<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chơng I

<b>Số hữu tỉ-số thực</b>

Phần I:

<b>Tập hợp Q các số hữu tỉ-bốn phép tính</b>

A-Kiến thức cần nhớ

1.Khỏi niệm: Mọi số hữu tỉ đợc viết dới dạng <i>a</i>

<i>b</i> (a,b  Z, b ≠ 0)
TËp hỵp Q các số hữu tỉ kí hiệu : Q

N Z Q

2.So sánh hai số hữu tỉ
x; y  Q: x = <i>a</i>

<i>m</i> ; y =
<i>b</i>

<i>m</i> (a, b, m Z; m > 0)
x < y nÕu a < b

x > y nÕu a > b
x = y nÕu a = b
x < y  -x > -y

x < y khi đó trên trục số nằm ngang im x bờn trỏi im y
3.Phỏt trin

-Phần nguyên của số hữu tỉ x kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vợt
quá x: [x] x [x] + 1.

-Phần lẻ của số hữu tỉ x kí hiệu {x} đợc tính: {x} = x – [x]
4.Phép cộng, trừ hai số hữu tỉ.

a) PhÐp céng, trõ hai sè h÷u tØ

ViÕt hai sè h÷u tØ x, y díi d¹ng: x = <i>a</i>

<i>m</i> , y =
<i>b</i>

<i>m</i> (a,b,m  Z, m >0)
<i>x+y=a</i>

<i>m</i>+
<i>b</i>
<i>m</i>=

<i>a+b</i>
<i>m</i>
<i>x − y=a</i>

<i>m−</i>
<i>b</i>
<i>m</i>=

<i>a − b</i>

<i>m</i>
b) Quy t¾c chun vÕ

Víi mäi x, y, z  Q ta cã:

x + y = z  x = z – y

c) Hai số hữu tỉ có tổng bằng 0 gọi là hai số đối nhau.
5.Phép nhân, chia số hữu tỉ.

a)Nh©n hai sè h÷u tØ

Víi hai sè h÷u tØ x = <i>a</i>

<i>b</i> , y =
<i>c</i>

<i>d</i> ta cã:
x . y = <i>a</i>

<i>b</i>.
<i>c</i>
<i>d</i>=

<i>a</i>.<i>c</i>
<i>b</i>.<i>d</i>
b)Chia hai sè h÷u tØ

Víi hai sè h÷u tØ x = <i>a</i>

<i>b</i> , y =
<i>c</i>

<i>d</i> (y ≠ 0) ta cã:
x : y = <i>a</i>

<i>b</i>:
<i>c</i>
<i>d</i>=

<i>a</i>
<i>b</i>.

<i>d</i>
<i>c</i>=

<i>a</i>.<i>d</i>
<i>b</i>.<i>c</i>

c)Thơng của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y 0) gọi là tỉ sè cđa x vµ y,
kÝ hiƯu lµ <i>x</i>

<i>y</i> hay x:y.

d)Hai số hữu tỉ có tích bằng 1 gọi là hai số nghịch đảo của nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

e) Chó ý

-Nếu một tích của nhiều thừa số bằng 0 thì ít nhất 1 trong các thừa số đó bằng 0.
-Tích của 2n (n  N*_{) thừa số mang dấu âm có kết quả là số dơng.}

-TÝch cđa 2n + 1 (n  N) thõa sè mang dÊu ©m có kết quả là số âm.
6.Tổng kết các tính chất cđa phÐp céng, phÐp nh©n.

Phép tính

Tính chất Phép cộng Phép nhân

Giao hoán x + y = y + x x . y = y . x

KÕt hỵp x + (y + z) = (x + y) + z x . (y . z) = (x . y) .z
Céng víi 0 x + 0 = 0 + x = x

Nh©n víi 1 x . 1 = 1. x = x

TÝnh chÊt cđa phÐp nh©n

đối với phép cộng x (y + z) = xy + xz

B. Ví dụ

Bài 1. Cho hai số hữu tỉ <i>a</i>
<i>b</i> vµ

<i>c</i>

<i>d</i> (b > 0, d > 0; a, b, c, d  Z)
Chøng tá <i>a</i>

<i>b</i><

<i>c</i>

<i>d</i> <i>⇔</i>ad<bc

(Bài toán trên cũng đúng với a, b, c, d  Q; b > 0, d > 0)
Bài 2. Tìm [x]; {x} biết:

a) x = 1

2 b) x =
-5

4 c) x = 3,15 d) x = 4 e) x = -8

b) 2 < x < 9

4 b)-1  x < 0 c) <i>−</i>
7

2<<i>x<−</i>3 d) <i>−</i>
11

3 <<i>x<−</i>
10

3

Bµi 3.TÝnh
a)

0<i>,</i>375<i>−</i>0,3+ 3

11 +
3
12

<i>−</i>0<i>,</i>625+0,5<i>−</i> 5

11<i>−</i>
5
12

+1,5+1<i>−</i>0<i>,</i>75

2,5+5

3<i>−</i>1<i>,</i>25

b)

1
3<i>−</i>

1
7<i>−</i>

1
13
2

3<i>−</i>
2
7<i>−</i>

2
13

<i>⋅</i>

1

3<i>−</i>0<i>,</i>25+0,2
11

6<i>−</i>0<i>,</i>875+0,7

+6

7

c) -660

(

1

2<i>−</i>
1
3+

1

11

)

+123(−38)+62(−123)

d) 8

9<i>−</i>
1
72<i>−</i>

1
56<i>−</i>

1
42 <i>−</i>

1
30 <i>−</i>

1
20<i>−</i>

1
12<i>−</i>

1
6<i>−</i>

1
2

PhÇn IV

TØ lƯ thøc vµ tÝnh chÊt cđa nã

TÝnh chÊt cđa d y tØ sè b»ng nhau

<b>·</b>

A.KiÕn thøc

1.Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
Dạng tổng quát <i>a</i>

<i>b</i>=
<i>c</i>

<i>d</i> hc a : b = c : d
2.TÝnh chÊt

a)TÝnh chÊt cơ bản
<i>a</i>
<i>b</i>=

<i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Từ tỉ lệ thức <i>a</i>
<i>b</i>=

<i>c</i>

<i>d</i>ad=bc(a , b , c , d ≠0) ta cã thÓ suy ra ba tỉ lệ thức khác nhau
bằng cách:

-Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau.
-Đổi chỗ trung tỉ cho nhau.

-i ch ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau.
c)Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

NÕu <i>a</i>
<i>b</i>=

<i>c</i>
<i>d</i>=

<i>e</i>

<i>f</i>=k th×

<i>a ± c ± e</i>

<i>b ±d ± f</i>=<i>k</i> (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý

C¸c sè x, y, z tØ lƯ víi c¸c sè a, b, c <i>⇔x</i>
<i>a</i>=

<i>y</i>
<i>b</i>=

<i>z</i>
<i>c</i>
Ta cßn viÕt x : y : z = a : b : c

<b>N©ng cao</b>

1.NÕu <i>a</i>

<i>b</i>=
<i>c</i>
<i>d</i>=

<i>e</i>
<i>f</i> thì

<i>k</i>₁<i>a+k</i>₂<i>c</i>+k₃<i>e</i>
<i>k</i>1<i>b</i>+k2<i>d</i>+k3<i>f</i>

=<i>k</i>
2.

(Tính chất này gọi là tính chất tổng hc hiƯu tØ lƯ)

B.VÝ dơ

VÝ dơ 1. Cho tØ lƯ thøc <i>a+b</i>
<i>c+d</i>=

<i>a −</i>2<i>b</i>

<i>c −</i>2<i>d</i> víi b, d ≠ 0. Chøng minh r»ng:
<i>a</i>
<i>b</i>=

<i>c</i>
<i>d</i>
Gi¶i:

Tõ <i>a+b</i>
<i>c+d</i>=

<i>a −</i>2<i>b</i>

<i>c −</i>2<i>d</i>  ad = bc 
<i>a</i>
<i>b</i>=

<i>c</i>
<i>d</i>
VÝ dơ 2. T×m x, y, z biÕt <i>x</i>

<i>y</i>=
10
9 <i>;</i>
<i>y</i>
<i>z</i>=
3

4 vµ x – y + z = 78

Giải:
<i>x</i>
<i>y</i>=
10
9 <i></i>
<i>x</i>
10=

<i>y</i>
9 (1)
<i>y</i>
<i>z</i>=
3
4=
9
12 <i></i>
<i>y</i>
9=
<i>z</i>
12 (2)

Từ (1) và (2) suy ra <i>x</i>

10=

<i>y</i>

9=

<i>z</i>

12=

<i>x − y</i>+<i>z</i>

10<i>−</i>9+12=

78

13=6

Do đó x = 6 . 10 = 60; y = 6 . 9 = 54; z = 6 . 12 = 72
Ví dụ 3. Cho bốn số a, b, c, d sao cho a + b + c + d ≠ 0
Biết <i>b+c</i>+d

<i>a</i> =

<i>c+d</i>+<i>a</i>

<i>b</i> =

<i>d</i>+<i>a+b</i>
<i>c</i> =

<i>a+b+c</i>
<i>d</i> =<i>k</i>
Tính giá trị của k.

Gii: Cng thêm 1 vào mỗi tỉ số đã cho ta đợc:
<i>b+c</i>+d

<i>a</i> +1=

<i>c+d+a</i>
<i>b</i> +1=

<i>d</i>+<i>a+b</i>
<i>c</i> +1=

<i>a+b+c</i>
<i>d</i> +1
<i>a+b+c+d</i>

<i>a</i> =

<i>a+b+c</i>+d

<i>b</i> =

<i>a+b</i>+c+d

<i>c</i> =

<i>a+b+c+d</i>
<i>d</i>
V× a + b + c + d ≠ 0 nªn a = b = c = d

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Suy ra k = 3<i>a</i>
<i>a</i> =3

C.Bài tập

<i>Dạng 1:</i><b>Tìm thành phần cha biết của tỉ lệ thức</b>

Bài 1 Tìm x, biết:
a) 3,5

<i>x</i> =

1<i>,</i>24

6<i>,</i>42 b)

<i>−</i>1<i>,</i>64
8<i>,</i>51 =

|<i>x</i>|

<i>−</i>3<i>,</i>11

c)

|2<i>x −</i>1|

1
2

=18

5 d) 131
3:1

1

3=26 :(2<i>x</i>+1)

Bµi 2 T×m x, biÕt:
a) 1

5<i>x</i>:3=
2

9:0<i>,</i>25 b) 2,5 : (2x) = 0,25 : 0,2

c) 3,5 : 4x = 1,2 : 6,4 d) 3

2<i>x</i>+3=

5
3<i>x −</i>2

e) 31<i>−</i>2<i>x</i>
<i>x+</i>23 =

9

4 f)

3<i>x</i>+2

5<i>x</i>+7=

3<i>x −</i>1
5<i>x </i>3

g) <i>x</i>+3

8 =
2

<i>x </i>3

<i>Dạng 2:</i><b>Chứng minh các tỉ lệ thøc</b>

Ch¬ng III

Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác
Các đờng đồng quy trong tam giác
A-Mục tiêu

I-KiÕn thøc trọng tâm cần khắc sâu

-Quan h gia gúc v cạnh đối diện trong một tam giác.

-Quan hệ giữa đờng vng góc-đờng xiên, đờng xiên-hình chiếu, bất đẳng thức
tam giỏc.

-Tính chất tia phân giác của một góc, trung trực một đoạn thẳng.

-Tớnh cht 3 trung tuyn-phõn giỏc-trung trc-ng cao trong tam giác.
II-Kĩ năng cần rèn cho học sinh

-KÜ năng chứng minh về quan hệ >, < của góc, c¹nh.

-Kĩ năng vận dụng tính chất các đờng đặc biệt trong tam giác.
-Phát triển, hoàn thiện kĩ năng chứng minh hình cho học sinh.
III-Kiến thức cần bổ sung

-Với 3 điểm A, B, C ta ln có: AB + BC  AC, dấu “=” xảy ra  B [AC].

-2 phân giác ngồi và phân giác trong (của đỉnh cịn lại) của một tam giác đồng
quy.

-Quan hệ về góc và cạnh đối diện trong hai tam giác có 2 cặp cạnh bằng nhau.
-Phơng pháp tìm cực trị hình học.

B-Bµi tËp

I-Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
-Kĩ năng cần rèn cho học sinh.

Chứng minh về quan hệ >, < về góc và cạnh trong tam giác, kẻ thêm đờng phụ.
Bài 1 Cho tam giác ABC có AB < AC. Phân giác các góc B và góc C cắt nhau ở
I. Chứng minh rằng: BI < CI.

Híng dÉn: Tam gi¸c BIC, gãc B > gãc C BI < CI.

Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A, D là một điểm thuộc miền trong tam gi¸c
sao cho gãc ADB > gãc ADC. Chøng minh r»ng: BD < CD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5></div>

<!--links-->