<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

<b>TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA MỘT ĐIỂM </b>

<b>VÀ MỘT ĐƢỜNG THẲNG VỚI (E) </b>

<b>I. Lý thuyết </b>

<b>1. Vị trí tƣơng đối của một điểm với (E) </b>

Cho

 

2 2

2 2

x y

E : 1

a b  với a, b, c0 và điểm M x ; y



0 0



Xét biểu thức

2 2

0 0

2 2

x y

T

a b 

+ Nếu T 1 M nằm ngoài (E)

+ Nếu T 1 M nằm trên (E) (hay M

 

E )
+ Nếu T 1 M nằm trong (E)

<b>2. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng với (E) </b>

Cho

 

2 2

2 2

x y

E : 1

a b  với a, b, c0 và đường thẳng : AxBy C 0

Xét hệ

 

 

2 2

2 2

Ax By C 0 1

x y

1 2

a b

   




 




Rút y từ (1) thế vào (2) 2

 

1 1 1

A x B y C 0 3

   

+ Nếu (3) vô nghiệm   và (E) khơng có điểm chung

+ Nếu (3) có nghiệm kép   và (E) tiếp xúc nhau.+ Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt   và (E) cắt
nhau tại hai điểm phân biệt.

<b>Ví dụ: Cho </b>

 

2 2

x y

E : 1

25 9  và đường tròn

 

2 2





m

C : x y 2 m 1 x 2y 1 0    . Số giá trị m nguyên để đường trịn

 

C_m có tâm nằm hồn tồn
trịn (E) là:

<b>A. 7 </b> <b>B. 8 </b> <b>C. 9 </b> <b>D. 10 </b>
<b>Lời giải </b>

(C) có tâm là I m 1; 1



 



. Tâm I nằm trong (E)



  

2 2

_

_

2

m 1 1 8 10 2 10 2

1 m 1 .25 1 m 1

25 9 9 3 3

 

          

 có 9 giá trị m nguyên thỏa mãn

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
<b>Ví dụ: Cho </b>

 

2 2

x y

E : 1

16 9  và điểm I 1; 2 đường thẳng d đi qua I cắt (E) tại hai điểm M, N sao cho I

 

là trung điểm của MN có vecto chỉ phương là u

 

a; b .Khi đó giá trị b

a là:
<b>A. </b>32

9 <b>B. không tồn tại </b> <b>C. </b>
9
32

 <b>D. </b> 9
32
<b>Lời giải </b>

Đường thẳng d có VTCP là u

 

a; b b k
a

   là hệ số góc của đường thẳng d

 d qua I và có hệ số góc k d : yk x 1



 



2 1

 

Tọa độ M, N là nghiệm của hệ





 

 

2 2

y k x 1 2 1

x y

1 2

16 9

   




 




 thế (1) vào (2) 9x216 k x 1_



 



2_2 144



2



2



2



2

 

16k 9 x 16 4k 2k 16k 64k 80 0 3

       

Nhận thấy qua I ln có đường thẳng cắt (E) tại hai điểm phân biệt, (3) ln có 2 nghiệm phân biệt x , x₁ ₂

với k là hoành độ của M, N.

Mà M, N, I thẳng hàng (cùng thuộc d)  I là trung điểm của MN









2
1 2

1 ₂

16 4k 2k

x x 9

x 1 k

2 2 16k 9 32

 



      

 <b> </b>

<b>Đáp án C. </b>

<b>II. Bài tập </b>

<b>Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip </b>

 

2 2

x y

E : 1

16 9  và đường thẳng : x  y c 0. Với giá trị nào
của c thi  là tiếp tuyến của (E) ?

<b>A. 5 </b> <b>B. 25</b> <b>C. 5</b> <b>D. 5</b>

<b>Lời giải </b>

 

E có a2 16; b2 9

Để  là tiếp tuyến của (E) thì 16.129.12c2c225  c 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3
<b>Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip </b>

 

2 2

x y

E : 1

3216  . Số đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm phân
biệt có tọa độ nguyên là:

<b>A. 9 </b> <b>B. 18 </b> <b>C. 120 </b> <b>D. 1 </b>
<b>Lời giải </b>

Giả sử M x ; y



₀ ₀

  

 E có tọa độ nguyên





2 2 2

2 2 2 2

0 0 0

0 0 0 0

x y y

1 x 32 1 2 16 y 0 16 y 0 y 16

32 16 16

 

     _  _       

 

Mà y₀ y₀    



4; 3; 2; 1;0



Với y₀  4 x₀  0 M 0; 4₁

 

(nhận)
Với y₀   4 x₀  0 M 0; 4₂







(nhận)
Với y₀  3 x₀   34

Với y₀   3 x₀   34
…

Với y₀  0 x₀   32

Vậy chỉ có duy nhất mơtj đường thẳng d cắt (E) tại hai điểm có tọa độ nguyên.

<b>Đáp án D. </b>

<b>Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip </b>

 

E : 4x29y2 36 và điểm M 1; 2







. Lập phương trình đường
thẳng d đi qua M cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là tring điểm của AB.

<b>A. </b>2x 9y 20  0 <b>B. </b>2x y 200

<b>C. </b>2x 9y 20  0 <b>D. </b>9x2y 13 0

<b>Lời giải </b>

Giả sử d đi qua M 1; 2







và có hệ số góc k





d : y k x 1 2 d : y kx k 2

       

Xét hệ tọa độ giao điểm





2 2

2
2

4x 9y 36

4x 9 kx k 2 36

y kx k 2

  

    



  







2 2 2 2 2

4x 9 k x k 4 2k x 4kx 4k 36 0

        



2



2







2



 

4 9k x 2k 9k 18 x 9k 36k 0 *

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4

Để (E) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x , x_A _B





2







2 2 2

' 0 k 9k 18 4 9k 9k 36k 0

        



 



2 2 2 4 3

k 81k 324k 324 36k 144k 81k 324k 0

       

 

2 1

288k 144k 0 0 k 1

2

     

Với k thỏa mãn điều kiện (1) thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x , x_A _B

Khi đó theo Vi-et ta có:

2

A B 2

2

A B 2

18k 36k

x x

9k 4

9k 36k

x x

4 9k

 _ _ 

 





 _

 _



Vì M là trung điểm của AB nên xAxB 2xM
2

2 2

2

18k 36k 2

2.1 2 18k 36k 18k 8 k

9k 4 9



        

 (TMĐK (1))

Với k 2 d : y 2x 20 d : 2x 9y 20 0

9 9 9

       

<b>Đáp án A. </b>
<b>Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip </b>

 

2 2

x y

E : 1

3216  và đường thẳng : x2 2y0 cắt elip (E) tại
hai điểm phân biệt B và C. Điểm A

 

E sao cho ABC có diện tích lớn nhất. Tính giá trị của

2 2

A A

Px y .

<b>A. 2 </b> <b>B. 0 </b> <b>C. 6 </b> <b>D. –6 </b>
<b>Lời giải </b>

Phương trình tham số của

 

E : x 4 2 sin t t



0; 2



y 2 cos t

 

 _ _






Vì A

 

E nên A 4 2 sin t; 2 cos t









ABC
1

S .BC.d A;

2

  

Vì BC khơng đổi nên SABCmaxd A;







max

Có









2

4 2 sin t 4 2 cos t _{4 2 sin t cos t}
d A;

3

1 2 2

 _

  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5

4 2. 2 sin t 8 sin t

4 4 8

3 3 3

 
 _   _ 
   
   
  
ABC

sin t 1

4

S max sin t 1

4

sin t 1

4

  __

 

  
  _
  _  _  
 
   _ _{ }
  
 






3

t k2 t k2

4 2 4

k

t k2 t k2

4 2 4

  
 _{  } _  _ _ _
 
  
  
 _{ } _ _  _ _ _

 
 

Vậy





3
t

4
t 0; 2

t
4

 

    _
 


- Với





 

2

2 2 2

A A

3

t A 2; 2 P x y 2 2 2

4



         

- Với





 

 

2
2

2 2

A A

3

t A 2; 2 P x y 2 2 2

4



          

<b>Đáp án A. </b>

<b>Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn </b>

 

C : x2y2 8. Phương trình nào là phương trình chính
tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại 4 điểm tạo thành 4 đỉnh của
một hình vng?

<b>A. </b>

2 2

x 3y

1
16 16  <b> B. </b>

2 2
x 3y
1
16
16
3

  <b>C. </b>

2 2
x 3y
1
16
16
3

  <b>D. </b>

2 2

x 3y

1

16 16 

<b>Lời giải </b>

Phương trình chính tắc của (E) có dạng:





2 2

2 2

x y

1 a b 0

a b   

(E) có độ dài trục lớn bằng 8 2a  8 a 4

Do (E) và (C) cùng nhận Ox, Oy làm trục đối xứng và các giao điểm là các đỉnh của hình vng nên (E)
và (C) có 1 giao điểm với tọa độ dạng A t; t với t

 

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6

Vì A 2; 2

   

E 4₂ 4₂ 1 b2 16

16 b 3

     

Vậy phương trình chính tắc của (E) là:

2 2

x 3y

1
16
16

3

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7

<b>Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội </b>
<b>dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, </b>

<b>giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên </b>

danh tiếng.

<b>I. </b> <b>Luyện Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng </b>
<b>xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và </b>
Sinh Học.

- <b>Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các </b>

<i>trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường </i>
<i>Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn </i>
<i>Đức Tấn. </i>

<b>II. </b> <b>Khoá Học Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Toán Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp </b>
<i>dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh </i>
<i>Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc </i>
<i>Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia. </i>

<b>III. </b> <b>Kênh học tập miễn phí</b>

- <b>HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả </b>
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi </b>
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và

Tiếng Anh.

<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

<i> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </i>

<i>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </i>

</div>

<!--links-->