Lý thuyết và bài tập về giới hạn của hàm số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Hàm số y f x

 

có giới hạn là số L khi x dần tới x0 kí hiệu là

 

0
lim

xx f x L.

Nhận xét:

0 0

0
lim , lim

xx xx xx cc với c là hằng số.

Định lý: Giả sử

 

0 0

lim , lim

xx f x L xx g x M. Khi đó:

   

lim

xx f x g x  L M

   

0
lim

xx f x g x  L M

   

lim . .

xx f x g x   L M
+)

 

0
lim

x x

f x L

g x M

  với M 0

Nếu f x

 

0 và

 

0
lim

xx f x L thì L0 và xlimx0 f x

 

 L.
2. Giới hạn một bên

Số L là:

+ giới hạn bên phải của hàm số y f x

 

kí hiệu là

 

0
lim

x x

f x L



 

+ giới hạn bên trái của hàm số y f x

 

kí hiệu là

 

0
lim

x x

f x L



 

Định lý:

 

0 0 0

lim lim lim

x x x x x x

f x L  f x  f x L

      

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Hàm số y f x

 

có giới hạn là số L khi x  (hoặc x ) kí hiệu là: lim

 

x f x L (hoặc

 

lim

x f x L)

Với c, k là hằng số và k ngun dương, ta ln có: lim , lim k 0

x x

c
c c

x

    .

4. Giới hạn vô cực của hàm số 
a) Giới hạn vô cực

Hàm số y f x

 

có giới hạn là  khi x  kí hiệu là lim

 

x f x   x

 

lim

x f x   xlimf x

 

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
+) lim k

xx   với k nguyên dương.
+) lim k

xx   nếu k chẵn và lim
k

xx   nếu k lẻ.
5. Bài tập

Câu 1. Tìm giới hạn 0 1 0 0

0 1

...

lim , ( , 0)

...
n
n n
m
x
m m

a x a x a

A a b

b x b x b




  
 

   .

A. . B. . C. 4

3 . D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải 
ChọnD 
Ta có:
1
1
0 1
1
1
0 1
( ... )
lim
( ... )

n n n

n n
x m
m m
m m
a a
a
x a

x x x

A

b b

b
x b

x x x



 

   

   

 Nếu

1
1
0 1
0
1
1 0
0 1
...
lim
...

n n
n n
x
m m
m m
a a
a
a
a

x x x

m n A

b b

b

x x x



 

   
   
   
.

 Nếu

1
1
0 1
1
1
0 1
...
lim 0
( ... )
n n
n n

x m n m m

m m

a a

a
a

x x x

m n A

b b

b

x b

x x x



  

   
   
   

( Vì tử a0, mẫu 0).

 Nếu mn, ta có:

1
1

0 1

0 0
1

1 0 0

0 1

( ... ) khi . 0

lim

khi 0
...

n m n n

n n

x m m

m m

a a

a

x a a b

x x x

A

b b

b a b

b

x x x

 

 

     
  
 

   
.
Câu 2. 
2
2

3 5sin 2 cos
lim

2
x

x x x

x



 

 bằng:

A. . B. 0. C. 3. D. .

Hướng dẫn giải
ChọnB

2 2 2 2

3 5sin 2 cos 6 10sin 2 cos 2 6 10sin 2 cos 2

lim lim lim lim

2 2 4 2 4 2 4

x x x x

x x x x x x x x x

x x x x

   

     

  

   

10sin 2 cos 2
lim
2 4
x
x x
x

 

 .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

2 2

10sin 2 cos 2 101
0

2 4 2 4

x x

 

 

  .

Mà lim 1012 0

2 4

x x   nên 2

10sin 2 cos 2

lim 0

2 4

x

x x

x



  

 .

Câu 3. Cho và là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa và để giới hạn:

là hữu hạn:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có

Ta có

Do đó nếu thì giới hạn cần tìm là vơ cực theo quy tắc 2.
Từ đó chọn được đáp án đúng là C.

(Thật vậy, nếu thì

Và do đó

Cách 2: Sử dụng MTCT. Với mỗi đáp án, lấy các giá trị cụ thể của và , thay vào hàm số

rồi tính giới hạn.

Từ đó chọn được đáp án là C.

Câu 4. Cho là một số thực khác 0. Kết quả đúng của bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải 
Chọn D.

Cách 1: Ta có .

a b a b

2 2

2
lim

6 8 5 6

x

a b

x x x x





  

     

 

4 0.

a b a3b0. a2b0. a b 0.





 





2 2

6 8 5 6 2 4 2 3

a b a b

x  x x  x  x x  x x



 













 





3 4

2 3 4 2 3 4

a x b x g x

x x x x x x

  

 

     













 

2 2 2 2

lim 2 0; lim 3 1; lim 4 2; lim 2 .

x x x x

x x x g x b a

   

             

 

lim 0 2 0

x

g x b a



    

 

lim 2 0

x

g x b a



   





 





2 2

6 8 5 6 2 3 4 3 4

a b bx b b

x x x x x x x x x



  

        







2 2

lim lim .

6 8 5 6 3 4 2

x x

a b b b

x x x x x x

 

 

   

       

 

a b

a

4 4

lim

x a

x a






3a 2a3 a3 4a3

3
3

2
2
3
3

2
2

3
4

4
)
(

lim
)
)(

(
lim

lim x xa x a a a

a
x

a
xa
a
x
x
a
x
a

x

a
x

a
x
a

x
a

x      














</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4

Cách 2: Cho một giá trị cụ thể rồi tính giới hạn bằng máy tính cầm tay. Chẳng han với

ta có . Do đó chọn Chọn D.

Câu 5. Cho là tham số thực. Tìm để

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải 
Chọn B.

Cách 1:

Vậy .

Cách 2: Thay lần lượt các giá trị của vào, rồi tìm cho đến khi gặp kết quả thì dừng
lại.

Câu 6. Cho và là các số thực khác Nếu thì bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải 
Đáp án C

Đặt . Rõ ràng là nếu thì khơng thể hữu hạn. Do đó điều

kiện đầu tiên là .

Khi đó và .

Vậy

Câu 7. Giới hạn

1 5 1

lim
4 3
x
x x
x x

  

  bằng
a

b (phân số tối giản). Giá trị của a b là

A. 1. B. 1

9. C. 1. D.

9
8

Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
a
2


a
4 4
3

2 lim

32

4.2

2

x a

x









2
2
1
1
lim ,
1
x

x mx m

C m

x



  



 m C2.

m m 2 m1 m 1

2
2
1
1
lim
)
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
lim
1
1

lim
1
1
2
2
1
m
x
m
x
x
x
m
x
x
x
m
mx
x
C
x
x
x





















2
2 

 m

C

m C C2

a b 0. 2

lim 6

2
x

x ax b

x



  

 a b

2 4 6 8

b
ax
x
x

g  2  
)

( g( )2 0

2
)
(
lim
2 
 x
x

g
x
( )

g 2  0 2a b  4

)
2
)(
2
(
)

(x x x b

g   

2
2
)
2
(
lim
2
)
(
lim
2
2
b

b
x
x
x
g
x

x      

.
6
2
8
6
2
2
6
2
)
(
lim

2            

 b a a b

b
x

x

g

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5

Câu 8. Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số nguyên dương.

Tổng bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải 
Chọn A.

Ta có

Ta có ;

Do đó

Vậy và .

Câu 9. Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số nguyên

dương. Khi đó bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có

Sử dụng MTCT ta tính được:
;

nên . Vậy .

Giải tự luận: Đặt thì và

Câu 10. Cho là các số thực khác . Tìm hệ thức liên hệ giữa để .
3

2
2

8 11 7

lim

3 2
x

x x m

x x n



   

 

m

n m n

2m n

68 69 70 71

3
2

8x 11 x+7
3x 2

x
 

 

2 2

8x 11 3 7 3

3x 2 3x 2

x

x x

   

 

   

2 3

2 2

( 2)( 1)( 7 3)
( 2)( 1)( (8x 11) 3 8 11 9)

x x

x x x

x x

 

 

   

     

2 3

8 1

( 1)( 7 3)
(x 1)( (8x 11) 3 8 11 9) x x

 

  

    

2 3 3

8 8

lim

27
( 1)( (8x 11) 3 8 11 9)
x

x

       2

1 1

lim

6
( 1)( 7 3)

x x x  

3
2
2

8x 11 x+7 8 1 7
lim

3x 2 27 6 54

x x

 

  

 

7; 54

m n 2m n 68









3
2
3

6 9 27 54

lim ,

3 3 18

x

x x m

n

x x x



   

  

m

n m n

3m n

55 56 57 58

3
2

6x 9 27x-54
(x 3)(x 3x-18)

 

 

3
2

6x 9 27x-54
(x 3) (x 6)

 


 

3
2

6x 9 27x-54 1
lim

( 3) 6

x x

  

 3

1 1

lim

6 9

x x 

3
2
3

6x 9 27x-54 1
lim

( 3)( 3x-18) 54

x x x

 



  3m n 57

t x

3
lim 0

x t

3
2
6x 9 27x-54

(x 3)

 


3
2

6t 9 27t+27

t
 

 6t 92 (t 3) (t 3) 3227t 27

t t

     

 

, ,

a b c 0 a b c, ,

9 2

lim 5

1
x

ax b x

cx



 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải 
Đáp án C

Ta có

Do đó
3

a b

c


 a 3b 5

c


  a 3b 5

c



 a 3b 5

c


 

lim lim lim .

x x x

ax bx a b

ax b x x x a b

cx cx c

c
x

  

   

     

  

2 2 2

2 2

9 9

9 2 3

1 1

lim .

x

ax b x a b

cx c



  

  



9 2 3

5 5

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh

Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Lý thuyết và bài tập về giới hạn của hàm số

<b>LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ </b>

 

 

 

 

   

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 







 















 

















 

 

 







 











2

lim

32

4.2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

















<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

Tài liệu liên quan