Đề thi HSG môn Toán 9 năm 2018 - 2019 Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (450.7 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
CẨM THỦY

ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (LẦN 2) 
Năm học 2018 - 2019

Mơn: Tốn - Lớp 9

Thời gian: 150 phút(không kể thời gian giao đề)

Câu I. (4,0 điểm):

1. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:





3 3

26 15 3. 2 3

9 80 9 80

x

 



  

2. Tính tổng:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

8.1 1 8.2 1 8.3 1 8.1009 1

1 1 1 ... 1

1 .3 3 .5 5 .7 2017 .2019

S            

Câu II. (4,0 điểm):

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1;3

2); N(3;0); K(4;
5

2). Xác định tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA.

2. Giải phương trình: 2 4 2 4

13 x x 9 x x 16.
Câu III. (4,0 điểm):

1. Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2

3x 18y 2z 3y z 18x27.
2. Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:

4 4

1 1

x y

y x

 



  là số nguyên. Chứng minh
rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1).

Câu IV. (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và dây cung AH < R. Qua H vẽ đường thẳng d tiếp
xúc với đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho H nằm
giữa B và C. Vẽ HM vng góc với OB (MOB), vẽ HN vng góc với OC (NOC).

1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định.
2) Chứng minh: OB.OC = 2R2.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu V. (2,0 điểm): Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c  3.

Chứng minh rằng: 12 12 12 1.
2a b2b c2c a 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 9 
(Đáp án gồm có 04 trang)

Bài Đáp án Điểm

1 
(4đ)

1. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:





3 3

26 15 3. 2 3

9 80 9 80

x

 



  

Đặt















3 3

3 3

3 3

3
3

9 80 9 80

9 80 9 80 3 9 80 9 80 .

18 3 81 80.
18 3

3 18 0

3 3 6 0

3 6 0
a

a a

a a a

a

a a

   

       

   

  

   

    



 

  


Mặt khác: 326 15 3 3



32



3  32

Suy ra:



 





3 3

26 15 3. 2 3 3 2 2 3 4 3 1

3 3 3

9 80 9 80

x

    

   

  

Vậy

 

2020

1 1

3. 1 1 1

27 9

Q      

 

0,5đ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2. Tính tổng:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

8.1 1 8.2 1 8.3 1 8.1009 1

1 1 1 ... 1

1 .3 3 .5 5 .7 2017 .2019

S            

Ta có:



 















2 2 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

8 1 8 1 16 8 1 8 1 4 4

1 1

4 1

2 1 2 1 4 1 4 1 4 1

1 1 1

1 .

2 2 1 2 1

n n n n n n n

n

n n n n n

n n

     

     



    

 

    

 

 

Với n ≥ 1, nN

Thay lần lượt n từ 1 đến 1009 ta được:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 . 1 . ... 1 .

2 1 2 2 3 5 2 2017 2019

S             

     

1 1 1009

1009 . 1 1009

2 2019 2019

 

    

 

0,5đ

0,5đ
0,5đ

2 
(4đ)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1;3

2); N(3;0);
K(4;5

2). Xác định các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm
của AC, CB, BA.

Lời giải:

Phương trình đường thẳng MN có dạng y=ax + b.

3 3

N
M

-2 -1

-3
-2
-1

6
5

4
3

1 5

3
2

1
O
y

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vì M(3;0) thuộc đường thẳng MN nên: 0 = 3a + b (2)
Từ (1 ) và (2) suy ra: a = -3/4; b = 9/4

Suy ra phương trình đường thẳng MN là: 3 9

4 4

y x

Tương tự phương trình đường thẳng MK là: 1 7

3 6

y x

phương trình đường thẳng NK là: 5 15

2 2

y x

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // AB

 Phương trình đường thẳng AB có dạng 3
4

y x c

Mà K(4;5

2) ∈ AB suy ra

5 3

2 4 c



  => c= 11
2

 Phương trình đường thẳng AB là: 3 11

4 2

y x

Tương tự : phương trình đường thẳng BC là: 1 1
3
y x

Phương trình đường thẳng AC là: 5 1
2
y x

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

3 11
.

4 2

5 4

. 1
2

y x

x
y

y x




 

  





 




  



Suy ra A(2;4)

Tương tự: B(6;1) và C(0;-1)

0,5đ

1. Giải phương trình: 2 4 2 4

13 x x 9 x x 16.
Lời giải:

Đk: -1 ≤ x ≤ 1

Ta có:





2 2

2 2 2

13. . 1 9 . 1 13

. 13 1 9 1 256

x x x x

x x x

   

    

Áp dụng Bđt bunhicopxki cho 2 dãy số:
13; 3 3





13(1x ); 3 1x ta được:











13. 13 1x2 3 3. 3 1x2



2 



13 27 13 13





 x2 3 3x2



40. 16 10



 x2



0,5đ

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Áp dụng bđt Cosi ta có:





2 2 2 2 2 2

4.10x . 16 10 x (10x 16 10 x ) 16 256

Dấu bằng xảy ra 10x2 = 16 - 10x2  2 2 5
5
5

x   

0,5đ

III 
(4đ)

1) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2

3x 18y 2z 3y z 18x27.

Giả thiết





2 2 2 2 2

3 x 3 18y 2z 3y z 54

      (1)

+) Lập luận để z23z3 z29z2 9(*)
(1)3(x3)2 2z23y z2( 26)54(2)

(2)543(x3)2 2z2 3y z2( 26)3(x3)22.9 3 y2.3

2 2

(x3) 3y 12

2 2 2

4 1; 4

y y y

     vì y nguyên dương.
Nếu y2  1 y1 thì (1) có dạng:





2 2 2 2 72 2

3 3 5 72 5 72 9 3

x  z   z  z  z  z (vì có(*))

Khi đó 3



x3



2 27



x3



2 9, x nguyên dương nên tìm được x = 6

Nếu y2 4 y2 (vì y ngun dương) thì (1) có dạng:





2 2 2 2 2

3x3 14z 12614z 126z  9 z   9 z 3 (vì z nguyên dương)

Suy ra (x3)2 0x3(vì x nguyên dương)

Đáp số

3 6

2; 1

3 3

x x

y y

z z

 
 
 

 
 
   
 

0,5đ

2) Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:

4 1 4 1

1 1

x y

y x

 



  là số nguyên.
Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Theo bài ra ta có: a m an bm Z

b n bn



  

Suy ra: an bm b an b
an bm n bm n



 



 



 

 

  mà (a;b)=1; (m;n)=1 suy ra:

n b

n b
b n



 







Mặt khác:

4 4

1 1

. .

1 1

a m x y

Z

b n y x

 

 

  ( vì x

4 - 1 x+1 và y4 - 1 y + 1)

Suy ra a.mn mà (m;n) =1 suy ra an mà n = b nên a  b suy ra x4 - 1 y + 1 
Do đó: x4y44 – 1= y44 (x4 - 1) + (y44 – 1) y + 1

Vì x4 - 1 y + 1 và y44 – 1 y + 1 (đpcm)

0,5đ

IV

1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định.

a) Chứng minh: OM.OB = ON.OC.

Vì tam giác OHB vng tại H có HM là đường cao nên: OM.OB = OH2

Vì tam giác OHC vng tại H có HN là đường cao nên: ON.OC = OH2

Suy ra: OM.OB = ON.OC (vì cùng bằng OH2)

0,5đ

0,5đ
D

N C

H
A

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

(6đ) b) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.

Vì OM.OB = OH2 OA2 = OM.OB OA OB

OM OA

 

Xét O AM và OABcó: AOB chung

OA OB

OM OA (chứng minh trên)
O AM

  OAB(c.g.c)

 

MAO OBA

  mà AOBOBA (vì OA = AB = R)

 

MAO MOA

 

O
M A

  cân tại M MA = MO  M thuộc đường trung trực của AO
Chứng minh tương tự ta có N cũng thuộc đường trung trực của AO

 MN đi qua trung điểm D của OA cố định.

0,25đ

2) Chứng minh: OB.OC = 2R2.

Ta có: OM.OB = ON.OC (chứng minh câu a)

OM OC

ON OB

 

Chứng minh được OMN  OCB (c.g.c)

Mà OH BC; ODMN 1O

D R R 2

OM OC OM OC

OM C

O OH

     

Lại có: OM.OB = OH2 1O . 2

2 C OB R

 

Vậy OB.OC = 2R2.

0,5đ

0,5đ
3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi

Ta có: OMN  OCB

2 2

S D 1 1 1

S S . .

S 4R 4 4 8

OMN

OMN OCB

OCB

O R

OH BC
OH

 

       

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1 1

R(AB AC) R( )

8 8 4

R
R R

    

Dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng AH

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác OMN là:

4
OMN

R

S  khi điểm A trùng với điểm
H.

0,5đ

V 
(2đ)

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c  3. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

1.
2a b2b c2c a

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,

ta có 2 3 2

1 1 a b3 a b và 3 2

3 ab     a b b a 2 .b

Suy ra





2 3 2

2 2 3 2

2 1 1 1

1 1 1 1 2

2 1 1 3 3 9

a b

a b a ab a a b

a b   a b   a b        

  

Suy ra 2

1 1 1

( 2 )

2a b 218 a  ab (1)

Tương tự, cũng có: 2
2

1 1 1

( 2 )

2b c 218 b  bc (2)

2
2

1 1 1

( 2 )

2c a 218 c  ca (3)
Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu được





2 2

1 1 1 3 1

2a b2b c2c a 218 a b c   Điều phải chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1.

0,5đ

0,5đ
Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình khơng vẽ hình

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh,
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng
các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng 
TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS
lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở
các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam
Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành 
tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Đề thi HSG môn Toán 9 năm 2018 - 2019 Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy có đáp án





























 





 



 



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>













































<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>













<i><b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b></i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về