Chuyên đề Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.08 MB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 1

l h
R'

CHUYÊN ĐỀ MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Cơng thức tính thể tích và diện tích xung quanh

Hình nón cụt

1/ Khối chóp: V 1.S.h
3



2/ Lăng trụ: VS.h

Khối nón cụt: 2 2

noncut
1

V (R R ' RR ')h

    ; Sxq p(RR ')l

4/ Khối nón:

V

1 Bh

1 r h

3 

 

;

S

xq

 

rl

; Stp SxqSday

3/ Khối trụ:

V



Sh

 

r h

2 ;

S

xq

 

2 rl

; Stp Sxq2Sday
5/ Khối cầu:

V

4 r

3  

S

 

4 r

2. Vị trí tương đối

 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

+ OH > R  Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) khơng có điểm chung.
+ OH = R  Mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc tại H. Khi đó:

R O

H
P

R O

H
P

R O

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 2
 Mặt phẳng tiếp xúc gọi là tiếp diện, H gọi là tiếp điểm;

 Tính chất: Tiếp diện vng góc với bán kính tại tiếp điểm.

+ OH < R: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường trịn giao tuyến có tâm H và bán kính

2 2

r R OH

+ Nếu OH = 0 (hay OH): Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn giao tuyến có
tâm O và bán kính bằng R.

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Giả sử đường thẳng () không qua O. Khi đó mp(O,)S(O,R) = C(O,R). Gọi OH là các
khoảng cách từ O tới ().

+ OH > R  () và (S) khơng có điểm chung
+ OH = R  () tiếp xúc với (S) tại H. Khi đó:
 () gọi là tiếp tuyến, H gọi là tiếp điểm.

 Tính chất: Tiếp tuyến vng góc với bán kính tại tiếp điểm.
+ OH < R  () cắt (S) tại 2 điểm.

3. Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp

Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp 
Hình đa

diện

Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu

Tất cả các mặt của hình đa diện đều
tiếp xúc với mặt cầu

Hình trụ Hai đường trịn đáy của hình trụ
nằm trên mặt cầu

Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và
mọi đường sinh của hình trụ

Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường trịn
đáy của hình nón

Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi

đường sinh của hình nón

4. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

• Cách 1:Tìm một điểm cách đều các đỉnh của đa diện.

Xác định điểm O cách đều các đỉnh của hình đa diện. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp
(Thường tìm 2 đỉnh sao cho từ (n – 2) đỉnh còn lại của đa diện nhìn hai đỉnh đó dưới một

R
O

O A O

(C)



(C)

H H

 B

(C)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 3

d
S

B C

D
I

M
O 
góc vng thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó).

• Cách 2:Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. 
B1. Dựng trục d đi qua tâm I của đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy ABCD

B2. Dựng mặt phẳng trung trực

 

 của cạnh bên SA. Gọi O là
giao điểm của d và

 

 thì ta có:

 

O d OA OB OC OD

OA OB OC OD OS

O OA OS

     

     

    



B3. Kết luận: Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính mặt cầu là
R = OA.

Đặc biệt:

Hình chóp có đường thẳng d là trục của đường tròn đáy Tâm mặt cầu ngoại tiếp là
giao điểm của d và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (nếu có cạnh bên SA và d đồng
phẳng thì dựng đường trung trực của cạnh bên SA đó trong mp (d, SA).

• Cách 3:Sử dụng phương pháp tọa độ.
B1. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp;

B2. Xác định toạ độ các điểm có liên quan;

B3. Sử dụng kiến thức về toạ độ để giải quyết yêu cầu của bài toán.

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

1. Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích khối trịn xoay 
Ví dụ 1. Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ

c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích
của thiết diện được tạo nên

Hướng dẫn giải:

a) OA = 5cm; AA’ = 7cm

Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2)

Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120(cm2)

b) V = 2
R h

 = 2

.OA .OO

 = .52.7 = 175(cm3)

h
r

A'
O'

O B

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 4
c) Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm

OAIvuông ở I: AI = 4(cm)
AB = 2AI = 2.4 = 8; AA’ = 7;

SABB A  = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)

Ví dụ 2. Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là .
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.

b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và

SB. Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt
phẳng này.

Hướng dẫn giải:

Tính V và Sxq.

SAO

 vuông ở O: SO = a.sin, AO = a.cos

V = 1 2 1 3 2

.AO .SO .a .cos .sin

3  3  

Sxq = .AO.SA .a .cos2 

a) * Tính SSAB: Kẻ OHABSHAB, do đó

 0

SHO60

vuông SOH: SO 0 2a.sin

sin 60 3

SH   ,

OH = SO.cot600 =a 3.sin
3



AOH vuông ở H:
AH2 = AO2 – OH2 = a2.cos2

3a .sin
9



  a 2 2

AH 3cos sin

   



Vậy SSAB =

2 2 2

2a .sin 3cos sin
3

AB.SH
2

   


* Tính d(O,(SAB)):

Kẻ OKSHOK(SAB)

OKH

 vng ở K: OK = OH.sin 600 = a 3 sin . 3 a.sin

3 2 2

 

 .

H
O

B
A

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 5

2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện 
Ví dụ 1. (Hình lăng trụ đứng)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8
đỉnh của hình lập phương đã cho.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng cách 1: Tìm điểm cách đều các đỉnh.

Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’ thì O là tâm của hình
lập phương nên O cách đều các đỉnh của hình lập

phương. Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương có tâm O,
bán kính:

r = AC '

2 , AC’ = a 3  r =
a 3

2 .

Ví dụ 2. (Hình chóp đều)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính
mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C và D.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng cách 2: Xác định trục đường trịn

Gọi O là tâm hình vng ABCD. Qua O dựng đường thẳng d

vng góc mp(ABCD) (d là trục đường trịn ngoại tiếp hình
vng ABCD). Vì SA = SB = SC = SD nên S  d.

Trong mp(SAO), gọi I = d  a (a là đường trung trực đoạn
thẳng SA trong mp(SAO)).

Ta có I d nên IA= IB= IC= ID,
I a nên IA = IS,

Do đó IA = IB = IC = ID =IS. Vậy I là tâm mặt cầu qua S, A, B, C, D.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1, đáy ABC là tam giác có góc BAC1200, AB = a,

AC = 2a, đường chéo AB1 của mặt bên ABB1A1 tạo với đáy một góc 750. Xác định tâm và tính

bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác ABC, theo định lý côsin, ta có:

A B

C
D

A’

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 6
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos1200=a2 + 4a2 + 2a2 = 7a2

BC a

 

mà BC = 2Rsin1200 nên bán kính r của đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC bằng:

7 21

2 sin120 3 3

BC a a

r  

Theo giả thiết AB1 tạo với đáy một góc 750 nên góc

 0

BAB 75 suy ra, trong tam giác vuông ABB1 ta có:

0 0 0

1 . tan 75 . tan(45 30 ) .(2 3)

BB AB a  a 

Gọi E, E1 lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các

tam giác ABC và A1B1C1. Khi đó, EE1 là trục của các đường

tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy, gọi I là trung điểm BB1 kẻ đường trung trực của BB1 cắt EE1

tại O suy ra OA = OB = OC = OA1 = OB1= OC1 hay O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình

lăng trụ bán kính R = OB.

Ta có OI = EB = r. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông OIB:
OB2 = OI2 + IB2 =

2 2 2 2

7 (2 3) (49 12 3) 49 12 3

3 4 12 12

a a a

R a

  

    .

Ví dụ 4. Cho hai nửa đường thẳng Axvà Byvng góc với nhau và nhận ABa (a0)là
đoạn vng góc chung. Lấy điểm M trên Axvà điểm N trên By sao cho AMBN2a. Xác
định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN.

Giải.

Áp dụng cách 3: Phương pháp tọa độ
Dựng Ay '/ /ByAxAy '

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Axy 'z như sau:
A(0;0;0) ; B(0;0;a) ; M(2a;0;0) N(0;2a;a)

Ax By

Ax Ay '

 


 

 Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác
vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm

a
I a ; a ;

 

 

  của MN là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN.

B
C

M
N

B

N

M I

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 7
Ta có: MN a( 2 ; 2 ; 1)



Vậy bán kính mặt cầu: R MN 3a

2 2

  .

3. Hình trụ, hình cầu, hình nón nội tiếp

Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với mặt đáy một góc 600.

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.

b) Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp trong hình nón, suy ra thể tích khối cầu đó.

c) Một hình trụ được gọi là nội tiếp hình nón nếu một đường tròn đáy nằm trên mặt

xung quanh của hình nón, đáy cịn lại nằm trên mặt đáy của hình nón. Biết bán kính của
hình trụ bằng

một nửa bán kính đáy của hình nón. Tính thể tích khối trụ.

Hướng dẫn giải:

a) SAB đều  SA2R, SOR 3

2
xq

S .2 R.SA 2 R

    ;

3
2

1 R 3

V R .SO

3 3



  
b) Tâm O’ của mặt cầu thuộc SO

Bán kính mặt cầu r = O’O.

1 R 3

r SO

3 3

  ; V=

3
3

4 4 3 R

3 27



 

c) N: trung điểm OB; ON: bán kính hình trụ ON=R

' 1 R 3

NN IO SO

2 2

    ; V=

2 R 3

.ON .IO

8


 

Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a 2.

a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng . Tính khoảng
cách từ trục đến MN.

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ.

Hướng dẫn giải:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 8

Ta có: MN’ = NN’. cot= a. 2.cot

vng OMH: OH2=OM2–MH2=a2

2 2

a a

cot (2 cot )

2   2  

2 cot

OH a

 

 

b) Gọi x là cạnh của tam giác đều ngọai tiếp đường trịn
đáy của hình trụ.

Ta có:

O’N =R = 1AN 1 x 3 x 3 x 6R 6a

3  3 2  6   3  3

VABC.A’B’C’ =

2 2

x 3 36a 3

.OO ' .a 2 3a . 6

4  12 

Sxq = 3x.OO’= 18a.a 2 6a2 6

3 

Ví dụ 3: Cho hình nón có chiều cao bằng h, góc giữa đường
sinh và đường cao là .

a) Tính diện tích thiết diện của hình nón bởi một mặt
phẳng qua hai đường sinh vng góc nhau.

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.

c) Tính độ dài đường cao hình trụ nội tiếp trong hình
nón, biết thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông.

Hướng dẫn giải:

O
J
I

Q
P

N
M

B
A

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 9
a) Tính diện tích thiết diện.

R = OA =h tan , SA = h

cos ; SASB  SAB vuông cân; SSAB =

2
2

1 h

2  2cos 

b) + Sxq = .R.SA .h.tan

cos

 

 


+ V =

3 2

2 2 2

1 1 .h .tan

.R .SO .h tan .h

3 3 3

 

     .

c) Đặt OM = x MN2x

Ta có: MN//SO MN AM

SO  AO MN.AO AM.SO 2x.R h.(R x)

     

hR 2hR 2h tan

x(2R h) hR x MN

2R h 2R h 2R tan 1



       

   

Ví dụ 4. Cho mặt cầu đường kính AB =2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h. Một mặt
phẳng vng góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường trịn (C).

Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C).

Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dân giải:

Gọi EF là 1 đường kính của (C) ta có:
IE2 = IA.IB = h(2Rh)

⇒ R = IE = h(2Rh)

Thể tích cần tính là: V= (2 )
3

1 2

h
r
h
h

r  

 với 0< h< 2R

V’= 2

(4 3 )

3 Rh h



 , V’ = 0 4

R
h

 

V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: h 4R
3

 hay AI =4R.
3

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

B
O
I

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10

Bài 1. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc
vuông bằng a.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón.

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện

này.

S   (ñvdt); 1 1 2

2
2

tp xq đáy

S S S 











a (ñvdt)





;

6 2
a

V  (đvtt);
2

2
3
a

S (đvdt)

Bài 2. Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến
mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó.

a) 2

25 1025

S   (cm );Stp Sxq Sđáy 25 1025 625 (cm )2 ;

b) 1 2 2 3

25 20
3

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 11

Bài 3. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vng
cân có cạnh huyền bằng a 2 .

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón

c) Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo
với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC.

2
2
xq

S   (đvdt);

2 1

2
tp xq đáy

( ) a

S S S    (ñvdt)

3
2
12

V  (ñvtt); c)

2
3
xq

S  (đvdt)

Bài 4. Một hình trụ có đáy là đường trịn tâm O bán kính R, ABCD là hình vng nội
tiếp trong đường trịn tâm O. Dựng các đường sinh AA’ và BB’. Góc của mp(A’B’CD)
với đáy hình trụ là

600.

a) Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối đa diện ABCDB’A’.

a) 3

VR (đvtt); Stp Sxq Sđáy 2R (2 6 1) (đvdt)

b) VR3 6 (đvtt)

Bài 5. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng ABCD cạnh 2 3 cm với AB
là đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc AB sao cho

 0

ABM  60 . Tính thể tích của khối tứ diện ACDM.

Đáp số: V 1. 3.3.2 3 3 cm





</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 12

Bài 6.Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa
đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng

AB và trục của hình trụ.

a) 2

S 2 r (ñvdt); 2

3 1
2

tp xq đáy ( ) r

S S S    (ñvdt)

b) V r3 3(ñvtt); c) O ' H r 3
2



Bài 7. Bờn trong hỡnh trụ cú một hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc
đ-ờng tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đ-ờng tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt
phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ một gúc 450. Tớnh thể tớch khối trụ.

Đáp số: 3 3 3 3 2

8 2 16



a a



a (đvtt)

Bài 8. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo tạo
với đáy một góc 45. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Đáp số: V 4 3
3 a

  (đvtt)

Bài 9. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích
của khối lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.

Đáp số:
3
a 3
V

 (đvtt);

2
7 a
S

3



Bài 10. Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên bằng b.

Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.

Đáp số:

2 2 2

18 3(4 3 )

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 13

Bài 11. (TSĐH B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc
giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC.

Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
theo a.

Đáp số: V =
2
a 3 3a

4 2 =
3
3a 3

8 (đvtt); R =
7

a

Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy

• Trong trường hợp hình chóp có một cạnh bên vng góc với đáy thì trục của
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và cạnh bên này ln đồng phẳng.

• Những bài tốn dạng này có thể sử dụng phương pháp tọa độ để làm.

Bài 12. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA
vng góc với đáy, SA = 2a, ABC là tam giác đều cạnh a.

Đáp số: 21

R a

Bài 13.Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC), ABC vng tại B
và AB=3a, BC = 4a.

a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu.

Đáp số: b) 5 2

R ; 2

S a (đvdt);

3
125 2

V  (đvtt)

Bài 14. Cho tø diÖn S.ABC cã SA vu«ng gãc với mặt phẳng (ABC), SA=a; AB=AC=b,

BAC . Xác định tâm và bán hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

Đáp số:

2 2

4 3

a b

 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 14
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Đáp số: a) 1 3

2
3

V  a

Ngoài việc cho một cạnh bên vng góc với đáy trực tiếp như trên thì có những bài tốn 
cạnh bên như thế là giao tuyến của hai mặt bên cùng vng góc với đáy :

Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vng góc với đáy. Đáy ABCD là
tứ giác nội tiếp trong đường trịn tâm O, bán kính R. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h.

Trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là đường thẳng qua O và song song với SA.

Đáp số :

2
4

h
R

r 

Bài 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B, hai mặt bên SAB và SAC cùng
vng góc với đáy, SB = a, SCa 2, góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 300.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.

b) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính thể tích khối cầu tương ứng.
Đáp số : a)

24
3

3
a

V  ; b) Tâm I là trung điểm SC; 3
3
1

a
V  

Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy

Với hình chóp có một mặt bên (P) vng góc với đáy thì trục d của đường trịn ngoại tiếp đa 
giác đáy thường là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) hoặc là một đường thẳng song 
song với một đường nằm trong (P) và vng góc với đáy.

Bài 18. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a; BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc

với nhau, góc 0

BDC . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b.

Đáp số:

2 2

a
R

a b





</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 15
(SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD.

Đáp số:

21

 a

R

Xác định tâm mặt cầu bằng cách tìm điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện

Bài 20. Tứ diện ABCD có CD = 2a, các cạnh cịn lại có độ dài a 2. Xác định tâm và tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Đáp số:

CD
R a

Bài 21. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 3; AC = BD = 5; AD = BC = 6. Xác định tâm và tính
bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Đáp số: 35

R

Bài 22. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a. SA = 2a và vng
góc với mp(ABCD).

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của khối cầu.

Đáp số: b) 6

R ; S

 

a

2(đvdt); 3

 

a

(đvtt)

Hình chóp đều

 Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau nhưng
không nhất thiết phải bằng cạnh đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy.

 Tứ diện đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

Bài 23. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định
tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp.

Đáp số:

2 2
3
2 3

b
R

b a





</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 16
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu.

Đáp số: 2

R a ; S = 2a2



;

2
3

a
V 

Bài 25. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều
cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là φ.

Đáp số: (1 4 )

4 3

a cos
RSO  

Tứ diện đều

 Trọng tâm G của tứ diện là giao điểm của đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh
đối diện và là trung điểm của các đoạn nối đó.

 Trọng tâm của tứ diện cũng là giao điểm của các đoạn nối đỉnh và trong tâm
của mặt đối diện chia đoạn đó theo tỉ số 1/3.

 Tứ diện đều có tâm đường trịn nội tiếp ngoại tiếp và giao điểm các đường cao
là trọng tâm của tứ diện.

Bài 26. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.

a)Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
b)Tính diện tích mặt cầu

c)Tính thể tích khối cầu tương ứng.
Đáp số: a) R=

4
6

a

; b) S=

2
.
3a2

(đvdt); c) V=

8
6
.a3



(đvtt)

Chứng minh các điểm cùng thuộc mặt cầu:

Đối với bài toán chứng minh các điểm cùng nằm trên một mặt cầu, ta thường phải

chứng minh chúng cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc 900, hoặc chúng cùng cách 
một điểm cố định cho trước một khoảng khơng đổi.

Bài 27. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a. AC cắt BD tại O.
a) Chứng minh rằng O là tâm của mặt cầu (S) đi qua 5 điểm S, A, B, C, D và tính bán kính
R của nó.

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Đáp số: a) R = a 2

2 ; b)

3
1

2
3a

V  (đvtt)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 17
tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.

Đáp số: 3

a

R ;



, ( )



a
d A BCD 

Bài 28. Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, AB = c, AC = b, BAC. Gọi B1, C1 lần

lượt là hình chiếu vng góc của A trên SB, SC. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua năm
điểm A, B, C, B1, C1.

Đáp số:

2 2

2 .
2sin

b c bc cos

R 



 



Tứ diện vuông

Bài 29. Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và

ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo
nên bởi mặt cầu đó.

2 2 2

S (a b c )(đvdt); 1 2 2 2 2 2 2

V (a b c ) a b c (đvtt)

Bài 30. Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vng góc với nhau từng đơi một
với SA = 1cm, SB = SC = 2cm.

a) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
b) Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó.

Đáp số: a) R 3
2

 ; b) S 9 (cm )  2 ; V 9 (cm )3
2

 

Nhận xét: Các bài tập về xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối 
chóp, khối lăng trụ, thường hỏi thêm tính thể tích khối cầu.

Bài 31. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 và đường cao h = 1. Hãy
tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 18

Bài 32. Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là một hình vng cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAD

cùng vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Bài 33. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính r. Đáy

ABC của lăng trụ là tam giác vuông tại C, góc ABC bằng  (00 <  < 900) và cạnh bên AA’ bằng

cạnh AB của đáy. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích khối lăng trụ theo r và .

Bài 34. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại C, góc ABC bằng
300 và AA’=AB=2.

c. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối lăng trụ.

d. Chứng minh rằng 6 đỉnh của hình lăng trụ cùng nằm trên một mặt cầu. Hãy xác
định tâm và bán kính của mặt cầu.

Bài 35. Cho hình chóp tam giác đều trong đó cạnh đáy bằng m và mặt bên có góc ở đáy bằng

α.

e. Tính diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp.

f. Chứng minh rằng chiều cao hình chóp đã cho bằng:



 



sin 30 sin 30
3 cos

m

 

  

D

C
I

O
A

B

S

r

A'
B'

C'

A
I

B

C

r

A'
B'

C'

A
I

B

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 19

Bài 36. (TSĐH A-2006)Cho hình trụ có các đáy là hai hình trịn tâm O và O' , bán kính đáy
bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm
O' lấy điểm B sao cho AB= 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB.

Bài 37. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R. M ∈ SO là đường trịn (C).
a) Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C).

b) Tìm x để thể tích này lớn nhất.

O
A

A' D

C
B

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc 1
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thông minh,
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh 
nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng.

I.

Luy

ệ

n Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.

Khoá H

ọ

c Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS THCS
lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần

Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh h

ọ

c t

ậ

p mi

ễ

n phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học và Tiếng Anh.

V

ữ

ng vàng n

ề

n t

ảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Chuyên đề Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu

V

1

Bh

1

r h

3

3



 

S

 

rl

V



Sh

 

r h

S

 

2 rl

V

4

r

3

 

S

 

4 r

 

 

 



<sub></sub>



<sub></sub>













21

 

a

 

a

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<b>I.</b>

<b>Luy</b>

<b>ệ</b>

<b>n Thi Online</b>

<b>II.</b>

<b>Khoá H</b>

<b>ọ</b>

<b>c Nâng Cao và HSG </b>

<b>III.</b>

<b>Kênh h</b>

<b>ọ</b>

<b>c t</b>

<b>ậ</b>

<b>p mi</b>

<b>ễ</b>

<b>n phí</b>

<i><b>V</b></i>

<i><b>ữ</b></i>

<i><b>ng vàng n</b></i>

<i><b>ề</b></i>

<i><b>n t</b></i>

<i><b>ảng, Khai sáng tương lai</b></i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về