De dap an thi HSG Toan 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (142.81 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sở Giáo dục và đào tạo

thanh hố

Đ

Ề

CHÍNH TH

Ứ

C

Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH

Năm h

ọ

c: 2008-2009

Mơn thi:

To¸n

L

Ớ

P : 12 THPT

Ngày thi: 28/03/2009

Th

ờ

i gian: 180 phút (khụng k

th

i gian giao

)

Bài 1

(5,0 điểm)

Cho hµm sè

3

2 +

−

=

x

y

có đồ thị (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Biện luận theo m số nghiệm của ph−ơng trình:

3

2

3

2 +

=

+

x

m

x

3. Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?

Bài 2

(4,0 ®iÓm)

1. TÝnh tÝch ph©n: I =

dx

x

e

∫

+

0
2

2
2

4 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác nhau mà trong đó chỉ có

một chữ số lẻ ?

Bài 3

(5,0 điểm)

1. Giải phơng trình:

)
4
sin(
.
2
sin
)
4
3

sin( x

= x x+

2. Tìm giá trị của

m

để bất ph−ơng trình sau nghiệm đúng với mọi

x

)

0

1 log

1 (

2 )

1 log

1 (

2 )

1 log

2 (

2 2 2

<

+

−

+

−

+

−

m

x

m

x

m

.

3. Với giá trị nào của x, y thì 3 số

u

1

=

8 x

+

log

y

,

u

2

=

2 x

−

log

y

,

u

3

=

5 y

theo thứ

tự đó, đồng thời lập thành một cấp số cộng và một cấp số nhân.

Bµi 4

(5,0 ®iĨm)

1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng trịn (C) có ph−ơng trình:

(

1 )

1 =

−

+

y

x

Chứng minh rằng với mỗi điểm M(

m

; 3) trên đờng th¼ng

y

= 3 ta luôn tìm

c hai im T

, T

trên trục hoành, sao cho các đ−ờng thẳng MT

, MT

là tiếp

tuyến của (C). Khi đó hWy viết ph−ơng trình đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác MT

T

.

2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân (AB = BC =1)

và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K, L lần lợt là trung điểm của AC và BC.

Trên cạnh SA, SB lần lợt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. TÝnh thĨ tÝch

cđa tø diƯn LMNK.

Bài 5

(1,0 điểm)

Cho n là số nguyên lẻ và n >2. Chứng minh rằng với mọi

a

khác 0 luôn có:

(

1 2

!

3

!

...

!

)(

1 2

!

3

!

...

(

1

)!

!

)

1

3
2
3

<

−

+

−

+

−

+

−

n

a

n

a

n

a

n
n

n

HÕt

Số báo danh

……….

Edited by Foxit Reader

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Sở Giáo dục và đào tạo

thanh hoá

Đáp án đề chính thức

Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH

Năm h

ọ

c: 2008-2009

Mơn thi:

To¸n

L

P : 12 THPT

Ngy thi: 28/03/2009

Đáp án này gồm có 5 trang

Bài Đáp án và hớng dẫn chấm Điểm

Bài1 
5đ

1(3đ)

1. Tp xác định: R

2 Sù biÕn thiªn

1
0

2
0
0

6
6
;

6
3

,,
,

,,
2

=

=

=
=

=

x
y

x
x
y

x
y
x
x
y

Bảng biến thiên

x −∞ 0 1 2 +∞

y

+ 0 - 0 +
y,, - 0 +

y 2 U(1;0) +∞
∞

− - 2
3 Đồ thị :

y
2

−1 2

1+ 3 O 1 1+ 3 3 x

0,5

1,0

2. (1đ)

Đặt

(

)

3

2 +

−

=

m

f

Số nghiệm của phơng trình

x

−

3 x

+

2 =

m

−

3 m

+

2

là số giao điểm của
đờng thẳng y =

f

(

m

)

=

m

−

3 m

+

2

với đồ thị (C)

Từ đồ thị (C) ta có -1 < m < 0; 0 < m <2; 2 < m < 3 thì -2 <

f

(

m

)

<2
m = -1 hoặc m = 2 thì

f

(

m

)

= -2

m = 3 hoặc m = 0 thì

f

(

m

)

= 2
m < -1 th×

f

(

m

)

< -2

m > 3 th×

f

(

m

)

> 2

VËy *

<
>

1
3

m
m

phơng trình có 1 nghiệm

* m=

{

1;0;2;3

}

phơng trình có 2 nghiệm

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

* 1<m<0; 0<m<3 phơng trình có 3 nghiƯm

0,5

3.(1®)

M thuộc đồ thị (C) suy ra M

(

a

;

a

−

3 a

+

2 )

.đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại
T(x0;y0) thì (d) có phơng trình:

2
3
)

)(
6
3

( 2

0
3
0
0
0

0 − − + − +

= x x x x x x

y

[

]







−

=

⇔

=

−

⇔

=

−

+

−

⇔

−

⇔

+

−

+

−

=

+

−

⇒

∈

2

3

0 )

2

3 )(

(

0

3 )

3 (

2 )

(

)

)(

6

3 (

)

(

3 )

(

2

3 )

)(

6

3 (

2

3 )

(

0
0
0

2
0

2
0
0

0
0

2
0
2

0
2
3

0
3

2
0
3
0
0
0

2
0
2

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

d

M

TH1 1 (1;0)

2
3

I
M
a

a

a= − ⇔ = ⇒ ≡ cã 1 tiÕp tuyÕn duy nhÊt

TH2 1 (1;0)

2
3

I
M
a

a

a≠ − ⇔ ≠ ⇒ ≠ cã 2 tiÕp tuyÕn

0,25

0,25
0,25
0,25

Bài2

4đ 1.(2đ)

I =

∫

+ +
1

0
2

2
2

4
4x dx
x

x
e

TÝnh J =

+
1

0
2

2
4
4x dx
x

x

Đặt

+

=

+
=
=

2
1
2
)

( 2

x
v

xdx
du
x

dx
dv

x
u

∫

=

−

+

−

+

+

−

=

⇒

0
1

0
2

2

4

2

3

1

2 x

dx

x

J

2
3
ln
4
3
5

3
ln
4
3
5
)
2
ln
3
(ln
4
2
3
1
2

ln
4
2
3
1

2
2

1
0
1

e
e
I

x
x

−
=
⇒

−
=
−
−

+
−
=
+
−

+
−

0,25
0,5

0,5

0,5
0,25

2.(2đ)

Ta kí hiệu số A là a1a2a3a4a5a6

ã Có 5 khả năng chọn một chữ số lẻ

ã Mỗi cách chọn 1 chữ số lẻ và 5 chữ số chẵn có P6=6! Cách sắp xếp 6 ch÷ sè

đW cho vào 6 vị trí từ a1đến a6

Nh vậy có 5.P6 =5.6! cách sắp xếp 10 chữ số từ 0 đến 9 vào 6 vị trí từ a1 n a6

mà mỗi cách chỉ có một chữ số lỴ.

*Trong tất cả các cách sắp xếp đó thì những cách xếp có chữ số 0 đứng ở vị trí
a1 khơng phải là một số có 6 chữ số

* Do tính bình đẳng của các chữ số W chn cú

6

1

số cách sắp xếp không phải
là số có 6 chữ số và bằng

5 .

5 !

6 !

6 .

5 =

Vậy số các số có 6 chữ số mà trong nó chỉ có một số lẻ là
5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 sè

0,5

0,5
0,5

Bµi3

5đ 1.(2đ) Đặt

4 +

=

x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

t

)

sin

3 cos

2 sin

2 sin(

)

3 sin(

−

π

=

+

π

⇔

−

=

(*)

Đặt z = sin t ĐK z 1 phơng trình (*) trở thµnh






=
=
⇔
=
−
⇔
=
−

−

3
2
0
0

4
6
0
)
2
1
(
4

3 3 2 3 2

z
z
z

z
z

x

*

z= ⇒ t = ⇔ t =k ⇒ x =− +k ; k∈Z
4

0
sin

π

*

= ⇒ = ⇔

3
2
sin
3

2 2

t

z

cos

α

3

1

2 cos

3

2 cos

1 =

−

=

⇔

=

−

t

l Z

l
x

l
t

∈








+
−
−
=

+
+
−
=
⇒









+
−
=

+
=
⇔





+
−
=

+
=

⇔ ,

2
4

2
2

π

α

π

α

π

α

π

α

π

α

π

α

VËy PT cã nghiƯm lµ x=− +k x=− ± +l . k,l∈Z

2
4
,

0,5

0,5
0,25

2.(2đ) Đặt

1
log

1 2

+
+

m
m

a , bất phơng trình đW cho trở thµnh:

(

3 −

a

)

x

−

2 ax

−

2 a

<

0

(1)

Vế trái của (1) là một tam thức bâc hai Èn x cã hƯ sè cđa x2 lµ

3 −

a

.

TH1: 3 -

a

=

0 ⇔

a

=

3

Khi đó (1) là

6 x

−

6 <

0 ⇔

x

<

1

suy ra (1) không nghiệm đúng mọi x

TH2





<
∆

<
−

0
0

,
a

6
6

3
3
0

)
3
(
2
3

2 ⇔ >










<
>
⇔





<
−
+
>

⇔ a

a
a
a
a

a
a
a

Víi a > 6 ta cã 32

1
6

log

1 2 >

+
⇔
>
+
+

m
m
m

m

32
31
0

1
32
31

−
<

<
−
⇔
<
+

⇔ m

m
m

0,5

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

3.(1®)

Nếu các số a, b, c đồng thời là cấp số cộng và cấp số nhân thì




=
=

b
ac

b
c
a

suy ra a, c là nghiệm của pt: x2 −2bx+b2 =0⇔x=b từ đó a = b = c.
Theo bài ra ta có hệ:








=
−

−
=
+

)
2
(
5

2
log
2

)
1
(
2
log
2
2
log
8

y
y
x

y
x
y
x

Tõ (1) 3x+3log2 y=x−log2 yx=2log2 y, thay vào (2) ta đợc:
5

log
2
1
5
log
2
5

1
5
5

2 4 2

2
4

4
log

3 2 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =

−

x
y

y
y

y

0,25
0,25

0,5

Bài4 
 5đ

1.(3đ) Đờng tròn (C) có tâm I ( 0 ; 1 ) b¸n kÝnh R = 1
Điểm T thuộc trục hoành thì T( t ; 0)

Điểm M( m; 3) thuộc đờng thẳng y = 3 , ta có:
Phơng trình đờng thẳng MT:

3 ( ) 3 0

3
3

=
−
−
+
⇔
−

−
=

−

t
y
m
t
x
y

m
t

m
x

Do MT là tiếp tuyến của (C) nên khoảng cách từ tâm I của (C) đến MT bằng 1, hay

(*)
0
3
2

)
(
9
)
2

(
1
)
(
3

2
2

=
−
+
⇔

−
+
=
+
⇔
=
−
+

−
−

mt
t

m
t
t

m
m

t
t
m
t

Do ph−¬ng trình (*) luôn có hai nghiệm t1 , t2 với mọi m nên luôn tồn tại hai điểm

T1(t1;0) v T2(t2;0) để MT1và MT2 là tiếp tuyến của (C).

* Theo định lý Vi ét có t1 + t2 = -2m. Ph−ơng trình đ−ờng trịn (C1) ngoại tiếp tam

giác MT1T2 có dạng:

2 2

2

0 =

+

y

ax

by

c

x

V× M, T1, T2 thuộc đờng tròn (C1) nên có hệ








=
+
+

=
+
+
+

)
3
(
0
2

)
2
(
0
2

)
1
(
0
6

2
9

2
2
2

1
2
1

c
at
t

c
b
ma
m

Tõ (2) vµ (3) suy ra

.

0

2

0

2 )

(

0 )

(

2

1 2 1 2 1 2

2
2
2
1

m

a

m

a

t

do

t

a

t

=

⇔

=

+

−

⇔

=

+

⇔

≠

=

−

+

−

Thay vµo (2) ta cã

t

12

+

2 mt

1

+

c

=

0

Do t1 lµ nghiƯm cđa(*) nªn

2

3

0

3 +

mt

−

=

c

=

t

Thay c = -3 vào (1) ta đợc:

2
2
0

3
6
2
9

2
2

2 +

−
=
⇔
=
−
+
+

+ m b b m

m

Vậy phơng trình của (C1) là: 3 0

2
2

2+ + − + − =
y
m
mx
y

x

0,5
0,5

0,5

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2.(2®) LÊy ®iĨm E thc SA sao cho AN=1 suy ra NE// AB // KL
MEKL

MNKL
EKL

NKL

S

V

S

=

⇒

=

⇒

∆ ∆ ;

SKC
EKM S
S

6
1

Mặt khác khoảng cách từ L đén mặt phẳng (MKE) bằng

BK

Vậy VKLME VSABC

12
1

= mà

144
34
2
6

17
.
12

1
2

6
17
2
1
.
2
17
3
1
.

3
1

=
=

⇒
=

= ABC KLMN

SABC SKS V

V (®vtt)

E
M

K C

L
N

B
A

0,5
0,5

Bài5 
 1đ

Coi a là ẩn , điều kiện a khác 0
Đặt

)!
1
(
...
!
2
1

!
...
!
3
!
2
1

1
2

,
3

−
+
+
+
+
=
⇒
+
+
+
+
+
=

−

n
a
a

a
u

n
a
a

a
a
u

n
n

)!
1
(
)!
2
(
...
!
4
!
3
!
2
1

!
)!
1
(
...
!
3
!
2
1

1
2

4
3
2
,

1
3

−
−
−
+
+
−
+
−
+
−
=
⇒

−
−
+
+

−
+
−
=

−
−

−

n
a
n

a
a

a
a
a
v

n
a
n

a
a

a

a
v

n
n

Khi đó

!

,

!

,
,

n

a

v

n

a

u

n
n

−

=

+

=

)

0 )!

1 (

...

!

4 !

2

1 (

2

1
4

>

−

+

=

+

−

n

a

v

u

n

với mọi a và n lẻ n > 2
Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là f(a)

Ta cã

(

)

!

)

!

(

)

!

(

)

(

, ,

v

u

n

a

n

a

u

v

n

a

v

u

vu

uv

a

f

n
n

n

+

−

=

−

+

−

=

+

=






>
<

<
>

⇒
≠
>

0
0

)
(

0
0

)
(
0

0 ,

a
khi
a

f

a
khi
a

f
a

v
u

Ta cã b¶ng biÕn thiªn

a −∞ 0 +∞

)
(

,
a

f + -

)
(a

f 1

do a khác 0 nên f(a) <1 ( điều phải chứng minh)

0,25

</div>

De dap an thi HSG Toan 12

Sở Giáo dục và đào tạo

thanh hố

Đ

Ề

CHÍNH TH

Ứ

C

Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH

<b>Năm h</b>

<b><sub>ọ</sub></b>

<b>c: 2008-2009 </b>

<b>Mơn thi: </b>

<b>To¸n</b>

<b> </b>

<b>L</b>

<b><sub>Ớ</sub></b>

<b>P : 12 THPT </b>

Ngày thi: 28/03/2009

Th

ờ

i gian: 180 phút (khụng k

th

i gian giao

)

<b>Bài 1</b>

(5,0 điểm)

<b> </b>

Cho hµm sè

3

2

+

−

=

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

có đồ thị (C)

1.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2.

Biện luận theo m số nghiệm của ph−ơng trình:

3

2

3

2

+

=

+

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

3.

Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?

<b>Bài 2</b>

(4,0 ®iÓm)

1. TÝnh tÝch ph©n: I =

<i>dx</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>e</i>

∫

<sub>+</sub>

<sub>+</sub>

4

4

2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác nhau mà trong đó chỉ có

một chữ số lẻ ?

<b>Bài 3 </b>

(5,0 điểm)

1. Giải phơng trình:

2. Tìm giá trị của

<i>m</i>

để bất ph−ơng trình sau nghiệm đúng với mọi

<i>x</i>

)

0

1