Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán PTNK ĐHQG TP

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Ngày 11 tháng 6 năm 2014 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán PTNK ĐHQG TP.HCM năm học 2012-2013 - Diễn đàn Toán học

1/3

Chuyên mục: Đề thi - Kiểm tra THCS

Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán PTNK ĐHQG

TP.HCM năm học 2012-2013

Ban Biên Tập

Thứ tư, 06 Tháng 6 2012 15:47

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG PHỔ THƠNG NĂNG KHIẾU

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013
Mơn thi: TỐN (chun)

Ngày thi: 06/06/2012

<i>Thời gian làm bài: 150 phút (k hơng tính thời gian giao đề)</i>

---Câu I:

1) Giải hệ phương trình

2) Cho hình vuông cạnh . M và N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh AB và BC sao

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

(x − y = 2z −

)

z

(y − z = 2x −

)

x

(z − x = 2y −

)

y

ABCD

a

=

= x

Ngày 11 tháng 6 năm 2014 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán PTNK ĐHQG TP.HCM năm học 2012-2013 - Diễn đàn Toán học

2/3

cho với . Các đường thẳng qua song song với BD
lần lượt cắt AD tại Q và CD tại P. Tính diện tích tứ giác theo và và tìm x sao cho
diện tích này lớn nhất.

Câu II: Số nguyên dương được gọi là số điều hòa nếu như tổng các bình phương của các
ước dương của nó (kể cả 1 và ) đúng bằng .

a) Chứng minh rằng số là số điều hòa.

b) Chứng minh rằng số (p nguyên tố) không phải là số điều hòa.

c) Chứng minh rằng nếu số ( là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hịa thì
là số chính phương.

Câu III:

a) Tìm giá trị thỏa mãn

b) Chứng minh rằng với các số không âm thỏa mãn . Ta có bất đẳng
thức

Câu IV: Cho tam giác vuông tại . Trên đường thẳng vng góc với tại ta lấy
điểm di động cùng phía với đối với đường thẳng .

a) Chứng minh rằng nếu thì trên cạnh AB tồn tại hai điểm sao cho
b) Giả sử điều kiện trên được thỏa mãn. Đường thẳng qua song song với cắt đường
thẳng qua song song với tại . Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một
điểm cố định.

Câu V: Cho đa giác đều cạnh. Dùng 3 màu xanh,đỏ, vàng tô màu các đỉnh đa giác một cách
tùy ý (mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều được tô màu). Cho phép thực hiện
thao tác sau đây: chọn hai đỉnh kề nhau bất kì (nghĩa là hai đỉnh liên tiếp) khác màu và thay màu
của hai đỉnh đó bằng màu cịn lại.

a) Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta ln ln làm cho các đỉnh
đa giác chỉ cịn được tô bởi hai màu.

b) Chứng minh rằng với và , bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta có

=

= x

AM

AB

CN

CB

0 < x < 1

M, N

MNPQ

a x

n

n

(n + 3)

287

n = p

n = pq p, q

n + 2

x ∈ R

x

− 5x + 4 + 2

√

− −

x − 1

−−−

≥ 0

a, b, c

a + b + c = 3

+

+

≥ ab + bc + ac

a

√

√

b

√

c

ABC

A

AB

B

D

C

AB

AC + BD < CD

M, N

=

=

CMD

ˆ

CND

ˆ

90

A

MD

B

MC

E

DE

n

Ngày 11 tháng 6 năm 2014 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán PTNK ĐHQG TP.HCM năm học 2012-2013 - Diễn đàn Toán học

3/3

thể làm cho các đỉnh của đa giác chỉ cịn được tơ bởi một màu.

• 5
• 1
• 10