Tài liệu Đề ôn tập Toán 11 HK2 - đề số 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.48 KB, 4 trang )
Đề số 11
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
II. Phần bắt buộc
Câu 1:
1) Tính các giới hạn sau:
a)
x
x
x x
2
1 2
lim
2 3
→+∞
−
+ −
b)
x
x x x
x x
3 2
3
2
3 9 2
lim
6
→
+ − −
− −
c)
( )
x
x x x
2
lim 3
→−∞
− + +
2) Chứng minh phương trình
x x
3
3 1 0− + =
có 3 nghiệm phân biệt .
Câu 2:
1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
( )
y x x
x
2
3 1
= + −
÷
b)
y x xsin= +
c)
x x
y
x
2
2
1
−
=
−
2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
= tany x
3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
⊥ ( )SA ABCD
và
= 6SA a
.
1) Chứng minh :
BD SC SBD SAC, ( ) ( )⊥ ⊥
.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
II. Phần tự chọn
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
= −
1
y x
x
tại giao điểm của nó với trục hoành .
Câu 5a: Cho hàm số
= + − +
3
60 64
( ) 3 5f x x
x
x
. Giải phương trình
f x( ) 0
′
=
.
Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính
uuur uuur
.AB EG
.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số
y x xsin 2 .cos2=
.
Câu 5b: Cho
= + −
3 2
2
3 2
x x
y x
. Với giá trị nào của x thì
y x( ) 2
′
= −
.
Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung và tính
khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD′ và B′C.
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đề số 11
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1:
1) a)
x x
x
x
x
x x
x
x
2
2
2
1 2
1 2
lim lim 0
2 3
2 3
1
→+∞ →+∞
−
−
= =
+ −
+ −
b)
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
3 2 2 2
3 2 2
2 2 2
3 9 2 ( 2)( 5 1) 5 1 15
lim lim lim
11
6 ( 2)( 2 3) 2 3
→ → →
+ − − − + + + +
= = =
− − − + + + +
c)
( )
x x x
x x
x x x
x x x
x x
x
x
2
2
2
3 3
lim 3 lim lim
1 3
3
1
→−∞ →−∞ →−∞
− −
− + + = =
− + −
− − + −
÷
÷
x
x
x
x
2
3
1
1
lim
2
1 3
1 1
→−∞
−
= =
− − + +
÷
÷
2) Xét hàm số
f x x x
3
( ) 3 1= − +
⇒ f(x) liên tục trên R.
• f(–2) = –1, f(0) = 1 ⇒ phuơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
( )
c
1
2; 0∈ −
• f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
( )
c
2
0;1∈
• f(1) = –1, f(2) = 3 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
( )
c
3
1;2∈
• Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà
c c c
1 2 3
, ,
phân biệt nên phương trình đã cho có
đúng ba nghiệm thực.
Câu 2:
1) a)
( ) ( )
y x x y x x
x x
x
x
2
2 2 2 1
3 1 ' 3 1 3
2
= + − ⇒ = − + − + +
÷
÷ ÷ ÷
x x x
x x x x x x
x x
2 2
2 2 1 3 9 1 2
3 3 3
2 2
= − + + − + + = − + −
b)
y x x y xsin ' 1 cos= + ⇒ = +
c)
( )
x x x x
y y
x
x
2 2
2
2 2 2
'
1
1
− − +
= ⇒ =
−
−
2)
( )
y x y x y x x
2 2
tan ' 1 tan " 2 tan 1 tan= ⇒ = + ⇒ = +
3) y = sinx . cosx
y x dy xdx
1
sin 2 cos2
2
⇒ = ⇒ =
Câu 3:
a) Chứng minh :
BD SC SBD SAC,( ) ( )⊥ ⊥
.
• ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥SC
• (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC)
b) Tính d(A,(SBD))
• Trong ∆SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD)
2
•
a
AO
2
2
=
, SA =
( )
a gt6
và ∆SAO vuông tại A
nên
AH SA AO a a a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 13
6 6
= + = + =
a a
AH AH
2
2
6 78
13 13
⇒ = ⇒ =
c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
• Dế thấy do SA
⊥
(ABCD) nên hình chiếu của SC
trên (ABCD) là AC ⇒ góc giữa SC và (ABCD) là
·
SCA
. Vậy ta có:
· ·
SA a
SCA SCA
AC
a
0
6
tan 3 60
2
= = = ⇒ =
Câu 4a:
y x
x
1
= −
⇒
y
x
2
1
1
′
= +
• Các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là
( ) ( )
A B1; 0 , 1;0−
• Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc
k
1
2=
nên PTTT: y = 2x +2
• Tại B(1; 0) tiếp tuyến cũng có hệ số góc
k
2
2=
nên PTTT: y = 2x – 2
Câu 5a:
f x x
x
x
3
60 64
( ) 3 5= + − +
⇒
f x
x x
2 4
60 128
( ) 3
′
= − +
PT
x
x
f x x x
x
x x
x
2
4 2
2
2 4
4 3
8
60 128
( ) 0 3 0 3 60 128 0
16
3
8
3
=
= ±
′
= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔
=
= ±
Câu 6a:
Đặt
AB e AD e AE e
1 2 3
, ,= = =
uuur ur uuur uur uuur uur
( ) ( )
AB EG e EF EH e e e e e e e a
2
1 1 1 2 1 1 1 2
. . . .⇒ = + = + = + =
uuur uuur ur uuur uuur ur ur uur ur ur ur uur
Cách khác:
( )
AB EG EF EG EF EG EF EG a a a
0 2
. . . .cos , . 2.cos 45= = = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Câu 4b: y = sin2x.cos2x
• y =
x y x y x
1
sin 4 ' 2 cos 4 " 8sin 4
2
⇒ = ⇒ = −
Câu 5b:
x x
y x y x x
3 2
2
2 ' 2
3 2
= + − ⇒ = + −
•
x
y x x x x
x
2
0
2 2 2 ( 1) 0
1
=
′
= − ⇔ + − = − ⇔ + = ⇔
= −
3
O
A
B
D
C
S
H
A
B
C
D
E
F
G
H
Câu 6b:
Gọi M là trung điểm của B′C, G là trọng tâm của ∆AB′C.
Vì D′.AB′C là hình chóp đều, có các cạnh bên có độ dài
a 2
, nên BD’ là đường cao của chóp này ⇒ BD′ ⊥ (AB′C)
⇒ BD′ ⊥ GM.
Mặt khác ∆AB′C đều nên GM ⊥ B′C
⇒
GM là đoạn vuông góc chung của BD’ và B’C.
•Tính độ dài GM =
a
AC a
1 3 1 3 6
2.
3 2 3 2 6
= =
======================================
4
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
O
G
M
