Ung dung cua Tich vo huong

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (144.03 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ph¸t triĨn t duy cho häc sinh qua dạy

học Tích vô hớng

nh ngha:

(Cú nhiu nh ngha tích vơ hớng của hai véc tơ, ở đây ta chỉ nêu

một số định nghĩa quen thuộc trong chơng trình phổ thơng).

Cho hai véc tơ u,v(0) tích vơ hớng của hai vec tơ đó kí hiệu là u.vđợc xác định 
nh sau: u.vu.v.cosu,v.

Trong hệ toạ độ Oxy tích vơ hớng cịn đợc xác định nh sau:
Cho u



x1,y1

 

,v x2,y2






khi đó u.v x1.x2 y1.y2




.
Trong hệ toạ độ oxyz tích vô hớng cũng đợc xác định .
Cho u



x1,y1,z1

 

,v x2,y2,z2






khi ú u.v x1x2 y1y2 z1z2

.
Ngoài ra ta còn viÕt



 2 2 2



2
1

.v u v u v

u      .

Từ định nghĩa ban đầu ta có thể suy ra rằng u.vu.v. (*)

Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức.

ThÝ dô 1. Cho ba sè x,y,zd¬ng. Chøng minh r»ng:

.
2

2
2

2 x y z

y
x

z

x
z

y
z
y

x  








Giải. Trong hệ toạ độ Oxyz lấy ; ; ,v



y z; z x; x y



,
y

x
z
x
z

y
z
y

x

u   



















Theo (*) ta suy ra:

  . .

2
2
2

y
x
x
z
z
y
y
x

z
x
z

y
z
y

x
z

y

x      



















Hay

2
2

2 x y z

y
x

z
x
z

y
z

y

x  







 . (®pcm)

DÊu = xảy ra khi hai véc tơ cùng hớng x y z.

y
x

z
x
z

y
z
y

x












ThÝ dơ 2. Víi bèn sè a,b,c,d bÊt k×, cmr: a2b2  c2d2 ac2bd2 .

Giải. Chọn ba véc tơ wac,bd ,ua,b ,vc,d ta cã:

w.u v a c2 b d2

Mặt khác: w.u v w.u v a c2 b d2.



a2 b2 c2 d2















   




Từ hai điều trên suy ra: a2 b2 c2 d2 a c2 b d2








</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ThÝ dơ 3. Trong tam gi¸c ABC chøng minh r»ng: .
2
3
cos
cos

cosA B C 

Giải. Gọi đờng trịn (I;r) nội tiếp ABC có các tiếp điểm A1,B1,C1 lần lợt thuộc

AB
CA

BC, , khi đó xét:

2
1 1 1 0.

IA IB IC

 
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

2 1. 1 1. 1 1. 1 0.

1
2
1
2

1  





















IA
IC
IC

IB
IB
IA
IC
IB

IA (1)

Mµ ; . .cos ; . .cos ; . 2.cos .

1
2
1
1
2
1
1
1
1

1 IB IC r IA IB r C IB IC r A IC1 IA r B

IA      











Nªn
(1) 3. 2 2. 2cos cos cos  0.







 r r A B C

 .

2
3
cos
cos

cosA B C

Dễ thấy đấu bằng có đợc khi I trùng với G hay tam giác ABC đều.

ThÝ dô 4. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC cã: .
4
9
sin

sin

sin2 2 2




 B C

A Từ đó cmr:

.
2
3
.
3
sin
sin

sinA B C 

Giải. Gọi (O;R) là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi đó xét:
0.
2













OC
OB
OA

2 2 2 2 . . . 0
























OA
OC
OC
OB
OB
OA
OC
OB

OA (1)

Ta cã: 2. . 2 2 2 2 2 4 2sin2 .

2
2

2 OB OA OB OA OB AB R R C

OA
OB

OA      






 













Tơng tự cho hai tích vơ hớng cịn lại ta thu đợc:
(1) 9. 2 4. 2.



sin2 sin2 sin2









 R R A B C

 .

9
sin

sin

sin2 2 2




 B C

A

Dấu bằng có đợc khi O trùng với Ghay tam giác ABCđều.

§Ĩ chøng minh: .

2
3
3
sin
sin

sinA B C Ta chän usinA;sinB;sinC,v1;1;1 và áp

dụng (*) ta có ngay: .

2
3

3
4
9
.
3
sin
sin
sin
.
3
sin
sin

sin 2 2 2








 B C A B C

A

Dấu bằng đạt đợc khi tam giác ABCđều.

Vận dụng trong các bài toán liên quan đến ph ơng trỡnh v

hệ ph ơng trình.

Thí dụ 5. Giải phơng trình sau: 9.
1
2
2

x x

x

Giải. §iỊu kiƯn x 0.

Chän
















1
;
1

1
,
1
;
2
2
x
x
x
v
x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

u
v



3 cosx
sinx

1
1
.
1
8
1










 x x

x
x

Nh vậy dấu bằng đạt đợc khi: .

7
1
1

1
2
2






 x

x
x

Kết luận phơng trình đã cho có nghiệm
7
1

x .

Thí dụ 6. Giải phơng trình sinx 3.cosx1.

Giải:

Đặt u

3;1 ,

v

cos ;sinx x

, suy ra: 2, 1,





,
6

u              v  OA u  sđ



             OA v  ,



x.
Khi đó pt trở thành: u v . 1.Hay: u v. .cos ,

 

u v 1

   

 

2.cos ,u v 1

    cos ,

 

u v

   

 

, .
3

u v 

   

Theo hƯ thøc Sa- L¬ ta cã:



              OA v,

 

              OA u,      

  

          u v, k.2 (k Z )





6 3

OA v       k 

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 









, .2

OA v k









 


 

  


 
 

.2
2

.2
6

x k









 


 

  



(k Z ).

ThÝ dô 7. Giải hệ phơng trình sau:

0

1

2
2
2

zy

z

zx

y

yz

x

Giải. Chọn ba véc tơ: uy;z,vx;z,wy; x.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Từ phơng trình thứ hai suy ra : u.w0

NÕu u0 th× suy ra v,w céng tuyÕn x2yz0 trái với phơng trình đầu.

Nh vậy u0 hay yz0. Từ pt đầu x2yz 0 x1.

Kiểm tra lại ta có nghiệm của hệ (x;y;z) là: (1;0;0) và (-1;0;0).

Thí dụ 8. Giải hệ phơng trình sau: 2 2 2

3 3 3

1
1

x y z

x y z

  




  




  



Giải. Chọn u x y z v x y z



; ; ,







2; ;2 2



từ đề bài suy ra u 1, .u v x3 y3 z3 1.

Mặt khác ta lại cã v x4 y4 z4 1 2



x y2 2 y z2 2 z x2 2



1.

       



Nªn suy ra u v . 1.

Nh vậy dẫn đến









1, 0, 0

1 0

0, 1, 0

cos , 1

0, 0, 1

, 0

xy

x y z

v yz

x y z

zx
u v

x y z

u v



  




  

       

  




 

    



 




 

Thử lại ta đợc nghiệm của hệ là



x y z; ;

 

1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1

 



ThÝ dơ 9. Gi¶i hƯ







 





 







































2
2
2

1

3

2

0

3

2

0

1 z

y

z

x

z

x

y

z

x

yz

y

x

Gi¶i. Chän ux;y ,v y1;z,w2z 3;x z.

Tõ pt ®Çu suy ra: u.v0. (1)
Tõ pt hai suy ra: u.w 0. (2)
Tõ pt ba suy ra: v2 w2

 . (3)

NÕu u0  xy 0 thay vào hệ suy ra: z 1 hoặc z 2.
Nếu u0 tõ (1) vµ (2) suy ra v,w céng tuyÕn.

Mµ tõ (3) cã v2 w2

 nªn ta suy ra: vw.

Víi

























zx

zy

zxz

zy

wv

2

22

321 

Thay y z, vào (1) ta đợc .

3
4
,
3
2
,
3
8




 y z

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Víi

























0

24

231 x

zy

xzz

z

y

wv



Thay vào (1) ta đợc x0,y 4,z 0 hoặc x 0,y 0,z 2.

KÕt luËn nghiƯm cđa hƯ (x;y;z) lµ: (0;0;1), (0;0;2), (0;4;0) vµ .
3
4
;
3
2
;
3
8









ThÝ dơ 10. Gi¶ sư hƯ

















16

3

2
2

z

yz

y

xy

x

cã nghiƯm. Cmr: xyyzzx8.

Gi¶i. Chän 
























2
;
2

3
,
2

3
;
2

z

y
z
v
x
x
y

u  . Tõ hÖ ta cã: u 3,v 4.

Mặt khác: uv xyyzzx
2

3
.

, mà . . 4 3.


u v
v

u  

Nh vËy suy ra: xyyzzx8.(®pcm).

ThÝ dơ 11. Cho a,b,c,d R. Cã a2b2c2d2 1 vµ acbd 0. TÝnh abcd.

Giải. Chọn ua;b,vc;d. Khi đó theo đề bài có: u v 1 và u.v0.

Do u.v0 nªn ua;b céng tun víi w d;c.Theo gt cã u w 1.Nªn  uw

NÕu











.0















ab

dc

ab

dc

cb

d

a

w

u



NÕu











.0















ab

dc

ab

dc

c

b

da

w

u



KÕt luËn: abdc0.

ThÝ dơ 12. Gi¶ sư hƯ























b

ay

cx

a

cy

bx

c

by

ax

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Giải. Chọn ua;b;c,vb;c;a,wc;a;b và mx;y;1 . Nh vậy hệ tơng đơng với:













0 .

m

w

m

v

m

u



, do m0 nªn ta suy ra ba vÐc t¬

a b c vb c a wc a b

u ; ; , ; ; ,  ; ; là đồng phẳng. Mặt khác ta dễ dàng kiểm tra đợc các góc

u,vv,w w,u. Điều này tơng đơng với uvw hoặc u,vv,w w,u=

2

.
NÕu uvw th×  abc a3b3c3 3abc.(đpcm)

Nếu u,v v,ww,u=

3
2

thì suy ra uvw







.0

























a

b

c

b

a

c

a

c

b

c

b

a

Theo hằng đẳng thức

a b c



a b c ab bc ca



abc

c
b

a3 3 3 3    2 2 2  
 a3b3c3 3abc0 a3b3c3 3abc.(®pcm)

ThÝ dơ 13.Gi¶ sư hƯ















4

8

2
2
2

zx

yz

xy

z

y

x

cã nghiƯm, cmr: .

3
4
,
,
3
4




 x y z

Gi¶i. (Qui íc sè 0 cã dấu dơng hoặc âm).

Do vai trũ ca x y z, , là nh nhau nên ta chỉ cần chứng minh cho biến x là đủ.
Từ hệ ta chỉ ra ngay đợc x y z, , cùng dấu. Thật vậy khơng mất tổng qt:

Gi¶ sư x,y 0;z0.Ta 4.

2
8
2

2
4

2
2
2
2
2











 xy x y x y z ( Vô lí).

Giả sử x0;y,z0. Ta suy ra: 4

2
8
2

2
4

2
2
2
2
2









yz y z x y z .(Vô lí).

Nên ba số x,y,z 0. hoặc x,y,z0.

Ta cã xyz2x2y2z22xyyzzx, theo gt suy ra:























4
4
16

z

y
x

z
y
x
z
y
x

-Trêng hỵp xyz 4  x,y,z 0.

Trong hệ tọa độ oxyz chọn điểm Mx;y;z thay đổi, chọn A1;1;1 nh vậy

 ; ; ,  1;1;1



OA
z
y
x

OM tõ gt   8,  3




OA

OM và OM .OA xyz4. Từ đây suy

ra khix,y,z thay i thỡ

OM luôn nằm trong góc phần tám thứ nhất và tạo với OA

mt gúc khụng i. Chiếu M lên trục Oxta xác định đợc hoành độ x hay
.cos( , )

x OM OM i               , nh vậy x đạt giá trị lớn nhất phụ thuộc vào góc (OM i               , ). Xét trong
góc tam diện (OM OA Ox, , ) tổng hai góc tam diện ln lớn hơn góc cịn lại, OM OA ,  ,

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>



OA i ,



khơng đổi nên góc(OM i  , ) đạt lớn nhất, nhỏ nhất khi chỉ khi ba véc tơ

 ; ; ,  1;1;1



OA
z
y
x

OM và i1;0;0 đồng phẳng OM,OA .i 0 yz.











 

Víi y z

thay vào hệ đợc










3
4
0
x
x

.
Tøc lµ trong trờng hợp này

3
4

0x .

- Trờng hợp xyz 4 x,y,z 0. Đặt x a;y b;z cvới a,b,c0 ta quay

vỊ trêng hỵp võa xÐt 0.

3
4
3
4
0

3
4

0        

 a x x

Nh vËy từ hai trờng hợp cho ta kết quả .
3
4
3




 x

Vai trị x,y,z nh nhau nên ta có đợc .
3
4
,
,
3
4




 x y z (®pcm)

Cuối cùng xin đa ra một bài tốn hình học nhng cách giải lại mang đậm bản chất đại
số.

Thí dụ 14. Cho hình chóp S ABC. có SA SB SC, , vng góc với nhau đơi một, M là một
điểm bất kì thuộc phần trong tam giác ABC. Gọi   , , lần lợt là góc giữa đờng thẳng

SM víi SA SB SC, , . Chøng minh r»ng cos2 cos2 cos2 1.

   

Giải. Lấy trên SM SA SB SC, , , các véc tơ đơn vị lần lợt là m, a, b, c. Theo đề bài suy
ra :

- Ba véc tơ a b c, ,  vng góc với nhau đơi một.

-Tồn tại duy nhất bộ số thực x y z, , để m x a y b z c . . . (1)

Từ (1) suy ra x2 y2 z2 1

   (*)
Nhân hai vế (1)lần lợt với các véc tơ a, b, c và bình phơng lên ta suy ra

2 cos2

x ,y2 cos2 , z2 cos2

Nh vËy theo (*) suy ra: cos2 cos2 cos2 1.

   (®pcm).

</div>

Ung dung cua Tich vo huong

Ph¸t triĨn t duy cho häc sinh qua dạy

học Tích vô hớng

<i><b>nh ngha: </b></i>



 





 















<sub></sub>

<sub></sub>













 

 

 

 



 

  













0

0

1

<i>zy</i>

<i>z</i>

<i>zx</i>

<i>y</i>

<i>yz</i>

<i>x</i>









<sub></sub>

<sub></sub>











 

 

 









 





 

 





















