chuyen de nguyen ham

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.51 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân Nguyễn Tiên Phong

Mục lục
§1. Nguyên hàm

- Định nghĩa
- Tính chất

- Bảng nguyên hàm

- Phương pháp đơn giản tính ngun hàm.
§2. Tích phân

- Định nghĩa và ý nghĩa
- Tính chất

- Phương pháp tính: Phân tích, đổi biến, tích phân từng phần, liên kết.
- Một số dạng tích phân đặc biệt

§3. Tích phân của một số lớp hàm cơ bản.
- Tích phân của hàm số hữu tỉ.
- Tích phân của hàm số lượng giác
- Tích phân của hàm số vơ tỉ.
§4. Ứng dụng của tích phân

- Tính diện tích hình phẳng

- Tính thể tích vật trịn xoay sinh bởi miền hình phẳng quay quanh trục Ox, Oy.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân Nguyễn Tiên Phong
§1. Nguyên hàm

1. Định nghĩa:

Hàm số F x( )gọi là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng ( ; )a b nếu với  x ( ; )a b ta có:
'( ) ( )

F x f x .

Nếu thay cho ( ; )a b bằng



a b;



thì phải có thêm: F a'( ) f a( ); '( )F b f b( )

  .

Ví dụ: 1) f x( ) 2 xcó nguyên hàm là F x( ) x2


2) F x( ) tg x là nguyên hàm của ( ) 12
cos

f x

x


3) f x( ) sin x có nguyên hàm là F x( ) cosx
2. Định lý:

Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng ( ; )a b thì:
- Với mọi hằng số C, F x( )C cũng là 1 nguyên hàm của f x( )

- Ngược lại, mọi nguyên hàm của f x( ) trên khoảng ( ; )a b đều có dạng F x( )C.

Tất cả các nguyên hàm của f x( ) trên khoảng ( ; )a b gọi là 1 họ nguyên hàm của f x( ), ký hiệu là



f x dx( ) .
Vậy:

3. Tính chất:





( ) ( )
f x dx f x





af x dx a( ) 



f x dx( ) 3)





f x( )g x dx( )







f x dx( ) 



g x dx( )
4) Nếu



f t dt F t( )  ( )C thì



f u du F u( )  ( )C u u x,  ( ).

4. Bảng các nguyên hàm:

Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm của hàm số hợp

1) dx x C



 



du u C 

, 1
1

x

x dx C






  





, 1
1

u

u du C








  





3) ln

5) ,0 1

ln
6) cos sin

7) sin cos

8) tg

cos

9) cotg

sin

x x

x
x

dx

x C
x

e dx e C
a

a dx C a

a

xdx x C

dx

x C
x

dx

x C
x

 

   

 

 

 

 



3) ln

5) ,0 1

ln
6) cos sin

7) sin cos

8) tg

cos

9) cotg

sin

u u

u
u

du

u C
u

e du e C

a

a du C a

a

udu u C

du

u C
u

du

u C
u

 

   

 

 

 

 



5. Ví dụ: Các VD sau sử dụng các tính chất của nguyên hàm và nguyên hàm của hàm số hợp.

Trang 2

( ) ( )

f x dx F x C

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân Nguyễn Tiên Phong
1)



x  x dxx  x  2xC

2
5
)

2
5
3

(

2
3

2 2)



   








 dx x x C

x

x 2 2 2ln

4 2



(2ex 5cosx)dx2ex 5sinxC 4) dx x x C

x

x    












4sin cos32 4cos 3tg



   

















 

C
x
x

x
dx
x
x
x
dx
x

x

x 2 2

5
2
3

3 2 5 3

1
2
1
2
3



  





 x x C

x
d
x

dx

1
2
ln
2
1
1
2

)
1
2
(
2
1



     

















C
x
x
x
dx
x
x
dx

x
x
x

1
ln
1

1
1
2
1

2
3

2 2 2



x dx



x d x  sin(3x1)C
3

1
)
1
3
(
)
1
3

cos(
3

1
)
1
3
cos(



x x  dx



x  d x   cos(2x 1)C
4

1
)
1
2
(
)
1
2
sin(
4
1
)
1
2

sin( 2 2 2 2

10)



x 7dx



x 7d x  (5x3)8C

1
)
3
5
(
)
3
5
(
5
1
)

3
5
(

11)







 xC

x
x
d
x

dx

3
tg

3
1
3
cos

)
3
(
3
1
3

cos2 2

12)



x xdx



xd x  xC

4
sin
)
(sin
sin

cos
sin

4
3

13)







  




 dx d x C

x x x x

2
ln
2
2
)
1
(
2
2
1
2

. 1 1 2 1

2
2

14)



x dx



x 2d x  x 3 C

)
5
3
(
9
2
)
5
3
(
)
5
3
(
3
1
5
3

Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau.



      





1
1

I

5
2
)
1
2
(
I

cos

sin
sin
I

I1 2 3 4 4

x
x

dx
dx

x
x

dx
x
x

x
tgxdx

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân Nguyễn Tiên Phong






































































































x
xdx
e
e
dx
e
dx
e
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x

x
dx
x
x
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
x
dx
dx
x
x
x
x
dx

x
dx
x
x
e
dx
e
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
a
x
dx
dx
x
x
dx
x
dx
x
b

x
a
x
x
dx
x
x
x
x
x
xdx
a
a
x
dx
dx
x
x
x
x
x
xdx
x
xdx
x
x
dx
x
x
dx

dx
x
x
xdx
x
dx
x
dx
x
dx
dx
x
x
x
x
x
dx
xdx
x
x
dx
xdx
xdx
x
x
x
x
x
x
sin

1
cos
I

1
)
1
(
I

1
I
)
1
3
(
)
1
2
(
I
)
1
(
)
2
3
(
I
)

4
11
(
I

)
1
(
9
3
2
I
1
5
3
I

2
I

)
1
(
I

)
5
1
(
I

5
2
I

)
1
(
I

)
ln(ln
ln
I

1
1
2
I
9
I

1
I

1
I

1
I

)
2
)(
1
(
I
2
I

4
I

9
I

I

1
3
)
3
4
(
I
3
1
I

cos
sin

cos
sin
I

cos
sin
cos
sin
I
2
cos
sin
I

)
0
(
I

cos
sin
cos
sin
I

cos
sin
I
sin

cos
I

cos
sin
I

cos
sin
I

)
tg
(sin
I
tg
I

cos
I

cos
1
I

2
cos
1
I

cos
sin
cos
sin
I
2
sin
1
I

3
cos
sin
I

cos
I

sin
I

cos
I
5
50
49
48
5 4
2
47

5 2
2
46
5 3
45
10
2
44
2
43
5
42
100
2
41
10
2
3
40
39
10
38
37
2
36
3
2
35
2
34

33
32
2
2
31
2
30
8
3
29
2
28
2
2
27
3
26
3
25
2
2
2
2
24
3
23
22
2
2
21

20
2
3
19
3
18
2
17
16
2
15
2
14
13
12
11
2
2
10
9
8
4
7
3
6
2
5

§1. Tích phân
1. Định nghĩa:

Cho hàm số f x( ) liên tục và có nguyên hàm F x( ) trên đoạn



a b;



.Tích phân từ a đến b của hàm số f x( ) là

1số, ký hiệu b ( )

a f x dx



,tính theo cơng thức:

Ví dụ: 1)

1
3
1 2
0
0
1
3 3
x

x dx  



2) 2 2

0 cosxdx sinx sin 2 sin 0 1




   



3) 1 1 1 0

0 0 1

x x

e dx e e  e  e



Trang 4

( ) ( ) ( ) ( )

b b

a

a f x dx F x F b  F a

</div>

chuyen de nguyen ham





<sub></sub>







<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

































<sub></sub>



<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>











































