<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề TỐN HÌNH HỌC LỚP 9 : GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN
<b>I.</b> <b>Kiến thức trọng tâm :</b>

<i><b>Vấn đề: Góc ở tâm- số đo độ của cung—so sánh cung.</b></i>
1. Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm của đường trịn.

2. Góc này cắt đường trịn tại A và B khi đó cung AB là cung bị chắn của góc ở tâm
AOB.

3. Ta có tính chất: số đo cung bị chắn bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
4. So sánh cung: cung nào lớn hơn thì có số đo cũng lớn hơn và ngược lại.
5. Cung nào có góc ở tâm lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.

<i><b>Vấn đề: Góc nội tiếp .</b></i>

6.Góc nội tiếp của (O) là góc có đỉnh nằm trên đường tròn (O) và hai cạnh cắt (O) tại hai
điểm phân biệt.

Để có góc nội tiếp thường ta có ba điểm nằm trên đương trịn.

7.Số đo góc nội tiếp chắn cung bằng ½ số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó. Chú ý là cùng
một cung.

8.Góc nội tiếp có số đo bằng ½ số đo cung bị chắn.

9.Cùng một cung có thể có nhiều góc nội tiếp thì các góc này đều bằng nhau.
10.Đặc biệt góc nội tiếp chắn nửa đường trịn thì là góc vng 900_.

11.Các cung bằng nhau thì góc nội tiếp chắn cung đó cũng bằng nhau và ngược lại.
12.Cung nào lớn hơn thì góc nội tiếp chắn cung đó cũng lớn hơn

<i><b>Vấn đề: góc tạo bỡi tiếp tuyến và dây cung.</b></i>

1. Góc tạo bới một tiếp tuyến tại tiếp điểm A và dây cung AX gọi là góc tạo bỡi tiếp
tuyến và dây cung.

2. Số đo của góc này bằng ½ số đo góc ở tâm chắn cung AX.
3. Số đo của góc này bằng ½ số đo cung AX.

4. Số đo góc này cũng bằng số đo một góc nội tiếp bất kỳ chắn cung đó.
<i><b>Vấn đề: góc có đỉnh bên trong – bên ngồi đường trịn.</b></i>

1. Cho (O) và M trong (O) khi đó có hai đường thẳng cùng qua M tạo thành góc.
Góc này là góc bên trong đường tròn. Hai đường thẳng này cắt đường tròn tạo
thành các cung.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

   
2

<i>sd AB sdCD</i>
<i>AMB CMD</i>  

.

3. Cho (O) và M ngồi (O) khi đó góc mà các cạnh của nó ln tiếp xúc hoặc cắt
(O) gọi là góc ngồi đường trịn (O) tại M. Khi đó góc này cũng cắt đường tròn
tao thành hai cung; một cung lớn và một cung nhỏ.

4. Số đo góc ngồi bằng sđ cung lớn – cung nhỏ sau đó chia hai.

  

2

<i>sdCD sd AB</i>

<i>AMB</i>  

 

2

<i>sdCB sd AB</i>

<i>AMB</i>  

 

2

<i>sd AmB sd AnB</i>

<i>AMB</i> 

<i><b>Vấn đề: tứ giác nội tiếp.</b></i>

1. Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn.

2. Tứ giác ABCD nội tiếp đồng nghĩa 4 điểm A; B; C và D cùng nằm trên 1 đường
tròn.

3. Tứ giác nội tiếp đường trịn thì đường trịn gọi là ngoại tiếp tứ giác đó.

4. Tâm của đường trịn ngoại tiếp tứ giác là giao điểm ba đường trung trực của ba
cạnh tứ giác đó.

5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) khi đó OA= OB= OC = OD =R.

6. Chú ý: O có thể nằm ngồi tứ giác; cũng có thể nằm trong hoặc nằm trên một
cạnh chứ không phải lúc nào cũng nằm trong.

Tên góc HÌNH VE Định nghĩa Định lí Hệ quả

Góc ở tâm Đỉnh là tâm

đường trịn
 _sđ

<i>AOB</i> <i>AB</i>

Góc nội tiếp

-Đỉnh nằm trên
đường trịn
- Hai cạnh của
góc chứa hai dây
cung của đường

 1 sđ

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

trịn đó  
 

 0
1
*
2
*

( cùng chắn )

* 90

( 1/ 2 / )

<i>BAC</i> <i>BOC</i>
<i>BAC BMC</i>

<i>BC</i>
<i>CAM</i>

<i>gntchắn</i> <i>đ tròn</i>




GĨC TẠO
BỠI TIA

TIẾP
TUYẾN VÀ

DÂY CUNG <i>BAX</i> 1₂<i>sñ AB</i>

 

 

* BAX

( cùng chắn AB )
1
* BAX

2
( cùng chắn AB )

<i>BCA</i>
<i>AOB</i>


GĨC CĨ
ĐỈNH
NẰM
TRONG
ĐƯỜNG
TRỊN

 sđBD 

2

<i>sđ AC</i>

<i>BID</i>  

GĨC CĨ
ĐỈNH
NẰM
NGỒI
ĐƯỜNG
TRỊN

 sñBD 

2

<i>sñ AC</i>

<i>BMD</i>  

Tứ giác nội tiếp
<b> a) Định nghĩa : </b>

<b>b)Tính chất :</b>

 
 
0
0
A 180

ABCD nội tiếp

180
<i>C</i>
<i>tứgiác</i>
<i>B D</i>
 _ _
 
  


<b> c) Phương pháp chứng minh:</b>

1. <b>Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó</b>
2. Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180°

Tư ùgiác ABCD nội tiếp

A,B,C, D cùng nằm trên
một đường trịn

<i>bốnđiểm</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3. Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng
nhau.

4. Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật , hình vng , hình thang cân
5. Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vng

6. Chứng ming hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc bằng nhau
<b>II.</b> <b>Bài tập mẫu </b>

<b>Bài tập mẫu </b>

<b>Bài 1: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O,</b>
<b>bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC.</b>
<b>1.</b> <b>Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường trịn.</b>

<b>2.</b> <b>Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam</b>
<b>giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD.</b>

<b>3.</b> <b>Chứng minh rằng OC vng góc với DE.</b>
<b>Giải </b>

x

K
H

D

E

F O

A

B C

<b>1)Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác</b>
<b> nội tiếpđườngtrịn.</b>

Ta có AEH 90 _vàAFH 90

Do đóAEH ₊_AFH _₁₈₀_ _{ Tứ giác AEHF nội tiếp được.}

Ta lại có, AEB ADB  90_{ E và D cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vng}
Vậy tứ giác AEDB nội tiếp được.

<i><b>2)Chứng minh AB.AC = 2R.AD</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

 

ABD AKC _{(góc nội tiếp cùng chắn cung AC)}
Suy ra ABD ∽AKC (g-g)

Từ đó ta được,

AB₌ AD
AK AC

 AB.AC = AK.AD

 AB.AC = 2R.AD

<i><b> 3) Chứng minh OC  DE.</b></i>
Vẽ tiếp tuyến xy tại C của (O)

Ta có OC  Cx (1)

Mặt khác, AEDB nội tiếp
 ABC DEC 

Mà ABC ACx 
Nên ACx DEC 

Do đóCx // DE (2)

Từ (1) và (2) ta có: OC  DE.
Bài 2 :

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .

2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Chứng minh ED =

1
2 _BC.

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

<b>Lời giải: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

 CDH = 900 _{( Vì AD là đường cao)}

=>  CEH +  CDH = 1800

Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội
tiếp

<b>2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE  AC => BEA = 90</b>0_.

AD là đường cao => AD  BC => BDA = 900_.

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900_{=> E và D cùng nằm trên đường trịn}

đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

<b>3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung</b>
tuyến

=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 900_.

Vậy tam giác BEC vng tại E có ED là trung tuyến => DE =
1

2 _BC.

<b>4.Vì O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA</b>
= OE => tam giác AOE cân tại O => E1 = A1 (1).

Theo trên DE =
1

2 _{BC => tam giác DBE cân tại D => E}₃_{= B}₁₍₂₎

Mà B1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3

Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE  OE tại E.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng</b>
định lí Pitago cho tam giác OED vng tại E ta có ED2_{= OD}2_{– OE}2_{ ED}2_{= 5}2_{– 3}2_

ED = 4cm

<b>III . Bài tậpđề nghị </b>

<b>Bài 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By.</b>
Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt
ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh COD = 900_.

3.Chứng minh AC. BD =
<i>AB2</i>

4 _.
4.Chứng minh OC // BM

5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kínhCD.
5.Chứng minh MN  AB.

6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.

<b>Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường</b>
tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.

<b>1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.</b>
<b>2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường trịn (O).</b>

Tính bán kính đường trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC=24cm

<b>Bài3 : Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH.</b>
Gọi HD là đường kính của đường trịn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở
E.

1. Chứng minh tam giác BEC cân.

2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
4. Chứng minh BE = BH + DE.

<b>Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường trịn</b>
( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM
cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường trịn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt

Ax tại H, cắt AM tại K.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

3) Chứng minh BAF là tam giác cân.

4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.

5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

<b>Bài 5 : Cho đường trịn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau.</b>
Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vng góc
với AB tại M cắt tiếp tuyến

tại N của đường tròn ở P. Chứng minh :
1. Tứ giác OMNP nội tiếp.

2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.

3. CM. CN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào.
<b>IV. Hướng dẫn giải :</b>

Bài 1:

<b>1.</b> Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD =
CM + DM.

Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD

<b>2.</b> Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM;
OD là tia phân giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD
= 900_.

<b>3.</b> Theo trên COD = 900_{nên tam giác COD vng tại O có OM  CD ( OM là}

tiếp tuyến ).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có OM2_{= CM. DM,}

Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2_{=> AC. BD =}

<i>AB2</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>4. Theo trên COD = 90</b>0_{nên OC  OD .(1)}

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là
trung trực của BM => BM  OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vng
góc với OD).

<b>5.</b> Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác COD
đường kính CD có IO là bán kính.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB
là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường
trung bình của hình thang ACDB

 _{IO // AC , mà AC  AB => IO  AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường trịn}
đường kính CD

Theo trên AC // BD =>
<i>CN</i>
<i>BN</i> =

<i>AC</i>

<i>BD</i> _{, mà CA = CM; DB = DM nên suy ra}
<i>CN</i>
<i>BN</i> =

<i>CM</i>
<i>DM</i>
=> MN // BD mà BD  AB => MN  AB.

6. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy
ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất
khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vng
góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB.

Bài 2:

<b>1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường trịn bàng tiếp góc A nên BI và </b>
BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Tương tự ta cũng có ICK = 900_{như vậy B và C cùng nằm trên đường trịn đường}

kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.

<b>2. Ta có C</b>1 = C2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.

C2 + I1 = 900 (2) ( vì IHC = 900 ).

I1 =  ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O)

Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC  OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường

tròn (O).

<b>1. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.</b>
AH2_{= AC}2_{– HC}2_{=> AH =}

√

202−122 _{= 16 ( cm)}

CH2_{= AH.OH => OH =}

<i>CH2</i>
<i>AH</i> =

122

16 _{= 9 (cm)}
OC =

√

<i>OH</i>

<i>2</i>

+

<i>HC</i>

<i>2</i>

=

√

9

2

+12

2

=

√

225

= 15 (cm)
Bài 3:

<b>1.  AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).</b>

Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của BEC => BEC là
tam giác cân. => B1 = B2

<b>2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, B</b>1 = B2 =>  AHB =

AIB => AI = AH.

<b>3. AI = AH và BE  AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.</b>
<b>4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Câu 1,2,3 Học sinh tự giải

(HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình
thang.

Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường trịn thì AKFI phải là hình thang cân.
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.

Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => <ABM = <MAI = 450_{(t/c góc nội tiếp ). (7)}

Tam giác ABI vng tại A có <ABI = 450_{=> <AIB = 45}0_.(8)

Từ (7) và (8) => <IAK = <AIF = 450_{=> AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc}

đáy bằng nhau).

Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Bài 5:

<b>1. Ta có OMP = 90</b>0_{( vì PM  AB ); ONP = 90}0_{(vì NP là tiếp tuyến ).}

Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 900_{=> M và N cùng nằm trên đường}

tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ONC = OCN
=> OPM = OCM.

Xét hai tam giác OMC và MOP ta có MOC = OMP = 900_{; OPM = OCM =>}

CMO = POM lại có MO là cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1)
Theo giả thiết Ta có CD  AB; PM  AB => CO//PM (2).

Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.

<b>3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 90</b>0_{( gt CD  AB); DNC = 90}0_(nội

tiếp chắn nửa đường trịn ) => MOC =DNC = 900_{lại có C là góc chung => OMC}

NDC

=>

<i>CM</i> <i>CO</i>

<i>CD CN</i> _{=> CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R}2_{không đổi =>}

CM.CN =2R2_{khơng đổi hay tích CM. CN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M.}

<b>4. ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 90</b>0_{=> P chạy trên đường thẳng cố}

định vng góc với CD tại D.

Vì M chỉ chạy trên đoạn thẳng AB nên P chỉ chạy trên doạn thẳng A’ B’ song song và
bằng AB.

<b>v. Bài tập đề nghị </b>
<b>Bài 1:</b>

Cho đường trịn (O) bán kính OA = R. Tại trung điểm H của OA vẽ dâycung BC vng
góc với OA. Gọi K là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh:

a) AB = AO = AC = AK. Từ đó suy ra tứ giác KBOC nội tiếp trong đường tròn.
b) KB và KC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Tam giác KBC là tam giác đều.
<b>Bài 2: </b>

Cho(O;R), AB là Đường Kính vẽ hai tiếp tuyến Ax và By trên OA lấy điểm C sao cho
3

<i>R</i>
<i>AC </i>

. Từ M thuộc (O;R); ( với <i>M</i> <i>A B</i>; _{) vẽ đường thẳng vng góc với MC cắt Ax tại}
D và cắt By tại E Chứng minh :

a/ CMEB nội tiếp

b/ <i>CDE</i>_{vuông và MA.CE =DC.MB}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Bài 3:</b>

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O. Kẻ hai đườngkính AA’ và
BB’ của đường trịn.

a. Chứng minh tứ giác ABA’B’ là hình chữ nhật?

b. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và AH cắt (O) tại điểm thứ hai là D.Chứng minh H
và D đối xứng nhau qua BC

c. Chứng minh BH = CA’.

d.Cho AO = R. Tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BHC.
<b>Bài 4:</b>

Cho tam giác ABC có AB = AC các đường cao AG; BE; CF gặp nhau tại H.

a. Chứng minh: tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
đó.

b. Chứng minh: GE là tiếp tuyến của (I).
c. Chứng minh: AH.BE = AF.BC.

<b>Bài 5:</b>

Cho đường trịn tâm O đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B vàvẽ đường trịn tâm O’
đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻdây cung DE vng góc với
AB; DC cắt đường trịn (O’) tại I.

a. Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao?

b. Chứng minh rằng 3 điểm I, B, E thẳng hàng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14></div>

<!--links-->