ÔN TOÁN TÍCH PHÂN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.27 MB, 151 trang )
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
SĐT: 0935.785.115
Đăng kí học theo địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế
Hoặc Trung tâm Km 10 Hương Trà
TÝCH PH¢N ứng dụng
HàM ẩN
Phiên bản 2020
Cố lên các em nhé!
Huế, th¸ng 02/2021
Page: CLB GIO VIấN TR TP HU
CHUYÊN Đề
TíCH PHÂN ứng dụng
Tích phân _ Hàm ẩn
PHIU ễN TP S 01
Lớp Toán thầy LÊ Bá BảO
Tr-ờng THPT Đặng Huy Trứ
116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế
SĐT: 0935.785.115
Facebook: Lê Bá Bảo
Trung tâm KM 10 H-ơng Trà, Huế.
NI DUNG BI
2016
Cõu 1:
Cho hm s
f ( x ) liên tục trên
f ( x) f (2020 x) và
, thỏa mãn
f ( x)dx 2.
4
2016
Tính
xf ( x)dx.
4
Câu 2:
A. 16160 .
B. 2020 .
C. 4040 .
D. 8080 .
2
Cho hàm số f x liên tục trên 0; và thoả mãn f x 4 x 2 x 2 7 x 1, x 0; .
5
Biết f 5 8 , tính I x. f x dx.
0
A. I
Câu 3:
68
.
3
B. I
35
.
3
C. I
52
.
3
D. I
62
.
3
Cho y f ( x) là hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng được
tơ đậm.
y
2
O
A.
Câu 4:
9
.
4
B.
1
37
.
12
3
2
C.
x
5
.
12
Cho hàm số f x 0 và có đạo hàm liên tục trên
D.
, thỏa mãn
8
.
3
x 1 f x
f x
x2
2
ln 2
f 0
. Giá trị f 3 bằng
2
1
2
2
A. 4ln 2 ln 5 .
B. 4 4 ln 2 ln 5 .
2
C.
1
2
4ln 2 ln 5 .
4
D. 2 4 ln 2 ln 5 .
2
và
Câu 5:
Cho hàm số f(x) liên tục trên
2
1
4
Câu 6:
tan x. f cos x dx 2
2
và
0
f 2x
dx .
x
1
.
4
B.
1
.
3
x ln x
e
A. 4 .
B. 1 .
C. 0 .
Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm, nhận giá trị dương
2 2
2 f ( x 2 ) 9 x f ( x 2 ) với mọi x (0; ). Biết f , tính f
3 3
A.
Câu 7:
và thỏa mãn
f ln 2 x
e2
4
C.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
dx 2 . Tính
D. 8 .
trên (0; ) và thoả mãn
1
.
3
1
.
12
D.
1
.
6
, đồ thị của y f x đi qua điểm A 1; 0 và
3
nhận điểm I 2; 2 làm tâm đối xứng. Tính tích phân I x x 2 f x f / x dx .
1
A.
Câu 8:
16
.
3
B.
16
.
3
8
3
C. .
D.
8
.
3
và f 1 . Giá trị
2
Cho hàm số f x thỏa mãn f x . f x sin x.sin 2 2 x với mọi x
4
của f bằng
5
A.
Câu 9:
11
.
3
B.
11
.
5
C.
23
.
15
D.
11
.
3
Cho hàm số f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1; 4] thỏa mãn
2
x 2 xf ( x) f ( x) , x [1; 4], f (1)
A.
391
.
18
B.
361
.
18
3
. Giá trị f (4) bằng
2
381
C.
.
18
D.
Câu 10: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f x 6 x 2 . f x 3
A. 2.
C. 1.
B. 4.
371
.
18
6
3x 1
D. 6.
Câu 11: Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa 4 x. f x 3 f 1 x 1 x . Tính
2
1
2
. Tính
f x dx.
0
1
f x dx.
0
A.
4
Câu 12: Cho
B.
.
hàm
số
6
y f x
C.
.
xác
định
và
.
20
liên
D.
tục
trên
x 2 f 2 x 2 x 1 f x xf x 1 với x \0 và f 1 2 . Tính
.
16
\0
và
thỏa
mãn
2
f x dx.
1
1
A. ln 2 .
2
3
B. ln 2 .
2
Câu 13: Cho hàm số f x có f 2 0 và f x
( a, b , b 0,
C. 1
ln 2
.
2
3 ln 2
D.
.
2
2
7
x7
3
, x ; . Biết rằng
4
2x 3
2
a
là phân số tối giản). Khi đó a b bằng
b
a
x
f dx
b
2
A. 250 .
B. 251 .
Câu 14: Cho hàm số y f x liên tục trên
C. 133 .
D. 221 .
5
thỏa mãn f x 4 x 3 2 x 1 với mọi x
. Giá trị
8
f x dx bằng
của
2
A. 2 .
Câu 15: Cho
B. 10 .
hàm
số
f x
liên
C.
tục
trên
32
.
3
và
D. 72 .
2 f 1 3 f 0 0 ,
1
f x dx 7 .
Tính
0
x
I 6 x f dx.
2
0
A. I 40 .
B. I 28 .
C. I 18 .
D. I 42 .
2
Câu 16: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên 1; 2 và thỏa mãn f ( x) 2 xf x 2 3 f 1 x 4 x 3 . Tính giá
2
2
trị của tích phân I f ( x)dx .
A. I 3 .
1
B. I 5 .
C. I 15 .
D. I 6 .
Câu 17: Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn f 1 4 và
1
f x dx 2.
Tính
0
1
x f ' x dx.
3
2
0
A. 16.
B. 5.
C. 1.
D. 2.
Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0,
1
f ( x) dx 7
2
và
0
1
1
1
f ( x)dx . Tính f ( x)dx.
3
0
0
7
A.
B. 1
5
Câu 19: Cho hàm số y f x liên tục trên
x
2
7
D. 4
4
thỏa mãn xf x 2 f 2 x 2 x 3 2 x, x
C.
. Tính giá
2
trị I f x dx .
1
A. I 25 .
B. I 21 .
C. I 27 .
D. I 23 .
1
2
2
và 3xf ( x) x f ( x) 2 f ( x) ,
2
f ( x ) 0 với x 0; . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f ( x)
Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 0; , thỏa mãn f 1
trên đoạn 1; 2 . Tổng M m bằng
A.
21
.
10
B.
7
.
5
C.
9
.
10
_________________HẾT_________________
Huế, ngày 07 tháng 02 năm 2021
D.
6
.
5
Page: CLB GIO VIấN TR TP HU
CHUYÊN Đề
TíCH PHÂN ứng dụng
Tích phân _ Hàm ẩn
PHIU ễN TP S 01
LI GIẢI CHI TIẾT
2016
Câu 1:
Cho hàm số
f ( x ) liên tục trên
f ( x) f (2020 x) và
, thỏa mãn
f ( x)dx 2.
4
2016
Tính
xf ( x)dx.
4
A. 16160 .
Lời giải:
2016
Xét I
B. 2020 .
C. 4040 .
xf ( x)dx. Đặt t 2020 x dt dx và
4
2016
Do đó I
xf ( x)dx
(2020 t ) f (2020 t )(dt )
2016
(2020 x) f ( x)dx 2020
(2020 x) f (2020 x) dx
4
2016
4
Câu 2:
x 2016 t 4
2016
2016
x 4 t 2016
4
4
D. 8080 .
2016
f ( x)dx
4
xf ( x)dx 2020.2 I
4
I 4040 I 2 I 4040 I 2020.
Chọn đáp án B.
Cho hàm số f x liên tục trên 0; và thoả mãn f x 2 4 x 2 x 2 7 x 1, x 0; .
5
Biết f 5 8 , tính I x. f x dx.
0
A. I
68
.
3
B. I
35
.
3
C. I
52
.
3
D. I
62
.
3
Lời giải:
Ta có f x 2 4 x 2 x 2 7 x 1 2 x 4 f x 2 4 x 2 x 2 7 x 1 2 x 4 .
Lấy tích phân cận chạy từ 0 1 hai vế ta được:
1
2x 4 f x
0
1
2
4 x dx 2 x 2 7 x 1 2 x 4 dx
0
52
.
3
2
t x 4 x dt 2 x 4 dx
2
.
Đặt
. Khi đó ta có
2
x
4
f
x
4
x
dx
0
x 0 t 0, x 1 t 5
1
5
5
52
2
0 2 x 4 f x 4 x dx 0 f t dt 0 f x dx 3 .
1
Xét
5
68
52
Xét I x. f x dx xf x 0 f x dx 40
.
3
3
0
0
Chọn đáp án A.
Cho y f ( x) là hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng được
5
Câu 3:
tô đậm.
5
y
2
O
A.
9
.
4
B.
1
37
.
12
x
3
2
C.
5
.
12
D.
8
.
3
Lời giải:
Giả sử f ( x) ax 3 bx 2 cx d có đồ thị (C ) như hình vẽ trên.
Điểm O(0;0) (C ) d 0 f ( x) ax 3 bx 2 cx .
a b c 0
a 1
Các điểm A(1;0), B(2; 2), D(3;0) (C) 4a 2b c 1 b 4 f ( x) x 3 4 x 2 3x .
9a 3b c 0
c 3
Diện tích hình phẳng cần tìm là
1
3
1
3
0
1
0
1
S 0 f ( x)dx f ( x) 0dx ( x 3 4 x 2 3x)dx ( x 3 4 x 2 3x)dx
37
12
Chọn đáp án B.
Câu 4:
Cho hàm số f x 0 và có đạo hàm liên tục trên
, thỏa mãn
x 1 f x
f x
x2
2
ln 2
f 0
. Giá trị f 3 bằng
2
1
2
2
A. 4ln 2 ln 5 .
B. 4 4 ln 2 ln 5 .
2
C.
1
2
4ln 2 ln 5 .
4
Lời giải:
Với x 0;3 ta có:
x 1 f x
f x
f x
x2
f x
f x
1
x 1 x 2
3
1
x 1
1
dx
dx 2 f x 0 ln
x 1 x 2
x2
f x
0
3
0
3
4
1
2 f 3 f 0 ln ln f 3
5
2
1 8
1
f 3 ln ln 2 4ln 2 ln 5 f
2 5
2
Chọn đáp án C.
2
3
0
1 8
ln 2
ln
2 5
2
1
2
3 4 ln 2 ln 5 .
4
D. 2 4 ln 2 ln 5 .
2
và
e2
tan x. f cos x dx 2
4
Câu 5:
Cho hàm số f(x) liên tục trên
2
1
4
và thỏa mãn
2
và
0
f 2x
dx .
x
A. 4 .
Lời giải:
B. 1 .
e
C. 0 .
f ln 2 x
x ln x
dx 2 . Tính
D. 8 .
4
Xét I1 tan x. f cos 2 x dx 2 .
0
dt
dt 2sin x cos xdx 2 tan x .cos2 xdx tan xdx
2t
Đặt t cos2 x
.
1
x 0 t 1; x t
4
2
1
2
Suy ra I1
1
e2
Xét I 2
f t
2t
f ln 2 x
x ln x
e
1
dt
f t
1
2
2t
1
dt 2
1
2
f t
t
dt 4 .
dx 2 .
2 ln x
1
dt
1
dx
2 ln 2 xdx
dx
dt
Đặt t ln x
x
x ln x
2t x ln x .
x e t 1; x e 2 t 4
4
4
f t
f t
dt 2
dt 4 .
Suy ra I 2
2t
t
1
1
2
2x
1
dt
dt 2dx
dx dx
f 2x
x
x
t
dx . Đặt t 2 x
Xét I
.
x
1
x 1 t 1 ; x 2 t 4
4
4
2
4
1
4
f t
f t
f t
dt
dt
dt 4 4 8 .
Suy ra I
t
t
t
1
1
1
2
2
Câu 6:
2
Chọn đáp án D.
Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm, nhận giá trị dương trên (0; ) và thoả mãn
2 2
1
2 f ( x 2 ) 9 x f ( x 2 ) với mọi x (0; ). Biết f , tính f .
3
3 3
A.
1
.
4
B.
1
.
3
C.
1
.
12
D.
1
.
6
Lời giải:
2
Ta có 2 f (x )
2
9x f (x )
2 xf x
2 f x2
f x 2 9
9 2
x 2 f x 2 9 x 2
x
2
2
2 f x2 2
Do đó
9
3
2
f x 2 x 2 dx x3 C . Mà f
2
2
3
2
3
2
3
3 2 2
. .
2 3 3
C
C
0.
3
9
9
1
1 9 1
Suy ra f x .x 6 f x x3 f .
.
4
4
3 4 3 12
2
Câu 7:
Chọn đáp án C.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
, đồ thị của y f x đi qua điểm A 1; 0 và
3
nhận điểm I 2; 2 làm tâm đối xứng. Tính tích phân I x x 2 f x f / x dx .
1
A.
16
.
3
B.
16
.
3
8
3
C. .
D.
8
.
3
Lời giải:
+ Từ giả thiết, suy ra đẳng thức f x f 4 x 4, x (*).
3
3
3
+ Ta có I x x 2 f x f x dx x 2 x f x dx x 2 2 x df x
1
2
1
3
1
3
x 2 x f x dx x 2 x f x 2 x 2 f x dx
1
2
3
2
1
3
1
x 2 4 x 2 f x dx 3 f 3 f 1 .
1
+ Từ giả thiết và (*) suy ra f 1 0 và f 3 4 .
3
+ Kí hiệu J x 2 4 x 2 f x dx , dùng phép đổi biến t 4 x dẫn đến
1
3
3
J 4 x 4 4 x 2 f 4 x dx x 2 4 x 2 f 4 x dx .
2
1
1
Suy ra
3
3
2 J x 4 x 2 f x f 4 x dx 4 x 2 4 x 2 dx
2
1
1
40
20
J .
3
3
20
16
Vậy I
.
3.4 0
3
3
Cách dự đoán đáp số: Chọn f x 2 x 2 2 thỏa mãn các đk đề bài, thu được I
3
Chọn đáp án B.
Câu 8:
và f 1 . Giá trị
2
Cho hàm số f x thỏa mãn f x . f x sin x.sin 2 2 x với mọi x
4
của f bằng
5
A.
11
.
3
B.
11
.
5
C.
23
.
15
D.
11
.
3
Lời giải:
1
1
1
1
sin x 1 cos 4 x sin x sin 5 x sin 3 x .
2
2
4
4
4
4
2
Vậy f x . f x sin x.sin 2 x f x . f x dx sin x.sin 2 2 xdx
Ta có sin x.sin 2 2 x
16
.
3
Câu 9:
1
1
1
f 4 x df x sin x sin 5 x sin 3 x dx
4
4
2
5
f x
1
1
1
cos x cos 5 x cos 3 x C.
5
2
20
12
1
1
1 11
1
1
Do f 1 C . Vậy f 5 5 cos cos 5 cos 3 .
20
12
5 3
5
2
2
Chọn đáp án D.
Cho hàm số f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1; 4] thỏa mãn
2
x 2 xf ( x) f ( x) , x [1; 4], f (1)
391
.
18
Lời giải:
A.
B.
361
.
18
3
. Giá trị f (4) bằng
2
381
C.
.
18
Ta có x 2 xf ( x) [f ( x)]2 x(1 2 f ( x)) [f ( x)]2
f ( x)
4
4
1 2 f ( x)
1
4
dx xdx 1 2 f ( x)
1
1
371
.
18
D.
[f ( x)]2
f ( x)
x
x
1 2 f ( x)
1 2 f ( x)
14
14
391
1 2 f (4) 2
f (4)
.
3
3
18
Chọn đáp án A.
Câu 10: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f x 6 x 2 . f x 3
A. 2.
Lời giải:
C. 1.
B. 4.
f x 6x2 . f x3
1
1
6
3x 1
D. 6.
. Tính
f x dx.
0
1
1
3
I f x dx 2 3x 2 . f x 3
dx A B
3x 1
3x 1
0
0
6
Gọi A 2 3x 2 . f x 3 dx. Đặt t x 3 dt 3x 2 dx. Đổi cận x 0 t 0; x 1 t 1
0
1
1
Ta có: A 2 f t dt 2 f x dx 2 I
0
0
1
I 2I B I B 6
0
1
1
1
1
dx 6 3x 1 2 . .d 3x 1 2.2. 3x 1 4.
0
3
3x 1
0
1
Chọn đáp án B.
Câu 11: Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa 4 x. f x 2 3 f 1 x 1 x 2 . Tính
1
f x dx.
0
A.
B.
.
4
Lời giải:
6
C.
.
20
D.
.
4 x. f x 2 3 f 1 x 1 x 2
1
1
1
1
0
0
0
2. 2 x. f x 2 dx 3 f 1 x dx 1 x 2 dx 2 A 3B 1 x 2 dx *
0
1
A 2 x. f x 2 dx Đặt t x 2 dt 2 xdx ; x 0 t 0; x 1 t 1
0
16
.
1
1
0
1
0
A f t dt f x dx
B f 1 x dx Đặt t 1 x dt dx; x 0 t 1, x 1 t 0
0
1
1
B f t dt f x dx
0
0
1
1
1
0
0
0
* 2 f x dx 3 f x dx
1
1
0
0
1 x 2 dx 5. f x dx 1 x 2 dx
Đặt: x sin t dx costdt, t ; ; x 0 t 0, x 1 t
2
2 2
1
2
1 x dx
2
0
2
0
1
Vậy
1 cos2t
1
1
1 sin t .cos tdt
dt . t sin 2t 2
2
2
2
0 4
0
2
f x dx 20 .
0
Chọn đáp án C.
Câu 12: Cho hàm số y f x
xác
định
và
liên
tục
\0
trên
x 2 f 2 x 2 x 1 f x xf x 1 với x \0 và f 1 2 . Tính
và
thỏa
mãn
2
f x dx.
1
1
A. ln 2 .
2
Lời giải:
3
B. ln 2 .
2
3 ln 2
D.
.
2
2
ln 2
C. 1
.
2
Biến đổi x 2 f 2 x 2 xf x 1 f x xf x xf x 1 f x xf x .
2
Đặt h x xf x 1 h x f x x. f x , Khi đó có dạng:
h 2 x h x
h x
h x
2
1
h x
h x
2
dx dx
dh x
h x
2
xC
1
x C.
h x
h x
1
1
1
f 1 2
xf x 1
2 1
C 0.
xC
xC
1C
1
1 1
Khi đó xf x 1 f x 2 .
x
x
x
2
2
1 1
1
Suy ra: f x dx 2 dx ln 2 .
x
2
x
1
1
Chọn đáp án A.
Câu 13: Cho hàm số f x có f 2 0 và f x
( a, b , b 0,
A. 250 .
Lời giải:
7
x7
3
, x ; . Biết rằng
4
2x 3
2
a
là phân số tối giản). Khi đó a b bằng
b
B. 251 .
C. 133 .
Lấy nguyên hàm hai vế của f x
a
x
f dx
b
2
D. 221 .
x7
x7
3
ta được f x
dx, x ; .
2x 3
2x 3
2
u2 3
Đặt u 2 x 3 x
suy ra dx udu .
2
3
1
1 2 x 3
2
17
Suy ra f x u 17 du
2
2
3
2 x 3 C.
3
1 2 x 3
26
26
17 2 x 3 .
Theo giả thiết ta có f 2 0 suy ra C . Do đó f x
3
2
3
3
7
x
7
x
Ta có f dx . Đặt t dx 2dt .Đổi cận với x 4 t 2 , với x 7 t .
4
2
2
2
7
7
7
x
Suy ra f dx 2 2 f t dt 2 2 f x dx .
4
2
2
2
2 x 3 3
13
236
17 2 x 3
dx
Vậy 2 f x dx
.
3
3
15
Suy ra a 236, b 15 nên a b 236 15 251 .
Chọn đáp án B.
Câu 14: Cho hàm số y f x liên tục trên
thỏa mãn f x 5 4 x 3 2 x 1 với mọi x
7
2
2
7
2
2
. Giá trị
8
f x dx bằng
của
2
A. 2 .
B. 10 .
C.
32
.
3
D. 72 .
Lời giải:
Ta có 5 x 4 4 . f x5 4 x 3 5 x 4 4 2 x 1 .
Đặt t x
5
4 x 3 ta có dt 5 x 4 dx và
4
f t 2 x 1.
Đổi cận
+ t 2 x 5 4 x 5 0 x 1 .
+ t 8 x5 4 x 5 0 x 1 .
8
Do đó
1
f t dt 2 x 1 5x
2
4
4 dx 10 .
1
Chọn đáp án B.
Câu 15: Cho
hàm
số
f x
liên
tục
trên
và
2 f 1 3 f 0 0 ,
1
f x dx 7 .
0
x
I 6 x f dx.
2
0
A. I 40 .
B. I 28 .
Lời giải:
2
x
Xét I 6 x f dx
2
0
2
C. I 18 .
D. I 42 .
Tính
u 6 x
du dx
Đặt
x
x.
dv f 2 dx
v 2 f 2
2
2
x
x
Khi đó: I 2 6 x f 2 f dx 4 2 f 1 3 f 0 2 J 2 J .
2 0
2
0
2
x
2
Xét J f dx
0
x
1
dt dx .
2
2
+ Đổi cận : x 0 t 0; x 2 t 1 .
+ Đặt t
1
Lúc này: J 2 f t dt 2 7 14 . Vậy I 2 J 2 14 28 .
0
Chọn đáp án B.
Câu 16: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên 1; 2 và thỏa mãn f ( x) 2 xf x 2 2 3 f 1 x 4 x 3 . Tính giá
2
trị của tích phân I f ( x)dx .
1
A. I 3 .
B. I 5 .
Lời giải:
Lấy nguyên hàm hai vế giả thiết ta có
C. I 15 .
D. I 6 .
f ( x) 2 xf ( x 2) 3 f (1 x) dx 4 x dx
f ( x)dx f ( x 2)d ( x 2) 3 f (1 x)d (1 x) x C
Đặt f (t )dx F (t ) F ( x) F ( x 2) 3F (1 x) x C .
2
3
2
2
4
2
4
x 1 F (1) F (1) 3F (2) 1 C
2 F ( 1) 3F (2) 1 C
x 2 F (2) F (2) 3F (1) 16 C 2 F (2) 3F ( 1) 16 C
Ta có
2
Trừ từng vế thu được 5F (2) 5F (1) 15 F (2) F ( 1) 3 I
f ( x)dx 3 .
1
Chọn đáp án A.
Câu 17: Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn f 1 4 và
1
f x dx 2.
0
1
x f ' x dx.
3
2
0
A. 16.
Lời giải:
B. 5.
Đặt x 2 t 2 xdx dt. Khi đó ta có xdx
1
Suy ra:
3
2
x f ' x dx
0
Chọn đáp án C.
C. 1.
D. 2.
dt
.
2
1
1
1
1
1
1
1
1
f
1
f t 1.
tf
'
t
dt
t
f
t
f
t
dt
0
0
2 0
2 0
2
2
Tính
Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0,
1
f ( x) dx 7
2
và
0
1
1
0 x f ( x)dx 3 . Tính
7
A.
5
Lời giải:
2
1
f ( x)dx.
0
B. 1
C.
2
Đặt u f x du f x dx , dv x dx v
1
1
7
4
D. 4
x3
.
3
1
1 x3
x3
Ta có
f x
f x dx x3 f x dx 1
3 3
3
0
0
0
1
Ta có
1
1
1
0
0
6
49 x dx 7,
3
3
f ( x) dx 7, 2.7 x . f x dx 14 7 x f ( x) dx 0
0
0
2
2
4
7x
7
C , mà f 1 0 C
4
4
1
1
4
7x 7
7
f ( x)dx
dx .
4
4
5
0
0
7 x3 f ( x) 0 f x
Chọn đáp án A.
Câu 19: Cho hàm số y f x liên tục trên
thỏa mãn xf x 2 f 2 x 2 x 3 2 x, x
. Tính giá
2
trị I f x dx .
1
A. I 25 .
Lời giải:
C. I 27 .
B. I 21 .
2
D. I 23 .
2
Ta có: xf x f 2 x 2 x 2 x xf x 2 f 2 x dx 2 x 3 2 x dx
2
3
1
1
2
x
2
21
xf x 2 dx f 2 x dx x 2 xf x 2 dx f 2 x dx . (*)
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
4
2
+ Tính
xf x dx :
2
1
du
; x 1 u 1; x 2 u 4 .
2
4
f u
1
du f x dx .
2
21
Đặt u x 2 du 2 xdx xdx
2
4
1
2
1
Suy ra xf x 2 dx
+ Tính
Suy ra
f 2 x dx . Đặt t 2 x dt 2dx dx
1
2
4
1
2
f 2 x dx
f t
dt
; x 1 t 2; x 2 t 4 .
2
4
1
dt f x dx .
2
22
4
4
2
4
4
1
1
21
1
1
1
21
Thay vào (*) ta được f x dx f x dx
f x dx f x d x f x d x
21
22
2
21
22
22
2
2
2
1
21
f x dx
f x dx 21 .
21
2
1
Chọn đáp án B.
1
2
2
và 3xf ( x) x f ( x) 2 f ( x) ,
2
f ( x ) 0 với x 0; . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f ( x)
Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 0; , thỏa mãn f 1
trên đoạn 1; 2 . Tổng M m bằng
A.
21
.
10
B.
7
.
5
C.
9
.
10
D.
6
.
5
Lời giải:
+) Xét hàm số f ( x ) trên 0; ta có: 3 xf ( x) x f ( x) 2 f ( x)
2
x f ( x) x
3
3x f ( x) x f ( x) 2 xf ( x)
2
3
2
f 2 ( x)
2
3
f ( x)
x3
2x
2 x 1 .
f ( x)
x 3
x3
x2 C .
Lấy nguyên hàm hai vế của 1 ta được :
dx 2 xdx
f ( x)
f ( x)
1
13
x3
Mà f 1 nên
.
12 C C 1 . Suy ra f x 2
2
x 1
f (1)
x3
+) Xét hàm số f x 2
trên 1;2 .
x 1
3 x 2 x 2 1 2 x.x 3 x 4 3 x 2
'
Xét hàm số f x
0 với x 1;2 .
2
2
2
2`
x
1
x
1
Suy ra M max f x f 2
1;2
Vậy M m
8
1
; m min f x f 1 .
1;2
5
2
1 8 21
.
2 5 10
Chọn đáp án A.
_________________HẾT_________________
Huế, ngày 07 tháng 02 năm 2021
Page: CLB GIO VIấN TR TP HU
CHUYÊN Đề
TíCH PHÂN ứng dụng
Tích phân _ Hàm ẩn
PHIU ễN TP S 02
Lớp Toán thầy LÊ Bá BảO
Tr-ờng THPT Đặng Huy Trứ
116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế
Cõu 1:
SĐT: 0935.785.115
Facebook: Lê Bá Bảo
Trung tâm KM 10 H-ơng Trà, Huế.
NI DUNG BI
Cho hm s f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 2; 4 và thỏa mãn f 2 2, f 4 2020 .
2
Tính tích phân I f 2 x dx .
1
A. I 1009 .
Câu 2:
B. I 2022 .
C. I 2018 .
D. I 1011 .
2
Cho a là hằng số thực và hàm số f x liên tục trên
thỏa mãn
f x a dx 2021 . Giá trị
1
2 a
của tích phân I
f x dx là
1 a
A. I 2021.
Câu 3:
Cho
hàm
f x 1
số
f x
x
tục
x 2 x 1 .ln x 1 . Biết
trên
D. I 2021 a.
khoảng
0;
và
thỏa
mãn
17
. Tính f 2 .
B. 4e 2 2e 1
A. 4e 2 4e 4
Câu 5:
liên
C. I 2021 a.
1 f x dx a ln 5 2ln b c với a, b, c . Giá trị
2x
4x x
của a b 2c bằng
29
A.
.
B. 5 .
C. 7 .
D. 37 .
2
Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Biết f 1 e và x 2 f x xf x x 3 ,
2
Câu 4:
f
B. I 2021.
Cho
C. 2e 3 2e 2
f x là hàm số liên tục trên
thoả mãn
D. 4e 2 4e 4
1
1
f t dt 3 ,
f 1 1 và
tính
0
2
I sin 2 x. f sin x dx.
0
Câu 6:
A. I
4
.
3
Cho
hàm
1
B. I
số
A. 1 .
có
C. I
đạo
hàm
xác
2
.
3
định
D. I
trên
1
1 3 x
f 2 x dx 4 . Giá trị của f x dx bằng
1 2 x
0
5
3
B. .
C. .
7
7
4
2
x f x dx
0
f x
2
.
3
.
Biết
D.
1
.
3
1
.
7
f 1 2
và
Câu 7:
Cho hàm số
f x
2
y f x
f x .e x , x
thỏa mãn
và f 0 2. Khi đó f 2 thuộc khoảng nào sau đây?
B. 9;10 .
A. 12;13 .
Câu 8:
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên
C. 11;12 .
Cho hàm số f x liên tục trên
D. 13;14 .
và thỏa mãn f ( x) f ( x) 2 cos 2 x, x
. Khi đó
2
f x dx bằng
Câu 9:
2
A. 2 .
B. 4 .
C. 2 .
Cho f x là hàm số liên tục trên tập số thực
D. 0 .
và thỏa mãn f x 3 3x 1 x 2 . Tính
5
I f x dx.
1
41
A.
.
4
B.
527
.
3
C.
61
.
6
464
.
3
D.
1
e2
2 6
f ln x
x 2 khi 0 x 2
Câu 10: Cho hàm số f x 2
. Khi đó
dx xf x 2 1 dx bằng
x
1
x 5 khi 2 x 5
3
19
37
27
A.
.
B.
.
C.
.
D. 5.
2
2
2
1
Câu 11: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
. Biết x. f ' x dx 10 và f 1 3 , tính
0
A. 30 .
B. 7 .
1
f x dx .
0
D. 7 .
C. 13 .
Câu 12: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 4x. f x 3 f 1 x 1 x 2 . Tính
2
1
f x dx .
0
A.
16
.
B.
.
4
C.
20
.
.
6
D.
Câu 13: Cho hàm số f x thỏa mãn f x . f x sin x.sin 2 2 x với mọi x
4
của f bằng
11
A. .
3
và f 1 . Giá trị
2
5
B.
11
.
5
C.
23
.
15
D.
11
.
3
1
Câu 14: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
thỏa mãn f ( x) e tf (t )dt , x
x
. Tính f (ln(5620)) .
0
A. 5622.
B. 5621.
Câu 15: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
C. 5620.
D. 5619.
1
và thỏa mãn
f x dx 10 , f 1 cot1 . Tính tích
0
1
phân I f x tan 2 x f x tan x dx .
0
A. 1 ln cos1 .
B. 1 .
C. 9 .
D. 1 cot1 .
1
1
Câu 16: Cho hàm số y f x liên tục và thỏa mãn f x 2 f 3x với mọi x ; 2 . Tính
x
2
2
f x
1 x dx .
2
3
9
9
3
.
B. .
C. .
D. .
2
2
2
2
2
x
Câu 17: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên 0; sao cho x xf e f e x 1 với mọi
A.
x 0; . Tính tích phân I
e
ln x f x dx .
x
e
1
8
2
3
A. I .
B. I .
C. I
Câu 18: Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên
1
.
12
3
8
D. I .
có đồ thị như hình vẽ . Biết H1 có diện tích bằng 7
(đvdt) , H 2 có diện tích bằng 3 (đvdt).
1
Tính I
2x 6 f x
2
6 x 7 dx.
2
A. 11 (đvdt).
B. 4 (đvdt).
Câu 19: Cho hàm số y f x liên tục trên
C. 1 (đvdt).
D. 10 (đvdt).
2
và thỏa mãn f x f x x , x . Tính I f x dx.
3
0
4
A. I .
5
4
B. I .
5
Câu 20: Cho hàm số f ( x) liên tục trên
5
5
C. I .
D. I .
4
4
3
2
10
6
thỏa xf x f 1 x x x 2 x , x
0
f ( x)dx
bằng
1
A.
17
.
20
13
17
.
C.
.
4
4
_________________HẾT_________________
Huế, ngày 07 tháng 02 năm 2021
B.
D. 1 .
. Khi đó
Page: CLB GIO VIấN TR TP HU
CHUYÊN Đề
TíCH PHÂN ứng dụng
Tích phân _ Hàm ẩn
PHIU ễN TP S 02
LI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 2; 4 và thỏa mãn f 2 2, f 4 2020 .
2
Tính tích phân I f 2 x dx .
1
A. I 1009 .
Lời giải:
B. I 2022 .
C. I 2018 .
D. I 1011 .
1
dt . Đổi cận: x 1 t 2; x 2 t 4 .
2
Đặt t 2 x dx
2
Do đó, ta có I f 2 x dx
1
4
4
1
1
1
f t dt f t f 4 f 2 1009.
22
2
2
2
Chọn đáp án A.
Câu 2:
2
Cho a là hằng số thực và hàm số f x liên tục trên
thỏa mãn
f x a dx 2021 . Giá trị
1
2 a
của tích phân I
f x dx là
1 a
A. I 2021.
B. I 2021.
C. I 2021 a.
Lời giải:
Đặt: t x a dt dx .
Đổi cận: Với x 1 ta có t 1 a ; với x 2 ta có t 2 a .
2 a
I
1 a
Chọn đáp án A.
Câu 3:
Cho
hàm
f x 1
số
f
f x
f t dt
2a
1 a
liên
D. I 2021 a.
2
f x dx f x a dx 2021.
1
tục
x 2 x 1 .ln x 1 . Biết
trên
khoảng
0;
và
thỏa
17
1 f x dx a ln 5 2ln b c với a, b, c
2x
4x x
của a b 2c bằng
29
A.
.
B. 5 .
C. 7 .
D. 37 .
2
Lời giải:
Cách 1:
Do f x liên tục trên khoảng 0; nên tồn tại F x f x dx , x 0 .
2
Với x 0 , ta có:
f x 2 1
f
x 2 x 1 .ln x 1
4x x
2x
mãn
2 x. f x 2 1
f
x 2 x 1 .ln x 1 .
2 x
. Giá trị
Xét vế trái: g x 2 x. f x 2 1
f
x
2
g x dx F x 1 F
2 x
Xét vế phải: h x 2 x 1 .ln x 1
xC .
1
h x dx 2 x 1 ln x 1dx ln x 1d x 2 x x 2 x ln x 1 x 2 x
1
dx
x 1
x2
x x ln x 1 xdx x x ln x 1 C2 .
2
2
2
Suy ra F x 2 1 F
x x
2
x ln x 1
x2
C
2
1 .
Thay x 4 vào 1 ta có: F 17 F 2 20ln 5 8 C .
Thay x 1 vào 1 ta có: F 2 F 1 2 ln 2
17
Nên
1
1
C .
2
15
15
f x dx F 17 F 1 20ln 5 2ln 2 , suy ra a 20 , b 2 , c .
2
2
Vậy: a b 2c 20 2 15 7 .
Cách 2:
Do f x liên tục trên khoảng 0; nên tồn tại F x f x dx , x 0 .
Với x 0 , ta có:
f x 2 1
f
x 2 x 1 .ln x 1
2 x. f x 2 1
2x
4x x
Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến 4 ta được:
4
f x
4
2
1
1 d x 1 f
2
x d
1
17
2
2
17
1
f
x 2 x 1 .ln x 1 .
2 x
4
x 2 x 1 .ln x 1 dx
1
4
f t dt f t dt x 2 x ln x 1
4
1
4
17
1
1
1
x2 x
dx
x 1
f t dt 20ln 5 2ln 2 xdx f x dx 20ln 5 2ln 2
1
Câu 4:
Vậy: a b 2c 20 2 15 7 .
Chọn đáp án C.
Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
. Tính f 2 .
x
A. 4e 4e 4
Lời giải:
2
B. 4e 2 2e 1
Ta có: x 2 f x xf x x 3
. Biết f 1 e và x 2 f x xf x x 3 ,
C. 2e 3 2e 2
xf x x 2 f x
x3
15
.
2
D. 4e 2 4e 4
1
2 x
2
e x f x
e f x
e2 f 2 e1 f 1
x
x
e
d
x
e
d
x
e2 e1
2
2
2
2
2
1
x
1
1
x
e2 f 2 e1 f 1
e1 e2 f 2 4 ef 1 e 1 4 e 2 4 e 4 .
4
1
Chọn đáp án D.
Câu 5:
f x là hàm số liên tục trên
Cho
thoả mãn
1
1
f t dt 3 ,
f 1 1 và
tính
0
2
I sin 2 x. f sin x dx.
0
A. I
4
.
3
B. I
2
.
3
C. I
Lời giải:
Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận x 0 t 0; x
2
D. I
1
.
3
t 1.
u 2t
du 2dt
dv f t dt v f t
1
2
2
.
3
Khi đó I sin 2 x. f sin x dx 2t. f t dt. Đặt
0
0
1
1
4
Vậy I 2t. f t 2 f t dt 2 f 1 2 .
0
3 3
0
1
Câu 6:
Chọn đáp án A.
Cho hàm số
f x
có
đạo
hàm
xác
định
trên
1
1 3 x
f 2 x dx 4 . Giá trị của f x dx bằng
0
1 2 x
5
3
B. .
C. .
7
7
1
4
2
x f x dx
0
A. 1 .
.
Biết
f 1 2
và
D.
1
.
7
Lời giải:
1
1
Ta có: 4 x f x dx x d f x x f x
2
2
0
2
0
1
0 2xf x dx
1
0
1
1
1
0
0
0
4 f 1 2 xf x dx 4 2 2 xf x dx xf x dx 1 .
1
1 3 x
dx .
f 2 x dx . Đặt t 2 x dt
2
x
2
x
1
Với x 1 t 1 và x 4 t 0 .
4
0
1 3 x
Khi đó 4
f 2 x dx 1 3 2 t f t dt
1 2 x
1
4
Xét
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
4 7 3t f t dt 4 7 f t dt 3 tf t dt 4 7 f t dt 3 1 f t dt
1
Vậy
1
.
7
1
f x dx 7 .
0
Câu 7:
Chọn đáp án D.
Cho hàm số y f x
f x
2
f x .e x , x
A. 12;13 .
Lời giải:
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên
và f 0 2. Khi đó f 2 thuộc khoảng nào sau đây?
B. 9;10 .
C. 11;12 .
D. 13;14 .
thỏa mãn
f x 0
nên ta có
f x f 0 , x 0
x
f x
1 x
f x .e x f x f x .e 2
e2
2 f x 2
Hàm số đồng biến trên
f x
2
2
f x
2
1 2x
dx e dx
2
f x
0 2
0
2
f x e
x 2
2
0
f 2
f 0 e 1
0
f 2 e 2 1 9;10 .
Câu 8:
2
Chọn đáp án B.
Cho hàm số f x liên tục trên
và thỏa mãn f ( x) f ( x) 2 cos 2 x, x
. Khi đó
2
f x dx bằng
2
A. 2 .
B. 4 .
Lời giải:
Với f ( x) f ( x) 2 cos 2 x, x
2
D. 0 .
C. 2 .
2
2
2
2
f ( x) f ( x) dx 2 cos 2 xdx f x dx f x dx 2 cos 2 xdx (*)
2
Tính I
2
2
2
2
2
f x dx . Đặt t x dt dx. Đổi cận: x 2 t 2 ; x 2 t 2 .
2
2
Khi đó I f t dt
2
2
2
f t dt f x dx .
2
2
Từ (*), ta được: 2 f x dx
2
2
2
2 cos 2 xdx sin 2 x
2
2
2
0
2
f x dx 0 .
2
Chọn đáp án D.
Câu 9:
Cho f x là hàm số liên tục trên tập số thực
và thỏa mãn f x 3 3x 1 x 2 . Tính
5
I f x dx.
1
41
A.
.
4
527
.
3
B.
C.
61
.
6
D.
464
.
3
Lời giải:
Đặt x t 3 3t 1 . Đổi cận: x 1 t 0 , x 5 t 1 .
Ta có: dx d t 3 3t 1 3t 2 3 dt .
5
1
1
Khi đó: I f x dx f t 3t 1 3t 3 dt t 2 3t 2 3 dt
1
Chọn đáp án A.
0
3
2
0
41
.
4
1
e2
2 6
f ln x
x 2 khi 0 x 2
f
x
Câu 10: Cho hàm số 2
. Khi đó
dx xf x 2 1 dx bằng
x
1
x 5 khi 2 x 5
3
19
37
27
A.
.
B.
.
C.
.
D. 5.
2
2
2
Lời giải:
e2
x 1 t 0
f ln x
1
Xét I1
dx. Đặt t ln x dt dx. Đổi cận
2
x
x
x e t 2
1
f ln x
e2
Suy ra I1
x
1
2 6
Xét I 2
xf
2
2
2
x2
2
1
dx f t dt = f x dx x 2 dx 2 x 5.
2
4
0
0
0
0
x 2 1 dx Đặt t x 2 1 t 2 x 2 1 tdt xdx.
3
x 3 t 2
Đổi cận
x 2 6 t 5
2 6
Suy ra I 2
xf
5
5
5
x2
5 9
x 2 1 dx f t dt f x dx x 5 dx
5x .
2
2 2
2
2
2
3
f ln x
e2
Vậy
x
1
2 6
dx
xf
x 2 1 dx 5
3
9 19
.
2 2
Chọn đáp án A.
Câu 11: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
1
. Biết x. f ' x dx 10 và f 1 3 , tính
0
A. 30 .
Lời giải:
B. 7 .
1
f x dx .
0
D. 7 .
C. 13 .
1
u x
du dx
Xét tích phân x. f ' x dx 10 . Đặt
.
dv
f
'
x
dx
v
f
x
0
1
1
1
0
0
Do đó, x. f ' x dx 10 x. f x f x dx 10 f 1 10 f x dx .
1
0
0
1
Suy ra
f x dx 3 10 7 .
0
Chọn đáp án D.
Câu 12: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 4x. f x 2 3 f 1 x 1 x 2 . Tính
1
f x dx .
0
A.
.
B.
16
Lời giải:
.
4
C.
20
.
D.
Từ giả thiết 4x. f ( x ) 3 f (1 x) 1 x , lấy tích phân hai vế ta được:
2
1
1
2
1
2
[4 x. f ( x )]dx 3 f (1 x)dx
0
0
0
1 x 2 dx (*)
.
6
1
Tính A [4 x. f ( x 2 )]dx. Đặt t x dt 2 x.dx . Đổi cận: x 0 t 0 ; x 1 t 1 .
2
0
1
1
1
1
0
0
A [4 x. f ( x )]dx 2 f ( x )2x.dx 2 f (t )dt =2 f ( x)dx
2
2
0
0
1
Tính B 3 f (1 x)dx
0
Đặt t 1 x dt dx . Đổi cận: x 0 t 1 ; x 1 t 0 .
1
0
1
1
1
0
0
B 3 f ( x 1)]dx 3 f (t )dt 3 f (t )dt =3 f ( x)dx
0
1
Tính C
0
1 x 2 dx
Đặt x sin t dx cos t .dt . Đổi cận: x 0 t 0 ; x 1 t
1
C
0
2
2
2
.
2
1 cos2t
1 1
.dt = t sin 2t
2
2 4
0 4
0
1 x 2 dx cos 2 t.dt =
0
1
Thay A, B, C vào (*) ta được: 5 f ( x)dx
0
1
f ( x)dx
4
0
20
.
Chọn đáp án C.
và f 1 . Giá trị
2
Câu 13: Cho hàm số f x thỏa mãn f x . f x sin x.sin 2 2 x với mọi x
4
của f bằng
11
A. .
3
Lời giải:
5
B.
11
.
5
C.
23
.
15
D.
11
.
3
1
1
1
1
sin x 1 cos 4 x sin x sin 5 x sin 3 x .
2
2
4
4
4
4
2
Vậy f x . f x sin x.sin 2 x f x . f x dx sin x.sin 2 2 xdx
1
1
1
f 4 x df x sin x sin 5 x sin 3 x dx
4
4
2
Ta có sin x.sin 2 2 x
f 5 x
1
1
1
cos x cos 5 x cos 3 x C.
5
2
20
12
1
1
1
1 11
1
Do f 1 C . Vậy f 5 5 cos cos 5 cos 3 .
5
20
12
5 3
2
2
Chọn đáp án D.
1
Câu 14: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
thỏa mãn f ( x) e x tf (t )dt , x
. Tính f (ln(5620)) .
0
A. 5622.
Lời giải:
B. 5621.
C. 5620.
1
Theo giả thiết, ta có: f ( x) e c , với c tf (t )dt là hằng số.
x
0
D. 5619.
1
1
1
1
1
Khi đó: c t e c dt te dt ctdt I1 I 2 , với I1 te dt , I 2 ctdt .
t
t
0
t
0
1
0
1
0
1
Vì I1 te dt td (e ) (te ) e dt e (e )
t
t
0
t
1
0
t
0
t
0
1
0
0
1
ct 2
e (e 1) 1 , I 2 ctdt ( )
2
0
c
c I1 I 2 c 1 c 2 . Vậy f ( x) e x 2, x
2
Do đó f (ln(5620)) eln(5620) 2 5620 2 5622 .
1
0
c
nên
2
.
Chọn đáp án A.
Câu 15: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
1
và thỏa mãn
f x dx 10 , f 1 cot1 . Tính tích
0
1
phân I f x tan 2 x f x tan x dx .
0
A. 1 ln cos1 .
C. 9 .
B. 1 .
D. 1 cot1 .
Lời giải:
Cách 1:
1
1
1
0
0
0
+ I f x tan 2 x f x tan x dx f x tan 2 xdx f x tan xdx
1 .
1
+ Tính J f x tan xdx .
0
u tan x
Đặt
, ta có
dv f x dx
1
2
du 1 tan x dx
.
v
f
x
1
1
0
0
J f x .tan x 0 f x . 1 tan 2 x dx f 1 .tan1 f 0 .tan 0 f x .tan 2 xdx f x dx
1
0
1
1
1
cot1.tan1 f x .tan 2 xdx 10 1 f x .tan 2 xdx 10 9 f x .tan 2 xdx .
0
0
0
Thay J vào 1 ta được: I f x tan 2 xdx 9 f x .tan 2 xdx 9 .
0
0
Cách 2:
1
1
2
2
Ta có: f x tan x f x tan x f x tan x 1 f x tan x f x tan x f x
f x tan x f x tan 2 x f x tan x f x .
1
1
I f x tan 2 x f x tan x dx f x tan x f x dx
0
0
1
f x tan x 0 f x dx f 1 tan1 10 cot1.tan1 10 9 .
1
0
Chọn đáp án C.
1
1
Câu 16: Cho hàm số y f x liên tục và thỏa mãn f x 2 f 3x với mọi x ; 2 . Tính
x
2
2
f x
1 x dx .
2
3
.
2
Lời giải:
A.
B.
9
.
2
1
Ta có f x 2 f 3x f
x
Từ đó ta có hệ phương trình:
C.
9
.
2
D.
3
.
2
3
1
2 f x
x
x
1
2
2
f x 2 f x 3x
f x
f x 2
3
2
2
dx 2 1 d x .
2 1 . Do đó I
f x x
1
6
x
2
x
x
x
1
1 x
4 f x 2 f
2
2
x x
Chọn đáp án A.
Câu 17: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên 0; sao cho x 2 xf e x f e x 1 với mọi
x 0; . Tính tích phân I
e
ln x f x dx .
e
1
8
x
2
3
A. I .
B. I .
C. I
1
.
12
3
8
D. I .
Lời giải:
1 x2
Với x 0; ta có x xf e f e 1 f e
1 x
1 x
1
1
dx
1
t
I tf e dt t 1 t dt .
Đặt ln x t dt
12
x
1
1
2
x
2
Chọn đáp án C.
Câu 18: Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên
x
x
2
có đồ thị như hình vẽ . Biết H1 có diện tích bằng 7
(đvdt) , H 2 có diện tích bằng 3 (đvdt).
1
Tính I
2x 6 f x
2
6 x 7 dx.
2
A. 11 (đvdt).
Lời giải:
B. 4 (đvdt).
C. 1 (đvdt).
D. 10 (đvdt).
