Bài tập trắc nghiệm về Dãy số năm học 2019 - 2020 có lời giải chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.25 MB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ DÃY SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa:

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương *

được gọi là một dãy số vơ hạn (hay
cịn gọi tắt là dãy số)

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u u1, 2,...,un,..., trong đó un u n  hoặc viết

tắt là

 

un .

Số hạng u1 được gọi là số hạng đầu, un là số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của dãy số.

2. Các cách cho một dãy số:

Người ta thường cho một dãy số bằng một trong các cách dưới đây: 
- Cách 1: Cho dãy số bằng cơng thức của số hạng tổng qt.

Ví dụ 1. Cho dãy số

 

xn với 1

3
n n

n
x   .

Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định được ngay số hạng bất kỳ

của dãy số. Chẳng hạn, 10 1011 10

3 177147

x   .

- Cách 2: Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.

Ví dụ 2. Cho dãy số

 

an xác định bởi a11 và an13an  7, n 1.

Ví dụ 3. Cho dãy số

 

bn xác định bởi 1 2

2 1

1, 3

4 5 , 1

n n n

b b

b b b n

 



    

 .

Với cách này, ta có thể xác định được ngay mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các số
hạng của dãy số thông qua hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kỳ của
dãy số thì chúng ta cần phải tích được các số hạng trước đó hoặc phải tìm được cơng thức tính
số hạng tổng quát của dãy số.

- Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số
hẩng dãy số.

Ví dụ 4. Cho dãy số

 

un gồm các số nguyên tố.

Ví dụ 5. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4. Trên cạnh BC, ta lấy điểm A1 sao cho CA1 1. Gọi

B là hình chiếu của A1 trên CA, C1 là hình chiếu của B1 trên AB, A2 là hình chiếu của C1
trên BC, B2 là hình chiếu của A2 trên CA,… và cứ tiếp tục như thế, Xét dãy số

 

un với

n n

u CA .

3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:

Dãy số

 

un được gọi là dãy số tăng nếu ta có un1un với mọi
*

n .
Dãy số

 

un được gọi là dãy số giảm nếu ta có un1un với mọi

n .

Dãy số

 

un được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số khơng đổi) nếu ta có un1un với mọi
*

n .

Ví dụ 6. a) Cho dãy số

 

xn với xn n22n3 là một dãy số tăng.
Chứng minh: Ta có xn1n122n  1 3 n22.

Suy ra



 



1 2 2 3 2 1 0, 1

n n

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Vậy

 

xn là một dãy số tăng.

b) Dãy số

 

yn với 2

n n

n

y   là một dãy số giảm.

Chứng minh:

Cách 1: Ta có 1 13

n n

n

y    . Suy ra 1 13 2 4 17 0, 1

5 5 5

n n n n n

n n n

y  y          n hay

1 , 1

n n

y  y  n .Vậy

 

yn là một dãy số giảm.

Cách 2: Với  n *, ta có yn 0nên ta xét tỉ số n 1
n

y
y

 .

Ta có 1 13

n n

n

y    nên





1 3 1, 1

5 2

n
n

y n

n

y n

     

 . Vậy

 

yn là một dãy số giảm.

c) Dãy số

 

zn với zn  

 

1 n không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số

giảm vì zn1zn  

 

1 n1 

 

1 n   2

 

1n không xác định được dương hay âm. Đây là dãy
số đan dấu.

STUDY TIP

Để chứng minh dãy số

 

bn là dãy số giảm hoặc dãy số tăng, chúng ta thường sử dụng một
trong 2 hướng sau đây:

(1): Lập hiệu  un un1un. Sử dụng các biến đổi đại sốvà các kết quả đã biết để chỉ ra
0

n

u

  (dãy số tăng) hoặc  un 0(dãy số giảm)
(2): Nếu un   0, n 1thì ta có thể lập tỉ số

1
n
n

n

u
T

u



 . Sử dụng các biến đổi đại số và các kết

quả đã biết để chỉ ra Tn 1 (dãy số tăng),Tn 1(dãy số giảm).

4. Dãy số bị chặn

Dãy số

 

un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho umM, n *.
Dãy số

 

un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho um m, n *.

Dãysố

 

un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số

M ,m sao cho mum M, n *.

Ví dụ 7:

a) Dãy số

 

an với 2017 sin



3 1



n

a    là một dãy số bị chặn vì 2017an 2017, n *

b) Dãy số

 

bn với 2 3

3 2

n

n
b

n




 là một dãy số bị chặn vì

*
2

3bn   n .

c) Dãy số

 

cn với cn 



3n2 .7



n1bị chặn dưới vì an 49, n *.

d) Dãy số

 

dn với dn  6 6 ...  6 (n dấu căn), bị chặn trên vì *
3,

n

d   n .

STUDY TIP

1) Nếu

 

un là dãy số giảm thì bị chặn trên bởi u1.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

B. Các bài tốn điển hình

Câu 1. Cho dãy số

 

an xác định bởi 2017 sin 2018cos

2 3

n

n n

a     . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh

đề đúng?

A. an6 an, n *. B. an9 an, n *.

C. *

12 ,

n n

a  a  n . D. *
15 ,

n n

a  a  n .

Đáp án C

Lời giải

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

+ Ta có 6 2017 sin





2018cos





2017 sin 2018cos

2 3 2 3

n n

n n n n

a             a

+ Ta có 6 2017 sin





2018cos





2017 sin 2018cos

2 3 2 3

n n

n n n n

a            a .

+ Ta có 12









12 12

2017 sin 2018cos 2017 sin 2018cos

2 3 2 3

n n

n n n n

a            a .

+ Ta có 15









15 15

2017 sin 2018cos 2017 sin 2018cos

2 3 2 3

n n

n n n n

a             a .

Vậy phương án đúng là C.

Nhận xét: Từ kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau 
đây

Cho dãy số

 

an xác định bởi 2017 sin 2018cos

2 3

n

n n

a     . Hãy chọn phương án trả lời

đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:

Câu 1: Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để an p ap, n *

Câu 2: Số hạng thứ 2017 của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. 3026 . B.2017 1009 3 . C. 2017 1009 3  . D.3026.

Câu 2. Cho dãy số

 

an xác định bởi 2 *

1 1

3 5

1; 1,

2 2

n n n

a  a    a  a   n . Số hạng thứ 201 của dãy
số

 

an có giá trị bằng bao nhiêu?

A. a20182. B. a2018 1. C. a20180. D. a2018 5.
Đáp án A

Lời giải

Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi cơng thức truy hồi.
Ta có a11;a22;a30;a41;a2 2;a6 0; 1.

Từ đây chúng ta có thể dự đốn an3an, n *. Chúng ta khẳng định dự đốn đó bằng
phương pháp quy nạp tốn học. Thật vậy:

Với n1 thì a1 1 và a4 1. Vậy đẳng thức đúng với n1.
Giả sử đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là ak3 ak.

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là chứng minh ak4 ak1.

Thật vậy, ta có 2

4 3 3

3 5

2 2

k k k

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Theo giả thiết quy nạp thì ak3 ak nên 4 3 2 5 1 1

2 2

k k k k

a    a  a  a  .
Vậy đẳng thức đúng với n k 1. Suy ra an3 an, n *.

Từ kết quả phần trên, ta có : nếu m p



mod3



thì am ap.
Ta có 20182 mod 3





nên a2018 2.

Vậy phương án đúng là A.

Nhận xét: Việc chứng minh được hệ thức an3 an, n *giúp ta giải quyết được bài tốn 
tính tổng hoặc xác định được số hạng tùy ý của dãy số. Vì vậy, việc phát hiện ra tính chất đặc 
biệt của một dãy số sẽ giúp chúng ta giải quyết các yêu cầu liên quan đến dãy số một cách 
thuận lợi và dễ dàng hơn. Chúngta cùng kiểm nghiệm qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan 
dưới đây nhé:

Cho dãy số

 

an xác định bởi 2 *

1 1

3 5

1; 1,

2 2

n n n

a  a    a  a   n . Hãy chọn phương án trả
lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:

Câu 1. Tính tổng S của sáu số hạng đầu tiên của dãy

 

an

A. S 0. B. S 6. C. S 4. D. S 5.
Câu 2. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để an p ap, n *

A. p9. B. p2. C. p6. D. p3.
Câu 3. Tính tổng S của 2018 số hạng đầu tiên của dãy

 

an

A. S2016. B. S2019. C. S2017. D. S2018.
Câu 4. Tính tổng bình thường của 2018 số hạng đầu tiên của dãy

 

an

A. S3360. B. S 3361. C. S3364. D. S 3365.

Câu 3. Cho dãy số

 

an xác định bởi a1 1;an1  an2  1, n *. Tìm số hạng tổng quát của dãy số

 

an .

A. an  2. B. an  2n1. C. an  3n2. D. an  n.

Đáp án D

Lời giải

Ta có a2  2;a3  3;a4  4;a5  5.

Từ 5 số hạng đầu của dãy ta dự đoán được an  n. Bằng phương pháp quy nạp toán học
chúng ta chứng minh được an  n. Vậy phương án đúng là D.

Nhận xét: Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm dưới
đây:

Cho dãy số

 

an xác định bởi a11;an1  an2  1, n *. Hãy chọn phương án trả lời đúng 
trong mỗi câu hỏi sau đây:

Câu 1. Rút gọn biểu thức

1 2 2 3 1

1 1 1

... , 2

n

n n

s n

a a a a a  a

    

   ta được

A. Sn  n1. B. Sn  n1. C.

n

n
S

n



 . D. n 1

n
S

n



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 2. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. Dãy số

 

an là dãy số giảm. B. Dãy số

 

an không là dãy số giảm.

C. Dãy số

 

an là dãy số tăng. D. Dãy số

 

an không là dãy số tăng.

Câu 3. Rút gọn biểu thức 2 2 2
1 2 ...

n n

S a a  a

A. Sn n n



1



. B. Sn n n



1



. C.





n

n n

S   . D.





n

n n

S   .

STUDY TIP

Ngoài cách làm bên, ta có thể kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng
thông qua việc xác định một vài số hạng đầu của dãy

+ Với a11 thì loại ngay được phương án A.

+Ta có a2  2 thì loại ngay được các phương án B và C.

Câu 4. Cho dãy số

 

an có tổng của n số hạng đầu tiên bằng Sn n3. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

 

an là dãy số tăng và an 3n23n1.

B.

 

an là dãy số giảm và an 3n23n1.

C.

 

an là dãy số tăng và an 3n23n1.

D.

 

an là dãy số tăng và an 3n23n1.

Đáp án A.

Lời giải

Ta có 3

1 2 ... n n

a a  a S n và a1 a2  ... an1Sn1 



n1



3.
Suy ra an Sn Sn1n3 



n 1



3 3n23n1.

Ta có an 3n23n1 và an13



n1



23



n  1



1 3n29n7.

Do đó *

1 6 1 0,
n n

a a   n   n .

Dấu bằng chỉ xảy ra khi n 1 0 hay n1. suy ra dãy số

 

an là dãy số tăng.
Vậy phương án đúng là A.

Câu 5. Cho dãy số

 

an xác định bởi *
1 1; n 1 3 n 10,

a  a   a   n . Tìm số hạng thứ 15 của dãy số

 

an .

A. a1528697809. B. a1528697814.
C. a159565933. D. a1586093437. 
Đáp án A

Lời giải

Chúng ta đi tìm cơng thức xác định số hạng tổng quát của dãy số

 

an .
Đặt bn an5 khi đó bn1an15.

Từ hệ thức truy hồi *

1 3 10,

n n

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta có b2 3b1 ;b3 3b2 32b1 b433b3 33b1. Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

rằng 1 *

3n ,

n

b  b  n , suy ra *

2.3n 5,
n

a    n . Do đó a15 28697809. Vậy suy ra

phương án đúng là A.

STUDY TIP

Dãy số

 

an xác định bởi a1 1;an1 qan  d, n *

-Nếu q1 thì số hạng tổng quát của dãy số

 

an là





1 1

n
n

n

d q

a aq

q



 

 

 .

-Nếu q1 thì số hạng tổng quát của dãy số

 

an là an   a



n 1



d.

Cho dãy số

 

an xác định bởi và an13an10, n *. Hãy chọn phương án trả lời đúng

trong mỗi câu hỏi sau đây.

Câu 1. Số hạng thứ ba, thứ năm và thứ bảy của dãy số

 

an lần lượt là:

A. 13, 49,157. B. 49, 481, 4369. C. 49,157,1453. D. 49,1453, 4369.

Câu 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số

 

an .

A. an 2.3n5. B.

2.3  5

 n 

n

a . C. an 2.3n5. D. 2.3 5
n
n

a .

Câu 3. Số 2324522929 có là số hạng của dãy số

 

an khơng, nếu có thì nó là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Khơng. B. Có, 18 . C. Có, 19 . D. Có, 20 .

Câu 4.

 

an là một dãy số:

A. Giảm và bị chặn trên. B. Tăng và bị chặn trên.

C. Tăng và bị chặn dưới. D. Giảm và bị chặn dưới.

Ví dụ 6. Cho dãy số

 

an xác định bởi a15,a2 0 và an2 an16 ,an  n 1. Số hạng thứ 14 của
dãy là số hạng nào?

A. 3164070. B. 9516786. C. 1050594. D. 9615090.

Đáp án A

Lời giải

+ Ta có an2 an16 ,an   n 1 an22an13



an12an



, n 1.
Do đó ta có b1a22a1 10 và bn13 ,bn  n 1.

Từ hệ thức truy hồi của dãy số

 

bn , ta có b2 3 ;b b1 3 3b2 32b b1; 4 3b3 33b1.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:

1 1

3 10.3 , 1

 n  n  

n

b b n .

+ Ta có an2 an16 ,an   n 1 an23an1  2



an13an



, n 1.

Do đó ta có: c1a23a1 15 và cn1 2 ,cn  n 1.

Từ hệ thức truy hồi của dãy số

 

cn , ta có c2  2 ;c c1 3  

 

2 2c c1; 4  

 

2 3c1.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:

 

2  15. 2  , 1

  n    n  

n

c c n .

+ Từ các kết quả trên, ta có hệ phương trình:

 

1 1 1

1
1

2 10.3

2.3 3. 2

3 15. 2



  




  

    



  



n

n n n n

n
n

n n

a a

a

a a

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Do đó số hạng tổng quát của dãy số

 

an là an 2.3n13.

 

2 n1, n 1.
Vậy suy ra a14 3164070. Vậy phương án đúng là A.

Nhận xét: Với kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách
quan dưới đây:

Cho dãy số

 

an xác định bởi a15;a2 0 và an2 an16 ,an  n 1. Hãy chọn phương án
trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.

Câu 1. Tính số hạng thứ năm của dãy số

 

an .

A. a5 210. B. a5 66. C. a5 36. D. a5 360.

Câu 2. Số hạng tổng quát của dãy số

 

an là:;

A. an 2.3n13.

 

2 n1. B. an 2.3n3.

 

2 n.

C. 1 1

2.3  3.2 

 n  n

n

a . D. 2.3n3.2n

n

a .

STUDY TIP

Dãy số

 

an xác định bởi a1a a, 2 b và an2 .an1.an, với mọi n1, trong đó
phương trình 2

 

  

t t có hai nghiệm phân biệt là t1 và t2. Khi đó số hạng tổng quát của
dãy số

 

an là an m t1 1. n1m t2.2n1, trong đó m m1, 2 thỏa mãn hệ phương trình

1 2

1 1. 2.2

 



  



m m a

m t m t b.

Ví dụ 7. Cho dãy số

 

an xác định bởi a1 3 và 2

1 3 4, *

      

n n

a a n n n . Số 1391 là số hạng

thứ mấy của dãy số đã cho?

A. 18. B. 17. C. 20. D. 19

Đáp án A.

Lời giải

Từ hệ thức truy hồi của dãy số

 

an ta có:













3 2

2 2

6 17 21

1 2 ... 1 3 1 2 ... 1 4 1

  

 

               

n n

n n n

a a n n n a .

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số

 

an là

3 2

6 17 21

  



n

n n n

a .

Giải phương trình an 1391 ta được n18
Vậy phương án đúng là A.

STUDY TIP

Dãy số

 

an xác định bởi a1a và an1 an f n

 

, n 1.

Số hạng tổng quát của dãy số

 

an được tính theo cơng thức:

 

1
1

1




 



n

i

a a f i .

Ví dụ 8. Cho dãy số

 

an xác định bởi a12 và 1 1



1 ,



1
2

    

n n

a a n . Mệnh đề nào dưới đây là

đúng?

A.

 

an là một dãy số giảm và bị chặn.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

C.

 

an là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

D.

 

an là một dãy số tăng và không bị chặn trên.

Đáp án A

Lời giải

Ta có 1 2 2 3 3 5

2 4

    

a a a . Do đó ta loại được các phương án B và D.

+ Ta có 1





1
2

  

an a

n nên 1







2 1



1 1

0, *

2 2

          

n n n n n

a a a a a a n .

Suy ra an1an, n 1 nên

 

an là dãy số giảm.

+ Vì

 

an là một dãy số giảm nên dãy số này bị chặn trên bởi a1 2.

Ta có 1





1 0, 1 1, 1

2 an an an    n an   n .

Vậy phương án đúng là A.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số

Câu 1. Cho dãy số

 

xn có

2 3
1
, *
1


 
   

 
n
n
n
x n

n . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A.

2 5
1
1
1



 
   
n
n
n
x

n . B.

2 3
1
2

    
 
n
n
n
x

n . C.

2 5

1
2

    
 
n
n
n
x

n . D.

2 1
1
1
1



 
   
n
n
n
x
n .

Câu 2. Cho dãy số

 

yn xác định bởi 2 2

sin cos

4 3
 
 
n
n n

y . Bốn số hạng đầu của dãy số đó là:

A. 0, , ,1 3 1

2 2 2. B.

1 3 1
1, , ,

2 2 2. C.

1 3 3
1, , ,

2 2 2. D.

1 1 1

0, , ,

2 2 2.

Câu 3. Cho dãy số

 

yn xác định bởi y1 y2 1 và yn2  yn1yn, n *. Năm số hạng đầu tiên
của dãy số đã cho là:

A. 1,1, 2, 4, 7. B. 2,3,5,8,11. C. 1, 2,3,5,8. D. 1,1, 2,3,5.

Câu 4. Cho dãy số

 

un xác định bởi u1  1 và un 2. .n un1 với mọi n2. Mệnh đề nào dưới đây là
đúng ?

A. u112 .11!10 . B. u11 2 .11!10 . C. u112 .1110 10. D. u11 2 .1110 10.

Câu 5. Cho dãy số

 

un xác định bởi 1 1



u và un un12n với mọi n2. Khi đó u50 bằng:

A. 1274,5. B. 2548,5. C. 5096,5. D. 2550,5.

Câu 6. Cho dãy số

 

un có 1

2 1



n
n
u

n . Số

15 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số

 

un ?

A. 8. B. 6. C. 5. D. 7.

Câu 7. Cho dãy số

 

an có an   n2 4n11, n *. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số

 

an .

A. 14. B. 15 . C. 13 . D. 12.

Câu 8. Cho dãy số

 

an có 2 , *
100
  

n
n
a n

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

A. 1

20. B.

30. C.

25. D.

1
21.

Câu 9. Cho dãy số

 

yn xác định bởi y12 và 2

1 2 3 , *

     

n n

y y n n n . Tổng S4 của 4 số hạng

đầu tiên của dãy số là:

A. S4 20. B. S4 10. C. S4 30. D. S4 14.

Câu 10. Cho dãy số

 

xn xác định bởi x15 và xn1xn  n, n *. Số hạng tổng quát của dãy số

 

xn là:

A. 
2
10
2
 

n
n n

x . B.

2
5 5
2


n
n n

x . C.

2
10
2
 

n
n n

x . D.

2
3 12
2
 

n
n n
x .

Câu 11. Cho dãy số

 

xn xác định bởi 1 2



x và





1 , *

2 2 1 1

  n   

n

x

x n

n x . Mệnh đề nào dưới

đây là đúng ?

A. 100 2

39999



x . B. 100 39999



x . C. 100 2

40001



x . D. 100 2

40803



x .

Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số.

Câu 12. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào là dãy số tăng ?

A. Dãy

 

an , với an  

 

1 n1.sin , n *

n .

B. Dãy

 

bn , với bn  

 

1 2n. 5



n1 ,



 n *.

C. Dãy

 

cn , với 1 , *

  

 

n

c n

n n .

D. Dãy

 

dn , với 2 , *

1
  

n
n
d n
n .

Câu 13. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm ?

A. Dãy

 

an , với 1

2
 
  
 
n
n

a . B. Dãy

 

bn với

2
1


n
n
b
n .

C. Dãy

 

cn , với 31




n

c

n . D. Dãy

 

dn , với 3.2

n
n

d .

Câu 14. Cho dãy số

 

xn với 4

2



n
an
x

n . Dãy số

 

xn là dãy số tăng khi:

A. a2. B. a2. C. a2. D. a1.

Câu 15. Cho hai dãy số

 

xn với



1 !






n n

n

x và

 

yn với yn  n sin2



n1



. Mệnh đề nào dưới đây
là đúng ?

A.

 

xn là dãy số giảm,

 

yn là dãy số giảm.

B.

 

xn là dãy số giảm,

 

yn là dãy số tăng.

C.

 

xn là dãy số tăng,

 

yn là dãy số giảm.

D.

 

xn là dãy số tăng, là dãy số tăng.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 16. Cho dãy số

 

un , với 3 1

3 7






n

n
u

n . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. Dãy

 

un bị chặn trên và không bị chặn dưới.

B. Dãy

 

un bị chặn dưới và không bị chặn trên.

C. Dãy

 

un bị chặn trên và bị chặn dưới.

D. Dãy

 

un không bị chặn.

Câu 17. Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn ?

A. Dãy

 

an , với 2

16, *

   

n

a n n .

B. Dãy

 

bn , với 1 , *

   

n

b n n

n .

C. Dãy

 

cn , với cn 2n  3, n *.

D. Dãy

 

dn , với 2 , *

  



n

d n

n .

Câu 18. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào bị chặn trên ?

A. Dãy

 

an , với an 3n1.

B. Dãy

 

bn , với



21 1







n

b

n n .

C. Dãy

 

cn , với cn 3.2n1.

D. Dãy

 

dn , với dn  

 

2 n.

Câu 19. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới ?

A. Dãy

 

xn , với xn  

 

1 .n



n22n3



B. Dãy

 

yn , với





  

n

y n n .

C. Dãy

 

zn , với 2018 1
2017 

 n

n n

z .

D. Dãy

 

wn , với wn  



2017



n.
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.

Câu 20. Cho dãy số

 

xn , xác định bởi: xn 2.3n5.2 ,n  n *. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. xn2 5xn16xn. B. xn2 6xn15xn.

C. xn25xn16xn 0.D. xn26xn15xn 0.

Câu 21. Cho dãy số

 

un , với un 3n. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 1 9
5
2




u u

u . B. 2 4
3
.

2 

u u
u .

C. 100

1 2 100

1 ...



 u u  u u . D. u u1. ...2 u100 u5050.

Câu 22. Cho dãy số

 

an xác định bởi 2017 cos



3 1








n

a . Mệnh đề nào dưới đây là sai ?

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 23. Cho dãy số

 

an xác định bởi a1 1 và 1 3 2 5 1, *

2 2

      

n n n

a a a n . Mệnh đề nào dưới

đây là đúng ?

A. a2018a2. B. a2018 a1. C. a2018a3. D. a2018a4.

Câu 24. Cho dãy số

 

an xác định bởi a11,a2 2 và an2  3.an1an, n 1. Tìm số nguyên
dương p nhỏ nhất sao cho an p an, n *.

A. p9. B. p12. C. p24. D. p18.
Câu 25. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào SAI ?

A. Dãy số

 

an xác định bởi a1 1 và 1 2018 , *

2017

    

n
n

a n

a là một dãy số không đổi.

B. Dãy số

 

bn , với tan 2







 

n

b n , có tính chất bn2 bn, n *.

C. Dãy số

 

cn , với cn tan

 

n 1, là một dãy số bị chặn.

D. Dãy số

 

dn , với dn cos

 

n , là một dãy số giảm.

Câu 6. Cho dãy số (un)xác định bởi u12 và u2 2un1  1, n N*,có tính chất

A. Là dãy số tăng và bị chặn dưới. B. Là dãy số giảm và bị chặn trên.

C. Là dãy số giảm và bị chặn dưới. D. Là dãy số tăng và bị chặn trên.

Câu 7. Cho dãy số (un)xác định bởi u11 và un1 2un2, n 1.Tổng 2 2 2
2018 1 2 ... 2018

S u u  u là

A. S2018 20152. B. S20182018 .2 C. S20182017 .2 D. S20182016 .2

Câu 8. Cho dãy số ( )zn xác định bởi sin 2 cos .

2 3

n

n n

z     Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số ( )zn . Tính giá trị biểu thức 2 2
.

T M m
A. T 13. B. T 5. C. T 18. D. T 7.

Câu 9. Cho dãy số (un)thỏa mãn 1 1; 1 , 1. 1 2 ... 2017

2 2( 1) 1 2018

n

n n n

n

u

u u n S u u u

n u



       

  khi n

có giá trị nguyên dương lớn nhất.

A. 2017. B. 2015. C. 2016. D. 2014.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số

Câu 1. Đáp án C.

Ta có

2 3
1
1

n
n

n

x

n





 

    nên

2( 1) 3 2 5

( 1) 1

( 1) 1 2

n n

n

n n

x

n n

  



     

   

    

 

Câu 2. Đáp án A.

Ta có 2 2

1 2

2 4 1

sin os 0; sin os .

4 3 4 3 2

y   c   y   c   (loại phương án B và D) và

2
3

3 3

sin os2 .

4 2

y   c   (loại phương án C).

Câu 3. Đáp án D.

Ta có y32;y4 3nên loại các phương án còn lại.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ta có u2 22u u1; 3 6u2 2 .2.3 ;2 u u1 4 8u3 2 .2.3.4 .3 u1 Bằng phương pháp quy nạp toán học,

chúng ta chứng minh được rằng 1 1

2 . !n 2 . !n

n

u   n u    n . Do đó 10

11 2 .11!

u   .

Câu 5. Đáp án D.

Ta có 1 2(1 2 .. ) 1 ( 1)

2 2

n

u     n  n n . Suy ra 50 1 50.51 2550,5.

u   

Câu 6. Đáp án D.

Giải phương trình 1 8

2 1 15

n
n




 ta được n7.

Câu 7. Đáp án B.

Ta có an   (n 2)215 15,  n 1. Dấu bằng xảy ra khi n   2 0 n 2.

Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.

Câu 8. Đáp án A.

Ta có 2

1
.

100 2 .100 20

n

n n

a

n n

  

 Dấu bằng xảy ra khi

100 10.

n   n

Vậy số hạng lớn nhất của dãy là số hạng bằng 1

20.

Câu 9. Đáp án A.

Ta tính được y2 2;y3 4;y4 12S4 20.

Câu 10. Đáp án A.

Cách 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Ta có

2
1

( 1) 10

(1 2 ... 1) 5 .

2 2

n n

n n n n

x       x n x      

Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.

Phương án A:

2 2 2

( 1) ( 1) 10 10 10

2 2 2

n n

n n n n n n

x             n x n

Cách 3: Với n  1 x1 5 loại các phương án còn lại B, C, D.

Câu 11. Đáp án A.

Ta có xn   0, n 1 và

1 1

2(2 1) , 1.

n n

x    x  

Suy ra

1 1 3 4 1

4(1 2 ... 1) 2( 1) 2 ( 1) 2( 1) .

2 2

n

n n n n n

x x



             

Suy ra 22 .

4 1

n

x
n



 Do đó 100

2
.
39999

x 

Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng giảm của dãy số

Câu 12. Đáp án B.

 Dãy số (an)là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.

 Với dãy ( )bn , ta có bn 5n 1(do ( 1) 2n 1). Vì bn15n1 1 5.5n 1 bn, n 1nên
( )bn là một dãy số tăng.

 Dãy số ( )cn là một dãy số giảm vì 1 1 1 , 1.

1 2 1

n n

c c n

n n n n

     

    

 Dãy số (dn)là một dãy số giảm vì 1 2 1 2 , 1.

2 2 1

n n

d d n

n n n



    

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 13. Đáp án C.

 Dãy số (an)là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.

 Dãy số ( )bn là một dãy số tăng vì 1 1 1 1, 1.

n n

b n n b n

n n 

       



 Dãy số ( )cn là một dãy số giảm vì 31 13 1, 1.

1 ( 1) 1

n n

c c n

n n 

    

  

 Dãy số (dn)là một dãy số tăng vì 1

3.2n 3.2n , 1.

n n

d    d   n
Câu 14. Đáp án B.

Ta có 1 ( 1) 4.

3
n

a n
x

n



 


 Xét hiệu 1

( 1) 4 4 2 4

3 2 ( 2)( 3)

n n

a n an a

x x

n n n n



   

   

   

(xn)là dãy tăng khi và chỉ khi xn1xn    0, n 1 2a   4 0 a 2.

Câu 15. Đáp án D.

Ta có xn   0, n 1 và 1 2

1, 1

2
n

n

x n

n
x

      nên ( )

n

x là dãy số tăng.

Ta có yn1yn sin (2 n  1) 1 sin2n  0, n 1 nên (y )n cũng là dãy số tăng.
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số

Câu 16. Đáp án C.

Ta có 1 8 1 8 1, 1

3 7 3 10

n n

u u n

n n 

      

  nên (u )n là một dãy số tăng. Suy ra nó bị chặn

dưới bởi 1 1

u  . Lại do 1 8 1, 1

3 7

n

u n

n

    

 nên dãy số un bị chặn trên bởi 1.

Câu 17. Đáp án D.

 Dãy số (an)là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì an  n216 17, n 1.

 Dãy số ( )bn là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì 1 2 . 1 2, 1.

2 2

n

b n n n

n n

     

 Dãy số ( )cn là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì cn 2n   3 5, n 1.

 Dãy số (dn)là dãy số bị chặn vì 0 1, 1.

4
n

d n

    0 2 1 .

4 4 4

n n

do

n n

    

  

 

Câu 18. Đáp án B.

 Dãy số (an)là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì u1 4.

 Dãy số ( )bn có 0bn   1, n 1 nên dãy số ( )bn là dãy số bị chặn.

 Dãy số ( )cn là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi c1 12.

 Dãy số (dn)là dãy đan dấu và

2 ( 2) 4

n n
n

d    lớn tùy ý khi n đủ lớn, còn

2 1

2 1 ( 2) 2.4

n n

n

d       nhỏ tùy ý khi n đủ lớn.

Câu 19. Đáp án C.

 Dãy số (xn)là dãy đan dấu và x2n lớn tùy ý khi n đủ lớn, x2n1 nhỏ tùy ý khi n đủ lớn.

 Dãy số (yn)là dãy số giảm và ynnhỏ tùy ý khi n đủ lớn.

 Dãy số ( )zn là dãy số tăng nên nó bị chặn dưới bởi 1 20182.
2017

z 

 Dãy số (w )n là dãy đan dấu và w2n lớn tùy ý khi n đủ lớn, w2n1 nhỏ tùy ý khi n đủ lớn.

Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.

Câu 20. Đáp án A.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 Phương án A: xn2 5xn16xn 0.

 Phương án B: 2 6 1 5 8.3n 15.2n 0.

n n n

x   x   x    
 Phương án C: xn25xn16xn 36.3n40.2n 0.

 Phương án D: xn26xn15xn 44.3n55.2n 0.

Câu 21. Đáp án D.

 Phương án A:

9
5
1 9

3 3

3 .

2 2

u u

u

 

  

 Phương án B:

3
2 4

. 3

3 .

2 2

u u

u

  

 Phương án C: 100

1 2 100 100

1 ... .

u

u u u u 

     

 Phương án D: 1 2 ... 100 5050

1. ...2 100 3 3 5050.

u u u      u

Câu 22. Đáp án C.

 Phương án A:





3( 12) 1 (3 1) (3 1)

2017 cos 2017 cos 6 2017 cos . 1.

6 6 6

n n

n n n

a             a  n

 

 Phương án B:





3( 8) 1 (3 1) (3 1)

2017 cos 2017 cos 4 2017 cos . 1.

6 6 6

n n

n n n

a             a  n

 

 Phương án C:





3( 9) 1 (3 4) (3 4)

2017 cos 2017 cos 4 2017 cos . 1.

6 6 6

n n

n n n

a             a  n

 

 Phương án D:





3( 4) 1 (3 1) (3 1)

2017 cos 2017 cos 2 2017 cos . 1.

6 6 6

n n

n n n

a             a  n

 

Lưu ý: Quan sát vào các chỉ số dưới của số hạng tổng quát, ta thấy ở C có sự khác biệt so
với ba phương án trên nên ta có thể kiểm tra ngay phương án C trước.

Câu 23. Đáp án A.

Sáu số hạng đầu tiên của dãy là 1;2;0;1;2;0.

Từ đây ta dự đoán an3 an, n 1.Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được

rằng an3 an, n 1.

Mặt khác 20183.672 2 nên a2018a2.

Câu 24. Đáp án B.

Trước hết ta kiểm tra phương án với pnhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của (an) :

1 1 3 4 5 6 7

8 9 10

1; 2; 2 3 1; 4 3; 2 3 2; 2 3; 1;

2; 1 2 3; 3 4.

a a a a a a a

a a a

           

     

Dễ dàng thấy a10  3 4 1  a1 nên phương án A là sai.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1 1 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

( ) : 1; 2; 2 3 1; 4 3; 2 3 2; 2 3; 1;

2; 1 2 3; 3 4; 2 2 3; 3 2; 1; 2.

n

a a a a a a a a

a a a a a a a

           

           

Từ đây ta dự đoán được an12 an, n 1.

Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được an12an, n 1. Vậy số
nguyên dương cần tìm là p12.

Cách 2: Sau khi viết 10 số hạng của dãy ta có thể đoán được an6  an, n 1.

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng an6  an, n 1.Như vậy 6 là
số nguyên dương nhỏ nhất để an6  an, n 1. Do đó an12an 6 6  an6 an, n 1.
Suy ra số cần tìm là p12.

Câu 25. Đáp án D.

 Phương án A: Ta có 1 2 3

2018

1; 1; 1

1 2017

a  a   a 

 . Từ đây ta dự đoán an   1, n 1.

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng an   1, n 1.Suy ra

 

an là dãy số khơng đổi. Do đó phương án A đúng.

 Phương án B: Ta có





2 tan 2( 2) 1 tan (2 1) tan(2 1) , 1.

4 4 4

n n

b  n     n   n  a  n

 

Vậy bn2 bn, n 1. Do đóphương án B là đúng.

 Phương án C: Ta có cn   1, n 1.nên dãy số

 

cn là dãy số không đổi. Suy ra

 

cn là dãy
số bị chặn. Do đó phương án C là đúng.

 Phương án D: Ta có d2n cos(2n) 1 cos(4  n)d4n. Suy ra khẳng định

 

dn là một

dãy số giảm là khẳng định sai.

Câu 26. Đáp án C.

Ta có 1 1( 1) ... 11( 2 1).

2 2

n n n n n

u  u  u u     u u Từ đó ta tính được 1 11.

n n

u   

Do 2 1 11 1 0, 1

2 2 2

n n n n n

u  u        n nên

 

un là dãy số giảm

Ta có 1 1 11 2, 1

n n

u  n

      nên

 

un là dãy số bị chặn. Suy ra phương án đúng là C.

Câu 27. Đáp án B.

Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có un12 un2  2, n 1. Suy ra un2 u122(n 1) 2n1.

Do đó 2 2 2 2

1 2 ... 2(1 2 ... ) ( 1) .

n n

S u u  u      n n n n  n n

Vậy S2018 2018 .2

Câu 28. Đáp án A.

Dựa vào chu kì của hàm số ysin ;x ycos ,x ta có zn12zn, n 1.
Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là S 



z z1; 2;...;z12

 

   3; 2; 1;0; 2 .



Suy ra M 2;m 3.Do đó T 13.

Câu 29. Đáp án C.

Dễ chỉ ra được un   0, n 1.Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có

1 1

2 2, 1.

n n

u  u    

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

1 1 1 1

2(1 2 .. 1) 2( 1) 2 ( 1) 2( 1) .

( 1)

n

n n

n n n n n n n u

u u        u          n n

Do đó 1 1 , 1.

1
n

u n

n n

   



Vậy 1 2 ... 1 1 .

1 1

n n

n

S u u u

n n

      

  Vì

2017
2018
n

S  nên 2017 2017.

1 2018

n

n
n   

Suy ra số nguyên dương lớn nhất để 2017

2018
n

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh

Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường

Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức

Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng

đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.