<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

<b>LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA </b>

<b>ĐƢỜNG THẲNG </b>

<b>I. Lý thuyết </b>

<b>1.Véc tơ pháp tuyến, vectơ chỉ phƣơng và hệ số góc của đƣờng thẳng. </b>

a. Vectơ <i>n</i>0<b> và có giá vng góc với đường thẳng d được gọi là vectơ pháp tuyến(VTPT) của đường </b>
thẳng d.

b. Vectơ <i>u</i>0<b> có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vectơ chỉ phƣơng (VTCP) </b>
của đường thẳng d.

c. Đường thẳng d có VTCP là <i>u</i>

 

<i>a b</i>; với <i>a</i>0thì có hệ số góc <i>k</i> <i>b</i>.
<i>a</i>



<b>Nhận xét: </b>

+ Nếu <i>n là VTPT của đường thẳng d thì kn k</i>



0



là VTPT của đường thẳng d.
+ Nếu <i>u là VTCP của đường thẳng d thì ku k</i>



0



là VTCP của đường thẳng d.
(một đưởng thẳng có vơ số VTPT và VTCP)

+ Nếu VTCP của d là <i>n</i>



<i>A B</i>;



<i>d</i> có VTCP là <i>u</i> 



<i>B A</i>;



(hoặc <i>u</i>



<i>B</i>;<i>A</i>



) và ngược lại.
+ Nếu đường thẳng d có hệ số góc là k thì có VTCP là <i>u</i>

 

1;<i>k</i> .

<b>Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d qua </b><i>A</i>

 

1; 2 và <i>B</i>

 

1 ;3 . Phát biểu nào
sau đây là sai?

<b>A. VTPT của d là </b><i>n</i>

 

1; 2 .

<b>B. VTCP của d là </b><i>u</i>



2; 1 .



<b>C. Hệ số góc của đường thẳng d là 2. </b>
<b>D. Hệ số góc của đường thẳng d là </b> 1.

2



<b>Lời giải: </b>

Đường thẳng d có VTCP là <i>AB</i> 



2;1



 Hệ số góc của đường thẳng d là 1 1

2 2

<i>k</i>   

 C sai.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d qua <i>M x</i>



₀;<i>y</i>₀



và có VTPT là <i>n</i>



<i>A B</i>;



 

;
<i>M x y</i> <i>d</i>

   , ta có <i>MM</i> <i>n</i>

. 0

<i>n MM</i>

   (1)

+ phương tình (1) gọi là phương trình đường thẳng d đi qua <i>M x</i>



₀;<i>y</i>₀



và có <i>VTCPn</i>



<i>A B</i>;



.

+Phương trình



2 2



0 0

<i>Ax</i><i>By C</i>  <i>A</i> <i>B</i>  biểu thị một đường thẳng có VTPT là <i>n</i>



<i>A B</i>;



và VTCP



;



.

<i>u</i> <i>B A</i>

<b>Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua </b><i>M</i>

 

1; 2 và có hệ số góc k = -2 là:

<b>A. 2x – y =0. B. 2x + y – 4=0. C. 2x + y = 0. D. 2x + y + 4 =0 </b>
<b>Lời giải: </b>

<b>Cách 1: </b>

+ Đường thẳng d có hệ số góc k = -2 <i>VTCP</i> <i>u</i>



1; 2 



<i>VTCP n</i>

 

2;1
+ Đường thẳng d đi qua M (2; 1) và có VTPT <i>n</i>

 

2;1

 Phương trình đường thẳng d là: 2



<i>x</i> 1

 

1 <i>y</i>2



 0 2<i>x</i>  <i>y</i> 4 0

<b>Cách 2: </b>

<b>+ Bƣớc 1: Kiểm tra đường thẳng qua M (1;2), loại phương án C,D. </b>

<b>+ Bƣớc 2: Kiểm tra phương án A: </b><i>d</i> 2<i>x</i>   <i>y</i> 0 <i>y</i> 2<i>x</i> hệ số góc k = 2(loại)
Vậy đáp án B đúng.

<b>II. Bài tập </b>

<b>Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng </b>d : 3x  y 6 0 là đường thẳng

<b>A. đi qua </b>M 0; 6







và có VTCP u



3; 1



<b>B. đi qua </b>B 0; 6 ; C





 

1; 2



<b>C. đi qua </b>D 2;0 và có VTPT

 

n

 

1;3

<b>D. qua N(2;0) và có hệ số góc là 3. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

<b>Lời giải </b>
<b>Chọn D </b>

Đường thẳng d đi qua N 2;0 và có hệ số góc là k

 

3có phương trình là:





y 0 3 x 2 3x  y 6 0

<i><b>Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm </b>A</i>



0; 1



, <i>B</i>

 

3;0 . Phương trình đường thẳng
<i>AB là </i>

<b>A. </b><i>x</i>3<i>y</i> 1 0. <b>B. </b><i>x</i>3<i>y</i> 3 0. <b>C. </b><i>x</i>3<i>y</i> 3 0. <b>D. 3</b><i>x</i>  <i>y</i> 1 0.

<b>Lời giải </b>
<b>Chọn C. </b>

Ta có <i>AB</i>

 

3;1 là véctơ chỉ phương của đường thẳng <i>AB . Nên n</i>



1; 3



là véctơ pháp tuyến của
<i>đường thẳng AB . </i>

<i>Khi đó phươn trình đường thẳng AB là x</i>3



<i>y</i> 1



0  <i>x</i> 3<i>y</i> 3 0.

<b>Bài 3: Cho đường thẳng </b><i>d</i>:2<i>x</i>3<i>y</i> 4 0. Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của <i>d</i>?

<b>A. </b><i>n</i>

 

2;3 . <b>B. </b><i>n</i>

 

3; 2 . <b>C. </b><i>n</i>



3; 2



. <b>D. </b><i>n</i>  



3; 2



.

<b>Lời giải </b>
<b>Chọn A. </b>

:2 3  4 0

<i>d</i> <i>x</i> <i>y</i> có véctơ pháp tuyến là <i>n</i>

 

2;3 .

<b>Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua A(-1;2) và song song với </b>:<i>y</i>5<i>x</i>2 có phương
trình là:

<b>A. y = 5x -3. B. y = 3x + 5. C. y= -7x -5. D. y = 5x +7. </b>
<b>Lời giải: </b>

<b>Chọn D </b>

Đường thẳng d đi qua A(-1;2) và có hệ số góc k = 5

 

: 5 1 2 5 7.

<i>d y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

  _   _   

<b>Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng </b><i>d</i>: 2<i>x</i>3<i>y</i> 4 0.<i> Điểm M</i><i>d</i> thì tọa độ có dạng

<b>A. </b> <i>M m</i>



; 2 <i>m</i>4 .



<b> B. </b><i>M</i>



3<i>m</i>4;<i>m</i>



.

<b>C.</b><i>M</i>



2 3 ; 2 <i>m</i> <i>m</i>



.<b> D. </b><i>M</i>



0; 2<i>m</i>3<i>m</i>4 .



</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
Đường thẳng d: 2x + 3y – 4 = 0. Chọn <i>M</i>

 

2;0 <i>d</i>

<i>d</i>

 đi qua M(2;0) và có VTPT <i>n</i>

 

2;3 <i>VTCP u</i>



3; 2



2 3
:
2
<i>x</i> <i>t</i>
<i>d</i>
<i>y</i> <i>t</i>
 


 _{  }

 trong đó t là tham số.



2 3 ; 2



<i>M</i> <i>d</i> <i>M</i> <i>t</i> <i>t</i>

    

<b>Bài 6: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm </b><i>A</i>



2; 4



,<i>B</i>



6;1



là

<b>A. 3</b><i>x</i>4<i>y</i>100. <b>B. 3</b><i>x</i>4<i>y</i>220. <b>C. 3</b><i>x</i>4<i>y</i> 8 0. <b>D. 3</b><i>x</i>4<i>y</i>220.

<b>Lời giải </b>
<b>Chọn B. </b>

Ta có <i>AB</i>  



4; 3



.

<i>Đường thẳng AB qua điểm A</i>



2; 4



và nhận 1 VTPT là <i>n</i>



3; 4



nên có phương trình:



 



3 <i>x</i> 2 4 <i>y</i>4 0 3<i>x</i>4<i>y</i>220.

<b>Bài 7: Cho đường thẳng </b>: 2<i>x</i>  <i>y</i> 1 0. Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng ?

<b>A. </b><i>A</i>

 

1;1 . <b>B. </b> 1; 2
2

<i>B</i>_ _

 . <b>C. </b>

1
; 2
2
<i>C</i>_  _

 . <b>D. </b><i>D</i>



0; 1



<b>Lời giải </b>
<b>Chọn B. </b>

Ta có : 2<i>x</i>  <i>y</i> 1 0 nên thay lần lượt các tọa độ, ta thấy 1; 2
2
<i>B</i>_ _

  thỏa mãn.

<b>Bài 8: Đường thẳng đi qua điểm </b><i>A</i>



1; 2



và nhận <i>n</i> 



2; 4



làm véctơ pháp tuyến có phương trình là

<b>A. </b><i>x</i>2<i>y</i> 4 0. <b>B. </b><i>x</i>2<i>y</i> 4 0. <b>C. </b><i>x</i>2<i>y</i> 5 0. <b>D. </b> 2<i>x</i> 4<i>y</i>0.

<b>Lời giải </b>
<b>Chọn C. </b>

Đường thẳng đi qua điểm <i>A</i>



1; 2



và nhận <i>n</i> 



2; 4



làm véctơ pháp tuyến có phương trình là



 



2 <i>x</i> 1 4 <i>y</i> 2 0

       2<i>x</i> 4<i>y</i>100  <i>x</i> 2<i>y</i> 5 0.

<i><b>Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm</b>A</i>



1; 3



, <i>B</i>



2;5



. Viết phương trình tổng quát của đường
thẳng đi qua hai điểm , <i>A B . </i>

<b>A. 8</b><i>x</i>3<i>y</i> 1 0. <b>B. 8</b><i>x</i>3<i>y</i> 1 0. <b>C. 3</b> <i>x</i> 8<i>y</i>300<b>. D. 3</b> <i>x</i> 8<i>y</i>300.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5

<b>Chọn A. </b>

Ta có <i>AB</i> 



3;8



<i>là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A , B . </i>

 

8;3

<i>n</i>

  là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm <i>A , B . </i>
Phương trình tổng quát đường thẳng cần tìm là



 



8 <i>x</i> 1 3 <i>y</i> 3 0 8<i>x</i>3<i>y</i> 1 0.

<b>Bài 10: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua </b><i>A</i>



1;2



và nhận <i>n</i> 



1; 2



làm véc-tơ pháp
tuyến có phương trình là

<b>A. </b> <i>x</i> 2<i>y</i>0. <b>B. </b><i>x</i>2<i>y</i> 4 0. <b>C. </b><i>x</i>2<i>y</i> 5 0. <b>D. </b><i>x</i>2<i>y</i> 4 0.

<b>Lời giải </b>
<b>Chọn C. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6
<b>Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội </b>
<b>dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, </b>

<b>giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên </b>

danh tiếng.

<b>I. </b> <b>Luyện Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng </b>
<b>xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và </b>
Sinh Học.

- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các </b>

<i>trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường </i>
<i>Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn </i>
<i>Đức Tấn. </i>

<b>II. </b> <b>Khoá Học Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Tốn Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp </b>
<i>dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh </i>
<i>Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc </i>
<i>Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia. </i>

<b>III. </b> <b>Kênh học tập miễn phí</b>

- <b>HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả </b>
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi </b>
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

<i> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </i>

<i>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </i>

</div>

<!--links-->