Toan cuc tri

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (85.14 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Vận dụng hằng đẳng thức

vào giảI các bài toán cực trị.

+ (a+b)

2

= a

2

+ 2ab + b

2

+ (a-b)

2

= a

2

- 2ab + b

2

VËn dơng 1. VËn dơng tÝnh chÊt cđa luü thõa bËc hai. A2 ³ 0

+ (a+b)2³ 0

Suy ra: + (a+b)2+ K ³ K Þ Min[(a+b)2+ K] = K ; khi a = -b

+ K - (a+b)2 £ K Þ Max[K- (a-b)2] = K ; khi a = -b

+ (a-b)2 ³ 0

Suy ra: + (a-b)2+ K ³ K Þ Min [(a-b)2+ K] = K ; khi a = b.

+ K- (a-b)2 £ K Þ Max [K- (a-b)2] = K ; khi a = b.
Bài toá1. Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: C = -x 2 x+2

Gi¶i: C = + -x 2 2 x+ -2 2= x+22- 2 x+ + -2 1 3

=( x+ -2 1)2- 3³ - 3

Suy ra : Min C = -3 , khi x+ = Û2 1 x= - 1
Bài toán.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc.

A = (x + 2)2+ (x-1)2

Gi¶i:

A = x2+4x+4 + x2- 2x +1= 2(x2+x+5/2) = 2 ( x2+ 2x.1/2+ 1/4+ 9/4)

= 2(x+1/2)2 + 9/2 9

2
³

Suy ra Min A= 9/2 khi x = -1/2.

Bài toán.3. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2- 3x- 3y + 2009.

Với giá trị nào của x ; y thì P có giá trị nhỏ nhất , tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải

P = x2- 2x + 1+y 2- 2y + 1 + xy- x- y + 1 + 2006

= ( x- 1)2 + (y- 1)2+ (x-1)(y-1) + 2006.

= (x- 1)2+ 2(x- 1).1

2(y- 1)+
1
4(y-1)

2 + 3

4(y-1)

2+ 2006

1 3

1 ( 1) 2006 2006

2 4

y

x y

ổ - ửữ

ỗ

=ỗỗố - + ữữ+ - +

ứ .

Suy ra Min P= 2006 khi y = 1; x= 1.

Bài toán .4. Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:

P = (x- ay)2+ 6(x-ay) +x2 + 16y2- 8xy + 2x - 8y + 10 ; (x; y ; a : là các số

nguyên)

Gi¶i: P = [(x-ay)2+6(x-ay)+9] + (x2- 8xy + 16y2)+2(x-4y)+1

= (x-ay+3)2 + (x-4y)2+ 2(x-4y) + 1.

= (x-ay+3)2 +(x-4y+1)2 ³ 0

Suy ra Min P = 0 khi vµ chØ khi 3 0 4 2;(1)

4 1 0 4 1;(2)

x ay ay y

x y x y

ì - + = ï - =

ï ï

ï Û ï

í í

ï - + = ï =

-ï ï

ỵ ïỵ

(1) Û (a-4)y = 2 ; do x ; y ; a là số nguyên nên ta có:
(a-4;y)={(1;2),(2;1),(-1;-2),(-2;-1)

Thế vào ta có (x;y;a)={(3;1;6),(7;2;5),(-5;-1;2),(-9;-2;3)}

Bài toán .5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc:

2 3 2 1

M = -x xy+ y- x +

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Gi¶i: M = -x 2 xy+ + -y 1 2( x- y) 2- y+2y

( )2 2( ) 1 2 2 1 1
2 2

x y x y y y

= - - - + + - +

( 1)2 1(2 1)2 1 1

2 2 2

x y y

= - - + - - ³

Suy ra: Min M = -1/2, khi y= 1/4 ; x = 9/4.

Bài toán .6. Cho hµm sè: f x( ) x2 2x2 2005

x

- +

= ; víi x kh¸c 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
Gi¶i:

2 2 2 2

2 2005 1 1 1 1 2005

( ) 1 2005 2. . 1

2005 2005 2005

f x

x x x x

ổ ửữ

ỗ

= - + = ỗỗố - + ÷÷- +

1 1 2004 2004
2005

2005 2005 2005

x

ổ ửữ

ỗ

= ỗỗố - ữữứ + ³

Suy ra Min f(x) = 2004

2005 khi x= 2005.
Bài toán .7. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

1
( 1)

x x

D

x

+ +
=

+ .

Gi¶i:

2
2

2 2

( 2 1) ( 1) 1

( 1) ( 1)

x x x

x x

D

x x

+ + - + +

+ +

= =

+ +

2
2

1 1 1 1 1 1 3

1 2 .

1 ( 1) 1 1 2 4 4

x x x x

ổ ửữ
ỗ

= - + + + =ỗỗố + ữữứ - + + +

1 1 3 3

1 2 4 4

x

ổ ửữ

ỗ

=ỗỗố - ữữứ + ³
+

Suy ra Min D= 3/4 khi x = 1.

Bài tốn 8. Tìm x ; y để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

D = 15- 10x- 10x2+ 24xy- 16y2.

Gi¶i:

D = - (16y2- 24xy + 9x2)- (x2 + 10x + 25) + 35.

= 35 – (4y- 3x)2- (x+ 5)2 £ 35.

Suy ra Max D = 35 khi x =-5 ; y = -15/4.

Bµi toán 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( 1)2
x
G

x

=
+

Gi¶i:

1 12 1 1 2 1 1 2 2. 1 .1 1

( 1) 1 ( 1) 4 ( 1) 1 2 4

x
G

x x x x x

æ ử

+ - ỗ ữữ

= = - = - ỗỗỗ - + ÷÷

+ + + è + + ø

1 1 1 1

4 x 1 2 4

ổ ửữ

ỗ

= - ỗỗố + - ữữứ Ê

Suy ra Max G = 1/4 ; khi x= 1

Bài toán 10.Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho BĐT sau đây luôn

ỳng " ẻx R

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(x+1)(x+2)2(x+3) ³ m.

Gi¶i: Ta cã A = (x+1)(x+2)2(x+3) = (x2+4x+3)(x2+4x+4).

= (x2+4x+3)2+(x2+4x+3) +1/4- 1/4.

= (x2+4x+3+1/2)2- 1/4 ³ -1/4.

Suy ra Min A =-1/4 khi x2+4x+3 = -1/2 Û x = -2+ 2

2 hc x = -2-

2
2 .

Vì m ÊA , " ẻx R Þ m £ Min A = -1/4

Suy ra giá trị nguyên lớn nhất của m là -1.

Bài toán 11. Cho x + y + z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x2+ y2

+ z2

Gi¶i: Tõ x + y + z = 3 Þ (x+y+z) 2 = 9

Hay x2+ y2+ z2+ 2(xy + yz + xz) = 9; (1)

Mµ (x-y)2 ³ 0 Û x2+ y2 ³ 2xy , dÊu “=” x¶y ra khi x = y.

(y-z)2 ³ 0

Û

y2+ z2 ³ 2yz , dÊu “=” x¶y ra khi y = z.

(z- x)2³ 0

Û

z2 + x2³ 2zx , dÊu “=” x¶y ra khi z = x.

Nªn : 2(x2 + y2+ z2) ³ 2(xy+yz+zx) hay x2+y2+z2 ³ xy + yz + zx; (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: 9 = x2+ y2+ z2 + 2(xy+yz+zx) £ 3(x2+y2+z2)

Nªn x2+y2+z2 ³ 3.

VËy Min G = 3 khi vµ chØ khi x = y = z =1.

Bài toán 12. Cho hai số thực x, y thoả điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biĨu thøc M = x + y.
Gi¶i: Víi x, y Ỵ R ta cã.

(x+y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2- 2xy + y2 = 2(x2+y2) = 2

Do (x-y)2 ³ 0, víi mäi x, y; dÊu “=” x¶y ra khi x = y.

Suy ra (x+y)2 £ 2 Û x+ £y 2Û - 2£ x+ £y 2

Khi x = y ta cã x2 = y2 = 1/2 2
2
x y

Þ = = hc 2

x= = -y

VËy Max (x+y) = 2 2
2

x y

Û = =

Min (x+y) = 2 2
2

x y

- Û = =

</div>

Toan cuc tri

<b>Vận dụng hằng đẳng thức </b>

<b>vào giảI các bài toán cực trị.</b>

<b>+ (a+b)</b>

<b><sub>= a</sub></b>

<b><sub>+ 2ab + b</sub></b>

<b> + (a-b)</b>

<b><sub> = a</sub></b>

<b><sub>- 2ab + b</sub></b>

Û

Û

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về