VE MOT DINH NGHIA KHAC CUA KHONG GIAN SOBOLEV

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (244.5 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

VỀ MỘT ĐỊNH NGHĨA KHÁC CỦA KHÔNG GIAN SOBOLEV 
Vũ trọng Lưỡng

Khoa Toán

Abstract. Sobolev spaces take an important part in studying the model partial differential equations. Hence, 
in this paper, I introduce other definition of distributional partial derivatives and Sobolev spaces W2(Ω),Ω

0 m

is an open and bounded domain in EclideanRn (in particular, W (0,1),W (0,1)).

2
2
0
1

2
0

Tóm tắt. Trong phương trình đạo hàm riêng hiện đại, thì vấn đề tìm nghiệm thơ của các bài tốn, được hiểu 
là nghiệm suy rộng trong khơng gian Sobolev. Sau đó tìm một số điều kiện để làm trơn nó để nó trở thành
nghiệm cổ điển. Do vậy việc nghiên cứu các không gian Sobolev đóng vai trị vơ cùng quan trọng trong lí thuyết
phương trình đạo hàm riêng hiện đại.

Trong bài viết này tôi đưa ra một cách định nghĩa khác của đạo hàm riêng suy rộng như một cách thác
triển đóng một cách tự nhiên của các tốn tử vi phân (khả đóng) và từ đó đưa ra một cách định nghĩa khác của

không gian Sobolev W0 1 Rn W0 1

2 (Ω Ω), là một miền mở, bị chặn trong , (đặc biệt là các không gian 2 (0,

1), W0 2

2 (0, 1)).

1. Tốn tử đóng - khả đóng. 
1-1 Tốn tử đóng.

B B2 J B1

Định nghĩa 1. , là hai không gian Banach, là một không gian con của , tốn tử 
tuyến tính T :B1→ B2 được gọi là tốn tử đóng trên nếu giả sử J

{ }

)
n
(
B

v
Tu

B
u
u
,
J

2
n

1
n

n →∞

⎪⎩
⎪
⎨
⎧

∈
→

∈
→
⊂

∞

= u∈J

thì và

Tu
v=
 Chú ý:

}

{

( , ): ∈J
= u Tu u

G B1×B1.

+) đóng tương đương đồ thị T là đóng trong

B
J J

+) - bị chặn trên , - đóng trong T suy ra - là tốn tử đóng. T

Ví dụ: Tốn tử đóng nhưng khơng bị chặn

]

[ ⊂

C

[ ]→

C

dx
d

1
,
0
1

1
,
0
:

C

[0,1 ]

dx
du

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

* Giả sử T bị chặn, suy ra ∀C >0:||Tu||C[0,1] ≤C||u||C[0,1] lấy dãy

được xác định như sau

}

[ ]

{

1
,
0

C

vn ⊂

n
x
x
v

n

n( )= trên

[

0,1

]

,n≥1 || || [ ] 1 || || [ ] 0( )(
)

( = 1 ⇒ 0,1 = ≤ 0,1 = → →∞

⇒ − n

n
C
v

Tv
x

x

Tv n n C n C

n vô lý).

* đóng T

] ]

]

1 1

0,1 0,1 0,1

0,1

: ( ) trong / 0,1 ( )

( ) trong / 0,1 ( )

n n n

n n

u C u u n C u u n u C

Tu u n C Tu u n Tu v

⎡ ⎡ ⎡

⎣ ⎣ ⎣

⎡⎣

⎧ ∈ → → ∞ ⎧ → ⎡ → ∞ ⎧ ∈

⎪ ⇔⎪ ⎣ ⇔

⎨ → → ∞ ⎨

⎡

→ → ∞ ⎪ =

⎪ ⎪⎩ ⎣ ⎩

⎩

suu
suu

⎪
⎨

1-2 Tốn tử khả đóng.

B B2 J B1

Định nghĩa 2. , là hai không gian Banach, là một không gian con của , tốn 
tử tuyến tính T : B1→B2 được gọi là tốn tử khả đóng trên J ⊂ B1 nếu tồn tại B1⊃ J− ⊃J 
và toán tử T− :B1 →B2 sao cho đóng trên và T− J− T− |J=T.

Mệnh đề 1. khả đóng khi và chỉ khi nếu T un ∈J,un →0,Tun →v∈B2(*)⇒v=0.

−

T J−'→B2

−
⊂ 'J

J T− |'J=T,

Chứng minh. T khả đóng ⇒ sao cho : đóng, giả sử

−
−

−

∈
→
=

∈ 0 J∈ '− v= 'T− 0=0

→
⊂

∈J J ,'u 0 B1,T'u Tu v B2,T'

un n n n đóng, suy ra và .

s

T Ts

Ngược lại: Chúng ta định nghĩa như sau (và gọi là cái mở rộng đóng nhỏ
nhất của ). T

{

: ,

}

( )

)

(T u B1 v B2 u D T

D s = ∈ ∃ ∈ ∃ n ⊂ sao cho un →u trong B1 và tồn tại

}

B

v

Tun → ∈

Đặt Tsu=v.

Do điều kiện (*) thì là xác định duy nhất. Bây giờ ta chứng minh đóng. Cho v Ts

}

{

( )

* x DT

N

n∈ ∀ n ∈

v
T

B
u
T

D s n n

n∈ ω → ∈ ω →

ω ( ), 1, khi đó mỗi sao cho

.
1
||
||

n
xn

n − <
ω

ω
ω

ωn − s n < ⇒xn →

n
T

T || 1

|| và LimTωn =LimTsωn =v=Tω,ω∈D(Ts).

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ω
Ω),
(

L Rn,

Ta gọi là một miền mở và bị chặn trong là khơng gian các hàm khả
tích (Lebesgue) bình phương trên Ω (

∫

)
(
C
);
dx
|
)
x
(
f

| 2 <+∞ 0∞ Ω là khơng gian những hàm

khả vi vơ hạn có giá compact trong Ω, C∞(Ω) là không gian các hàm khả vi vơ hạn trên Ω. 
Xét tốn tử vi phân:

T: C0∞(Ω)→L2(Ω)

∑

≤
≤
=
m

u
D
a
Tu
u
|
|
0 α
α
α
a

trong đó là tập mở đa chỉ số và α =(α1,α2,...,αn)
,
...
,
...
|
|
1
1
|
|
2
1 n
n
n
x
x

Dα α α α

α
α
α
α
∂
∂
∂
=
+
+
+

= đặt J =C0 (Ω),a ∈C (Ω),∀| |≤m.

∞

∞ α

Mệnh đề 2. T là toán tử khả đóng.

{ }

⊂ (Ω): →0

⇔ ∞

n

n C u

u

Chứng minh. Ta phải chứng minh trong và

trong
)
(
2 Ω
L
)
(
2 Ω

L ⇒ v =0.

v

Tun →

Thật vậy:

∑ ∫

≤
≤ Ω
∞ Ω =
∈
∀ Ω
m
L

n a D u x x dx

Tu
C

|
|
0

0 ( ):( , ) 2( ) ( ) ( )

α
α
α ϕ
ϕ
ϕ

∑

∫

≤
≤ Ω
−
m

nD u x x dx

u
|
|
0

)
(
)
(
)
1
(
α
α
α ϕ

∑

∫

≤
≤ Ω
−
=
m n
dx
x
x
u
D
x
u
|
|
0
|
| ( ) ( ) ( )
)
1

(
α
α
α ϕ
=

∑

≤
≤
∞
→
→
−
= Ω

m n L

n
a
D
u
|
|
0
|

| ( , ( )) 0( ).

)
1

( 2( )

α α
α
α ϕ
.
0
)
(
,
0
)
,
(
),
(
0
)
,

( → →∞ = ∀ ∈ 0 Ω ⇒ =

⇒ Tu n v C∞ v

n ϕ ϕ ϕ

Đặt toán tử (liên hợp hình thức của T )

T*:C0∞(Ω)⊂L2(Ω)→L2(Ω)

∑

≤
≤
−
=
m
v
a
D
v
T
v
|
|
0
|
| ( )
)
1
(
*
α α
α
α
a

Nhận xét 1. Theo cơng thức tích phân từng phần ta có 
).
(

,
,
)
*
,
(
)
,

( 2( ) = 2( ) ∀ ∈ 0∞ Ω

Ω vT v C

Tv ϕ L ϕ L ϕ

*Thác triển mạnh Ts :

{

u L v L

{ }

u C J

Js = ∈ Ω ∃ ∈ Ω ∃ n ∞n ⊂ ∞ Ω =

= ( )

),
(
:

)

( 2 1 0

2 sao cho nếu trong

và tồn tại trong

u

un →

}

.
)
(
2 Ω
L
)
(
2 Ω

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

)
(
:J → L2 Ω

Ts s

Đặt

v
u

T

ua s =

Theo mệnh đề 1 thì là một thác triển đóng của Ts T.
*Thác triển yếu Tω:

{

∈ 2(Ω):∃ ∈ 2(Ω):( , * )=( , ),∀ ∈ 0 (Ω)

}

= u L v L u T v C∞

Jω ω ω ω

Khi đó đặt (Tw =v)

( )

Ω
→L2

Tw: Jw

v
u=
a

u Tw

(u,T*w)= ((T v w ,

w , ) ∀w∈C0∞

( )

Ω ).

Mệnh đề 3. Tw cũng là tốn tử đóng trên Lwvà là thác triển đóng của T.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử

{ }

vn ⊂Jw:vn →u∈L2(Ω) và Twun →v∈L2(Ω)

n
w
f
T
v
L
f
J

un∈ w ⇒∃ ∈ 2 :( n, w)=( , ),∀ cho qua giới hạn và do tính liên tục của giới
hạn của tích vơ hướng ta có (u,T*w)=(f,w)(1)

w

J
u∈

⇒ .

Theo định nghĩa của Twta có:

( = (

và từ (1) do định nghĩa của ta có
và theo nhận xét của 1 thì

→
)
, w

v
Tw n

)
, *

w
T
vn

w

T
f

v
C
w
w
f
w
v
C

w
w

v ∀ ∈ ∞ Ω ⇒ = ∀ ∈ ∞ ⇒ =

0
0 ( ) ( , ) ( , ),

),
,
(

T
Tw J ≡

u
T

f = w .

Mệnh đề 4. là thác triển đóng cực tiểu của Ts T .

Chứng minh. Giả sử T là một thác triển đóng của T

)
(

2 Ω

L

J ⊂J,T:J →

u a Tu,T J =T

−

T

{ }

⊂ 0 (Ω)⊂ : → ∈ 2(Ω)
∃

⇒

∈J u C∞ J u u L

u s n n

Giả sử và Tun →v=Tsu vì đóng

⎪⎩
⎪
⎨
⎧

=
⊂
⇒

s
J
s

T
T

J
J

|
⎪⎩

⎪
⎨
⎧

∈
=

u
v
u
T

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

s

T

⇒ là thác triển cực tiểu của T. Như vậy hoặc Tω là thác triển của hoặc Ts Tω =Ts.
Nhận xét 2. Nếu aα là hằng số thì Tω =Ts.

Thật vậy:

Jω =

{

u∈L2(Ω):∃v∈L2(Ω),(u,T*ω)=(v,ω),∀ω∈C0∞(Ω)

}

{

∫ ∑

∫

}

Ω ≤ Ω Ω

=
−

Ω
∈
∃
Ω
∈
=

1
|
|

|
|
2

2( ): ( ), ( 1)

α uD ωdx vωdx

L
v
L

u

a là hằng.

)
,
(
)
*
,
(
:
)
(

Jω ω C u T ω v ω

u∈ ∀ ∈ ∞ Ω = hay:

∫

∑

∫

Ω ≤ Ω

=
−

m

dx
x
x
v
dx
x
a
D
x

u

|
|

| ( ) ( ) ( )

)
1
(
)
(

α α

α ω ω

)
(

2 Ω

L

Vì C0∞(Ω) trù mật trong (theo chuẩn của L2(Ω))⇒∃un ∈C0∞(Ω) sao cho

).
(

0
||

||un −u → n→∞
Mặt khác:

| |

n n n n

| | m | | m

(Tu , ) a D u (x) (x)dxα α u (x) ( 1) D (aα α α )dx (u ,T * ) (u,T * ) (v, )

α α

ω ω ω ω

≤ ≤

Ω Ω

∫

∑

∫

∑

− = → ω = ω

Hay

trong

v
Tu
C

v
Tu
Lim
C

v
T

u
Tu

Lim n n

n
n

n = = ∀ ∈ Ω ⇒ − = ∀ ∈ Ω ⇒ →

∞
∞

→
∞

∞

→ ( ,ω) ( , *ω) ( ,ω), ω 0 ( ) ( ,ω) 0, ω 0 ( )

).
(

2 Ω

L

Vậy u∈Jω,Tωu=v=Tsu do đó Tω =Ts.
3. Định nghĩa đạo hàm suy rộng theo một cách khác.

Xét toán tử vi phân

T:C0∞(Ω)→L2(Ω)

∑

≤
α
≤

α
α
=

m
|
|
0

u
D
a

u a

),
(
C
u
,
m
|
|
,
0
a
,
1

am = = ∀ α < ∈ 0∞ Ω

α gọi Tω(m) là thác triển yếu của T và là tập

xác định tương ứng của nó.

)
(m

Jω

)
(

2 Ω

∈ L

v

Định nghĩa 3. Nếu tồn tại sao cho thì

được gọi là đạo hàm suy rộng cấp của .

),
(
,

)
,
(
)

*
,

( 2( ) = 2( ) ∀ ∈ 0∞ Ω

Ω v C

T

u ω L ω L ω

m u

u
T
u

T m

s
m) ( )

( =

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Định nghĩa 4. Ta gọi

I

với chuẩn 
m
J
≤
=
Ω
|
|
)
(
m
2

0
)
(
W
α
α
ω

∑

≤
Ω
Ω
=
m
L
u
T
u m
|
|
2
1
)
(
2
)
(
)
(
W
)

||
||
(
||
|| 2
2
0
α
α
ω
 
m

là khơng gian các hàm có đạo hàm suy rộng đến cấp và tất cả các đạo hàm này đều thuộc

).
(
2 Ω
L
)
1
,
0
(
)
1
,
0
(

: 0 2

)

( C L

dx
d

T = α ∞ →

α , 1,2.

dx
u
d
Tu

u = α α=

Ví dụ: ;

)
(α

T 0 (0,1)

∞
= C

J

khả đóng trên theo mệnh đề 1.

)
(α
ω

T T(α)

Gọi là các thác triển đóng của và

}

{

u L v L

{

un

J = ∈ 2(0,1):∃ ∈ 2(0,1),∃
)

(α

ω ⊂ 0 (Ω)→ ∈ 2(Ω)

∞ u L

C và là tập

xác định của nó.

}

u
T
v
Tun
)
(α
ω
=
→
≡
)
1
,
0
(
W
2
2
0

Như chúng ta đã biết định nghĩa không gian: bao đày của không gian
 dưới chuẩn:

)
(

0∞ Ω

C

∑∫

≤ ∈
=
2
1
0
2
2
0
2
1

2 ) , W (0,1)

|
|
(
||
||
α α
α
u
dx
dx
u
d
u

(*)
)
1
,
0
(
W
2
2
0
∈
u

(xem [1], [3]). Như vậy với thì tồn tại một dãy Cauchy trong

trong

{

uj

}

)
1
,
0
(
0∞

C theo chuẩn (*) hội tụ tới u . Khi đó

{

uj

}

{

}

dx
duj

, là dãy

Cauchy trong

}

2
2
dx
u
d j

{

α
α
dx
u
d j
)
1
,
0
(
),
1
,
0
( 2
2 L

L đầy ⇒ hội tụ trong L2(0,1),α =0,1,2 ta gọi giới hạn
của chúng tương ứng là vα,α =0,1,2(v0 =u). Có nghĩa là:

∫

− → →∞
=
− 1
0
2
)
(
)
1
,
0

( | 0( ).

)
(
)
(
|
||
||

2 dx dx j

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

u

,
2

,
1
,
0
,α =

v

Như vậy các giống như là các đạo hàm suy rộng của mà ta đã

định nghĩa ở trên. Hay

{

}

0 (0,1)

|
),

1
,
0

( j L

j C u u

u ⊂ →

∃ ∞

)
1
,
0
(

L

u∈ và và

.
)

1
,
0
(
W
,
)

1
,
0
(

W 2 (1) (2)

2
0
)
1
(
1

2
0

ω
ω

ω J J

J = ∩

=
2

,
1
),

1
,
0
(
2

)
(
)

(α = α ∈ ∀α =

ω u v L

T và

TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] R.A.Sobolev Spaces Acedemic Press 1975.

[2] Hille – E Phillips – R.S Funtion Analysis and Semi groups, colloq Pube.Amer,
Math Soc. 1975.

</div>

VE MOT DINH NGHIA KHAC CUA KHONG GIAN SOBOLEV

{ }

}

{

<i>C</i>

<i>C</i>

<i><sub>C</sub></i>

}

{

[

]

]

]

{

{

}

}

}

{

∫

∑

{ }

∑ ∫

∑

∫

∑

∫

∑

∑

{

{ }

}

{

}

( )

( )

{ }

{ }

{

}

{

<sub>∫ ∑</sub>

<sub>∫</sub>

<sub>∫</sub>

}

∫

∑

∫

∫

∑

∫

∑

∑

<sub>I</sub>

∑

}

{

{

}

∑∫

{

}

{

}

{

}

}

{

∫

{

}

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về