ON THI TUYEN SINH LOP 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (485.51 KB, 54 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Buoåi 10 Rót gän biĨu thøc

I, Mơc tiªu :

Học sinh biết vận dụng các phép tính , các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai để
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai của các số không âm.

Vận dụng để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai của biến ( trớc khi rút gọn phải
tìm điều kiện để căn thức có nghĩa ) .

II,

PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC :

GV : Soạn giáo án , lựa chọn bài tập .
HS : ôn lại kiến thức cũ .

III, Tiến trình bài dạy :

Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng

GV cho học sinh ôn lại kiến
thức : Các phép biến đổi đơn
giản căn thức bậc hai. Các
phép tính căn bậc hai.

Học sinh trả lời câu
hỏi của giỏo viờn

ôn lại kiến thức c . Điền vào chỗ (…) để hồn thành
các cơng thức sau:

1) ...

2) . ...( ...; ...)
3) ...( ...; ...)
4) . ....( ...)

5) ( . ...; ...)
....

A

A B A B

A

A B
B

A B B

A AB

A B B
B








A A B
B

B ………

( )

C C A B
A B
A B  



………
GV cho häc sinh lµm bµi tËp

vËn dơng
Bµi 1. rót gän :
a,

3√5 a −√20 a+4√45 a+√a (a ≥ 0)

b, 5√a+6

√

a

4− a

√

a−√5

c, 5

√

1
5+

2√20+√5
d,

√

2+√4,5+√12 ,5

? §Ĩ rót gän biĨu thøc a, ta
làm nh thế nào

GV Gọi học sinh lên bảng làm
bài .

GV gọi hs nhận xét và chữa lỗi
sai của bài làm.

? Để rút gọn biểu thức b, ta
lµm nh thÕ nµo

HS theo dõi đề bài
trên bảng .

HS trả lời : để rút
gọn biểu thức a ta áp
dụng đa thừa số ra
ngoài dấu căn
HS nhận xét bài làm
của bạn trên bảng .

Bµi 1: Rót gän c¸c biĨu thøc sau :
a,

3 5 20 4 45 ( 0)

3 5 4 5 12 5

13 5 (13 5 1)

a a a a a

a a a a

a a a

   

   

   

5 6 5 ( 0)

a

a a a

a

   

5 6 5 ( 0)

5 3 2 5

6 5

a

a a a

a

a a a

a

   

   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

GV cho học sinh vận dụng
làm câu c, d

GV nhận xét bài làm của học
sinh nhắc nhở các lỗi trình
bày.

HS cả lớp vận dụng
làm câu c, d

HS theo dõi giáo
viên nhận xét .

1 1

)5 20 5

5 2
1.5 1

5 4.5 5

5 2

5 5 5 3 5

5 2

a  

  

  

2 2 2

) 4,5 12,5

2 9.2 25.2

2 2 2

1 3 5 9

2 2 2 2

b  

  

  

GV cho häc sinh lµm bµi 2.
? Để rút gọn biểu thức a ta làm
nh thế nµo .

GV hớng dẫn học sinh phân
tích biểu thức dới dấu căn
thành hằng đẳng thức .

? §Ĩ rót gän biĨu thøc b ta
lµm nh thÕ nµo .

GV Cho häc sinh vËn dơng
lµm bµi .

GV nhËn xÐt bài làm trên bảng
và khắc sâu lí thuyết .

HS trả lời : ta vận
dụng hằng đẳng
thức căn bc hai

A2

=|A|

HS theo dõi giáo
viên hớng dẫn .

HS trả lời câu hỏi
của giáo viên .
HS lên bảng làm bài
.

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau :
a,

√

7+4√3 −

√

4 +2√3

√

4+4√3+3 −

√

3+2√3+1

√

(2+√3)2−

√

(√3+1)2

|2+√3|−|√3+1|

2+√3 −√3 −1
1
b,

√

6+2√5 −√20+3√45

√

5+2√5+1 −√4 .5+3√9 .5

√

(√5+1)2−2√5+9√5

|√5+1|+7√5

√5+1+7√5
8√5+1

Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bng

GV :nêu phơng pháp

rút gọn biểu thức
chứa căn thøc bËc hai
ë mÉu :

b1. Tìm đkxđ .
b2. Phân tích tử và
mẫu thành nhân tử để
rút gọn hoặc quy
đồng mẫu .

GV : BiĨu thøc trªn

HS theo dõi phơng pháp

làm bài .

HS tr li : biểu thức A
xác định khi căn thức có
nghĩa và mẫu thức khác

BT 1Cho biÓu thøc :
A = 2√x +9

x −5√x+6−

1
3 −√x−

1
2−√x

a, Rút gọn A.
b, Tìm x để A > 0

c, Tìm x để A đạt giá trị nguyên .
 Giải

a, ®k : x 4 ;x ≠ 9 ;x 0

A = 2√x +9

x −5√x+6−

3 −√x+

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

? Để quy đồng mẫu ta
làm nh thế nào .

GV híng dẫn học
sinh trình bày lời
giải .

? Để giá trị của một
phân thức lớn hơn 0
cần ®iỊu kiƯn g× .

GV lu ý học sinh phải
đối chiếu điều kiện .
? Để A đạt giá trị
nguyên cần điều kiện
gì.

GV híng dÉn häc
sinh lµm bµi .

HS : để quy đồng mẫu
trớc tiên ta phải phân
tích mẫu thành nhân tử .
HS làm bài vào vở theo
hớng dẫn của giáo viên .
HS : Để một phân thức
lớn hơn 0 thì tử và mẫu
phải cùng dấu .

HS theo dâi GV nhËn
xÐt .

HS Để A đạt giá trị
nguyên thì mẫu là ớc
của tử .

HS lµm bµi vµo vë .

= 2√x+ 9
(√x −3) (√x − 2)+

√x −3−

√x −2

= 2√x −7 +√x −2 −√x +3
(√x −3) (√x − 2)
= 2(√x −3)

(√x −3) (√x − 2)

= 2

x 2

a, Để A > 0 thì :
2

x − 2 > 0
⇔√x − 2>0

⇔√x >2
⇔ x>4

Vậy với x > 4; x 9 thì A > 9 .
c, Để A đạt giá trị nguyên thì

√x −2 là ớc của 2.
mà Ư(2) = {1; 1;2 ;2}

TH 1; √x −2 = 1 ⇔ x=5 (thoả mãn)
TH2: √x −2 = -1 ⇔ x=1 (thoả mãn)
TH3: √x −2 = 2 ⇔ x=16 (thoả mãn)
TH4 : √x −2 = -2 ⇔ x=0 (thoả mãn)
Vậy với x = 5;1;16 ; 0 thì A đạt giá trị
nguyên.

? Để chứng minh một
đẳng thức ta làm nh
thế nào .

GV gọi học sinh lên
bảng làm bài, cả lớp
làm ra nháp .

GV tổng kết cách giải
của dạng bài .

HS trả lời câu hỏi

HS lên bảng làm bài , cả
lớp làm ra nháp .

HS nhận xét bài làm của
bạn trên bảng .

HS theo dõi giáo viên
nhận xét .

Bµi 2.

Chứng minh đẳng thức

a) 
1
1
a a
a
a
  

 
  
 .

2
1
1
a
a
  
 
  
  =1; 
(a0; a 1)

Biến đổi vế trái ta có:
1
1
a a
a
a
  

 
  
 
2
1
1
a
a
  
 
  

 
=

(1 )(1 )

a a a

a
a
    

 

 
2
1

(1 )(1 )

a
a a
  
 
 
 

= (1 + a + a + a) 2
1

(1 a) =

2
2
(1 )
(1 )
a
a


= 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

? Để giải bài tập này
ta làm nh thế nào .
GV gọi học sinh lên
bảng rót gän biĨu
thøc .

GV híng dÉn häc
sinh ph©n tÝch vµ
nhËn xÐt .

GV Cho häc sinh lµm
bµi tËp ¸p dơng ë tµi
liƯu .

HS ta rót gän biĨu thức
M rồi nhận xét .

HS lên bảng làm bài .

HS theo dõi giáo viên
nhận xét .

Bài 3. so s¸nh biĨu thøc sau víi 1.
M =

(

a −√a+

√a− 1

)

√a+1
a − 2√a+1

1 1

( 1) 1

a a a

 



 

 

  : 2

1
( 1)

a
a




1
( 1)

a
a a


 .

( 1)
1

a
a




=
1

a
a



= 1 -
1

a

Suy ra M < 1

IV, Híng dẫn về nhà :
- ôn lại lý thuyết .

- Xem lại các dạng bài đã chữa .
- Làm bài tập trong tài liệu .

Chuyên đề 2. Hàm số và đồ thị hàm số

I, Mơc tiªu :

- Học giải thành thạo bài tốn viết phơng trình đờng thẳng sử dụng điều kiện đi qua điểm và vị

trí tơng đối của hai đờng thẳng .

- Biện luận đợc số giao điểm của đờng thẳng và parabol.

- Tìm đợc tham số để đờng thẳng cắt parabol tại 2 điểm thoả mãn điều kiện .

II, Chuẩn bị :

GV : Soạn giáo án, lựa chọn bài tập .
HS : Ôn lại các kiến thức có liên quan.

III, Tiến trình bài dạy :

Hot ng của thày Hoạt động của trị Ghi bảng

Bµi 1 . Cho hµm sè

y = ax + 2. Xác định hệ số a trong mỗi trờng
hợp sau :

a, Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 4) .
b, Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có
hồnh độ bằng 2.

c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y =
3x.

d, Đồ thị hàm số vng góc với đờng thẳng y =
2x + 3

? Đồ thị hàm số đi qua điểm A suy ra ®iỊu g× ?

? Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tạiđiểm có
hồnh độ bằng 2 suy ra điều gì?

Gi¶i

a, Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 4)
 x = 1; y = 4.

Thay x = 1; y = 4 vµo hµm sè ta
cã :

a.1 + 2 = 4 ⇔ a = 2.

Vậy a = 2 là giá trịcần tìm .
Khi đó hàm số là y = 2x + 2

b, Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại
điểm có hồnh độ bằng 2

⇒ x = 2 ; y = 0

Thay x = 2; y = 0 vµo hµm sè ta
cã :

a.2 + 2 = 0 ⇔ a = -1.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

? Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng
y = 3x suy ra điều gỡ .

GV gọi học sinh lên bảng làm bài .

c, Vì b b’ ( 2 0) nên đồ thị
hàm số y = ax + 2 song song với
đ-ờng thẳng

y = 3x ⇒ a = 3 .

Vậy a = 3 là giá trị cần tìm .
Khi đó hàm số là y = 3x + 2.

d, Đồ thị hàm số song song với đờng
thẳng y = 2x + 3 khi :

a.2 = - 1
⇔ a = − 1

VËy a = 1

2 là giá trị cần tìm . Khi

đó hàm số là y = − 1

2 x + 2.
Bài 2 Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong cỏc

tr-ờng hợp sau :

a, d đi qua A(1; 2) và B( - 1; -3)

b, d đi qua M( 2; - 1) vµ d // d’ : y = 2x

? Để viết phơng trình đờng thẳng d trong bài này
trớc tiên ta phải làm gì ?

? đờng thẳng d đi qua A(1; 2) ta suy ra điều gì ?
? Để xác định a và b ta làm nh thế nào ?

GV : Cho học sinh vận dụng làm câu b ra nháp
? Gọi một em lên bảng làm bài

? Giáo viên chữa bài cho học sinh .

Bi 2.a, Phng trỡnh đờng thẳng có dạng
y = ax + b (d)

Vì đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2)
nên ta có x = 1; y = 2

Thay x = 1; y = 2 vào ptđt (d) ta đợc :
a + b = 2 (1)

Vì đờng thẳng (d) đi qua điểm B( - 1; -
3) nên ta có : - a + b = - 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình

a+b=2
−a+b=−3

⇔

¿b=− 1

a=5

¿{

Vậy phơng trình đờng thẳng (d) là
y = -1/2x + 5/2

b, Phơng trình đờng thẳng có dạng
y = ax + b (d)

Vì đờng thẳng (d) đi qua điểm M(2; - 1)
ta có : 2a + b = - 1 (3)

Vì đờng thẳng d // d’ nên ta có

a=a '
b ≠ b'
⇔

¿a=2

b ≠ 0

¿{

Thay a = 2 vµo (3) ta cã

4 + b = - 1 <--> b = - 5 (thoả mÃn điều
kiện )

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 3. Tìm điểm cố định thuộc đờng thẳng sau
y = (m – 3)x + 2m 1

GV : nêu cách giải :

b1,Gi sử điểm cố định cần tìm là A(x0;y0)

b2, Thay x = x0; y = y0 vào phơng trình đờng thẳng
để chuyển về phơng trình ẩn m.

b3,Để A là điểm cố định thì phơng trình ẩn m
đúng với mọi m --> cho các hệ số bằng 0 để tìm x0
và y0.

Bài 3. Giả sử điểm cố định cần tìm l
A(x0;y0)

Thay x = x0; y = y0 vào phơng trình
đ-ờng thẳng ta có

y0 = (m – 3)x0 + 2m – 1

⇔ y0−(m −3) x0− 2m+1=0
⇔ y0− mx0+3 x0−2 m+1=0
⇔− m(x0+2)+3 x0+y0+1=0

để A là điểm cố định thì phơng trình
trên nghiệm đúng với mọi m

x0+2=0

3 x0+y0+1=0
⇔

¿x0=−2

y0=5

¿{

Vậy điểm cố định cần tìm là A( - 2; 5)

Hoạt động của thày Hoạt động của trũ Ghi bng

Bài 4. Cho 3 điểm A( -1;1) , B(- 2; - 1) , C(3; -
1)

a, Viết phơng trình đờng thẳng AB

b, Chøng minh 3 ®iĨm A, B , C không thẳng
hàng

c, Tam giỏc ABC cú c điểm gì .

? GV gọi hs lên bảng viết phơng trình đờng
thẳng AB ; cả lớp làm ra nháp .

? Để chứng minh 3 điểm không thẳng hàng ta
chứng minh điều gì ?

HS ta chng minh im C khơng thuộc đờng
thẳng AB

GV híng dÉn c©u c:

+ Viết phơng trình đờng thẳng AC
+ Chứng minh AB vng góc với AC

Bµi 4.

a,Phơng trình đờng thẳng có dạng
y = ax + b (AB)

đờng thẳng AB đi qua A( - 1; 1) ta có :
- a + b = 1 (1)

đờng thẳng AB đi qua B( - 2; - 1) ta có :
- 2a + b = - 1 (2)

Tõ (1) va (2) ta có hệ phơng trình :

a+b=1
2 a+b= 1

⇔

¿a=2

b=3

¿{

Vậy phơng trình đờng thẳng AB là
y = 2x + 3

b, thay x = 3 vào phơng trình đờng thẳng AB
ta có :

2. 2 + 3 = 7 ≠ -1

Vậy điểm C(3; - 1) không nằm trên đờng
thẳng AB hay 3 điểm A, B , C khơng thẳng
hàng .

+) Phơng trình đờng thẳng AC là
y = -1/2x+1/2

+) Hai đờng thẳng AB và AC có
a.a’ = 2.(-1/2) = - 1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 5. Cho parabol y = x2 (P) và đờng thẳng (d) 
y = 2x + m + 1.

a, Tìm m để đờng thẳng d cắt parabol P tại hai
điểm phân biệt A và B.

b, Tìm m để xA2 + xB2 = 8
GV hớng dẫn cách giải

b1, lập phơng trình hồnh độ giao điểm

b2, để đờng thẳng cắt parabol tại hai điểm phân
biệt thì phơng trình hồnh độ giao điểm có hai
nghiệm phân biệt .

Hồnh độ hai điểm A và B là nghiệm tìm đợc ở
đâu .

HS : hoành độ giao điểm A và B là nghiệm của
(1)

? §Ĩ xA2 + xB2 = 8 cần điều kiện gì ?
Hs trả lời câu hỏi của giáo viên .

GV hớng dẫn học sinh giải câu b,

? Muốn tìm M để đờng thẳng cắt parabol tại hai
điểm có toạ độ thoả mãn điều kiện cho trớc ta
làm những bớc nào .

a, Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng
trình x2 = 2x + m + 1

⇔ x2− 2 x −m −1=0 (1)
Δ=(−1)2− 4 .1 . (− m− 1)=4 m+5

Để đờng thẳng d cắt parabol P thì phơng trình
(1) có hai nghiệm phân biệt

 4m + 5 > 0 <--> m > - 5/4

Vậy với m > -5/4 thì đờng thẳng d cắt parabol
P tại hai điểm phân biệt A và B

Để đờng thẳng d cắt parabol P tại hai điểm
phân biệt A và B thoả mãn xA2 + xB2 = 8 thì
ph-ơng trình (1) có hai nghiệm thoả mãn

x12 + x22 = 8

⇔(x1+x2)
2

− 2 x1x2=8 (2)
¸p dơng hƯ thøc viÐt ta cã :

x1+x2=2
x1. x2=−m− 1

¿{

(3)
Thay (3) vµo (2) ta cã :

4 – 2 ( - m – 1) = 8

<--> m = 1 (thoả mÃn điều kiện )
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm .

GV : Cho häc sinh lµm bài tập áp dụng ở tài liệu
IV, Hớng dẫn về nhà :

- Học lại kiến thức cũ

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chuyên đề 3. Giải và biện luận phơng trình bậc hai
I,Mục Tiêu:

- Hs biết giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai bằng cách biến đổi đa về phơng trình
bậc hai rồi dùng công thức nghiệm.

- HS biết vận dụng cơng thức nghiệm để tìm điều kiện của tham số cho một phơng trình có
dạng bậc hai có 2 nghiệm phân biệt , nghiệm kép , vô nghiệm .

- HS biết tìm nghiệm chung của hai phơng trình
II, Chuẩn bị :

- GV: soạn giáo án , lựa chọn bài tập
- HS : ôn lại kiến thức cũ

III, Tiến trình bài học :

Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bng

?Phát biểu công thức

nghiệm của phơng trình
bậc hai .

? Để phơng trình
ax2 + bx + c = 0 có hai 
nghiệm pb, nghiệm kép,
vô nghiệm cần điều
kiƯn g× .

HS đứng tại chỗ phát
biểu cơng thức nghim .

Hs Theo dõi giáo viên
hớng dẫn lí thuyết .

*, cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (1)
+, Phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
khi :

a 0
>0

{

+, Phơng trình (1) có nghiệm kép khi :

a 0
=0

{

+, Phơng trình (1) có nghiệm :

TH1: a = 0 suy ra m thay vào phơng
trình để tìm x và kết luận .

TH2: a ≠ 0 suy ra m

để phơng trình có nghiệm thì  ≥ 0
+, Phơng trình (1) vơ nghiệm :

TH1: a = 0 suy ra m thay vào phơng
trình để tìm x và kết luận

TH2: a ≠ 0 suy ra m

để phơng trình có nghiệm thì  < 0

? Muốn tìm m để phơng
trình có nghiệm kép ta
làm nh thế nào .

? Gäi häc sinh lên bảng
trình bày .

GV hớng dẫn học sinh
tìm nghiÖm kÐp b»ng

HS ta xác định a, b, c
tìm  rồi áp dụng điều
kiện

a ≠0
Δ=0

¿{

HS lªn bảng làm bài , cả
lớp làm ra nháp .

Bài 1. Cho phơng trình :

x2 + 2(m 1) x + m2 – m + 1 = 0 (1)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép ,
tìm nghiệm kép đó

Giải
Phơng trình (1) có

a = 1; b = 2(m – 1) ; c = m2 - m + 1
b’ = m – 1

’ = b’2 – ac = (m – 1)2 – 1(m2 – m + 
1)

= - m

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

C¶ líp ghi bµi vµo vë . x1=x2=−b
a=−

m−1

1 =− (0 −1)=1

Vậy với m = 0 thì phơng trình có nghiệm
kép . Khi đó nghiệm kép là

x1 = x2 = 1
? Muốn tìm m để phơng

tr×nh cã nghiƯm x = 2 ta
lµm nh thÕ nµo .

? Khi biÕt mét nghiƯm ,
muốn tìm nghiệm còn
lại ta dùng kiến thức
nào.

GVgọi một học sinh lên
bảng trình bày .

GV hớng dẫn học sinh
giải câu b.

HS tr li : ta thay x = 2
vào phơng trình để tìm
m.

HS trả lời : muốn tìm
nghiệm cịn lại ta áp
dụng nh lớ vi ột .

HS lên bảng làm bài , cả
lớp theo dõi nhận xét .

HS làm theo hớng dẫn
của giáo viên .

Bài 2. Cho phơng trình :

(m – 2)x2 + (2m – 1)x +_m +2 = 0 (ẩn x)
a, Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 2.
Tìm nghiệm cịn lại.

b, Tìm m để phơng trình có nghiệm .
Giải

a,thay x = 2 vào phơng trình ta đợc :

(m – 2)4 +(2m -1)2 + m + 2 = 0
<--> m = 8/9

¸p dơng hƯ thøc vi Ðt cã

x1x2=c

a⇔ x1x2=
m+2
m−2

⇔2 . x2=

(

8
9+2

)

(

8
9−2

)

⇔ x2=−1,3

Vậy với m = 8/9 thì phơng trình có nghiệm
x = 2 . Khi đó nghiệm cịn lại là

x2 = -1,3
b,

Δ=b2− 4 ac=(2 m−1 )2− 4 (m− 2) (m+2)

= - 4m + 17

TH1: m – 2 = 0 <--> m = 2 phơng trình
trở thành 3x + 4 = 0 <--> x = - 4/3

TH2: m – 2 ≠ 0 <--> m ≠ 2 để phơng trình
có nghiệm thì

Δ≥ 0⇒− 4 m+17 ≥ 0

m 17

4 (Thoả mÃn điều kiện )
Vậy vơí m = 2 hoặc m17

4 thì phơng
tr×nh cã nghiƯm .

Hoạt động của thày Hoạt động của trũ Ghi bng

? Để chứng minh một
phơng trình có dạng
bậc 2 có 2 nghiệm phân
biệt ta chứng minhđiều
gì .

? Gọi học sinh lên bảng

HS trả lời : ta cần chứng
minh :

a 0
>0

{

Bài 3, Cho phơng trình Èn x:
x2 – 2x – m2 + m – 2 = 0

a, Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2

nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m .

b, Tìm m để x12 + x22 = 12
 Giải

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

xác định a, b, c tính 
từ đó áp dụng hằng
đẳng thức chng minh
> 0

? Để có mối liên hệ
giữa x1 và x2 ta áp dụng
kiến thức nào .

GV hng dn gii
tỡm m.

HS lên bảng làm theo
yêu cầu của giáo viên.

HS theo dõi giáo viên
nhận xét và ghi bài vào
vở .

HS tr lời: để có mối liên
hệ giữa hai nghiệm ta áp
dng nh lớ vi ột .

HS theodõi giáo viên
h-ớng dÉn.

a = 1; b = - 2 ; c = - m2 + m – 2 
b’ = - 1

Δ'=b'

− ac=1− 1(− m2+m−2)=m2− m+3
=

(

m−1

)

+11

4 >0 víi mäi m
mµ a = 1 ≠ 0 víi mäi m

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân
biệt vi mi m .

b, +, Phơng trình luôn có 2 nghiệm phân

biệt với mọi m (chứng minh trên )
+, ¸p dơng hƯ thøc vi Ðt cã :

x1+x2=2
x1. x2=−m2+m− 2

¿{

(*)
+, ta l¹i cã

x12+x22=− 4⇔(x1+x2)

2− 2 x

1x2=12
⇒22− 2(−m2

+m− 2)=12

⇔2 m2−2 m− 4=0

 m = - 1 (tho¶ mÃn điều kiện )
hoặc m = 2 (thoả mÃn điều kiện )
GV nêu phơng pháp biện luận dấu các nghiệm của

phơng trình bậc hai .
HS ghi lý thuyết vào vở:

Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0

+,Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu khi:

a 0
x1x2=c

a<0

{

+, Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu khi:

a 0
>0
x1. x2=c

a>0

{ {

+, Phơng trình có 2 nghiệm cùng d¬ng khi:

a ≠ 0
Δ>0
x1. x2=c

a>0
x1+x2=−b

a >0

¿{ { {

+, Ph¬ng trình có 2 nghiệm cùng âm khi:

Bài 4 Cho phơng trình ẩn x:
x2 2(m + 3)x + 4m + 5 = 0

a, chøng minh r»ng ph¬ng trình luôn có
nghiệm vối mọi m .

b, Tỡm m phng trỡnh cú 2 nghim phõn
bit cựng dng.

Giải

a, phơng tr×nh cã

a = 1; b = - 2(m + 3) ; c = 4m + 5
b’ = - ( m + 3)

’ = [- (m +3)]2 – 1(4m + 5)

= m2+2m + 4 = (m + 1)2 + 3 > 0 với moị m
mà a = 1 0 với mọi m

Vậy phơng trình đã cho ln có hai
nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Phơng trình đã cho ln có 2 nghiệm
phân biệt với mọi m ( chứng minh trên )
Để phơng trình có 2 nghiệm cùng dơng thì

x1x2=c

a>0
x1+x2=−b

a >0
⇒

¿4 m+5>0

2 (m+3)>0

¿{

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a ≠ 0
Δ>0
x1. x2=c

a>0
x1+x2=−b

a <0

¿{ { {

m>−5

m>− 3
⇔m>− 5

¿{

Vậy với m > - 5/4 thì phơng trình đã cho
có 2 nghiệm cùng dơng.

GVnêu cách giải bài tốn tìm tham số để hai
ph-ơng trình có nghiệm chung.

b1, Giả sử 2 phơng trình có nghiệm chung là
x = x0 Thay vào 2 phơng trình đã cho.

b2, rút m từ một phơng trình thay vào phơng trình
thứ 2 để tìm x0 từ đó suy ra m.

b3, thay m vừa tìm đợc vào 2 phơng trình giải để
thử lại .

GV cho học sinh làm bài tập áp dụng .

HS làm bài vào vở theo hớng dẫn của giáo viên.

Bài 5.Cho hai phơng trình ẩn x;
x2 + mx + 2 = 0 (1)

x2 + 2x + m = 0 (2)

Tìm m để hai phơng trình có nghiệm
chung.

Gi¶i

Gi¶ sử hai phơng trình có nghiệm chung là
x = x0

thay vào hai phơng trình ta có :

x02+mx0+2=0

x02+2 x0+m=0

ta suy ra

x02+(− x

02− 2 x0)x0+2=0

⇔− x03− x02+2=0

⇔(x0−1)(− x02−2 x0− 2)=0

⇔ x0=1

suy ra m = - 3

Thay vào phơng trình 1 ta đợc

x2 – 3x + 3 = 0 có 2 nghiệm là x = 1
x = 3
Thay vào phơng trình 2 ta đợc

x2 + 2x – 3 = 0 cã 2 nghiƯm lµ x = 1 
x = - 3

Chuyên đề 4 Giải và biện luận hệ phơng trình

I, Mơc tiªu :

- Học sinh giải thành thạo các dạng hệ phơng trình đơn giản bằng cách quy đồng mẫu số , biến
đổi hằng đẳng thức , nhân đa thức rồi chuyển vế đa về dạng hệ bậc nhất hai ẩn tổng quát .

- Học sinh biết giải một số dạng hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ : hệ chứa ẩn ở mẫu,
hệ đối xứng loại I, Hệ đối xứng loại II,

- HS biết biện luận số nghiệm của hệ phơng trình bằng cách chuyển về phơng trình bậc nhất một
ẩn .

II, Chuẩn bị :

- GV : soạn giáo án , lựa chọn bài tập
- HS : ôn lại kiến thức có liên quan .

III, Tiến trình bài học :

Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Để giải hệ phơng
trình bằng phơng
pháp cộng đại số ta
làm nh thế nào?

? §Ĩ giải hpt a ta làm
nh thế nào .

GV hng dn hs quy
đồng mẫu rồi giải.

? §Ĩ chun hpt b
thành hpt bậc nhất 2
ẩn tổng quát ta làm
nh thÕ nµo .

GV hớng dẫn học
sinh biến đổi hpt
thành hpt bậc nhất 2
ẩn tq.

? §Ĩ chuyển hpt c
thành hpt b1 hai ẩn
tổng quát ta làm ntn.
GV gọi hs lên bảng
làm bài .

? GV cho hs làm câu
d ra giấy nháp.

? Để chun mét hpt
thµnh hpt bËc nhÊt 2
Èn ta lµm nh thÕ nµo.

Hs trả lới : Ta nhân
mỗi pt với một số
thích hợp để 1ẩ có
hệ số bằng nhau
hoặc đối nhau rồi
cộng hay trừ theo
từng vế .

HS : Ta quy đồng
để chuyển về hpt
bậc nhất có hệ số
nguyên và giải.
HS làm bài vào vở.

HS : ta thùc hiƯn
phÐp nh©n rồi dùng
quy tắc chuyển vế .

HS theo dõi giáo
viên hớng dẫn .

HS ta nhân chéo rồi
dùng quy tắc

chuyển vế.

HS lên bảng làm
bài.

HS làm ra giấy
nháp .

HS: trả lời câu hỏi
của giáo viên .

2 x − y =
1
3
x+ y=4
¿{
¿
b,
¿

(x +1) ( y − 3)=xy+1

( x − 2)( y +2)=xy −1

¿{
¿

c,
¿
x +1
y =
2
3
2 x − y =4

¿{

(x+1)2+2 y=x2−1
( y +2 )2− x= y2+4

¿{
¿
 Gi¶i 
a,
¿
1

2 x − y =
1
3
x+ y=4

¿{
¿

⇔

3 x − 6 y=2

x + y=4
⇔

¿3 x −6 y =2

3 x+3 y =12

¿{

⇔
−9 y =−10

x+ y=4
¿{

⇔
y=10
9

x =13

¿{
Vậy hpt đã cho có nghiệm ( 13/5; 10/9)
b,

(x +1) ( y − 3)=xy+1

( x − 2)( y +2)=xy −1

¿{

⇔
−3 x + y=4

2 x − 2 y =3

⇔

¿−6 x +2 y=8

2 x − 2 y =3

¿{

⇔
− 4 x=11

2 x −2 y=3

⇔

¿x=− 11

y=−17

¿{

Vậy Hpt đã cho có nghiệm

(

−11
4 ;
−17
4

)

c,
¿
x +1
y =
2
3

2 x − y =4

¿{

⇔

3 ( x+1)=2 y
2 x − y =4

⇔

¿3 x −2 y=− 3

2 x − y =4

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

3 x −2 y=− 3
4 x −2 y=8

⇔

¿x=11

y=18

¿{
VËy hpt cã nghiÖm (11; 18)
d,

(x+1)2+2 y=x2−1

( y +2 )2− x= y2+4

¿{

⇔

2 x +2 y=− 2

− x +4 y=0
⇔

¿x+ y=−1

− x +4 y=0

¿{

⇔

5 y=−1

x+ y=−1
⇔

¿y=−1

x=− 4

¿{

Vậy hpt đã cho có nghiệm

(

−1
5 ;

− 4

)

? Hpt này có gì khác

so với hpt a ở bài
trên.

? GV hng dn hs
t n ph

x +1=u ;

y 2=v

GV gọi hs lên bảng
làm bµi .

GV nhËn xÐt bµi lµm
cđa häc sinh.

GV giới thiệu đặc
điểm của hpt b là hpt
đối xứng loại I.
GV hớng dẫn hs đặt

Hs tr¶ lêi : hpt này
chứa ẩn ở mẫu và
các mẫu gièng
nhau.

HS Gi¶i hpt bËc
nhÊt 2 Èn phơ råi
suy ra nghiệm của
hpt .

HS theo dõi giáo

viên nhËn xÐt.

HS ghi nhí d¹ng
hpt dèi xøng lo¹i I .

Bài 2. Giải các hệ phơng trình sau :

x+1+

y − 2=3

x +1−

5
3 y −6=1

¿{

x+ y+xy=2+3√2

x2

+y2=6

¿{

x2=2− y
y2=2 − x

¿{

Gi¶i

a, đặt 1

x +1=u ;

y 2=v hệ phơng trình trë thµnh

u +v=3

2u −5
3v=1

⇔

¿u=15

v=18

¿{

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Èn phơ

x + y = u; xy = v
GV cho häc sinh lµm
ra giấy nháp.

GV nhận xét bài làm
của hs .

GV giới thiệu đặc
điểm của hpt c là hpt
đối xứng loại II.
GV hớng dẫn Phân
tích nhân tử đa v hpt
tớch.

GV hớng dẫn hs làm
bài.

GV:ôn lại cách giải
các dạng hpt cho hs .

HS làm theo chỉ
dẫn của giáo viên.

HS theo dõi giáo
viên nhận xét và
ghi bµi vµo vë.

HS ghi nhớ dạng
hpt đối xứng loi II.

hs làm theo chỉ dẫn
của giáo viên .

HS làm bài vào vở .

HS ôn lại các dạng
hpt bằng cách trả
lời câu hỏi của giáo
viên.

Khi ú ta cú :

x +1=

15
11
1

y −2=

18
11

⇔

¿15 x +15=11

8 y −36=11

⇔

¿x =− 4

y=47

¿{

Vậy hpt đã cho có nghiệm

(

−4
11 ;

47
11

)

x+ y+xy=2+3√2

x2+y2=6

¿{

⇔

x+ y+xy=2+3√2
( x + y )2− 2 xy=6

¿{

đặt x + y = u; xy = v hệ phơng trình trở thành :

u+v=2+3√2

u2−2 v =6
⇔

¿v =2+3√2 −u

u2−2 v =6

¿{

ta đợc u2

+2u − 10− 6√2=0

⇔
u1=2+√2

u2=− 4 −√2

¿
¿
¿
¿
¿

*, Với u1=2+√2⇒v1=2√2 ta c

x+ y=2+2
xy=22

{

suy ra x; y là nghiệm của phơng trình :

X2−(2+√2)X +2√2=0 giải ra ta đợc

X1=2 ; X2=√2

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

x2=2− y

y2=2 − x

¿{

x2− y2

=x − y

x2=2− y

⇔

¿(x − y )( x + y − 1)=0
x2=2− y

¿{

⇔

x − y=0

x+ y − 1=0

¿
¿x2=2− y

¿
¿{

¿
¿
¿

*, TH1:

x − y=0
x2=2− y

⇔

¿x= y

x2=2 − x

¿{

ta đợc x2 + x – 2 = 0

⇔
x1=1

x2=−2

¿
¿
¿
¿
¿

Víi x = 1 --> y =1
Víi x = - 2 --> y = - 2

*,TH2:

x+ y − 1=0
x2=2 − y

⇔

¿y=1 − x

x2=2 − y

¿{

ta đợc x2 – x – 1 = 0

⇔
x1=

1+√5
2

x2=

1 −√5
2

¿
¿
¿
¿
¿

Víi x1=

1+√5

2 ⇒ y=

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Víi x2=1 −√5
2 ⇒ y=

1+√5
2

GVhớng dẫn hs biến
đổi hpt về dạng chứa
một pt bậc nhất một
ẩn hoặc một phng
trỡnh mt n.

? có nhận xét gì về
phơng trình bậc nhất
một ẩn này .

? ta tìm x0; y0 bằng
cách nào .

GV hng dn hs
chng minh bằng
ph-ơng pháp biến đổi
t-ơng đt-ơng .

HS lµm theo hớng
dẫn của giáo viên .

HS : phng trỡnh
bc nhất này ln
tính đợc x.

HS tÝnh x0; y0 tõ hpt

HS làm theo hớng
dẫn của giáo viên .

Bài 3. Cho hệ phơng trình:

mx y =m

(1 m2)x +2 my=1+m2

{

a,Chứng minh hpt có nghiệm với mọi giá trị của m
b, Gọi (x0;y0) là nghiệm của hệ phơng trình .
Chứng minh với mọi giá trị của m luôn có
(x0)2 + (y0)2 = 1 .

Gi¶i
a, Ta cã :

mx − y =−m

(1− m2)x +2 my=1+m2
⇔

¿2m2x −2 my=−2 m2

(1− m2)x +2 my=1+m2

¿{

(1+m2)x =1 m2()
mx y =m

{

Phơng trình (*) luôn có nghiệm vì m2+1 0 
Vậy hpt luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b,

khi đó ta có :

x=1− m2

1+m2

y= 2 m

1+m2

¿{

ta cã

(x0)
2

+(y0)2=1

⇔

(

1− m2

1+m2

)

(

2 m
1+m2

)

⇔1 −2 m2

+m4+4 m2=1+2 m2+m4

⇔1+2 m2

+m4−1 −2 m2− m4=0

⇔0=0

Vậy (x0)2 + (y0)2 = 1 đúng với mi m .

GV cho học sinh làm các bài tập vËn dơng ë tµi liƯu .

IV, H íng dÉn vỊ nhà :

- ôn lại cách giải các dạng hpt

- Xem lại các bài tập đã chữa .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Chuyên đề 5.

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình 
I, Mục tiêu :

- HS biết cách xác định đại lợng cha biết cần biểu diễn ở một bài toán đố nằm trong mối liên hệ
3 đại lợng cấu thành một bài toán .

- HS nắm đợc sự khác nhau của một bài toán giải bằng cách lập phơng trình với một bài tốn
giải bằng cách lập hệ phơng trình .

- Giải thành thạo một số dạng toán quan trọng của bài toán .

II, Chuẩn bị :

GV : soạn giáo án , lựa chọn bài tập .
HS : ôn lại kiến thức cũ .

III, Tiến trình bài học :

Hot ng của thày Hoạt động của trị Ghi bảng

GV ơn lại cách giải bài
toán chuyển động .
? ở bài toán chuyển
động có những đại lợng
nào liên quan đến nhau.
? đại lợng nào đã cho ,
đại lợng nào hỏi. Cần
biểu diễn đợc đại lợng
nào .

GV híng dÉn hs lập
phơng trình .

GV lu ý hc sinh phi
đối chiếu nghiệm với

đk rồi mới kết luận.

- ở bài tốn chuyển
dộng có 3 đại lợng
liên quan đến nhau là
v, t, s

- bài này đã cho s, hỏi
v ta cần biểu diễn ra t.

HS lập phơng trình và
giải phơng trình để
tìm nghiệm

HS theo dâi giáo viên
nhận xét.

Bài 1. Một ca nô xuôi dòng 44 km rồi ngợc dòng 27
km hết tất cả 3 giê 30 phót . BiÕt vËn tèc thùc cđa ca nô
là 20 km/h. Tính vận tốc dòng nớc.

Giải

Gọi vận tốc dọng nớc là x( km/h).đk 0 < x <20
vận tốc ca nô đi xuôi dòng là 20 + x (km/h)
vận tốc canô đi ngợc dòng là 20 x (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là 44

20+x (km / h)
Thời gian canô đi ngợc dòng lµ 27

20 − x [km/h]
đổi 3giờ 30phút = 7/2 gi

Vì tổng thời gian cả đi lẫn về hết 3giờ 30 phút
nên ta có phơng trình :

44
20+x +

27
20 − x=

7
2

⇔88 (20 − x)+54 (20+x )=7 (20− x)(20+x)
⇔7 x2 34 x+40=0

'=9>0
x1=20

7 (thoả mÃn điều kiện)

x2=14

7 ( thoả mÃn ®iỊu kiƯn )

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

? bài tốn này có gì
khác so với bài trên.

? Hai đại lợng cần tìm
có mối quan hệ trực
tiếp nào khơng .

GV hớng dẫn ta gọi 2
ẩn, để lập đợc 2 pt từ
đố lập hpt .

? Cần biểu diễn ra đại
lợng nào .

GV híng dÉn hs lËp 2
pt .

Gọi hs lên bảng giải
hpt .

GV nhận xét và chốt lại
cách giải.

Bài toán này hỏi tìm
hai yếu tố .

Hai yếu tố cần tìm
không có mỗi quan hệ
trực tiÕp .

HS theo dâi gv híng
dÉn.

CÇn biĨu diƠn ra thêi
gian

HS xét hai trờng hợp
đi và về lp 2
ph-ng trỡnh .

HS lên bảng giải hpt .

hs theo dâi gv nhËn
xÐt .

Bài 2. Quãng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài 4km và đoạn
xuống dốc dài 5 km. Một ngời đi xe đạp từ A đến B hết 40
phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và lúc
về nh nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và lúc về nh nhau).
Tính vận tốc lên dơc và vận tốc xuống dốc của

Gi¶i

Gọi vận tốc lên dốc của ngời đó là x km/h
gọi vận tốc xuống dốc của ngời đó là y km/h
đk: 0 < x < y

*, Khi đi từ A đến B;

thêi gian lên dốc là : 4/x (h)
thời gian xuống dốc là : 5/y (h)
ta có phơng trình : 4

x+

y=

2
3 (1)
*, Khi ®i tõ B về A:

thời gian lên dốc là : 5/x (h)
thời gian xuống dốc là : 4/y (h)
ta có phơng trình : 5

x+

y=

41
60 (2)
từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :

x+

y=

2
3
5

x+

y=

41
60

{

đặt 1

x=u ;

y=v

hpt trë thµnh :

12u+15 v=2
300 u+240 v=41

⇔

¿u= 1

v = 1

¿{

khi đó ta có

x=1 12

y=

1
15

x=12

y=15

{

(thoả mÃn đk)

Vy vn tc lờn dc ca ngi đó là : 12 km/h
vận tốc xuống dốc của ngời đó là : 15 km/h
? bài tốn này khác gì 2

bài trên .

GV giải thích kí hiệu
%.

bài toán này cã kÝ
hiƯu %,cã néidung
h×nh häc

Bài 3. Một hình chữ nhật có chu vi 216 m. Nếu
giảm chiều dài đi 20%, tăng chiều rộng 25% thì
chu vi hình chữ nhật khơng đổi .Tính chiều dài
và chiều rộng .

Gi¶i

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

?khi giảm chiều dài
20% thì chiều dài mới
tÝnh nh thÕ nµo .

? chiỊu réng míi tÝnh
ntn.

GV hớng dẫn hs lập pt .
GV lu ý cách biểu diễn
ẩn khi tăng hay giảm
đại lợng .

HS chiÒu dài mới tính
bằng cách lấy chiều
dài ban đầu trừ đi
phần giảm .

HS lập phơng trình và
giải pt --> kl

HS theo dâi gv híng
dÉn.

x – 0,2x = 0,8x (m)

Nếu tăng chiều rộng 25% thì chiều rộng mới là
108 – x + 0,4(108 – x ) = 151,2 – 1,4x (m)
vì chu vi hình chữ nhật khơng đổi nên ta có
ph-ơng trình :

0,8x + 151,2 – 1,4x = 108

⇔− 0,6 x=− 43 ,2
⇔ x=72

đối chiếu điều kiện ta thấy thoả mãn
vậy chiều dài hình ch nht l 72 m

chiều rộng hình chữ nhật là 108 – 72 = 36 m

? ở bài này có các đại
l-ợng nào liên quan đến
nhau .

? Cần biểu diễn ra đại
lợng nào để lập phong
trình .

GV hớng dẫn hs lập
phơng trình .

GV gọi hs lên bảng giải
phơng trình và kl.

GV lu ý hc sinh khi
đặt điều kiên cho đại
l-ợng là ngời, vật phải là
số nguyên dơng.

3 đại lợng liên quan
đến nhau là số ngời ,
số cây và số cây một
ngời trồng .

cần biểu diễn số cây
một ngời phải trồng.
HS lập phơng trình và
giải phơng trình để
tìm nghim .

HS theo dõi giáo viên
tổng kết phơng pháp
gi¶i .

Bài 4. Một lớp có 45 học sinh tham gia trồng tất
cả 216 cây. Tổng số cây các bạn nam đã trồng
bằng tổng số cây các bạn nữ đã trồng . tính số
nam và số nữ của lớp đó biết rằng mỗi bạn nam
trồng nhiều hn mi bn n l 2 cõy.

Giải

Gọi số nam là x (bạn) đk x N

, 0<x <45

s n ca lớp đó là 45 – x ( bạn )
số cây nam đã trồng là 108

x (c©y)

số cây các bạn n ó trng l 108

45 x (cây)
vì mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ là
2 cây nên ta có phơng trình :

108

x

108
45 x=2

2 x2306 x +1860=0
=117

x1=135 (không thoả mÃn đk)

x2=18 (thoả mÃn đk)

Vy s hs nam ca lp ú là 18 em
số học sinh nữ của lớp đó là 27 em

? ở bài này ta phải biểu
diễn ra đại lợng nào để
lập phơng trình .

GV Gọi hs lên bảng
làm bài , cả lớp làm ra
nháp.

ta cần biểu diễn ra số
ngời trên một ghế.

HS lên bảng làm bài ,
cả lớp làm ra nh¸p .

Bài 5. Một lớp học có 40 học sinh đợc xếp ngồi
đều nhau trên các ghế băng . Nếu ta bới đi 2
ghế băng thì mỗi ghế băng còn lại phải xếp
thêm 1 học sinh . Tính số ghế băng lúc đầu .
 Gii

Gọi số ghế băng lúc đầu là x (chiếc)
đk : x N

; x >2

Số hs ngồi trên một ghế lúc đầu là 40

x (hs)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

GV theo dõi sửa lỗi sai
cho học sinh .

GV : tổng kết lại các
dạng toán đã học và
phơng pháp giải thống
nhất chung.

HS lµm bµi vào vở.

HS trả lời câu hỏi của
giáo viên .

số hs ngồi trên một ghế khi đó là 40

x 2 (hs)

Vì khi bớt đi 2ghế ,mỗi ghế phải xếp thêm 1 hs
nên ta có phơng tr×nh :

x −2−

x =1
⇔ x2− 2 x −80=0

Δ'=81

x1=10 (thoả mÃn điều kiện)

x2=8 (không thoả mÃn điều kiện )
Vậy số ghế băng lúc đầu là 10 chiếc.

GV cho häc sinh lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo .

IV, H íng dÉn vỊ nhµ :

ơn lại cách giải bài tốn bằng cách lập phơng trình hay hệ phơng trình .
Xem lại các bài tập đã chữa .

Lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo .

Chuyên đề 6. Chứng minh bất đẳng thức

I, Mơc tiªu :

- Học sinh nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: biến đổi tơng đơng, dùng bất
đẳng thức côsi, dùng phơng pháp đổi biến ...

- HS nhận dạng đợc phơng pháp giải với một bài bất dẳng thức đơn giản .

II, ChuÈn bÞ :

GV: soạn giáo án , lựa chọn bài tập .

HS : ôn lại các kiến thức biến đổi biểu thức, phng trỡnh .

III, Tiến trình bài học .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

GV Hớng dẫn phơng
pháp giải :

f ( x)>q ( x)
⇔f ( x)− q ( x)>0
⇔. .. .. . .. .. . .. .. .
⇔[h ( x )]2+[g ( x )]2+a>0
hiển nhiên đúng với
a > 0

GV cho hs lµm bµi tËp
vËn dụng

GV hớng dẫn hs làm
xuất hiện hai lần tích
bằng cách nhân cả 2 vế
với 2

GV chng minh câu a.
? Để chứng minh bđt b
ta biến đổi ntn .

GV gọi hs lên bảng
chứng minh, cả lớp làm
ra nháp .

GV cho hs làm câu c
t-ơng tự nh câu b.

? Gọi hs lên bảng
chứng minh

GV nhận xét bài làm
trên bảng .

HS theo dõi giáo
viên hớng dẫn phơng
pháp.

HS theo dừi bi
trờn bng .

HS làm theo hớng
dẫn của giáo viên và
ghi bµi vµo vë.

Ta quy đồng mẫu,
khai triển hằng ng
thc ri chuyn v.

hs cả lớp làm ra nháp
.

HS chứng minh câu c
ra nháp .

Bi 1. Chng minh cỏc bất đẳng thức sau :
a, a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

b, chøng minh r»ng:

a2

+b2+c2
3 ≥

(

a+b+c

)

c, 1

√x+

√y≥

√x +√y

Gi¶i

a, ta cã

a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥2ab + 2ac + 2bc

⇔ a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + a2 – 
2ac + c2 ≥ 0

⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + ( a – c)2 ≥ 0 (đúng)
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.

a2

+b2+c2
3 ≥

(

a+b+c

)

⇔a2+b2+c2

3 ≥

a2+b2+c2+2 ab+2ac +2 bc
9

⇔3 a2

+3 b2+3 c2−a2− b2− c2− 2ab − 2 ac −2 bc ≥ 0
⇔ a2− 2 ab+b2

+b2−2 bc+c2+a2−2 ac+c2≥ 0

⇔ (a −b )2+(b− c )2+(a − c)2≥ 0( dung)
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh
c,

√x+

√y≥

√x +√y
⇔√x+√y

√xy ≥
4

√x+√y
⇔(√x+√y)2≥ 4√xy

⇔ x +2√xy+ y − 4√xy ≥ 0

⇔ x−2√xy + y ≥0

⇔(√x −√y)2≥ 0 (dung)

Vậy đẳng thức đợc chứng minh
Phơng pháp dùng bất đẳng thức cô si.

GVgiới thiệu bất đẳng
thức cơ si .

Víi hai sè a và b không
âm ta có :

a+b

2 a . b

GV để áp dụng bđt cơ

HS theo dõi định lí
và đề bài ở trên bảng
.

Bài 2. chứng minh bất đẳng thức sau:
a, ab

c +

a +

b ≥ a+b+c víi a, b, c d¬ng.

b, ab

a+b+

b+c+

a+c≥

a+b+c

2 víi a,b,c dơng

Giải

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

si ta cần điều kiện đầu
tiên là các số phải
không âm .

? Cú nhn xột gì về các
phân thức ở bất đẳng
thức a,

GV hớng dẫn hs áp
dụng bđt cô si chứng
minh .

GV hớng dẫn hs khai
thác bđt cô si làm xuất
hiện các phân thức ở vế
trái.

Các phân thức ở bđ
thức a, là hoán vị của
các số a,b,c.

HS theo dâi gv híng
dÉn vµ ghi bµi vµo
vë.

HS làm theo yêu cầu
của giáo viên .

c +

a 2

√

c .

a =2 b

a +

b ≥ 2

√

a

b =2 c

c +

b ≥ 2

√

c

b =2 a

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

2ab

c +2

a +2

b ≥ 2 a+2 b+2 c
⇔ab

c +

a +

b ≥ a+b+c

b, áp dụng bất đẳng thức cơ si ta có:

a2+b2≥ 2 ab⇔(a+b)2≥ 4 ab⇔ab

a+b≤
a+b

4
t¬ng tù ta cã :

bc
b+c
b +c
4
ac
a+c
a+c
4
cộng theo từng vế các bđt trên ta có ®pcm.

Phơng pháp đổi biến (đặt ẩn phụ)

? Em h·y dù đoán rằng
dấu = ở bđt xảy ra khi
nào .

GV hớng dẫn hs đổi
biến và thay vào bđ
thức đã cho để biến
đổi.

DÊu b»ng x¶y ra khi
x = y = z = 1/3

HS lµm theo híng
dÉn cđa gv.

Bµi 3.

Cho a + b + c = 1

Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 1
3

Giải

Đặt a = 1

3+x ; b =
1

3+y ; c =

1
3+z
thay vào điều kiện ta đợc x +y +z = 0
Ta có :

a2 + b2 + c2 =

(

13+x

)

(

1
3+y

)

(

1
3+z

)

=¿

(

9+
2
3x+ x

)

(

2
3 y + y

)

(

1
9+

3z+z

)

=¿1

3+
2

3(x + y + z)+x

+y2+z2=1
3+x

+y2+z21
3

Phơng pháp làm trội

GV hng dn hs t/c cơ
bản của phân thức để
biến đổi

GV tr×nh bày lời giải
cho học sinh theo dõi.

GV khắc sâu lại kiến
thức bằng câu hỏi lí
thuyết.

HS theo dừi giỏo
viờn bin i

HS trình bày lời giải
vào vë .

hs trả lời các câu hỏi
của giáo viên để nắm
vững kiến thức .

Bµi 4. Chøng minh r»ng :
1

2+
1

3+.. .+
1

24>8

Giải

Ta có :

1=
2
21=

1+1>
2

1+2=2(2 1)

Tơng tự ta có :
1

√2>2(√3 −√2)
1

√3>2(√4 −√3)
.. . .. .. . .. .. .. . .. .. . ..

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

VT >2 (√2−√1+√3 −√2+√4 −√3+.. .+√25−√24)

⇔ VT>2(5 −1)
⇔VT>8

GV cho hs lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo l

IV, H ớng dẫn về nhà : xem lại các bài đã chữa, làm bài tập ở tàiliệu.

Chuyên đề 7. Phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất

I, Môc tiªu :

- HS hiểu đợc khái niệm giá trị nhỏ nht, giỏ tr ln nht .

- Biết tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của các dạng cơ bản thờng gặp

II, Chuẩn bị :

GV : soạn giáo án , lựa chọn bài tập

HS : Ôn lại các phép biến đổi đại số , bảy hng ng thc .

III, Tiến trình bài dạy :

Hot động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng

GV giới thiệu định nghĩa giá trị lớn nhất , giá trị
nh nht ca mt biu thc .

*Định nghĩa:

Nu A ≥ a (a là hằng số ) ta nói biểu
thức A đạt giá trị nhỏ nhất là a

Nếu A ≤ b (b là hằng số ) ta nói biểu
thức A đạt giá trị lớn nhất là b

GV giới thiệu phơng
pháp tìm gtnn, gtln
bằng định nghĩa .
? Để biến đổi biểu thức
đã cho thành biểu thức
bậc hai ta làm nh thế
nào .

GV hớng dẫn hs phân
tích dựa vào hằng đẳng

thức.

GV lu ý : khi tìm
GTNN, GTLN phải chỉ
ra đợc dấu bằng xảy ra
khi nào .

HS theo dâi giáo viên
h-ớng dẫn .

Ta rút gọn tử cho mẫu .

HS theo dõi giáo viên
h-ớng dẫn và ghi bài vào
vở.

HS theo dõi giáo viên
tổng kết dạng toán .

I, Ph ơng pháp 1 : Với biểu thức bậc hai

kh«ng chøa biÕn ë mÉu

Để tìm GTNN ta biến đổi A = P2 + a ≥
a  A đạt GTNN là a khi P = 0

Để tìm GTLN ta biến đổi A = b – Q2
≤ b  A đạt GTLN là b khi Q = 0
VD: Tìm GTNN của các biểu thức :

M=x
4

+x3− x2−2 x −2

x2− 2

Gi¶i

a, thực hiện phép chia đa thức ta đơc ;

M=x
4

+x3− x2−2 x −2

x2− 2

¿x2+x +1

x2+2 . x .1
2+

1
4+

3
4

(

x+1

)

+3
4≥

3
4

Vậy M đạt giá trị nhỏnhất là 3/4 khi
x + 1/2 = 0
⇔ x=− 1

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

? §Ĩ chøng minh M a
ta còn có cách nào
khác .

GV gii thiu cỏch
dựng bt ng thc
cụsi.

? BĐT cô si áp dụng
đ-ợc khi nào .

GV hng dn hs phân
tích biểu thức để áp

dụng bđt cơsi .

? dấu bằng xảy ra khi
nào .

Ta cú th ỏp dng bt
ng thc cụsi.

HS theodõi giáo viên nêu
lí thuyết .

HS áp dụng với các số
không âm.

HS theo dõi giáo viên
h-ớng dẫn .

HS làm theo yêu cầu của
giáo viên.

II, Dựng bt ng thc cú sn n gin :

*) Với a, b không âm ta có :
a + b ≥ 2 √a .b ( BĐT
côsi)

*) Ta lu«n cã : a2 + b2 ≥

(

a+b
2

)

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biĨu thøc

N = x

+2 x+1

x +2 víi x > - 2
Gi¶i
Ta cã :

N=x
2

+2 x +1

x+2 =x+

x +2=x+2+

x +2− 2

áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dơng
x + 2 và 1

x +2 ta cã :
N ≥2

√

(x+2) 1

x +2− 2=0

dÊu b»ng x¶y ra khi x + 2 = 1

x +2

⇔
x=−1

x=−3

¿
¿
¿
¿
¿

đối chiếu điều kiện ta thấy N đạt giá trị nhỏ
nhất là 0 khi x = - 1 .

GV hớng dẫn phơng
pháp dùng tính chất
nghiệm của phơng trình
bậc hai .

GV chỉ rõ các bớc giải
cho học sinh .

GV cho hs làm ví dụ
? Để chuyển biểu thức
B về dạng phân thức
bậc hai ta làm thế nào.
? phơng trình (1) cã
nghiƯm khi nµo .

HS theo dâi lÝ thut

HS làm theo các bớc giải
đã có sẵn .

Ta đặt ẩn phụ x2 = t ≥ 0

III dïng tính chất nghiệm của ph ơng 
trình bậc hai:

tìm GTLN,GTNN của biểu thức có dạng
phân thức trong đó tử hoặc mẫu có dạng bậc
hai

VD T×m GTLN,GTNNcđa biĨu thøc

y=x

2+3 x −5
x+2

B1: Quy đồng mẫu thức chuyển v
phng trỡnh bc hai n x

B2: Để tồn tại giá trị lớn nhất hoặc
nhỏ nhất của y thì phơng trình ẩn x
phải có nghiệm

Cho 0 để tìm y

vÝ dơ :T×m GTLN cđa biểu thức
B = x

2
x4+1

Giải

Đặt x2 = t 0 ta cã

B= t

t2+1⇔ Bt

− t+B=0 (1)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

GV hớng dẫn hs tìm đk
để (1) có nghiệm từ dó
suy ra giá trị lớn nhất
của B.

giáo viên

B 0
=1 4 B2 0

t1. t2=1>0

t1+t2=1

B>0

B ≠0

−1

2 ≤ B ≤
1
2

B>0

⇔0

¿{ { {

Vậy B đạt giá trị lớn nhất là1/2 khi t1=t2=2

khi đó x2 = 2

x=2

x=2

GV nêu các hớng giải
với bài toán có ®iỊu
kiƯn.

GV hớng dẫn hs biến

đổi biểu thức để thay
điều kiện vào .

GV gợi ý áp dụng bất
đẳng thức cơ si để giải.

GV lu ý hs t×m điều
kiện xảy ra dấu bằng.

HS theo dõi giáo viên
nêu cách giải.

HS bin i biu thc
thay th iu kin .

HS làm theo hớng dẫn
của giáo viên .

IV, Đối với biểu thức có quan hệ ràng 
buộc giữa các biến Ta có thể:

+ Th iu kin vo biểu thức để rút
gọn

+ BiĨu thÞ y theo x råi thay vµo biĨu
thøc chun vỊ bËc hai mét Èn

+ Biến đổi điều kiện để làm xuất hiện
biểu thức

+Đổi biến để làm xuất hiện biểu thức
mới .

VÝ dơ : víi hai sè d¬ng a >b mà a.b = 1 HÃy
tìm GTNN của

y= a2+b2

a −b

Gi¶i

Ta cã y=a
2

+b2

a− b=

(a − b)2+2 ab

a −b =

(a −b )2+2

a −b

đặt a – b = t ta có :

y=t2+2

t ≥

√

t2. 2
t =2√2

dÊu b»ng x¶y ra khi t2 = 2 ⇔t=

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

khi đó ta có

a − b=√2

a. b=1
⇔

¿a=√2+√6

b=−√2+√6

¿{

GV cho häc sinh lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo .

IV, H íng dÉn vỊ nhµ :

- ƠN tập lí thuyết, xem lại các bài đã chữa , làm bài tập ở tài liệu kèm theo.

Chuyên đề 8 Các phơng pháp giải phơng trình vơ tỉ .

I,Mơc tiªu :

- HS nắm đợc ngun lí chung để giải các phơng trình vơ tỉ là bình phơng để làm mất căn bậc hai
để chuyển về phơng trình bậc hai hoặc phơng trình tích .

- HS giải thành thạo một số dạng phơng trình vơ tỉ cơ bản và một số phơng trình vơ tỉ giải bằng
cách đặt ẩn phụ .

II, ChuÈn bÞ :

GV : Soạn giáo án ,lựa chọn bài tập

HS : ôn lại kiến thức biến đổi căn thức bậc hai , cách giải pt bậc hai .

III, Tiến trình bài dạy : 
Hoạt động của

thµy

Hoạt động của trị Ghi bảng

GV nêu nguyên tắc
giải các phơng trình
vô tỉ :

tỡm đkxđ sau đó
bình phơng để làm
mất căn .

GV giới thiệu một
số dạng phơng trình
cơ bản.

? Để giải phơng
trình a ta làm nh thế
nào .

GV cho học sinh
làm ra nháp .

HS theo dừi giỏo
viờn truyền đạt lí
thuyết .

HS theo dâi mét sè
d¹ng phơng trình cơ
bản và ghi vào vở.

Ta t iu kin cho
vế phải khơng âm
rồi bình phơng 2
vế .

HS lên bảng làm

bài, cả lớp làm ra
nháp .

I) D¹ng 1:

√

f ( x )=a (a ≥ 0)

⇔ f ( x)=a2

II)D¹ng 2:

√

f ( x )=g ( x )

⇔ f (x)=[g ( x )]2 đk: g(x) 0

III)Dạng3:

f (x)+

g(x)=

p(x)

f(x)+

g(x)=q

B1: Tìm đk cho các căn thức có nghĩa .
B2: Bình phơng hai vế , đa về dạng 2
VD1: giải các phơng trình sau :

a, √x+2=4 − x

b, √x+1+√x − 2=3

Gi¶i

a, điều kiện x 4

Bình phơng hai vế ta cã :

x+2=16 −8 x +x2

⇔ x2− 9 x+14=0

Δ=25>0

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

? gọi hs lên bảng
làm câu a.

? Để giải phơng
trình b ta làm ntn.

GV hớng dẫn hs tìm
đk rồi bình phơng 2
vế chuyển về dạng
II.

? Gọi một hs lên
bảng giải tiếp .

Một hs nhận xét bài
làm của bạn .

Ta t iu kin cho
cỏc căn thức có
nghĩa rồi bình
ph-ơng 2 vế.

HS lµm theo hớng
dẫn của giáo viên .

Một em lên bảng

lµm bµi.

x=2

¿
¿
¿
¿

đối chiếu điều kiện ta thấy x = 2 thoả mãn.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = 2

b, điều kiện x 2
Bình phơng 2 vế ta cã :

x+1+ 2

√

(x+ 1)(x − 2)+x − 2=9

⇔ 2

√

x2− x −2=10− 2 x
⇔

√

x2− x −2=5− x

®iỊu kiƯn x 5

bình phơng 2 vế ta có :

x2 x −2=25− 10 x +x2
⇔ 9 x=27

⇔ x=3

đối chiếu điều kiện ta thấy x = 3 thoả mãn.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = 3.
GV giới thiệu dạng

IV.giải bằng cách
đặt ẩn phụ .

? Cã nhËn xÐt g× về
biểu thức dới dấu
căn của các căn
thức ở câu a.
? Để giải phơng
trình a ta làm ntn.
? Gọi một hs lên
bảng làm bài .

GV nhận xét bài
làm trên bảng .

HS theo dõi gv
h-ớng dẫn .

Các biểu thức dới
dấu căn có bộ phận
chøa Èn gièng nhau.

Ta đặt ẩn phụ:

x2+x +1=t

mét em lên bảng
làm bài.

HS theo dõi giáo
viên nhận xét.

IV)Dạng4:

ax2

+bx+ c+

ax2+bx+ d=

ax2+bx +e
B1: Tìm đk cho các căn thức có nghĩa.
B2: Đặt ẩn phụ t = ax2

+bx +c

Ví dụ : Giải các phơng trình sau :
a,

√

x2

+x +1+

√

x2+x − 2=3
b,

√

−2 x2− x +1=2 x2

+x +5

Giải

Đặt x2

+x +1=t 0
Phơng trình trở thành :

t +√t −3=3
⇔t +2

√

t (t −3)+t −3=9

⇔2

√

t2−3 t=12− 2t
⇔

√

t2−3 t=6 − t ( t  6)

⇔t2

− 3 t=36− 12t +t2
⇔ 9 t=36

⇔t=4

Víi t = 4 ta cã

x2+x +1=4

⇔ x2

+x −3=0

Δ=13>0
x=−1+√13

x=−1−√13

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

? để giải phơng
trình b ta làm nh thế
nào .

GV hớng dẫn hs đặt
ẩn phụ và gii
ph-ng trỡnh b

GV tổng kết cách
giải .

ta t ẩn phụ :

−2 x2− x +1=t

HS theo dâi gv
h-íng dÉn vµ lµm vµo
vë.

Vậy phơng trình đã cho cú nghim

x=1+13

x=113

b, t 2 x2 x +1=t

phơng trình trë thµnh:

√t=6 −t điều kiện t  6
Bình phơng 2 vế ta đợc ;

t=36 −12 t+t2
⇔t2

− 13t +36=0
Δ=25> 0
t=9

t=4

¿
¿
¿
¿

đối chiếu ta thấy t = 9 khơng thoả mãn

Víi t = 4 ta cã :

−2 x2− x +1=4
⇔2 x2

+x+3=0

Δ=−23<0

Vậy phơng trình đã cho vơ nghiệm .
GV hớng dẫn dạng

GV lu ý hs xÐt
nghiệm của biểu
thức dới dấu căn.

Có nhận xét gì về số
nghiệm của các
biểu thức dới dẫu
căn .

GV hớng dẫn hs
phân tích nhận xét.
GV giúp hs so sánh
thấy tính đối lập

của 2 vế .

? cã nhËn xÐt g× vỊ

HS theo dâi gv
h-íng dÉn lí thuyết.

các biểu thức dới
dấu căn vô nghiệm .

HS làm theo yêu
cầu của giáo viên.
HS quan sát giáo
viên hớng dẫn .

V)Dạng5:

a x rSup \{ size 8\{2\} \} +b x +c \} \} \{

√

ax2

+bx+c+

√

a ' x2+b ' x +c '=

B1:Tìm đk cho các căn thức có nghĩa .

B2: TH1: Nếu các căn thức có nghiệm thì phân
tích nhân tử đa về phơng trình tích .

TH2: Nếu các căn thức vơ nghiệm thì so
sánh hai vế với cùng một số phơng trình có
nghiệm khi hai vế cùng bng s ú .

Ví dụ: giải các phơng trình ;

√

3 x2+6 x+7+

√

2 x2+4 x+3=2 −2 x − x2

√

x2−3 x +2+

√x+3=√x − 2+

√

x2+2 x −3
Gi¶i

a, Ta cã :

√

3 x2+6 x+7 +

√

2 x2+4 x +3=2− 2 x − x2

⇔

√

3(x2+2 x +1)+4 +

√

2(x2+2 x+1)+1=3 −(1+2 x+ x2)

⇔

√

3( x +1)2+4 +

√

2( x +1)2+1=3 −( x +1)2
ta thÊy

√

3 (x +1)2+4 ≥√4=2

√

2( x +1)2+11=1

--> vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 3.
Lại có 3 −(x +1)2≤ 3

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

biĨu thøc d¬Ý dấu
căn của phơng trình
b.

GV hớng dẫn hs
phân tích nhân tử đa
về phơng trình tích.

dấu căn có nghiệm.

HS làm theo hớng
dẫn của giáo viên .

x −3 x+ 2+√x +3=√x −2+

√

x +2 x −3 ®k :x ≥ 2

⇔

√

( x − 1)( x −2)+√x+3=√x − 2+

√

( x −1) ( x+3 )

⇔√x − 2(√x −1− 1)−√x+3(√x − 1− 1)=0

⇔(√x − 1− 1)(√x −2 −√x+3)=0

⇔
√x −1 −1=0

√x −2 −√x+3=0

¿
¿
¿
¿
¿
¿

TH1:

√x −1 −1=0
⇔√x −1=1
⇔ x=2(thoamandieukien)
TH2:

√x −2 −√x +3=0
⇔√x −2=√x +3

x 2= x+3
 2=3 ( voli)

Vậy phơng trình có nghiƯm duy nhÊt x = 2

GV cho häc sinh lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo .

IV, H ớng dẫn về nhà :

- Học thuộc cách giải các dạng toán.

- Xem li cỏc bi tp ó chữa.

- Lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo.

Chun đề 9. Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

- HS hiểu đợc nghiệm nguyên của một phơng trình bậc nhất 2 ẩn trở lên là có hạn và tìm đợc bằng
một số phơng pháp c bit.

- HS biết cách giải một số dạng phơng trình nghiệm nguyên thờng gặp .

II, Chuẩn bị :

- GV : Soạn giáo án, lựa chọn bài tập

- HS : Ơn lại cách phân tích đa thức thành nhân tử , hằng đẳng thức..
III, Tiến trình bài học :

Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bng

? Tích của hai đa thức
có giá trị nguyên là
một đa thức có giá trị
nguyên hay không.
GV hớng dẫn hs gpt
nghiệm nguyên bằng
cách đa về tích các đa
thức có giá trị nguyên .

GV hớng dÉn häc sinh

lµm vÝ dơ

GV lu ý học sinh khi
xét các trờng hợp để
tìm x; y thì các đa thức
nhân tử có vai trị tơng
đơng nên phải hoán vị
giá trị các đa thức.p

HS trả lời .Tích của hai
đa thức có giá trị

nguyên là một đa thức
có giá trị nguyên .

HS theo dõi giáo viên
hớng dẫn .

HS phân tích vế trái
thành nhân tử , vế phải
là tích các số nguyên.

HS quan sát giáo viên
nhận xét tránh bỏ sót
nghiệm .

I)Đ

a về dạng tích :

Biến đổi phơng trình về dạng vế trái là tích
các đa thức chứa ẩn , vế phải là tích các số

nguyên .Cho tơng ứng mỗi nhân tử bên trái
bằng một thừa số bên phải và giải hệ phng
trỡnh thu c ly nghim nguyờn.

VD Tìm nghiệm nguyên của phơng trình :
x + xy + y = 9

(Thi vµo líp 10 chuyên , ĐHKHTN- 
ĐHQGHN,năm 2002)

Giải

Ta có :

x +xy + y=9
⇔ x ( y+1)+ y+1=10

⇔ ( y+1)( x +1)=10

TH1: TH2:

x +1=2
y +1=5

⇔

¿x =1

y=4

¿{

x +1=5
y +1=2

⇔

¿x=4

y =1

¿{

TH3: TH4: TH5:

x =−3
y=− 6

¿{

x=− 6
y=− 3

¿{

x =0
y=9

¿{

TH6: TH7: TH8:

y=0
x=9

¿{

x=− 2
y=− 11

¿{

x=−11
y=− 2

¿{

Vậy phơng trình đã cho có 8 nghiệm là
(1;4) ; (4;1); (- 3;- 6); (- 6; - 3); (0;9) ; (9; 0)
(-2;-11); (- 11; -2)

GV giải thích cho hs
hiểu vai trò của các ẩn
để sắp thứ tự các ẩn .

? vì sao ở pt này các ẩn
có vai trị tơng đơng.

HS ghi định nghĩa
ph-ơng phỏp sp th t cỏc
n .

HS trả lời : vì khi thay

II)Sắp thứ tự các ẩn :

Nu x,y,z …có vai trị bình đẳng , ta có thể
giả sử x≤y≤z≤…Để tìm các nghiệm nguyên
thoả mãn điều kiện Từ đó dùng cách hốn vị
để suy ra các nghiệm của phơng trình đã cho
VD tìm các số nguyên dơng thoả mãn :
x + y + z = 6

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

GV híng dÉn hs gi¶i ví

dụ .

? Sắp thức tự các ẩn là
gì.

trỡnh khụng thay đổi .
HS làm theo hớng dẫn
của giáo viên .

HS trả lời : sắp thứ tự
các ẩn là sắp xếp chúng
theo thứ tự tăng dần
hay giảm dần.

Giả sö x≤ y ≤ z ta cã x + y + z ≥ 3z
suy ra 3z ≤ 6 ⇔ z ≤2

*, TH1: z = 1 suy ra x + y = 5

⇒2 y ≤ 5 ⇔ y ≤2,5

nÕu y = 1 th× x = 4
nÕu y = 2 th× x = 3

*, TH2: z = 2 suy ra x + y = 4

⇒ 2 y ≤ 4⇔ y ≤ 2

nÕu y = 1 th× x = 3
nÕu y = 2 th× x = 2

VËy nghiƯm nguyên dơng của phơng trình là :
(4;1;1); (3;2;1); (3;1;2);(2;2;2) và các hoán vị
của mỗi bộ số này.

? cú nhn xét gì về một
phơng trình khi có một
vế chia hết cho một số
nào đó .

GV hớng dẫn hs phân
tích để vế trái chia hết
cho một số.

? Có nhận xét gì về 2
vế phơng trình này

HS khi một phơng trình
có một vế chia hết cho
một số nào đó . để
ph-ơng trình có nghiệm thì
vế cịn lại cũng phải
chia hết cho số đó.
HS phân tích vế trái
thành nhân tử theo
h-ớng dẫn của giáo viên.
HS trả lời .

III)Sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt :

Phơng pháp này sử dụng tính chất chia hết để
chứng minh phơng trình vơ nghiệm hoặc tìm
nghiệm của phng trỡnh

VD: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:
3x + 2 – 3y = 0

Gi¶i

ta cã :

3 x +2 −3 y=0

⇔3 x+3 −3 y=1
⇔3 ( x +1− y)=1

Ta thấy vế trái chia hết cho 3 còn vế phải
khơng chia hết cho 3. Vậy phơng trình đã cho
khơng có nghiệm ngun.

GV giải thích phơng
pháp sử dụng bất đẳng
thức cho học sinh.

GV híng dÉn hs lµm ví
dụ .

? Để giải phơng trình
nghiệm nguyên ta dùng
những phơng pháp

nào .

HS theo dõi giáo viên
hớng dẫn .

HSlàm theo yêu cầu
của giáo viên .

HS nhắc lại các phơng
pháp giải phơng trình
nghiệm nguyên vừa
häc .

IV)Sử dụng bất đẳng thức :

Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào
đó và từ sự đánh giá này suy ra các giá trị
nguyên ca n ca pT ny .

VD :Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x2 6xy + 13y2 = 100

Giải

ta có :

x2−6 xy+13 y2=100

⇔ x2− 6 xy +9 y2=100 − 4 y2
⇔ ( x−3 y )2

=4(25 − y2)

ta suy ra y2 25 và 25 y2 là số chính 
ph-ơng.

y2{0 ;9 ;16 ;25} hay

y∈{0 ;3 ;−3 ;4 ;− 4 ;5 ; 5}

Vậy phơng trình có các nghiệm nguyên là :
(10;0); (- 10;0); (17;3); (1;3); (- 17;- 3);
(- 1;-3);(6;4);(18;4);(-18;-4);(-6;-4);(15;5);
(-15;-5)

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

IV, H ớng dẫn về nhà:

- Học thuộc các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên.

- Xem li cỏc bi tp ó cha.

- làm các bài tập ở tài liệu đi kèm.

Ngày soạn : 26/05/2009

Chuyờn 1. cỏc phng pháp chứng minh cơ bản .

I, Mơc tiªu :

- Hs nắm đợc các phơng pháp chứng minh cơ bản để giải bài tốn hình học, nhận thức đợc

rằng đa số các bài toán đều đợc đa về các bài tốn chứng minh cơ bản.từ đó thấy đợc tầm
quan trọng của các phơng pháp này.

- Vận dụng đợc các phơng pháp chứng minh cơ bản để chứng minh hai đoạn thẳng bằng
nhau, hai góc bằng nhau, tam giỏc cõn ...

II, chuẩn bị :

- GV : Soạn giáo án , lựa chọn bài tập
- HS : ôn lại các kiến thức có liên quan.

III, Tiến trình bài học :

Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng

GV đặt câu hỏi để ơn lại
lý thuyết ,

? §Ĩ chứng minh hai
đoạn thẳng bằng nhau ta
có những cách nào.

? Để chứng minh hai góc
bằng nhau ta có những
cách nào.

HS tr li : cm 2 đoạn
thẳng bằng nhau ta chứng
minh hai cung bằng
nhau , 2 tam giác bằng

nhau , tính chất tam giác
cân,

§Ĩ chøng minh hai gãc
b»ng nhau ta chøng minh
2 tam giác bằng nhau, hệ
quả góc nội tiếp ....

I) Ph ơng pháp chứng minh 2 đoạn thẳng b»ng nhau :

PP1: định lí liên hệ giữa cung và dây
PP2: chứng minh hai tam giác bằng nhau
PP3: tớnh cht ng trung trc

II) Ph ơng pháp chứng minh hai gãc b»ng nhau :

PP1: chứng minh đó là hai góc nội tiếp cùng chắn một
cung

PP2 : chứng minh đó là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
với góc nội tiếp cùng chắn một cung

PP3: PP3dùng định lí về số đo của góc có đỉnh ở trong hay
ngồi đờng trịn để chứng minh hai góc cùng bằng số
đo một cung .

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

? Để chứng minh hai
đ-ờng thẳng song song ta
có những cách nào.

? Để chứng minh hệ thức
dạng tích ta có những
cách nào.

? Nêu các dấu hiệu nhận
biết tứ giác nội tiếp .

Ta áp dụng tính chất 2 đt
song song , tính chất hình
bình hành ...

Ta ỏp dng h thc lng ,
cm 2 tam giácđồng dạng .

tính chất hai đờng thng song song .

III) Ph ơng pháp chứng minh hai ® êng th¼ng song

song :

PP1: chứng minh hai góc so le trong bằng nhau hoặc
hai góc đồng vị bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía
bù nhau

PP2: chứng minh chúng cùng vng góc với đờng
thẳng thứ ba

PP3 : dùng định lí đảo của định lí ta lét

IV) Chøng minh hƯ thøc d¹ng tÝch

PP1: chứng minh hai tam giác đồng dạng

PP2:dùng định lí ta lét hay tính chất đờng phân giác
trong tam giác

PP3: dïng hƯ thøc lỵng trong tam giác vuông

V)Chứng minh tứ giác nội tiếp :

PP1: Chứng minh tổng hai góc đối diện bằng1800

PP2: Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dới một
góc khơng đổi

Bài 1. Cho đờng trịn (O) đờng kính AB . Gi

E là điểm thuộc đoạn OB . Dây MN vuông
góc với AB ở E , dây MP song song AB . Gọi
I là điểm chính gi÷a cung PM .

a) Chøng minh AP = BN

b) IO c¾t PM ë K . Chøng minh OKME
là hình chữ nhật

c) Chứng minh : KE // PN.

E
K

B
M

N
P

? Có nhận xét gì về
vai trò của AB với
MN.

? So sánh BN và BM.
Để chứng minh AP =
BN ta chứng minh
điều gì.

Gọi HS lên bảng
chứng minh AP = BM
? Để chứng minh
OKME là hình chữ
nhật ta cm gì .
? Có nhận xét gì về
vai trò của KE trong
tam giác PMN.

AB l ng trung trc

ca MN.

BN = BM. Để chøng
minh AP = BN ta
chøng minh AP=BM
HS lªn bảng chứng
minh cung AP = cung
BM suy ra đpcm.
Ta chøng minh
OKME cã 3 gãc 900

HS : KE là đờng
trung bình của tam
giác PMN.

a, Ta có : AB⊥ MN ⇒EM=EN ( qh vng
góc của đờng kính và dây)

-> AB là đờng trung trực của MN

--> BM = BN ( tính chất đờng trung trực )
Kẻ AM --> góc AMP = góc MAB( 2 góc slt)
--> cung AP = cungMB (2 cung chắn 2gúc ni
tip bng nhau).

--> AP = BM( liên hệ giữa cung và dây)
mà BM = BN ( cmt)

suy ra AP = BN.

b, Vì I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM
nên IP = IM (liên hệ giữa cung và dây)

--> I nm trờn ng trung trc ca PM.(1)
lại có OP = OM ( bán kính đờng trịn )
--> O nằm trên đờng trung trực của PM(2)
từ 1và 2 suy ra OI là đờng trung trực của PM
suy ra OI vng góc với PM hay góc MKO =
900

Lại có PM // AB mà MN AB MN ⊥PM
⇒∠PME=900

XÐt tø gi¸c OEMK cã

∠PME=900;∠ MKO=900;∠ KOE=900

VËy tø gi¸c OEMK là hình chữ nhật .
c, Trong tam giác PMN cã :

PK = KM ( tính chất đờng trung trực )

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 2 . Cho (O;R) và đờng kính AB , CD vng góc

nhau , lấy S thuộc tia đối của tia CO . SA cắt (O) ở
M . Tiếp tuyến ở M cắt CD ở P , BM cắt CD ở T .
Chứng minh:

a) PM.MA = MT.OA
b) PS = PM = PT

c)Cho PM = R. Chøng minh MOA = 450 .

TÝnh AM, AT , SM theo R.

T
M

S C D

B
P

? để chứng minh
PM.MA=MT.OA
ta cm điều gì .
? Gọi một hs cm

∠PMT =∠ AMO

? Gäi mét hs kh¸c cm

∠PMT =∠MAO

Gäi mét hs lên bảng
cm câu a.

? chng minh PM
= PT ta làm ntn

? Gäi hs kh¸c cm
PM = PS suy ra dpcm

? Khi PM = R hãy
nhận xét về đặc điểm
của PMO

HS trả lời : ta chứng
minh PMT đồng
dạng với  OM
HS đứng tại chỗ trả
lời câu hỏi của giỏo
viờn .

HS lên bảng làm bài .

Ta chứng minh
PMT cân tại P

HS chứng minh
SPM cân tại P

PMO vuông cân tại
M

a, ta có PMT +∠TMO=900

∠AMO +∠OMT=900 ( gãc néi tiÕp

chắn nửa đờng trịn).

⇒∠PMT =∠ AMO

L¹i cã

∠PTM=sdMC+sdBD

2 =

sdMB
2
mµ : ∠MAB=sdMB

2
suy ra ∠PMT =∠MAO

XÐt PMT vµ  OMA cã :

∠PMT =∠ AMO (cmt)

∠PMT =∠MAO (cmt)

vậy PMT đồng dạng với  OMA
suy ra:

OM=

MA ⇒PM . MA=OM . MT
b, ta cã

∠PMT =∠ AMO (cmt)

∠PMT =∠MAO (cmt)

mµ ∠AMO=∠ MAO ( Tính chất tam giác
cân )

PMT =MPT

--> PMT cân tại P --> PM = PT
lại có:

MSP +MTS=900
SMP+ PMT=900
MSP =SMP

SPM cân tại P --> PM = PS
VËy PS = PM = PT

c, PM = R PMO vuông cân tại M

MOP=450MOA=450

Bài 3 . Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp trong (O) .

Vẽ dây MN OA cắt AB , AC ở D và E .
Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp đợc

E
O

B C

A
D

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

thẳng có vị trí ntn vi
ng trũn .

? Để chứng minh tứ
giác BCED néi tiÕp ta
cm theo dÊu hiƯu
nµo .

? Gäi hs cm

ABC =AED

GV hớng dẫn hs hoàn
thành lời giải.

vi tip tuyn tại A.
Ta cm tổng hai góc
đối diện bằng 1800

HS ng ti ch trỡnh
by.

HSlàm theo yêu cầu
của giáo viên .

Ax OA

mà DE OA

Ax // DExAC =∠ AED (2 gãc slt b»ng
nhau)

mµ ∠xAC=∠ ABC (góc tạo bởi ....chắn cung
AC)_

ABC=AED

∠AED +∠DEC=1800 (2 gãc kÒ bï)
⇒∠ ABC+∠DEC=1800

XÐt tø gi¸c BCED cã :

∠ABC +∠DEC=1800

mà 2 góc này ở vị trí đối diện .

Vậy tứ giác BCED nội tiếp đờng trịn

GV cho hs lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo.

IV, H íng dÉn vỊ nhµ :

- Häc thuéc lÝ thuyÕt .

- Xem lại các vớ d ó cha .

- Hoàn thành các bài tập ë tµi liƯu kÌm theo .

Chun đề 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định

I, Mơc tiªu:

- Học sinh nắm đợc phơng pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng thờng gặp , phơng pháp
chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định thờng gặp .

- Vận dụng để giải các bài tốn thờng gặp trong các kì thi tuyn sinh.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

GV : soạn giáo án , lựa chọn bài tập
HS : Ôn lại kiến thức có liên quan .

III, Tiến trình bài dạy :

Hoạt động của

thày Hoạt động củatrò ghi bảng

? Khi 3 điểm thẳng
hàng thì chúng tạo
thành góc có số đo
bằng bao nhiêu .
GV nêu các cách
cm 3 điểm thẳng
hàng và giải thích
bằng hình vẽ.

GV hng dn hs
cách cm đờng
thẳng đi qua một
điểm cố định .

3 điểm thẳng
hàng tạo thành
góc có số đo 1800

HS ghi các cách
chứng minh3
điểm thẳng hàng
vào vở .

hs theo dõi giáo
viên hớng dẫn.

VI . Ph ơng pháp chứng minh ba điểm thẳng

hàng :

PP1: Chứng minh ba điểm đó tạo thành một
góc bẹt

PP2 : Dùng tiên đề ơclit

PP3: Dùng tính chất các hình đặc biệt :
chứng minh ba điểm đó tạo thành đờng
chéo của hình bình hành . đờng cao của
tam giác , đờng kính của đờng tròn …

VII. Ph ơng pháp chứng minh đ ờng thẳng đi 
qua một điểm cố định ;

PP1: Chứng minh đờng thẳng đó đi qua các
điểm cố định có sẵn : Trực tâm , trọng tâm của
tam giác hay tâm của đờng tròn cho trớc , trung
điểm của một cung cố định…

PP2: Chứng minh đờng thẳng đó cắt một
đoạn cố định tại một diểm chia theo tỉ lệ : VD
điểm M thuộc đoạn AB cố định mà MA = 2

3
MB

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn

tâm O có trực tâm H. Kẻ đờng kính AD của

(O) và gọi M là trung điểm của BC .

a, Chøng minh BHCD là hình bình hành và
H, M , D thẳng hàng .

b, Giả sử OM = R

2 Chứng minh OM
BC và tính độ dài đoạn AH.

c, Chứng minh H, G , O thẳng hàng và GH =
2GO ( G là trọng tâm tam giác ABC)

G
M

H O

B C

? để chứng minh 1
tứ giác là HBH ta
chứng minhđiều
gì.

? Gäi mét hs

chøng minh

BD//CH : BH//CD
để suy ra đpcm.
? Trong tam giác
AHM ; OM có vai
trị gì.

Ta cm tứ giác đó
có các cạnh đối
song song với
nhau .

HS lên bảng làm
bài.

OM l ng
trung bỡnh ca
tam giác AHM.

a, Ta cã :

ABD=900

⇒ BD AB mµ CH AB ( gt)

⇒ BD // CH ( quan hệ từ vng góc đên song
song )

tơng tự ta có : BH // CD ( quan hệtừ vng góc

đến song song )

XÐt tø gi¸c BHCD cã
BD // CH; BH // CD ( cmt)

Vậy tứ giác BHCD là hình bình hành.
b,

Ta có : OA = OD( bán kính đờng trịn (O))
MH = MD ( t/c hình bình hành )

⇒ OM là đờng trung bình của tam giác AHD

⇒ OM // AH ( t/c đờng trung bình )
mà AH BC (gt)

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

? Gọi một hs cm
OM là đờng tb của

tam gi¸c AHM HS lên bảng cm

lại có OM=AH

2 ( T/c đờng trung bình )
--> AH = 2OM = 2.R/2 = R.

c, ta có AM là đờng trung tuyến của tam giác
AHD có G là trọng tâm nên G nằm trên đờng
trung tuyến HO và HG = 2GO.

Bài 2: Cho đờng tròn (O;R) và đờng

thẳng xy cố định khơng có điểm
chung với (O) , lấy điểm M di động
trên xy , kẻ tiếp tuyến MP và MQ với
(O) , kẻ OH xy ở H , OH cắt dây
PQ ở I , OM cắt dây PQ ở K , Chứng
minh :

a, IO . OH = OK . OM = R 2
b, PQ luôn luôn qua một điểm cố
định

K
O

M
P

Q
H
I

? §Ĩ chøng minh
hƯ thøc dạng tích
có những cách nào
.

? Để chứng minh
OI.OH=OK.OM ta

lµm ntn.

Gọi hs làm câu a.
? Có nhận xét gì về
tích OI.OH và độ
dài của OH.

HS đứng tại chỗ
trả lời .

ta chứng minh
tam giác OKI
đồng dạng với
tam giác OHM

OI.OH không đổi
độ dài của OH
không đổi.

a, Ta có MP = MQ ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
tam giác MPQ cân tại M có MO là đờng phân
giác nên là đờng cao.

⇒ OM PQ t¹i K hay ∠ OKI = 900

áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vu«ng OPM cã
: OP2 = OK.OM = R2 (1)

XÐt tam giác OKI và tam giác OHM có
góc O chung

OKI = ∠ OHM = 900

Vậy tam giác OKI đồng dạng với OHM (g.g)

⇒ OI.OH = OK.OM (2)

từ (1) và (2) suy ra IO . OH = OK . OM = R 2
b, vì đờng thẳng xy cố định suy ra OH không đổi
suy ra OI không đổi mà O cố định suy ra I cố
định

Vậy đờng thẳng PQ luôn đi qua mt im c
nh.

Bài 7. Cho tam giác ABC néi tiÕp

trong đờng tròn tâm O . Kẻ MH , MI ,
MK lần lợt vng góc với các đờng
thẳng AB , BC , CA ở H, I , K ( M nằm
trên cung nhỏ AB)

a, Chứng minh tứ giác BHMI , MIKC
nội tiếp đợc trong một đờng tròn .
b, Chứng minh H, I , K thẳng hàng .

B C

K
I

? ta chøng minh tø
gi¸c BHMI néi
tiÕp nh thÕ nµo .

ta chøng minh
theo dÊu hiÖu thø
nhÊt.

a, Ta cã :

MH⊥ AB;MI ⊥BC; MK ⊥ AC ( gi¶ thiÕt)

∠ MHB = 900 : ∠ MIB = 900 ; ∠ MIC = 
900

∠ MIC = 900

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

GV gọi một hs lên
bảng chứngminh.

? để chứng minh 3
điểm H, I , K
thẳng hng ta lm

nh th no .

HS lên bảng làm
bài , cả lớp làm
vào vở.

HS chng minh 2
góc đối đỉnh
bằng nhau.

∠MHB+∠MIB=900 Mà hai góc này ở vị trí đối

diện . Vậy tứ giác BHMI nội tiếp đờng trịn đờng
kính MB.

XÐt tø gi¸c MIKC cã :

∠ MIC = ∠ MKC = 900

suy ra hai đỉnh kề nhau I và K cùng nhìn MC dới
một góc vng .

Vậy tứ giác MIKC nội tiếp đờng trịn đờng kính
MC.

Ta cã tø gi¸c BHMI néi tiÕp

suy ra ∠ BIH = BMH ( 2 góc nội tiếp cùng

chắn cung BH)

tơng tù ta cã ∠ KIC = ∠ KMC ( 2 góc nội
tiếp cùng chắn cung KC)

Mà ∠ BMH + ∠ BMC + ∠ A = 1800

∠ KMC + ∠ BMC + ∠ A = 1800

suy ra ∠ BMH = ∠ KMC

mµ IH vµ IK là hai tia chung gốc nằm trên hai nửa
mp có bờ là BC đi qua I .

Vậy H, I , K thẳng hàng.
GV cho hs làm bài tập áp dụng ë tµi liƯu.

IV, H íng dÉn vỊ nhµ:

- Học thuộc lí thuyết , xem lại các bài tập đã chữa.
- Làm các bài tập ở tài liệu kèm theo .

Chun đề 3. Bài tốn quỹ tích đơn giản

I, Mơc tiªu:

- HS nắm đợc các trờng hợp quỹ tích là đờng trịn và đờng thẳng hay gặp .

- HS biết xác định quỹ tích một điểm bằng cách xác định thử một vài vị trí của điểm đó từ đó
dự đốn đợc quỹ tích cần tìm .

- Tìm đợc quỹ tích của một điểm trong trờng hợp quỹ tích là đờng trịn , đờng thẳng.

II, Chn bị :

GV : Soạn giáo án , lựa chọn bµi tËp

HS : Ơn lại bài tốn quỹ tích cung cha gúc, n ngha ng trũn...

III, Tiến trình bài dạy :

Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bng

? Phát biểu bài toán
quỹ tích cung chứa
góc .

? Khi điểm M nhìn
AB dới 1 góc vuông
thì quỹ tích là hình gì.

GV hng dn 2 trng
hợp quỹ tích là đờng
thẳng .

HS đứng tại chỗ
phát biểu

HS trả lời : quỹ
tích là đờng trịn .

HS theo dâi gv
h-íng dÉn .

D¹ng 1: Q tích là đ ờng tròn

+ Chng minh cho AM có số đo khơng đổi mà
A cố định thì quỹ tích M là đờng trịn tâm A
bán kính AM.

+ Chứng minh AMB = 900 mà AB cố định thì 
quỹ tích M là đờng trịn đờng kính AB

+ Chứng minh AMB có số đo khơng đổi mà AB
cố định thì quỹ tích M là cung chứa góc dựng
trờn on AB

Dạng 2: Quỹ tích là đ ờng th¼ng

+ Chứng minh cho AM = MB mà AB cố định
thì quỹ tích M là đờng trung trực của đoạn
thẳng AB

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

nội tiếp trong đờng tròn (O) và M là điểm
di động trên cung nhỏ BC của đờng trịn
đó . Gọi D là hình chiếu của B trên AM
vàP là giao điểm của BD với CM .

b,Tìm quỹ tích của D khi M di động
trờn ng trũn (O)

B C

M
D

? Để chứng minh tam
giác BMP cân ta
chứng minh điều gì.
? Vì sao MD là phân
giác của BMP

? im D nhỡn đoạn
cố đỉnh nào dới một
góc vng khơng ,

Ta chứng minh
MD vừa là đờng
cao vừa là đờng
phõn giỏc .
HS tr li .

HS Điểm D nhìn
AB díi mét gãc
vu«ng .

Ta cã :

AMB = ∠ AMC ( hai gãc nt ch¾n 2
cung bằng nhau)

MD là tia phân giác của BMP

Trong Δ BMP có MD là tia phân giác lại là
đờng cao ⇒ Δ BMP cân tại M

Khi M di động trên đờng trịn (O) thì

ADB = 900 mà AB cố định . Vậy quỹ tích điểm
D là đờng trịn đờng kính AB.

Bài 7. Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính

AC và dây AB cố định . Điểm M di động
thuộc cung AB. Gọi I, J , K lần lợt là trung
điểm của AB, BC , MB và KP AM ở P.
a, Chứng minh K, P, J thẳng hàng

b, Chứng minh góc IKJ = 900 . Suy ra K 
luôn di động trên một đờng cố định

A C

B
M

I J

K
P

? để cm K, J, P thẳng
hàng ta làm nh thế
nào .

? Gäi hs chøng minh
KJ // MC; PK // MC
GV híng dÉn hs hoµn
thµnh lêi giµi.

? Gäi hs chøng minh
gãc IKJ = 900

Ta áp dụng tiên đề
ơclit.

HS đứng ti ch
chng minh .

HS theo dõi gv
chữa bài và ghi lời
giải vào vở.

HS lên bảng trình
bày .

a, Trong MBC cã :
MK = KB (gt)
CJ = JB (gt)

suy ra KJ là đờng trung bình của Δ MBC.
suy ra KJ // MC ( t/c đờng trung bình ) (1)
Lại có ∠AMC=900 ( góc nội tiếp chn na

đ-ờng tròn )

suy ra MC AM

lại có KP AM ( giả thiết )

suy ra PK // MC ( quan hệ từ vng góc đến
song song ) (1)

mà theo tiên đề ơ clit qua K chỉ có một đt song
song với MC .

Vậy K, J, P thẳng hàng.
b,

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

mµ KP AM suy ra KP IK suy ra
gãc IKJ = 900

vậy K luôn chuyển động trên đờng trịn đờng
kính IJ.

Bài 4. Cho đờng trịn (O) đờng kính AB.

Mét c¸t tun MN quay quanh trung ®iĨm
H cđa OB .

a. Chứng minh khi cát tuyến MN di động
thì trung điểm I của MN ln nằm trên
một đờng trịn cố định.

b. Tõ A kĨ Ax vu«ng gãc víi MN . Tia BI
cắt Ax tại C . Chứng minh BN = CM
c.T×m q tÝch cđa Ckhi MNquayquanh H.

O
A

B
H

N
I
C

? OI cã quan hệ gì với
MN, suy ra điều gì .
? Tứ giác BMCN là
hình gì .

GV hớng dẫn hs trình
bày lời giải

? Có nhận xét gì về
góc ACO.

GV hớng dẫn hs làm
bài.

HS trả lời :

OI MN

Tứ giác BMCN là
hình bình hành

HS theo dõi giáo
viên làm bài trên
bảng .

góc ACO = 900

HS làm theo hớng
dẫn của giáo viên .

a, Ta cã MI = IN ( gt)

suy ra góc OIH = 900 mà OH cố định vậy I ln
nằm trên đờng trịn đờng kính OH

Lại có OI MN ( cm trên )
AC MN ( gt )

OI // AC ( quan hệ từ vng góc đến song song)
Trong tam giác MCB có OI // AC ; OA = OB
suy ra BI = IC ( định lí đờng trung bình )
Xét tứ giác BMCN có :

BI = IC ( cm t)
IM = IN ( cmt)

suy ra tứ giác BMCN là hình bình hành
suy ra BM = CN ( t/c hình bình hành )
c, Trong tam giác BCO có IH là đờng trung
bình suy ra IH // CO

mµ IH AC suy ra CO AC

suy ra ACO = 900

Vậy quỹ tích C là đờng trịn đờng kính AO

GV cho hs làm bài tập áp dụng ở tài liệu kèm theo .

IV, H íng dÉn vỊ nhµ:

- Häc thc lÝ thuyÕt .

- Xem lại các bài tập đã chữa .
- Làm bài tập ở tài liệu kèm theo .

Chuyên đề 4. Bài tốn cực trị hình học

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

ợng hình học , hoặc xác định vị trí một điểm để một đại lợng hình học đạt cực trị .

- Nắm đợc các kiến thức vận dụng để giải toán là quan hệ đờng vng góc và đờng xiên; bất
ng thc i s....

II, Chuẩn bị :

GV : Soạn giáo án , lựa chọn bài tập
HS : ôn lại kiến thức có liên quan

III, Tiến trình bài häc ;

Hoạt động của thày Hoạt dộng của trò Ghi bảng

? Phát biểu quan hệ

đờng vng góc và
-ng xiờn.

? Định lí so sánh
đ-ờng kính và dây.

? Viết bất đẳng thức
côsi áp dụng cho 2 số
khụng õm.

HS ng ti ch phỏt
biu .

HS khác trả lêi .

HS lên bảng viết bất
đẳng thức cô si

I, KiÕn thøc cÇn nhí :

1, Quan hệ đờng vng góc và đờng xiên
+ Trong các đờng kẻ từ một điểm đến một
đờng thẳng đờng vng góc là đờng ngắn
nhất ( đờng xiên luôn lớn hơn đờng vuụng
gúc ).

+Trong một tam giác vuông cạnh huyền là
c¹nh lín nhÊt .

2, Định lí đờng kính :

Trong một đờng trịn đờng kính là dây
cung lớn nhất .

3, Bất đẳng thức cô si với hai số không âm
Với a, b khơng âm ta ln có

a + b ≥ 2 √ab
A +b ≤

√

2(a2+b2)

Bài 1, Cho tam giác ABC vuông tại A , đờng
cao AH . Gọi D , E theo thứ tự thuộc các
cạnh AC , AB sao cho DHE = 900 Tìm vị trí

của D, E để DE có độ dài nhỏ nhất .

B H C

E
I

GV híng dÉn hs lÊy
trung ®iĨm I cđa DE
? H·y so s¸nh IA,
IH , ID, IE

? H·y so sánh DE với
AH.

? DE = AH khi nào .

HS làm theo yêu cầu
của giáo viên .

IA = IH = ID = IE.

HS đứng tại chỗ trả lời .

Gọi I là trung điểm DE suy ra AI là đờng
trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam
giác vuông DAE

suy ra IA = ID = IE

tơng tự HI là đờng trung tuyến ứng với
cạnh huyền của tam giác vuông DHE
suy ra HI = IE = ID

suy ra DE = IA + IH

áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam
giác AIH ta có :

IA + IH ≥ AH
suy ra DE ≥ AH

Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là bằng AH khi
A, I , H thẳng hàng.

Bài 2, Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn
(O;R) , M là điểm chuyển động trên cung BC .
Trên đoạn thẳng MA lấy D sao cho MD = MB
vẽ đờng kính AE cắt BC tại H, MA cắt BC tại I .
Chứng minh:

a, MA = MB + MC

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

GTLN

B C

D
D

? tam giác BMD có
đặc điểm gì .

? §Ĩ chøng minh
MA = MB + MD ta
chứng minh điều gì .

? Gọi học sinh lên

bảng làm bài .

GV nhận xét bài làm
trên b¶ng

? GV hớng dẫn hs
tính để rút gọn tổng
MA + MB + MC.
? MA có độ dài lớn
nht khi no .

GV hoàn thành lời
giải cho hs .

HS trả lời : tam giác
BMD là tam giác đều .

Ta cần chứng minh đợc
MC = AD

Mét em lên bảng làm
bài , cả lớp làm ra nháp
.

HS theodõi giáo viên
h-ớng dẫn.

HS trả lời câu hỏi của
giáo viên .

a, Ta có :

ABC u (gt) ⇒ ∠ A = ∠ B =

∠ C = 600

L¹i cã ∠ ADB = ∠ C = 600 ( hai gãc nt
cïng ch¾n cung AB)

XÐt Δ BDM cã MD = MB (gt)
suy ra BDM cân tại M

li cú ∠ ADB = ∠ C = 600 ( cm trên )
suy ra Δ BDM đều .

Ta cã ∠ ABD + ∠ DBC = 600
∠ DBC + ∠ CBM = 600

suy ra ∠ ABD = ∠ CBD

XÐt ABD vµ MBC cã :

∠ ABD = ∠ CBD ( cm trªn )
BC chung

BD = BM ( t/c tam giác đều )

⇒ Δ ABD = Δ MBC ( c. g.c)

suy ra AD = MC ( 2 cạnh tơng ứng của hai

tam giác b»ng nhau) .

suy ra MA = MB + MC.
b,

ta cã MA + MB + MC = 2MA

để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất thì
MA đạt giá trị lớn nhât .

vì MA là dây cung nên MA có độ dài lớn
nhất khi là đờng kính.

Bµi 6 ,

cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB và M là
điểm thuộc nửa đờng tròn ấy (M khác A và B)
Từ A,B kẻ hai tiếp tuyến Ax ; By với nửa đờng
tròn âý . Tiếp tuyến của nửa đờng tròn tại M cắt
Ax ; By lần lợt tại C và D .

a, Chøng minh :
CD = AC + BD

b, Giả sử M chuyển động trên nửa đờng tròn
tâm O đờng kinh AB . Xác định vị trí của điểm

M để chu vi Δ ABM đạt GTLN A

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

bảng chứng minh
câu a.

GV chu vi tam giác
ABM lớn nhất khi
nào ?

GV hng dn hs áp
dụng bất đẳng thức
để tìm vị trí điểm M .

HS lên bảng chứng
minh câu a. Cả líp theo
dâi nhËn xÐt.

Chu vi tam gi¸c ABM
lín nhÊt khi AM + MB
lín nhÊt.

HS lµm theo híng dÉn
của giáo viên .

Ta có :

CA = CM ; DB = DM ( t/c 2 tiÕp tuyÕn c¾t
nhau)

CD = CM + DM = CA + BD
b,

Chu vi tam giác ABM là

AM + MB + AB vì AB khơng đổi nên để
chu vi tam giác ABM đạt giá trị lớn nhât
thì AM + MB lớn nhất .

l¹i cã :

(a+b )≤

√

2(a2+b2) (*)

áp dụng bất đẳng thức * ta có :
AM+MB≤

√

2(AM2+MB2)

⇔ AM+MB ≤

√

2 AB2=AB√2

suy ra AM + MB đạt giá trị lớn nhất là
AB √2 khi AM = MB.

khi đó M là điểm chính giữa của nửa đờng
trịn .

GV cho häc sinh lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo .

IV, H íng dÉn vỊ nhµ:

- Ơn lại phơng pháp giải.

- Xem lại các bài tập đã chữa
- Làm bài tập ở tài liệu kèm theo.

Chuyên đề 5. Luyện giải các bài tập hình học 9

I, Mơc tiªu:

- HS vận dụng đợc các phơng pháp chứng minh đã học để tìm phơng pháp chứng minh cho
một bài tập hình học lớp 9

- HS biết chuyển một tình huống cụ thể của bài tập về các dạng tốn có phơng pháp chứng
minh đã học .

II, Chn bị :

GV : Soạn giáo án , lựa chọn bài tập
HS : Ôn lại kiến thức có liên quan .

III, Tiến trình bài dạy :

Hot ng ca thày Hoạt động của trị Ghi bảng

Bµi1,

Cho Δ ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn (O) .
Trên cung nhỏ AB lấy một điểm D , trên dây DB
lấy điểm E , trên dây DC lấy điểm F sao cho BE
= CF chứng minh rằng :

a, AEF cân

b, Tứ giác ADEF nội tiếp

B C

A
D

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

? Để cm tam giác AEF
cân ta làm ntn.

? GV gäi mét hs chøng
minh AE = AF

? §Ĩ chøng minh tứ
giác ADEF nội tiếp ta
làm ntn .

GV gäi mét hs chøng

minh ∠ EDF =

EAF

GV hoàn chỉnh lời giải
bài toán .

Ta cm AE = AF

HS lên bảng làm bài

Ta cm tứ giác ADEF có
hai đỉnh cùng nhìn một
cạnh dới 1 gúc khụng
i .

HS lên bảng làm bài .
HS theo dõi giáo viên
nhận xét.

a, Xét AEB vµ Δ AFC cã
AB = AC ( t/c tam giác cân )

ABE = ACF ( 2 gãc nt cïng ch¾n
AD)

BE = CF ( gt)

⇒ Δ AEB = Δ AFC ( c.g.c)

⇒ AE = AF ( 2 cạnh tơng ứng của 2 tam
giác bằng nhau)

Vậy tam giác AEF cân tại A.
b,Ta có

AEB = Δ AFC ( chøng minh trªn)

⇒ ∠ EAB = ∠ FAC ( 2 gãc t¬ng øng
cđa 2 tam gi¸c b»ng nhau).

⇒ ∠ EAB + ∠ BAF = ∠ FAC +

∠ BAF

⇒ ∠ EAF = ∠ BAC

mµ ∠ BAC = ∠ BDC ( 2 gãc néi tiÕp
cïng ch¾n BC )

⇒ ∠ EDF = ∠ EAF ( = ∠ BAC)

XÐt tø gi¸c EDAF cã

∠ EDF = ∠ EAF ( cm trªn )

suy ra hai đỉnh kề nhau D và A cúng nhìn EF
dới một góc khơng đổi .

Vậy tứ giác ADEF nội tiếp đợc trong một
đ-ờng tròn .

Bài 2. Trong đờng tròn (O) nội tiếp tam giác
ABC với trực tâm H, M là một điểm bất kì trên
cung BC khơng chứa A.

a, Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình
bình hành .

b, Gọi các điểm đối xứng của M qua AB , AC lần
lợt là N , E. Chứng minh các tứ giác AHBN,
AHCE nội tiếp đợc .

c, Chøng minh ba điểm N, H , E thẳng hàng.

H O

C
A

? Khi tứ giác BHCM là
hình bình hành thì CM
và BH có quan hệ gì .
? Suy ra vị trí AM cú gỡ
c bit .

? Để cm tứ giác AHBN
nội tiÕp ta lµm nh

thÕnµo .

? GV híng dÉn hs
chøng minh AHB +
ANB = 1800

GV lu ý hs vận dụng
tính chất đối xứng khi
giải bài tốn hình học.

Khi đó CM // BH

KHi đó AM là đờng
kính .

Ta chứng minh tổng số
đo hai góc đối din
bng 1800

HS làm theo hớng dẫn
của giáo viên.

HS theodõi gv
h-ớngdẫn.

a, Để tứ giác BHCM là hình bình hành thì
CM // BH lại có BH AC ⇒ CM AC

⇒ ∠ACM=900 mµ ∠ ACM lµ gãc

néi tiÕp

nên AM là đờng kính của đờng trịn.

Vậy để tứ giác BHCM là hình bình hành thì
M đối xứng với A qua O.

b, Ta cã : ∠ HCB = ∠ HAB ( cïng phơ

víi ∠ ABC)

∠ HCA = ∠ HAC (Cïng phơ víi BAC)

Mµ ∠ AHB + ∠ HAB + ∠ HBA =

1800

⇒ ∠ AHB + ∠ HCB + ∠ HCA =

1800

⇒ ∠ AHB + ∠ ACB = 1800

lại có ACB = AMB (cùng chắn cung
AB)

∠ AMB = ∠ ANB ( t/c đối xứng )

⇒ ∠ AHB + ∠ ANB = 180

XÐt tø gi¸c AHBN có :

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

? Để cm 3 điểm H; N;
E thẳng hàng ta làm
nh thếnào .

GV hớng dẫn hstrình
bày lời giải .

Ta chng minh 3 diểm
đó tạo thành góc bẹt .
HS trình bày lời giải
vào vở .

Vậy tứ giác AHBN nội tiếp đợc .

tơng tự ta có tứ giác AHCE nội tiếp đợc .
c,

Ta cã:

∠ AHN = ∠ ABN ( cïng ch¾n cung
AN)

∠ ABN = ∠ ABM(t/c đối xứng )

⇒ ∠ AHN = ∠ ABM ( = ∠ ABN)

l¹i cã

∠ AHE = ∠ ACE ( cïng ch¾n AE)

∠ ACE = ∠ ACM ( t/c đối xứng )

⇒ ∠ AHE = ∠ ACM ( = ∠ ACE)

mµ ∠ ABM + ∠ ACM = 1800

⇒ ∠ AHB + ∠ AHE = 1800

Vậy 3 điểm N; H; E thẳng hàng.
Bài 3.Cho đờng tròn (O) với dây BC cố định

( BC < 2R) và điểm A trên cung lớn BC ( A
không trùng B và C , A không là điểm chính giữa
cung ). Gọi H là hình chiếu của A trên BC ; E và
F lần lợt là hình chiếu của B và C trên đờng kính
AA’.

a, Chøng minh r»ng HE AC

b, Chứng minh rằng tam giác HEF đồng dạng với
tam giác ABC

B C

A'
E

? §Ĩ cm HE AC ta
chøng minh điều gì.
GV gọi hs trình bày
cách giải.

? Để chứng minh Δ

HEF đồng dạng với

Δ ABC ta cm điều gì
.

GV hớng dẫn hs chứng
minh hai cặp góc tơng
øng b»ng nhau.

Ta chøng minh
HE //CA’

HS đứng tại chỗ trình
bày p2 giải .

Ta chøng minh

∠ EFH = ∠ ACB

∠ FEH = ∠ ABH

HS theo dõi gv hớng
dẫn và trình bày lời giải
vào vở .

a, Tø gi¸c AEHB néi tiÕp

∠ BAE = ∠ CHE ( cïng phơ víi ∠

BHE)

mµ ∠ BAE = ∠ BCA’ ( cïng ch¾n BA’)

⇒ ∠ CHE = ∠ BCA’

mµ 2 gãc nµy ë vÞ trÝ so le trong

⇒ HE // CA’
l¹i cã A’C AC

⇒ HE AC ( quan hệ từ vng góc đế
song song)

Tø gi¸c AHFC néi tiÕp

⇒ ∠ EFH = ∠ ACH ( cïng ch¾n

AH)

⇒ ∠ EFH = ∠ ACB

Tø gi¸c ABHE néi tiÕp

⇒ ∠ FEH = ∠ ABH ( cïng phơ víi
AEB)

XÐt Δ HEF vµ Δ ABC cã :
∠ EFH = ∠ ACB ( cm trªn )

∠ FEH = ∠ ABH ( cm trªn )

⇒ Δ HEF đồng dạng với Δ ABC
( g.g)

GV cho hs lµm bµi tËp vËn dơng ë tài liệu kèm theo .

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

- Ôn lại lý thuyÕt .

- Xem lại các bài tập đã chữa
- Làm bài tập ở tài liệu kèm theo .

Chuyên đề 6 Luyện giải các bài tập hình học 9

I, Mơc tiªu :

- Rèn kĩ năng vận dụng các phơng pháp chứng minh đã học để chứng minh bài tập hình học
có nội dung tng hp .

- Rèn kĩ năng trình bày lời giải .

II, Chuẩn bị :

GV : Soạn giáo án , lùa chän bµi tËp

HS : ơn lại các phng phỏp chng minh ó hc

III, Tiến trình bài häc :

Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng

Bài 1. cho hình thang cân ABCD ( AB //
CD ) nội tiếp đờng tròn tâm O . Các tiếp
tuyên tại A và D cắt nhau tại E, các tiếp
tuyến tại B và C căt nhau tại F . Gọi I là
giao điểm hai đờng chéo của hình thang
a, Chứng minh tứ giác AIDE nội tiếp
b, Chứng minh rằng ba điểm E, I , F thng
hng

c, EF cắt AD và BC ë K vµ H . Chøng
minh :

1
AB +

1
CD=

2
KH

K I

F
E

D B

A C

? Để cm tứ giác
AIED nội tiÕp ta
lµm ntn .

GV gäi hs chøng
minh

∠ AED + AID =
1800

? Cã nhËn xÐt g× vỊ
tø giác CIBE .
?Để chứng minh E;
I ; F thẳng hµng ta

Ta cm tổng số đo 2
góc đối din bng
1800

HS làm theo yêu
cầu của giáo viên.

HS trả lời : tứ giác
CIBE nội tiếp .

Ta chứng minh 3

a, ta cã AD = BC ( t/c hình thang cân)
AD = BC (liên hệ giữa cung và dây)
lại có :

AED=sdACD sdAD

2 =

sdAC+sdCB+sdBD sdAD
2

AED=sdAC+sdBD

2
mặt khác :

AID=sdAD +sdBC

AED+ AID=sdAC+sdBD+sdAD+sdBD

2 =180

Xét tứ giác AIED cã

∠ AED + AID = 1800( cmt )

mà 2 góc này ở vị trí đối diện vậy tứ giác AIED
nội tiếp.

Tơng tự ta có tứ giác CIBE nội tiếp đờng trịn
Ta có

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

GV gäi hs chøng
minh

∠ BIF + ∠ EIB

=1800

? Có nhận xét gì về
mối quan hệ giữa
HK và AB; CD
GV hớng dẫn hs áp
dụng hệ quả định lí
ta lét làm bài .

gãc bĐt .

HS ng ti ch cm

HS trả lời :
HK // AB

HS làm theo hớng
dẫn của giáo viên.

nhau)

BCF = BIF ( cïng ch¾n BF)

⇒ ∠ AIE = ∠ BIF

mµ ∠ AIE + ∠ EIB = 1800 ( 2 gãc kÒ bï )

⇒ ∠ BIF + ∠ EIB = 1800
VËy 3 ®iĨm E; I; F thẳng hàng .
c,

ta có : ABD = ∠ BIF ( = ∠ ADE)
mµ 2 gãc này ở vị trí so le trong

IH // AB // CD

áp dụng định lí ta lét ta có ;
IK
AB=
DI
DB;
IH
AB=
CI
AC;
IK
CD=
AI
AC;
IH
CD=
BI
BD
IK
AB+
IH
AB +
IK
CD+
IH

CD=
DI
DB+
BI
BD+
CI
AC+
AI
AC
⇔HK
AB +
HK
CD =2
⇔ 1
AB+
1
CD=
2
HK
Bài 2.

Cho đờng trịn (O) và một điểm P ở ngồi
đ-ờng tròn . Kẻ hai tiếp tuyến PA và PB (A, B là
các tiếp điểm ) . Từ A vẽ tia song song với PB
cắt (O) tại C ( C ≠ A) . Đoạn PC cắt đờng tròn
tại điểm thứ hai D . Tia AD cắt PB tại E .
a, Chứng minh  EAB đồng dạng với EBD
b, Chứng minh AE là đờng trung tuyến của
tam giác PAB.

D
O
P
A
B
C
E

? Để chứng minh 
EAB đồng dạng với
EBD ta làm nh thế
nào.

?  EAB đồng dạng
với EBD ta suy ra
hệ thức nào .

? §Ĩ cm AE là
đ-ờng trung tuyến của
tam giác PAB ta
chứng minh điều gì.

GV hớng dẫn hs
chứng minh

EP2=EA . ED suy

ta chøng minh theo
trêng hỵp g.g

suy ra

EB2 = EA . ED

ta chứng minh E là
trung điểm của PB

HS làm theo hớng
dẫn của giáo viên .

xét EAB và EBD cã

∠ E chung

∠ EBD = ∠ EAB ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung víi gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BD)

⇒  EAB đồng dạng với EBD ( g.g)
b,

ta cã:

 EAB đồng dạng với EBD ( cmt )

⇒ EB

ED=
EA

EB ⇒ EB

=EA . ED (1)
L¹i cã

∠ EPD = ∠ ACD ( 2 gãc so le trong b»ng
nhau)

mµ ∠ ACD = ∠ EAP ( gãc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung với gãc néi tiÕp cïng ch¾n AD)

⇒ ∠ EPD = ∠ EAP ( = ∠ ACD)

XÐt EDP vµ EDA cã :

∠ E chung

∠ EPD = ∠ EAP ( cmt)

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

ra điều phải chứng

minh EDEP =EPEA ⇒ EP2=EA . ED (2)

từ (1) và (2) suy ra E là trung điểm của PB hay AE
là đờng trung tuyến của tam giác PAB.

GV cho häc sinh lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo .

IV, H ớng dẫn về nhà :

- ôn lại lý thuyÕt .

- Xem lại các bài tập đã chữa
- Làm bài tập ở tài liệu kèm theo .

Chuyên đề 7 Ôn tập chung Phn i s

I, Mục tiêu :

- Ôn luyện phơng pháp giải các dạng toán.rút gọn, hàm số

- Hc sinh đợc huy động kiến thức tổng hợp nhằm tăng khả năng vận dụng linh hoạt kiến
thức cho học sinh

II, Chuẩn bị :

GV : Soạn giáo án, lựa chọn bài tập

HS :Ôn lại các dạng toán và phơng pháp giải.

III, Tiến trình bài dạy :

Hot ng ca

thy Hot ng ca trũ Ghi bng

? Để giải câu a ta
áp dụng kiến thức

nào .

Ta áp dụng hằng

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

? Để giải câu b ta
áp dụng kiến thức
nào.

GV cho hs giải
từng câu ra nháp
rồi hoàn thành
vào vở .

A =|A|

Ta đa thừa số ra
ngoài dấu căn.

HS làm theo yêu
cầu của giáo viên.

a) Biểu thức

(

2- 3

)

có giá trị là
A.

(

3 2-

)

B. 1 C.

(

2- 3

)

b) Nếu 25x- 4x =9 thì x bằng
A. 3 B. 9 C.

1
3

c)

12
3 =

A. 4 B. -4 C. 2 D. -2

d)

6. 18

3 =

A. 12 B . 6 C. 3 D . 9
GV cho hs lµm

bµi tËp 2.

? ĐK để 1 biểu
thức có nghĩa là .

GV gọi 1 hs lên
bảng trình bày .
cả lớp làm ra
nháp.

? rỳt gn biu
thc A ta làm ntn.
? Để quy đồng
mẫu ta làm ntn.

GV gäi hs lên
bảng trình bày .
? Để tính giá trị
của biểu thức tại
x = 4/9 ta làm
ntn.

GV hớng dẫn hs
làm câu d.

HS theo dừi bài
ở trên bảng .

Đk để 1 biểu thức
có nghĩa là căn
thức có nghĩa ,
mẫu thức khác 0
HS lên bảng trình
bày.

Ta quy đồng mẫu
thức rồi thu gn.

Ta phải phân tích
các mẫu thành
nhân tử.

HS lên bảng trình
bày.

Ta thay x = 4/9 vào
biểu thức vµ thùc
hiƯn phÐp tÝnh

HS lµm theo híng
dÉn cđa giáo viên.

BAỉI 2. Cho biu thc

A =

1 1

2 2 2 2

x
x
x- - x+ +

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A

c) Tính giá trị của A với x=
4
9

d) Tìm giá trị của x để

1
2

A =

Gi¶i

a) Điều kiện xác định là x  0 ; x  1

b) A=

(

) (

)

1 1

2 1 2 1

x
x
x- - x+ +

(

)(

)

(

)(

)

2 1

1 1 2 1

2 1 1 2 1 1

x

x x x

x

x x x x

-+ - + - =

=-+

- + - +

c) Thay x = 4/9 vµo biÓu thøc ta cã :

A=− 1:

(

√

9+1

)

− 1:

(

3+1

)

=−1 :

5
3=−

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

d)Giải phương trình

1 1

2
1

x

- =

+ ta có

1 1

2
1

x+ =

1 1

x+ = x + =1 2 (1) 
<-> <->

1 1

2
1

x+ =- x + =-1 2
Phương trình (1) cho nghiệm x =1 không thuộc
điều kiện xác định của hàm số

. Phương trình (2) vơ nghiệm
Vậy khơng có x để

1
2

A =

GV cho häc sinh
lµm bµi 3.

? Đồ thị hs cắt
trục hồnh tại

điểm có hđộ bằng
1,5 suy ra điều gì.
? Để giải câu a.ta
làm ntn.

? Đồ thị hàm số
đi qua điểm B ta
suy ra điều gì .
? Đồ thị hs song
song với đờng
thẳng y= √3 x
suy ra điều gì .
GV gọi một hs
lên bảng làm bài .

HS theo dõi đề bài
trên bảng.

Ta suy ra x = 1,5; y
= 0

Ta thay a=2,
x=1,5; y= 0 vaứo
haứm soỏ để tìm b.
suy ra x = 1;
y = √3+5

suy ra a= √3
Hs làm theo yêu
cầu của giáo viên .

Baứi 3

Cho hàm số y = ax + b. Xác định hàm số trong các
trờng hợp sau :

a, Đồ thị hàm số là đờng thẳng cắt trục hồnh tại
điểm có hồnh độ bằng 1,5 và có hệ số góc bằng 2
ẹồ thũ haứm soỏ y=ax+b caột trúc hoaứnh tái ủieồm coự
hoứanh ủoọ baống 1,5

b, Đồ thị hàm số đi qua điểm B( 1; √3+5 ) và song
song vớiđờng thẳng y= √3 x

Gi¶i

Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ
bằng 1,5 .

 x=1,5 ;y=0

Thay a=2, x=1,5; y= 0 vào hàm số ta có:
y=ax+b

 0=2.1,5+b
 b=-3

Vậy hàm số đó là y=2x-3

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;
3 5  x 1;y  3 5 )

Đồ thị hàm số y=ax+b song song với đường thẳng
y= 3x a 3;b 0

thay a= 3;x 1

y 3 5 vào phương trình y=ax+b


3 5 3.1 b
b 5

  

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Vậy hàm số y= 3x 5
GV Cho hs lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo.

IV, H ớng dẫn về nhà :

- Ôn lại kiến thức cũ.

- Xem lại các bài tập đã chữa .
- Làm bài tập ở tài liệu kèm theo.

Chuyên đề 8 Ơn tập chung phần hình học

I, Mơc tiªu :

- Rèn kĩ năng phân tích đề bài tìm lời giải cho bài tốn hình học ,chuyển về phơng pháp
chứng minh cơ bản thờng gặp .

- Rèn kĩ năng vẽ hình , trình bày lời giải .

II, Chuẩn bị :

GV : Soạn giáo án , lựa chọn bài tập .
HS : Ôn lại kiến thức cũ .

III, Tiến trình bài dạy :

Hot ng ca thày Hoạt động của trò Ghi bảng

Bài 1. Cho nửa đờng trịn đờng kính AB, lấy AC

và tia tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn (Bx trong
cùng nửa mp bờ AB với nửa đờng tròn ) Tia phân
giác của góc CAB cắt dâyBC tại F, cắt tiếp nửa
đờng tròn tại H, cắt Bx tại D. AC cắt By tại M.
a, Chứng minh FB = BD ; HF = HD .

b, Chứng minh tam giác HBD đồng dạng với
tam giác CAF.

c, Chøng minh AC.AM = AH.AD

H
F

A B

D
M

GV cho hs làm bài 1.
?Để cm : FB = BD ;

HS theodõi đề bài trên
bảng vàvẽ hình vào vở.
HS đứng tại chỗ phát

a, Ta cã

∠ CAH = HAB ( t/c tia phân giác )

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

HF = HD ta lµm ntn.
? GV gäi một hs lên
bảng cm tam giác
BDF cân tại B suy ra
®pcm.

? Vì sao tam giác
ACF và tam giác
BHD đồng dạng với
nhau.

? §Ĩ cm AC .AM =
AH.AD ta làm ntn.

GV gọi hs lên bảng
làm bài .

biểu.

Một em lên bảng làm
bài, cả lớplàm ra nh¸p .

HS ph¸t biĨu.

Ta ¸p dơng hƯ thøc lợng
trong tam giác vuông.

HS lên bảng làm bài.

⇒ ∠ FBH = ∠ HBD ( Gãc t¹o bởi tia
tiếp tuyến và dây với góc nội tiếp chắn 2
cung b»ng nhau)

⇒ BH là tia phân giác của ∠ FBD .
Δ BDF có BH vừa là đờng cao vừa là
đ-ờng phân giác nên Δ BDF cân tại B
⇒ BH còn là đờng trung trực của FD
⇒ FB = BD ; HF = HD ( t/c đờng trung
trực)

b, Ta cã

∠ ACB = 900 ; ∠ AHB = 900 ( góc nội 
tiếp chắn nửa đờng trịn)

XÐt vu«ng ACF và vuông BHD có

CAF = ∠ HBD( 2 gãc ch¾n 2 cung
b»ng nhau)

Vậy tam giác HBD đồng dạng với tam giác
CAF( g.g)

¸p dụng hệ thức lợng vào tam giác vuông
ABM có

AC.AM=AB2 (1)

áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vu«ng
ABD cã ;

AH.AD = AB2 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra

AC.AM = AH . AD ( = AB2)

Bài 2. Cho đờng tròn (O) lấy 3 điểm A, B, C.Gọi

M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa các cung

AB, BC và AC , BP cắt AN tại I ; MN cắt AB tại
E.

d, Gọi D là giao điểm của AN và BC. Chứng
minh AN

BN=
AB
BD

D
I

B C

N
M

? Để chứng minh tam
giác BIN cân ta làm
ntn.

Gọi một hs lên bảng
cm.

GV hng dn hs ỏp
dng t/c ng phân
giác cm câu b.

Ta chøng minh

∠BIN =∠IBN

HS lªn bảng làm bài.

HS làm theo yêu cầu
của giáo viên.

a, Ta có M, N, P theo thứ tự là điểm chính
giữa các cung AB; BC ; AC nên ta cã :
AM = MB; AP = PC ; BN = NC

L¹i cã :

∠BIN=SdBN +SdAP

2 =

SdPC+SdNC

2 =

SdPN
2

∠IBN=SdPN

⇒∠BIN =∠IBN

(

SdPN

)

VËy tam giác BIN cân tại N.

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

? Để cm EI // BC ta
cm điều gì .

GV hớng dẫn hs
chứng minh tam giác
EIB cân suy ra đpcm.

Để cm AN

BN=
AB
BD ta
lµm ntn.

GV gäi mét hs lên
bảng làm bài.

ta chứngminh 2 góc so
le trong b»ng nhau .

HS theo dâi gv híng
dÉn vµ ghi lời giải vào
vở.

Ta chng minh 2 tam
giỏc ng dng.

HS lên bảng làm bài.

EB =BN EA . BN=AN . EB
c,

Ta cã :

AM = BM ( cmt )

⇒ ∠ ANM = ∠ BNM ( 2 gãc nt ch¾n

2 cung b»ng nhau)

⇒ NM là đờng phân giác trong tam giác
cân BNI nên còn là đờng trung trực

⇒ EI = EB ( tc ng trung trc)

Tam giác EIB cân tại E

∠ EBI = ∠ EIB ( t/c tam gi¸c cân )
mà EBI = IBC ( 2 gãc nt ch¾n 2
cung b»ng nhau)

⇒ ∠ EIB = IBC

mà 2 góc này ở vị trÝ so le trong

⇒ EI // BC .
d,

XÐt Δ ANB vµ Δ BND cã :

∠ NBD = ∠ NAD ( 2 gãc nt ch¾n 2
cung b»ng nhau)

∠ N chung

Δ ANB đồng dạng với Δ BND ( g.g)

⇒AN

BN =
AB
BD

? Để chứng minh 1 tam giác là cân ta làm nh thế nào.
? Để cm 2 tam giácđồng dạng ta làm ntn.

? §Ĩ cm hƯ thức dạng tích ta làm ntn.

? cm 2 ng thẳng song song ta làm ntn.

GV cho hs lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo

IV, H íng dÉn về nhà :

- ÔN lại kiến thức cũ

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54></div>

ON THI TUYEN SINH LOP 10

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

√

√

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

√

√

√

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

<sub></sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>