ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
YUZ

VƯƠNG HOÀI NAM

ẢNH HƯỞNG NÚT CỨNG VÀ HIỆU ỨNG P- Δ
ĐẾN DAO ĐỘNG CỦA DÀN
( THEO MÔ HÌNH CHÍNH XÁC )

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DD&CN
MÃ SỐ NGÀNH : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP.HỒ CHÍ MINH, THÁNG 3 NĂM 2005


Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
-----o0o-----

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên : VƯƠNG HOÀI NAM
Ngày tháng năm sinh :
06/04/1977.

Chuyên ngành :
XÂY DỰNG DD & CN.

Phái : nam.
Nơi sinh : Hà Nội.
Mã số ngành : 23.04.10

I - TÊN ĐỀ TÀI :

ẢNH HƯỞNG NÚT CỨNG VÀ HIỆU ỨNG P-Δ ĐẾN DAO ĐỘNG CỦA DÀN
( THEO MÔ HÌNH CHÍNH XÁC )
II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG.

1. Nhiệm vụ :
Trình bày lý thuyết phương pháp độ cứng động lực học (the Dynamic direct
Stiffness Method – DSM ) tính toán dao động kết cấu thanh thẳng có kể đến ảnh
hưởng của lực dọc. Khảo sát những ví dụ tính toán cụ thể và rút ra nhận xét.
2. Nội dung :

Luận văn gồm 6 chương :
Chương 1 Giới thiệu tổng quan
Chương 2 Phương trình dao động của thanh dàn
Chương 3 Phương pháp ma trận độ cứng động lực học
Chương 4 Dao động của kết cấu dàn phẳng
Chương 5 Các ví dụ tính toán dao động kết cấu phẳng
Chương 6 Nhận xét và kết luận
III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:

Ngày 01 tháng 07 năm 2004


IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

Ngày 31 tháng 03 năm 2005

V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN.
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM NGÀNH

BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

PGS.TS. ĐỖ KIẾN QUỐC.

Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.
Ngày …… tháng…… năm 2005.
PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC.

KHOA QUẢN LÝ NGÀNH.


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học :

PGS.TS. ĐỖ KIẾN QUỐC.

Cán bộ chấm nhận xét 1 :


Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc só được bảo vệ tại :
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày ……………………tháng ……………………naêm 2005


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên em xin tỏ lòng biết ơn đến thầy hướng dẫn PGS. TS Đỗ Kiến Quốc,
Thầy đã đưa ra ý tưởng đầu tiên để hình thành, phát triển luận án. Trong
quá trình thực hiện, Thầy luôn hướng dẫn tận tình, Thầy đã hướng dẫn từ
những bước đi ban đầu để hình thành đề tài đến những nội dung chính yếu của
đề tài mà em thực hiện, đưa ra những lời khuyên rất quý báu, chỉ ra những
phương pháp nghiên cứu và định hướng để em có thể hoàn thành được vấn
đề nghiên cứu của luận án. Một lần nữa, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vì
tất cả những gì Thầy đã dành cho em.
Em xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu trường Đại Học Báck Khoa, Khoa
đào tạo sau đại học, Khoa kỹ thuật xây dựng và tất cả các Thầy – Cô đã
tổ chức, tận tâm giảng dạy và trực tiếp truyền đạt những kiến thức q
báu, những phương pháp tư duy, cũng như kinh nghiệm thực tiễn, là những hành
trang ban đầu không thể thiếu trên con đường khoa học của em sau này.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cám ơn Gia đình, những người thân yêu và đồng
nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời
gian học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Chân thành cảm ơn


GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 3


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

TÓM TẮT LUẬN VĂN
Tên đề tài :

ẢNH HƯỞNG NÚT CỨNG VÀ HIỆU ỨNG P- Δ
ĐẾN DAO ĐỘNG CỦA DÀN
( THEO MÔ HÌNH CHÍNH XÁC )
Việc tính toán dao động của kết cấu là một bài toán quan trọng trong nhiều
ngành kỹ thuật, các kiến thức về lý thuyết dao động ngày nay trở thành một bộ
phận không thể thiếu được trong tổng thể các kiến thức cần phải trang bị cho người
kỹ sư, môn học dao động kỹ thuật đã được đưa vào chương trình giảng dạy ở hầu
hết các trường đại học kỹ thuật.
Luận văn trình bày phương pháp độ cứng động lực học (the Dynamic direct
Stiffness Method – DSM ) áp dụng vào tính toán dao động của hệ kết cấu dàn, ưu
điểm của phương pháp này là tính toán chính xác quá trình động trong kết cấu, tính
tần số dao động riêng, chuyển vị và phản ứng động của kết cấu công trình mà trước
đây chỉ giải quyết bằng phương pháp gần đúng. Trong phạm vi luận văn, tác giả
trình bày phương pháp tính toán xác định dao động cho phần tử thanh chịu kéo
( hoặc nén ) và chịu uốn trong hai trường hợp : cơ bản và có ảnh hưởng của lực dọc
( hiệu ứng P-delta ). Sau phần trình bày lý thuyết, tiến hành tính toán và khảo sát
dao động qua những ví dụ cụ thể, bắt đầu từ những ví dụ cơ bản mang tính đặc
trưng cho các phần tử thanh đến những ví dụ có mức độ phức tạp cao hơn để phân

tích và đánh giá bằng phương pháp đã được trình bày, và kết quả được so sánh với
phần mềm ANSYS (phần mềm được xây dựng theo phương pháp PTHH )
Luận văn gồm 6 chương :
Chương 1 Giới thiệu tổng quan
Chương 2 Phương trình dao động của thanh dàn
Chương 3 Phương pháp ma trận độ cứng động lực học
Chương 4 Dao động của kết cấu dàn phẳng
Chương 5 Các ví dụ tính toán dao động kết cấu phẳng
Chương 6 Nhận xét và kết luận

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 4


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

MỤC LỤC
Lời cảm ơn

3

Tóm tắt luận văn

4

Mục lục


5

Chương 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1.1 Giới thiệu chung

8

1.2 Phương pháp ma trận độ cứng

10

1.2.1 Bậc tự do và chuyển vị của kết cấu

10

1.2.2 Lực tác dụng lên hệ kết cấu dàn phẳng

11

1.2.3 Ma trận độ cứng của phần tử kết cấu thanh

11

1.2.4 Ma trận độ cứng của hệ kết cấu

12

1.3 Biên độ phức của dao động

13


Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA THANH DÀN
2.1 Dao động dọc của thanh

15

2.1.1 Phương trình dao động dọc của thanh

15

2.1.2 Phương trình vi phân dao động dọc của thanh dưới
dạng biên độ phức

16

2.2 Dao động uốn của thanh trường hợp cơ bản

16

2.2.1 Phương trình dao động uốn của thanh

16

2.2.2 Phương trình vi phân dao động uốn của thanh dưới
dạng biên độ phức

18

2.3 Dao động uốn của thanh có kể đến ảnh hưởng của lực
dọc ( Hiệu ứng P-delta )


19

2.3.1 Phương trình dao động uốn của thanh có kể đến
ảnh hưởng của lực dọc

19

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 5


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

2.3.2 Phương trình vi phân dao động uốn của thanh có kể
đến ảnh hưởng của lực dọc dưới dạng biên độ phức

20

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC HỌC
3.1 Ma trận độ cứng biến dạng dọc trục động lực học
( Dynamic Axial-Deformation Stiffness Matrix )

21

3.2 Ma trận độ cứng uốn động lực học trường hợp cơ bản
( Dynamic Flexural Stiffness Matrix )


24

3.3 Ma trận độ cứng uốn động lực học có kể đến ảnh hưởng
của lực dọc ( Hiệu ứng P-delta )
( Axial-Force Effects on Transverse-Bending Dynamic
Stiffness Matrix )

30

Chương 4 DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU DÀN PHẲNG
4.1 Ma trận độ cứng động lực học của phần tử thanh

40

4.1.1 Ma trận độ cứng của phần tử thanh dàn trong hệ
tọa độ địa phương

40

4.1.2 Ma trận độ cứng của phần tử thanh dàn trong hệ
toạ độ tổng thể

41

4.2 Ma trận độ cứng, vectơ biên độ phức của lực và vectơ
chuyển vị của kết cấu dàn phẳng

43


4.2.1 Ma trận độ cứng, vectơ biên độ phức của lực và
chuyển vị của hệ kết cấu thanh tự do

43

4.2.2 Ma trận độ cứng, vectơ biên độ phức của lực và
chuyển vị của hệ kết cấu thanh có liên kết

43

4.3 Tính toán dao động của kết cấu dàn phẳng

44

Chương 5 CÁC VÍ DỤ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG KẾT CẤU PHẲNG
5.1 Trình tự tính toán

46

5.2 Sơ đồ giải thuật

51

5.3 Lập trình tính toán

52

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 6



LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

5.4 Các ví dụ

52

5.4.1 Ví dụ 1 : Dao động uốn của dầm đơn giản

52

5.4.2 Ví dụ 2 : Dao động uốn của dầm consol

65

5.4.3 Ví dụ 3: Dao động uốn dầm đầu ngàm, ngàm trượt

74

5.4.4 Ví dụ 4 : So sánh lực dọc khi nút dàn là khớp và ngàm

80

5.4.5 Ví dụ 5: Dao động khung thép

82


5.4.6 Ví dụ 6: Dao động riêng dàn thép

87

5.4.7 Ví dụ 6: Dao động cưỡng bức dàn thép

93

Chương 6 NHẬN XÉT VÀ KẾT LUẬN
6.1 Nhận xét

96

6.2 Kết luận

96

Phụ lục

97

Tài liệu tham khảo

127

Lý lịch cá nhân

129

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC


Trang 7


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

Chương 1

TỔNG QUAN
1.1 GIỚI THIỆU CHUNG
Kết cấu thép là loại kết cấu được sử dụng rộng rãi trong xây dựng hiện đại vì
có những ưu điểm như : khả năng chịu lực lớn do vật liệu có cường độ lớn, độ tin
cậy cao, trọng lượng nhẹ, dễ dàng lắp đặt, vận chuyển…Kết cấu thép được sử dụng
phổ biến dàn thép trong mái nhà, cầu thép, khung thép, hangar…với ưu điểm là khả
năng vượt được nhịp lớn.
Khi phân tích sự chịu lực của kết cấu, nếu chỉ kiểm tra điều kiện bền và điều
kiện cứng không thôi thì chưa đủ phán đoán khả năng chịu lực của công trình, mà
còn phải giải quyết bài toán dao động để xác định chuyển vị giới hạn của công
trình để đảm bảo các công trình làm việc ở trạng thái bền vững.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là kết cấu dàn thép. Để đơn giản hóa quá
trình phân tích tính toán thiết kế dàn thép người ta luôn dựa trên giả thiết cơ bản về
ứng xử liên kết trong các nút dàn là khớp lý tưởng (ideally pinned), các đầu thanh
qui tụ ở mắt có thể xoay một cách tự do không ma sát, điều này dẫn đến kết quả là
thanh dàn chỉ có thành phần lực dọc. Tuy nhiên, trong thực tế các thanh thường
được nối với nhau bằng đinh tán hoặc mối hàn, rất ít khi bằng khớp ( bulông,
chốt..), những mối nối này không phải là khớp lý tưởng, cho nên kết quả tính toán
theo giả thuyết trên chỉ là gần đúng, mà nội lực thanh dàn có một giá trị mômen
nào đó, do đó nếu xem nút dàn là nút cứng thì kết quả phù hợp với kết cấu thực

tiễn hơn so với cách giải thông thường hiện nay.
Ngoài ra, khi phân tích kết cấu, nếu các quan hệ cân bằng và động học được
thiết lập theo dạng hình học không thay đổi ( dạng hình học ban đầu ) thì phân tích
này gọi là phân tích bậc 1. Ngược lại nếu các quan hệ cân bằng và động học được
thiết lập theo biến dạng hình học của kết cấu gọi là phân tích bậc 2, phân tích này
luôn cần thiết khi xem xét sự ổn định của kết cấu, dưới tác dụng của tải trọng trong
các thanh chịu nén còn xuất hiện momen uốn phụ ( secondary bending moment )
do lực dọc tác động lên chuyển vị ngang của thanh, momen này nói chung tạo ra
ảnh hưởng bất lợi đối với phần tử dạng mảnh chịu nén và làm giảm độ cứng chống
uốn của phần tử. Vì vậy việc tính toán dàn theo mô hình chính xác trong đó có kể
đến ảnh hưởng nút cứng và hiệu ứng P-Δ sẽ đem lại kết quả chính xác hơn.
Hiện nay việc tính toán dao động của kết cấu dựa vào hai phương pháp sau:

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 8


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

-

Phương pháp phân tích dạng dao động: phân tích dao động của kết cấu thành
nhiều dạng tương ứng với các tọa độ mở rộng khác nhau, và bài toán đem về
giải hệ phương trình vi phân thường ứng với các tọa độ mở rộng. Phương pháp
này áp dụng cho kết cấu đơn giản như : dầm, hệ dầm…

-


Phương pháp phần tử hữu hạn: phương pháp này có thể áp dụng cho mọi kết
cấu phức tạp. Nội dung của phương pháp là chia kết cấu thành nhiều phần tử
đơn giản, giả thiết gần đúng dạng dao động, đó là các hàm Hermit bậc ba
(dẫn đến phương pháp phương pháp độ cứng tónh học, the Static direct Stiffness
Method – SMS ), tính ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và ma trận cản của
kết cấu và bài toán đem về giải một hệ phương trình vi phân thường đối với
các tọa độ mở rộng là các chuyển vị của các điểm nút của kết cấu.

Cả hai phương pháp trên chỉ là phương pháp gần đúng, kết quả phụ thuộc vào
số dạng dao động ( phương pháp phân tích dạng dao động ) hoặc vào cách chia các
phần tử ( phương pháp phần tử hữu hạn ) và chỉ chính xác với dao động có tần số
thấp ( tần số dao động riêng hoặc tần số lực kích động ), còn đối với tần số cao thì
kết quả có sai số lớn.
Phương pháp giải quyết bài toán dao động thanh thẳng trình bày trong luận
văn này là phương pháp độ cứng động lực học (the Dynamic direct Stiffness Method
– DSM ) trên cơ sở hàm dạng là nghiệm chính xác của dầm khi dao động, trong đó
các hệ số cứng phụ thuộc vào tần số, khác với phương pháp độ cứng tónh học (the
Static direct Stiffness Method – SSM ) cho kết quả kém chính xác vì hàm dạng
không kể đến lực quán tính. Ưu điểm của phương pháp này là tính toán chính xác
quá trình động trong kết cấu, tính tần số dao động riêng, chuyển vị và phản ứng
động của kết cấu.
Cơ sở lý thuyết của phương pháp độ cứng động lực học :
-

Tại mỗi điểm của kết cấu dao động được biểu diễn dưới dạng biên độ phức
( biên độ và góc pha ).

-


Chia kết cấu ra thành các phần tử mà trong đó biên độ phức có thể xác định
được chính xác hoặc gần đúng.

-

Tính toán ma trận độ cứng động lực của các phần tử và ghép nối với nhau
thành ma trận độ cứng động lực của toàn kết cấu.

-

Mối quan hệ giữa vecto biên độ phức của lực tác dụng lên hệ kết cấu Fˆ và
vecto biên độ phức của chuyển vị của hệ kết cấu vˆ có dạng
Fˆ = Kvˆ

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 9


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

trong đó K là ma trận độ cứng động lực học là hàm tần số ω
-

Tính toán dao động riêng, dao động cưỡng bức trong kết cấu bằng phương
pháp ma trận độ cứng động lực bằng cách giải trực tiếp các phương trình siêu
việt.


1.2 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG
1.2.1. Bậc tự do và chuyển vị của kết cấu
Khi tính toán, kết cấu được mô hình hóa bằng các nút nối với thanh. Nút thì
cứng tuyệt đối và vị trí của nó được xác định hoàn toàn trong trường hợp kết cấu
phẳng bởi ba tham số: hai chuyển vị theo phương ngang, phương đứng và góc xoay.
Tập hợp các tham số xác định vị trí của tất cả các nút trong kết cấu gọi là số bậc tự
do của kết cấu.
Số bậc tự do của hệ kết cấu phẳng không có liên kết ngoài : m = 3n

(1.1)

với n là số nút của hệ kết cấu.
Kết cấu có liên kết ngoài là kết cấu không thể có chuyển động tự do mà bị cố
định so với mặt đất nhờ các liên kết ngoài.
Số bậc tự do của kết cấu có liên kết ngoài là :
mlk = m –nlk

(1.2)

trong đó m số bậc tự do của kết cấu không có liên kết ngoài tính theo (1.1) và nlk là
tổng số của các liên kết ngoài
nlk= (3ng + 2cđ + 1dđ)

(1.3)

trong đó : ng là số liên kết ngàm.
cđ là số liên kết gối.
dđ là số liên kết gối di động.
Trạng thái của kết cấu (bao gồm chuyển vị, nội lực và ứng suất ở mọi điểm
của kết cấu) hoàn toàn xác định nếu ta biết chuyển vị và góc xoay của mọi nút của

kết cấu. Các chuyển vị và góc xoay của các nút của kết cấu được gọi là chuyển vị
của kết cấu. Số chuyển vị bằng số bậc tự do m của kết cấu.
Tập hợp các chuyển vị và góc xoay của mọi nút của kết cấu ta được vecto
chuyển vị của kết cấu

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 10


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

q(i) = (q1, q2, … , qm)T

(1.4)

Trường hợp kết cấu có kiên kết ngoài, một số chuyển vị ở nút có liên kết đó
sẽ bằng không và vectơ chuyển vị của kết cấu sẽ có bậc mlk bằng bậc tự do của hệ
có liên kết xác định theo phương trình (1.2)
Vectơ chuyển vị của kết cấu có liên kết ngoài có bậc mlk và ký hiệu
qlk = b.q

hay

q = bT.qlk

(1.5)


trong đó b là ma trận liên kết có bậc mlk x m, bT là ma trận chuyển vị của b, mỗi
hàng của ma trận b chỉ có một số hạng khác 0 và bằng 1, các số hạng bằng 1 này
nằm tại cột tương ứng với các tọa độ mở rộng khác không của vectơ chuyển vị q.
1.2.2. Lực tác dụng lên hệ kết cấu dàn phẳng
Các lực và momen tác dụng lên hệ kết cấu luôn đặt tại nút của kết cấu, các
lực này cũng là các lực tác dụng lên đầu thanh. Tập hợp các lực tác dụng lên nút
của hệ kết cấu này ta được vecto lực:
Q(i) = (Q1, Q2, … , Qm)T
Đối với kết cấu có liên kết, cũng giống như vectơ chuyển vị, vectơ lực Qlk có
bậc bằng mlk và phương trình quan hệ giữa Qlk và Q có dạng
Qlk = b.Q
Trong đó b là ma trận liên kết như trong phương trình (1.5).
1.2.3. Ma trận độ cứng của phần tử kết cấu thanh

1

2

v1 ,Y1

v2 ,Y2
u1 ,X1

ϕ1,M1

u2 ,X2

ϕ2,M2

Xét một phần tử thanh i của kết cấu như hình vẽ. Các chuyển vị ở hai đầu

thanh và các lực ở hai đầu thanh được tập hợp lại trong vectơ chuyển vị và vectơ
lực của thanh như sau :
q(i) = (q1, q2, … , qm)T

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 11


LUẬN VĂN THẠC SĨ
Q(i) = (Q1, Q2, … , Qm)T

VƯƠNG HOÀI NAM
(1.6)

Đối với kết cấu thanh phẳng thì :
q(i) = ( u1, v1, ϕ1, u2, v2, ϕ2)T
Q(i) = ( X1, Y1, M1, X2, Y2, M2)T

(1.7)

Giữa vectơ chuyển vị q và vectơ lực Q của thanh i có quan hệ được biểu diễn
bằng phương trình sau :
Q(i) = K(i).q(i)

(1.8)

Ma trận K(i) là ma trận vuông đối xứng bậc mi là ma trận độ cứng của phần tử thanh
i.
K(i) là ma trận độ cứng vì phương trình (1.8) về hình thức rất giống với các phương

trình đàn hồi thông thường F =kx, trong đó F là lực, x là chuyển vị và k là độ cứng.
1.2.4. Ma trận độ cứng của hệ kết cấu
Thành lập phương trình cân bằng của tất cả các nút trong kết cấu ta được hệ
phương trình biểu diễn quan hệ giữa ma trận độ cứng K, vectơ chuyển vị q và vectơ
lực Q dưới dạng :
Q = K.q

(1.9)

Trường hợp kết cấu có liên kết ngoài, một số chuyển vị mở rộng ở nút có liên
kết đó sẽ bằng không và vectơ chuyển vị của kết cấu sẽ có bậc mlk bằng số bậc tự
do của hệ có liên kết ngoài.
Vectơ lực của kết cấu có liên kết ngoài có dạng :
Q = K. bT.qlk
Qlk = b.Q = b.K.bT.qlk = Klk.qlk

(1.10)

với Klk = b.K.bT

(1.11)

Trong đó qlk, Qlk tương ứng là chuyển vị và lực của kết cấu có liên kết ngoài,
Klk là ma trận vuông đối xứng bậc mlk nhận được từ ma trận K bằng cách bỏ đi nlk
hàng và nlk cột. Những hàng và cột bỏ đi là những hàng và cột tương ứng với các
chuyển vị bị ngăn cản của kết cấu. Klk được gọi là ma trận độ cứng của kết cấu có
liên kết ngoài.

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC


Trang 12


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

1.3 BIÊN ĐỘ PHỨC CỦA DAO ĐỘNG
Các phương trình dao động dọc, dao động uốn của thanh có thể được biểu
diễn dưới dạng biên độ phức.
Dao động điều hòa được biểu diễn bởi công thức
(1.12)

x(t) = Acos(ωt−α)

trong đó A là biên độ dao động, ω là tần số dao động có đơn vị s-1 và α là góc pha
ban đầu tính bằng radian.
Tần số vòng dao động f tính bằng Herzt(Hz) bằng :
f =

ω
2π

(1.13)

Chu kỳ dao động T bằng :
T=

2π


ω

=

1
f

(1.14)

Để thuận lợi, ta có thể biểu diễn x(t) từ (1.12) dưới dạng :
x(t) = Re(z(t))=Re(Aej(ωτ−α))

(1.15)

trong đó z(t) là một hàm phức
z(t) = Re(Aej(ωτ−α))=Α[cos(ωτ−α)+jsin(ωτ−α)]

(1.16)

Hàm z(t) có thể viết dưới dạng :
(1.17)

z (t ) = Ae − jα e jωt = xˆ e jat

Với xˆ =Ae-jα

(1.18)

Đại lượng xˆ được gọi là biên độ phức của hàm x(t)
Từ phương trình (1.18) ta thấy biên độ phức cho ta không những thông tin về

^

biên độ mà còn cho ta thông tin về pha ban đầu của dao động. Biết x ta sẽ có :
A = | xˆ | = abs( xˆ )

(1.19)

α = -argument( xˆ )

(1.20)

Khi biết biên độ phức xˆ và tần số hàm x(t) được xác định từ phương trình
GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 13


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

x(t) = Re( xˆ ejωτ)

(1.21)

Trong các phương trình trên j = − 1 là số ảo, abs( xˆ ) là môđun của số phức xˆ :
Argument( xˆ ) = artan

Im( xˆ )


(1.22)

Re( xˆ )

Trong đó Im( xˆ ) là phần ảo của xˆ
Re ( xˆ ) là phần thực của xˆ
Dao động điều hòa được biểu diễn bởi công thức
x(t) = Asin(ωt−α)
Tương tự như trên hàm x(t) được xác định:
x(t) = Im( xˆ ejωτ)

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

(1.23)
(1.24)

Trang 14


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG
CỦA THANH DÀN
2.1.

DAO ĐỘNG DỌC CỦA THANH


2.1.1. Phương trình dao động dọc của thanh
2

m
N(0,t)

N(L,t)

EF,m
p(x,t)

x

x,u

N(x,t)

N(x,t)+

dx
L

δ u(x,t) dx
δ t2
δ N(x,t) dx
δx

p(x,t)dx
x


dx

Xét một thanh thẳng có độ cứng EF và khối lượng trên một đơn vị chiều dài là
m ( không đổi suốt chiều dài thanh ) như hình vẽ. Thanh chịu một tải trọng phân
bố dọc trục p(x.t), giả thuyết chuyển vị dọc trục tại một mặt cắt bất kỳ của thanh là
u(x,t), lực dọc là N(x,t) và biến dạng dọc là ε(x,t).
Lực dọc N(x,t) dương nếu thanh chịu kéo và âm nếu thanh chịu nén.
Từ điều kiện cân bằng của các lực tác dụng lên phân tố có chiều dài dx cho trên
hình vẽ ta nhận được phương trình quan hệ giữa nội lực và tải trọng sau đây :
∂N ( x, t ) ⎤
⎡
⎢⎣ N ( x, t ) + ∂x dx ⎥⎦ + p ( x, t )dx − N ( x, t ) − f I ( x, t )dx = 0

(2.1)

trong đó fI(x,t) thành phần lực quán tính

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 15


LUẬN VĂN THẠC SĨ
f I ( x, t ) = m

VƯƠNG HOÀI NAM
∂ 2 u ( x, t )
∂t 2


(2.2)

Phương trình quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng có daïng :
ε x ( x, t ) =

∂u ( x, t )
∂x

(2.3)

Phương trình quan hệ giữa nội lực và biến dạng có dạng :
N ( x, t ) = EFε x ( x, t ) = EF

∂u ( x, t )
∂x

(2.4)

trong đó : E là module đàn hồi và F là diện tích mặt cắt ngang của thanh, tích số EF
được gọi là độ cứng của thanh khi chịu kéo ( hoặc chịu nén ).
Thay 2 phương trình (2.2), (2.4), vào (2.1) ta có phương trình vi phân quan hệ giữa
chuyển vị u(x,t) và tải trọng p(x,t) là :
hay

p ( x, t )
∂ 2 u ( x , t ) m ∂ 2 u ( x, t )
−
=−
2
2

EF ∂t
EF
∂x

(2.5)

Đối với thanh dàn do lực tác dụng chỉ ở nút thanh, vì vậy thành phần p( x, t ) = 0
phương trình (2.5) trở thành:
∂ 2 u ( x, t ) m ∂ 2 u ( x, t )
−
=0
EF ∂t 2
∂x 2

(2.6)

2.1.2. Phương trình vi phân dao động dọc dưới dạng biên độ phức
Ta đặt u(x,t)= uˆ (x,ω)ejωt

(2.7)

p(x,t)= pˆ (x,ω) ejωt

(2.8)

Thay thế (2.7) và (2.8) vào (2.5) ta được phương trình vi phân của biên độ phức
u(x,t)= uˆ (x,w) dưới dạng
∂ 2 uˆ ( x) λu
pˆ(x)
+ 2 uˆ ( x) = −

2
EF
L
∂x

(2.9)

Đối với thanh dàn do lực tác dụng chỉ ở nút thanh, vì vậy thành phần p( x, t ) = 0
phương trình (2.9) trở thành:
∂ 2 uˆ ( x) λu
+ 2 uˆ ( x) = 0
L
∂x 2
GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

(2.10)

Trang 16


LUẬN VĂN THẠC SĨ
trong đó λu =
2.2.

VƯƠNG HOÀI NAM

m
ωL
EJ


(2.11)

DAO ĐỘNG UỐN CỦA THANH TRƯỜNG HP CƠ BẢN

2.2.1. Phương trình dao động uốn của thanh
v(x,t)

q(x,t)dx

q(x,t)
EJ,m

x

Q(x,t)

x

A

M(x,t)

dx
L

M(x,t)+ δ
Q(x,t)+

2


m
x

M(x,t)
dx
δx

δ Q(x,t) dx
δx

δ v(x,t) dx
δ t2
dx

Xét một thanh thẳng có độ cứng uốn EJ và khối lượng trên một đơn vị chiều
dài là m ( không đổi suốt chiều dài thanh ) như hình vẽ. Thanh chịu một tải trọng
phân bố ngang q(x,t) như hình vẽ, giả thuyết chuyển vị đứng tại mặt cắt x là v(x,t),
lực cắt và mômen uốn tại x tương ứng là Q(x,t) và M(x,t). Xét cân bằng của các lực
tác dụng lên phân tố có chiều dài dx như trên hình vẽ.
Từ điều kiện cân bằng của các lực theo phương vuông góc với trục dầm ta có mối
quan hệ cân bằng động đầu tiên:
∂Q ( x, t ) ⎤
⎡
Q( x, t ) + q( x, t )dx − ⎢Q( x, t ) +
dx ⎥ − f I ( x, t )dx = 0
∂x
⎣
⎦

(2.12)


trong đó fI(x,t) thành phần lực quán tính
f I ( x, t ) = m

∂ 2 v ( x, t )
∂t 2

(2.13)

Thay phương trình (2.13) vào (2.12) và chia cho dx ta coù:
∂Q( x, t )
∂ 2 v ( x, t )
= q ( x, t ) − m
∂x
∂t 2

(2.14)

Có thể nhận thấy rằng giống như là phương trình cân bằng tónh học giữa lực
cắt và tải trọng gây chuyển vị ngang tuy nhiên thành phần lực bây giờ là tổng hợp
của lực tác dụng và lực quán tính.

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 17


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM


Phương trình cân bằng động thứ hai có được bằng cách lập phương trình cân
bằng momen tại điểm A, bỏ đi quán tính quay của tiết diện và bỏ đi hai thành phần
vô cùng bé bậc cao của lực tác dụng q và lực quán tính fI ta được:
∂M ( x, t ) ⎤
⎡
dx ⎥ = 0
M ( x, t ) + Q ( x, t )dx − ⎢ M ( x, t ) +
∂x
⎣
⎦

⇒

∂M ( x, t )
= Q ( x, t )
∂x

(2.15)
(2.16)

Thay (2.16) vào (2.14) ta được:
∂ 2 M ( x, t )
∂ 2 v ( x, t )
+m
= p ( x, t )
∂x 2
∂t 2

(2.17)


Trong trường hợp chuyển vị v là bé, ta có phương trình quan hệ giữa chuyển vị v và
mômen M như sau :
∂ 2 v ( x, t ) M ( x, t )
=
EJ
∂x 2

(2.18)

trong đó E là module đàn hồi, J là momen quán tính của tiết diện ngang.
Từ 2 phương trình (2.17), (2.18) ta có phương trình vi phân quan hệ giữa chuyển vị
v và tải trọng q là :
EJ

∂ 4 v ( x, t )
∂ 2 v ( x, t )
+
= q ( x, t )
m
∂x 4
∂t 2

(2.19)

Đối với thanh dàn do lực tác dụng chỉ ở nút thanh, vì vậy thành phần p( x, t ) = 0
phương trình (2.19) trở thành:
EJ

∂ 4 v ( x, t )

∂ 2 v ( x, t )
+
m
=0
∂x 4
∂t 2

(2.20)

2.2.2. Phương trình vi phân dao động uốn dưới dạng biên độ phức
Ta đặt v(x,t)= vˆ (x,ω)ejωt

(2.21)

q(x,t)= qˆ (x,ω) ejωt

(2.22)

Thay thế (2.21) và (2.22) vào (2.19) ta được phương trình vi phân của biên độ phức
v(x,t)= vˆ (x,w) dưới dạng

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 18


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM


∂ 2 vˆ ( x) λ4v
qˆ(x)
− 4 vˆ( x) =
2
EF
dx
l

(2.23)

Đối với thanh dàn do lực tác dụng chỉ ở nút thanh, vì vậy thành phần q( x, t ) = 0
phương trình (2.23) trở thành:
∂ 2 vˆ ( x) λv4
− 4 vˆ( x) = 0
dx 2
l

(2.24)

1

⎡ mω 2 ⎤ 4
trong đó λv = l ⎢
⎥
⎣ EF ⎦

(2.25)

2.3. DAO ĐỘNG UỐN CỦA THANH CÓ KỂ ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC
DỌC

2.3.1. Phương trình dao động uốn của thanh có kể đến ảnh hưởng của lực dọc
Tương tự như trong trường hợp uốn, giả thuyết chuyển vị đứng tại mặt cắt x là
v(x,t), lực cắt và mômen uốn tại x tương ứng là Q(x,t) và M(x,t). Xét cân bằng của
các lực tác dụng lên phân tố có chiều daøi dx
δ N(x,t)
dx
δx
M(x,t)+ δ M(x,t) dx
δx

q(x,t)dx

N(x)+

Q(x,t)
M(x,t)

q(x,t)
N(0)
EJ,m

x

O

N(x)

δ Q(x,t) dx
Q(x,t)+
δx


N(L)

v(x,t)

p(x)

dx

v(x,t)

L

v(x,t)+ δ v(x,t) dx
δx

2

m
x

δ u(x,t) dx
δ t2
dx

Tương tự như phương trình cân bằng theo phương đứng của dao động uốn
trường hợp cơ bản, vì thành phần lực dọc trục có hướng không thay đổi với độ võng
của dầm, nên ta có:
∂Q( x, t )
∂ 2 v ( x, t )

= q ( x, t ) − m
∂x
∂t 2

(2.26)

Từ điều kiện cân bằng momen tại điểm O

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 19


LUẬN VĂN THẠC SĨ
M ( x, t ) + Q( x, t )dx + N

⇒

Q ( x, t ) =

VƯƠNG HOAØI NAM
∂ v ( x, t )
∂M ( x, t ) ⎞
⎛
dx − ⎜ M ( x, t ) +
dx ⎟ = 0
∂x
∂x
⎝
⎠


∂M ( x, t )
∂v( x, t )
+N
∂x
∂x

(2.27)
(2.28)

Từ 3 phương trình (2.18), (2.26) và (2.28) ta được :
EJ

∂ 4 v ( x, t )
∂ 2 v ( x, t )
∂ 2 v ( x, t )
−
N
+
= q ( x, t )
m
∂x 4
∂x 2
∂t 2

(2.29)

Đem vào đại lượng không thứ nguyên đặc trưng cho ảnh hưởng của lực dọc :
N.l 2
α1 = −

EJ

(2.30)

α1 : sẽ là dương nếu thanh chịu nén ( N < 0 ) và ngược lại.
Khi đó, phương trình (2.25) có dạng :
∂ 4 v ( x, t ) α 1 ∂ 2 v ( x , t ) m ∂ 2 v ( x , t ) q ( x , t )
+ 2
+
=
EJ ∂t 2
EJ
∂x 4
∂x 2
l

(2.31)

Đối với thanh dàn do lực tác dụng chỉ ở nút thanh, vì vậy thành phần q( x, t ) = 0
phương trình (2.31) trở thành:
∂ 4 v ( x , t ) α 1 ∂ 2 v ( x , t ) m ∂ 2 v ( x, t )
+ 2
+
=0
EJ ∂t 2
∂x 4
∂x 2
l

(2.32)


2.3.2. Phương trình vi phân dao động uốn của thanh có kể đến ảnh hưởng của
lực dọc dưới dạng biên độ phức
Ta đặt v(x,t)= vˆ (x,ω)ejωt
q(x,t)= qˆ (x,ω) ejωt

(2.33)
(2.34)

Thay thế (2.33) và (2.34) vào (2.31) ta được phương trình vi phân của biên độ phức
v(x,t)= vˆ (x,ω) dưới dạng
∂ 4 vˆ ( x) α 1 ∂ 2 vˆ( x) λv4
qˆ(x)
+ 2
− 4 vˆ =
4
2
EJ
dx
l
l
∂x

(2.35)

Đối với thanh dàn do lực tác dụng chỉ ở nút thanh, vì vậy thành phần q( x, t ) = 0
phương trình (2.35) trở thành:

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUOÁC


Trang 20


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

∂ 4 vˆ ( x) α 1 ∂ 2 vˆ( x) λv4
+ 2
− 4 vˆ = 0
dx 4
l
l
∂x 2

(2.36)

trong đó λv như (2.25) và α1 như (2.30)

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG
ĐỘNG LỰC HỌC
3.1 MA TRẬN ĐỘ CỨNG BIẾN DẠNG DỌC TRỤC ĐỘNG LỰC HỌC
( Dynamic Axial-Deformation Stiffness Matrix )
Xét một phần tử thanh dàn như hình vẽ
N1,u1 1

EF,m


2

N2,u2

L

Biên độ phức của chuyển vị và lực dọc tác dụng ở 2 đầu thanh được ký hiệu
tương ứng là uˆ1 , uˆ1 , Nˆ 1 , Nˆ 2 như trên hình vẽ. Chiều dương của uˆ1 , uˆ1 , Nˆ 1 , Nˆ 2 là
chiều của trục x.
Phương trình vi phân biên độ phức của dầm có dạng (2.7), trong đó pˆ (x) là biên độ
phức của lực phân bố dọc theo dầm.
Nghiệm của phương trình (2.10) được tìm dưới dạng
uˆ ( x) = C1 sin

λ
λ
x + C 2 cos x
L
L

(3.1)

trong đó C1, C2 là các hằng số

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 21


LUẬN VĂN THẠC SĨ


VƯƠNG HOÀI NAM

Từ 2 phương trình (2.4) và (3.1) ta có biểu thức của lực dọc :
λ
λ
λ
λ
∂ uˆ ( x, t )
Nˆ ( x, t ) = EF
= EFC1 cos x − EFC 2 sin x
∂x
L
L
L
L

(3.2)

Goïi L là chiều dài của thanh, chọn gốc tọa độ tại đầu 1 của thanh, từ 2 phương trình
(3.1) và (3.2) ta coù :
uˆ 1 = uˆ (0) = C 2
uˆ 2 = uˆ ( L) = C1 sin λ + C 2 cos λ

λ
Nˆ 1 = − Nˆ (0) = − EFC1
L
λ
λ
Nˆ 2 = Nˆ ( L) = EF [C1 cos λ − C 2 sin λ ]

L
L

Các phương trình này có thể viết dưới dạng ma trận như sau :
⎡ ⎤
1 ⎤ ⎡C1 ⎤
⎢uˆ 1 ⎥ = ⎡u (0) ⎤ = ⎡0
⎢ ⎥ ⎢⎣ u ( L) ⎥⎦ ⎢⎣sin λ cosλ ⎥⎦ ⎢⎣C 2 ⎥⎦
⎢⎣uˆ 2 ⎥⎦
⎡ λ
⎤
⎡ ⎤
−
0 ⎥
ˆ
⎢
N
⎡C1 ⎤
⎢ 1⎥
L
EF
=
⎢
⎥
⎢C ⎥
⎢ ⎥
λ
λ
⎢
⎥

⎢ Nˆ ⎥
cosλ
- sinλ ⎣ 2 ⎦
⎣ 2⎦
L
⎣⎢ L
⎦⎥

hoặc : uˆ =U.C
Nˆ = WC

(3.3)
(3.4)

trong đó :
⎡ ⎤
⎡ ⎤
ˆ
u
1 ⎤
⎡C ⎤
1
⎡0
⎢ Nˆ ⎥
uˆ = ⎢ ⎥, Nˆ = ⎢ 1 ⎥, C = ⎢ 1 ⎥, U = ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣sin λ cosλ ⎦
⎣C 2 ⎦
⎢ Nˆ ⎥

⎢⎣uˆ 2 ⎥⎦
⎣ 1⎦
⎡ λ
⎤
0 ⎥
⎢− L
W = EF ⎢
⎥
λ
⎢ λ cosλ
- sinλ ⎥
⎢⎣ L
⎥⎦
L

(3.5)

Từ phương trình (3.3) ta có hằng số C là :
C = U −1 uˆ

(3.6)

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 22


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM


trong đó : U-1 là ma trận nghịch đảo của ma trận U bằng :
⎡
− tgλ
U −1 = ⎢
⎢ 1
⎣

1 ⎤
sin λ ⎥
0 ⎥⎦

(3.7)

Thay theá vectơ hằng số C từ phương trình (3.6) vào phương trình (3.4) ta có
phương trình quan hệ giữa vectơ biên độ phức của lực dọc tác dụng ở hai đầu thanh
và chuyển vị ở hai đầu thanh có dạng :
Nˆ = WU −1 uˆ

(3.8)

hoặc : Nˆ = Kuˆ

trong đó : K = WU −1

⎡ λu
EF ⎢ tan λu
⎢
=
L ⎢ − λu

⎢⎣ sin λu

λu ⎤
sin λu ⎥
⎥
λu ⎥
tan λu ⎥⎦

−

(3.9)

với λu theo phương trình (2.11)
Ma trận K trong phương trình (3.9) phụ thuộc vào tần số dao động ω và được gọi là
ma trận độ cứng động lực học thanh chịu kéo ( hoặc chịu nén ).
* Trong trường hợp tần số dao động ω=0 thì phương trình (2.6) có dạng:
∂ 2 u ( x, t )
=0
∂x 2

(3.10)

Nghiệm của phương trình (3.10) có dạng:
u ( x) = C1 x + C 2

(3.11)

trong đó : C1, C2 là các hằng số tích phân
Ta có biểu thức của lực dọc :
N ( x) = EF


du
= EFC1
dx

(3.12)

1
P (0) = C 2
EF
u 2 = u ( L) = C1 L + C 2 = C1 L + C 2

u1 = u (0) = C 2 +

N 1 = − N (0) = − EFC1 = − EFC1
N 2 = N ( L) = EFC1 = EFC1

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 23


LUẬN VĂN THẠC SĨ

VƯƠNG HOÀI NAM

Các phương trình này có thể viết dưới dạng ma trận như sau :
⎡u1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡C1 ⎤
⎢u ⎥ = ⎢ L 1⎥ ⎢C ⎥
⎦⎣ 2 ⎦

⎣ 2⎦ ⎣
⎡ N 1 ⎤ ⎡− 1 0⎤ ⎡C1 ⎤
⎢
⎥=⎢
0⎥⎦ ⎢⎣C 2 ⎥⎦
⎢⎣ N 2 ⎥⎦ ⎣1

hoặc : u = UC

(3.13)

N = WC

(3.14)

trong đó :
⎡u ⎤
⎡N ⎤
⎡C ⎤
⎡ 0 1⎤
u = ⎢ 1 ⎥, N = ⎢ 1 ⎥, C = ⎢ 1 ⎥, U = ⎢
⎥
⎣ L 1⎦
⎣u 2 ⎦
⎣N 2 ⎦
⎣C 2 ⎦
⎡− 1 0⎤
W = EF ⎢
⎥
⎣ 1 0⎦


(3.15)

Từ phương trình (3.13) ta có vectơ hằng số C là :
(3.16)

C = U −1u

trong đó : U-1 là ma trận nghịch đảo của ma trận U, bằng :
U

−1

⎡ 1 1⎤
−
= ⎢ l l⎥
⎢ 1 0⎥
⎦
⎣

(3.17)

Thay thế vectơ hằng số C từ phương trình (3.16) vào phương trình (3.14) ta có :
(3.18)

N = WU −1u

trong ñoù : K = WU −1 =

EF ⎡ 1 − 1⎤

L ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦

(3.19)

* Khi biết biên độ phức của chuyển vị hai đầu thanh thì biên độ phức của một điểm
có tọa độ x được xác định từ phương trình (3.1) trong đó các hằng số C1, C2 được
xác định từ phương trình (3.6)
Tính C1, C2 và thay vào phương trình (3.1) ta được :

GVHD : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 24