Dang 2 He phuong trinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (136.99 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Các bài toán về giải và biện luận hệ phơng trình
Bài 1:Tìm m để hệ phơng trình sau vụ nghim :

{

mx y=1

x
2

y
3=334
Đáp án: Hệ phơng trình vô nghiệm m = 32

Bài 2: Cho phơng trình

{

(a 1)x+2y=1

3x+ay=1 (I)

a. Gii h (I) vi a = 3 1 b. Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm.
Đáp án: a. Với a=

√

3 + 1 thì hệ (I) 

{

3x

√

3x+2y=1

√

3+1)y=1 

{

(1−

√

3)[

√

3x+y]=0

√

3x+2y=1 

{

x=− 1

√

3
y=1

b. Để hệ (I) vô nghiệm a = -2; a = 4

Bài 3: Cho hệ phơng tr×nh:

{

(m−1)x −my=3m−1

2x − y=m+5 . Xác định tất cả các giá trị của tham số m để
hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho: S=x2

+y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: * Nếu m = 0 thì hệ có dạng

{

− x=−1

2x − y=5⇔

{

x=1

y=−3 . Khi đó S=x
2

+y2=10

* Nếu m ạ 0 thì hệ đã cho





 

1 3 1 1

2 5 2

m x my m

mx my m m

   



 

  




Lấy (2) trừ đi (1) ta đợc: (m+1)x=(m+1)2

+ Khi m = -1 thì hệ có vô số nghiệm , không thoả mÃn ĐK bài toán.
+ Khi m ạ -1 thì hệ cã nghiÖm duy nhÊt

{

x=m+1

y=m−3
⇒S=x2

+y2=(m+1)2+(m−3)2=2m2−4m+10=2(m−1)2+8≥8 . VËy Smin  8 m1

Bài 4: Xác định a, b để hệ phơng trình :

{

2x −ay=b
ax+by=1

a, Cã nghiƯm là x =1, y = 2 b, Có vô số nghiệm.
Đáp án: a. Hệ có nghiệm x = 1, y = 2 khi

{

2+2a=b

a −2b=1 Þ a = −

3 ; b = −
4
3
b.

{

a=−

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bµi 5: Cho hƯ phơng trình

2 2

2
x y

x y m




 ( m lµ tham sè )
a. Giải hệ phơng trình với m ¿−1 .

b. Với giá trị nào của m thì hệ phng trỡnh ó cho vụ nghim.

Đáp án: a. Khi m = - 1 hÖ cã 2 nghiÖm ( 1 ; 3 ) vµ ( - 1 ; - 1 ) .

b. + Víi y ³ 2 hƯ trë thµnh

¿
x+y=4

2x − y=m

⇔

¿x=m+4

3
y=8− m

3
¿{

HƯ nµy v« nghiƯm khi y < 2  8− m

3 <2  m > 2 (*)

+ Víi y < 2 hƯ trë thµnh

¿
x − y=0

2x − y=m

⇔

¿x=m

y=m
¿{

hệ này vô nghiệm khi y = m ³ 2 (**)
Từ (*) và (**) , hệ đã cho vô nghiệm thì phải có m > 2 .

Bµi 6: Cho hệ phơng trình

1 1
2
mx y
x my m

a. Giải và biện luận hệ phơng trình

b. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm ngun.
Đáp án: a. Từ (1) ta có y = mx - 1 thế vào (2) ta đợc:
x + m(mx - 1) = m ⇔(m2+1)x=2m⇔x= 2m

m2+1 suy ra y=

m2−1
m2+1

b. Víi mäi m hƯ lu«n cã nghiƯm

2
2

2 2

1 2

1 1

m
x

m
m
y

m m





 





   

 

Vậy giá trị m cần tìm lµ m = 0, 1, -1.

B i 7: Cho hà ệ phương tr×nh:

¿
mx+y=m−1

x+my=m+1
¿{

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b. Với các gía trị m tìm được hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thc z = x + y
Đáp án: a. h có nghiệm duy nhất thoả mãn y ³ x + 2 phải có:

m2+1

m2−1 ³

m2−m −1

m2−1 + 2 =

3m2−2m−3
m2−1 

2m2−2m−4

m2−1 £ 0  1 £ m £ 2
b. Tìm Max của z = x + y = 2m

2
−2m
m2−1 =

2m
m+1

Với 1 £ m £ 2 => z = 2(m+1)−2

m+1 = 2 -

m+1 . Suy ra ZMax = z(2) =

4
3

Bài 8: Tìm a để hệ sau vơ nghiệm:

¿
x+ay=1

ax−3 ay=2a+3
¿{

Đáp án: Từ phơng trình x + ay = 1 ta thế x = 1 – ay vào phơng trình ax – 3 ay = 2a + 3
Ta đợc a ( 1 – ay ) – 3ay = 2a + 3 ⇔a− a2 y −3 ay

=2a+3 ⇔−(a2+3a)y=a+3 ( 1 )

HƯ v« nghiƯm ⇔ phơng trình (1) vô nghiệm

{

(a2+3a)=0

a+30

a=0

a −3
¿{

⇔ a=0

Bµi 9: Cho hệ phơng trình:

2 1

ax y a
x y a

  



a, Giải hệ phơng trình khi a 2. b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn x - y = 1.

Đáp án: a. Thay a =

√

2 vào hệ phơng trình đợc:

√

2x −2y=

√

2
−2x+y=

√

2+1

¿{
¿

 x=3

√

2+2

√

2−4 ;

y=2+3

√

2−4

b. Từ x – y = 1 ⇒ y = x – 1 thay vào hệ PT đợc

¿
ax−2(x −1)=a
−2x+(x −1)=a+1

¿{
¿

 a = -3; 2

Bµi 10: Cho hệ phương trình:

¿
mx− y=2

3x+my=5
¿{

a) Giải hệ phương trình khi m=

√

2 .

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thc
x+y=1 m

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Đáp án: a) Khi m =

√

2 ta có hệ phương trình

√

2x − y=2

3x+

√

2y=5

¿{

2 2 2 2

3 2 5

x y
x y

  


 

 




⇔

x=2

√

2+5

5
y=5

√

2−6

5
¿{

b) Giải tìm được: x=2m+5

m2+3 ; y=

5m −6
m2+3

Thay vào hệ thức x+y=1− m
2
m2

+3 ; ta được

2m+5

m2
+3 +

5m−6
m2

+3 =1−

m2
m2

+3 . Giải tỡm c

m=4

Bài 11: Cho hệ phơng trình:

x2+y2 x=0

x+mym=0
{

a. Giải hệ phơng tr×nh khi m = 1.

b. Tìm m để hệ phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

c. Gọi (x1; y1) và ( x2; y2 ) là nghiệm của hệ đã cho. CMR: (x2- x1 )2 + ( y2 - y1 )2 1.

Đáp án: a. Hệ phơng trình

x2+y2 x=0(1)

x+mym=0(2)
{

T (2) ⇒ x = m - my thay vào (1) Ta đợc (m2 + 1 ) y2 -( 2m2 - 1)y + m2 - m = 0 (3)

Khi m = 1 thì phơng trình (3) trë thµnh y( 2y - 1 ) = 0

y1=0x1=1

y2=

1
2x2=

1
2

Hệ phơng trình có 2 nghiệm (1;0) và ( 1

2 ;
1
2 ).

b.Tõ x = m - my mỗi giá trị y tơng ứng với 1 giá trị x

Để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì (3) phải có 2 nghiệm phân biÖt

⇔

m2+1≠0

Δ>0
¿{

⇔ m( 4-3m) > 0 ⇔ 0 < m < 43 . VËy víi m (0; 43 ) thì hệ có 2 nghiệm

phân biƯt.

c. Víi m (0; 4

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1 2 2

2
1

m m

y y

m

m m

y y
m

 

 


 





 

 

 vµ

¿
x1=m−my1

x2=m−my2

¿{

⇒

x1 - x2 = m - m y2 - m + m y1 = m ( y1 - y2 )

Suy ra : ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1)2 = 1-

2m−1¿2
¿
¿
¿
Bµi 12: Cho hệ phơng trình:

{

x

+y2=4

x+y=m

a. Gii h vi m = 2 b. Tìm m để hệ phơng trình đã cho có nghiệm
Đáp án: a. Giải hệ với m = 2 

{

x

+y2=4

x+y=2 . Đặt S = x + y; P = xy.
Giải đợc S = 2; P = 0. Suy ra

{

x=2

y=0 vµ

{

x=0

y=2

b. Để hệ phơng trình đã cho có nghiệm khi phơng trình: x2 + (m – x)2 = 4 có

nghiệm ⇔2x2−2 mx+m2−4=0 có nghiệm   ' m2 ³  4 0 2ÊmÊ2
Để hệ phơng trình đã cho có nghim khi 2 m2

Bài 13: Với giá trị nào của a thì hệ sau có nghiệm.

x 1+

y+1=a

x+y=2a+1
{

Đáp án: §iỊu kiƯn x ³ 1; y ³ - 1. Đặt

x 1=u ,

y+1=vu 0, v 0

Khi đó hệ

⇔

u+v=a(u , v ≥0)

u2

+v2=2a+1
¿{

⇔

u+v=a(u , v ≥0)
(u+v)2−2 uv=2a+1

⇔

¿u+v=a(u , v ≥0)

uv=1

(

a

2−2a −1

)

¿{

Khi đó để hệ có nghiệm khi và chỉ khi a ³ 0,
a2 – 2a – 1 ³ 0 và phơng trình : t2−at+1

(

a
2

−2a −1

)

=0 cã nghiƯm

⇔

a ≥0
a2−2a −1≥0
Δ=a2−2

(a

2−2a −1

)≥

⇔1+

√

2≤ a ≤2+

√

6
¿{ {

Bµi 14: Cho hệ phơng trình:

3
2
x my m
mx y m






  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) sao cho x2 - 2x - y > 0

Đấp án:

1 3

m
m

là giá trị cần tìm.

Bài 15: Cho h phng trỡnh



m 1 x y 2



mx y m 1























(m là tham số)
a. Giải hệ phương trình với m = 2;

b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình ln có nghiệm duy nhất
(x ; y) thoả món 2x + y 3.

Đáp án: a. Vi m = 2, hệ đã cho trở thành :

x y 2

2x y 3















↔

x 1

x y 2













↔

x 1

y 1











Vậy với m = 2 thì nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x ; y) = (1 ; 1)
b. Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ :

mx y m 1

x m 1

















↔

x m 1

m(m 1) y m 1

 




   

 ↔ 2

x m 1

y 1 2m m









 





Suy ra hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất (x ; y) = (m – 1 ; 1 + 2m – m2) với

mọi m.

Khi đó, ta có : 2x + y = 2(m – 1) + 1 + 2m – m2 = - 1 + 4m - m2 = 3 – (m – 2)2≤ 3

"m.

Vậy với m thì hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn 2x + y ≤ 3.

Bµi 16: Cho hệ phơng trình:

3 1

9 3 3 2

x y m
x m y
  




 





a. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình vô nghiệm

b. Vi giỏ tr nào của m thì hệ phơng trình có vơ số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng
qt nghiệm của h phng trỡnh

c. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Đáp án: a) Từ (1) => y = 3x + m thay vµo (2) => 3x(3 - m2) = m3-3 3(*).

Víi m = - 3 thì (*) có dạng: 0x = -6 3. ph ơng trình vô nghiệm.

b)Với m = 3 thì (*) có dạng: 0x = 0. ph ơng trình vô số nghiệm.

y = 3x + 3

Khi đó nghiệm của hệ:

x

R

¹

)

3. HƯ ph ơng trình có nghiệm duy nhất.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 17: Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình

4
1
mx y
x my

có nghiệm tháa m·n ®iỊu kiƯn

8
1
x y

m
 

 . Khi đó hãy tỡm cỏc giỏ tr ca x v y.

Đáp án:

2
2

4(1)

4(1) 4

. 1 4 ( 1

1(2) (3) 1

mx y

mx y m

m y m y m

x my mx m y m m

 

  

 

       ¹

 

    

 

LÊy (1) - (3) => V× 0)





2 2

4 4 1

1 1

m m m

my

m m

 

Þ   

 

x = =

2 2 2 2

4 1 4

1. ;

1 1 1 1

m m

m

m m m m

 

    

   

8 8 5 3

Theo bài có: x + y = Khi đó x = y =

2 2

Bài 18: Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình

2 3

1
mx y m
x y m

có nghiệm nguyên, tìm

nghim nguyờn ú.

Đáp án:

2 3 2 3 (1)

. 2 3 2 3(*)

1(3) 3 3 3 3(2)

mx y m mx y m

m x m

x y m x y m

   

 

 Þ   

 

     

 

LÊy (1) - (2)

* NÕu m = 3/2 (*) cã d¹ng: 0x = -6, ph ơng trình vô nghiệm =>Hệ vô nghiệm.



1 m 1;2;0;3;

       

2m+3

* NÕu m 3/2 (*) cã nghiÖm: x = Tõ (3) nhËn thÊy m nguyªn, x nguyªn thì y nguyên.
3 - 2m

2m+3 2m - 3 +6 6

x = x nguyªn 3 - 2m 1;-1;2;-2;3;-3;6;-6

</div>

Dang 2 He phuong trinh

{

{

√

{

√

√

{

√

√

√

{

√

{

{

{





 

 

{

{

{

{

{

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

√

√

{

{

{

{

<sub></sub>

<sub></sub>

(

<sub>)</sub>

(

)

(a

)≥

√

√



m 1 x y 2



mx y m 1























x y 2

2x y 3















x 1

x y 2

