Toán 9 Ôn Tập He thong bài tập luyen Toán 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (420.13 KB, 38 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HỆ THỐNG BÀI TẬP CƠ BẢN 
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH 
2.3.1 ĐẠI SỐ

CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
BÀI 1: CĂN BẬC 2 SỐ HỌC

1. Điền số vào bảng sau

a 0,6 0,09

1 7

a2 0,81 1,21

CBH ± 8

CBHSH 0,4 1,7

( )

7
−
2. Tính

a) 2 2

5 − b) 252 −242 c) 852−842 d) 262 −242
e) 1,44+3. 1,69 f) 0,04+2. 0,25 g) . 0,81. 0,09

9
1

25
16
.
2
16
.
5

3 +

3. So sánh

a) 9 và 82 b) 6 và 35 c) 2 15 và 8 d) 4 + 5 và 7
e) 7+ 15và 7 f) 2+ 11và 3+5 g) 3 26 và 15 h) −5 35 và -30
i)

4
45
2
30−

và 17 k) 5 3 và 3 5
4. Giải phương trình

a) x−1=3 b) x2+x+1=1 c) x2 +1=−3 d)

4
20
x
5

x2 + + =
5. Cho a > 0. Chứng minh rằng a) Nếu a > 1 thì a > a

b) Nếu a < 1 thì a < a
6. Cho a; b > 0. Chứng minh rằng a>b⇔ a > b

BÀI 2: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN
BẬC HAI

(Giả thiết các căn thức đều có nghĩa)
1. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 7 - x b) x x +8 c)x x−6x+12 x −8
d) 25 - 42 - 4

x - y e) x+ 2 x y + y - z x - z y

f) 25 - 4x - 4 x y - y g) x - 4 x y + 4y - z + 6 z t - 9t
h) x + z y - x z - y i) 4x - 4 x y - 9 + y

2. Phân tích đa thức thành nhân tử:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

d) 4x + 4 x y - 8y e) x2 + 4 f) 4x4 + 1
g) x - 8 x - 9 h) x + 14 x + 48

3. Tìm x biết:

a) x x - 16 x = 0; b) x2 - 2x x + 10x -20 x = 0
c) (2 x - 3)2=( x + 5)2 d) x( x - 1) - 4x + 8 x - 4 = 0 
e) x + 3 x - 18 = 0 f) 8x + 30 x + 7 = 0

g) x x - 11x + 30 x = 0
4. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) (x + x)2 -2(x + x ) - 15 b) (x + 2 x)2 + 9x + 18 x + 20 
c) (x + 3 x + 1)(x + 3 x + 2) – 6

d) (x + 8 x + 7)( x + 3)( x + 5)+ 15
e) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
f) (4 x + 1)(12 x - 1)(3 x + 2)( x + 1) - 4
g) 4( x + 5)( x + 6)( x + 10)( x + 12)- 3x

BÀI 3: HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A
1. Rút gọn các biểu thức

a) 14+6 5 b) 30−10 5 c) 27−8 11− 11
d) 48−16 8 − 8 e) 11+6 2 − 6−4 2

f) 28−10 3+ 4+2 3− 4−2 3 g)

3
2
2

2 −

−
+

h) 4x− x2−4x+4 i)3x+ 9+6x+x2 k)

4
a

a
4
a
2
8
a
a

−
−
+
−

6
2
7
6
2
7

6
12

−
−

+ n) c 1

1
c
2
c2

−
+
+

o) 8−2 15 − 8+2 15
p) 2+ 3. 2+ 2+ 3. 2− 2+ 3 q)

3
2
2

3
2
3

2
2

3
2

−
−

−
+

+
+

2. Tính giá trị các biểu thức sau mà khơng dùng máy tính
a) . 0,01

64
49

144 b)

(

0,25− 225+ 2,25

)

: 169
c) 4.

( )

−3 6 +5.

( )

−2 4 d) 3 2 2 2

3
5
2
3
3
:

72 + − −

e) 72: 22.32.36− 225 f) 3.

( )

1,5 2 −4.

( )

0,5 2
3. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) −5x−10 b)

7
x

−
−

−

c) x2 +2x+3 d) x2−3x+2

e) x2 +4x+5 f)

x
5

3
x

−
+

6
x
5
x

2− +

4. Giải các phương trình sau

a) x2 −10x+25=7−2x b) 9−12x+4x2 =4

c) x2−2x+1+ x2−6x+9=1 d) x2 −2x+1+ x2 −4x+4 =3 
e) 3x2 −18x+28+ 4x2 −24x+45=−5−x2 +6x

5. a) Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì

2
y
x
2≤ + ≤

−

b) Cho x, y, z là số thực dương, chứng minh

zx
1
yz
1
xy
1
z
1
y
1
x
1

+
+
≥

+
+

6. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
A = 4x2−4x+1+ 4x2 −12x+9
B = 49x2 −42x+9+ 49x2+42x+9

7. Tìm các số x; y; z thoả mãn đẳng thức x+y+z+8=2 x−1+4 y−2+6 z−3
BÀI 4: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC 2
1) Thực hiện phép tính

a) 2 40 12 −2 75 −3 5 b)

45
27
2
18
3

20
12
2
8
3

+
−

(

(

2 2

)

)

2
2

19
47
.
8

17
38
.
5

−
−
d) 252− 700+ 1008−

3
3
1

1
3

−

−
+
=

E f)

(

125+ 245− 5

)

: 5

g) 7 : 7

7
16
7
1









− h) 3+ 5 − 3− 5 − 2 i) 6,5+ 12 + 6,5− 12 +

j) I = 4− 7 − 4+ 7 k) B= 10+ 24+ 40+
l)

3
2
2
1
3

2
2
1

3
2
2
1
3

2
2
1

−
−
+

−
+
+

F

2) Rút gọn
a)

35
21

10
6

+
+

45
3
3

27
3
405

+
+

3
2

12
9
6
4
3
2

+
+

−
−
−
+
+

1
5

5
2
6

−
−

3) Giải các phương trình

a) 1− 3x+1=3x b) 2+ 3x−5 = x+

c) 4

3
7

5 =

+
+

x
x

d) 4

3
7

5 =

+
+

x
x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

e) 7+ 2x =3+ 5 f) 3x2−4x =2x−3 g) x+ x2+6=3 h) x2 −4x=8 x−1
i) x−1− x+1=1 j) x+ x+ 1−x =1

4) Rút gọn biểu thức
A =

(

)

(

)

25
4
5 2
2
4
−
−
−
−
−
x
x
x
x

(x < 4) B =

3
3
27
3

2
3
+
+
+
−
x
x
x

x (x ≥ 0)

C =

(

)

4
2
9
.

2 2 2

2
2
y
xy
x
y
x
+
+

− (x ≠y, -y) D =

6
5
4
100
100
25
.
1
2
1
x
x
x

x− − + (x ≠ 1/2)

5) Thực hiện phép tính bằng cách trục căn thức ở mẫu hoặc khử mẫu của biểu
thức lấy căn

a)
5
2
6
3
4
3
−

+
+
b)
10
2
2
5
2
1
+
+

+ c) 2 2 3 3

3
3
3
2
2
3
+
−
−
d)
6
2
5
6
2
5

6
2
5
6
2
5
+
−
+
−
+
e)
1
24
7
1
1
24
7
1
−
−
−
+
−
f)
1
1
3
3

1
1
3
3
+
+
−
−

+ g) 3 5

5
3
5
3
5
3
+
−
+
−
+
6) Tính
a)
5
3
4
1
2
1

2
5
3
−
−
−
+

+ b) 5

1
5
2
1
5
2
5
2
5 +
+
−
+
−

c)
3
3
2
6
2

3
2
1
+
−
+

+ d) 2 3

6
1
1
2
1
2
2
1
3
4
3
2
+
+
−
−
−
+
−
−
e)

5
3
3
5
2
5
3
3
5
−
−
+

(

)(

)

2
3
2
2
3
3
2
3
.
2
3
−
+
+
+

−

7) Cho biểu thức A=x2+3x y+2y

a) Phân tích A thành nhân tử
b) Tính giá trị biểu thức A khi

5
4
9
1
;
2
5
1
+
=
−
= y
x

BÀI 5: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN
LIÊN QUAN

1. P =

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) Rút gọn P b) Tính P biết x=7−4 3
c) Tìm a nhỏ nhất để P < a

2. 






−
+
+






−
+
−
−
+
+
+
=
1
1
1
1
:
1
)

1
)(
2
(
2
3
a
a
a
a
a
a
a
a
a
P

a) Rút gọn P b) Tìm a để 1
8

1
1 − a+ ≥
P
3.
2
2
2
1
.
1

1
1
1






−






−
+
−
+
−
= x
x
x
x
x
x
P

a) Rút gọn P b) Tìm x để >2

x
P
4.
1
)
1
(
2
2
1
2
−
−
+
+
−
+
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x

P

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để

P
x

Q= 2 có giá trị nguyên

5. 






−
+
+






−
−
−
=

1
2
1
1
:
1

1 x x x x

x
x
P

a) Rút gọn P b) Tìm x để P > 0

c) Tìm tham số m để có giá trị x thoả mãn P. x =m− x

6. 






−
−
+







−
+
−
−
=
2
2
:
2
3
)
2
(
4
x
x
x
x
x
x
x
x
P

a) Rút gọn P b) Tính giá trị P biết x = 6−2 5

c) Tìm tham số n để có giá trị x thoả mãn (( x+1)P> x +n)

7. 






−
−
−
+






+
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
P

1
4
1
:
1
2

a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 0 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
P

8. 






−
−
−






−
+
+
=

x
x
x
x
x
x
x
x
P 2
2
1
:
4
8
2
4

a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -1

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x −3)P >x+1

9. 






+
−

+
−





 −
=
x
x
x
x
x
x
x

P 1 : 1 1

a) Rút gọn P b) Tính giá trị P biết

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c) Tìm x thoả mãn P x =6 x−3− x−4
10.
1
1
:
2
2
1
1

1
2
3
9
3
−






−
+
+
−
+
−
+
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
P

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x = 4−2 3
c) Tìm số tự nhiên x để giá trị

P
1

là số tự nhiên
11.
x
x
x
x
x
x
x
P
−
+
+
−
+
−
+
−
−
=
3
3
2

4
5
12
7
15
2

a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 1 c) Tìm số nguyên x để giá
trị P là số tự nhiên

12.
3
1
:
6
3
6
1
2
3
3
2
−
−
−
−
+
−
−
+

−
+
+
−
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P

a) Rút gọn P b) Tìm x để P > 0

c) Tìm tham số k để có giá trị x thoả mãn P( x +2)=kx+2
13.
3
3
1
2
3
2

19
26
+
−
+
−
−
−
+
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P

a) Rút gọn P b) Tính giá trị P khi x=7−4 3 c) Tìm giá trị
nhỏ nhất của P

14. 







+
+
+
−






−
−
−
+
=
1
4
1
:
1
1
1
1
2

3 x x

x
x

x
x
P

a) Rút gọn P b) Tìm số nguyên x để giá trị P là số tự nhiên

15. 






+
−
−
+






−
+
+
−

−
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
3
1
4
3
5
:
9
4
3
3
3
3

a) Rút gọn P

b) x0 là nghiệm của phương trình x2 - 11x + 18 = 0, tính giá trị của P tại
xo

c) Tìm m để phương trình P = m (ẩn x) có nghiệm.

16. 






−
−
−






−
+
−
+
+
+
= 2
3
5

3
:
3
9
3
3
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
A

a) Rút gọn biểu thức b) So sánh A và -1
c) Tìm m để phương trình

9
−
=

x
m

A có nghiệm

17. 






+
+
+
+
−
+
−
−
+
−
=
1
1
1
2
1
1
:
1
2
x
x
x

x
x
x
x
x
x
A

a) Rút gọn biểu thức b) So sánh A và │A│
c) Tìm m để phương trình ẩn x:

1
+
=
x
x
m

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

18. 1
1
1
2
:
1
1
4
3
1 +
−
+

+






−
+
−
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
A

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x nguyên để giá trị của A
nguyên

c) Với x > 1, tìm min của biểu thức

A

x
Q=

19. 






−
+
+






+
+
−
−
+
= x
x
x
x
x
x

x
x
x
x
P 2
2
8
.
4
2
8
4
2

a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị P biết

7
4
11
9
−
=
x

c) Tìm max của biểu thức Q = P. 2−x

20. 






 −
−
+






+
+
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
P 1
1
1
.
1
1
1

1
2

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x nguyên để giá trị P nguyên
c) Tìm giá trị x nguyên thoả mãn (x - 1).P - 5 x = 1

21. 





+
−






−
+
−
−
+
−
+
−
+
=

1
2
:
3
2
2
3
6
5
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị x để

2
5
1
−
≤
P
22.

1
1
1
2
1
1
+
+
+
−
−
+
−
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
P

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x
P

Q= 2 +

23. 






−
+
−
−






−
−
+
−
−
−
+
=
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
A
3
2
4
3
5
:
9
4
3
3
3
3

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm điều kiện của x để │A│>-A
c) Tìm x để A2 = 40A

24. 








+
+
+








+
+
+
=
xy
y
xy
xy
x
xy
y
x
y
xy
x

xy

A 1 2 2 : 2 2

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm m để phương trình A = m - 1 có nghiệm thoả mãn x+ y =6

25. 





−
−
−






+
−
+
+
−
+
−

−
=
1
x
2
)
x
1
)(
x
x
(
.
x
x
1
x
x
x
x
2
x
1
x
1
x
2
1
A

a) Rút gọn biểu thức

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

c) Tìm x nguyên để giá trị M nguyên

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT
BÀI 1: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ

1. a) Chứng tỏ rằng hàm số y = (m2 - m + 1)x - 7 là hàm số bậc nhất với mọi
m thuộc R

b) Với giá trị nào của m, n thì hàm số y = (m2 - 5m + 6)x2 + (m2 + mn -
6n2)x + 3 là hàm số bậc nhất

2. Cho hàm số y = ((m2− 3m− 2m+ 6)x+17

Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến? Nghịch biến?
3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-1;2); B(3; 0); C(3; 5).

a) Tính các cạnh của tam giác ABC từ đó suy ra ABC là tam giác cân
b) Tính diện tích tam giác ABC

4. Cho hàm số y=( 3− 5)x+ 5+ 3

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R?
b) Tìm x để giá trị hàm số bằng 1

c) Tìm x để f2(x) = 8 + 2
15

5. Cho hàm số bậc nhất y = f(x) = (6 - 3a)x + a - 6

a) Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến? Nghịch biến?
b) Biết f(2) = 0, hàm số đồng biến hay nghịch biến?

c) Biết f(-1) = 8, hàm số đồng biến hay nghịch biến?
6. Cho hàm số y = 2x

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Ba điểm A, B, C thuộc đồ thị hàm số và có hồnh độ lần lượt là -1; 1;
2. Tính khoảng cách từ các điểm đó đến gốc toạ độ

7. a) Trên mặt phẳng toạ độ có đường thẳng d đi qua gốc và điểm A 






 −; 2,5
2
1

,
d là đồ thị của hàm số nào?

b) Điểm B thuộc d và có khoảng cách đến trục hoành là -5, xác định toạ
độ điểm B.

8. Cho hàm số y = -2x (d1) và y = 1/2x(d2)

a) Vẽ đồ thị hàm số trên cùng 1 hệ trục toạ độ

b) Vẽ đường thẳng đi qua điểm (0; 2) và song song với trục Ox, cắt (d1)
và (d2) lần lượt tại A; B. Chứng minh OAB là tam giác vng và tính chu vi,
diện tích tam giác đó

9. Cho hàm số y = |x|
a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Đường thẳng y = 2 cắt đồ thị trên tại A và B. OAB là tam giác gì?
Tính chu vi, diện tích tam giác đó.

10. Cho hàm số y = (m2 - 2m + 3)x + 8.

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R
b) Tìm m, biết đồ thị đi qua điểm (1; 14)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

11. Xác định hàm số có đồ thị là đường thẳng // với đồ thị hàm số y =
( 3−1)x và đi qua điểm (1; 3+1)

12. Cho ba đường thẳng y = -x + 1(d1); y = x + 1(d2)

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ

b) (d1) cắt (d2) tại A, đường thẳng y = -1 lần lượt cắt d1 và d2 tại B và
C. Tìm toạ độ A; B; C

c) ∆ABC là ∆gì? Tính diện tích ∆đó.
13. Cho đường thẳng (d): y = -2x + 3

a) Xác định giao điểm A, B của (d) với Ox, Oy và tính khoảng cách từ
gốc toạ độ tới (d).

b) Tính khoảng cách từ điểm C(0, -2) đến (d)
14. Vẽ đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 2|

BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU.
HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1) Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau, biết:

a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=− 3x và đi qua B(1;
3-3)

b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = −3 3xvà đi qua điểm

(1− 5; 15−6)

2) Trên mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(2; 3), B(-1; -3), C(0; -1)
a) Tìm hệ số a của đường thẳng AB

b) Chứng tỏ rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng

3) Tìm giá trị của k để ba đường thẳng y = 2x + 7 (d1);

3
7
3
1 +

−

= x

y (d2); y =

k
k

x 1

2 −
−

(d3) đồng quy trong mặt phẳng tọa độ

4) Cho hai đường thẳng y = (m + 1)x - 3 và y = (2m - 1)x + 4
a) Chứng minh rằng khi m =

2
1
−

thì hai đường thẳng trên vng góc với
nhau

b) Chứng minh rằng hai đường thẳng vng góc với nhau khi và chỉ khi
tích hai hệ số góc bằng -1

c) Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng đã cho vng góc với

nhau

5) Cho đường thẳng y = 4x (d)

a) Viết phương trình đường thẳng (d2) vng góc với đường thẳng (d) và
cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng -8

b) Viết phương trình đường thẳng (d3) song song với đường thẳng (d) cắt
Ox tại A, cắt Oy tại B và diện tích tam giác ABO bằng 8

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

6) Cho hai đường thẳng y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) y = (2k + 1)x + k + 5 (d2).
Tìm giá trị của k để:

a) 2 đường thẳng cắt nhau; 2 đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục
tung

b) 2 đường thẳng song song; 2 đường thẳng trùng nhau
7) Cho đường thẳng (d): y = ax + 3a + 2

a) Xác định đường thẳng (d) tạo với tia Ox một góc 450. 
b) Xác định a để đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -3)

c) Chứng minh rằng với mọi a, họ đường thẳng xác định bởi hàm số trên
luôn luôn đi qua một điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ

8) Cho hai đường thẳng (d1) y = (m + 1)x + 3 (d2): y = 3mx + 5
a) Tìm tất cả các giá trị m để hai đường thẳng song song với nhau
b) Tìm tất cả các giá trị m để hai đường thẳng vuông góc với nhau
9) Cho hai hàm số y = 2x + 2 (d1); y = -1/2x - 2 (d2)

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy

b) Gọi giao điểm của đường thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm của
đường thẳng (d2) với trục Ox là B, còn giao điểm của đường thẳng (d1)
và (d2) là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm toạ độ các điểm A, B,
C. Tính diện tích tam giác ABC

10) Cho hai đường thẳng y = x + 3 (d1); y = 3x + 7 (d2)
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy

b) Gọi giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) với trục Oy lần lượt là A và
B. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB

c) Gọi J ≡ (d1) ∩ (d2). Chứng minh rằng ∆ OIJ là tam giác vng. Tính S
của tam giác đó.

11) Cho ba đường thẳng: x + y = 1(d1); x - y = 1 (d2); (k + 1)x + (k - 1)y = k
+ 1 (k ≠ 1) (d3)

a) Tìm giá trị của k để ba đường thẳng đồng quy trong mặt phẳng toạ độ
Chứng minh rằng khi k thay đổi thì đường thẳng (d3) luôn luôn đi qua một
điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ Oxy

BÀI 3: LUYỆN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ
1. Tìm điểm cố định mà mỗi hàm số sau luôn đi qua với mọi m

a) y = (m - 2)x + 3 b) y = mx + m + 2 c) y = (m - 1)x + 2m - 1
2. a) Cho đường thẳng d: y = 2x + 11. Xác định đường thẳng d' đối xứng với d
qua trục hoành

b) Cho đường thẳng d: y = 2x + 4. Xác định đường thẳng d' đối xứng với d
qua đường thẳng y = x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

3. Chứng minh rằng một đường thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hồnh
tại điểm có hồnh độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì sẽ có
phương trình là: 0

b
y
a
x
=
+

4. Xác định các số nguyên a và b sao cho đường thẳng y = ax + b đi qua điểm
A(4; 3) cắt trục tung tại điểm có tung độ nguyên dương, cắt trục hoành tại
điểm có hồnh độ ngun dương.

5. Cho đường thẳng d: y = (m - 2)x + 2.

a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố đinh với mọi m
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d bằng 1

c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d là lớn nhất
6. Tính hệ số góc của đường thẳng 1

2
y
3
x

=
+

7. Các điểm A(m; 3) và B(1; m) nằm trên đường thẳng có hệ số góc m > 0.
Tìm giá trị của m

8. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua điểm A(x1; y1) và có hệ số
góc bằng a thì đường thẳng đó có phương trình là y - y1 = a(x - x1).

9. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm toạ độ đỉnh D của hình bình
hành ABCD.

10. Cho 4 điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Tứ giác ABCD là hình gì?
CHƯƠNG III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI 1: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

(

) (

)




−
−
=
−
=
−
−

+
17
4
7
3
99
3
2
5
y
x
y
x
y
x
y
x

(

(

) (

) (

)

)




=
−
+
+
−
=
−
+

−
14
1
3
4
7
0
3
2
5
3
y
x
x
x
y

c)

(

(

) (

) (

)

)




=
+
−
+
=
+
−
+

1
1
2
1
3
8
1
5
1
2
y
x
y
x

(

(

) (

) (

)

)




=
−
−
+
=
−
−
+
9
1
8

1
3
5
5
1
4
1
3
2
x
y
x
y
e)




−
=
+
=
−
5
5
5
5
5
2
5

y
x
x
f)




−
=
+
=
−
1
2
10
2
3
5
4
y
x
y
x
g)




=

−
=
+
5
,
4
3
2
3
5
3
2
2
y
x
y
x
h)




=
−
=
+
8
3
4
2

5
1
3
2
y
x
y
x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

(

(

)

)





=
+
+
=
−
−
1
1
3
3
1
3
y
x
y
x

(

)





−
=
+
+
=
−
−
5
2
4
4
5
5
3
3
5
3
y
x
y
x

(

)





=
+
−
=
−
28
7
2
5
14
1
5
7
7
y
x
y
x

3. Giải các hệ phương trình sau
a)

(

(

)(

)(

)

)




+

=
−
+
=
−
+
6
3
4
2
2
xy
y
x
xy
y
x

(

(

)(

)(

) (

) (

)(

)(

)

)




=
−
−
−
+
−
=
−

+
−
−
−
18
5
3
1
3
0
3
1
2
1
y
x
y
x
y
x
y
x

(

(

)(

)(

) (

) (

)(

)(

)

)




+
−

=
+
−
−
+
=
−
−
1
4
4
5
3
1
2
1
y
x
y
x
y
x
y
x

(

) (

)

(

) (

)






−
−
=
−
−
+
+
+
=
−
+
−
2
2
2
2
2
2
1
3
1
1
2
1
y
x
y
x

y
x
y
x

(

)







=
−
+
+
=
−
+
−
−
31
3
1
2
5
7
16
3

2
11
1
5
2
x
y
x
y
x
y
x
f)






−
=
−
−
−
=
−
+
+
55
11

7
3
3
5
2
4
12
2
9
3
y
x
y
x
y
x
x

4. Tìm giá trị của a và b để:

a) Đa thức sau đây bằng đa thức 0: P(x) = (5a - 4b - 3)x + (3a + b + 5)
b) Hệ phương trình




=
+
=
+

5
2
ay
bx
a
by
x

nhận x = 1; y = 3 làm nghiệm
c) Hệ phương trình




=
−
+
=
−
1
2

3x y a
b
y
x

nhận x = 2; y = 1 làm nghiệm
5. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ

a)






=
+
=
+
12
1
4
3
4
3
10
1
1
5
3
y
x
y
x
b)







=
+
+
−
=
+
+
−
1
2
1
1
1
1
2
15
1
8
y
x
y
x
c)







=
−
+
−
=
−
−
+
1
2
3
2
20
1
2
1
2
4
y
x
y
x
y
x
y
x
d)







=
+
−
+
−
+
=
+
−
−
−
+
5
,
1
1
1
3
3
8
1
2
3
5
y

x
y
x
y
x
y
x
e)




=
+
+
−
=
+
−
−
15
2
5
1
2
2
2
3
1
y

x
y
x
f)




=
+
+
+
=
+
−
+
4
1
3
2
2
1
2
3
y
x
y
x
h)








=
+
+
−
=
+
−
−
6
13
6
3
7
5
3
5
6
4
7
7
y
x
y
x

a)






=
−
+
−
=
−
+
−
18
1
3
1
1
10
1
1
1
5
y
x
y
x
b)





=
+
+
+
=
+
−
+
31
1
3
3
5
2
1
9
3
4
y
x
y
x
c)





=
−
−
=
+
33
11
5
39
13
7
2
2
y
x
y
x
d)




=
−
=
+
5
2
10

2
2
2
2
2
y
x
y
x

(

)

(

)





=
+
+
=
−
+
7
5
3
3
6
2
3

3
2
3
2
y
x
y
x

(

)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

6. Biết rằng một đa thức P(x) chia hết cho (x - a) khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy
tìm giá trị của m và n sao cho đa thức:P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n 
đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2)

7. Tìm các giá trị của m để:
a) Hệ phương trình




=
+
=
−
7
3
2
5
my

x
y
mx

có nghiệm thỏa mãn x > 0; y < 0
b) Hệ phương trình




=
+
=
+
6
4
3
my
x
y
mx

có nghiệm thỏa mãn x > 1; y > 0
c) Hệ phương trình




+
=

+
=
+
1
2
m
my
x
m
y
mx

có nghiệm ngun khi m ngun
d) Hệ phương trình

(

)




−
=
−
−
=
+
+
2
1
2
1
2

m
y
mx
m
my
x
m

có nghiệm thỏa mãn xy đạt giá
trị lớn nhất

8. Giải các hệ phương trình sau
a)





=
+
−
=
+
−
=
+
+
7
z
4

y
3
x
6
z
3
y
x
2
4
z
2
y
x
b)





=
−
−
=
+
+
=
−
+
40

z
y
x
5
39
z
4
y
4
x
2
36
z
3
y
5
x
c)







=
+
+
=
+

+
=
+
+
=
+
+
33
y
x
t
27
y
t
z
31
t
z
x
23
z
y
x
d)








=
−
−
+
=
+
−
−
−
=
−
+
−
=
+
+
+
0
t
z
y
x
2
t
z
y
x
6
t

z
y
x
0
t
z
y
x
e)









=
+
=
+
=
+
18
x
1
z
1
20

z
1
y
1
16
y
1
x
1
f)









=
+
=
+
=
+
7
24
z
x
xz

5
12
z
y
yz
3
8
y
x
xy
g)







=
+
−
=
−
=
+
−
5
,
4
y

1
z
2
3
y
3
x
5
7
x
2
1
z
4
h)









=
+
=
+
=
+

2
x
1
z
2
z
1
y
2
y
1
x

9. Tìm các giá trị của k để hệ phương trình sau có nghiệm






−
=
+
=
+
−
=
−
+
6

k
7
y
k
x
2
0
7
y
x
2
0
7
y
3
x
2

BÀI 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1. Giải các hệ phương trình sau
a)






−
+

=
−
+
−

1
1

9
1
2
2

y
x

b)





=
+

−

=
+
+

30
25

y
y
x

x
y
x

c)






=
+
+

=
+

=
+
+

38
3
5

46
4
5

z
ay
x

z
y
ax

z
y
x

(a là
tham số)







=
+
+

2
3

az
y
x

a
z
ay
x

a
z
y
ax

(a là tham số) e)

(

)

(

)(

)

(

)(

)







−
=
−
+
+

−
=

−
+
+

−
=
−
+
+

a
c
by
x
z
c
a

c
b
ax
z
y
c
b

b
a
cz
y

x
b

a )

(

(a, b, c là tham số,
a + b + c ≠ 0)

2. Vẽ đồ thị biểu diễn tập nghiệm của phương trình x2 - 2xy + y2 = 1

3. Đường thẳng ax + by = 6 (a; b > 0) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 9. Tìm tích ab

4. Tìm các điểm nằm trên đường thẳng 8x + 9y = -79, có hồnh độ và tung độ
là các số nguyên và điểm đó nằm trong góc phần tư thứ III

5. Trong một hội trường có một số băng ghế, mỗi băng ghế quy định ngồi số
người như nhau. Nếu bớt đi 2 băng ghế và mỗi băng ngồi thêm 1 người thì
được thêm 8 chỗ. Nếu thêm 3 băng ghế và mỗi ghế ngồi bớt đi 1 người thì
giảm đi 8 chỗ. Tính số băng ghế trong hội trường.

6. Người ta cho thêm 1kg nước vào dung dịch A thì được dung dịch B có nồng
độ axit là 20%. Sau đó lại cho thêm 1kg axit vào dung dịch B thì được dung
dịch C có nồng độ axit là 33

3
1

%. Tính nồng độ axit trong dung dịch A.

7. Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể trong 1 giờ thì được 3/10 bể. Nếu vịi I
chảy trong 3 giờ, vịi II chảy trong 2 giờ thì mới được 4/5 bể. Hỏi mỗi vịi
chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể.

8. Ba tổ công nhân A, B, C có tuổi trung bình theo thứ tự là 37, 23, 41. Tuổi
trung bình của hai tổ A và B là 29. Tuổi trung bình của hai tổ B và C là 33.
Tính tuổi trung bình của cả ba tổ.

9. Ba xe ơ tơ chở 118 tấn hàng tổng cộng hết 50 chuyến. Số chuyến của xe thứ
nhất chở gấp rưỡi số chuyến của xe thứ 2. Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2 tấn,
xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn. Hỏi mỗi ô tô chở mấy chuyến?
10. Ba ca nô cùng rời bến A một lúc để đến B. Ca nô thứ hai mỗi giờ đi chậm
hơn ca nô thứ nhất 3km nhưng nhanh hơn ca nô thứ ba 3 km nên đến B sau ca
nô thứ nhất 2 giờ nhưng trước ca nơ thứ ba là 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông
AB

11. Một bè nứa trôi tự do và một ca nô đồng thời rời bến A để xuôi dịng sơng.
Ca nơ xi dịng được 96 km thì quay ngay lại A, cả đi lẫn vễ hết 14 giờ. Trên
đường quay về A, khi còn cách A là 24 km thì ca nơ gặp bè nứa nói trên. Tính
vận tốc của ca nơ và vận tốc của dòng nước.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

12. Hai máy cày có cơng suất khác nhau cùng làm việc đã cay được 1/6 cánh
đồng trong 15 giờ. Nếu máy thứ nhất cày trong 12 giờ, máy thứ hai cày trong
20 giờ thì cả hai máy cày được 20% cánh đồng đó. Hỏi nếu mỗi máy làm việc
riêng thì cày xong cánh đồng trên trong bao lâu.

13. Một đồn học sinh tổ chức đi thăm quan bằng ơ tô. Người ta nhận thấy
rằng nếu mỗi xe chỉ chở 22 học sinh thì cịn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ơ tơ

thì có thể phân phối đều học sinh lên các ơ tơ cịn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu
ơ tơ, biết rằng mỗi ô tô không chở quá 32 học sinh.

14. Đem một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì được 405.
Nếu lấy số được viết bằng hai chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại nhân với
tổng các chữ số của nó thì được 486. Tìm số ban đầu.

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
BÀI 1: HÀM SỐ Y = AX2VÀ ĐỒ THỊ

1. Xác định công thức hàm số y = ax2, biết hàm số có đồ thị là parabol thoả
mãn điều kiện sau:

a) Cắt đường thẳng y = 1 tại hai điểm A và B với độ dài AB = 4
b) Cắt đường thẳng y = -6 tại hai điểm M và N với độ dài MN = 6

c) Đi qua điểm (-2; -2). Xác định toạ độ điểm C thuộc parabol này, biết
khoảng cách từ C đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ C đến trục tung.
2. Vẽ đồ thị hàm số y xx

3
1
=

3. a) Vẽ đồ thị hàm số 2

2
1

x

y=−

b) Gọi C là một điểm tuỳ ý trên parabol trên. K là trung điểm của OC. Khi
điểm C di chuyển trên parabol thì điểm K di chuyển trên đường nào.

4. a) Cho parabol 2

4
1

x

y= , điểm A (0; 1) và đường thẳng d có phương trình y =

-1. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc parabol. Chứng minh rằng MA bằng
khoảng cách MH từ điểm M đến đường thẳng d.

b) Cho điểm A (0; a), gọi d là đường thẳng có phương trình y = -a. Chứng
minh rằng quỹ tích của điểm M(x; y) sao cho khoảng cách MH từ M tới d
bằng MA là một parabol

5. Cho hàm số y = x2(P). Xác định vị trí tương đối của (P) và đường thẳng (d)
có phương trình:

a) y = 2x - 1 b) y = 2x c) y = 2x - 5

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI

1. Dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải các phương
trình sau:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

a) 6x2 + 71x + 175 = 0 b) x2−

(

2+ 8

)

x+4=0 
c)

(

1+ 3

) (

x2 − 2 3+1

)

x+ 3−1=0 d) -30x2 + 30x - 7,5 = 0 
e)

(

1− 2

)

x2 −2

(

1+ 2

)

x+1+3 2=0 f)

(

3+1

)

x2+2 3x+ 3−1=0
2. Giải các phương trình với biến x sau:

a) x2 - 11ax + 60a2 = 0 b) x2 + (a + c)x - 2a(a - c) = 0
c) (m2 - n2)x2 - 2mx + 1 = 0 d) x2 + 2(3m + 5)x + 3m + 25 = 0
e) x2- 2(m + 2)x + m2 - 12 = 0 f) (m - 4)x2 - 2mx + m - 2 = 0 
g) x2 - mx - 3(m+ 3) = 0 h) mx2 - 4x + 4 = 0

3. Với giá trị nào của m thì các phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép
đó.

a) mx2+ 2(m + 2)x + 9 = 0 b) x2 - 2(m - 4)x + m2 + m + 3 = 0
c) (m + 1)x2 - m3x + m2(m - 1) = 0 d) (m + 3)x2 - mx + m = 0
4. Tìm m để mỗi phương trình sau vô nghiệm

a) mx2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 b) (m2 - 4)x2 + 2(m + 2)x + x = 0 
c) 2 3x2 −m 3x+1=0

5. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung,
tìm nghiệm chung đó?

a) 2x2 + (3m + 1)x - 9 = 0 và 6x2 + (7m - 1)x - 19 = 0 
b) x2 + 2x + m = 0 và x2 + mx + 2 = 0

c) x2 + mx + 1 = 0 và x2 - x - m = 0
d) x2+ (m - 2)x + 3 = 0 và 2x2 + mx + m + 2 = 0 
6. Cho a, b, c là số đo độ dài của 3 cạnh một tam giác.

a) Chứng minh rằng phương trình sau vơ nghiệm:
a2x2 + (a2+ b2 - c2)x + b2 = 0

b) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 - c2)x - 4abx + a2 + b2 - c2) = 0

7. Tìm các giá trị của m, biết rằng phương trình x2 + mx + 12 = 0 có hiệu hai
nghiệm bằng 1

8. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm với mọi a, b, c.
a) x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x - b) = 0

b) x2 + (a + b)x - 2(a2 - ab + b2) = 0
c) 3x2 - 2(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0

d) (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0

9. Tìm các số nguyên m để nghiệm của phương trình sau là số nguyên
mx2 - 2(m - 1)x + m - 4 = 0

BÀI 3: ĐỊNH LÝ VI-ET VÀ ÁP DỤNG
1. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình

a) mx2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 b) (m - 1)x2 + (m +1)x + 2 = 0
2. Không giải phương trình, hãy xét dấu các nghiệm của phương trình, nếu có.
a) 3x2 - 7x + 2 = 0 b) 5x2 + 3x - 1 = 0 c) 2x2 + 13x + 8 = 0

d) 4x2 - 11x + 8 = 0

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

3. Xác định giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng
dấu

a) (m - 1)x2 - 2x + 3 = 0 b) mx2 + 2(m + 1)x - 2 + m =0 
4. Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình 2x2 - 3x - 5 = 0. Không giải
phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau

2
1

1
1

x

x + b) (x1 - x2)

2 c) x

13 + x23 d) 2

2
2
1

1
1

x
x +
e)

2
1

2
2
2
1
2

1 5

x
x

x
x
x
x

−
+
+

5. a) Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0 
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn

5
1

1 1 2

2
1

x
x
x
x

+
=
+

b) Cho phương trình x2 - (m + 2)x + 2x - 1 = 0. Tìm một hệ thức liên hệ
giữa hai nghiệm của phương trình mà khơng phụ thuộc vào m.

6. Cho phương trình x2 + mx + n = 0 có 3m2 = 16n. Chứng minh rằng trong
hai nghiệm của phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia

7. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm bằng
a) 3va2 3 b) 2− 3va2+ 3

c) Bình phương của các nghiệm của phương trình x2 - 2x - 1 = 0 
d) Nghịch đảo của các nghiệm của phương trình x2 + mx - 2 = 0 
e) Luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm của phương trình x2 + 5x - 1 = 0
8. Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó nghiệm nào
có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để các nghiệm của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3
9. Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình

b) Tìm m sao cho hai nghiệm của phương trình thoả mãn 10x1x2 + x12 +
x22đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

10. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3
= 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = |x1x2 - 2x1 - 2x2|
11. Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào m
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt
đối nhưng trái dấu

12. Cho các số a, b, c khác nhau từng đôi một, c khác 0. Biết rằng các phương
trình:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

x2 + ax + bc = 0 và x2+ bx + ca = 0 có ít nhất một nghiệm chung

a) Tìm các nghiệm cịn lại của hai phương trình

b) Chứng minh các nghiệm cịn lại đó là nghiệm của phương trình x2 + 
cx + ab = 0

13. Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu
a) x2 + 3mx +3x - 1 = 0 b) x2 - 7x + m2 - 8 = 0 c) (2m- 1)x2 - (3m +
4)x + m + 3 = 0

14. Cho phương trình (k - 1)x2 - 2kx + k - 4 = 0. Gọi x

1 và x2 là hai nghiệm
của phương trình. Lập một hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào
k

15. Tìm giá trị của m để các nghiệm x1 và x2của phương trình:
a) x2 + (m - 2)x + m + 5 = 0 thoả mãn x12 + x22 = 10
b) x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thoả mãn x

1 = 2x2
c) x2 - mx + m + 1 = 0 thoả mãn x

1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0

16. Gọi x1 và x2là hai nghiệm của phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m +
3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = |x1x2 - 2x1 -2x2|

17. Gọi x1 và x2là hai nghiệm của phương trình x2- mx + m - 1= 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

)
1
(

2
3
2

2
1
2
2
2
1

2
1

+
+

+
=

x
x

x

x
x
P

18. Cho các phương trình ax2+ bx + c = 0 có hai nghiệm là m và n và cx2 + 
bx + a = 0 có hai nghiệm là p và q. Chứng minh rằng m2 + n2 + p2 + q2 ≥ 4 
19. Cho phương trình x2+ bx + c = 0 có các nghiệm x1 và x2, phương trình x2 -
b2x + bc = 0 có các nghiệm x3 và x4. Biết x3 - x1 = x4- x2 = 1. Tính b, c

20. Tìm các số a và b sao cho các phương trình x2 + ax + 6 = 0 và x2 + bx +12 
= 0 có ít nhất một nghiệm chung và |a| + |b| nhỏ nhất

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. Phương trình đa thức bậc cao

1. Phương trình tam thức

a) x4 + 17x2 + 52 = 0 b) 2x4 - 34x2 + 113 = 0 c) x4 + 25x2 + 144 = 0 
d) x6 + 9x3 + 8 = 0 e) x8 - 17x4 + 16 = 0 f) x6 + x4 + x2 = 0 
2. Giải các phương trình sau

a) 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = 0 b) x3 + x2 - 7x + 2 = 0 c) x3 - 13x2 + 42x - 36 = 0 
d) x3 - 10x2 + 31x - 30 = 0 e) x3 - 5x2 + x + 7 = 0 f) x3 + 2x - 5 3= 0 
g) x3−x− 2=0 h) (x - 2)3 + (x + 1)3 =8x3 - 1

i) 4 2x3−22x2 +17 2x−6=0 k) x4 −12x2+16 2x−12=0

m) (x2- 6x)2 - 2(x - 3)2 = 81 n) x4 + (x - 1)(3x2 + 2x - 2) = 0 
p) x4 + (x + 1)(5x2 - 6x - 6) = 0 q) x5 + x2 + 2x + 2 = 0

Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
3.Phương trình đối xứng (phương trình hồi quy)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + 1 = 0 b) 6x4+ 5x3 -38x2 + 5x + 6 = 0

c) 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + 6 = 0 d) 6x5 - 29x4 + 27x3+ 27x2 - 29x + 6 = 0 
e) x7 - 2x6 + 3x5- x4 - x3 + 3x2 - 2x + 1 = 0 f) 6x5 - 11x4 - 11x + 6 = 0 
g) x4 + 9 = 5x(x2 - 3) h) (x2- 6x - 9)2 = x(x2 - 4x - 9)

4.a) (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = 0

b) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 = 0 c) x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 3

d) (x + 1)(x+ 4)(x2 + 5x + 6) = 24 e) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 
f) (x2- 2x + 4)(x2 + 3x + 4) = 14x2 g) (2x2 - 3x + 1)(2x2 +5x + 1) = 9x2
h) (4x + 3)2(x + 1)(2x + 1) = 810 i) (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35 
k) (x2 - 3x + 1)(x2 + 3x + 2)(x2 - 9x + 20) = -30

5. a) (x + 5)4 + (x + 3)4 = 2 b) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 
c) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 d) (x - 4,5)4 + (x - 5,5)4 = 1 
e) (x - 2)3 + (x - 4)3 = 8 f)

(

+ 2

)

4 +

(

+1

)

4 =33+12 2

x
x

6. Giải phương trình bằng cách biến đổi hai vế thành bình phương hoặc lập
phương đúng

a) x4 - x2 + 2x - 1 = 0 b) x4 - 9x2+ 24x - 16= 0 c) x4 = 2x2 + 8x + 3 
d) (x2 - 16)2 = 16x + 1 e) (x2 - a2)2 = 4ax + 1 f) x4 = 4x - 3 
g) x4 = 2x2 - 12x + 8 h) (x2 - x + 1)4 - 6x2(x2 - x + 1)2 + 5x4 = 0 
i) x4 = 4x + 1 k) x4 = 8x + 7

m) x3- 3x2 + 9x - 9 = 0 n) x3 - x2 - x = 1/3

II. Phương trình chứa ẩn ở mẫu (phương trình phân thức hữu tỉ)

1. Giải các phương trình sau
a)
1
2
1
1 2
2
2
−
=
+
−
− x
x
x
x
x
x

b)
x
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
−
2
1
2
1
1
1
c)
2
16
2
3
1
2
8
7

6 2 2

−
−
−
=
+
+
+
x
x
x
x
x
x

d 0
3
2
1
6
7
2
4
4
1
12
8
3
2
4

2
2
2

3+ − − − − − + + + + =

x
x
x
x
x
x
x

2. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
a) 3 2 12 16 1+26=0





 +
−





 +
x

x
x

x b) 





 +
=
+
x
x
x

x3 13 6 1

c) 3 0

5
5
11
9
25 2
2
=






 −
−
+
x
x
x
x
d)
5
3
6
4
3
2
3
3
1
2
2

2− + + − + = − +

x
x
x
x
x
x

e)
)
4
2
(
2
9
3
2
2
2
2
1
2
2

2− + + − + = − +

x
x
x

x
x

x f)

(

)(

) (

)(

)

8
2
1

6 =
+
−
+
+

+ x x x

x
g)
6
7
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+

+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
h)
9
40
2
1

1 2 2

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

3. Chia cả tử và mẫu cho x rồi đặt ẩn phụ

a) 1

7
10
4
3
7
8

4
4
2

2− + + − + =

x
x
x
x
x
x
b)
12
1
15
16
15
15
15
14
15
13
2
2
2
2
−
=
+

−
+
−
−
+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x

c) 1

7
10
4
3
7
8
4
2
2

2− + + − + =

x
x
x
x
x
x

d) 16

3
2
2
13
3
5
2
2
2

2− + + + + =

x
x
x

x
x

e) 4

1
7
1
3
3
2

2− + + + + =−

x
x
x
x
x
x
f)
15
12
4
15
6
15
10
2
2
2
+
−
=

+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
g)
4
1
5
6
5
5
15
6
15
10
2
2
2
2
=
+
−
+

−
−
+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x

4. Thêm bớt hạng tử để được bình phương rồi đặt ẩn phụ

a) 11

)
5
(
25
2
2
2 =
+
+
x
x

x b)

(

)

40
81
2
2
2 =
+
+
x
x
x
c)

(

)

2 15

2
2 =
+
+
x
x

x d)

(

)

5
4
2
2

2 =
+
+
x
x
x

5. Một số dạng khác

a) 2 1 2

1
2 4
2
2
4
=
+
+
+ x
x
x
x

b) 0

1
4
.
2

5
1
2
1
2
2
2
2
2
=
−
−
−






−
−
+






+
+

x
x
x
x
x
x

c) 0

1
4
48
1
2
5
1
2
2
2
2
2
=






−

−
+






−
+
−






+
−
x
x
x
x
x
x

(

)

3

2

1

3 =













−

+

−

x

(

)

1
5
1
5 =







+
−
+
+
−
x
x
x
x
x
x

(

)

1
8
1
8 =






−
−
−
−
−

x
x
x
x
x
x

g) 4

4
4
3
3
2
2
1
1
=
−
+
+
+
−
+
+
−
+
−
+
x

x
x
x
x
x
x
x
h)
3
8
2
8
2
8
1
4
1
4
−
+
−
+
−
+
=
+
−
+
−
+

x
x
x
x
x
x
x
x
i)
11
6
6
11
4
−
−
=
x
x

x k)

x
x
x
78
133
78
133
5

−
−
=

III. Phương trình vơ tỉ

1. Giải phương trình bằng cách nâng lên luỹ thừa để khử căn
a) 2x+5− 3x−5=2 b) 1+x x2 +4 =x+1 c)

2
2
9
4
1
9
1
3
3
x
x
x

x = + +

d) 15−x+ 3−x =6 e) 4x+1− 3x+4=1 f) x−1− x+1=2
g) x−2 x−1− x−1=1 h) x+ 2x−1+ x− 2x−1= 2

i) x+ 6x−9 + x− 6x−9 = 6

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

a) x2+3x−6+4 x2+3x−6=0 b) x2−4x+4=4 x2−4x+1

c) x2−5+ x2 −6=7 d) x2 −4x−10−3

(

x+2

)(

x−6

)

=0
e) 2 2x2−3x+2=2x2−3

(

x+2

)

12
7
2
2

2
2

2 =

+
+
−
+

x
x
x

x

3. Giải phương trình bằng cách đưa về dạng phương trình chứa dấu GTTĐ
a) x2−4x+4+ x2−6x+9=1 b) x+4−4 x + x+9−6 x =1
c) x+6−4 x+2 + x+11−6 x+2 =1 d) x+2−4 x−2 + x+7−6 x−2 =1
4. Giải phương trình bằng cách chỉ ra nghiệm nhờ ĐKXĐ hoặc đánh giá 2 vế
a) 2x−1+ x−2= x+1 b) 3x+15− 4x+17= x+2
c) x−1+ x+3+2

(

x−1

)

(

x2−3x+5

)

=4−2x d) x+1+ x+10= x+2+ x+5
2.3.2 HÌNH HỌC

CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BÀI 1: HỆ THỨC CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG
1. Cho tam giác ABC vng ở A. Biết

7
5
AC
AB=

, đường cao AH = 15 cm. Tính
HB, HC.

2. Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn AB = 26 cm, AD = 10 cm và đường
chéo AC vng góc với cạnh bên BC. Tính diện tích hình thang ABCD.

3. Cho tam giác ABC vng ở A, đường phân giác AD, đường cao AH. AB =
12 cm, AC = 16 cm. Tính độ dài các đoạn HB, HC, HD.

4. Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH. Tính chu vi của tam giác
ABC biết AH = 14 cm,

4
1
HC
HB=

5. Cho hình thang vng ABCD có góc A = góc D = 900, AB = 15 cm, AD = 
20 cm, các đường chéo AC và BD vuông tại O. Tính diện tích hình thang
ABCD

6. Cho hình vng ABCD và điểm I nằm giữa A và B. Tia DI cắt BC ở E.
Đường thẳng qua D vng góc với DE cắt BC ở F.

a) ∆ DIF là tam giác gì? b) Chứng minh 2 2
DE

1
DI

1 +

không đổi khi I di
chuyển trên AB

7. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M, N
là điểm lần lượt nằm trên HB. HC sao cho góc AMC = góc ANB = 900. Tam 
giác AMN là tam giác gì?

8. Cạnh huyền của một tam giác vng lớn hơn một cạnh góc vng của tam

giác là 9cm, cịn tổng hai cạnh góc vng lớn hơn cạnh huyền là 6cm. Tính
chu vi và diện tích tam giác vng đó

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

9. Cho tam giác ABC, đường cao BH. đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = c',
HC = b'. Chứng minh rằng

a) Nếu góc A < 900 thì a2 = b2 + c2 - 2bc' a) Nếu góc A > 900 thì a2 = b2
+ c2 + 2bc'

BÀI 2: HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG
0) Chứng minh rằng với mọi góc nhọn α ta ln có:

a) sin2α + cos2α = 1 b) tgα.cotgα = 1 
c)

α
=

+ 2 2

cos
1
tg

1 d)

α
=

+ 2 2

sin
1
g

cot
1
1. Tính

A = (sinα + cosα)2 - 2sinα.cosα - 1 
B = (sinα - cosα) + 2sinαcosα + 1
C = (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 + 2
D = 4cos2α - 6sin2α biết sin α = 1/5

E = sinα.cosα , biết tgα + cotgα = 3 F = cos4α - cos2 α + sin2α biết
cos α = 4/5

2. Cho tam giác nhọn ABC có BC = a; AB = c; AC = b
a) Chứng minh rằng

C
sin

c
B
sin

b
A
sin

=
=

b)SABC= acsinB

2
1
A
sin
bc
2
1
C
sin
ab
2

1 = =

bc
2

a
2
A
sin ≤

3. Cho tam giác ABC có BC = a; AB = c; AC = b và b + c = 2a. Chứng minh
a) 2sinA = sinB + sin C

c
b

a h

1
h

2 = + trong đó h

a; hb; hclần lượt là chiều cao ứng với a, b, c
4. Cho tam giác ABC vuông ở A, ∠C = α (α < 450), trung tuyến AM, đường
cao AH. Biết BC = a, AC = b, AH = h

a) Tính sinα, cosα, sin2α theo a, b, h b) Chứng minh rằng sin2α =
2sinαcosα

5. Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AH, BI, CK.
Chứng minh SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C). SABC
6. Cho tam giác ABC vuông ở A.

a) Kẻ đường cao AA'. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của điểm A'
trên AC và AB. Chứng minh 3

AB
AC
BF
CE =

b) Cho D là một điểm trên cạnh BC, M và N lần lượt là hình chiếu của
điểm D trên AB và AC. Chứng minh DB . DC = MA . MB + NA . NC

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

7. Cho tam giác AMB vuông ở M. Qua B kẻ đường thẳng d vng góc với
AB. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d và trên
AB. Cho biết ∠MAB = α (α≤ 450) và AB = 2a

a) Tính MA, MB, MH theo a và α
b) Tính MH theo a và 2α

c) Chứng minh cos2α = 1 - sin2α, cos2α = 2cos2α - 1 
8. Giải ∆ABC vuông ở A, biết:

a) a = 50 cm, góc B = 500 b) b = 21 cm; góc C = 410
9. Tam giác ABC có AB = 16 cm; AC = 14 cm và góc B = 600

a) Tính BC b) Tính SABC

10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đặt BC = a; AC = b; AB =
c.

Chứng minh AH = asinBcosB; BH = acos2B, CH = asin2B

11. Cho tam giác nhọn ABC, BC = a; CA = b; AB = c. Chứng minh rằng b2 = 
a2 + c2 - 2accosB

12. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở đáy
bằng α. Chứng minh = α α

cos
sin
4

h
S

ABC

13. Cho tam giác ABC có AB = AC = 1, góc A = 2α. Vẽ các đường cao AD,
BE

a) Các tỉ số sinα; cosα, sin2α, cos2α được biểu diễn bởi đoạn nào trong
hình?

b) Chứng minh ∆ADC đồng dạng ∆BEC, từ đó suy ra:

sin2α = 2sinαcosα cos2α = 1 - 2sin2α = 2cos2α-1 = cos2α - sin2α
c) Chứng minh rằng

α
−

α
=

α 2

tg
1

tg
2
2

α
−
α
=

α 2 2

cot
2

1
g
cot
2

g
cot

14. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia
AE cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh rằng 2 2 2

AF
4

1
AE

1
AB

1 = +

Gợi ý: Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với 4 và chứng minh hệ thức thu
được bằng cách vẽ thêm đường phụ

15. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Chứng minh rằng
a) SADE = SABC . cos2A b) SBDCE= SABC. sin2A

16. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH = h, góc C = α. Hãy giải

∆ABC theo h và α.

17. Hình bình hành ABCD có góc A = 1200, AB = a, BC = b. Các đường phân
giác của 4 góc tạo thành hình tứ giác MNPQ. Tính diện tích MNPQ

KIỂM TRA 45'

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

1. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo vng góc với nhau.
Biết AC = 16cm, BD = 12 cm. Tính chiều cao của hình thang.

2. Cho tam giác ABC có AB = 1; góc A = 1050; góc B = 600. Trên cạnh BC
lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED // AB (D∈ AC). Chứng minh rằng

3
4
AD

1
AC

2 + =

Gợi ý: Kẻ AK vng góc AC (K∈CB), chứng minh AK = AD.

3. Biết sinα + cosα = 7/5 (00 < α < 900). Tính tgα

4. Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết góc AOD = 700. 
Tính diện tích tứ giác ABCD (kết quả làm tròn đến 1 chữ số thập phân

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRỊN

BÀI 1: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG VÀ
LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG KÍNH - DÂY CUNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN
1. Gọi I và K lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB, AD của hình vng ABCD
sao cho AI = AK. Đường thẳng kẻ qua A vng góc với DI ở P, cắt BC ở Q.
Chứng minh C, D, K, P, Q cùng thuộc một đường trịn.

2. Cho hình vng ABCD cạnh a. Gọi M và N lần lượt là hai điểm tuỳ ý trên
các cạnh AB và AD sao cho chu vi tam giác ANM = 2a. Gọi H là hình chiếu
của C trên MN. Chứng minh rằng điểm H ln thuộc một đường trịn cố định
khi hai điểm M, N di chuyển trên AB và AD

3. Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng
trong các dây đi qua I thì dây vng góc với OI có độ dài nhỏ nhất.

4. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AD. Trên nửa đường trịn lấy điểm B
và C. Biết AB = AC = 2 5, CD = 6. Tính bán kính đường trịn.

5. Cho đường trịn (O), đường kính AB, dây cung AC.

a) Cho biết khoảng cách từ O đến AC, BC lần lượt là 6 và 8. Tính độ
dài các dây AC, BC và bán kính đường trịn

b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Tìm tập hợp

trọng tâm G của tam giác ABD khi C chuyển động trên đường tròn (O).

6. Cho đường trịn (O, R), đường kính AB, dây cung DE. Tia DE cắt AB ở C.
Biết góc DOE = 900 và OC = 3R

a) Tính độ dài CD và CE theo R

b) Chứng minh rằng CD.CE = CA.CB

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

a) Nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm

b) Tính độ dài dây AB nói trên biết R = 7,5 cm, OM = 2,1 cm.

8. Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp (O), AC = 40cm, BC = 48cm. Tính khoảng
cách từ O đến BC

9. Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp (O), cạnh bên bằng b, đường cao AH = h.
Tính bán kính của (O) theo b và h

10. Cho 3 điểm A, B, C bất kì và đường trịn (O) bán kính bằng 1. Chứng
minh rằng tồn tại một điểm M nằm trên (O) sao cho MA + MB + MC ≥ 3

BÀI 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN
1.Cho hình thang vng ABCD có góc A = góc B = 900, AB = BC = 1cm, AD 
= 2cm. Chứng minh rằng đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn (D; 2cm).
2. Cho hình vng ABCD, trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA.
Đường thẳng kẻ qua I vng góc với BD cắt AD ở E.

a) So sánh các đoạn AE, EI, ID

b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BD với đường tròn (E,
EA)

3. Dựng đường tròn bán kính 2cm, tiếp xúc với đường thẳng xy cho trước và
đi qua điểm A cách xy một khoảng bằng 3cm.

4. Cho đường tròn (O, 15cm), AB là dây cung của đường trịn. Tìm tập hợp
trung điểm I của AB khi AB thay đổi trong (O)sao cho độ dài AB luôn bằng
24cm.

5. Cho nửa (O), đường kính AB. Qua C thuộc nửa đường trịn, kẻ tiếp tuyến
xy của nửa đường tròn. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A và B trên xy.
Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ C xuống AB. Chứng minh:

a) C là trung điểm của MN
b) CH2 = AM . BN

c) Tam giác MHN vuông

6. Cho (O) và điểm M nằm ngồi đường trịn. Qua M dựng hai tiếp tuyến MA,
MB với (O) sao cho AMB = 900. Qua điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến
với đường tròn cắt MA và MB lần lượt tại P và Q. Chứng minh

)
MB
MA
(
2
1
PQ

)
MB
MA
(
3
1

+
<

<
+

7. Cho nửa (O), đường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax, By lần lượt
lấy các điểm C và D. Biết AC + BD = CD. Chứng minh

a) Góc COD = 900

b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD
còn CD là tiếp tuyến (O).

8. Cho tam giác ABC có BC < AC, trung tuyến CD. Đường trịn nội tiếp các
tam giác ACD và BCD tiếp xúc với CD lần lượt ở E và F. Chứng minh 2EF =
AC - BC.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

9. Cho tam giác ABC, biết BC = a; CA = b; AB = c. Gọi r là bán kính đường
trịn nội tiếp ∆ABC, S là diện tích tam giác. Chứng minh rằng

2
)

c
b
a
(
s

S= + +

10. Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi r, R lần lượt là bán kính đường tròn
nội tiếp và ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng AB + AC = 2(r + R)

BÀI 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN

1. Hai đường trịn (O) và (O') tiếp xúc ngồi tại A. Đường nối tâm OO' cắt (O)
ở B, cắt đường tròn (O') ở C. DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường
tròn (D ∈ (O), E ∈ (O')). Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE.
Chứng minh:

a) Góc DME = 900 b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(O) và (O')

c) MD. MB = ME . MC

2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ (O1) đi qua A và tiếp xúc BC tại B, (O2)
đi qua A và tiếp xúc BC ở C

a) Chứng minh (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại A

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của
hai đường tròn tại A

3. Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài tại M. Qua M vẽ hai đường
thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt hai đường tròn tại A, B, đường thẳng thứ hai
cắt hai đường tròn tại C, D. Chứng minh:

a) Tam giác O1AM đồng dạng tam giác O2BM
b) Tam giác MAC đồng dạng tam giác MBD
c) AC // BD

4. Cho nửa (O) đường kính AB. Vẽ đường trịn (O'), đường kính OA. Qua A
vẽ dây cung AC của đường tròn (O) cắt (O') ở M. Chứng minh:

a) Hai đường tròn tiếp xúc nhau
b) O'M // OC

c) M là trung điểm của AC và OM // BC

5. Cho hai đường tròn (O, R) và (O'; R') cắt nhau tại A và B. Biết góc OAO' =
900; R = 6cm, R' = 4,5 cm.

a) Tính OO'; AB

b) Gọi P là trung điểm của OO', qua A kẻ cát tuyến vng góc với AP
cắt đường trịn (O) ở C, cắt đường tròn (O') ở D. So sánh AC, AD và
AB

6. Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Gọi OM và O'M' là các bán
kính của hai đường trịn và OM // O'M'

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

a) Chứng minh rằng đường thẳng MM' luôn đi qua một điểm cố định S

khi các bán kính OM và O'M' thay đổi

b) Tính SO và SO' biết bán kính hai đường trịn (O) và (O') lần lượt
bằng 5 cm và 3 cm

c) Tam giác AMM' là tam giác gì? Vì sao?

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') giao nhau tại A và B (O, O' thuộc hai nửa
mặt phẳng bờ AB). Một cát tuyến qua A cắt đường tròn (O), (O') lần lượt tại
C, D. Kẻ OM vng góc CD, O'N vng góc CD.

a) Chứng minh MN = 1/2CD

b) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua I
và vng góc với CD luôn đi qua một điểm cố định khi cát tuyến CAD
thay đổi.

c) Qua A kẻ cát tuyến song song với đường nối tâm OO', cắt đường tròn
(O); (O') lần lượt ở P, Q. So sánh độ dài các đoạn CD và PQ

BÀI 4: ÔN TẬP CHƯƠNG II

1. Cho (O1; 17cm) và (O2; 10cm). AB là một tiếp tuyến chung của hai
đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A và với (O2) tại B. Đường thẳng AB cắt
đường nối tâm tại C. Tính độ dài các đoạn CO1; CO2biết O1O2 = 21 cm.
2. Cho tứ giác ABCD biết rằng đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và
ADC tiếp xúc nhau, chứng minh đường tròn nội tiếp hai tam giác ABD và
CBD cũng tiếp xúc nhau.

3. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, tiếp tuyến chung

ngoài BC. Biết AB = 6cm, AC = 8cm.

a) Tính độ dài đoạn BC b) Tính bán kính hai đường trịn

4. Cho hai đường trịn (O,5cm) và (O', 2cm) tiếp xúc ngồi tại K. AD là
một tiếp tuyến chung ngồi của hai đường trịn. Vẽ đường kính AB của
đường tròn (O). Chứng minh AB2 = BK.BD

5. Cho hai đường trịn (O) và (O') nằm ngồi nhau. Một tiếp tuyến chung
ngoài AB và một tiếp tuyến chung trong CD. Tính độ dài đoạn OO' biết
AB = 1,5CD.

6. Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB và điểm M nằm trên đường
tròn. Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H Qua A và B vẽ hai tiếp
tuyến AC và BD với đường tròn (M).

a) Chứng minh ba điểm C, M, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường
tròn (O) tại điểm M

b) Chứng minh AC + BD khơng đổi, tính tích AC.BD theo CD
c) Giả sử CD cắt AB ở K. Chứng minh OB2 = OH.OK

7. Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó trên một đường thẳng và AB = 4BC.
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC vẽ nửa đường trịn tâm O đường kính
AB và nửa đường trịn tâm O' đường kính BC. Tiếp tuyến chung ngoài FG

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

của hai nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến vẽ từ A và C của hai nửa đường
trịn đó ở D và E. Tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn ở B cắt DE ở I

a) Chứng minh các tam giác OIO', OID và O'IE là các tam giác vng

b) Đặt O'C = a. Tính BI, EG và AD theo a

c) Tính SADEC theo a

8. Cho (O,R) và đường thẳng xy không giao nhau. Từ một điểm M tuỳ ý
trên đường thẳng xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O). Qua
O kẻ OH vuông xy, dây PQ cắt OH tại I, cắt OM ở K. Chứng minh:

a) OI . OH = OK . OM = R2

b) PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên xy

9. Cho (O, R) tiếp xúc trong với (O', R') tại điểm A. Đường nối tâm cắt hai
đường tròn lần lượt tại B và B'. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung ngồi
của hai đường trịn đường kính OO' và BB' luôn đi qua điểm A cố định
10. Cho (O) và một điểm P nằm trong (O) không trùng O. Gọi Q là một
điểm tuỳ ý trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động
trên đường trịn (O) thì giao điểm M của các đường thẳng kẻ qua O vng
góc với PQ và tiếp tuyến kẻ từ Q của đường tròn (O) chạy trên một đường
thẳng cố định

11. Cho nửa (O; R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By và tia Oz
vuông AB(Ax, By, Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi E là
một điểm bất kì thuộc nửa đường trịn. Qua E kẻ tiếp tuyến với nửa đường
tròn cắt Ax, By, Oz lần lượt tại C, D, M. Chứng minh khi điểm E thay đổi
vị trí trên nửa đường trịn thì

a) Tích AC . BD khơng đổi
b) Điểm M chạy trên một tia

c) Tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất khi nó là một hình chữ nhật.
Tính diện tích nhỏ nhất đó.

12.Cho đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By song song
nhau.

a) Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn AB và tiếp xúc với các tia
Ax, By

b) Tính góc AOB

c) Gọi các tiếp điểm của (O) với Ax, By, AB lần lượt là M, N, H.
Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường trịn đường kính AB

d) Các tia Ax, By có vị trí thế nào thì HM = HN?

13. Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 16 cm, AB = 10cm. Tính bán
kính đường trịn nội tiếp. ngoại tiếp và khoảng cách giữa hai tâm của hai
đường trịn đó

14. Cho hình thang ABCD (góc A = góc D = 900). Tia phân giác của góc C
đi qua trung điểm I của AD.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

b) Cho AD = 2a, tính AB . CD theo a

c) Gọi H là tiếp điểm của BC với đường tròn (I), K là giao điểm của AC
và BD. Chứng minh rằng KH // DC

15. Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm BC. Vẽ đường tròn (O)
tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Một tiếp tuyến của (O) cắt các cạnh AB,

AC tại M, N.

a) Cho góc B = góc C = α. Tính góc MON theo α

b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành 3 tam giác
đồng dạng

c) Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN theo a

d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất

16. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HB = 20 cm, HC = 45
cm. Vẽ đường tròn (A,AH). Kẻ các tiếp tuyến BM,CN với đường tròn với
M, N là các tiếp điểm

a) Tính diện tích tứ giác BMNC

b) Gọi K là giao điểm của CN và HA. Tính độ dài AK, KN
c) Gọi I là giao điểm của AM và CB. Tính các độ dài IM, IB.
17. Cho (O) và (O') cắt nhau tại A và B

a) Nêu cách dựng cát tuyến chung CAD (C ∈ (O), D ∈ (O')) sao cho A
là trung điểm của CD.

b) Tính độ dài đoạn CD nói trên biết OO' = 5 cm, OA = 4cm, O'A =
3cm.

18. Cho góc vng xOy. Các điểm A và B theo thứ tự di chuyển trên Ox,
Oy sao cho OA + OB = k (k là hằng số). Vẽ các đường tròn (A, OB) và (B,
OA).

a) Chứng minh rằng hai đường trịn (A) và (B) ln giao nhau

b) Gọi M,N là các giao điểm của hai đường trịn trên. Chứng minh rằng
MN ln đi qua một điểm cố định

19. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Gọi AB là đường
kính của (O) và AC là đường kính của (O'). DE là một tiếp tuyến chung
của hai đường tròn , K là giao điểm của BD và CE.

a) Tứ giác ADKE là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng AK là tiếp tuyến chung của (O) và (O')
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MK vuông DE

20. Cho hai đường tròn (O, R) và (O', r) tiếp xúc ngoại tại A. Gọi BC và
DE là hai tiếp tuyến chung của hai đường trịn

a) Chứng minh BDEC là hình thang cân

b) Tính diện tích hình thang cân đó theo R và r

21. Cho hai đường tròn (O) và (O') ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
AB và tiếp tuyến chung trong EF.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

a) Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh ∆AOM và ∆BMO'
đồng dạng

b) Chứng minh AE vuông BF

c) Gọi N là giao điểm của AB và EF. Chứng minh O, N, O'. thẳng hàng
22. Cho ∆ABC có Ab = c, AC = b, BC = a. Gọi S là diện tích tam giác.
Chứng minh rằng nếu (a + b + c)(b + c - a) = 4S thì ∆ABC vng tại A

CHƯƠNG III: GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN
BÀI 1: VỊ TRÍ CỦA GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN
0. Hồn thành bảng sau để so sánh giữa các vị trí góc với đường trịn
Tên Hình vẽ Vị trí tâm,

cạnh góc Liên hệ với số đo cung
bị chắn

Hệ quả

1. Cho tam giác OBC cân tại O, đường cao OH. Vẽ đường tròn (O, OB), tia
HO cắt đường trịn ở A. Biết góc B = 500. Tính số đo các cung nhỏ BC, CA,
AB

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D. Vẽ (O)
ngoại tiếp tam giác BCD

a) So sánh số đo các cung DB, BC, DC.

b) Kẻ OI, OH, OK lần lượt vng góc với DC, DB, BC. So sánh các
đoạn OI, OH, OK.

3. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH, trung tuyến AM,
phân giác AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt tại S, N, P.

a) Chứng minh MP // AH

b) So sánh các góc MAP, MPA, PAS
c) Chứng minh cung BN = cung CS

4. Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M nằm trên nửa đường trịn.
Kẻ MH vuông AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa (O), vẽ hai
đường tròn (O1) và (O2) đường kính AH và BH cắt MA và MB lần lượt tại P
và Q

a) Chứng minh MH = PQ

b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng PQ với hai đường tròn
(O1) và (O2).

c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để tứ giác MPHQ là
hình vng

5. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, nội tiếp (O). Tia AO cắt đường tròn ở
D

a) Tứ giác BHCD là hình gì? Vì sao?

b) Gọi I là trung điểm BC, chứng minh OI = 1/2 AH

6. Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O) và điểm M nằm tren cung nhỏ BC. Trên
tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB

a) Tam giác BMD là tam giác gì? Vì sao?
b) So sánh hai tam giác ADB và CMB
c) Chứng minh rằng MA = MB + MC

7. Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là một điểm trên cung AB, K là trung
điểm của MB. Qua K kẻ KP vuông AM. Chứng minh rằng khi M chuyển động
trên cung AB thì đường thẳng KP luôn đi qua một điểm cố định

8. Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R), đường cao AH. Đặt AB = c, BC = a, CA
= b, AH = h. Chứng minh rằng

a) b . c. = 2Rh b) SABC = abc/4R

9. Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH. Một đường tròn (O) thay đổi
có bán kính bằng đường cao AH, tiếp xúc với cạnh BC (O và A nằm trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ BC) cắt Ab và AC lần lượt ở D và E. Chứng minh rằng
số đo cung DE nằm trong tam giác ABC không đổi

10. Cho tam giác ABC vng tại C. Tìm điểm N trong tam giác sao cho góc
NBC = góc NCA = góc NAB.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

11. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau ở A và B (O, O' thuộc hai nửa
mặt phẳng bờ AB). Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O) ở A, cắt đường tròn
(O') ở D. Các tiếp tuyến của hai đường tròn kẻ từ C và D cắt nhau ở I. Chứng
minh rằng khi cát tuyến CAD thay đổi thì

a) Góc CBD khơng đổi
b) Góc CID khơng đổi

12. Cho đường trịn (O, R), hai đường kính AB và CD vng góc với nhau.
Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn ở M, tiếp tuyến của
đường tròn ở M cắt CD ở P, BM cắt CD ở T. Chứng minh:

a) PT.MA = MT.OA
b) PS = PM = PT

c) Biết PM = R, tính TA.SM theo R

13. Cho đường trịn (O), đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với đường
tròn ở A, qua điểm T trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến TM với đường tròn.
Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và trên đường thẳng d.
Chứng minh

a) Các đường thẳng AM, PQ, OT đồng quy tại I
b) MA là tia phân giác của các góc QMO và TMP

c) Các tam giác AIQ và ATM, AIP và AOM là những cặp tam giác
đồng dạng

14. Cho đường tròn (O) và điểm C nằm bên ngồi đường trịn. Qua C kẻ hai
tiếp tuyến CA, CB với đường tròn. Vẽ đường tròn (O') đi qua C và tiếp xúc
với AB tại B, cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi
qua trung điểm của BC

15. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung ngoài
MN cắt đường nối tâm tại I (M, A, N nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
OO'). Chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
16. Từ điểm M nằm bên ngoài (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB (C
nằm giữa M và B). Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt (O) ở N. Chứng
minh:

a) MA = MD b) MA2 = MC . MB c) NB2 = NA . 
ND

17. Từ điểm P nằm ngoài (O) vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn. Qua trung
điểm B của đoạn PA vẽ cát tuyến BCD với đường tròn. Các đường thẳng PC
và PD cắt (O) lần lượt tại E và F. Chứng minh:

a) Góc DCE = góc DPE + góc CAF b) AP // EF

18. Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD, AD và BC cắt nhau tại I nằm bên
trong đường tròn, AB và CD cắt nhau tại E nằm bên ngồi đường trịn. Đường
thẳng kẻ qua E song song với AD cắt CB ở F. Qua F vẽ tiếp tuyến FG với (O).
Chứng minh:

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

19. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là một điểm thuộc cung
AB, qua D kẻ dây DD' // BC cắt AC ở F. Đường thẳng AD' cắt BC ở E.

a) So sánh tam giác ABD và tam giác AEC, tam giác ABE và ADC
b) Chứng minh AD . AE = AB . AC

c) Chứng minh tam giác AFD đồng dạng tam giác AD'B

20. Cho đường tròn (O) và điểm S nằm bên ngồi đường trịn. Từ S vẽ hai tiếp
tuyến SA và SA'. Phân giác góc BAC cắt BC ở D, cắt (O) ở E. Gọi H là giao
điểm của OS và AA', G và F lần lượt là giao điểm của OE và AA' với BC.
Chứng minh:

a) SA = SD b) SA2 = SF . SG

21. Cho tam giác ABC, phân giác AD. Vẽ (O) đi qua A, D và tiếp xúc với BC
ở D, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt ở E và F. Chứng minh:

a) EF // BC b) AE . AC = AB . AF c) AE . AC = AB .
AF

22. Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O, R). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc
cung BC.

a) Chứng minh MA = MB + MC

b) Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng + =1

MC
MD
MB
MD

c) Tính AM2 + BM2 + CM2 theo R

23. Hai đường trịn (O) và (O') có cùng bán kính cắt nhau tại hai điểm A và B.
Một đường thẳng d song song với OO' cắt các đường tròn trên tại C, D, E, F
theo thứ tự trên d (C, E thuộc (O), D, F thuộc (O')).

a) Chứng minh rằng CDO'O là hình bình hành b) Tính độ dài
CD biết AB = a

c) Chứng minh rằng số đo góc CAD khơng phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d
(d luôn // OO')

24. Cho đường tròn (O') tiếp xúc với (O) tại A. Dây BC của đường tròn lớn
tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại H. Gọi D, E theo thứ tự là giao điểm của AB,
AC với đường tròn nhỏ . Chứng minh rằng:

a) DE // BC b) AH là tia phân giác của góc BAC
25. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I
a) Chứng minh 2

AC
AB
IC
IB =

b) Tính IA, IC biết rằng AB = 20cm, AC = 28
cm, BC = 24 cm.

26. Cho hình bình hành ABCD có góc A < 900. Đường trịn (A, AB) cắt
đường thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đường tròn (C, CB) cắt đường thẳng AB ở
điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:

a) DE = DK b) Năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

BÀI 2: CUNG CHỨA GĨC VÀ BÀI TỐN QUỸ TÍCH

1. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MB. Tìm quỹ tích các điển
N khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn

2. Cho tam giác ABC vuông tại A.Về phía ngồi của tam giác vẽ hai nửa
đường trịn đường kính AB và AC. Một cát tuyến thay đổi qua A cắt hai nửa
đường trịn nói trên lần lượt tại D và E. Tìm quỹ tích các trung điểm I của

đoạn thẳng DE.

3. Cho đường tròn (O, R) và tiếp tuyến Ax. Gọi P là một điểm trên Ax. Qua P
kẻ tiếp tuyến PB với đường tròn, PO cắt AB ở I. Tìm tập hợp các điểm I khi P
chuyển động trên Ax.

4. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB và điểm C chuyển động trên nửa
đường trịn đó. Kẻ CD vng AB. Trên đoạn OC lấy điểm E sao cho OE =
CD. Tìm tập hợp các điểm E.

5. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và
By vng góc với AB. Một cát tuyến thay đổi cắt hai tia Ax, By lần lượt tại M
và N tạo thành hình thang AMNB có diện tích khơng đổi. Gọi E là trung điểm
của AB, I là hình chiếu của điểm E trên MN. Tìm tập hợp các điểm I.

6. Dựng hình vng ABCD biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N
thuộc cạnh CD.

7. Cho hình chữ nhật ABCD. Tìm điểm E trên đường thẳng AB sao cho E
nhìn AD và BC dưới những góc bằng nhau.

8. Cho hình bình hành ABCD có góc A < 900. Đường trịn tâm A bán kính AB
cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đường tròn tâm C bán kính CB cắt
đường thẳng AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng

a) DE = DK b) Năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường
tròn

9. Qua điểm M thuộc đáy BC của tam giác cân ABC, kẻ các đường thẳng song
song với các cạnh bên, chúng cắt AB, AC lần lượt ở D, E. Gọi I là điểm đối

xứng với M qua DE. Chứng minh rằng:

a) Điểm I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Khi điểm M di chuyển trên BC thì đường thẳng IM đi qua một điểm
cố định

10. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, điểm M nằm giữa B và C.
Đường trung trực của BM cắt AB ở E, đường trung trực của CM cắt AC ở F.
Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua EF, I là giao điểm của MN và AD.
Chứng minh rằng năm điểm A, B, I, C, N cùng thuộc một đường tròn.

11. Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm của hai đường chéo.
Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM = OB. Trên tia OB lấy điểm N sao cho
ON = OA. Chứng minh rằng:

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

a) Bốn điểm D, M, N, C cùng thuộc một đường trịn b) Góc ACN
= góc BDM

12. Cho tam giác ABC (AC > AB). Đường trịn (I) nội tiếp tam giác đó tiếp
xúc với AB, AC ở D, E. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BC. Gọi
K là giao điểm của MN và AI. Chứng minh rằng:

a) 4 điểm D, M, N, C cùng thuộc một đường tròn a) Ba điểm D,
E, K thẳng hàng

13. Cho tam giác ABC, đường cao AH, đường trung tuyến AM thoả mãn góc
BAH = góc MAC. Chứng minh rằng góc BAC = 900.

Ngày 2 - 11 - 2010

BÀI 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vng góc với nhau tại O.
Qua O kẻ OE, OF, OG, OH vng góc với AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ
giác EFGH nội tiếp

2. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm bên ngồi đường trịn. Từ P kẻ hai tiếp
tuyến PA, PB với đường tròn.

a) Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Đường thẳng kẻ qua M vng góc
với OM cắt PA, PB lần lượt tại C và D. Chứng minh MC = MD

b) Trên cung nhỏ AB lấy điểm I. Họi H, K, L lần lượt là hình chiếu của
I trên AB, PB, PA. Chứng minh IH.HL = KH.IL

3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và điểm M trên cung CD. Gọi
E, F, G, H lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB, BC, CD, DA. Chứng
minh:

a) Tam giác MEF đồng dạng tam giác MHG b) ME . MG = MF .
MH

4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn tại B
và C cắt nhau ở D. Qua D kẻ một cát tuyến cắt đường tròn tại E và F, cắt cạnh
AC ở I.Cho biết EF //AB, chứng minh I là trung điểm EF.

5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm M trên cung BC. Qua
M kẻ MP, MQ, MR vng góc với BC, AC, AB. Chứng minh ba điểm P, Q, R
thẳng hàng.

6. Cho tam giác nhọn ABC.Vẽ ra phía ngồi của tam giác này ba tam giác đều
A1BC, B1AC, C1AB.

a) Chứng minh AA1 = BB1 = CC1

b) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác đều cắt nhau tại 1 điểm

c) Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm 3 tam giác đều nêu trên, chứng minh
tam giác O1O2O3đều

7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là giao điểm của hai
đường thẳng AB và CD, F là giao điểm của hai đường thẳng BC và AD. Phân
giác của góc E cắt cạnh AD ở M, cắt cạnh BC ở P, phân giác của góc F cắt
cạnh AB ở N, cắt cạnh CD ở Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

8. Cho tứ giác ABCD có AB = BD nội tiếp đường tròn (O). Qua A kẻ tiếp
tuyến với đường tròn cắt đường thẳng BC ở Q . Gọi R là giao điểm của hai
đường thẳng AB và CD. Chứng minh:

a) Tứ giác AQRC nội tiếp b) QR // AD
9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)

a) Gọi M, N lần lượt là các điểm trên AB và AC sao cho BM = CN.
Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố
định khi M, N thay đổi trên AB,AC

b) Phân giác của góc BAC cắt đường trịn (O) ở E. Một đường tròn (O')
thay đổi đi qua A và E cắt AB và AC tương ứng ở P và Q. So sánh BP và CQ
10. Cho góc xAy = 450 và điểm O nằm trong góc đó. Vẽ đường trịn tâm O

bán kính OA cắt Ax ở B, cắt Ay ở C. Đường trịn đường kính BC cắt Ax, Ay
lần lượt ở M và N. Chứng minh:

a) O là trực tâm tam giác AMN b) MN = BC : 2 c) SABC
= 2SAMN

11. Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B.Vẽ tia Cx vuông AB,
trên Cx lấy điểm D và E sao cho = = 3

CD
CA
CB
CE

. Đường tròn ngoại tiếp các
tam giác ACE và BCD cắt nhau ở H. Chứng minh

a) Ba điểm B, H, D thẳng hàng và ba điểm A, E, H thẳng hàng

b) Đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên
đoạn AB

12. Cho hình vng ABCD. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên các cạnh BC
và CD sao cho góc MAN = 450. AM và AN cắt đường chéo BD theo thứ tự ở
P và Q

a) Tam giác AQM là tam giác gì? b) C/m C, M, N, P, Q thuộc 1
đường tròn

c) So sánh SAPQ và SMNQP

13. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy điểm I thuộc cạnh AC
sao cho góc ABI = góc C. Đường trịn (O) đường kính IC cắt BI ở D và cắt
BC ở M. Chứng minh:

a) CI là tia phân giác của góc DCM b) DA là tiếp tuyến của
đường tròn (O)

14. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng

a) BH.BE + CH.CF = BC2 b) AH.AD + BH.BE +

CH.CF =

2
2
2

BC
AC

AB + +

15. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, trực tâm H. Gọi AM, AN là các
tiếp tuyến với đường trịn (O) đường kính BC. Chứng minh rằng:

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

16. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của các góc

A, B, C cắt đường trịn theo thứ tự ở D, E, F. Chứng minh rằng:

AC
AB

AD> + b) AD + BE + CF lớn hơn chu vi tam giác
ABC

17. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Vẽ ra phía ngồi tam
giác các nửa đường trịn đường kính AB, AC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm
của CE, BD với các nửa đường trịn đó. Chứng minh AI = AK.

18. Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C thuộc đường tròn. Các tiếp tuyến tại
B và C cắt nhau tại A. Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của
đường tròn tại M cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E. Gọi giao điểm của OD, OE
với BC theo thứ tự là I, K. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác OBDK, DIKE nội tiếp b) Các đường thẳng OM,
DK, EI đồng quy

19. Cho đường tròn (O), qua điểm K nằm ngồi đường trịn vẽ các tiếp tuyến
KB, KD và cát tuyến KAC.

a) Chứng minh AB . CD = AD . BC

b) Vẽ dây CN song song với BD. Gọi I là giao điểm của AN và BD.

Chứng minh I là trung điểm của BD

20. Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) nội tiếp đường trịn (O) đường kính
AD. Gọi E là hình chiếu của B trên AD, H là hình chiếu của A trên BC, M là
trung điểm của BC. Chứng minh tam giác MEH cân.

21. Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = a, CD = b (a < b). Một đường
tròn (O) đi qua A và B cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M, N. Tính độ
dài MN theo a, b, biết rằng các tứ giác ABNM và CDMN có diện tích bằng
nhau.

22. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE , CF. Gọi R là bán kính
đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đường trịn nội tiếp tam
giác DEF.

a) Chứng minh rằng OA vng EF

b) Tính tỉ số diện tích các tam giác DEF và ABC theo R và r

23. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), điểm E nằm giữa C và D. Vẽ
đường tròn (O) đi qua E và tiếp xúc với AD tại D. Vẽ đường tròn (O') đi qua E
và tiếp xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn.
Chứng minh rằng:

a) 5 điểm A, B, C, D, K cùng thuộc một đường tròn
b) Ba điểm K, E, B thẳng hàng

24. Cho tam giác đều ABC, M thuộc BC. D đối xứng M qua AB, E đối xứng
M qua AC. Vẽ hình bình hành DMEI. Chứng minh rằng:

a) 4 điểm D, A, I, E thuộc cùng một đường tròn
b) AI // BC

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38></div>

Toán 9 Ôn Tập He thong bài tập luyen Toán 9

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

(

<sub>(</sub>

)

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

) (

)

(

<sub>(</sub>

) (

<sub>) (</sub>

)

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

(

<sub>) (</sub>

) (

<sub>)</sub>

)

<sub>(</sub>

(

<sub>) (</sub>

) (

<sub>)</sub>

)

(

<sub>(</sub>

)

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

<sub>(</sub>

)(

<sub>)(</sub>

<sub>)</sub>

)

(

<sub>(</sub>

)(

<sub>)(</sub>

<sub>) (</sub>

) (

)(

<sub>)(</sub>

)

<sub>)</sub>

(

<sub>(</sub>

)(

<sub>)(</sub>

) (

<sub>) (</sub>

)(

<sub>)(</sub>

)

<sub>)</sub>

(

) (