<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

I. Ph ơng pháp giải một số ph ơng trình bậc cao đặc biệt
<b>1. Ph ơng trình tam thức : phơng trình có dạng: ax</b>2n_{+ bx}n _{+ c = 0 (a ≠ 0) (*)}

<i>Phơng pháp giải: đặt y = xn_{ta đa về dạng ay}2_{+ by + c = 0}</i>

<i>L</i>

<i> u ý : Với n = 2 khi đó phơng trình (*) có dạng: ax4_{+ bx}2_{+ c = 0 ( a≠ 0) đợc gọi l phng}</i>

<i>trình trùng phơng.</i>

<b>VD1: Giải phơng trình: x</b>4_-10x2_{+ 24 = 0 (phơng trình trùng phơng) (1)}

Gii: t x2_{= y vì x}2 ≥ 0 nên y ≥ 0 khi đó phơng trình có dạng: y2_{- 10y + 24 = 0}_(1’)

=(-5)2_{-1.24 = 25 - 24 = 1 phơng trình (1)có 2 nghiệm phân biệt :}

y1 = 5 - 1= 4 (tho¶ m·n); y2 = 5 + 1 = 6 ( tho¶ m·n)

y1 = 4 => x2 = 4 => x1 = 2; x2 = -2

y2 = 6 => x2 = 6 => x3  6; x4 6

Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm: x1 = 2; x2 = -2; x3 = 6 ; x4 = - 6

<b>VD2 Gi¶i phơng trình: -2x</b>4_{+ 15x}2_{+ 27 = 0 (phơng trình trùng phơng) (2)}

Giải: -2x4_{+ 15x}2_{+ 27 = 0  2x}2_{– 15x – 27 = 0}

đặt x2_{= y vì x}2 ≥ 0 nên y ≥ 0 khi đó phơng trình có dạng: 2y2_{- 15y - 27 = 0 (2’)}

= 152 - 4.2.(-27) = 225 + 216 = 441 => =21 phơng trình (2) có 2 nghiệm:

2
3
2

2
21
15

1

.

y (loại vì không thoả mÃn điều kiện); 9

2
2

21
15

2

.

y (thoả mÃn điều kiện)

y2 = 9 => x2 = 9 => x1 = 3; x2 = -3

Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm là: x1 = 3; x2 = -3

<b>VD3: Giải phơng trình: x</b>4₊ 2
15
19

<i>x</i> +

5
2

= 0 (3)  15x4_{+ 19x}2_{+ 6 = 0}

Giải: Đặt y = x2 Điều kiện y ≥ 0. khi đó phơng trình có dạng : 15y2_{+ 19y + 6 = 0 (3’)}

 = 192_{– 4.15.6 = 1; } ₁

phơng trình có 2 nghiệm

y1 =

5
3

30

1
19

(loại); y2 =

3
2
30

1
19

(loại)
Vậy phơng trình (3) vô nghiệm

<b>VD4: Giải phơng trình: x</b>6_{- 9x}3_{+ 8 = 0 (4)}

Giải: Đặt y = x3_{khi đó PT(4) có dạng: y}2_{- 9y + 8 = 0 (4’)}

V× 1 + (-9) + 8 = 0 nªn pt(4'_{) cã 2 nghiƯm y}

1 = 1; y2 = 8

y1 = 1 => x3 = 1  x = 1;

y2 = 9 => x3 = 8 x = 2

Vậy phơng trình cã 2 nghiƯm lµ x1 = 1 ; x2 = 2

<i>Lu ý: Nếu phơng trình có tổng các hệ số bằng 0 thì phơng trình luôn có một nghiệm bằng 1.</i>

<b>Bi tp ngh:</b>

Giải các phơng trình sau:

a. 2x4_{- 8x}2_{+ 6 = 0; x}6 _{- 5x}3_{- 6 = 0; - 2x}4_{+ 7x}2_{- 3 = 0 ; 6x}12_{– x}6 _{- 1 = 0}

b. x6 _{+ x}4_{+ x}2_{= 0;5x}4_{– 13x}2_{+ 6 = 0; x}6_-

2
7

x3₊

3
25

= 0

<b>2. Ph ơng trình đối xứng : phơng trình a</b>nxn + an-1xn-1 + ...+ a1x + a0 = 0 (an 0) gọi là phơng

trình đối xứng nếu các hệ số của những số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau, nghĩa
là: an = a0

an-1 = a1

an-2 = a2

...

<i>L</i>

<i> u ý: Nếu a là một nghiệm của phơng trình đối xứng thì </i>

a
1

<i> cũng là nghiệm của phơng trình đó.</i>

2.1 Ph ơng trình đối xứng bậc chẵn : là phơng trình có dạng:
a2nx2n + a2n-1x2n-1 + ...+ a1x + a0 = 0 (a2n 0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a2n-1= a1

...

<i>Phơng pháp giải:Vì x = 0 khơng phải là nghiệm của phơng trình, nên ta chia cả 2 vế của phơng</i>
<i>trình cho xn_{. Sau đó đặt y = x +}</i>

x
1

<i> </i>
<i>Vì </i> 1 2

x

x <i>nên y phải có điều kiện là /y/ 2</i>

<b>VD 5: Giải các phơng trình: x</b>4_{+ 2x}3_{- 13x}2_{+ 2x}_{+ 1 = 0 (5)}

Giải: Ta thấy rằng x = 0 khơng phải là nghiệm của phơng trình. Chia cả 2 vế của phơng trình (5)
cho x2_{ta đợc: x}2_{+ 2x - 13 +}2 1 ₀

2

x
x

)
'
5
(
0
13
1
2
1

0
13
2
2
1
2
2
2
2





































<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Đặt y = x +

x

1 _{®iỊu kiƯn |y| ≥ 2}

Ta cã: 1 1 2 1 1 2 2 2

2
2
2
2



























 y
x
x
x
.
x
.
x
x
x
x

PT(5’) cã d¹ng: y2_{+ 2y - 15 = 0;} ₁₁₅₁₆

phơng trình có 2 nghiệm:y1 = -1 - 4 = -5 (tho¶ m·n); y2 = -1 + 4 = 3 (tho¶ m·n)

+ y1 = -5 => x +

x
1

= -5 =>x2_{+ 5x +1 = 0}

 = 25 - 4 = 21 ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm:

2
21
5

2
21
5
2
1






 ; x

x

+ y2 = 3 => x +

x
1

= 3 => x2_{- 3x +1 = 0 ;}

XÐt = (-3)2 - 4 = 5 Phơng trình có 2 nghiệm:

2
5
3
2
5
3

4
3

; x

x

Vậy phơng trình (5) có 4 nghiệm là:

2
21
5
2
21
5
2
1






 ; x

x ;
2

5
3
2
5
3
4
3




 ; x

x

<b>VD6: Giải phơng trình: x</b>4_{- 3x}3_{+ 4x}2_-3x_{+ 1 = 0}

Giải: x= 0 không phải là nghiệm nên ta chia cả 2 vế của phơng trình cho x2_{ta c:}
0
4
1
3
1
2
2

x
x
x
x

Đặt y = x +

x

1 _{với |y| ≥2 th×}

2
2
1
1 2
2
2
2












 y
x
x
x
x

ta đợc: y2_{- 3y + 2 = 0}

=> y1 = 1 (lo¹i) ; y2 = 2 (tho¶ m·n)

Víi y2 = 2 => x +

x
1

= 2 =>x2_{-2x + 1 = 0 <=>(x- 1)}2_{= 0 <=> x =1}

Vậy phơng trình có một nghiệm là : x = 1

<b>VD7. Giải phơng trình 2x</b>4_{– 5x}3_{+ 13x}2_{– 5x + 2 = 0 (7)}

Giải: Vì x = 0 khơng phải là một nghiệm của phơng trình nên ta chia cả 2 vế cho x2_{ta c:}
0

13
1
5
1

2 2 ₂

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Đặt y = x +

<i>x</i>

1 _{víi |y| ≥2 th×}

2
2

1

1 2

2
2

2

y

x
x
x
x

Phơng trình (7) có dạng 2(y2_{-2) - 5y +13 = 0  2y}2_{– 5y + 9 = 0 (7’’)}

 = (-5)2_{– 4.2.9 = 25 72 =-47 < 0}

Phơng trình (7) vô nghiệm. Vậy phơng trình (7) vô nghiệm

<b>VD 8. x</b>6_-3x5_{+ 6x}4_{- 7x}3_{+ 6x}2_{- 3x + 1= 0 (8)}

Giải: Vì x = 0 khơng phải là một nghiệm của phơng trình nên ta chia cả 2 v cho x3_{ta c:}
0

7
1
6
1
3

1

2
2
3

3

x
x
x

x
x

x (8)

Đặt y = x +

x

1 _{víi |y| ≥2}

th× 1 1 2 2 2

2
2

2














 y

x
x
x
x

y y

x
x
x
.
x
x
x
x

x 1 1 3 1 1 3 3

3
3

3
























Thay vào pt(8’) ta đợc: y3_{- 3y - 3(y}2_{- 2) + 6y - 7 = 0}

 y3_-3y2_{+ 3y -1 = 0}

 (y - 1)3_{= 0}

 y = 1 loại
Vậy phơng trình (8) vô nghiệm

2.2 Ph ơng trình đối xứng bậc lẻ : có dạng: a2n+1x2n+1 + a2nx2n + ...+ a1x + a0 = 0

Trong đó: a2n+1 = a0

a2n = a1

a2n-1 = a2

...

<i>Phơng pháp giải:</i>

<i>Phng trỡnh i xng bc l ln có nghiệm là -1 nên vế trái của phơng trình bậc lẻ ln chia</i>
<i>hết cho x + 1.</i>

<i>L</i>

<i> u ý : Khi chia 2 vế của phơng trình đối xứng bậc lẻ ẩn số x cho x+ 1 ta đợc một phơng trình đối</i>
<i>xứng bậc chẵn.</i>

<b>VD9: Giải phơng trình: 2x</b>3_{+ 7x}2_{+ 7x + 2 = 0 (9)}

Giải: 2x3_{+ 7x}2_{+ 7x + 2 = 0 (Đây là pt đối xứng bậc lẻ nên có 1 nghiệm là -1)}

 (x + 1)(2x2_{+ 5x + 2) = 0}

 (x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0

Phơng trình (9) có 3 nghiƯm lµ: x1 = -1; x2 = -2; x3 =

2
1

<b>VD10: Giải phơng trình: x</b>5_{+ 3x}4_-11x3_-11x2_{+ 3x + 1 = 0 (10)}

Gi¶i:  (x +1)(x4_{+ 2x}3_-13x2_{+2x +1) = 0}

 












)
''
10
(
0
1
2
13
2

)
'
10
(
0

1

2
3

4 <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

Giải phơng trình (10’) ta đợc x = -1

Giải phơng trình (10’’): ta thấy phơng trình (10’’) là phơng trình đối xứng bậc chẵn có 4

nghiệm:

2
21
5
2

21
5

2
1








 ; x

x ;

2
5
3
2

5

3

4
3





 ; x

x <b> (ó gii VD5).</b>

Vậy phơng trình (10) có 5 nghiệm:

2
21
5
2

21
5

2
1








 ; x

x ;

2
5
3
4




<i>x</i> ; x5 = -1

<b>VD11: Gi¶i phơng trình: x</b>5_{- 2x}4_+x3_{+ x}2_{- 2x + 1 = 0}

 (x + 1)(x4_{- 3x}3_{+ 4x}2_{- 3x + 1) = 0 (*)}

;
2

5
3
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
















)
''
11
(
0
1
3
4
3

)
'
11
(
0

1

2
3

4 <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

Giải phơng trình (11’) ta đợc x = -1

Giải phơng trình (11’’): ta thấy phơng trình (2) là phơng trình đối xứng bậc chẵn có 1 nghiệm là
<b>x = 1 (Đã giải ở VD6 )</b>

Vậy phơng trình (11) có hai nghiệm là: x1 = -1; x2 = 1

<b>VD 12: Giải phơng trình: x</b>7_{- 2x}6_{+ 3x}5_-x4_-x3_+3x2_{- 2x +1 = 0 (12)}

Gi¶i: x7_{- 2x}6_{+ 3x}5_-x4_-x3_+3x2_{- 2x +1 = 0}

 (x + 1)(x6_-3x5_{+ 6x}4_{- 7x}3_{+ 6x}2_{- 3x + 1) = 0}

_

















)
''
12
(
0
1
3
6
7
6
3

)
'
12
(
0

1

2
3

4
5

6 <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

Phơng trình (12’) có một nghiệm là x = -1
<b>Phơng trình (12’’) vơ nghiệm (đã giải ở VD8)</b>
Vậy phơng trình (12) có một nghiệm là x = -1

<b>Bài tập đề nghị: Giải các phơng trình sau:</b>

a. x4_{- 3x}3_{+ 6x}2_{+ 3x + 1 = 0}

b. x4_{+ 2x}3_{- 6x}2_{+ 2x + 1 = 0}

c. x4_{- x}3_{- x + 1 = 0}

d. x5_{- 3x}4_{+ 6x}3_{+ 6x}2_{- 3x + 1 = 0}

e. x4_{– 3x}3_{+ 6x}2_{+ 3x +1 ( Đề thi vào lớp 10 chuyªn Lª Hång Phong- TP Hå ChÝ Minh)}

f. x4_{+ 2x}3_{– 6x}2_{+ 2x +1 = 0 (Thi chuyªn A- Bùi Thị Xuân TP Hồ Chí Minh)}

g. x5_{– 5x}4_{+ 4x}3_{+ 4x}2_{-5x +1 = 0}

h. x6 _{- 5x}3_{+ 4x}2_{- 5x + 1 = 0}

<b>3. Ph ơng trình có dạng: (x + a)4_{+ (x + b)}_{= c}4</b>
<i>Phơng pháp giải: Ta đặt </i>xab y

2 <i>; råi ®a về phơng trình trùng phơng. Tuy nhiên trong trờng</i>

<i>hp (a + b)</i><i>2 ta thờng đặt y = x + a hoc y = x + b</i>

<b>VD 11: Giải phơng trình: (x + 3)</b>4_{+ (x + 5)}4_{= 2}

Giải: Đặt x + 4 = y khi đó phơng trình đã cho có dạng:
(y -1)4_{+ (y +1)}4₌₂

 y4_{- 4y}3_{+ 6y}2_{- 4y + 1+ y}4_{+ 4y}3_{+ 6y}2_{+ 4y + 1-2 = 0}

 2y4_{+ 12y}2_{= 0}_ _2y2_(y2_{+ 6)= 0}_ _{y = 0}

y = 0 => x+ 4 = 0 <=> x = - 4
Vậy phơng trình có một nghiệm là: x = - 4

<b>VD 12: Giải phơng trình (x – 2)</b>4_{+ (x – 3)}4_{= 1}

Giải: Đặt x – 3 = y => x – 2 = y + 1 khi đó phơng trình đã cho có dạng:
(1 + y)4_{+ y}4_{= 1}

 y4_{+ 4y}3_{+ 6y}2_{+ 4y + 1 + y}4_{= 1}

 2y4_{+ 4y}3_{+ 6y}2_{+ 4y = 0}

 2y( y3_{+ 2y}2_{+ 3y + 2) = 0}

 2y(y + 1)(y2_{+ y + 2) = 0}

 y = 0 hc y = -1
y = 0 => x -3 = 0  x = 3
y = -1 => x – 3 = -1  x = -2

Vậy phơng trình có hai nghiệm là: x1 = 3; x2 = -2

<b>Bài tập đề nghị </b>

a. x4_{+ (x - 1)}4_{= 97}

b. (x – 2)4_{+ (x - 6)}4_{= 82}

c. (x – 5)2_{+ (x 2)}4_{= 17}

II. Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình bậc cao khác

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>Phõn tớch đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác nhau nh: Đặt nhân tử chung,</i>
<i>nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức, thêm bớt hạng tử, tách hạng tử, thử nghiệm…; Sau đây tơi</i>
<i>chỉ trình bày 2 phơng pháp thờng sử dụng trong quá trình giải phơng trình bậc cao</i>

<i><b>1.1. Phân tích vế trái thành nhân tử bằng ph</b></i><b> ơng pháp thử nghiệm</b>

<i>Cơ sở của phơng pháp này là: một phơng trình anxn +an-1xn-1+ ...+a1x + a0 = 0</i>

<i>cú h số hữu tỉ (ai</i>



<i> Q </i>i 1;n<i>) bao giờ cng a c v phng trỡnh cú h s nguyờn.</i>

Định lý: Nếu phơng trình anxn +an-1xn-1+ ...+a1x + a0 = 0 (1) (ai

Z i 1;n). có nghiệm hữu tỉ
thì nghiƯm cã d¹ng x =

q
p

(trong đó : p là ớc của a0; q là ớc của an)

Hệ quả 1: Mỗi nghiệm ngun nếu có của phơng trình (1) đều là ớc a0

Hệ quả 2: Nếu an = 1 thì mỗi nghiệm hữu tỉ của (1) đều nguyên

<b>VD 13: Giải phơng trình: x</b>3_+6x2_{+ 2x + 12 = 0}

<i>Nhận xét: Ta có an = 1; a0 =12. Nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải là ớc</i>

<i>cđa 12. C¸c íc của 12 là: </i><i>1; </i><i>2; </i><i>3; </i><i> 4; </i><i>6; </i><i>12</i>

<i>Lần lợt thay các giá trị trên vào phơng trình ta thấy x = 6 là một nghiệm của PT</i>

Giải: x3_+6x2_{+ 2x + 12 = 0}

 (x+6)(x2_{+2) = 0}

 x + 6 = 0 (v× x2_{+ 2 > 0 víi mäi x)}

x = - 6

Vậy phơng trình có mét nghiƯm lµ: x1 = - 6

<b>VD 14: Giải phơng trình: x</b>4_{+ x}3_{- 7x}2_{- x} _{+ 6 = 0}

<i>Nhận xét: Ta có an = 1; a0 = 6. Nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải là ớc của</i>

<i>6. C¸c íc của 6 là: </i><i>1; </i><i>2; </i><i>3; </i><i>6 </i>

<i>Lần lợt thay các giá trị trên vào phơng trình ta thấy x= 1; x=-1; x= 2; x= -3 là nghiệm của </i>
<i>ph-ơng trình.</i>

Giải: x4_{+ x}3_{- 7x}2_{- x + 6 = 0}

 (x+1)(x-1)(x- 2)(x + 3) = 0

 x+ 1 = 0 hc x - 1 = 0 hc x - 2 = 0 hc x + 3 = 0
 x = -1 hc x= 1 hc x = 2 hc x= - 3

VËy phơng trình có 4 nghiệm là: x1 = 1; x2 = -1; x3 = 2; x4 = -3

<b>VD 15: Giải phơng trình: 2x</b>3_{+ x}2_{- 7x + 3 = 0}

<i>NhËn xÐt: Ta cã an = 2; a0 =3</i>

<i>Các ớc của 2 là: </i><i>1; </i><i>2, Các ớc của 3 lµ: </i><i>1; </i><i>2; </i><i>3</i>

<i>Nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải là thơng của phép chia ớc của 3 cho ớc</i>
<i>của 2. Nh vậy, các nghiệm cú th l: </i><i>1; </i><i>2; </i><i>3; </i>

2
3
2
1

;

<i>Lần lợt thay vào ta thấy phơng trình chỉ có một nghiệm hữu tỉ là x =</i>

2
1

Giải: 2x3_{+ x}2_{- 7x + 3 = 0}

 (2x -1)(x2_{+ x - 3) = 0}













)
(
x

x

)
(
x

2
0
3

1
0

1
2

2

gi¶i PT(1): 2x -1 = 0 <i> x =</i>

2
1

gi¶i PT(2): x2_{+ x - 3 = 0}

XÐt = 12 -4.(-3) = 13 phơng trình(2) có 2 nghiệm phân biệt:

2
13
1
2

13
1

2
1

; x

x Vậy

phơng trình có 3 nghiệm là :

2
13
1
;

2
13
1

2
1

<i>x</i>

<i>x</i> ; x3 =

2
1
<b>VD 16: tìm nghiệm nguyên của phơng trình x</b>3_{+ x}2_{+ 1 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Víi x =1 ta cã 13_{+ 1}2_{+ 1 = 3 0 => x = 1 không phải là nghiƯm}

Víi x = -1 ta cã (-1)3_{+ (-1)}2_{+ 1 = 1 ≠ 0 => x = -1 kh«ng phải là nghiệm}

Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên.

<i>L</i>

<i> u ý : NÕu a0 lín vµ nhiều ớc số thì việc tìm nghiệm nguyên của phơng trình gặp nhiều khó khăn</i>

<i>ta cú th da vo du hiu sau gim bt phộp th:</i>

Định lý: Nếu 0là nghiƯm cđa ®a thøc P(x) = anxn +an-1xn-1+ ...+a1x +a0 víi

ai



Z i 1;n. Khi đó

1
1
1

1









)
(
P
vµ
)
(
P

là nguyên

<b>VD 17: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x</b>4_{+ 2x}3_{- 4x}2_{- 5x - 6 = 0 (*)}

<i>Nhận xét: Nếu (*) có nghiệm ngun thì nghiệm đó phải là ớc của 6. Các ớc của 6 là: </i><i>1; </i>

<i>2; </i><i>3; </i>6

x 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6

1
1



)
(
P

-12 4 -6 3

5
12

7
12

1
1



 )
(
P

-2

2
3


2
3

3

Thay x= 2 và x= -3 vào pt(*) ta thấy nó thoả mÃn. Vậy phơng trình (*) có 2 nghiệm nguyên là x
= 2 và x = -3

<i>Chú ý: Việc tìm nghiệm hữu tỉ của phơng trình: anxn +an-1xn-1+ ...+a1x + a0 = 0 (1)</i>

<i>thờng đợc đa về tìm nghiệm nguyên của phơng trình:xn_+a</i>

<i>n-1 xn-1+ ...+a1x + a0 = 0 (2)</i>

<i>Chúng ta chuyển từ (1) sang (2) bằng cách nhân cả 2 vế của phơng trình (1) với ann-1 khi đó (1)</i>

<i>trë thµnh (1'_):</i> <i>_a</i>

<i>nnxn +an-1.ann-1 xn-1+ ...+a1.ann-1x + ann-1.a0 = 0</i>

<i>Đặt y=anx thì (1') trở thành:</i> <i>yn +an-1 yn-1+ ...+a1.ann-2y + ann-1.a0 = 0</i>
<b>VD 18: Tìm nghiệm hữu tỉ của phơng trình: 2x</b>3_{+ x}2_{- 7x + 3 = 0 (1)}

Giải: Nhân cả 2 vế của phơng trình với 22_{ta đợc: 2}3_x3_{+ 2}2_x2_{- 7.2}2_{x + 3.2}2_{= 0}

 (2x)3_{+ (2x)}2_{- 14.(2x) + 12 = 0}

Đặt 2x = y phơng trình trở thành: y3_{+ y}2_{- 14y + 12 = 0 (2)}

Nếu pt(2) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải là ớc của 12. Các ớc của 12 là: <i>1; </i><i>2; </i><i>3;</i>

<i>4; </i><i>6; </i><i>12</i>

P(1) = 0; P(-1) = 24

X 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 6 -6 12 -12

1
1



)
(
P

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1
1



 )

(
P

8 -24 6 -12

5
24

-8

7
24

5
24


13
24

11
24


Thư víi y=1; y= 2; y = 3; y= - 4 ta thÊy chØ cã y =1 tho¶ m·n.
y =1 => x =

2
1

Vậy phơng trình chỉ có một nghiệm hữu tỉ là x =

2
1

<b>1.2. Ph ng phỏp h s bt nh</b>

<b>VD 19: Giải phơng trình: x</b>3_{-12x + 16 = 0}

Giải: Nếu vế trái phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng: (x + a)(x2_{+ bx + c)}

Ta cã: (x + a)(x2_{+ bx + c) = x}3_{+ (a + b) x}2_{+ (ab + c)x + ac}

§ång nhÊt hƯ sè ta cã:




























4
4
4
16

12
0

b
c
a

ac
c
ab

b
a

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
















2
4
0
2
0
4
2
x
x
)
x
(
x

<b>VD 20. x</b>3_-4x2_{- 4x - 5 = 0}

Giải: Nếu vế trái phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng: (x + a)(x2_{+ bx + c)}

Ta cã: (x + a)(x2_{+ bx + c) = x}3_{+ (a + b) x}2_{+ (ab + c)x + ac}

§ång nhÊt hƯ sè ta cã:

























1
1
5
5
4
4
b
c
a
ac
c
ab
b
a

=> x3_{- 4x}2_{- 4x - 5 = 0 <=> (x - 5)(x}2_{+ x + 1) = 0}









)
(
x
x

)
(
x
2
0
1
1
0
5
2

gi¶i pt(1): x - 5 = 0 <=> x = 5

gi¶i pt(2): x2_{+ x + 1 = 0 <=> x}2_{+ 2.x.}

4
3
4
1
2
1


 = 0 <=> (x + 0
4
3
2
1 2



)

Ta cã: (x + 0
2
1 2



) víi mäi x, nên (x + 0
4
3
2
1 2

) với mọi x nên phơng trình (2) vô nghiệm.

Kết luận: Vậy phơng trình chỉ có mét nghiƯm duy nhÊt x = 5.

<b>VD 21: Gi¶i phơng trình: x</b>4_{+ 6x}3_{+ 11x}2_{+ 6x +1= 0 (1)}

Giải: Nếu vế trái phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng: (x2_+ax+b)(x2_{+cx+ d)}

Ta cã: (x2_{+ ax + b)(x}2_{+ cx + d) = x}4_{+ (a + c)x}3_{+ (b + d + ac)x}2_{+ (ad + bc)x + bd}

§ång nhÊt hƯ sè ta cã:





























1
3
1
3

1
6
11
6
d
c
b
a
bd
bc
ad
ac
d
b
c
a

x4_{+ 6x}3_{+ 11x}2_{+ 6x +1= 0 <=> (x}2_{+ 3x + 1) (x}2_{+ 3x + 1) = 0<=>(x}2_{+3x +1)}2_{= 0}

<=> x2_{+ 3x + 1= 0 (2)}

0
5
1
4
32





 . pt (2) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt:

2
5
3
2
5
3
2
1

; x

x

Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm kÐp:

2
5
3
2
5
3
2

1






 ; x

x

<b>VD 22. 2x</b>3_{- 5x}2_{+ 8x - 3 = 0}

Giải: nhân cả 2 vế với 22_{ta đợc:}

(2x)3_{- 5.(2x)}2_{+ 8.2.(2x) - 3. 2}2_{= 0}

<=>(2x)3_{- 5.(2x)}2_{+ 16.(2x) - 12 = 0}

Đặt y = 2x ta đợc: y3_{- 5y}2_{+ 16y - 12 = 0}

Nếu vế trái phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng:

(y + a)(y2_{+ by + c) = y}3_{+ (a + b)y}2_{+ (ab + c)y + ac}

§ång nhÊt hƯ sè ta cã:

























12
4
1
12
16
5
c
b
a
ac

c
ab
b
a

VËy y3_{- 5y}2_{+ 16y - 12 = 0 <=> (y -1)(y}2_{- 4y + 12) = 0 <=>}








)
(
y
y
)
(
y
2
0
12
4
1
0
1
2

gi¶i pt(1): y - 1 = 0 <=> y =1
y =1 => 2x = 1 => x=

2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

(y - 2)2_{+ 8 > 0 víi mäi y}

KÕt luận: Phơng trình có một nghiệm duy nhất x =

2
1
<b>VD 23. Giải phơng trình: x</b>4_{- 4x}3_{- 10x}2_{+ 37x - 14 = 0}

Giải: Nếu vế trái phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng: (x2_+ax+b)(x2_{+cx+ d)}

Ta cã: (x2_{+ ax + b)(x}2_{+ cx + d) = x}4_{+ (a + c)x}3_{+ (b + d + ac)x}2_{+ (ad + bc)x + bd}

§ång nhÊt hÖ sè ta cã:








































7
1
2
5

14
37

10
4

d
c
b
a

bd
bc
ad

ac
d
b

c
a

VËy x4_{- 4x}3_{- 10x}2_{+ 37x - 14 = 0 <=> (x}2_{-5x +2)(x}2_{+ x - 7) = 0}














)
(
x

x

)
(
x

x

2
0
7

1

0
2
5
2
2

Gi¶i pt(1): x2_{-5x + 2 = 0}

2
17
5

17
8
25
2
1









,
x

Gi¶i pt(2): x2_{+ x - 7 = 0}

2
29
1

29
28
1
4
3










,
x

VËy phơng trình có 4 nghiệm:

2
17
5
2

1

,

x ;

2
29
1
4
3

,
x

<b>Bi tp ngh:</b>

Giải các phơng trình
a. x3_{+ 2x}2_{+ x - 1 = 0}

b. 2x3_{+ 3x + 4 = 0}

c. x4_{+ 2x}3_{+ x + 5 = 0}

d. x4_{- 4x}2_{+ 7x – 3 = 0}

<b>2. Ph ng phỏp t n ph</b>

<b>VD 24: Giải các phơng trình:(x</b>2_{+ x)}2 _{+ 4(x}2_{+ x) -12 = 0 (*)}

Giải: Đặt x2_{+ x = y khi đó phơng trình (*) có dạng: y}2_{+ 4y - 12 = 0}

_= 22_{-1.(12) = 16;}
 = 4 =>y1 = -2 - 4= -6; y2 =-2 + 4 = 2

y1 = -6 => x2 + x = -6 <=> x2 + x + 6 = 0 (1)

= 12 - 4.6 = - 23 < 0 => pt(1) v« nghiƯm
y2 = 2 => x2 + x - 2 = 0 (2)

Phơng trình (2) có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = -2

Vậy phơng trình (*) cã 2 nghiÖm: x1 = 1; x2 = -2

<b>VD 25: Giải phơng trình: (x</b>2_{+ 5x)}2_{8x(x + 5) - 84 = 0}

cách giải: <=>(x2_{+ 5x)}2_{- 8(x}2_{+ 5x) - 84 = 0}

Đặt x2_{+ 5x = y}

Khi đó phơng trình có dạng: y2_{– 8y - 84 = 0}

giải phơng trình ta tìm đợc y => x

<b>VD 26: (x - 7)(x-5)(x-4)(x-2) = 72</b>

Gi¶i: (x - 7)(x-5)(x-4)(x-2) = 72
 [(x - 7)(x-2)][(x - 5)(x-4)] =72
 (x2_{- 9x + 14)(x}2_{- 9x + 20) = 72}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

 y2_{= 81}_ _{y =}

9
+ Víi y = 9 ta cã: x2_{- 9x +17 = 9 (1)}_ _x2_{- 9x + 8 = 0}

Phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 8

+ Víi y = - 9 ta cã: x2_{- 9x + 17 = -9}

 x2_{- 9x + 26 = 0}

= 81 - 4. 26 = 81 - 104 =- 23 < 0
=> phơng trình (2) vô nghiệm

Vậy phơng trình (*) có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 8

<b>VD 27 (6x +7)</b>2_{(3x +4)(x + 1) = 6}

Giải: nhân cả 2 vế với 12 ta đợc: (6x +7)2_{(6x + 8)(6x + 6) = 72}

Đặt y = 6x + 7 khi đó phơng trình trở thành:
y2_{(y +1)(y - 1) = 72}

<=>y2_(y2_{- 1) - 72 = 0}

<=> y4_{- y}2_{- 72= 0}

Đặt y2 = t; t 0 phơng trình trở thành: t2_{- t - 72 = 0}

 = 12 - 4.(-72) = 289;  = 17

8
2

17
1

1 




t (lo¹i); 9

2
17
1

2 




t (tho¶ m·n)

víi t2 = 9 => y2 = 9 => y = 3

+ Víi y = 3 => 3 = 6x + 7 <=> x =

3
2


+ Víi y = - 3 => -3 = 6x + 7 <=> x =

3
5

Vậy phơng trình có 2 nghiêm: x1 =

3
2

 ; x2 =

3
5

<b>Bài tập đề nghị </b>

Giải các phơng trình:

a. (x2_{+ x)}2_{+ 4(x}2_{+ x) = 12}

b. (x - 7)(x - 5)(x - 4)(x - 2) = 72
c. (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297
d. (x2_{-3x + 1)(x}2_{- 3x + 2) =2}

e. (6x + 7)2_{(3x + 4)(x + 1) = 6}

f. (8x + 7)2_{(4x + 3)(x + 1) = 3,5}

</div>

<!--links-->