Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.07 MB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

PHƢƠNG PHÁP VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA

ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm tại điểm x0. Khi đó:

- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x0 là:

 

k f x

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0



x0; f x

 

0



là:

 

0 0



 

y f x xx  f x

2. Một số dạng toán thƣờng gặp

Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm M x y



0; 0



thuộc đồ thị hàm số.

Cho hàm số

 

C :y f x

 

và điểm M x y



0; 0

  

 C . Viết phương trình tiếp tuyến với

 

C tại M.

Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Tính đạo hàm f

 

x và tìm hệ số góc của tiếp tuyến k f

 

x0 .

- Bƣớc 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại M: y f

 

x0 xx0



y0.

Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trƣớc. 
Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Gọi

 

 là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Bƣớc 2: Giả sử M x y



0; 0



là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn f

 

x0 k.

- Bƣớc 3: Giải phương trình trên tìm x0 y0  f x

 

0 .

- Bƣớc 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: yk x



x0



y0.

Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm.

Cho đồ thị hàm số

 

C :y f x

 

và điểm A a b

 

; . Viết phương trình tiếp tuyến với

 

C biết tiếp tuyến
đi qua A.

Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Gọi  là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó :yk x a



 



b

- Bƣớc 2: Để  là tiếp tuyến của

 





 

f x k x a b

C

f x k

   



    có nghiệm.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
- Hệ số góc của tiếp tuyến với

 

C tại điểm M x y



0; 0

  

 C là k  f

 

x0 .

- Cho đường thẳng d y: k x ad  .

+) . d 1 1

d

d k k k

k

 

       

+) / /dkkd
+)





tan

1 .

d

k k

d

k k

  





   


+)



,Ox



  k tan
3. Bài tập

Câu 1: Biết tiếp tuyến của hàm số vng góc với đường phân giác góc phần tư
thứ nhất. Phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Hƣớng dẫn giải

Tập xác định:

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình
có hệ số góc là

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

Chọn C.

Câu 2: Cho hàm số . Có bao nhiêu cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến tại đó
song song với nhau:

 

d 3

2 2

yx  x

 

d

1 18 5 3 1 18 5 3

, .

9 9

3 3

y  x   y  x  

, 4.

yx y x

1 18 5 3 1 18 5 3

, .

9 9

3 3

y  x   y  x  

2, 4.

y x y x

D

2
3 2.

y  x 

:x y.

 

 

d

 1.

 

2 1

1 3 2 1 .

o o o

y x    x    x  

 

1 18 5 3 1 18 5 3

: , .

9 9

3 3

d y  x   y  x  

1
(C)

1
x
y

x




</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

A. . B. . C. . D. Vô số.

Hƣớng dẫn giải

Ta có:

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng .
Lấy điểm tùy ý .

Gọi là điểm đối xứng với qua suy ra . Ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là:

Ta thấy nên có vơ số cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

Chọn D.

Câu 3: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi là hoành độ các điểm trên

, mà tại đó tiếp tuyến của vng góc với đường thẳng . Khi đó
bằng:

A. . B. . C. . D. .

Hƣớng dẫn giải

Ta có: .

Tiếp tuyến tại của vng góc với đường thẳng . Hoành độ
của các điểm là nghiệm của phương trình .

Suy ra .

Chọn A.

Câu 4: Trên đồ thị của hàm số có điểm sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ là:

A. B. C. D.

Hƣớng dẫn giải

0 2 1





2
2

' .

1
y

x






1
1
x
y

x




 I

 

1 1;



0 0

  

A x ; y  C

B A I B



2x ;0 2y0

  

 C

A

 





0 2

2
1
A

k y' x .

x



 



B









0 2

2
2

1
B

k y' x .

x



  



A B

k k A, B

 

C

3 2

2 2

yx  x  x x1,x2 M , N

 

C

 

C y  x 2017 x1x2

4
3

 1

3 1

' 3 4 2

y  x  x

M , N

 

C y  x 2017 x1,x2

M , N 3x24x 1 0

1 2

4
3
x x 

1
1
y

x



 M

M

 

2;1 . 4;1 .
3

 
 
 

3 4

; .

4 7

  

 

 

3
; 4 .
4

  

 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4

Ta có: . Lấy điểm .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm là: .

Giao với trục hoành: .

Giao với trục tung:

. Vậy

Chọn D.

Câu 5: Tiếp tuyến của parabol tại điểm tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vng đó là:

A. . B. . C. . D. .

Hƣớng dẫn giải

+ .

+PTTT tại điểm có tọa độ là: .

+ Ta có giao tại , giao tại khi đó tạo với hai trục tọa độ tam
giác vuông vng tại .

Diện tích tam giác vng là: .

Chọn D.

Câu 6: Biết với một điểm M tùy ý thuộc

 

C :

2 3 3

x x

y
x

 


 , tiếp tuyến tại M cắt

 

C tại hai điểm
A,Btạo với I



 2; 1



một tam giác có diện tích khơng đổi, diện tích tam giác đó là?

A. 2(đvdt ). B. 4(đvdt ). C. 5(đvdt ). D. 7 (đvdt ).

Hƣớng dẫn giải 
ChọnA

3 3 1

2 2

x x

y x

x x

 

   

  . Ta có:





1
' 1

2
y

x

 

 .





1
'

1
y

x

 

 M x ; y



0 0

  

 C

M





2





 

0
0

1 1

1
1

y . x x

x
x



   




 

 Ox=A



2x01 0;



 





2 1

x

Oy=B ;

x

    

  

 

2
0

0
0

2 1

1 3

2 1 4

OAB

x

S OA.OB x

x

  

     



 

3
; 4 .
4
M  

 

2
4

y x (1;3)

25
2

5
4

5
2

25
4

2 (1) 2

y  x y  

(1;3) y 2(x     1) 3 y 2x 5 ( )d

( )d Ox 5; 0

2
A 

  Oy B(0;5) ( )d

OAB O

OAB 1 . 1 5. .5 25

2 2 2 4

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5

Gọi



0 0



0 0

 

0
1

; ( ) 1

M x y C y x

x

     


Tiếp tuyến với ( )C tại M là









0
0

1 1

: 1 1

2
2

y x x x

x
x

 

       




 

 

Nếu    x 2 tại điểm A, thì 0
0 2

A

x
y

x

 

 2; 0 0 2

x
A

x

 

   



 

Nếu  cắt tiệm cận xiện tại điểm B thì









0 0 0

0
0

1 1

1 1 1 2 2 1 2 3

2 xB x x x xB xB x yB xB x

x

 

              

 




 

 



2 0 2; 2 0 3



B x x

  

Nếu I là giao hai tiệm cận, thì I có tọa độ I



 2; 1 .



Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên tiệm cận đứng x 2 suy ra H( 2; 2 x03)

Diện tích tam giác 0

0
0

1 1 1

AIB : . . 1 2 2 2

2 2 A I B H 2 2

x

S AI BH y y x x x

x

        



Hay 0

0
1 2

.2 2 2

2 2

S x

x

  

 ( đvdt )

Chứng tỏ S là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M .

Câu 7: Cho hàm số y  x3 3x2 có đồ thị là

 

C . Tìm những điểm trên trục hồnh sao cho từ đó
kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vng góc với nhau.

A. 8 ; 0
27

M 

 . B.

28
; 0

M 

 . C.

8
; 0
7

M 

 . D.

28
; 0
27

M 

 .

Hƣớng dẫn giải 
Chọn B

Xét điểm M m( ;0)Ox.

Cách1: Đường thẳng d đi qua M , hệ số góc k có phương trình: yk x m(  ).

d là tiếp tuyến của

 

C hệ

3 2 ( )

3 3

x x k x m

x k

    




  

 có nghiệm x

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được:

2 3

3(x 1)(x m ) ( x 3x 2) 0

2 2

(x 1)(3x 3(1 m x) 3 ) (m x 1)(x x 2) 0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6
2

(x 1)[2x (3m 2)x 3m 2] 0

      

 

x

   hoặc 2x2(3m2)x3m 2 0 2

 

Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến thì

 

1 phải có nghiệm x, đồng thời phải có 3 giá trị k khác
nhau, khi đó

 

2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, đồng thời phải có 2 giá trị k khác
nhau và khác 0

 

2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi:
2

(3 2)(3 6) 0 , 2

3 3 0

m m m m

m



       

 

   

   

 

Với điều kiện

 

3 , gọi x x1, 2 là hai nghiệm của

 

2 , khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là

2 2

1 3 1 3, 2 3 2 3, 3 0

k   x  k   x  k  .

Để hai trong ba tiếp tuyến này vng góc với nhau k k1. 2  1 và k1 k2

1. 2 1

k k   2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

9(x 1)(x 1) 1 9x x 9(x x ) 18x x 10 0 ( )i

          

Mặt khác theo Định lí Viet 1 2 3 2; 1 2 3 2

2 2

m m

x x   x x   .
Do đó ( ) 9(3 2) 10 0 28

i  m     m thỏa điều kiện

 

3 , kiểm tra lại ta thấy k1 k2

Vậy, 28; 0
27

M 

  là điểm cần tìm.

Cách2: Gọi N x y( ;0 0)( )C . Tiếp tuyến  của

 

C tại N có phương trình:





0 0 0

3 3 ( )

y  x  xx y .

 đi qua





0 0 0

0 3 3 ( )

M    x  mx y
2

0 0 0 0 0

3(x 1)(x 1)(x m) (x 1) (x 2) 0

       

0 0 0

(x 1) 2 x (3m 2)x 3m 2 0

        0

0 0

2 (3 2) 3 2 0 (a)

x

x m x m

 

 

    



Từ M vẽ được đến

 

C ba tiếp tuyến ( )a có hai nghiệm phân biệt khác 1, và có hai giá
trị k  3x023khác nhau và khác 0 điều đó xảy ra khi và chỉ khi:

2 (3 2)(3 6) 0

(3 2) 8(3 2) 0

3 3 0

2 2(3 2) 0

m m

m
m

  

      



   

   



1
2

, 2

3
m

m m

 



    

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7
Vì tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x 1 có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán

2 2

( 3p 3)( 3q 3) 1

       (trong đó p q, là hai nghiệm của phương trình ( )a )

2 2 2 2

9p q 9(p q ) 10 0

     2 2 2

9p q 9(p q) 18pq 10 0

     

2 2

9(3 2) 9(3 2)

9(3 2) 10 0

4 4

m m

m

 

      28

27
m

   . Vậy 28; 0
27

M 

 .

Câu 8: Cho hàm số y 2 1
1
x
x




 có đồ thị là

 

C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C sao cho tiếp

tuyến này cắt các trục O , Ox y lần lượt tại các điểm A,B thoả mãn OA4OB.

A. 
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
   


   


. B.

1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
   


   

. C. 
1 5
4 4
1 13

4 4
y x
y x
   


   

. D. 
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
   


   

.

Hƣớng dẫn giải 
Chọn A

Giả sử tiếp tuyến

 

d của

 

C tại M x y( ;0 0)( )C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho
4O

OA B.

Do OAB vuông tại O nên tan 1
4
OB
A

OA

   Hệ số góc của

 

d bằng 1
4
hoặc 1

 .

Hệ số góc của

 

d là 0 2 2

0 0

1 1 1

( ) 0

( 1) ( 1) 4

y x
x x
       
 
0 0

0 0
3
1
2
5
3
2
x y
x y
     
 
  


  
 
  


Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là:

1 3 1 5

( 1)

4 2 4 4

1 5 1 13

( 3)

4 2 4 4

y x y x

        
 

 
        
 
 
.

Câu 9: Cho hàm số 1 3 2 2 3
3

y x  x  x có đồ thị là 4 4;
9 3

A 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trang | 8
tiếp tuyến của

: 3

: 1

5 128

9 81

y x


 


  




   


tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam

giác có diện tích bằng 8.

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Hƣớng dẫn giải

Chọn D

Ta có

: 3

4
:

5 128

9 81

y x

y

y x



 

 



   


là giao điểm của (Cm) với trục tung

' 3 '(0)

y  x  m y  m

Phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại điểm m là y mx 1 m

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ

1
; 0

m
A

m



 

 

  và (0;1B m)

Nếu m0 thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này
Nếu m0 ta có





9 4 5
1

1 1 1

8 . 8 1 8 16

2 2 7 4 3

OAB

m
m

m

S OA OB m

m m m

  




         

  


Vậy có 4 giá trị cần tìm.

Câu 10: Cho hàm số 1

2 1

x
y

x




 .Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M 

 

C mà tiếp

tuyến của

 

C tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng

: 2 1

d y m .

A. 1

3. B.

3 . C.

3 . D.

2
3 .

Hƣớng dẫn giải 
Chọn A

Gọi M x y( ;0 0)( )C . Phương trình tiếp tuyến tại M : 2 0 0

0
3

( )

(2 1)

y x x y

x



  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Trang | 9
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung

 02 0

2
0

2 4 1

(2 1)

B

x x

y

x

 



 .

Từ đó trọng tâm G của OAB có: y 3x-1
3

 .

Vì Gd nên
2

0 0

2
0

2 4 1

2 1
3(2 1)

x x

m
x

   


Mặt khác:

2 2 2 2

0 0 0 0 0

2 2 2

0 0 0

2 4 1 6 (2 1) 6

1 1

(2 1) (2 1) (2 1)

x x x x x

x x x

        

  

Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thỏa bài tốn thì 2 1 1 1

3 3

m    m .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Trang | 10
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

<b>PHƢƠNG PHÁP VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA </b>

<b>ĐỒ THỊ HÀM SỐ </b>

 

 



 



 



 





 

 



  

 

 

 

 



 





 

 





 

 

 

 





 

 





 

 



  

 









 

 

 

 

 





 



  



  

 













 

 

 

 

 

 

 





<sub></sub>

<sub></sub>



