<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>3.6 Phép đẳng tham số cho phần tử thanh dàn</b>:

Xét

thanh dàn trong mặt phẳng (2D) như hình vẽ:

Trong đó:

• T: lực tác dụng tại nút 1 và 2 dọc theo trục thanh

• <i>x': trục tọa độ địa phương của thanh</i>

• 𝑢₁′, 𝑢₂′: chuyển vị của nút 1 và 2

• 𝑓_1𝑥′ , 𝑓_2𝑥′ : ngoại lực tác dụng tại nút 1 và 2

74
<i>T</i>

𝑓_1𝑥′ , 𝑢₁′

<i>T</i>

1 <i>_l</i> 2

EA, <i>l</i> <i>_x'</i>

𝑓_2𝑥′ , 𝑢₂′

Theo định luật Hooke, ta có:

ε =

𝜎

𝐸

và

ε =

𝛿

𝑙

Nội lực trong thanh được xác định theo cơng

thức:

<b>Trong đó:</b>

𝛿

=

𝑢

₂′

-

𝑢

₁′

𝜎

=

𝑢2

′

−

_𝑢
1
′

𝑙

𝐸

𝑇 = 𝜎. 𝐴

(3.5)

(3.6)

<i>T</i> 1 <i>l</i> 2 <i>T</i>

𝑓_1𝑥′ , 𝑢₁′

<i>x'</i>

𝑓_2𝑥′ , 𝑢₂′

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Từ công thức (3.5) và (3.6) ta có:
𝑇 = 𝐴𝐸(𝑢2

′ ₋_𝑢
1′

𝑙 )
Khi nút 2 cố định, ta có:

𝑓_1𝑥′ = −𝑇
Khi nút 1 cố định, ta có:

𝑓_2𝑥′ = 𝑇

Thay thế (3.7) vào cơng thức trên ta có
𝑓_1𝑥′ = −𝐴𝐸(𝑢2′ −𝑢1′

𝑙 )

𝑓_2𝑥′ = 𝐴𝐸(𝑢2

′ ₋_𝑢
1′

𝑙 )

76
(3.7)

(3.8a)

(3.9b)
(3.9a)
(3.8b)

Công thức (3.9a) và (3.9b) được viết lại dưới

dạng ma trận:

𝑓

_1𝑥′

𝑓

_2𝑥′

=

𝐴𝐸
𝑙

1 −1

−1 1

𝑢

₁′

𝑢

₂′

Trong đó:

𝑘

𝑒

=

𝐴𝐸_𝑙

: độ cứng của thanh

𝐾

_𝑒

=

𝐴𝐸

𝑙

1

−1

−1

1

: ma trận độ cứng

𝑘

_𝑒

va

𝐾

_𝑒

được tính trong hệ tọa độ địa phương

của thanh

(3.10)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Công thức (3.10) có thể được viết dưới dạng ma

trận như sau:

𝑓

_𝑒

= 𝐾

_𝑒

𝑢

_𝑒

78
(3.11)

•

Cơng thức (3.11) được viết cho một phần tử

•

𝑓

_𝑒

: Vector lực tác dụng lên các nút của phần tử

• 𝐾 𝑒

: Ma trận độ cứng của phần tử

• 𝑢 _𝑒

: Vector chuyển vị tại các nút của phần tử

•

Từ cơng thức (3.11) ta giải hệ phương trình để

tìm ra chuyển vị của các nút giàn

•

Nội lực của thanh giàn được xác định bởi công

thức

𝜎

_𝑒

= 𝐸. 𝜀

_𝑥𝑒

= 𝐸.

𝑢

2

′

₋

_𝑢

1′

𝑙

𝑁

_𝑒

= 𝜎

_𝑒

𝐴

(3.12a)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Trong bài toán thanh dàn chịu kéo nén đúng tâm ta thấy:

80
<i>T</i>

𝑓_1𝑥′ , 𝑢₁′

<i>T</i>

1 2

EA, <i>l</i> <i>x'</i>

𝑓_2𝑥′ , 𝑢₂′

1) Các thơng số bài tốn được tìm thơng qua các
chuyển vị tại nút

2) Vector chuyển vị của phần tử: là bao gồm tất cả
các chuyển vị tại các nút của phần tử;

3) Bài tốn có thể được giải khi biết ma trận độ
cứng của phần tử

<i>3.6.1. Hàm dạng của phần tử thanh dàn: Xét thanh dàn</i>
như hình vẽ

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

1) s: là hệ trục gắn với trục thanh với gốc tại trung
điểm của đoạn thanh

2) Thanh có hai bậc tự do với hai chuyển vị𝑢₁ tại nút
1 và𝑢₂ tại nút 2.

<i>3) x: là hệ tọa độ tổng quát của phần tử.</i>

𝑥1

1 <i>L</i> 2

<i>u, x</i>

𝑠 = 0
𝑠 = −1

1 <i>L</i> 2

<i>u, x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Khi trục</b> 𝒔<b>song song với trục</b>𝒙: Khi đó, tọa độ trọng
tâm được xác định bởi:

𝑥_𝑐 = 𝑥1 + 𝑥2
2
Mối liên hệ giữa 𝑥 và𝑠, ta có:

𝑥 = 𝑥𝑐+

𝐿
2. 𝑠
Mối liên hệ giữa 𝑠và𝑥, ta có:

𝑠 = 𝑥 − (𝑥1 + 𝑥2)
2

2
𝑥2− 𝑥1

82
Khoảng chia

số khoảng chia

(3.37a)

(3.37b)

(3.37c)

Gọi 𝑁₁ 𝑥 , 𝑁₂ 𝑥 là các hàm dạng của phần tử tại nút 1
và 2, theo (3.31) tọa độ 𝑥 có thể viết theo các hàm dạng
như sau:

𝑥 = 𝑁₁ 𝑥 𝑥₁+ 𝑁₂ 𝑥 𝑥₂
Dưới dạng ma trận:

𝑥 = 𝑁1(𝑥) 𝑁1(𝑥)

𝑥1

𝑥₁

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.38a)

(3.38b)

<b>Mặt khác, mối liên hệ giữa tọa độ</b>𝒙 <b>và</b>𝒔<b>có thể được</b>
<b>viết bằng đa thức cấp 1 sau:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta có:

𝑠 = −1, 𝑥 = 𝑥1, thay vào (3.39), ta có: 𝑎1− 𝑎2 = 𝑥1

𝑠 = 1, 𝑥 = 𝑥₂, thay vào (3.39), ta có: 𝑎₁ + 𝑎₂ = 𝑥₂
Thay vào (3.39), ta có:

𝑥 = 1

2 1 − 𝑠 𝑥1+ 1 + 𝑠 𝑥2
Hoặc dưới dạng ma trận:

𝑥 = 1 − 𝑠
2

1 + 𝑠
2

𝑥1

𝑥₂ = 𝑁1(𝑥) 𝑁1(𝑥)

𝑥1

𝑥₁

84

(3.40)

(3.41)

Ta có:

𝑁₁ 𝑥 = 1 − 𝑠
2
𝑁₂ 𝑥 = 1 + 𝑠

2

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.42a)

𝑠
𝑠 = −1 𝑠 = 1
𝑁2=

1 + 𝑠
2

𝑁2
1

𝑠
𝑠 = −1 𝑠 = 1

𝑁1=
1 − 𝑠

2
𝑁1

1

(3.42b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Do phân tử là đẳng tham số, vì vậy có thể xác định

chuyển vị của phần bởi các hàm dạng𝑁₁ 𝑥 , 𝑁₂ 𝑥 ,ta
có:

𝑢 = 𝑁1 𝑥 𝑢1 + 𝑁2 𝑥 𝑢2

86

(3.43)

𝑠

𝑠 = −1 𝑠 = 1

𝑢

1 2

𝑢 = 𝑁1𝑢1+ 𝑁2𝑢2

𝑢1 𝑢2

Hàm chuyển vị trong hệ tọa độ s của phần tử

<i>3.6.2 Biến dạng và chuyển vị trong thanh dàn: Trong hệ</i>
tọa độ tổng quát, biến dạng tỉ đối của thanh dàn là:

𝜀_𝑥 =𝑑𝑢
𝑑𝑥
Mặt khác, ta có:

𝑑𝑢
𝑑𝑠 =

𝑑𝑢
𝑑𝑥.

𝑑𝑥
𝑑𝑠
Từ (3.45) và (3.44), ta có:

𝜀_𝑥 =(
𝑑𝑢
𝑑𝑠)
(𝑑𝑥_𝑑𝑠)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.44)

(3.45)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Từ định nghĩa của các số gia𝑑𝑢, 𝑑𝑠, ta có:
𝑑𝑢

𝑑𝑠 =

𝑢₂− 𝑢₁

2 ;

𝑑𝑥
𝑑𝑠 =

𝑥₂− 𝑥₁

2 =

𝐿
2
Từ (3.47) và (3.46), ta có:

𝜀𝑥 = −
1
𝐿
1
𝐿
𝑢₁
𝑢₂

Mặt khác, gọi 𝛿 _𝑒 là chuyển vị tại các nút của phần tử,
ta có:
𝑢 = 𝑁 𝛿 _𝑒
88
(3.47)
(3.48)
(3.49)

Theo lý thuyết đàn hồi, ta có:

Dưới dạng ma trận

𝜀 = 𝜕 𝑢

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Thế (3.49) vào (3.50), ta có:

𝜀 = 𝜕 𝑁 𝛿 _𝑒 = 𝐵 𝛿 _𝑒

Trong đó: 𝐵 = 𝜕 𝑁 <b>: </b>ma trận chứa đạo hàm của các
hàm dạng (ma trận để tính biến dạng)

Đồng nhất cơng thức (3.48) và (3.51), ma trận tính biến
dạng 𝐵 có dạng sau:

𝐵 = −1
𝐿

1
𝐿

90

(3.51)

(3.52)

<i>3.6.3 Ứng suất trong thanh dàn: Theo định luật Hooke </i>
tổng quát ta có:

𝜎 = 𝐸 𝜀 = 𝐸 𝐵 𝛿 𝑒

<b>Trong đó</b>:

𝐸 : ma trận các module đàn hồi, trong trường
hợp bài toán thanh dàn 𝐸 = const, do vậy

𝐸 = 𝐸, công thức (3.53) được viết lại như sau:
𝜎 = 𝐸 𝐵 𝛿 _𝑒

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.53)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i>3.6.4 Độ cứng của thanh dàn: Theo phương pháp thế</i>
năng toàn phần, độ cứng của phần tử thanh dàn được
xác định bởi công thức

𝐾 _𝑒 =

𝑉

𝐵 𝑇 𝐸 𝐵 𝑑𝑉
Trong bài toán 1D - thanh dàn, ta có:

𝐸 = 𝐸
𝑑𝑉 = 𝐴. 𝑑𝑥
Ta có:

𝐾 𝑒 =

0

𝐿

𝐵 𝑇𝐸 𝐵 𝐴. 𝑑𝑥

92

(3.55)

(3.56)

Công thức (3.56), 𝐵 là ma trận được viết trong hệ trục
s, do vậy ta phải chuyển tọa độ𝑥 sang 𝑠, ta có:

0
𝐿

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

−1
1

𝑓 𝑠 𝐽 𝑑𝑠
Trong bài toán 1 chiều – thanh dàn, ta có:

𝐽 = J = 𝑑𝑥
𝑑𝑠 =

𝐿

2
Thay (3.57b) vào (3.56), ta có:

𝐾 _𝑒 =𝐿
2

−1
1

𝐵 𝑇𝐸 𝐵 𝐴. 𝑑s

(3.57a)

(3.57b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

dàn được xác định bởi:

𝐾 𝑒 =
𝐴𝐸

𝐿 −11 −11

Trong hệ tọa độ tổng quát, áp dụng cơng thức chuyển
trục, ta có ma trận độ cứng của phần tử được xác định
bởi công thức:

𝐾 _𝑒 =𝐴𝐸
𝑙

𝐶2 𝐶𝑆 _−𝐶2 _−𝐶𝑆

𝐶𝑆 𝑆2 _−𝐶𝑆 _−𝑆2

−𝐶2 −𝐶𝑆 _𝐶2 _𝐶𝑆

−𝐶𝑆 −𝑆2 _𝐶𝑆 _𝑆2

94

(3.59a)

(3.59b)

<i>3.6.5 Vector tải trọng tác dụng lên thanh dàn: </i>

<b>a) Trọng lượng bản thân</b>: trong hệ tọa độ địa phương
trọng lượng bản thân thanh dàn được quy về lực tập
trung tác dụng ở hai nút

𝑓_{𝑏 𝑒} =𝐴𝐿𝜌
2

1
1
Trong đó:

𝜌: trọng lượng riêng của thanh dàn

(3.60)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i>Trường hợp 1</i>: Khi𝑞(𝑥)là hàm của biến𝑥:
𝑓_{𝑠 𝑒} =

0
𝐿

𝑁_𝑠 𝑇 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥
Thay hàm dạng theo tọa độ<i>s</i>và 𝑑𝑥 =𝐿

2𝑑𝑠, ta có:

𝑓_{𝑠 𝑒} =

−1

1 1 − 𝑠

2
1 + 𝑠

2

𝑇

𝑞(𝑥) 𝐿
2𝑑𝑠

<i>Trường hợp 2</i>: Khi𝑞 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ta có
𝑓_{𝑠 𝑒} = 𝑞(𝑥)𝐿

2
1
1

96

(3.60)

</div>

<!--links-->