,41, 24

2 2 2 . D.

16 23 37 44 58 65

, , , , ,

3 3 3 3 3 3 .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung?

A. 404 . B. 403. C. 672 . D. 673 .

Câu 13. Cho cấp số cộng 1,7,13,...,x thỏa mãn điều kiện 1 7 13 ...    x 280. Tính giá trị của x.

A. x53. B. x55. C. x57. D. x59.

Câu 14. Biết rằng tồn tại các giá trị của x



0;2



để ba số 1 sin ,sin x 2x,1 sin 3 x lập thành một cấp
số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x.

A. S 5. B. S 3. C. 7

S   . D. 23

S  .

Dạng 3: Bài tập về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Câu 15. Cho cấp số cộng

 

un có u4  3 và tổng của 9 số hạng đầu tiên là S9 45. Cấp số cộng trên

có

A. S1092. B. S20980. C. S3  56. D. S16526.

Câu 16. Cho cấp số cộng

 

xn có x3x1380. Tính tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

A. S15600. B. S15800. C. S15570. D. S15630.

Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.

Câu 17. Cho cấp số cộng

 

un . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A.



np u



m



p m u



n



m n u



p 0. B.



m n u



m 



n p u



n



p m u



p 0.

C.



mp u



m 



n m u



n



p n u



p 0. D.



p n u



m



m p u



n



m n u



p 0.

Câu 18. Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện 1 , 1 , 1

  

b c c a a b lập thành một cấp số

cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Ba số , ,a b c lập thành một cấp số cộng.

B. Ba số 1 1 1, ,

a b c lập thành một cấp số cộng.

C. Ba số a b c2, 2, 2 lập thành một cấp số cộng.

D. Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x410x2 m 0 có bốn nghiệm phân
biệt lập thành một cấp số cộng.

A. m16. B. m9. C. m24. D. m21.

Câu 20. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình x42



m1



x22m 1 0

có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính tổng bình phương của hai giá trị đó.

A. 1312

81 . B.

1024

81 . C.

9 . D.

1600
81 .

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x33x2 x m2 1 0 có ba nghiệm
phân biệt lập thành một cấp số cộng.

A. m 16. B. m 2. C. m2. D. m 2.

Câu 22. Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m m m1, 2, 3 của tham số m để phương trình

3 2 3 2

9 23 4 9 0

      

x x x m m m có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính

giá trị của biểu thức 3 3 3

1 2 3

  

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

A. P34. B. P36. C. P64. D. P 34.

Câu 23. Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai

gồm 21 bậc, một bậc cao 18cm. Kí hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết công
thức để tìm độ cao hn.

A. hn 0,18n0,32

 

m . B. hn 0,18n0,5

 

m . C.

 

0,5 0,18

 

n

h n m . D. hn 0,5n0,32

 

m .

Câu 24. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai

có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này?

A. 77 hàng. B. 76 hàng. C. 78 hàng. D. 79 hàng.

Câu 25. Trên một bàn cờ có nhiều ơ vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp
vào ơ thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô
thứ hai là 5, … và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta đã
phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ơ?

A. 98 ơ. B. 100 ô. C. 102 ô. D. 104 ô.

Câu 26. Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau:
Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 13,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm

việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương
một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.

A. 198 triệu đồng. B. 195 triệu đồng. C. 228 triệu đồng. D. 114 triệu đồng.

Câu 27. Trên tia Ox lấy các điểm A A1, 2,...,An,... sao cho với mỗi số nguyên dương n, OAn n.
Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường trịn
đường kính OAn, n1, 2,... Kí hiệu u1 là diện tích nửa đường trịn đường kính OA1 và với mỗi



n , kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường trịn đường kính OAn1, nửa
đường trịn đường kính OAn và tia Ox. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Dãy số

 

un không phải là một cấp số cộng.

B. Dãy số

 

un là một cấp số cộng có cơng sai
4





d .

C. Dãy số

 

un là một cấp số cộng có cơng sai
8





d .

D. Dãy số

 

un không phải là một cấp số cộng có cơng sai
2





d .

Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị

 

C của hàm số y3x2. Với mỗi số nguyên
dương n, gọi An là giao điểm của đồ thị

 

C với đường thẳng d x n:  0. Xét dãy số

 

un

với un là tung độ của điểm An. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. Dãy số

 

un là một cấp số cộng có cơng sai d  2.

B. Dãy số

 

un là một cấp số cộng có cơng sai d 3.

C. Dãy số

 

un là một cấp số cộng có cơng sai d 1.

D. Dãy số

 

un không phải là một cấp số cộng.

Câu 29. Cho cấp số cộng

 

u có số hạng đầu u12 và công sai d  3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy,
lấy các điểm A A1, 2,... sao cho với mỗi số nguyên dương n, điểm An có tọa độ



n u; n



. Biết

rằng khi đó tất cả các điểm A A1, 2,...,An,... cùng nằm trên một đường thẳng. Hãy viết phương

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

A. y  3x 5. B. y  3x 2. C. y2x3. D. y2x5

D. HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng

Câu 1. Đáp án B.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
- Phương án A: 1       

 

3 5 1 9 5 4 14 9 5.
- Phương án B: 2 5             1 2 4

 

1 7

 

4 3.
Vậy dãy số ở phương án B là cấp số cộng.

Câu 2. Đáp án C.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

- Phương án A: Ta có an1an   3, n 1 nên

 

an là cấp số cộng.
- Phương án B: Ta có bn1  bn 5, n 1 nên

 

bn là cấp số cộng.
- Phương án C: Ta có cn1 cn 2 ,n  n 1 nên

 

cn không là cấp số cộng.
- Phương án D: Ta có dn 2018, n 1(do cot



4 1








n

) nên

 

dn là cấp số cộng.

Câu 3. Đáp án C.

Theo giả thiết, ta có:





 





2 2 2

1 1 2

2 2 2

           

   y z x y z x y x z y z x

x y z x y z .

Suy ra y x z2, 2, 2 hoặc z x y2, 2, 2 lập thành một cấp số cộng. Do đó phương án đúng là C.

Dạng 2: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng

Câu 4. Đáp án A.

Ta có

 

un là cấp số cộng có cơng sai d 3 nên số hạng đầu là u1 u3 2d  8

Suy ra số hạng tổng quát là un 3n11.

Câu 5. Đáp án A.

Gọi d là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có: 1 1

2017 2041

4 1945 24

  

 



     



u d u

u d d

Suy ra u2018 u1 2017d  46367.

Câu 6. Đáp án B.

Ta có u1 S11 và u1u2 S2 8. Suy ra u2 7

Vậy d u2 u1 6.

Câu 7. Đáp án A.

Ta có un SnSn1  9 4n.

Suy ra u3  3,u5  11,u7  19. Do đó P491.

Câu 8. Đáp án A.

Ta có 3 5 3

3 5 5

5 2

. 6 3

  

 



   

 

u u u

u u u hoặc

3
2



 


u

u .

+ Giải 3

2
3



 


u

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

+ Giải 3

3
2



 


u

u , ta được u1 4.

Câu 9. Đáp án A.

Ta có 2 2 2 2





2  3  4 3 1 24 1563 14  8 8

u u u u u u

Dấu bằng xảy ra khi u1    4 0 u1 4

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un 2n6.
Nếu un 2018 thì 2n 6 2018 n 1012.
Vậy 2018 là số hạng thứ 1012 của cấp số cộng.

Câu 10. Đáp án C.

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có

 

2 6 2 2

2. 2

     

 

   

   


x x

y

x y .

Câu 11. Đáp án A.

Theo giả thiết, ta có u1 3,u8 24
Suy ra 3 7 d24 d 3.

Vậy 6 số cần viết thêm là 6,9,12,15,18, 21.

Câu 12. Đáp án B.

Ta có xn   4



n 1 .3



3n1,1 n 2017





1 1 .5 5 4,1 2017

      

n

y m m m

Để một số là số hạng chung của cả hai cấp số cộng thì ta phải có





3n 1 5m 4 3n5 m1 .

Suy ra n 5, tức là n5t và





3 1

  

m t t .

Lại do 1 n 2017 nên 1 t 403.

ứng với 403 giá trị của t, ta tìm được 403 số hạng chung.

Câu 13. Đáp án B.

Cấp số cộng 1, 7,13, ,x có số hạng đầu u11 và công sai d 6 nên số hạng tổng quát là

6 5

 

n

u n

Giả sử xun 6n5. Khi đó 1 7 13



6 4



3 2 2



    x n n  n  n
Theo giả thiết, ta có 3n22n280 n 10 x u1055.

Câu 14. Đáp ánA.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:









3 2

1 sin 1 sin 3 2 sin
2 4 sin 4 sin 2 sin
2 sin sin 2 sin 1 0

2 sin 1 sin 1 0
1

sin

2
cos 0

   

   

    

   

  






x x x

x x

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

+)
2
1 6
sin
7
2
2
6
 
 

   

   
  

x k
x
x k
.

+) cos 0

 

   

x x k

Với nghiệm 2

 

  

x k và x



0; 2



, ta tìm được 11





x . Với nghiệm 7 2

 

 

x k và



0; 2





x , ta tìm được 7





x . Với nghiệm

 

 

x k và x



0; 2



ta tìm được nghiệm
3
;
2 2
 
 
x x

Do đó 11 7 3 5

6 6 2 2

    

    

S .

Dạng 3: Bài tập về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Câu 15. Đáp án B.

Ta có u4    3 u1 3d  3.





9 1

9 2 8

45 45 4 5



  u d    

S u d .

Do đó ta có hệ phương trình 1 1

3 3 27

4 5 8

    
 

    



u d u

u d d .

Ta có 10 10 2



1 9



90; 20 20 2



1 19



980

2 2

 

 u d   u d 

S S

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 16. Đáp án A.

Ta có x3x1380



x12d

 

 x152d



80



1 15



1 15 15

80 600



 x x  S  x x  .

Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.

Câu 17. Đáp ánA.

Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.
Ta có: um u1



m1



d u; n   u1



n 1



d u; p  u1



p1



d .
- Phương án A: Ta có:



n p u



m



p m u



n



m n u



p

- 



np



u1



m1



d



p m



u1



n1



d



m n



u1



p1



d0.
- Vậy đáp án A.

Câu 18. Đáp ánA.

Theo giả thiết ta có:





 





1 1 2

2 2 2

 

  

         

b c a b c a

c a a c b b c a b a c b

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.

Câu 19. Đáp án B.

Áp dụng kết quả ở phần lí thuyế, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành
một cấp số cộng thì điều kiện cần là 9b2 100achay 9.102 100.1.m m 9.

Với m9 thì phương trình đã cho trở thành x410x2    9 0 x 1;x 3.
Bốn số  3; 1;1;3 lập thành một cấp số cộng nên m9 là giá trị cần tìm.

Câu 20. Đáp ánA.

ÁP dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành
một cấp số cộng thì điều kiện cần là 9b2 100ac hay









2

9 2 2 100.1. 2 1 9 32 16 0 4

9





       

  


m

m m m m

m

Với m4, ta có phương trình x410x2 9 0. Phương trình nàu có 4 nghiệm là 3; 1;1;3 
lập thành cấp số cộng.

Với 4

 

m , ta có phương trình 9x410x2 1 0. Phương trình này có 4 nghiệm 1; 1 1; ;1
3 3

 

lập thành cấp số cộng.

Vậy 4; 4

  

m m thỏa mãn u cầu bài tốn.

Do đó

2 4 1312

9 81

 
   

  .

Câu 21. Đáp ánD.

Áp dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện

cần là 3 1

3a 3



 b    là nghiệm của phương trình.

Suy ra 133.12 1 m2    1 0 m 2.

Với m 2, ta có phương trình x33x2  x 3 0.









3 1 0 1, 1, 3

x x x x x

        

Ba số 1,1,3 lập thành cấp số cộng.

Vậy các giá trị cần tìm là m 2. Do đó D là phương án đúng.

Câu 22. Đáp án A.

Áp dụng kết quả ở phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều

kiện cần là: 9 3

3 3

b

a



    là nghiệm của phương trình.

Suy ra 339.3223.3m34m2  m 9 0

 3 2

4 6 0

m  m   m   m 1,m2,m3

Với m 1,m2,m3 thì m34m2  m 6 0 nên m34m2   m 9 15.
Do vậy, với m 1,m2,m3 ta có phương trình









3 2 2

9 23 15 0 3 6 5 0

x  x  x   x x  x   x 1,x3,x5.
Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Do đó

 

3 3 3

1 2 3 34

   

Câu 23. Đáp án A.

Ký hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân.

Khi đó, ta có hn1hn0,18 (mét), trong đó h1 0,5 (mét). Dãy số

 

hn lập thành một cấp số
cộng có h10,5 và cơng sai d0,18. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là





0,5 1 .0,18 0,18. 0,32

n

h   n  n (mét).

Câu 24. Đáp án A.

Giả sử trồng được n hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là 1 2 ...





2
n n
S    n  .

Theo giả thiết ta có





3003 77

2
n n

n



   .

Câu 25. Đáp án B.

Kí hiệu un là số hạt dẻ ở ơ thứ n.

Khi đó, ta có u17 và un1 un 5,n1.

Dãy số

 

un là cấp số cộng với u17 và công sai d5 nên có





2 1 5 9

2 2

n

n u n d n n

S        .

Theo giả thiết, ta có

5 9

25450
2

n  n

  n 100.
Suy ra bàn cờ có 100 ơ. Do đó B là đáp án đúng.

Câu 26. Đáp án B.

Kí hiệu un là mức lương của quý thứ n làm việc cho công ty. Khi đó u1 13,5 và

1 0,5, 1

n n

u  u  n .

Dãy số

 

un lập thành cấp số cộng có số hạng đầu u113,5 và cơng sai d 0,5.
Một năm có 4 q nbên 3 năm có tổng 12 quý.

Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên
của cấp số cộng

 

un . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của
kỹ sư là 12 12. 2.13,5 11.0,5





195

S    (triệu đồng).

Câu 27. Đáp án B.

Bán kính đường trịn có đường kính OAn là

n
n
r  .

Diên tích nửa đường trịn đường kính OAn là

2 2

2 2 8

n

n n

S      

  .

Suy ra 1 2







2 1



, 2

8 8

n n n

n

u  s s   n  n    n .

Ta có

1 1

2 2 8

u     

  .

Do 1 , n 1

n n

u  u    nên

 

un là cấp số cộng với công sai

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Suy ra B là phương án đúng.

Câu 28. Đáp án B.

Ta có A n un



; n



trong đó un 3n2.

Do un1un   3, n 1 nên

 

un là một cấp số cộng với công sai d 3.
Suy ra B là phương án đúng.

Câu 29. Đáp án A.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng

 

un là un   u1



n 1



d   3n 5.

Nhận thấy toạ độ của các điểm An đều thoả mãn phương trình y  3x 5 nên phương trình
đường thẳng đi qua các điểm A A1, 2,...,An,...là y  3x 5 .

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh
Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường

Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức

Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng 
đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng

Anh.