<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1

<i><b>Chuyên đề </b></i>

<b>ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC </b>

<b>ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG </b>

<b>I. Kiến thức cần nhớ </b>

<b>1. Định nghĩa </b>

a) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác (h.6).

b) Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang (h.7).

<b>2. Định lí </b>

a) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung
điểm của cạnh thứ ba.

b) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai cạnh đáy thì đi qua
trung điểm của cạnh bên thứ hai.

<b>3. Tính chất </b>

a) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
b) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

<b>4. Bổ sung </b>

Trong hình thang có hai cạnh bên khơng song song, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo thì
song song với hai đáy và bằng một nửa hiệu hai đáy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2

Gọi O là trung điểm của CD.

Suy ra EO là đường trung bình của tam giác ACD ; FO là đường trung bình của tam giác BCD, suy ra
EO//AC ; EO = 1

2AC ;
FO//BD ; FO = 1

2BD mà AC = BD => EO = FO
=> OEF cân => OEF = OFE

FO // AB => OFE = BEF (so le trong) => BEF = OEF

EO // AC => 0 1 0

BEO = BAC = 80 => BEF = BEO = 40 .

2

<b>Nhận xét </b>

• Khó khăn của bài toán là việc vận dụng giả thiết BD = AC và các trung điểm E, F. Vì vậy việc tạo nên
điểm phụ là yếu tố tất yếu để liên kết các giả thiết với nhau.

• Bài tốn này có thể giải theo các cách khác :

Cách 2. Gọi I là trung điểm của AB, ta chứng minh EFI cân tại I và BIF = 80°.Từ đó suy ra góc BEF.
Cách 3. Trên tia CE lấy điểm H sao cho E là trung điểm của HC. Ta chứng minh được BDH cân tại D

và DBH = 40°.Từ đó suy ra góc BEF.

Cách 4. Trên tia DF lấy điểm K sao cho F là trung điểm của DK. Ta chứng minh được ACK cân tại C
và BAK = 40°.Từ đó suy ra góc BEF.

<b>Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Qua O kẻ đường thẳng d </b>

cắt các cạnh AB, AC. Vẽ AA ; BB ; CC₁ ₁ ₁vng góc với

đường thẳng d. Chứng minh rằng 1 1 1

1

AA = (BB + CC )

2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3

Kẻ MM₁vng góc với d, suy ra MM₁là đường trung bình của

hình thang 1 1 1 1 1

1

BCC B =>MM = (BB +CC ).

2

Mặt khác AA O = MM O₁  ₁ (cạnh huyền - góc nhọn)

suy ra AA = MM₁ ₁nên 1

(

1 1

)

1

AA =

BB + CC

2

.

<b>Nhận xét. Dựa vào kĩ thuật trên, có thể chứng minh được bài tốn sau : </b>

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Qua G kẻ đường thẳng d cắt các cạnh
AB ; AC. Vẽ AA ; BB ; CC₁ ₁ ₁vuông góc với đường thẳng d.

Chứng minh rằng : AA = BB + CC1 1 1.

<b>Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BA, CA lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho BP = CQ. Gọi </b>

M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, PQ. Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AB và
AC thứ tự tại I và K. Chứng minh rằng tam giác AIK cân.

<b>Giải (h.11) </b>

Gọi O là trung điểm của đoạn BQ.

Khi đó OM là đường trung bình của tam giác BCQ
=> OM // CQ và OM = 1

2CQ. (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4

luận được bài khó hơn : Cho P và Q thay đổi. Chứng minh rằng MN luôn song song với một đường thẳng
cố định.

<i><b>Ví dụ 4: Cho tam giác ABC( AB > AC ) có Aˆ = 50</b></i>0. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Gọi E,F

<i>lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC. Tính BEFˆ = ? </i>

<b>Hướng dẫn: </b>

Do E,F lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC theo giả thiết nên ta vẽ thêm I là trung điểm của CD nên
EI, FI theo thứ tự lần lượt là đường trung bình của tam giác ACD và BCD.

Đặt BD = AC = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình của hai tam giác trên ta có:
( 1 ) FI//BD ( 2 ) FI = a

( 3 ) EI = a ( 4 ) EI//AC

<i>Từ ( 1 ) ⇒ E1ˆ = F1ˆ (vì so le trong) ( 5 ) </i>

<i>Từ ( 2 ) và ( 3 ) ⇒ FI = EI nên E2ˆ = F1ˆ (vì trong tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng </i>
nhau) ( 6 )

<i>Từ ( 5 ) và ( 6 ) ⇒ E1ˆ = E2ˆ </i>

<i>Từ ( 4 ) ⇒ BEIˆ = Aˆ = 50</i>0_{(vì đồng vị)}

<i>Mà BEIˆ = 2E1ˆ ⇒ E1ˆ = 25</i>0

<b>Ví dụ 5: Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) có AB = 2cm,CD = 5cm,AD = 7cm. Gọi E là trung điểm của </b>

<i>BC. Tính AEDˆ = ? </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5

<i>Đặt E1ˆ = α ,E2ˆ = β ⇒ AEDˆ = α + β </i>

Do E là trung điểm của BC theo giả thiết vẽ I là trung điểm của AD thì AI = ID = AD/2 = 3,5( cm ). (
1 )

Ta có EI là đường trung bình của hình thang ABCD.

Áp dụng định lý đường trung bình của hình thang ABCD ta có:
IE = (AB + CD)/2 = (2 + 5)/2 = 3,5( cm ) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có

(vì trong tam giác, đối diện với hai cạn bằng nhau là hai góc bằng nhau)
<i>+ Xét tam giác ADE có A1ˆ + AEDˆ + D2ˆ = 180</i>0

Hay α + α + β + β = 2( α + β ) = 1800_{⇒ α + β = 90}0

Do α + β = 900<i>_{nên AEDˆ = 90}</i>0_.
<b>III. Bài tập tự luyện </b>

<b>1. Cho tứ giác ABCD có AC và BD vng góc với nhau. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và </b>

AD. Kẻ EH vng góc với CD tại H ; kẻ FK vng góc với BC tại K. Chứng minh rằng AC ; EH và FK

đồng quy.

<b>2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D ; E sao cho AD = BE <</b>AB

2 .

Qua D và E kẻ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh
rằng BC = DM + EN.

<b>3. Cho hình thang ABCD (AB// CD), trung điểm E của BD và trung điểm F của AC. Gọi G là giao điểm </b>

của đường thẳng qua E vng góc với AD và đường thẳng qua F vng góc với BC. So sánh độ dài các
đoạn thẳng GD và GC.

<b>4. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB < CD. Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AC và BD. </b>

Chứng minh rằng MN = 1

2(CD - AB).

<b>5. Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Trên cạnh BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung </b>

điểm của AC, AB. Gọi P là giao điểm của AM và BD, Q là giao điểm AN và CE. Tính PQ.

<b>6. Cho hình thang ABCD (AD // BC) có đường chéo AC và BD vng góc với nhau. Biết rằng AD = </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 6
<b>9. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ ba đỉnh của một tam giác đến một đường thẳng nằm ngoài </b>

tam giác bằng ba lần khoảng cách từ trọng tâm tam giác đến đường thẳng đó.

<b>10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên AB, AC lần lượt lấy D và E sao cho AD = AE. Từ A và E </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 7

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

<i><b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b></i>

<i><b> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </b></i>

<i><b>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

</div>

<!--links-->