TAM DIEM va TRUC DOI XUNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (143.46 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TÂM,

ð

I

Ể

M & TR

Ụ

C

ðỐ

I X

Ứ

NG

A. LÝ THUYẾT

I. HÀM SỐ LẺ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1. ðịnh nghĩa: Hàm số y= f x( )ñược gọi là hàm số lẻ trên K nếu:
+ x∀ ∈K thì x− ∈K (có nghĩa K ñối xứng qua 0)

+ (f − = −x) f x( ) ∀ ∈x K

• Tính chất: Nếu y= f x( )là hàm số lẻ thì đồ thị của hàm sốy= f x( )ñối xứng qua góc toạ độ
O(0;0) hay ñồ thị hàm số y= f x( )nhận O(0;0) làm tâm đối xứng.

2. Các bài tốn liên quan

Bài tốn 1: CMR đồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñiểm I(a;b) làm tâm ñối xứng.
• Phương pháp 1: ðồ thị hàm số y= f x( )nhận ñiểm I(a;b) làm tâm ñối xứng

⇔ 2b− f

(

2a−x

) ( )

=f x ∀ ∈x D
• Phương pháp 2:

Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo OI =( ; )a b

thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ:
x X a

y Y b
= +




= +


Bước 2: Viết phương trình hàm số y= f x( )trong hệ toạ ñộ IXY:

( ) ( )

Y+ =b f X + ⇔ =a Y F X
Bước 3: CM hàm số Y=F(X) là hàm số lẻ

Bước 4: Kết luận: Vậy ñồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñiểm I(a;b) là tâm ñối xứng.
Chú ý: - ðồ thị hàm số y=ax3+bx2+ +cx d a( ≠0)nhận ñiểm uốn làm tâm ñối xứng.

- ðồ thị hàm số:y ax b
cx d
+
=

+ ,

ax bx c
y

px q

+ +

+ nhận giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận làm

tâm ñối xứng.

Bài tốn 2: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñiểm I(a;b) là tâm đối xứng.
• Phương pháp:

Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo OI =( ; )a b

thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ:
x X a

y Y b
= +




= +


Bước 2: Viết phương trình hàm số y= f x( )trong hệ toạ ñộ IXY:

( ) ( )

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bước 3: ðồ thị hàm số nhận ñiểm I(a;b) làm tâm ñối xứng ⇔ Y=F(X) là hàm số lẻ ⇒ tham số 
Bài tốn 3: Tìm 2 điểm A, B thuộc ñồ thị hàm số y= f x( ) ñối xứng qua điểm I(a;b).

• Phương pháp:

Bước 1: Lấy 2 ñiểm (A xA; (f xA)), (B xB; (f xB))thuộc ñồ thị hàm số
Bước 2: Hai ñiểm A, B ñối xứng nhau qua I(a;b) 2

( ) ( ) 2

A B

x x a
f x f x b

+ =



⇔

+ =

 ⇒ toạ ñộ A và B

Bước 3: Kết luận.

Bài tốn 4: Tìm đường cong ñối xứng với (C): y= f x( ) qua ñiểm I(a;b).
• Phương pháp:

Bước 1: Gọi (H) là ñường cong ñối xứng với (C): y= f x( ) qua điểm I(a;b).

Bước 2: Khi đó, với mỗi M(x;y)∈(H) thì ∃M’(x’;y’)∈(C) đối xứng với M qua I(a;b)
' ( ')

' 2 (*)

' 2
y f x
x x a
y y b




⇔ + =

 + =



Bước 3: Khử x’, y’ từ HPT (*) , ta được phương trình đường cong (H).

II. HÀM SỐ CHẲN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1. ðịnh nghĩa: Hàm số y= f x( )ñược gọi là hàm số chẳn trên K nếu:
+ x∀ ∈Kthì x− ∈K (có nghĩa K ñối xứng qua 0)

+ (f − =x) f x( ) ∀ ∈x K

• Tính chất: Nếu y= f x( )là hàm số chẳn thì đồ thị của hàm sốy= f x( ) ñối xứng qua trục Oy
hay ñồ thị hàm số y= f x( )nhận trục Oy làm trục đối xứng.

2. Các bài tốn liên quan

Bài tốn 1: CMR đồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñường thẳng

x

=

a

làm trục ñối xứng.
• Phương pháp 1: ðồ thị hàm số y= f x( )nhận ñường thẳng

x

=

a

làm trục ñối xứng

⇔ f a

(

+x

)

= f a

(

−x

)

∀ ∈x D
• Phương pháp 2:

Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo

OI

=

( ;0)

a

thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ:
x X a

y Y
= +



=


</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

( ) ( )
Y = f X + ⇔ =a Y F X

Bước 3: CM hàm số Y=F(X) là hàm số chẳn

Bước 4: Kết luận: Vậy ñồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñường thẳng

x

=

a

là trục ñối xứng.
Chú ý: - ðồ thị hàm số y=ax4+bx2+c a ( ≠0) là hàm số chẳn nên nhận trục Oy làm trục ñối xứng.

- ðồ thị hàm số: y=ax2+ +bx c a ( ≠0) nhận ñường thẳng

2
b
x

a

= − làm trục đối xứng.

Bài tốn 2: Tìm điều kiện của tham số ñể ñồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñường thẳng

x

=

a

là trục ñối
xứng.

• Phương pháp:

Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo

OI

=

( ;0)

a

thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ:

x X a
y Y

= +




=


Bước 2: Viết phương trình hàm số y= f x( )trong hệ toạ ñộ IXY:

( ) ( )

Y = f X + ⇔ =a Y F X

Bước 3: ðồ thị hàm số nhận ñt

x

=

a

làm trục ñối xứng ⇔ Y=F(X) là hàm số chẳm ⇒ tham số

Bài tốn 3: CMR đường thẳng (d):

y

=

ax

+

b

là trục ñối xứng của ñồ thị (C) của hàm số y= f x( ).
• Phương pháp:

Bước 1: Gọi (∆) ⊥ (d):

y

=

ax

+

b

⇒ phường trình của (∆):

y

1 x

m

a

= −

+

Bước 2: Giả sử (∆) cắt (C) tại 2 điểm A, B. Khi đó hồnh ñộ của A, B là nghiệm của phương trình:

1 ( )

0 f x

x

m

f x

x

m

a

= −

+ ⇔

+

− =

Sử dụng hệ thức Viet ta tìm được:

.

A B

x

x x

+







Bước 3: Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

2

1

A B
I

I I

x

y

x

m

a

+



=







= −

+



Thay toạ ñộ của I vào (d)⇒ nhận xét I∈(d)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài toán 4: Tìm 2 điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y= f x( )ñối xứng qua ñường thẳng (d):

y

=

ax

+

b

• Phương pháp:

Bước 1: Tìm miền xác ñịnh D của hàm số y= f x( ).

Bước 2: Gọi (∆) ⊥ (d):

y

=

ax

+

b

⇒ phường trình của (∆):

y

1 x

m

a

= −

+

Bước 3: Giả sử (∆) cắt (C) tại 2 điểm A, B. Khi đó hồnh ñộ của A, B là nghiệm của phương trình:

1 ( )

0 f x

x

m

f x

x

m

a

= −

+ ⇔

+

− =

(*)

ðể tồn tại A, B thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc D ⇒ tham số

Sử dụng hệ thức Viet ta tìm được:

.

A B

x

x x

+







Bước 3: Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

2

1

A B
I

I I

x

y

x

m

a

+



=







= −

+



- Hai ñiểm A, B ñối xứng qua (d)⇔ I∈(d) ⇔ m
- Thay m vào (*) ta được hồnh độ của A, B là: xA, xB
Khi đó:

A x

(

A

;

1 x

A

m

)

a

−

+

và

B x

(

B

;

1 x

B

m

)

a

−

+

Bài toán 5: Tìm đường cong đối xứng với (C):y= f x( )qua ñường thẳng (d):

y

=

a

• Phương pháp:

Bước 1: Gọi (H) là ñường cong ñối xứng với (C):y= f x( )qua ñường thẳng (d):

y

=

a

Bước 2: Khi đó, với mỗi M(x;y)∈(H) thì ∃M’(x’;y’)∈(C) đối xứng với M qua (d)

' ( ')

' (*)

' 2
y f x
x x
y y a




⇔ =

 + =



Bước 3: Khử x’, y’ từ HPT (*) , ta được phương trình đường cong (H).

B. BÀI TẬP

Bài 1: Tìm tâm đối xứng của ñồ thị các hàm số sau ñây: 
a. y = 1

3x
3

- x2 – 3x - 5

3 b. y =

3 2

1 2

3x x x 3

− + − −

Bài 2: Tìm tâm đối xứng của ñồ thị các hàm số sau ñây: 
a. y = 2

2 1
x

x
−

+ b. y =

2 1

1 3
x

x
+

− c. y =

1 2

2 4

x
x

−

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 3: Tìm tâm ñối xứng của ñồ thị các hàm số sau ñây: 
a. y =

2 5 4

2
x x

x

+ +

+ b. y =

2
3 3
2 2
x x
x
− +

− c. y =

2
5 15
3

x x
x
+ +
+

Bài 4: Tìm trên đồ thị hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua gốc tọa ñộ O.

a.y= 2

8
x
x

−

− b. y =

2 3

1
x
x

+ c. y =

2
2
3

x x
x
− −
−

Bài 5: Tìm m để trên đồ thị có hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua gốc tọa ñộ O

a. y = 1 3 2 2 2 1

3x +mx − x− m−3 b. y = x

- 3x2 + m
c. y=2x3− +(2 m x) 2+1 d. y =x3 +mx2 +9x+4
e.

2 2 2

2 3

x x m

y

x

+ + +

+ f.

2 2 2

2
1

x m x m

y

x

+ +

Bài 6: Cho hàm số

1
2
2
−
+
+

=
x
x
x

y có đồ thị ( C).Tìm tất cả các cặp ñiểm ñối xứng nhau qua ñiểm )
2
5
;
0
(
I .

Bài 7: Cho hàm số : y = 
2
2 3
1
x x
x
− +
+

Tìm một hàm số y = f(x) ñối xứng với ñồ thị hàm số ñã cho qua ñiểm I(-2 ; 1)
Bài 8: Cho hàm số y= x3 −3mx2 +3(m2 −1)x+1−m2có đồ thị (Cm)

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 2.

b) Xác định m để trên đồâ thị (Cm) có một cặp ñiểm ñối xứng nhau qua gốc tọa ñộ.
Bài 9: Cho hàm số 3 2

( )

1
y=x +ax +bx+c .

Xác ñịnh a, b, c ñể ñồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và ñi qua ñiểm M(1;−1).
Bài 10: Cho hàm số : y = 2x3 - 3x2 + 6x - 4

Tìm một hàm số y = f(x) có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số ñã cho qua gốc tọa ñộ. 
Bài 11: Tìm trên đồ thị hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua trục tung:

a. y = 2x3 – 9x2 – 12x + 1 b. y = 1 3 2 3 11

3x x x 3

− + + −

Bài 12: Cho hàm số : y = 1
1
x
x

−
+

Chứng minh ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng y = x + 2 là trục đối xứng
Bài 13: Tìm trên ñồ thị hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua ñường thẳng y = x

a. y = 
2
2
2

x x
x
+ −

− b. y =

2
4 3
2
x x
x
− +
−

Bài 14: Cho hàm số: y = 
2

1
x
x+

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 15: Cho hàm số

1
2
−
=

x
x

y có đồ thị ( C). Tìm hai ñiểm A, B ñối xứng nhau qua ñt: y = x-1.

Bài 16: Tìm trên đồ thị

2
2

4
3
2

−
+
−
=

x
x
x

y hai ñiểm ñối xứng nhau qua ñt y = x.
Bài 17: Cho hàm số y=2x3 −3(2m+1)x2 +6m(m+1)x+1có đồ thị (Cm).

Với giá trị nào của m thì ñồ thị có hai ñiểm ñối xứng qua ñường thẳng y = x + 2.
Bài 18: Cho hàm số

)

2
(
2

+
+
−
+
=

x

m
x
m
x

y .

a) Tìm m để trên đồ thị có hai ñiểm phân biệt A, B sao cho: 5xA-yA+3=0; 5xB-yB+3=0
b) Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A, B ñối xứng qua ñt: x +5y +9 =0
Bài 19: Cho hàm số y=2x3 −3(2m+1)x2 +6m(m+1)x+1có đồ thị (Cm).

Với giá trị nào của m thì đồ thị có hai điểm ñối xứng qua ñường thẳng y = x + 2.
Bài 20: Cho y = x4 +(m + 3)x3 + 2(m +1)x2. Với giá trị nào của m thì ñồ thị có trục ñối xứng.
Bài 21: Cho hàm số: y = x4 – 4x3 + 12x – 1

a. Tìm trục đối xứng (song song với Oy) của ñồ thị hàm số
b. Tìm hồnh độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Bài 22: Cho hàm số : y = x4 + 8x3 + 32x + 14

a. Tìm trục đối xứng (song song với Oy) của đồ thị hàm số
b. Tìm hồnh ñộ giao ñiểm của ñồ thị với trục hoành.
Bài 23: Cho hàm số : y = x4 – 4x3 + 8x

a. Tìm trục đối xứng (song song với Oy) của ñồ thị hàm số 
b. Xác ñịnh hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị với ñường thẳng y = 3 
Bài 24: Cho hàm số

2 2
1
x x
y

x

− +

− (C) và d y1: = − +x m; d2: y= +x 3

Tìm tất cả giá trị của m ñể (C)cắt (d1) tại 2 ñiểm phân biệt A, B ñối xứng nhau qua (d2).
Bài 25: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1).

b) Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi qua ñiểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) ñều cắt ñồ thị 
của hàm số (1) tại ba ñiểm phân biệt I, A, B ñồng thời I là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB.

</div>

TAM DIEM va TRUC DOI XUNG

<b>TÂM, </b>

<b>ð</b>

<b>I</b>

<b>Ể</b>

<b>M & TR</b>

<b>Ụ</b>

<b>C </b>

<b>ðỐ</b>

<b>I X</b>

<b>Ứ</b>

<b>NG </b>

(

) ( )

<i>x</i>

=

<i>a</i>

<i>x</i>

=

<i>a</i>

(

)

(

)

<i>OI</i>

=

( ;0)

<i>a</i>

<i>x</i>

=

<i>a</i>

<i>x</i>

=

<i>a</i>

<i>OI</i>

=

( ;0)

<i>a</i>

<i>x</i>

=

<i>a</i>

<i>y</i>

=

<i>ax</i>

+

<i>b</i>

<i>y</i>

=

<i>ax</i>

+

<i>b</i>

<i>y</i>

1

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>a</i>

= −

+

1

1

( )

( )

0

<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

= −

+ ⇔

+

− =

.

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x x</i>

+